Достатні умови керованості динамічної системи
Математична постановка задач пошуку умов повної керованості в лінійних стаціонарних динамічних системах керування. Представлення систем диференційних рівнянь управління в просторі станів. Достатні умови в критеріях повної керованості Е. Гільберта.
| Рубрика | Математика |
| Вид | дипломная работа |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 16.06.2013 |
| Размер файла | 2,0 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
> C1:= <<3,2>|<-2,1>>;
> Rank(C1);
> A2:= <<1,3>|<2,2>>;
> Rank(A2);
> B2:= <<1,2>|<5,1>>;
> Rank(B2);
> C2:= <<4>|<3>>;
> Rank(C2);
> A3:= <<0,2>|<1,3>>;
> Rank(A3);
> B3:= <<0,4>>;
> Rank(B3);
> C3:= <<1>|<0>>;
> Rank(C3);
3. Досліджуємо спостережуваність і керованість кожної системи, для чого побудуємо відповідні матриці й порахуємо їхні ранги (функція пакету MATLAB).
Видно, що у всіх випадках ранги матриць керованості й спостережуваності збігаються з розмірностями простору станів (у кожній окремій системі в просторі станів 2 змінних - x та y, а також керуючий вплив u).
Пакет MATLAB дозволяє провести дослідження керованості не тільки окремих ланцюгів динамічної системи, але і дослідження спостережуваності і керованості з'єднання окремих підсистем в інтегровану динамічну систему.
Одержимо систему, обумовлену з'єднанням. Для коректного використання функції connect уведемо додаткову систему, передатна функція якої дорівнює 1 (рис 3.15.).
Рис. 3.15. Еквівалентна схема
>> s4 = tf(1)
Transfer function: 1
>> sys=append (s1, s2, s3, s4);
>> Q=[2 -4 5; 3 1 0; 4 2 0; 5 2 0];
>> in=[1 5];
>> out=[3 4];
>> s_com=connect (sys, Q, in, out);
Звертаючись до даних об'єкта, можна одержати матриці А, В, С:
>> A=s_com.A;
>> B=s_com.B;
>> C=s_com.C;
Обчислимо ранги матриць спостережуваності й керованості підсумкової системи (в системі 6 змінних x1, x2, x3 та y1, y2, y3):
>> rank (ctrb(A, B))
ans = 6
>> rank (obsv(A, C))
ans = 6
Результати показують, що кількість змінних параметрів зведеної системи =6, що дорівнює рангу матриці зведеної системи =6, тобто система керована й спостережувана.
5. Програмний комплекс для ПЕОМ - пакет MAPLE 11 [82].
Пакет MAPLE 11 виконує всі види матричних операцій, які передбачені попереднім пакетом MATLAB 7.11, тобто операції необхідні для розрахунків критеріїв Гільберта та Калмана. Але одночасно програмні блоки пакету MAPLE 11 дозволяють формувати стрічкові матриці, які застосовуються для розрахунку критеріїв Місріханова.
Крім того, основною перевагою пакету MAPLE 11 над пакетом MATLAB 7.11 є наочність представлення результатів розрахунків в стандартній математичній системі запису матриць.
Безсумнівно, що унікальною можливістю системи Maple, як і інших систем комп'ютерної алгебри, є можливість рішення задач лінійної алгебри в символьному (формульному, аналітичному) виді. Пакет рішення задач лінійної алгебри linalg є одним із самих великих і потужних пакетів в області рішення задач лінійної алгебри. Для підключення пакету використовується команда:
> with(linalg);
Найбільш уживані функції матричних операцій пакета linalg, які використовуються практично при розрахунках критеріїв керованості та спостережуваності динамічних лінійних систем наступні:
* augment - поєднує дві або більше матриці по горизонталі;
* band - створює стрічкову матрицю;
* BlockDiagonal - створює блок-діагональну матрицю;
* blockmatrix - створює блок-матрицю;
* charmat - створює характеристичну матрицю (charmat (M, v) матриця, що обчислюється як v E-М);
* charpoly - повертає характеристичний поліном матриці;
* companion - обчислює супровідну матрицю, асоційовану з поліномом;
* cond - обчислює число обумовленості матриці (cond(M) є величина norm(M)•norm (M-l));
* definite - тест на позитивну (негативну) визначеність матриці;
* diag - створює блок-діагональну матрицю;
* eigenvals - обчислює власні значення матриці;
* eigenvects - обчислює власні вектори матриці;
* hilbert - створює матрицю Гільберта;
* iszero - перевіряє чи є матриця нуль-матрицею;
* JordanBlock - повертає блок-матрицю Жордана;
* leastsqrs - рішення рівнянь по методу найменших квадратів;
* linsolve - рішення лінійних рівнянь;
* minpoly - обчислює мінімальний поліном матриці;
* multiply - перемножування матриць або матриці й вектора;
* ratform - обчислює раціональну канонічну форму;
* rref - реалізує перетворення Гаусса-Жордана матриці;
Операції зі структурою окремого вектора V і матриці М:
* minor (M, i, j) - повертає мінор матриці М для елемента з індексами i і j;
Основні векторні й матричні операції:
* concat (M1, M2) - повертає об'єднану матрицю з горизонтальним злиттям матриць М1 і М2;
* matadd (A, B) і evalm (A+B) - повертає суму матриць А и В;
* multiply (A, B) і evalm (A&*B) - повертає добуток матриць А и В;
* adjoint(M) або adj(M) - повертає приєднану матрицю, таку, що M adj(M) дає діагональну матрицю, визначник якої є det(M);
* charpoly (M, lambda) - повертає характеристичний поліном матриці М щодо заданої змінної lambda;
* det(M) - повертає детермінант (визначник) матриці М;
* Eigenvals (M, vector) - інертна форма функції, що повертає власні значення матриці М и (при вказівці необов'язкового параметра vector) відповідні їм власні вектори;
* jordan(M) - повертає матрицю М у формі Жордана;
* rank(M) - повертає ранг матриці М;
* transpose(M) - повертає транспоновану матрицю М;
* inverse(M) або evalm (1/M) - повертає матрицю, зворотну до М;
У нових реалізаціях систем Maple була зроблена ставка на використання давно апробованих швидких алгоритмів лінійної алгебри, запропонованих твор-цями Number Algorithm Group (NAG). Ці алгоритми здавна застосовуються на великих ЕОМ і суперкомп'ютерах, забезпечуючи прискорення чисельних матричних операцій від декількох разів до декількох десятків разів. Їхнє застосування забезпечує ефективне використання систем символьної математики в рішенні задач, що зводяться до задач лінійної алгебри.
В Maple 9.5 - 11 використання алгоритмів NAG реалізується пакетом LinearAlgebra. Для його завантаження використовуються наступні команди (файл NAG):
> restart; with(LinearAlgebra):
> infolevel[LinearAlgebra]:=1;
В дипломному проекті при застосуванні пакету Maple 11 застосовувались наступні матричні операції:
а) введення матриці
> A:=matrix([[4,0,5], [0,1, - 6], [3,0,4]]);
б) Визначники й мінори. Ранг і слід матриці.
Визначник матриці А обчислюється командою det(A). Команда minor (A, i, j) повертає матрицю, отриману з вихідної матриці А викреслюванням i-ой рядка й j-го стовпця. Ранг матриці А обчислюється командою rank(A). Слід матриці А, дорівнює сумі її діагональних елементів, обчислюється командою trace(A).
в) Зворотна й транспонована матриці.
Зворотну матрицю А1 для невирожденої матриці А, можна обчислити двома командами:
- evalm (1/A);
- inverse(A).
Транспоновану матрицю Аt можна обчислити командою transpose(A).
г) Власні числа й власні вектори матриці.
Для знаходження власних значень матриці А використовується команда eigenvalues(A). Для знаходження власних векторів матриці А використовується команда eigenvectors(A). У результаті виконання цієї команди будуть отримані власні числа, їхня кратність і відповідні власні вектори.
д) Розрахунок характеристичного і мінімального багаточленів матриці.
Для обчислення характеристичного багаточлена матриці A використовується команда charpoly (A, lambda). Мінімальний багаточлен матриці А можна знайти за допомогою команди minpoly (A, lambda).
е) Канонічні й спеціальні види матриці.
Привести матрицю А до канонічної форми Жордана можна командою jordan(A). Якщо необхідно знати матрицю, що здійснює подобу між заданою матрицею А и її жордановой формою J, то варто набрати jordan (A, `P'). Матриця P у цьому випадку шукана й задовольняє умові: .
Рис. 3. 16. Приклад розрахунку ранга проблемної матриці Місріханова (підрозділ 2.3 - формули (2.3.11-2.3.14)) в пакеті MAPLE 11
Висновки
Проведене згідно завданню на дипломний проект узагальнення сутності та математичної постановки задач пошуку умов повної керованості в лінійних стаціонарних динамічних системах керування довело, що:
1. Задача пошуку умов керованості виконується з застосуванням представлення руху динамічної системи в багатовимірному просторі станів керування, в якому створюється модель динамічної системи, яка включає набір змінних входу, виходу й стану, зв'язаних між собою диференціальними рівняннями першого порядку в матричній формі;
2. Стаціонарна лінійна система називається цілком керованою, якщо вибором керуючого впливу u(t) на інтервалі часу [t0, t1] можна перевести систему з будь-якого початкового стану х(t0) у довільний заздалегідь заданий кінцевий стан х(t1). Система називається повністю керованою, якщо все компоненти її вектора станів керовані;
3. Клас лінійних керованих систем з постійними коефіцієнтами (стаціонарні лінійні динамічні системи) є єдиний, для якого практично всі питання теорії управління піддаються загальному аналізу в теорії керованості;
4. Основні проблеми дослідження критеріїв часткової та повної керованості лінійних стаціонарних динамічних систем були викладені в роботах математиків Е.Гільберта (1958), Р.В. Гамкрелідзе (1958), Л.С. Потрягіна (1959), Р. Калмана (1961), Н.Н. Красовського (1968), Д. Браммера (1972), Ю.М. Семенова (1978, 1990), Р. Біанчіні (1982).
5. Нова хвиля досліджень критеріїв керованості лінійних стаціонарних динамічних систем відродилась у 2003-2005 рр. у роботах М. Місріханова, В. Рябченка та О. Бударгіна при дослідженні великих MIMO - систем динамічного керування зведеними енергосистемами Росії, в результаті чого був обґрунтований підхід до впровадження стрічкових критеріїв керованості, обумовлених використанням перетворених матриць керування з застосуванням апарату «лівих» та «правих» дільників нуля матриці керування найвищого рангу.
В аналітичній частині дипломного проекту були досліджені основні визначення, теореми та практичні алгоритми розрахунків критеріїв повної керованості стаціонарних лінійних динамічних систем наступних авторів:
1. Критерій відсутності «нульових» строк в канонізованій матриці керування динамічної системи Е. Гільберта (1958);
2. Критерій рангу матриці керованості динамічної системи Р. Калмана (1961);
3. Критерій рангу стрічкової матриці керованості динамічної системи М. Місріханова (2005).
В проектній частині диплома в якості програмно-інструментальних засобів виконання матричних операцій при реалізації алгоритмів визначення критеріїв керованості застосовані наступні:
1. Російськомовний програмно-графічний калькулятор Microsoft Mathema-tics 4.0;
2. Російськомовний спеціалізований матричний онлайн Інтернет-калькулятор http://www.matcabi.net/matrix_d.php («Кабінет математики онлайн»);
3. Російськомовний спеціалізований матричний онлайн Інтернет-калькулятор http://matrixcalc.org/ («Matrix calculator»);
4. Англомовний професійний програмний комплекс для математичних розрахунків на ПЕОМ - пакет MATLAB 7.11;
5. Англомовний професійний програмний комплекс для математичних розрахунків на ПЕОМ - пакет MAPLE 11.
Список джерел
1. Абденова Г.А. К проблеме анализа характеристик моделей систем в форме пространства состояний / Г.А. Абденова // Сборник научных трудов НГТУ. - 2010. - №3 (61) - С. 3-10
2. Александрова А.Т. Оптимальні та адаптивні системи: Навч. посібник для вузів / А.Т. Александрова. - М.: Енергоатомізвид, 1987. - 256 с.
3. Андриевский Б.Р. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB / Б.Р. Андриевский, А.Л. Фрадков. - СПб.: Наука, 1999. - 274 с.
4. Бедрій Я.І. Безпека життєдіяльності. Навчальний посібник / Я.І. Бедрій. - Київ: Кондор, 2009. - 286 с.
5. Бублик В.Н. Основы теории управления /В.Н. Бублик, Н.Ф. Кириченко. - К.: «Вища школа», 1975. - 328 с.
6. Бударгин О.М. «Новые эффективные критерии управляемости и наблю-даемости для систем большой размерности»/ О.М. Бударгин, М.Ш. Мисриханов, В.Н. Рябченко // Проблемы управления, 2012, №1. - С. 21-25
7. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость / А.А. Воронов. - М.: Наука, 1989. - 336 с.
8. Гамкрелидзе Р.В. Теория оптимальности по быстродействию процессов в линейных системах / Р.В. Гамкрелидзе. // Известия АН СССР (сер. мат.). - 1958. Т.22, вып. 4. - С. 449 - 474
9. Гроп Д. Методы идентификации систем / Д. Гроп. - М.: Мир, 1979. - 304 с.
10. Державні будівельні норми України, «Захисні заходи електробезпеки в електроустановках будинків і споруд» (ДБН В.2.5-27-2006) // Введені Наказом Міністерства будівництва, архітектури та житлово-комунального господарства України від 29 березня 2006 р. №97 з 1 жовтня 2006 р., 2006. - [Електронний документ] - режим доступу: http://www.mebius.ua/files/normativy /1004621.doc
11. Державні будівельні норми України СHиП 2.09.02-85 « Производствен-ные здания» // Наказом Держбуду України від 21.10. 2004 року №195 набуття чинності встановлено з 1 квітня 2005 року - [Електронний документ] - режим доступу: http://info-build.com.ua/normativ/detail.php? ID=40964
12. Державні будівельні норми України ДБН В.2.2-28:2010 «Будинки і споруди. Будинки адміністративного та побутового призначення» - [Електронний документ] - режим доступу: http://dbn.at.ua/load/normativy/dbn/1-1-0-806
13. Державні будівельні норми «Пожежна безпека об'єктів будівництва», затверджені наказом Держбуду України від 03.12.2002 №88 (ДБН В.1.1.7-2002) - [Електронний документ] - режим доступу: http://document.ua/zahist-vid-pozhezhi.-pozhezhna-bezpeka-obektiv-budivnictva-nor300.html
14. Державні санітарні правила і норми. ДСанПіН 3.3.2-007-98. Гігієнічні вимоги до організації роботи з візуальними дісплейними терміналами електронно-обчислювальних машин // Наказ Міністерства охорони здоров'я України від 10.12.1998 - [Електронний документ] - режим доступу: http://www.budinfo.org.ua/ doc/1809115.jsp
15. Деруссо П. Пространство состояний в теории управления/ П. Деруссо, Р. Рой, С. Клоуз. - М.: Наука, 1970. -620 с.
16. Жидецький В.Ц. Основи охорони праці: Підручник. - 4-те вид., пере-роб. і доп. Затверджено МОН / В.Ц. Жидецький. - Київ, Знання, 2010. - 375 с.
17. Закон України «Про охорону праці» від 14 жовтня 1992 року N2694-XII // Із змінами і доповненнями, внесеними Законами України станом на №3458-VI від 02.06.2011 - [Електронний документ].-режим доступу: - http://zakon1.rada.gov. ua/ laws/show/2694-12
18. Зыбин Е.Ю. «Рекурсивные тесты на управляемость и наблюдаемость больших динамических систем» / Е.Ю. Зыбин, М.Ш. Мисриханов, В.Н. Рябченко - Автоматика и телемеханика, 2006, №5. - С. 119-132
19. Калман Р. Очерки по математической теории систем / Р. Калман, П. Фалб, М. Арбиб. - М.: Мир, 1971. - 400 с.
20. Кац М.Д. Математические основы теории управления: учебное пособие для практической и самостоятельной работы / М.Д. Кац. - Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2010. - 107 с.
21. Квакернаак Х. Линейные оптимальне системы управления / Х. Квакернаак, Р. Сиван. - М.: Мир, 1977 - 246 с.
22. Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления. Линейные системы / Д.П. Ким, Н.Д. Дмитриева. - М.: Физматлит, 2007. - 166 с.
23. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Линейные системы. Т. 1 / Д.П. Ким. - М.: Физматлит, 2003. - 288 с.
24. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т. 2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы: Учеб. Пособие / Д.П. Ким. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 464 с.
25. Кирсанов В.В. Оптимальные системы управления: Часть I / В.В. Кир-санов, Г.С. Щербина, А.П. Егоров. - Днепропетровск, НМетАУ, 2005. - 85 с.
26. Кирсанов В.В. Оптимальные системы управления: Часть II / В.В. Кирса-нов, Г.С. Щербина, А.П. Егоров. - Днепропетровск, НМетАУ, 2007. - 106 с.
27. Конспект лекцій з дисципліни «Основи теорії систем і управління» (для студентів 3 курсу всіх форм навчання напряму підготовки 6.070101 «Транспортні технології») / Авт.: Доля В.К., Прасоленко О.В. - Харків: ХНАМГ, 2009. - 86 с.
28. Конспект лекцій з курсу «Теорія автоматичного керування» (для студентів 3 курсу денної і 4 курсу заочної форм навчання спеціальності 6.090603 «Електротехнічні системи електроспоживання») / Авт.: Абраменко І.Г., Абрамен-ко Д.І. - Харків: ХНАМГ, 2008. - 178 с.
29. Корнеев Н.В. Теория автоматического управления с практикумом: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / Н.В. Корнеев, Ю.С. Кустарев, Ю.Я Морговский. - М.: Издательский центр «Академия», 2008. - 224 с.
30. Краснопрошина А.А. Современный анализ систем управления с применением MATLAB/Simulink, Control System: Учеб. Пособие / А.А. Краснопрошина, Н.Б. Репникова, А.А. Ильченко. - К.: Корнейчук, 1999. - 144 с.
31. Красовский Н.Н. Теория управления движением / Н.Н. Красовский. - М.: Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1968. - 476 с.
32. Математические основы теории автоматического управления / В.А. Иванов, В.С. Медведев, Б.К. Чемоданов, А.С. Ющенко; Под ред. Б.К. Чемоданова М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, Т.1, 2006. 552 с. Т.2, 2008. - 616 с. Т. 2, 2008. - 616 с.
33. Меньшиков Ю.Л. Идентификация моделей внешних воздействий / Ю.Л. Меньшиков, Ю.В. Поляков. - Днепропетровск, Вид-во «Наука та освіта», 2009. - 188 с.
34. Меньшиков Ю.Л. О критериях управляемости, наблюдаемости и функциональной воспроизводимости для некоторых классов систем управления // Ю.Л. Меньшиков. - Днепропетровский національный университет, 2012 (в печати)
35. Методы классической и современной теории автоматического управ-ления: Учебник в 5-и тт.; 2-е изд., перераб. и доп. Т1: Математические модели, динамические характеристики и анализ систем автоматического управления / под ред. К.А. Пупкова и Н.Д. Егупова. - М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 656 с.
36. Методы классической и современной теории автоматического управ-ления: Учебник в 5-и тт.; 2-е изд., перераб. и доп. Т2: Статистическая динамика и идентификация систем автоматического управления / под ред. К.А. Пупкова и Н.Д. Егупова. - М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 646 с.
37. Методы классической и современной теории автоматического управ-ления: Учебник в 5-и тт.; 2-е изд., перераб. и доп. Т5: Методы современной теории систем автоматического управления / под ред. К.А. Пупкова и Н.Д. Егупова. - М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 784 с.
38. Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Линейные системы / И.В. Мирошник. - М.: СПб.: Питер, 2005. - 336 с.
39. Мисриханов М.Ш. Ленточные критерии управляемости и наблюдае-мости линейных динамических систем/ М.Ш. Мисриханов // Автоматика и телемеханика, 2005, №12. - С. 93-104
40. Митришкин Ю.В. Линейные модели управляемых динамических систем. Часть 1. Уравнения «вход-выход» и «вход-состояние-выход» / Ю.В. Митришкин. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. - 222 с.
41. НАПБ Б.03.002-2007 Норми визначення категорій приміщень, будинків та зовнішніх установок за вибухопожеженою та пожежною небезпекою (взамен ОНТП -86) // Наказ МНС України №833 від 03.12.2007 - [Електронний документ] - режим доступу: http://document.ua/normi-viznachennja-kategorii-primishen-budinkiv-ta-zovnishni-nor7322.html
42. Никульчев Е.В. Пособие «Control System Toolbox» Описание динами-ческих систем в пространстве состояний // Всероссийская научная конференция «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB» (май 2011 г.)) - http://matlab.exponenta.ru/mltb/default.php
43. Никульчев Е.В. Практикум по теории управления в среде MATLAB: Учебное пособие. / Е.В. Никульчев. - М.: МГАПИ, 2002. - 88 с.
44. НПАОП 0.00-1.28-10 Правила охорони праці під час експлуатації електронно-обчислювальних машин // Наказ Державного комітету України з промислової безпеки, охорони праці та гірничого нагляду від 26.03.2010 №65 - [Електронний документ] - режим доступу: http://document.ua/pravila-ohoroni-praci-pid-chas-ekspluataciyi-elektronno-obch-nor17970.html
45. Основи охорони праці: Підручник. 21 ге видання, доповнене та пере-роблене. / К.Н. Ткачук, М.О. Халімовський, В.В. Зацарний, Д.В. Зеркалов, Р.В. Сабарно, О. І. Полукаров, В.С. Коз'яков, Л.О. Мітюк. За ред. К.Н. Ткачука і М.О. Халімовського. - К.: Основа, 2006 - 448 с.
46. Панасик О.А. Критерии полной управляемости и полной достижимости линейных стационарных алгебро-дифференциальных систем / О.А. Панасик // Весн. Гродзенскага дзярж. ун-та. Сер. 2, Матэматыка. Фiзiка. Iнфарматыка, вылiчальная тэхнiка i упрауленне. Бiялогiя., 2008. №1 (64). - С. 16 - 22
47. Піскунова Л.Е. Безпека життєдіяльності // Л.Е. Піскунова, В.А. При-липко, Т.О. Зубок. - К.: Академія, 2012. - 224 с.
48. Понтрягин Л.С. Оптимальные процессы регулирования / Л.С. Понтря-гин. - УМН. - 1959. - Т.14, №1. - С. 3-20
49. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления: учеб. пособие для втузов / Е.П. Попов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука. 1989. - 345 с.
50. Правила безпечної експлуатації електроустановок споживачів, затверджені наказом Міністерства енергетики та вугільної промисловості від 13.02.2012 №91 - [Електронний документ] - режим доступу: http://safety-rtc.com/view_post.php? id=76
51. Правила пожежної безпеки в Україні (наказ МНС України від 19.10.2004 №126) // (Із змінами, внесеними згідно з Наказом Міністерства надзвичайних ситуацій №537 від 24.02.2012) - [Електронний документ] - режим доступу: http://zakon2.rada.gov.ua/laws/show/z1410-04
52. Пузанов В.П. Лекции по курсу «Теория линейных систем автома-тического управления и регулирования» / В.П. Пузанов. - Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, 2004. - 97 с.
53. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления / Под ред. В.А. Бесекерского. 5-е изд., перераб. и доп.-М.: Наука, 1978. - 510 с.
54. Семенов Ю.М. О строении множества почти мгновенной нуль-дости-жимости / Ю.М. Семенов // Дифференциальные уравнения. - 1990. - Т. 26, №6. - С. 989 - 997
55. Семенов Ю.М. Введение в теорию достижимости линейных систем / Ю.М. Семенов. - Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2006. - 252 c.
56. Семенов Ю.М. Об одном критерии полной управляемости неавтоном-ных линейных систем / Ю.М. Семенов // Дифференциальные уравнения. - 2011. - Т. 47, №11. - С. 1646-1652
57. СНіП 2.04.05-91 «Опалення, вентиляція та кондиціонування» // Рішення Мінбуду України від 13.05.2005 №26 «Про проект Зміни №4 СНиП 2.04.05-91 «Опалення, вентиляція та кондиціювання» - - [Електронний документ] - режим доступу: http://www.budinfo.org.ua/doc/1811315.jsp
58. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского. - М., Наука, 1987. - 711 с.
59. Теория автоматического управления: Учебник для вузов. В 2-х ч. Ч. 1. Теория линейных систем автоматического управления / Н.А. Бабаков, А.А. Воронов, А.А. Воронова и др.; Под ред. А.А. Воронова. М.: Высш. шк., 1986. - 368 с.
60. Тимченко В.Л. Дослідження керованості лінійних нестаціонарних систем / В.Л. Тимченко // Наукові праці, Випуск 93, Том 106 «Комп'ютерні технології», 2009. - С. 159 -166
61. Тыртышников Е.Е. Матричный анализ и линейная алгебра / Е.Е. Тыртышников. - М.: Физматлит, 2007. - 478 с.
62. Ушаков А.В. Математические основы теории систем: элементы теории и практикум./ А.В. Ушаков, В.В. Хабалов, Н.А. Дударенко; Под ред. А.В. Ушакова. - СПб: СПбГУИТМО, 2007. - 174 с.
63. Фельзер М.С. Обчислення керованості для лінійних стаціонарних систем /М.С. Фельзер // Електроніка та системи управління, 2011, №2 (28) - С. 36-38
64. Філіпс Ч. Системи управління зі зворотним зв'язком / Ч.Філіпс, Р. Харбор. - М.: Лабораторія базових знань, 2001. - 616 с.
65. Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем / Я.З. Цыпкин. - М.: Наука, 1977. -560 с.
керованість рівняння гільберт математичний
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Класифікація та типи чисельних методів розв’язування систем лінійних рівнянь і обернення звернення матриць точні, ітераційні та комбіновані. Їх порівняльна характеристика та умови використання в окремих випадках. Вектори та операції над ними, норми.
презентация [85,6 K], добавлен 06.02.2014Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса. Еквівалентні перетворення системи, їх виконання як елемент методів розв’язування системи рівнянь. Базисні та вільні змінні. Лінійна та фундаментальна комбінації розв’язків, таблиці коефіцієнтів.
контрольная работа [170,2 K], добавлен 16.05.2010Визначення системи лінійних рівнянь та її розв’язання. Поняття рангу матриці, правило Крамера та види перетворень з матрицею. Способи знайдення оберненої матриці А–1 до невиродженої матриці А. Контрольні запитання та приклади розв’язування задач.
задача [73,5 K], добавлен 25.03.2011Історія створення теорії алгебраїчних рівнянь. Сутність системи лінійних алгебраїчних рівнянь в лінійній алгебрі. Повна характеристика методів розв'язання рівнянь: точні, ітераційні та ймовірнісні. Особливості теорем Гауса-Жордана та Габріеля Крамера.
реферат [543,7 K], добавлен 23.04.2015Функція двох змінних, методика визначення її головних параметрів. Поняття екстремуму функцій двох змінних, необхідні та достатні умови її існування. Особливості визначення екстремуму функції за деяких умов, які обмежують область зміни аргументів.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 22.10.2014Системи лінійних алгебраїчних рівнянь, головні означення. Коротка характеристика головних особливостей матричного способу, методу Жордано-Гаусса. Формули Крамера, теорема Кронекера-Капеллі. Практичний приклад розв’язання однорідної системи рівнянь.
курсовая работа [690,9 K], добавлен 25.04.2013Історія виникнення графів, основні поняття теорії та різновиди: повні, регулярні, платонові, двочастинні. Маршрути, ланцюги і цикли. Означення гамільтонового та напівгамільтонового графа, достатні умови. Задача побудови гамільтонових циклів у графі.
курсовая работа [327,7 K], добавлен 22.01.2013Дослідження системи лінійних алгебраїчних рівнянь на стійкість. Одержання характеристичного многочлена методом Левур’є, в основу якого покладено обчислювання слідів степенів матриці А. Приклад перевірки на стійкість систему Аx=B за допомогою програми.
курсовая работа [33,0 K], добавлен 29.08.2010Поняття приватного інтеграла. Побудова квадратичних двовимірних стаціонарних систем із приватним інтегралом у вигляді параболи, окружності або гіперболи. Умови існування в системи двох часток інтегралів. Якісне дослідження побудованих класів систем.
дипломная работа [290,0 K], добавлен 14.01.2011Лінійні діофантові рівняння. Невизначені рівняння вищих порядків. Невизначене рівняння Ферма. Приклади розв’язання лінійних діофантових рівнянь та системи лінійних діофантових рівнянь. Алгоритми знаходження всіх цілочисельних розв’язків рівнянь.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 29.12.2010
