Высшая математика для менеджеров

Ф(x, y, с₁, с₂,..., c_n) = 0,

то будем называть такое соотношение общим интегралом уравнения (9.1).

В противовес общему решению каждое конкретное решение, т. е. каждая конкретная функция, удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению и не зависящая от произвольных постоянных, называется частным решением, или частным интегралом. Частные решения (интегралы) получаются из общего, когда постоянным с₁, с₂,..., c_n придают конкретные числовые значения.

График каждого частного решения называется интегральной кривой. Поэтому общее решение, содержащее все частные решения, представляет собой семейство интегральных кривых. В случае уравнения первого порядка это семейство зависит от одной произвольной постоянной, в случае уравнения n-го порядка - от n произвольных постоянных.

В задаче Коши (начальной задаче) требуется найти частное решение для уравнения n-го порядка, удовлетворяющее n начальным условиям:

y(x_o) = y_o, y(x_o) = y_o,..., y^(n-1)(x_o) = y_o^(n-1),

по которым определяются n постоянных с₁, с₂,..., c_n. Дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет общий вид

F(x, y, y) = 0,

или вид, разрешенный относительно y:

y = f(x, y).

Пример 3.46. Найти общее решение уравнения y = 3x.

Решение. Интегрируя, находим

y = 3x dx, y = 3x²/2 + C,

где С - произвольная постоянная. Придавая С конкретные числовые значения, будем получать частные решения, например,

y = 3x²/2 (С= 0),

y = 3x²/2 + 5 (С = 5)

и т.д.

Пример 3.47. Рассмотрим процесс возрастания денежной суммы, положенной в банк при условии начисления 100 r сложных процентов в год. Пусть Y_o обозначает начальную денежную сумму, а Y_x - денежную сумму по истечении x лет. Если бы проценты начислялись один раз в год, мы бы имели

Y_x+1 = (1+r)Y_x,

где x = 0, 1, 2, 3,.... Если бы проценты начислялись два раза в год (по истечении каждого полугодия), то мы имели бы

Y_x+1/2 = (1 + r/2)Y_x,

где x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Вообще, если проценты начисляются n раз в год и x принимает последовательно значения 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., тогда

Y_x+1/n = (1 + r/n)Y_x,

то есть

.

Если обозначить 1/n = h, то предыдущее равенство перепишется так:

.

Неограниченно увеличивая n (при n, h0) мы в пределе приходим к процессу возрастания денежной суммы при непрерывном начислении процентов:

,

то есть при непрерывном изменении x закон возрастания выражен дифференциальным уравнением 1- го порядка. Отметим для четкости, что Y_x - неизвестная функция, x - независимая переменная, r - постоянная. Для решения данного уравнения перепишем его следующим образом:

откуда Y_x = e ^{r x+C}, или Y_x = P e ^{r x,} где через P обозначено e^C.

Учитывая начальное условие Y(0) = Y_o, найдем P: Y_o = Pe^o, следовательно, Y_o = P. Решение имеет вид:

Y_x =Y_o e ^{r x}.

Рассмотрим еще одну экономическую задачу. Простейшие макроэкономические модели также приводят к линейным дифференциальным уравнениям 1-го порядка, описывающим изменение дохода или выпуска продукции Y как функций времени.

Пример 3.48. Пусть национальный доход Y возрастает со скоростью, пропорциональной его величине:

,

и пусть, кроме того, дефицит в расходах правительства прямо пропорционален доходу Y (при коэффициенте пропорциональности q). Дефицит в расходах приводит к возрастанию национального долга D:

dD/dt = qY.

Здесь мы считаем переменные Y и D непрерывными и дифференцируемыми функциями времени t. Пусть начальные условия имеют вид Y = Y_o и D = D_o при t = 0. Из первого уравнения мы получаем, учитывая начальные условия, Y= Y_o e ^{k t}. Подставляя Y во второе уравнение, получаем dD/dt = qY_o e ^{k t.} Общее решение этого уравнения имеет вид D = (q/ k) Y_o e ^{k t} +С, где С = const, которую мы определим из начальных условий. Подставляя начальные условия в полученное решение, мы получаем D_o = (q/ k)Y_o + С. Итак, окончательно,

D = D_o+(q/ k)Y_o (e ^{k t} -1),

то есть, национальный долг возрастает с той же относительной скоростью k, что и национальный доход.

Простейшим дифференциальным уравнением n-го порядка является уравнение

y⁽ⁿ⁾ = f(x).

Его общее решение можно получить с помощью n интегрирований.

Пример 3.49. Решить уравнение y = cos x.

Решение. Интегрируя, находим

y = cos x dx = sin x + C_1,

y = (sin x + C₁)dx = - cos x + C₁x + С_2,

y = (- cos x + C₁x +C₂)dx = - sin x + C₁x²/2 +C₂x+C₃.

Итак, общее решение

y = - sin x + C₁x²/2 +C₂x+C₃.

В математической экономике большое применение находят линейные дифференциальные уравнения, и поэтому мы рассмотрим решение таких уравнений. Дифференциальное уравнение (9.1) называется линейным, если имеет вид:

р_o(x)y⁽ⁿ⁾(x) + р₁(x)y^{(n- 1)}(x) +... + р_{n - 1}(x)y(x) + р_n(x)y(x) = f(x), (9.2)

где р_o(x), р₁(x),..., р_n(x), f(x) - данные функции. Если f(x) 0, то уравнение (9.2) называется однородным, в противном случае - неоднородным. Общее решение уравнения (9.2) есть сумма какого-либо его частного решения y(x) и общего решения соответствующего однородного уравнения:

р_o(x)y⁽ⁿ⁾(x) + р₁(x)y^{(n- 1)}(x) +... + р_{n - 1}(x)y(x) + р_n(x)y(x) = 0. (9.3)

Если коэффициенты р_o(x), р₁(x),..., р_n(x) постоянные, то уравнение (9.2) принимает вид:

р_oy⁽ⁿ⁾(x) + р₁y^{(n- 1)}(x) +... + р_{n - 1}y(x) + р_ny(x) = f(x) (9.4)

и называется линейным дифференциальным уравнением порядка n с постоянными коэффициентами.

Соответствующее уравнению (9.4) однородное уравнение выглядит так:

р_oy⁽ⁿ⁾(x) + р₁y^{(n- 1)}(x) +... + р_{n - 1}y(x) + р_ny(x) = 0. (9.5)

Без ограничения общности можно положить р_o = 1 и записать уравнение (9.5) в виде

y⁽ⁿ⁾(x) + р₁y^{(n- 1)}(x) +... + р_{n - 1}y(x) + р_ny(x) = 0. (9.6)

Решение уравнения (9.6) будем искать в виде y = e ^kx, где k - постоянная. Имеем: y = ke ^kx, y = k² e ^kx,..., y⁽ⁿ⁾ = kⁿ e ^kx_. Подставляя полученные выражения в (9.6), будем иметь:

e ^kx (kⁿ + р₁k^n-1 +... + р_n-1k + р_n) = 0.

Т.к. e ^kx 0, то

kⁿ + р₁k^n-1 +... + р_n-1k + р_n = 0. (9.7)

Равенство (9.7) есть алгебраическое уравнение с неизвестным k. Оно называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения (9.6). Характеристическое уравнение есть уравнение n-й степени, следовательно, оно имеет n корней, среди которых могут быть кратные и комплексные. Если k₁, k₂,..., k_n - действительные и различные корни уравнения (9.7), то - частные решения уравнения (9.7), а общее имеет вид

y = .

Рассмотрим подробно линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

y + рy +qy = 0. (9.8)

Его характеристическое уравнение имеет вид

k² + рk + q=0 (9.9)

и в зависимости от значения дискриминанта D = р² - 4q возможны три случая.

1. Если D>0, то корни k₁ и k₂ уравнения (9.9) действительны и различны, тогда общее решение имеет вид:

y = c₁ exр(k₁x) + c₂ exр(k₂x).

2. Если D = 0, т.е. корни k₁ и k₂ действительные и равные, то общее решение находится по формуле:

y = (c₁ + c₂x) exр (k₁x).

3. Если D<0, то корни комплексные, k₁ = + i, k₂ = - i, где i - мнимая единица. Тогда общее решение таково:

y = (c₁ cos x+c₂ sin x) exр (x).

Пример 3.50. Решить уравнение y - y = 0.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид k² - 1 = 0, корни которого k₁ = 1, k₂ = -1 действительны и различны. Общее решение:

y = c₁e ^x + c₂e ^-x.

Пример 3.51. Найти общее решение уравнения y- 4y + 4y = 0.

Решение. Характеристическое уравнение запишется в виде: k² -4k +4 = 0 или (k - 2)² = 0, т.е. имеет равные корни k₁= k₂ =2, значит, общее решение данного уравнения находится по формуле:

y = e^2x(c₁+c₂x).

Пример 3.52. Найти общее решение уравнения y+9y = 0.

Решение. Имеем следующее уравнение для нахождения k: k²+9 = 0, откуда k = 3i, = 0, = 3, значит, общее решение имеет вид:

y = c₁ cos 3x + c₂ sin 3x.

Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка находят применение при изучении, например, экономической модели паутинообразного типа с запасами товаров, в которой скорость изменения цены P зависит от величины запаса (см. о паутинообразной модели в параграфе 10). Если спрос и предложение являются линейными функциями цены, то есть

D = +aP, S =+bP,

а есть постоянная, определяющая скорость реакции (то есть изменения цены при изменении запасов товара), то процесс изменения цены описывается дифференциальным уравнением:

+ (b - a) P = ( - ).

В качестве частного решения можно взять постоянную

P =P = ( - )/(b - a),

имеющую смысл цены равновесия. Отклонение р = P -P удовлетворяет тогда однородному уравнению

+ (b - a) р = 0. (9.10)

Найдем общее решение этого уравнения. Характеристическое уравнение, в котором неизвестная обозначена через k, будет следующее:

k² + (b - a) = 0.

В обычном случае (a<0, b>0, >0) член (b - a) положителен. Введем обозначение =. Тогда корни характеристического уравнения будут k _1,2 = i . Следовательно, общее решение уравнения (9.10) имеет вид:

р = C cos (t-),

где C и представляют собой произвольные постоянные, которые определяются единственным образом, если заданы начальные условия. Следовательно, присоединив P, получим закон изменения цены во времени:

P = P+ C cos (t-).

10. Разностные уравнения

На практике простейшие разностные уравнения возникают при исследовании например величины банковского вклада. Эта величина является переменной Y_x, представляющей сумму, которая накапливается по установленному закону при целочисленных значениях аргумента x. Пусть сумма Y_o положена в банк при условии начисления 100 r сложных процентов в год. Пусть начисление процентов производится один раз в год и x обозначает число лет с момента помещения вклада (x = 0, 1, 2,...). Обозначим величину вклада по истечении x лет через Y_x. Мы получаем

Y_x = (1+r)Y_x-1.

Если начальная сумма составляет Y_o, мы приходим к задаче отыскания решения полученного разностного уравнения, подчиненного начальному условию Y_x = Y_o при x = 0. Полученное разностное уравнение содержит Y_x и значение этой переменной на один год раньше, т.е. Y_x-1; в данном случае аргумент x явно не входит в разностное уравнение.

Вообще говоря, обыкновенное разностное уравнение устанавливает связь между значениями функции Y = Y(x), рассматриваемой для ряда равноотстоящих значений аргумента x, но можно без ограничения общности считать, что искомая функция определена для равноотстоящих значений аргумента с шагом, равным единице. Таким образом, если начальное значение аргумента есть x, то ряд его равноотстоящих значений будет x, x+1, x+2,... и в обратном направлении: x, x-1, x-2,.... Соответствующие значения функции будем обозначать Y_x,Y_x+1,Y_x+2,... или Y_x, Y_x-1, Y_x-2,.... Определим так называемые разности различных порядков функции Y_x с помощью следующих формул:

Разности первого порядка

Y_x = Y_x+1 - Y_x,

Y_x+1 =Y_x+2 - Y_x+1,

Y_x+2 = Y_x+3 - Y_x+2,

... ... ... ... ...

Разности второго порядка

²Y_x= Y_x+1 - Y_x,

²Y_x+1= Y_x+2 - Y_x+1,

²Y_x+2= Y_x+3 - Y_x+2,

... ... ... ... ...

Разности третьего порядка

³Y_x= ²Y_x+1 - ²Y_x,

³Y_x+1= ²Y_x+2 - ²Y_x+1,

... ... ... ... ...

Обыкновенным разностным уравнением называется уравнение, связывающее значения одного независимого аргумента x, его функцииY_x и разностей различных порядков этой функции Y_x, ²Y_x, ³Y_x,.... Такое уравнение можно записать в общем виде следующим образом:

(x, Y_x, Y_x, ²Y_x ³Y_x, ⁿY_x) = 0, (10.1)

которое по форме аналогично дифференциальному уравнению.

Порядком разностного уравнения называется порядок наивысшей разности, входящей в это уравнение. Разностное уравнение (10.1) часто удобнее записать, пользуясь не разностями неизвестной функции, а ее значениями при последовательных значениях аргумента, то есть выразить Y_x, ²Y_x, ³Y_x,... через Y_x, Y_x+1, Y_x+2,.... Уравнение (10.1) можно привести к одной из двух форм:

(x, Y_x, Y_x+1,...,Y_x+n) = 0, (10.2)

(x, Y_x, Y_x-1,...,Y_x-n) = 0. (10.3)

Общее дискретное решение Y_x обыкновенного разностного уравнения n-го порядка представляет функцию x (x = 0, 1. 2,...), содержащую ровно n произвольных постоянных:

Y_x = Y(x, C₁, C₂,..., C_n).

Паутинообразная модель. Пусть рынок какого-либо отдельного товара характеризуется следующими функциями спроса и предложения:

D = D(P), S = S(P).

Для существования равновесия цена должна быть такой, чтобы товар на рынке был распродан, или

D(P) = S(P).

Цена равновесия P задается этим уравнением (которое может иметь множество решений), а соответствующий объем покупок-продаж, обозначаемый через X, - следующим уравнением:

X = D (P) = S(P).

Динамическая модель получается при наличии запаздывания спроса или предложения. Простейшая модель в дискретном анализе включает неизменное запаздывание или отставание предложения на один интервал:

D_t = D (P_t) и S_t = S (P_t-1).

Это может случиться, если для производства рассматриваемого товара требуется определенный период времени, выбранный за интервал. Действие модели таково: при заданном P_t-1 предшествующего периода объем предложения на рынке в текущем периоде будет S (P_t-1), и величина P_t должна установиться так, чтобы был куплен весь объем предложенного товара. Иными словами, P_t и объем покупок-продаж X_t характеризуются уравнением:

X_t = D (P_t) = S (P_t-1).

Итак, зная исходную цену P_o, с помощью этих уравнений мы можем получить значения P₁ и X_1. Затем, используя имеющуюся цену P_1, из соответствующих уравнений получим значения P₂ и X₂ и т.д. В общем изменение P_t характеризуется разностным уравнением первого порядка (одноинтер-вальное отставание):

D (P_t) = S (P_t-1).

Решение можно проиллюстрировать диаграммой, представленной на рис.5, где D и S - соответственно кривые спроса и предложения, а положение равновесия (со значениями P и X) соответствует точке их пересечения Q. Цена в начальный момент времени равна P_o. Соответствующая точка Q_o на кривой S дает объем предложения в период 1. Весь этот предложенный объем товара раскупается при цене P₁, заданной точкой Q₁ на кривой D с той же ординатой (X₁), что и Q_o. Во второй период времени движение происходит сначала по вертикали от точки Q₁ к точке на кривой S, дающей X_2, а затем по горизонтали - к точке Q₂ на кривой D. Последняя точка характеризует P₂. Продолжение этого процесса и дает график паутины, показанный на рис. 5. Цены и объемы (покупок - продаж) в последовательные периоды времени являются соответственно координатами точек Q₁, Q₂, Q₃,... на кривой спроса D. В рассматриваемом случае последовательность точек стремится к Q. При этом точки поочередно располагаются на левой и правой стороне от Q. Следовательно, и значения цены P_t стремятся к P, располагаясь поочередно по обе стороны отP. Точно так же обстоит дело и с объемами покупок - продаж (X _t).

Решение можно получить алгебраически для случая линейных функций спроса и предложения: D = +aP, S = +bP. Значения равновесия P и X будут заданы уравнениями

X = +aP = +bP,

то есть

P = ( - )/(b - a), X = (b - a)/(b - a). (10.4)

Дискретная динамическая модель задается уравнением

X _t = +aP _t = +bP _t-1. (10.5)

Ищем сначала решение, дающее равновесие. Для этого положим P _t = P, X _t = X для всех значений t:

X = +aP = +bP. (10.6)

Получаем те же значения P и X, что и в (10.4). Следовательно, если в каком-либо периоде существовали цены и объемы, обеспечивающие равновесие, то в динамической модели (10.5) они сохранятся и в последующих периодах.

Вычтем уравнение (10.6) из (10.5) и положим р _t = P _t -P, x _t = X _t -X. Тогда

x _t = aр _t = bр _t-1. (10.7)

Уравнения (10.7) аналогичны (10.5), за исключением того, что они описывают отклонения от уровней равновесия (теперь уже известно, что таковые существуют). Оба эти уравнения являются разностными уравнениями первого порядка. Положим c = b/a и подставим его в уравнение (10.7), так что разностное уравнение относительно р _t будет

р _t = c р _t-1. (10.8)

При данном значении р _o в момент t = 0 из (10.8) получаем решение:

р _t = р_o c ^t,

или

P _t = P + (P_o - P) c ^t.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Аллен Р. Математическая экономия. М.: Изд-во иностранной литературы, 1963.

2. Баврин И. И., Матросов В. Л. Общий курс высшей математики. М.: Просвещение, 1995.

3. Белинский В. А., Калихман В. А., Майстров Л. Е., Митькин А. М. Высшая математика с основами математической статистики. М.: Высшая школа, 1965.

4. Высшая математика: Общий курс / Под ред. А. И. Яблонского. Минск: Вышейш. школа, 1993.

5. Ланкастер К. Математическая экономика. М.: Советское радио, 1972.

6. Макконелл К., Брю С. Экономикс: принципы, проблемы, политика. М.: Республика, 1992. Т. 1-2.

7. Математика и кибернетика в экономике: Словарь - справочник / Под ред. Н. П. Федоренко. М.: Экономика, 1975.

8. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 1987.

9. Рублев А. Н. Линейная алгебра. М.: Высшая школа, 1968.

10. Сборник задач и упражнений по высшей математике: Общий курс: Учеб. пособие / А. В. Кузнецов, Д. С. Кузнецова, Е. И. Шилкина и др. - Минск: Вышейш. шк., 1994.

11. Сборник задач по математическому анализу. Предел, непрерывность, дифференцируемость / Л. Д. Кудрявцев, А. Д. Кутасов, В. И. Чехлов, М. И. Шабунин; Под ред. Л. Д. Кудрявцева. - М.: Наука, 1984.

12. Тышкевич Р. И., Феденко А. С. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Минск: Вышейш. школа, 1968.

13. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. М.: Наука, 1968. Т. 1-2.

14. Четыркин Е. М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.: Дело, Business Речь, 1992.

15. Шипачев В. С. Основы высшей математики / Под ред. А. Н. Тихонова. М.: Высш. шк., 1994.

16. Mathematische Proрdeutik fr Wirtshaftswissenschaftler / W. Wetzel, Н. Skarabis, P. Naeve, Н. Buening. Berlin, New York: Walter de Gruyter, 1981.

17. Mathematik fr Wirtshafts-Kaufleute / E. Frster, Н. Krth. Mnchen: Wilhelm Нeyne Verlag, 1976.



ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ .................................................................................................	3
I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ................................................................	5
1. Векторы .....................................................................................................	5
2. Линии на плоскости ..................................................................................	7
3. Плоскость и прямая в пространстве ........................................................	17
II. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ..................................................................................	21
4. Матрицы и определители .........................................................................	21
4.1. Матрицы. Операции над матрицами ..............................................	21
4.2. Определители ...................................................................................	24
4.3. Ранг матрицы ...................................................................................	28
4.4. Обратная матрица ............................................................................	30
5. Системы линейных уравнений .................................................................	33
5.1. Критерий совместности ..................................................................	33
5.2. Метод Гаусса ...................................................................................	35
5.3. Формулы Крамера ...........................................................................	36
5.4. Матричный метод ............................................................................	38
5.5. Системы линейных уравнений общего вида ..................................	39
5.6. Использование систем линейных уравнений при решении экономических задач .............................................................................	44
III. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ..................................................................	50
6. Предел функции ........................................................................................	50
6.1. Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах ......	50
6.2. Применение пределов в экономических расчетах .........................	57
7. Производная ..............................................................................................	60
7.1. Производная, правила и формулы дифференцирования ...............	60
7.2. Предельный анализ в экономике. Эластичность функции ............	64
7.3. Экстремум функции ........................................................................	66
7.4. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя .......................	67
7.5. Частные производные. Метод наименьших квадратов .................	68
8. Интегралы .................................................................................................	76
8.1. Основные методы интегрирования .................................................	76
8.2. Использование интегралов в экономических расчетах .................	81
9. Дифференциальные уравнения ................................................................	83
10. Разностные уравнения ............................................................................	90
Список рекомендуемой литературы ...................................................................	95

[