Розроблення автоматизованого методу оцінювання руйнування композитних матеріалів за даними фрактального аналізу

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вступ

Композитні матеріали дедалі частіше застосовуються у виробництві, розширюючи свої межі застосування. Розроблення нових композитних матеріалів триває, проте проблема дослідження їх стану без руйнування матеріалу гостро постає уже довший час. Аналогічно і тематика вивчення фракталів усе частіше зустрічається в наукових працях вчених усього світу. Вивчення їх розпочалося ще задовго до появи остаточної назви.

Фрактали у природі зустрічаються доволі часто, але щоб помітити їх - потрібно зрозуміти що це, тобто природу самого явища. Все починається з того що спочатку ми бачимо гілку дерева, підійшовши ближче - ми бачимо сукупність відгалужень у ній, а потім - набір зовсім і не хаотично розташованих листків. Так, саме фрактали дають змогу зрозуміти самоподібність елемента після масштабування.

Від часу вивчення перших відомостей про це явище пройшло багато змін. Отриманні знання систематизуються у окремі підтеми, розділи. Фрактальна механіка матеріалів може з часом розвинутись і до окремої повноцінної науки: мистецтва дослідження матеріалу.

Питання дослідження фракталів і визначення безпосередньо фрактальної розмірності цікавить вчених різних галузей, адже самоподібні елементи зустрічаються як в банальному природознавстві так і більш серйозному матеріалознавстві. Можливо саме цьому існує велика кількість різних методів для дослідження фрактальної розмірності. Проте відсутність одного універсального методу, мабуть, викликає чи не найбільшу проблему, адже змушує з різноманіття уже створених математичних формул та алгоритмів обрахунку обирати саме той, що найточніше описує досліджуваний елемент. Часто методи пошуку оптимального варіанту не дають бажаного результату, змушуючи вчених поєднувати існуючі методи, або ж - створювати новий.

Оскільки фрактал є методом візуального сприйняття, то й його дослідження найкраще проводити з використанням зображень (растрових). Щодо підрахунку фрактальної розмірності, то який би метод не було обрано - підрахувати його в ручний спосіб досить важко, іноді такі завдання вимагають значних затрат часу, що призводить до зростання часу проведення досліджень, а отже - затягує час появи певних висновків. Саме тому для підрахунку фрактальної розмірності досить логічним буде застосувати ЕОМ.

Точність досліджень є основою для вдалих прогнозувань і вірних висновків про результати роботи.

В еру комп'ютеризації виключення людського фактору (помилки спричиненої неуважністю, прорахунком, відсутністю необхідної освітньої підготовки та ін.) є простим завданням. Все частіше новітні технології тісно співпрацюють з науково-дослідними роботами. Молоді вчені прививають дослідницькій роботі нові засоби автоматизації, що дозволяє зробити результати наукової роботи ще точнішими і ефективнішими.

Тема даної дипломної роботи: «Розроблення автоматизованого методу оцінювання руйнування композитних матеріалів за даними фрактального аналізу". Метою нашої роботи є розроблення такого методу оцінки, який буде одночасно недорого вартісним, ефективним та нескладним у використанні, тобто таким, що зможе принести користь навіть не надто досвідченим у цьому питанні спеціалістів.

Зображення, отриманні в результаті дослідження, необхідно детально дослідити задля розуміння структурних та деформаційних змін зразка. Це дасть змогу вивести певні алгоритми, що дозволять спрогнозувати час експлуатації матеріалу до його повного руйнування, а також визначити експериментальним методом причини, що призводять до пришвидшення процесу руйнування матеріалу (епоксидної смоли).

Уже довший час проводяться дослідження у цій галузі. Сотні вчених по всій планеті використовують оптико-цифровий аналіз зображень у своїх дослідженнях. Нашим ж завданням є вибір найраціональнішого з них, пошук сильних та слабких сторін та реалізація найбільш точного алгоритму і подальше його впровадження в життя.

Так, не можна стверджувати що обраний алгоритм буде найуніверсальнішим, головне - щоб він давав найточніші уявлення про структурні зміни зображень які людське око, нажаль, не в стані розпізнати. Комп'ютерна ж автоматизація в процесі обробки зображень полягає в розпізнаванні різних за формою та розмірами об'єктів, їх аналізі та групуванні.

Дана дипломна робота направлена також на поглиблення знань у сфері розпізнавання зображення, ознайомленні з уже існуючими архітектурами комп'ютерних засобів аналізу та синтезу зображень.

Для проведення оптико-цифрового аналізу використаємо цифрові фотографії матеріалу, отриманні в результаті дослідження множинних дефектів зразків.

1. Аналітична частина питання дослідження композитних матеріалів

1.1 Аналіз літератури по проблематиці дослідження композитних матеріалів

Питання дослідження матеріалів актуальне у будь-якій галузі їх застосування, адже на кону стоїть питання безпеки та надійності при їх експлуатації. Знання характеристик і можливість опису складових того чи іншого матеріалу дозволяє інженерам правильно спрогнозувати його поведінку в певному середовищі, спланувати терміни експлуатації та уникнути небажаних наслідків.

Прагнення інженерів до постійного вдосконалення конструкцій привело до необхідності вирішення проблем, пов'язаних із використанням матеріалів і середовищ із важкими фізично неоднорідними властивостями. Виробництво композитів пов'язане із технологічними процесами отримання матеріалів з прогнозованими властивостями, визначення оптимальних режимів їх виготовлення та умов подальшої експлуатації. Вирішення цих завдань потребує розвитку строго кількісної теорії структуроутворення і методів опису фізико-механічних властивостей матеріалу.

Рівень розвитку сучасної науки і техніки суттєво остежить від впровадження нових конструкційних матеріалів. Тому особливо актуальні дослідження міцності та надійності композиційних матеріалів, які є кращими або повноцінними замінниками традиційних у багатьох сучасних галузях промисловості. Їх перевага проявляється у конструкціях, для яких визначальними є мала вага за високої питомої міцності та жорсткості, низька теплопровідність, тривкість до впливу агресивних середовищ, підвищена живучість [1].

У вирішенні конструкційних завдань перед науковцями постає завдання підбору матеріалів оптимальних за своїми технічними характеристики. Нові завдання та нестримні темпи розвитку науки й техніки приводять до появи нових конструкційних матеріалів та дослідження існуючих. Усе більшої популярності та ширше використання займають саме композитні матеріали, що зумовлено особливістю їх створення, а дослідження міцності та надійності композиційних матеріалів особливо актуальні, адже саме вони є кращими або повноцінними замінниками традиційних у багатьох сучасних галузях промисловості. Їх перевага проявляється у конструкціях, для яких визначальними є мала вага за високої питомої міцності та жорсткості, низька теплопровідність, тривкість до впливу агресивних середовищ, підвищена живучість [1].

Поява перших конструкцій з анізотропних матеріалів, склопластиків на полімерній матриці, відбулося в 50-х р. ХХ ст. Починаючи з того часу розробляється математичний апарат, для опису механіки багатошарових композитних матеріалів при дії зовнішніх статичних, динамічних, температурних навантажень. Для композитів характерне пружно-лінійна деформація практично до руйнування. Механіка поведінки і руйнування композитних матеріалів детально висвітлена, наприклад, в [2], [3], [4], [5], [6], [7].

Широке використання полімерних композитних матеріалів стало причиною інтенсивного дослідження їх фізико-механічних властивостей, розробок методів обчислень напружено-деформованого стану, розрахунку процесів довготривалого їх деформування та руйнування з залученням різноманітних феноменологічних теорій механіки деформівного твердого тіла. Однією із найважливіших задач механіки композитних матеріалів є прогноз деформаційних та міцнісних характеристик композиту остежно від властивостей матриці та армувальних елементів, їх об'ємного вмісту, схеми армування тощо [8], [9].

Отримання точної та достовірної інформації про наявні внутрішні дефекти конструкцій з композитних матеріалів методами неруйнівного контролю дає можливість проводити оцінку зміни властивостей матеріалу при наявності пошкоджень. У праці А.С. Овчинського [10] розглянуто принципи імітації макро- та мікродефектів композитних матеріалів за допомогою обчислювальних програмних засобів, що дозволяють моделювати поведінку пошкоджень конструкції під навантаженням. Можливість моделювання та розрахунку пошкоджень в програмно обчислювальному комплексі «Композит» описані в праці В.Н. Бакуліна, В.О. Каледіна, А.А. Россохи [11]. Питання побудови математичного апарату поведінки шарових композитних матеріалів розглянуті в працях А.А. Дудченко, А.Н. Елпатьевского, В.В. Фірсанова и С.А. Лурье [12], [13], а також Л.В. Шашковой и М.А. Швецовой [14].

Винайдення нових енерго- та ресурсозбережних технологій для виготовлення деталей та агрегатів із композитних матеріалів сприяє зниженню собівартості виробів, зменшенню негативного впливу на навколишнє середовище, тому цей процес активно розвивається уже довгий час.

Впровадження активного застосування композитних матеріалів у різних галузях сприяло і активному розвитку неруйнівних методів контролю якості внутрішньої структури виробів. Поставало питання вивчення внутрішньої структури деталей, агрегатів та вузлів. Так питання дефектоскопії розглядались в роботах В.П. Вавілова [15], І.Н. Єрмолова [16], [17], В.В. Вороб'я [18]. Найбільш повне висвітлення питання контролю якості виробів із композитних матеріалів, огляд та класифікація методів неруйнівного контролю та їх застосування розглянуто у роботах В.В. Сухорукова та Б.Н. Епіфанцева [19], [20], В.В. Клюєва [21], [22], [23] та інших. Прогнозування надійності конструкцій, виготовлених з композитних матеріалів, присвячені роботи науковця А.І. Потапова [24], [25].

В основі класифікації композитних матеріалів лежать принципи: матеріалознавчі - по матеріалу матриці (зв'язного) [26] або наповнювача (арматури) [27] і їх властивостям; конструкційні - по типу наповнювача та його розміщення (укладки) в матриці; технологічні - по методу виготовлення та переробки виробу.

Математичні основи механіки композитів були закладені в працях Л. Больцмана та В. Вольтерра, проте основний розвиток теорія отримала в працях А.І. Александрова, Т. Алфея, Н.С. Бахвалова, В.В. Болотіна, Г.А. Ваніна, А.А. Ільюшина, І.М. Лівшица, Б.Е. Скудри, Ю.М. Тарнопольського, Дж. Феррі.

Статистичні методи в механіці композитів були розвинуті в працях С.Д. Волкова, В.А. Ломакіна, В.А. Пальмова, В.П. Ставрова, А.Г. Фокіна, Л.П. Хорошуна, А.В. Чигарєва, Т.Д. Шермергора та інших.

Розвиток фізичної хімії композиційних матеріалів поставив ряд нових проблем в дослідженні взаємозв'язку закономірностей фізико-хімічної та механічної поведінки наповнювачів полімерних систем [28], [29]: надмолекулярне структуроутворення в присутності наповнювачів; дослідження композитів, наповнених полімерними наповнювачами. При цьому в центрі уваги опиняються ті зміни структури та властивостей композитів, що пов'язані з наявністю складної морфології меж розподілу фаз діями поверхневих сил на цій межі, так як саме ці фактори визначають в кінцевому результаті фізико-механічні властивості композитів.

Окремі аспекти вказаних проблем розглянуті в працях А.А. Берліна та В.Е. Басіна [30], Б.В. Дерягіна, Н.А. Кротова та В.П. Смілги [31], В.А. Юєлого, П.І. Єгоренко та Ю.М. Плескачевського [32], Ю.С. Ліпатова [29], [30] та інших [33], [34], [35]. Прослідковується певне зближення фізичної хімії наповнених полімерів та механіки композитів, оскільки тільки комплексний підхід дає можливість найбільш правильно описувати та прогнозувати властивості композитних полімерних матеріалів.

Шаруваті композиційні матеріали використовують у сучасних конструкторських проектах хімічної, аерокосмічної промисловості та суднобудуванні. Типова шарувата структура - сукупність пов'язаних між собою шарів з різними фізико-механічними властивостями. Шар - це основний елемент аналізу таких структур. Розрізняють несучі та зв'язуючі шари. Останні забезпечують передачу та розподіл напружень між несучими шарами. На практиці найчастіше застосовують тришарові конструкції, міцність яких в основному Залежить від властивостей наповнювачів, а зовнішні шари мають декоративно-захисну функцію [9].

Аналіз наукової літератури з питань аналізу дефектів композитних матеріалів різними методами, в тому числі оптичними із застосуванням фрактальної розмірності, дають хорошу базу для продовження досліджень у даному питанні. Сучасні методи неруйнівного контролю якості виробів композитних конструкцій є перспективними, адже дозволяють будувати певні висновки про стан того чи іншого виробу не пошкоджуючи його, тим самим даючи можливість усунути дефект конкретного зразка а не якогось аналогу що могло б дати не зовсім точні інформаційні дані.

1.2 Характеристика композитних матеріалів та їх дефектів

Композитний матеріал (КМ), або композит - гетерофазний матеріал, окремі фази якого виконують специфічні функції, забезпечуючи йому властивості, яких не має жодний з компонентів окремо [36]. Зазвичай отримують поєднанням двох або більше компонентів, які нерозчинні або малорозчинні один в одному і мають властивості, що сильно відрізняються. Один компонент пластичний (зв'язувальна речовина, або матриця), а другий має високі характеристики міцності (наповнювач, або зміцнювач). Таким чином, у КМ кожний компонент грає свою специфічну роль: матриця забезпечує пластичність, зміцнювач - міцність матеріалу.

Армуюча складова забезпечує міцність та жорсткість характеристики матеріалу в напрямку армування - вкладання волокон моношару, технологічність волокон визначає можливість створення високопотужних процесів виготовлення виробів, наприклад, автоматизоване викладання стрічок та препрегів, намотка. Матриця забезпечує герметичність матеріалу, рівномірність включення в роботу армуючого компоненту, перерозподіл навантажень з пошкоджених волокон, сприймає навантаження зсуву, що діє в площині моношару, визначає міцність при навантаженні в напрямку, що не співпадає з напрямком вкладання волокон.

Відповідно до конструктивних ознак композити можна поділити наступним чином:

Рисунок 1.1. Класифікація композитів за конструктивними ознаками: а - хаотичне армування; 1 - короткі волокна; 2 - суцільні волокна; б - одномірно армовані: 1 - однонаправлені неперервні; 2 - однонаправлені короткі; в - двомірно армовані: 1 - неперервні нитки; 2 - тканини; г - просторово армовані: 1 - при типи ниток; 2 - n типи ниток

Важливими характеристиками композиційних матеріалів є питома міцність і питома жорсткість , де - тимчасовий опір, - модуль нормальної пружності, - щільність матеріалу, - прискорення вільного падіння. За питомою міцності і жорсткості композиційні матеріали перевершують всі відомі конструкційні сплави.

КМ складаються з порівняно пластичного матричного матеріалу-основи і більш твердих і міцних компонентів, які називають наповнювачами. Властивості КМ остежать від властивостей основи, наповнювачів і міцності зв'язку між ними.

В якості армуючого компоненту використовують скляні, вуглецеві, баостьтові, арамідні, борні та інші типи волокон, володіючих високими знаннями міцності та модуля пружності при розтягу. Основні характеристики застосовуваних волокон подані в таблиці 1.1.

Таблиця 1.1 - Фізико-механічні характеристики волокон

Параметр	Тип волокна
	Скло	Вуглець	Баостьт	Арамід
Щільність кг/м3-10-3	2,4-2,6	1,75-1,95	2,4-2,65	1,43-1,5
Міцність при розтягу, ГПа	2,7-3,5	2,1-4,5	2,7-3,7	2,5-3,5
Модуль пружності при розтягу, ГПа	75-105	200-450	85-110	80-130

Матриця пов'язує композицію в моноліт, надає їй форму і служить для передачі зовнішніх навантажень арматурі з наповнювачів. Залежно від матеріалу основи розрізняють КМ з металевою матрицею, або металеві композиційні матеріали (МКМ), з полімерної - полімерні композиційні матеріали (ПКМ) і з керамічної - керамічні композиційні матеріали (ККМ). Матриця мало впливає на жорсткісні та міцнісні властивості, оскільки модуль пружності зв'язного більш ніж на порядок менший модуля пружності волокон. Основні характеристики найпоширеніших застосовуваних смол подані в таблиці 1.2.

Табл. 1.2 - Фізико-механічні характеристики зв'язного

Параметр	Тип зв'язного
	Фенолформальдегідна смола	Кремнійорганічна смола	Поліефірна смола	Епоксидна смола	Поліамідна смола
Щільність г/см3	1,3-1,33	1,33-1,42	1,21-1,35	1,2-1,3	1,38-1,46
Міцність при розтягу, МПа	50-75	30-45	30-70	45-110	85-90
Межа міцності при стиску, МПа	100-130	65-110	100-130	130-150	220-240
Модуль пружності, ГПа	8-11	7-11	3-3,5	3,8-4,5	4-5
Теплостійкість, °С	140	300	70	180	310
Відносне видовження, %	1,1	0,7	4,5	5	2,5

У КМ на основі полімерних матриць як полімер використовують епоксидні, фенольні, поліуретанові, поліамідні смоли. Ці смоли мають низьку густину, невисоку температуру полімеризації, високу міцність і жорсткість, достатню адгезійну міцність з основними видами армувальних волокон, гарні технологічні властивості.

Не меншу роль в зміцненні КМ грають наповнювачі, часто звані зміцнювачами. Вони мають високу міцність, твердість і модуль пружності. За типом зміцнюючи наповнювачів КМ поділяють на дисперсно-зміцнені, волокнисті та шаруваті (рисунок 1.2).

Рисунок 1.2. Схема будови композитних матеріалів: а - дисперсно-зміцнені; б - волокнисті; в - шаруваті

Як матеріали зміцнювачів застосовують високоміцні і високожорсткі (з високим модулем пружності Е) волокна всіх перелічених вище типів залежно від умов роботи виробу. Ними можуть бути тонкий дріт, спеціально виготовлені волокна, вуса. Діаметр волокон змінюється від одиниць до декількох десятків мікрометрів.

КМ класифікують за рядом ознак:

- За формою зміцнювального компонента (волокнисті, дисперсно-зміцнені, шаруваті). Волокна можуть бути безперервними і дискретними;

- За видом матеріалу матриці (металеві, керамічні, полімерні, вуглецеві);

- За схемою армування (для волокнистих матеріалів) - з одновісним, двовісним, тривісним та багатовісним армуванням;

- За видом матеріалу зміцнювача (металеві частинки, металеві волокна і шари, вуглецеві, борні, скляні, органічні, керамічні волокна). Остежно від технології введення армувальних волокон у матрицю застосовують різні форми армувальних елементів - нитки, джгути, стрічки, тканини.

Дефекти внутрішньої структури шарових волокон композитів відносно до компоненту матеріалу поділяють на дефекти армованої структури (волокна) і матричної структури (зв'язного). Оскільки даний матеріал є двох- або багатофазовим, то поява макро- та мікродефектів внутрішньої структури пов'язане з такими групами факторів:

- Якості вихідної сировини для компонентів;

- Ступеня дотримання технологічного процесу виготовлення та якості розробленого технологічного процесу;

- Пошкоджуваність готової конструкції з композитних матеріалів в процесі експлуатації.

Якість вихідного матеріалу можна оцінити на етапі вхідного контролю. Під час цього контролю можна побачити наступні дефекти:

- Порушення температурного режиму зберігання зв'язного;

- Порушення діапазону значень вологості при зберіганні смоли;

- Порушення хімічного складу зв'язного по вмісту компонентів;

- Поява неоднорідних включень.

До основних методів неруйнівного контролю на вхідному етапі відносяться ультразвуковий та радіохвильовий метод, що дають можливість оцінити хімічний склад та деякі фізичні параметри зв'язного (щільність, в'язкість та ін.). Ці методи дозволяють виявити зміни адгезійних та фізико-механічних властивостей смоли, утворення розшарувань у багатослойних матеріалах.

Для армуючої компоненти композитного матеріалу на стадії вхідного контролю перевіряють розриви окремих волокон і груп, збереження сталого діаметру волокна, наявність тріщин на поверхні волокна, внутрішні пустоти. Провести ці дослідження можна за допомогою радіаційного, ультразвукового і тепловізійного методів неруйнівного контролю.

Високі вимоги до композитних матеріалів вимагають використання найсучасніших новаторств в технологічному процесів, адже важливу роль відіграє рівномірний розподіл зв'язного між волокнами шарів, пріоритетним завданням є і дотримання об'ємного відношення композитних компонентів, дотримання температурних режимів та правильного тиску для найкращої полімеризації матриці та адгезії компонентів між собою.

На етапі технологічного контролю можна помітити наступні дефекти: недотвердіня смоли, її нерівномірний розподіл, надлишки матриці в локальних зонах, розтріскування смоли, утворення пор (концентратори навантажень, сприяють подальшого руйнування зв'язного під дією навантажень), внутрішні усадки напружень, недостатнє видалення летких компонентів зв'язного з матеріалі в процесі полімеризації.

За для виявлення дефектів зв'язного застосовують радіохвильові, візуальні, оптичні методи контролю; ультразвуком досліджують наявність внутрішніх та поверхневих тріщин, розшарування та пори; тепловізійні методи.

На етапі формування виробу можлива поява порушення монолітності матеріалу (розшарування між слоями), складки монослоїв, вм'ятини, розриви волокон в процесі викладки, часткових викривлень, порушення форм та розмірів конструкцій.

Результати контролю можуть бути використані для підвищення якості технологічного процесу виготовлення виробів із композитних матеріалів, вибору оптимальних значень тиску пресування та параметрів для автоматизації викладки стрічок, тканин та переплетів.

Негативний вплив на характеристики композитних матеріалів має присутність сторонніх матеріалів, що різко знижує адгезії між волокнами і зв'язним (металева стружка, залишки масла, литкий вуглець, ацетон, плівки та ін.). Вчасне виявлення такого роду дефектів забезпечується радіохвильовими та радіаційними методами, що дозволяють отримати детальне 2D та 3D зображення внутрішньої структури виробу.

Негативний вплив на кінцевий виріб може справити і механічна обробка що здатна привести до появи мікротріщин, висмикування волокон армуючої структури, локальному викришуванню зв'язного. Порушення вимог та умов експлуатації може привести до поверхневих та приповерхневих тріщин, викришування матриці, деструктуризації смоли при порушенні температурних режимів експлуатації; довготривала експлуатація виробів в умовах підвищеної вологості приводить до збільшення об'ємів вологи в зв'язному, що при зміні кліматичних умов приводить до деструктуризації властивостей матеріалів та руйнування композиту; УФ_випромінювання негативно впливає на молекулярну структуру матриці, руйнує її структуру, погіршує механічні властивості смоли.

На етапі експлуатації застосовують малогабаритне обладнання що дозволяє проводити неруйнівний контроль елементів без їх демонтажу.

Підсумовуючи вищесказане можна групувати дефекти композитних матеріалів по їх приналежності до відповідної фази матеріалу, по природі факторів, що викликали їх появу, та мірі їх впливу на зміну фізико-механічних властивостей композиту.

1.3 Огляд існуючих неруйнівних методів дослідження композитних матеріалів

Високі вимоги до якості композитних виробів вимагають сучасних ефективних методів неруйнівного контролю які б дали всі необхідні вичерпні дані для можливості аналізу наявного стану матеріалу, допомогли виявити приховані від візуального огляду дефекти. На сьогоднішній день наявні оптичні, акустичні, теплові, радіохвильові та ін. методи неруйнівного контролю, кожен з яких базується на різноманітних фізичних законах. Проте на можливість застосування того чи іншого методу неруйнівного контролю впливають габарити установок для контролю виробів, потужність обладнання, наявність специфічних вимог (одно- чи двосторонній підхід до об'єкту контролю), застосування спеціальних реагентів та компонентів в процесі контролю, стану поверхні досліджуваного об'єкту та ін.

Кожен метод неруйнівного контролю має свої переваги та недоліки що перешкоджають отриманню якісної та вичерпної правдивої інформації про наявні дефекти. Через присутність в структурі композитних матеріалів макро- та мікродефектів внутрішньої структури, науковці та інженери ставлять до методів неруйнівного контролю все жорсткіші умови.

Для вибору оптимальних для тієї чи іншої ситуації методів контролю наведемо таб. 1.3, де описано переваги та недоліки найпоширеніших методів.

Таблиця 1.3 - Переваги та недоліки методів неруйнівного контролю

Метод	Переваги	Недоліки
Оптичні	Простота обладнання, широке застосування, невеликий час та витрати на проведення контролю	Мала глибина виявлення дефектів та точність їх розмірів.
Акустичні
- імпедансний	Прості та недорогі пристрої, можливість контролю сотових трьохшарових конструкцій, багатошарових та із заповнювачем	Невелика точність, залежність від частоти та шорсткості, мала глибина остягання дефекту
- велосиметричний	Можливість виявлення більш глибших дефектів, порівняно з імпедансним методом контролю	Обмежений спектр застосовуваних частот, залежність точності від положення дефектів
Теплові	Можливість контролю стану протяжних поверхонь в ході технологічного процесу та при наявності перехідних теплових режимів	Специфічні перешкоди по природі пов'язані з неоднорідностями кількості випромінювання теплової хвилі, низька точність визначення розмірів та форм дефектних зон
Радіохвильові	Можливість визначити міру полімеризації зв'язного, вмісту вологи, широкий діапазон довжини хвиль випромінювання, якісне застосування при аналізі стану матриці композиту	Для радіонепрозорих матеріалів неможливо провести аналіз стану внутрішньої структури зразка
Радіаційні	Можливість контролю стану армуючої структури композиту, достатньо висока чіткість 2D-зображень, невеликі розміри установок для контролю	Необхідність підходу до об'єкту дослідження з обох сторін, відносно мала потужність, висока вартість компонентів (срібла)

Отже кожен із розглянутих методів неруйнівного контролю дає можливість виявити основні види дефектів внутрішньої структури матеріалу та їх природу без позиціонування в об'ємі матеріалу, що реалізується через отримання сканів та 2D-зображень. Мінімальні лінійні розміри внутрішніх дефектів, виявлених на етапах неруйнівного контролю за допомогою традиційних методів, зведені в табл. 1.4.

Таблиця 1.4 - Розміри виявлених дефектів

Досліджуваний дефект	Використаний метод контролю	Мінімальний розмір виявленого дефекту структури
Пошкодження поверхневих шарів	Візуальний (оптичний)	Більше 0,5 мм довжини
Непроклеї, розшарування	Акустичний	0,8-1,0 см2
	Тепловий	1,2-1,4 см2
	Радіохвильовий	0,5 см2
Тріщини матричної структури композиту	Радіохвильовий	0,5-1,5 мм
	Тепловий	2-2,5 мм
Дефекти товщини армуючого компоненту	Акустичний	1-1,5 мм
	Радіаційний	0,15-0,2 мм
	Радіохвильовий	0,25-0,3 мм

Отже традиційні методи неруйнівного контролю дають можливість виявити розшарування площею від 50-88 мм та тріщини лінійного розміру 0,5-1 мм, до є припустимим при проведенні інспекційного контролю виробу, проте може бути недостатнім при аналізу внутрішньої структури елементарних зразків з композитних матеріалів.

Отримання зображень внутрішніх пошкоджень з більшим розширенням, а також для точної локалізації та позиціонування дефекту, тобто отримання 3D-зображення об'єму матеріалу потребує використання високоточних методів неруйнівного контролю.

1.4 Порівняння існуючих програм автоматичного аналізу

Аналіз зображення сьогодні застосовується в різних областях, починаючи освітою і закінчуючи медициною.

Поле медичної візуалізації, тобто гілка цифрових зображень, що прагне допомогти в діагностиці та лікуванні захворювань, зростає швидкими темпами. Недавнє дослідження, проведене Американською академією педіатрії припускає, що власне зображень дітей, які можуть мати апендицит дозволяє швидше діагностувати можливі порушення. Подальші досягнення включають в себе докладну точну томографію головного мозку, легенів, сухожилля і інші частини тіла-зображень, які можуть бути використані фахівцями в галузі охорони здоров'я, щоб краще обслуговувати пацієнтів [37].

Існує програма під назвою Digital Imaging in Communications and Medicine (DICOM), що змінює медичний світ, як ми його знаємо. DICOM є не тільки система для фотозйомки вищезазначених внутрішніх органів у високій якості, але й для в обробки цих зображень. Це універсальна система, яка включає обробку зображення, їх обміну та аналізу для зручності та комфорту пацієнта, а головне - розуміння. Насправді кількість схожих програм невпинно зростає.

Перша комп'ютерна система аналізу зображень була створена у 1968 році компанією Baush & Lomb. Через недосконалість тогочасної комп'ютерної техніки система давала змогу захоплювати тільки чорно-білі зображення без їх збереження та оброблення. У 1974 році новий етап у технології зробила західнонімецька фірма Leitz, що представила систему, засновану на принципах аналізу «текстури і математичної морфології". Вперше були запропоновані такі широковідомі морфологічні операції, як ерозія, дилатація, скелетизація. Першу систему аналізу із програмним забезпеченням презентували окремо західнонімецька фірма Kronton та англійська Cambridge Instruments в 1981 році. Одним з типів систем аналізу зображень є системи автоматизованої мікроскопії (САМ).

САМ - це автоматизоване комп'ютерне робоче місце, що дає можливість фахівцеві виконувати завдання, які вимагають великих затрат сил і часу. Основним завданням розроблення програмного забезпечення для медицини є автоматизація діяльності лікувально-профілактичних установ. Програмне забезпечення САМ використовується в таких наукових біологічних і медичних дослідженнях [38, ст. 10]: ентомологія, гістологія, цитологія, мікробіологія, ембріологія, мікологія, паразитологія, флуоресцентна мікроскопія.

До складу дослідницьких CАМ входить багатофункціональний мікроскоп (лабораторного або дослідницького класу), який забезпечує проведення досліджень за різними методиками. Методика дослідження в таких системах не задана наперед, а формується користувачем, а до камер пред'являються підвищені вимоги до чутливості і роздільної здатності. Основними вимогами до дослідницьких САМ є універсальність мікроскопа і камери, швидке налаштування на аналіз іншого типу препарату.

Останні роки відзначені особливо бурхливим розвитком технічного прогресу, що дозволило значно збільшити роздільну здатність мікроскопів, а також об'єднати можливості мікроскопа з персональною ЕОМ, що дало можливість створення апаратно-програмних комплексів.

Велика частина фірм-розробників САМ, що працюють зараз на українському, російському і закордонних ринках, фірм-виробників систем аналізу зображень виникла в 80-90 - ті роки ХХ ст. Фірми, які є постачальниками САМ та компонентів їхніх зображень, можна умовно поділити на дві категорії:

Розробники, що пропонують САМ, які складаються з мікроскопа, системи введення, комп'ютера і програмного забезпечення. До них належать фірми: ВидеоТесТ, Leica (системи аналізу для багатьох галузей медицини і біології, генетики та ін.), ЗАО Медицинские Компьютерные Системы (МЕКОС), Microsystems (універсальні і спеціалізовані системи для різних застосувань), Applied Imaging (системи для цитогенетики: автоматичне каріотипування, люмінесцентні методи аналізу), Dako, Biomedical Photometrics Inc (цитологія, гістологія), BioGenex, Bioview (цитологія, цитогенетика, гематологія, патологія), CellaVision (гематологія);

Фірми, що продають окремі компоненти, системи введення, програмне забезпечення), або варіант коробкового програмного забезпечення. Таких фірм є дуже багато: Clemex (Канада), Soft Imaging System (Німеччина), Noesis (Франція), Universal Imaging Corporation (США), SIAMS (Росія) і т.д.

САМ складається із системи введення зображень з об'єктивом для макрозйомки або із встановленою на мікроскопі для фотографування мікроскопічних об'єктів відеокамерою, комп'ютера і програмного забезпечення. Об'єктами дослідження у таких системах є статичні зображення мікроскопічних об'єктів: мінеральних зерен, пор, мікродефектів, включень, клітинних структур, мікроорганізмів [39].

Програмне забезпечення САМ передбачає такі етапи оброблення зображень [40]:

- Отримання (введення) зображення;

- Його перетворення і редагування;

- Виділення об'єктів або фаз на зображенні;

- Проведення вимірювань;

- Збереження і друк зображень й результатів аналізу.

Програмні системи морфометричного аналізу (програмні складові САМ) можна поділити на три групи: навчальні, спеціалізовані та універсальні [41]. Навчальні системи дають змогу здійснювати дослідження в ручному режимі та нескладні розрахунки (ScreenMeter). Основні функції ScreenMeter - цитокаріометричні, лінійні й кутові виміри в ручному режимі, перерахунок отриманих даних у фізичні одиниці довжини, розрахунок найпоширеніших статистичних характеристик, експорт отриманих даних у формат електронних таблиць MS Excel. Спеціалізовані системи містять набір алгоритмів та функцій, які адаптовані під певні класи зображень (AnalySIS Five). Універсальні системи призначені для обробки та аналізу зображень довільної природи (Qcapture PRO 6.0).

Основною перевагою використання програмних засобів є перехід від суб'єктивного та якісного аналізу до об'єктивного та кількісного. Основним недоліком при цьому можна вважати складність налаштування та можливі похибки опису зображення.

Програмні комплекси оброблення біомедичних зображень (БМЗ) дають змогу отримувати зображення за допомогою фотокамери, відеокамери, сканера, зчитування з вже існуючого файлу [42, ст. 24]. Результати досліджень виводяться на екран у табличній формі, у вигляді графіків і на друк.

Порівняння програм для проведення автоматичногог аналізу подане в таб. 1.5. Тут відображена наявність певних функцій у тій чи іншій програмі.

Таблиця 1.5 - Порівняльна характеристика програмного забезпечення САМ

Назва програми

Отримання з віддаленого джерела

Конвертування файлу в інший формат

Налаштування параметрів зображення (висота, ширина)

Редагування зображення

Конвертація в інші кольорові базиси

Виділення об'єктів в ручному / автоматизованому / автоматичному режимі

Обчислення характеристичних ознак (площа, периметр, кут нахилу тощо)

Визначення максимальних та мінімальних координат об'єкта

Використання плагінів

Використання сценаріїв

Формування звітів

Передача даних у зовнішнє програмне забезпечення

Друк

Налаштування параметрів роботи програми

Калібрування програми

Наявність системи допомоги

ImageTool v.2.00

+

+

+

+

+

+/-/-

+

-

-

+

+

-

+

+

-

+

ImageWarp

-

+

+

+

-

+/-/-

+

-

+

+

+

-

+

+

-

+

„ИМАДЖЕР-ЦГ”

-

+

+

+

-

+/-/-

+

-

-

-

+

-

+

+

-

+

ВидеоТесТ-Морфо 3.2

+

+

+

+

+

+/+/-

+

-

+

+

+

-

+

+

-

+

ВидеоТесТ-Морфология 5.0

+

+

+

+

+

+/+/+

+

-

+

+

+

+

+

+

+

+

Micromed Images

+

+

+

+

-

+/-/-

+

-

-

+

+

-

+

+

-

+

ScreenMeter

-

-

+

-

-

+/-/-

+

-

-

-

+

-

-

+

-

+

ImageExpert Pro 3

-

+

+

+

+

+/+/-

+

-

+

+

+

-

+

+

-

+

ImageExpert™ Gauge

-

+

+

+

+

+/+/-

+

-

+

+

+

-

+

+

-

+

AnalySIS Five

-

+

+

+

+

+/+/-

+

-

+

+

+

-

+

+

-

+

BioVision

-

+

+

+

+

+/+/-

+

-

+

+

+

-

+

+

-

+

QCapture PRO 6.0

-

+

+

+

+

+/+/-

+

-

+

+

+

-

+

+

-

+

Motic Images Advanced 3.2

+

+

+

+

+

+/+/+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

+

MCID™ Core

-

+

+

+

+

+/+/-

+

-

+

+

+

-

+

+

-

+

Image-Pro Plus 6.2

+

+

+

+

+

+/+/-

+

-

+

+

+

-

+

+

-

+

MetaMorph 7.5

-

+

+

+

+

+/+/-

+

-

+

+

+

-

+

+

-

+

ImageJ (NIH, USA)

-

+

+

+

+

+/-/-

+

-

+

+

+

-

+

+

-

+

Точність вимірювання забезпечується калібруванням програм за допомогою об'єкта-мікрометра або калібруючої лінійки. Програмні комплекси надають користувачеві широкий спектр засобів для оброблення та аналізу БМЗ та відеопотоку, зокрема в генетичних, цитологічних, гістологічних, онкологічних дослідженнях тощо. Характерними особливостями сучасних систем є високий рівень автоматизації, можливість віддаленої роботи на робочому місці та зменшення залежності від медичної відеодіагностичної апаратури. Для передавання та зберігання БМЗ і даних використовуються такі стандарти: ASTM, ASC X12, IEEE/MEDIX, NCPDP, HL7, DICOM.

Порівнювали сучасні САМ за такими параметрами:

- Спосіб вводу інформації: зображення приймається із давача в реальному часі (підтримка найпоширенішої сьогодні технології MCI/TWAIN) чи завантаження з жорстких носіїв даних;

- Режими роботи алгоритмів сегментації: ручний (оператор у ручному режимі виділяє об'єкти інтересу на зображенні), автоматизований (оператор вводить деяку початкову інформацію (проводить навчання), після чого програма проводить сегментацію самостійно) чи автоматична сегментація (система на основі запрограмованих алгоритмів та відомих параметрів проводить сегментацію самостійно);

- Попереднє оброблення вхідного зображення: забезпечення програми можливістю додаткового оброблення зображення (видалення шумів, корекція яскравості, контрасту, фільтрація, виділення поля уваги, тощо);

- Обчислення характеристичних ознак: набір ознак, що компактно описують зображення. Найвикористовуваніші параметри такі: периметр, площа, ядерно-цитоплазматичне відношення, обчислення кутів тощо;

- Обчислення статистичних ознак: інформація про групу об'єктів інтересу. До цього класу ознак належать середнє значення, середньоквадратичне відхилення, максимальне (мінімальне) значення тощо;

- Виведення інформації у візуальному форматі: можливість побудови діаграм, гістограм, графіків тощо;

- Взаємодія з іншим програмним забезпеченням: можливість обміну інформацією з іншими програмними засобами, наприклад, MS Word, MS Excel, MS Access, FoxPro тощо;

- Використання скриптів: присутність вбудованої мови (шаблонів) для написання скриптів для пакетного оброблення даних;

- Технічна документація: наявність додаткової інформації про систему.

Типова структура апаратної частини САМ складається зі системи введення зображень (СВЗ), побудованої на базі мікроскопа, відеокамери або фотокамери, комп'ютера з програмним забезпеченням і принтера [42, 43, 44]. СВЗ є складним компонентом, структура якого остежить від класу системи і містить світловий мікроскоп, камеру, фотоадаптер, пристрій зміни поточного об'єктива, пристрій фокусування, пристрій переміщення предметного стола, пристрій подачі зразків та пристрій освітлення (рис. 1.3). СВЗ може будуватись на основі цифрового або фотоадаптованого мікроскопів і камери. Типова структура програмної складової дещо складніша (рис. 1.4), проте дає можливість врахувати всі етапи по роботі з зображенням.

Рисунок 1.3. Структура апаратної складової САМ

Рисунок 1.4. Структура програмної складової САМ

Основними характеристиками комп'ютера, які забезпечують мінімальний рівень швидкодії системи, є наявність процесора з частотою 1 ГГц, оперативної пам'яті обсягом не меншим за 1 ГБ та інтерфейсних плат USB або IEEE для отримання зображення або відеопотоку з камери.

Структурна схема програмної системи (рис. 1.5) включає такі основні складові: модуль отримання зображення, підсистему аналізу, модуль аналізу контурних характеристик і текстурних ознак, підсистему збереження та виводу даних.

Рисунок 1.5 Структурна схема програмної системи

Для задач мікробіології на українському ринку пропонують САМ або окремі їх компоненти такі фірми, як Carl Zeiss (Німеччина), Leica, Olympus, Nikon, Микромед (Росія), Motic (Китай), Konus (Італія).

Аналіз роботи різних лабораторій показав, що можливості ЕОМ застосовуються далеко не повністю. У більшості з них ЕОМ застосовуються лише для полегшення отримання мікрофотографій за допомогою мікроскопів і в небагатьох випадках для ведення баз даних. Однак перспективи обробки та аналізу мікрофотографій за допомогою комп'ютерних програм [41] досі не впроваджені в практику повсякденної роботи лабораторій металографічного контролю.

Впровадження сучасних прогресивних технологій неможливе без використання матеріалів з необхідним комплексом властивостей, реалізованим необхідним структурно-фазовим станом об'єкта. Правильне і адекватне розуміння зв'язків у ланцюжку «склад - структура - властивості» неможливе без попереднього моделювання та дослідження таких зв'язків, при цьому металографія є невід'ємною складовою більшості матеріалознавчих досліджень [41, 45, 46]. Останнім часом якісний металографічний аналіз все ширше доповнюється кількісними характеристиками відповідних металографічних структур [45, 47], найчастіше методи визначення таких характеристик регламентовані [48].

Кількість включень, присутніх в затверділому металі, зазвичай невелика і складає долі відсотка до ваги металу [46]. Однак, незважаючи на настільки невелику кількість, вони чинять негативний вплив на властивості металів.

Надзвичайно необхідним для металургії є вміння уникати присутності шлаку в металі, а для металографії - володіти методами розпізнавання та характеристиками неметалічних включень у відношенні їх природи, кількості та форми, в якій вони присутні.

Дослідження мікрошліфів матеріалів [49] цілком зводиться до аналізу та інтерпретації їх зображень, в зв'язку з чим представляється актуальним створення автоматизованої системи обробки зображень мікрошліфів.

Від вдосконалення засобів і методів автоматизованого аналізу зображень залежить достовірність і об'єктивність вирішення завдань контролю і управління технологічними процесами обробки металів.

Зображення мікрошліфів металів на етапі оцифрування піддаються впливу адитивного та імпульсного шуму. Адитивний шум це деякий випадковий сигнал, який додається до корисного на виході системи, в даному випадку адитивний шум виникає внаслідок зернистості плівки. Імпульсний шум, на відміну від адитивного, характеризується впливом на корисний сигнал лише в окремих випадкових точках (значення результуючого сигналу в цих точках приймає випадкове значення). Імпульсний шум характерний для цифрових систем передачі і зберігання зображень. Таким чином, в процесі препарування зображення виникає завдання придушення шуму [50].

Найпростішим методом, що згладжує шум, на зображенні є згладжування, тобто заміна значення яскравості кожного елемента середнім значенням, знайденим по його околиці:

(1.1)

Де - безліч точок, що належать околиці точки,

- число точок у околиці.

Цей метод ефективно усуває адитивний і імпульсний шум в кожному елементі зображення.

У процесі вивчення мікроструктури шліфів металів нерідко доводиться стикатися із завданням знаходження периметрів, кривизни, чинників форми, питомої поверхні об'єктів і т.д. Всі перераховані завдання так чи інакше пов'язані з аналізом контурних елементів об'єктів.

Методи виділення контурів на зображенні можна розділити на наступні основні класи:

- Методи високочастотної фільтрації;

- Методи просторового диференціювання;

- Методи функціональної апроксимації.

Спільним для всіх цих методів є прагнення розглядати кордон як область різкого перепаду функції яскравості зображення ; відрізняє ж їх математична модель поняття межі і алгоритм пошуку граничних точок.

У відповідності з поставленими завданнями до алгоритмів виділення контурів у кількісній металографії ставляться такі вимоги: виділені контури повинні бути утоншені, без розривів і замкнутими.

Таким чином, процес виділення контурів декілька ускладнюється у зв'язку з необхідністю застосовувати алгоритми стоншення та усунення розривів.

Однак і це не завжди дає бажаного результату - в більшості випадків контури виходять незамкнутими і, як наслідок, непридатними для ряду процедур аналізу.

Вирішити виникле завдання можна, виробляючи оконтурювання алгоритмом простеження кордонів методом «жука», який дозволяє виділити замкнуті контури об'єктів. Суть алгоритму полягає в наступному: на об'єкті вибирається деяка стартова гранична точка і далі відбувається послідовне простежування контуру до тих пір, поки не буде досягнута стартова точка. B випадку простеження контуру за годинниковою стрілкою для досягнення стартовою точки здійснюється попіксельний рух вправо, якщо піксель знаходиться поза об'єктом, і вліво, якщо піксель знаходиться на об'єкті.

Виділений таким чином контур являє собою замкнутий ланцюговий код, тобто послідовність координат граничних точок об'єкту, що дуже зручно для вирішення поставлених завдань.

2. Фрактальна механіка в дослідженні композитних матеріалів

2.1 Фрактали: Базові поняття та методи дослідження

У той час як об'єкти, побудовані людиною, такі як промислові та житлові будинки, можуть бути ефективно описані набором простих геометричних примітивів: кубів, сфер, циліндрів, конусів, кольорові текстури природного походження, через свою нерегулярність і фрагментарність, погано піддаються такому опису. У зв'язку із цим, для аналізу таких текстур виявляється природним подання їх у вигляді фракталу з деяким розміром D.

Фрактал (лат. fractus, fractal - дроблений) - термін, який ввів Бенуа Мандельброт в 1975 році для позначення нерегулярних самоподібних множин.

Фрактал - це нескінченно самоподібна геометрична фігура, кожний фрагмент якої повторюється при зменшенні масштабу. Масштабна інваріантність, що спостерігається у фракталах, може бути або точною, або наближеною.

Ще один варіант визначення: фрактал - самоподібна множина нецілої розмірності. Самоподібна множина - множина, що подається у вигляді об'єднання однакових непересічних підмножин подібних до вихідної множини.

Основні властивості фракталів.

- Вони мають тонку структуру, тобто містять довільно малі масштаби.

- Вони занадто нерегулярні, щоб бути описаними традиційною геометричною мовою.

- Вони мають деяку форму самоподоби, допускаючи наближену.

- Вони мають дробову «фрактальну» розмірність, що її також називають розмірністю Мінковського.

У наш час фрактали знайшли своє застосування при аналізі текстур ландшафтів, отриманих при аерокосмічній зйомці, при аналізі поверхонь порошків та інших пористих середовищ, при аналізі поверхні хмар тощо.

Однак розмір фракталу кольорової текстури багато в чому остежить від вибору методу оцінювання. Так, при використанні різних методів оцінювання розміру фракталу ми одержимо відповідно й різні його розміри. Зіставлення текстур, таким чином, можливо при використанні того самого методу (групи методів). Більше того, не всі текстури добре розрізняються за розміром фракталу. У зв'язку з цим перш, ніж вносити в систему ознак розмір фракталу необхідно оцінити фрактальність текстури.

Оцінювання фрактальності текстури здійснюється на основі обраного методу оцінювання розміру фракталу. Оскільки розмір фракталу обчислюється через оцінку вибіркової регресії, то природно оцінювати фрактальність текстури за коефіцієнтом кореляції між логарифмом випадкової величини й логарифмом заданої функції кроку. При цьому ухвалення рішення про фрактальність текстури можна будувати таким чином:

1. Побудувати остежність коефіцієнта кореляції від кроку; значення кроку, при якому функція має максимум, є максимальним кроком у заданому діапазоні кроків, при оцінюванні розміру фракталу;

2. Не враховувати оцінку розміру фракталу при низькому коефіцієнті кореляції в тих методах, де використовується оцінка фракталу як середнє значення в серії експериментів;

3. Не вносити розмір фракталу в систему ознак для сегментації текстур при значеннях коефіцієнта кореляції < 0,7.

Оцінка фрактальності текстури є важливою характеристикою при сегментації за розміром фракталу.

Поширення фрактального опису пояснюється тим, що більшість просторових систем у природі є нерегулярним і фрагментарним, форма цих систем погано піддається опису апаратом евклідової геометрії.

Наприклад, берегова лінія острова не пряма й не кругла, і ніяка інша класична крива не може служити для опису й пояснення її форми без надмірної штучності й ускладнення.

Фрактальні структури є одним із різновидів текстур, де деталізація зображення досягається поданням об'єкту подібними меншої величини.

Деякі динамічні текстури, наприклад поверхні лісу і хвиль води, хмари, пористі мінерали, метало-структури, можуть бути подані за допомогою фрактальної екстраполяції. Суть фрактальних методів в задачах розпізнавання об'єктів викладена нижче. Обриси штучних об'єктів - танків, автомобілів, створюються лініями, що описуються рівняннями цілого порядку. Природні об'єкти - рельєф, дерева - фрактальні, тобто мають фрактальну розмірність. Використовуючи цю властивість за допомогою фрактальної апроксимації об'єктів зображення можна створити систему розпізнавання образів. Така система не бачить кущ, але добре розпізнає штучний об'єкт, схований за кущем. Основною перевагою даного методу над іншими є те, що він не чутливий до завад. На результат розпізнавання не впливає колір та контрастність об'єкта відносно до фону, впливає лише площа, яку займає шуканий об'єкт на зображенні. В цьому полягає недолік даного методу - за допомогою фрактального аналізу можна розпізнавати об'єкти, що за розміром порівнянні зі структурою елементів фону.

В основному фрактали ділять на геометричні (рис. 2.1), алгебраїчні й стохастичні. Однак існують і інші класифікації: рукотворні й природні. До рукотворних належать ті фрактали, які були винайдені вченими, вони при будь-якому масштабі мають фрактальні властивості. На природні фрактали накладається обмеження на область існування - тобто максимальний і мінімальний розмір, при яких у об'єкта спостерігаються фрактальні властивості.

Для побудови алгебраїчних фракталів (рис. 2.2) використовуються ітерації нелінійних відображень, що задаються простими алгебраїчними формулами. Найбільш вивчений двовимірний випадок. Нелінійні динамічні системи можуть мати декілька стійких станів.



Рисунок 2.1 Приклади геометричних фракталів та обрахунок їх фрактальної розмірності

Рисунок 2.2 Приклад алгебраїчного фракталу. Множина Жюліа

Кожний стійкий стан (атрактор) має деяку ділянку початкових станів, при яких система обов'язково в нього перейде. Таким чином, фазовий простір розбивається на області притягання атракторів.

Якщо фазовим є двовимірний простір, то, зафарбовуючи області притягання різними кольорами, можна одержати кольоровий фазовий портрет цієї системи (ітераційного процесу). Змінюючи алгоритм вибору кольору, можна одержати складні фрактальні картини з вигадливими багатобарвними візерунками. Несподіванкою для математиків стала можливість за допомогою примітивних алгоритмів породжувати дуже складні нетривіальні структури. Приклади алгебраїчних фракталів:

- Множина Мандельброта,

- Множина Жюліа,

- Басейни Ньютона,

- Біоморфи.

Геометричні фрактали застосовуються для одержання зображень дерев, кущів, берегових ліній тощо. Алгебраїчні та стохастичні - при побудові ландшафтів, поверхні морів, моделей біологічних об'єктів та інше.

З математичної точки зору, фрактал - це, передусім, множина з дробовою розмірністю (fractional dimension). Ми добре уявляємо собі, що точка має розмірність 0, коло та відрізок - розмірність 1, куб та сфера - 2. З одновимірними об'єктами ми пов'язуємо поняття довжини, з двовимірними - площі і т.д. Але як можна уявити собі множину з розмірністю 3/2? Для цього необхідно дещо проміжне між довжиною та площиною, і якщо довжину умовно назвати 1-мірою, а площу - 2-мірою, то необхідна (3/2)-міра. Хаусдорф визначив таку б-міру для будь-якої і на цій основі кожній множині в евклідовому просторі надав у відповідність число. Для пояснення фрактальної розмірності необхідно ввести поняття топологічної розмірності. Під топологічною розмірністю множини в лінійному просторі розуміють число лінійно неостежних координат в просторі. Фрактальна розмірність множини - розмірність того простору, який повністю заповнюється множиною. Для зв'язку фрактальної та топологічної розмірності використовують показник Херста Н, який обчислюється за формулою . Ідеї Хаусдорфа були розвинуті А.С. Безіковичем. В наступні роки розмірність Хаусдорфа-Безіковича отримала застосування в деяких розділах математики, але нічого не передбачувало їй тієї популярності цього поняття за межами математики, яка спостерігається тепер. Частково цьому допомогла наукова діяльність Б. Мандельброта, який в своїх книгах привів яскраві приклади застосування фракталів для пояснення деяких природних явищ. Тобто, фрактальна розмірність, як правило, є невід'ємним нецілим числом, яке показує деяким чином геометричну складність об'єкта.