Задачі з параметрами в курсі математики середньої школи

Задача зводиться до пошуку значень а, при яких ця фігура «стиснеться» до таких розмірів, що поміститься в ромб. Із міркувань симетрії для пошуку шуканих значень параметра достатньо вимагати від рівняння при мати не більше одного кореня. Тоді .

Відповідь: .

2.3 Ірраціональні нерівності з параметрами

Як правило, ірраціональні нерівності зводяться до одного з наступних нерівностей

(2.3.1)

Нерівність (2.4.1) виконується в одному з двох випадків

.

Нерівність

(2.3.2)

виконується, якщо виконані нерівності

Приклад 2.3.1. Розв'язати нерівність .

Розв'язання. Побудуємо графік прямої та позитивних частин півпарабол . (рис.2.3.1)

Якщо півпарабола розташована нижче прямої, то нерівність розв'язків немає. Розв'язки з'являються тільки з моменту дотику. Знайдемо значення параметра , яке відповідає моменту дотику двох функцій: , звідси , , звідси . При маємо 1 розв'язок. Тобто, при нерівність розв'язків немає.

Якщо , то .

Далі, зсуваючи півпараболу ліворуч, зафіксуємо момент, коли графіки , мають дві спільні точки.

Таке розташування забезпечує вимога: , тоді розв'язком буде проміжок

.

Далі, зсуваючи півпараболу ліворуч, зафіксуємо момент, коли графіки , мають дві спільні точки. Таке розташування забезпечує вимога: , тоді розв'язком буде проміжок

.

Коли півпарабола і пряма перетинаються тільки в одній точці (це відповідає випадку ), то розв'язком буде проміжок .

Приклад 2.3.2. Для кожного від'ємного числа розв'язати нерівність

 (2.3.3)

Розв'язання.

1. Перепишемо нерівність у вигляді . Побудуємо графіки та . Членами сім'ї функцій є гомотетичні півкола (центр гомотетії - точка (0,0)). З нерівності випливає, що півкола повинні лежати вище прямої .

Кутовий коефіцієнт прямої дорівнює -2. Тоді , , із : , .

, звідки , .

Розв'язком нерівності для кожного від'ємного числа буде проміжок .

Відповідь: .

Приклад 2.3.3. При яких а множиною розв'язків нерівності

(2.3.3)

є відрізок числової прямої ?

Розв'язання.

1. Маємо . Права частина цієї нерівності задає сім'ю «кутів», вершини яких лежать на прямій у = 3 (рис. 2.3.3).

Рис. 2.3.3. Графіки лівої та правої частин нерівності при різних значеннях параметра а

Якщо вершина «кута» знаходиться між точками А та В, то обов'язково знайдуться проміжки області визначення, на яких графік лівої частини нерів-ності не вище графіка правої частини. На рис. 2.3.3 показано одно з проміжних положень «кута» з вершиною С. В цьому випадку розв'язком початкової нерів-ності будуть всі точки відрізку MN.



Рис. 2.3.4. Графіки лівої та правої частин нерівності при різних значеннях параметра а

При вершина «кута» знаходиться між точками А та В, і вини-кає бажання вважати проміжок (-8; 4) шуканою відповіддю. Але умова задачі вимагає, щоб розв'язком нерівності був відрізок числової прямої. А якщо вершина «кута» співпадає з будь-якою з точок відрізка EF, включаючи Е і не включаючи F (рис.2.3.4, точка F відповідає моменту дотику), то розв'язком нерівності буде або відрізок і точка, або два відрізки. Визначив координати точок Е та F, знаходимо . Відповідь: .

2.4 Показникові нерівності з параметрами

Показові нерівності приводять до нерівності вигляду

Якщо , то .

Якщо , то .

Приклад 2.4.1. При яких с система має хоча б один розв'язок?

(2.4.1)

Розв'язання.

1. Спростимо нерівність системи (2.4.1). Маємо . Нехай . Тоді . Звідси з урахуванням того, що , одержимо . Запишемо , тобто .

2. Таким чином, початкова система рівносильна такій:

(2.4.2)

Графіком першої нерівності цієї системи є півплощина з межею (рис.2.4.1).

Рис. 2.4.1. Графіки системи нерівностей (2.4.2)

Очевидно система може мати розв'язки, якщо . Тоді рівняння

х 2 + у 2 = с задає сім'ю гомотетичних кіл з центром в точці О (0; 0).

3. Рисунок 1.4.1 підказує, що якщо радіус кола не менше довжини відрізка ОМ, тобто відстань від точки О до межі півплощини, то система має розв'язки. Маємо . З . Звідси .

Відповідь: .

Приклад 2.4.2. Знайти всі значення параметра , при яких нерівність

(2.4.3)

виконується для будь-яких .

Розв'язання.

1. Вводячи переміну змінних та вважаючи, що , запишемо нерівність (2.4.3) у наступному вигляді:

(2.4.4)

2. Тим самим розв'язання початкової нерівності (2.4.3) зводиться до відшукання всіх значень , при яких нерівність (2.4.4) виконується для будь-яких .

3. Оскільки при перетворенні

, то

при нерівність (2.4.4) є правильною для будь-якого значення у тому числі і при .

4. При маємо тотожність , тому нерівність (2.4.4) рівносильна наступній нерівності

(2.4.5)

При таких правильна нерівність

Отже нерівність (2.4.5) виконується для будь-якого , якщо виконується нерівність

(2.4.6)

5. При нерівність (2.4.6) не має розв'язків.

При одержимо систему

звідки

6. Отже нерівність (2.4.4) правильна для будь-якого , якщо належить множині .

Відповідь: .

2.5 Логарифмічні нерівності з параметрами

Логарифмічні нерівності зводяться до нерівності вигляду

1. Якщо , то .

2. Якщо , то .

Приклад 2.5.1 Розв'язати нерівність

(2.5.1)

Розв'язок. Задана нерівність рівносильна сукупності двох систем (з врахуванням ОДЗ функції логарифма:

або (2.5.2)

Звідси

або (2.5.3)

На координатній площині перша система (2.5.2) задає множину точок першого та четвертого координатних кутів, які одночасно лежать всередині кола з центром (0; 0) і радіуса та поза колом з центром (1; 0) і радіуса 1.

Друга система (2.5.3) --це множина точок, які одночасно лежать поза першим колом, але знаходяться в другому колі. Тоді всі розв'язки початкової нерівності наведено на рис. 2.5.1.

Рис. 2.5.1. Графіки функцій систем нерівностей (2.5.2) та (2.5.3)

Зазначимо, що, наприклад, пряма (див. рис.2.5.1) перетинає кола в точках з абсцисами Тепер нескладно «прочитати» з рисунка відповідь.

Відповідь: Якщо то якщо то або якщо то немає розв'язків.

Приклад 2.5.2. Знайти всі значення параметра , при яких нерівність

(2.5.4)

виконується для будь-якого значення .

Розв'язок.

1. Враховуючи за властивостями логарифмів та властивості суми логарифмів, нерівність (2.5.4) рівносильна нерівності

 (2.5.5)

яка рівносильна системі нерівностей з врахуванням ОДЗ функції логарифма

(2.5.6)

2. Таким чином, необхідно знайти всі значення параметра , при яких систему нерівностей

(2.5.7)

задовольняє будь-яке значення .

3. При перша нерівність системи (2.5.7) перетворюється до вигляду , яка виконується тільки для , а не для будь яких значень.

При а=0 друга нерівність системи (2.5.7) перетворюється до вигляду , яка виконується тільки для , а не для будь яких значень.

4. Нехай . Розглянемо нерівності системи (2.5.7). При :

- друга нерівність перетвориться в правильну ;

- перша нерівність перетвориться в неправильну

тобто не є рішенням системи (2.5.7), а відповідно не виконуються умови задачі.

5. Нехай . Розглянемо нерівності системи (2.5.7). При :

- друга нерівність перетвориться в неправильну ;

- перша нерівність перетвориться в правильну

тобто не є рішенням системи (2.5.7), а відповідно не виконуються умови задачі.

6. Нехай . Тоді квадратний трьохчлен буде недодатний для будь-якого , якщо його дискримінант буде недодатним. Квадратний трьохчлен буде додатний для будь-якого , якщо його дискримінант буде недодатним.

7. Відповідно, задача зводиться до до розв'язання системи нерівностей:

яка перетворюється до вигляду

,

відповідно, початкова нерівність (2.5.5) є правильною для всіх при значеннях параметру .

2.6 Тригонометричні нерівності та системи тригонометричних нерівностей з параметрами

Тригонометричними нерівностями називаються нерівності, у яких змінна знаходиться під знаком тригонометричної функції 14. Резуненко В.О. Ярмак В.О. Тригонометричні рівняння і нерівності для старшокласників і абітурієнтів. // Резуненко В.О. Ярмак В.О. - Х.: Вид.група "Основа" 2011.- 94 с..

При розв'язанні нерівностей з тригонометричними функціями використовується періодичність цих функцій і їх монотонність на відповідних інтервалах. При цьому корисно звертатися до графіків.

Оскільки розв'язання тригонометричних нерівностей в остаточному підсумку зводиться до розв'язання найпростіших, то розглянемо спочатку приклади розв'язання найпростійших тригонометричних нерівностей, тобто нерівностей виду (або де -одна з тригонометричних функцій.

Оскільки функції мають основний період , то нерівності виду

і

досить розв'язати спочатку на якому-небудь відрізку довжиною . Множину усіх розв'язків дістанемо, додавши до кожного зі знайдених на цьому відрізку розв'язків числа виду . Для розв'язків нерівностей виду і досить розв'я-зати їх спочатку на інтервалі длини Оскільки функції і мають період , то, додаючи до звичайних на відповідних інтервалах розв'язків числа виду , дістанемо всі розв'язки початкової нерівності.

Приклад 2.6.1. Залежно від значень параметра розв'язати нерівність

(2.6.1)

Розв'язання.

1. Враховуємо, що ОДЗ функції синус:

Знаходимо рішення перетвореної нерівності на інтервалі (рисунки та рішення в пакеті Microsoft Mathematics):

(2.6.2)

рішеннями нерівності (2.6.2) буде проміжок (з врахуванням періодичності функції синус - та рівності (рис.2.6.1):

(2.6.3)

3. З нерівності (2.6.3) одержуємо (при :

а) При

б) При

в) При - розв'язків немає.

Приклад 2.6.2. Залежно від значень параметра розв'язати нерівність

(2.6.4)

Розв'язання.

1. Враховуємо, що ОДЗ функції косинус:

Знаходимо рішення перетвореної нерівності на інтервалі , де (рисунки та рішення в пакеті Microsoft Mathematics):

(2.6.5)

2. Дана нерівність (2.6.5) має рішенням інтервал(рис.2.6.2):

(2.6.6)

або після перетворення

(2.6.7)

3. Звідси при :

а) при знаходимо

б) при знаходимо

в) при - розв'язків немає.

Приклад 2.6.3. Залежно від значень параметра розв'язати нерівність

(2.6.8)

Розв'язання.

1. Очевидно, що при нерівність (2.6.8) не має розв'язків.

2. Вважаючи , розглянемо окремі випадки:

а) При , маємо перетворену нерівність (2.6.8) у вигляді

(2.6.9)

звідки

звідки, враховуючи ОДЗ функції , має мо систему трьох нерівностей:

(2.6.10)

Як видно при основній умові система нерівностей (2.6.10) не має розв'язків, оскільки третя нерівність системи (2.6.10) не має пересічення інтервалів з 1 нерівністю.

б) При , маємо перетворену нерівність (2.6.8) у вигляді

(2.6.11)

звідки, враховуючи ОДЗ функції , має мо систему трьох нерівностей:

(2.6.12)

Якщо при нерівність (2.6.10) не має рішення, оскільки не виконується друга нерівність системи (2.6.12).

Якщо , то розв'язком нерівності (2.6.10) буде будь-яке значення (виконуються всі три нерівності системи (2.6.12)).

Якщо , то нерівність (2.6.11) має наступний інтервал розв'язків:

Приклад 2.6.4. При яких значеннях параметра нерівність

(2.6.13)

має рішення для будь-якого .

Розв'язання.

1. Оскільки , а ОДЗ функції є проміжок , то проводячи заміну перетворюємо вихідну нерівність в наступну:

(2.6.14)

2. Тоді вихідну задачу можно переформулювати так: при яких значеннях параметра найменше значення квадратного тричлена:

на проміжку ОДЗ (2.6.15)

буде додатним, тобто

3. Абсциса вершини параболи (2.6.15)дорівнює значенню параметра , тоді на проміжку найменші значення функції будуть дорівнювати:

при

при

при

4. З огляду на те, що найменше значення функції повинно бути додатним, отримуємо сукупності наступних систем нерівностей:

(2.6.16)

(2.6.17)

(2.6.18)

5. Відповідними розв'язками є:

а) системи (2.6.16) є проміжок

б) система (2.6.17) розв'язків не має

в) системи (2.6.18) є проміжок

Проведений в розділі 2 дипломної роботи методів розв'язання нерівнос-тей з параметрами показав, що для розв'язання систем квадратних нерівностей та нерівностей, які складаються з комплексів ірраціональних, показникових, логарифмічних та тригонометричних функцій, процес розв'язання практично неможливий без застосування графічних методів побудови функціональних залежностей.

При цьому слід відмітити, що ескізне малювання в масштабі на класній дошці чи в зошитах взаємного розташування графіків складних та періодичних функцій з визначенням точок перетинання графіків практично неможливе. В викладенні розв'язання прикладів розділа 2 в дипломній роботі було показане паралельне застосування традиційних для шкільних підручників ескізів графіків функцій та фактичних масштабованих графіків функцій, побудованих в російськомовному програмно-графічному комп'ютерному калькуляторі Microsoft Mathematics 4.0.

Відповідно, в 3 розділі дипломної роботи доведена на прикладах ефек-тивність застосування графічного комп'ютерного калькулятора для виконання дослідницьких методів розв'язання рівнянь та нерівностей з параметрами, що можливе при викладанні математики в комп'ютерних класах загальної школи.

РОЗДІЛ 3. ЗАСТОСУВАННЯ ГРАФІЧНИХ МЕТОДІВ РОЗВ'ЯЗАННЯ ЗАДАЧ З ПАРАМЕТРАМИ У КУРСІ МАТЕМАТИКИ СЕРЕДНЬОЇ ШКОЛИ З ВИКОРИСТАННЯМ ПРОГРАМНО-ГРАФІЧНОГО КАЛЬКУЛЯТОРА MICROSOFT MATHEMATICS

3.1 Застосування графічних методів паралельного переносу в розв'язанні задач з параметрами

Доведення доцільності застосування графічного комп'ютерного кальку-лятора Microsoft Mathematics4.0 при викладанні методів розв'язання рівнянь та нерівностей з параметрами виконаємо на прикладах розв'язання методами паралельного переносу в рівняннях та нерівностях з модулями функцій.

Графічний комп'ютерний калькулятора Microsoft Mathematics 4.0 автоматично будує в масштабі графіки модулів функцій будь-якої складності, що дозволяє оцінити ОДЗ функцій та характерні інтервали зростання і падіння.

Одночасно, калькулятор Microsoft Mathematics 4.0 дозволяє будувати декілька функцій на одному графіку різними кольорами, що дає змогу моделювати декілька графіків аналізуємих функцій при зміні значення параметра а.

Почнемо з задач, в який членами сім'ї кривих будуть прямі.

Приклад 3.1.1. Для кожного значення параметра а визначити число розв'язків рівняння .

Розв'язання. Побудуємо графіки функцій та .

На рис.3.1.1 побудована множина паралельних прямих , при цьому вибір зроблений так, щоб кількість точок перетинання була різною.

З рисунка 3.1.1 випливає, що при - розв'язків немає, при - 2 розв'язки, при - 4 розв'язки, при - 3 розв'язки, при - 2 розв'язки.

Пакет Microsoft Mathematics 4.0 дозволяє знайти корні в типових проміжках параметру а, задаючи значення та вирішуючи рівняння

.

Нижче наведені чисельні рішення. Одночасно пакет Microsoft Mathematics 4.0 дозволяє навести алгебраїчні рішення рівняння з параметрами, які характеризують наявність при двох коренів (зовнішня гілка параболи) та наявність на проміжку ще другої пари коренів (внутрішня гілка параболи до вершини).

Відповідь: при - розв'язків немає,

при - 2 розв'язки,

при - 4 розв'язки,

при - 3 розв'язки,

при - 2 розв'язки.

Приклад 3.1.2. Для кожного значення параметра визначити число розв'язків рівняння

.

Розв'язання.

1. Отримуємо рішення рівняння з параметрами в пакеті Microsoft Mathematics 4.0.

Як показує аналіз розв'язків, параметр а знаходиться в проміжку

(при цьому вирішується рівняння з знаком .

Як показує аналіз рішення рівняння має 4 корені на проміжку

З аналізу машинного рішення випливає відповідь:

при та - розв'язків немає,

при - 2 розв'язки,

при - 4 розв'язки.

2. Побудуємо графік функції та При цьому врахуємо ОДЗ функції під коренем , тобто .

З аналізу графікі рис. 3.1.2 та 3.1.2а випливає відповідь, що підтверджує машинний розрахунок:

при та - розв'язків немає,

при - 2 розв'язки,

при - 4 розв'язки.

Приклад 3.1.3. Знайти число розв'язків рівняння

.

Розв'язання.

1. Побудуємо в пакеті Microsoft Mathematics 4.0 графіки функції та для декількох значень (перенос паралельних прямих).

З рис. 3.1.3 випливає, що при - розв'язків немає, при - розв'яз-ки або , при - 4 розв'язки, при - 3 розв'язки, при - 2 розв'язки.

Відповідь: при - розв'язків немає, при - розв'язки або , при - 4 розв'язки, при - 3 розв'язки, при - 2 роз-в'язки.

Приклад 3.1.4. Розв'язати рівняння .

Розв'язання.

1. Побудуємо в пакеті Microsoft Mathematics 4.0 графіки функцій та для декількох значень (перенос паралельних прямих).

Знайдемо ОДЗ: , звідси .

Розв'язуючи в пакеті Microsoft Mathematics 4.0 рівняння , знаходимо

. Якщо , то ; якщо , то або . Якщо або , то , звідси якщо , то , якщо , то розв'язків немає.

Приклад 3.1.5. Знайти всі значення параметра , при яких система рівнянь має розв'язки.

Розв'язання.

1. З першого рівняння системи знаходимо .

Це рівняння задає сім'ю парабол, які “ковзають” вершинами вздовж прямої . З другого рівняння знаходимо - коло з центром в точці (1, 0) радіуса 1.

З'ясуємо, при яких значення параметра сім'я парабол має спільні точки з колом. Випадок дотику знайдемо з системи

,

вимагаючи від системи мати один розв'язок.

Аналіз графіків рис.3.1.5 показує:

а) при - система рішень не має;

б) при - система має 1 рішення (точка касання нижньої параболи до кола);

в) при - система має два рішення (точки пересікання гілок параболи з колом);

г) при - система має 3 рішення (дотик вершини параболи до кола зверху та дві точки пересічення гілок параболи з колом;

д) при - система має 4 рішення (подвійне пересічення гілками параболи кола);

е) при - система має 2 рішення (дотик гілками параболи кола);

ж) при - система не має рішень.

3.2 Застосування графічних методів повороту в розв'язанні задач з параметрами

В цьому параграфі вибір сім'ї кривих не є різноманітним, а точніше він одноваріантний: члени сім'ї кривих - прямі. Більш того, центр повороту належить прямій. Іншими словами, ми обмежимося сім'єю виду , де -- центр повороту.

Такий вибір обумовлено тим, що в рівності складно побачити аналітичне задання повороту кривих, які відрізняються від прямих. Тому про поворот, як про метод, доцільно говорити лише для прямих вказаного типа.

Приклад 3.2.1. При яких рівняння має три розв'язки?

Розв'язання.

1. Побудуємо графіки функцій та . Прямі переходять друг в друга шляхом перетворення повороту з центром в точці О(0; 0).

2. Аналіз варіантів перетинання графіки функцій та (рис. 3.2.1) показує, що вихідне рівняння буде мати три розв'язки, коли пряма перетинає параболу в двох точках і дотикається до вершини, тобто коли .

Обираємо , так як при пряма перетинає тільки 2 вітки гіперболи (рис. 3.2.1) нижче вісі абсцис.

Відповідь:

Приклад 3.2.2. Розв'язати рівняння і визначити значення , при яких воно має єдиний розв'язок.

Розв'язання. Побудуємо графіки функцій та . Прямі переходять друг в друга шляхом перетворення повороту з центром в точці О(0; 0).

Як показує аналіз взаємного розташування та точок перетинання графіків функцій та (поворот прямої при довільному ) на рис.3.2.1:

а) при а=-3 пряма іде паралельно лівій частині (лучу) графіку функції і перетинає його в 1 точці ();

б) при а=3 пряма іде паралельно правій частині (лучу) графіку функції і перетинає його в 1 точці ();

в) при пучок прямих перетинає графік (лучі) функції в двох точках;

г) при або пучок прямих перетинає графік (лучі) функції в одинарних точках, які належать інтервалам (рис.3.2.2а):

- при ;

- при .

Таким чином, загальне рішення з включення точок (відповідь):

1. При - проміжок 1 точки рішень;

2. При - проміжок 1 точки рішень;

3. При - маємо дві точки перетинання (тобто 2 рішення при кожному значенні ).

Приклад 3.2.3. При яких значеннях рівняння має одно, два, три, чотири розв'язки?

Розв'язання. Побудуємо графіки функцій та . Прямі переходять друг в друга шляхом перетворення повороту з центром в точці О(9; 0).

а) при рівняння має 1 розв'язок;

б) при - 2 розв'язки;

в) при - 3 розв'язки;

г) при - 4 розв'язки;

д) при - 2 розв'язки;

е) при - 1 розв'язок;

ж) при - розв'язки відсутні.

Відповідь: при - 1 розв'язок, при - 2 розв'язки, при - 3 розв'язки, при - 4 розв'язки, при - 2 розв'язки, при - 1 розв'язок.

Приклад 3.2.4. При яких рівняння має розв'язки?

Розв'язання. Запишемо ОДЗ рівняння: , звідки . Побудуємо графіки функцій та .

Прямі переходять друг в друга шляхом перетворення повороту з центром в точці О(0; 0).

З рис. 3.2.4 видно, що при та рівняння має розв'язки для позитивних значень коренів функції для позитивних значень коренів, та та для негативних значенів коренів.

Відповідь: 1. та для функції

2. та для функції

Приклад 3.2.5. Знайти всі значення параметра , при яких найменше значення функції менше 2.

Розв'язання. Переформулюємо задачу: знайти , при яких нерівність має хоча б один розв'язок.

Перепишемо нерівність у вигляді: . Побудуємо графіки функцій та . На рис. 3.2.5 наведені графік функції та дві прямі сім'ї .

Положенню І відповідає ( проходе через точку (-4,0)), а положенню ІІ (момент дотику: , ) відповідає .

Нерівність буде мати розв'язки, якщо прямі І та ІІ “крутити” відповідно за та проти годинникової стрілки до вертикального положення, тобто при

та при .

Відповідь: або .

Приклад 3.2.6. При яких значеннях параметра а система

має три різних розв'язки?

Розв'язання. Розглянувши перше рівняння системи як квадратне відносно y, легко розкласти його ліву частину на множники. Маємо . Графіки цього рівняння -- система двох парабол , , які мають точки перетинання та -- наведені на рис. 3.2.6.

Рис. 3.2.6a. Графіки функцій , та „веєр” прямих при змінному значенні

Через точку А (4;0) проходять всі прямі сім'ї прямих . Виділимо ті з них, які мають з графіком першого рівняння три спільні точки. На рисунку це прямі АВ, AC, AD, АF. Таким чином, шуканих значень параметра чотири. Однак ще дві прямі сім'ї прямих, задовольняють вимогам задачі. Дійсно, з точки А до параболи можна провести дві дотичні (на рисунку показана одна - АВ). Друга дотична не є вертикальною прямою, тому вона обов'язково «наздожене» параболу ще в двох точках. Аналогічний результат дає друга, відмінна від AF, дотична до параболи . Будемо вимагати від рівнянь та мати єдиний корінь. Тоді знайдемо кутові коефіцієнти дотичних відповідно до кривих та . Маємо , . Далі абсциса точки М дорівнює від'ємному кореню рівняння , тобто х = -1. Тоді кутовий коефіцієнт прямої AD дорівнює , а кутовий коефіцієнт прямої АС дорівнює 0.

Відповідь: , , , .

3.3 Застосування графічних методів гомотетії в розв'язанні задач з параметрами

Приклад 3.3.1. Знайти число розв'язків системи рівнянь ()

Розв'язання. Побудуємо в пакеті Microsoft Matematics графіки функцій (квадрат зі стороною ) та . Члени сім'ї функцій - гомотетичні кола (з центром гомотетії (0,0)) - рис.3.3.1.

Якщо коло лежить всередині квадрата, то розв'язків немає.

Якщо коло вписане в квадрат, то з'являються розв'язки. В цьому випадку з теореми Піфагора: . При система немає розв'язків, при система має 4 розв'язки. Далі зі збільшенням () кожна сторона квадрата має дві спільні точки перетину з колом (всього 8 розв'язків).

При квадрат вписаний в коло, маємо 4 розв'язки. При розв'язків немає.

Відповідь: при розв'язків немає, при - 4 розв'язки, при - 8 розв'язків, при - 4 розв'язки, при розв'язків немає.

Приклад 3.3.2. Визначити, при яких система рівнянь

має точно два розв'язки.

Розв'язання. Перепишемо систему рівнянь у вигляді

Перше рівняння визначає гомотетичні кола (з центром гомотетії (0,0) та радіусом ). Друге рівняння - об'єднання двох прямих: , . Побудуємо прямі та кола на графіку.

Система буде мати точно 2 розв'язки, коли коло дотикається двох прямих. Знайдемо параметр . З гіпотенуза , . З , тоді , . Остаточно знаходимо . Відповідь: .

Приклад 3.3.3. При яких значеннях параметра рівняння має єдиний розв'язок, більше одного розв'язку, немає розв'язків?

Розв'язання. Побудуємо графіки функцій та .

Розв'яжемо рівняння на проміжку для того, щоб знайти точку дотику функцій.

Якщо , то , , при .

Таким чином, при - маємо 1 розв'язок (точка касання графіків), при - точки перетину графіків є (більше одного розв'язку), при - немає точок перетину графіків (немає розв'язків).

Відповідь: при - 1 розв'язок, при - більше одного розв'язку, при немає розв'язків.

3.4 Застосування графічних методів двох прямих на площині в розв'язанні задач з параметрами

В основі ідеї розв'язку задач цього підрозділу лежить питання про дослідження взаємного розташування двох прямих: та . Не будь-яке рівняння виду задає пряму: необхідно ще вимагати, щоб При дослідженні взаємного розташування двох прямих зручно спочатку розглянути випадки, коли коефіцієнти при у дорівнюють нулю (маємо вертикальне положення прямих), потім кожне з рівнянь представити у вигляді

Приклад 3.4.1. Знайти значення , при яких система рівнянь

(3.4.1)

має єдиний розв'язок.

Розв'язання.

1. Виконуємо перетворення системи (3.4.1) до вигляду

(3.4.2)

Таким чином в перетвореній системі (3.4.2):

Якщо та , то , .

2. Проаналізуємо окремо випадки та для вихідної системи (3.4.1). Перше рівняння при задає вертикальну пряму , яка перетинає графік другого рівняння, що рівносильно для системи мати єдиний розв'язок.

Друге рівняння при задає вертикальну пряму , яка перетинає графік першого рівняння , що рівносильне для системи мати єдиний розв'язок.

3. Рішення системи (3.4.2) при та в системі калькулятора Microsoft Mathematics 4.0 наведене нижче поопераційно «вручну» для навчання школярів методам розв'язання систем рывнянь з параметрами.

Отримані рішення показують:

а) Прямі перетинаються, якщо , звідки .

б)Прямі паралельні, якщо , звідки

в) Прямі співпадають, якщо , звідки

Відповідь: система має єдиний розв'язок при будь-яких значеннях параметра, за виключенням двох значень .

Приклад 3.4.2. Знайти всі значення , при яких система рівнянь немає розв'язків:

Розв'язання. Графіками рівнянь системи є прямі. Перше рівняння при задає вертикальні прямі , які перетинають графік другого рівняння, що рівносильне для системи мати єдиний розв'язок.

Якщо , то ; .

Система немає розв'язків, коли прямі паралельні (коефіцієнти при дорівнюють один одному в двох рівняннях прямих), тобто



Відповідь: система немає розв'язків при .

РОЗДІЛ 4. ОХОРОНА ПРАЦІ ТА БЕЗПЕКА В НАДЗВИЧАЙНИХ СИТУАЦІЯХ В ЗАГАЛЬНООСВІТНІЙ ШКОЛІ

4.1 Законодавчі основи організації охорони праці в галузі освіти та безпеки життєдіяльності в загальноосвітній школі

Відповідно до Положення про організацію охорони праці [18] особисту відповідальність за створення безпечних умов навчально-виховного процесу несе керівник навчального закладу.

Приміщення кабінетів природничо-математичного напряму мають відповідати вимогам:

- Положення про організацію роботи з охорони праці учасників навчально-виховного процесу в установах і навчальних закладах, затверджене наказом Міністерства освіти і науки України №563 [27];

- Державні санітарні правила і норми влаштування, утримання загальноосвітніх навчальних закладів та організації навчально-виховного процессу (ДСанПіН 5.2.2.008-01) [7];

- Правила пожежної безпеки для закладів, установ і організацій системи освіти України № 348/70 [28];

- Правила безпечної експлуатації електроустановок споживачів [29];

- Правила безпеки під час навчання в кабінетах інформатики навчальних закладів системи загальної середньої освіти № 81 [30];

- Положення про порядок проведення навчання і перевірки знань з питань охорони праці в закладах, установах, організаціях, підприємствах, підпорядкованих Міністерству освіти і науки України № 304 [31];

- Положення про порядок розслідування нещасних випадків, що сталися під час навчально-виховного процесу в навчальних закладах № 616 [32];

На кабінети (лабораторії) мають бути паспорти, які визначають основні параметри: освітлення, площа, наявність інженерних мереж (водопостачання, каналізація, вентиляція, тепломережа, електромережа), забезпечення меблями, обладнанням, підручниками, посібниками, приладдям тощо [30].

Кабінети обладнуються аптечкою з набором медикаментів, перев'язувальних засобів і приладь та інформацією про місце знаходження і номер телефону найближчого лікувально-профілактичного закладу, де можуть надати кваліфіковану медичну допомогу.

У разі скоєння нещасного випадку, що трапився з учнем під час проведення навчально-виховного процесу в кабінеті учитель повинен терміново організувати надання першої допомоги потерпілому відповідно до Положення про порядок розслідування нещасних випадків [32].

Відповідно до Положення про порядок проведення навчання з питань охорони праці [31] в кабінетах природничо-математичного напряму навчальних закладів обов'язково проводять навчання з питань безпеки життєдіяльності за допомогою системи інструктажів з питань безпеки життєдіяльності.

Вчителі та працівники школи повинні впроваджувати на робочих місцях та в навчально-виховному процесі правила техніки безпеки (системи організаційних і технічних заходів і засобів, що запобігають дії на працюючих та учнів небезпечних факторів) згідно типовій „Інструкції з охорони праці на робочому місці для вчителів та працівників школи” [12].

Учитель припиняє проведення занять, пов'язаних з небезпекою для життя, і доповідає про це керівникові школи. Негайно повідомляє керівника про кожен нещасний випадок.

4.2 Аналіз стану охорони навчання і праці та безпеки в надзвичайних ситуаціях в приміщенні кабінету математики та інформатики 11 класу

Проведений в дипломному дослідженні аналіз санітарно-гігієнічних умов праці в 11 класі загальноосвітньої школи виявив наступне.

Клас (кабінет математики та інформатики) розташований на 3 поверсі 3-х поверхової будівлі школи, збудованої у 1976 році із цегляних стін та залізобетонних плит міжповерхових перекриттів та стелі.

Площа приміщення класу (кабінету) - 54 квадратних метрів при висоті приміщення 4,0 метри. В класі постійно навчається 16 учнів та вчитель лаборант-системотехнік. Отже, на одну людину приходиться 3,0 м2 площі та 12,0 м3 об'єму. Ці показники відповідають нормам ДСанПіН 5.2.2.008-01[7] по площі приміщення, де на одного школяра та вчителя в старшій школі повинно бути не менше 2,8 м2 площі класа та не менше 12 м3 об'єму на одного школяра в старшій школі (рис.4.1). Розташування столів та комп'ютерів відповідає нормам безпеки для нових плоских ЖК-моніторів, які не мають зони 0,8 м радіаційного фонду від лучевих кінескопів в моніторах перших поколінь.

В приміщенні температура повiтря повинна знаходится по нормам в інтервалі вiд 18 до 23 градусiв по Цельсiю, що фактично виконується за рахунок наявності кондиціонеру (настінної спліт-системи) в класі. Вiдносна вологiсть повiтря складає 40-55% при нормi 40-60 %. Швидкiсть руху повiтря - 0,2 м/с, що вiдповiдає санiтарним нормам [7].

Кабінет математики та інформатики провітрюють на перервах. Фрамугами і кватирками користуються протягом всього року. До початку занять і після їх закінчення здійснюють наскрізне провітрювання навчальних приміщень. Тривалість наскрізного провітрювання визначається погодними умовами згідно з табл. 4.1.

Таблиця 4.1

Тривалість провітрювання приміщень (хв.) [35]

Температура повітря вулиці, 0С	на малих перервах	на великих перервах та між змінами
від +10 до +6	4-10	25-35
від +5 до 0	3-7	20-30
від 0 до -5	2-5	15-25
від -5 до -10	1-3	10-15
нижче -10	1-1,5	5-10

Загальне штучне освітлення в приміщенні математичного кабінету становить 1000 лк, при цьому забезпечується високий рівень зорових функцій і загальної працездатності учнів. Рівень штучного освітлення навчального приміщення відповідає ДБН В 2.5-28-2006, ДБН В.2.2-3-97. Сумарний світовий потік штучного освітлення від люмінесцентних світильників (питома потужність люмінесцентного освітлення становить 28 Вт/ м2) на навчальних місцях учнів становить 200 - 205 люкс, що відповідає нормам для роботи учнів в школі [9], але не відповідає нормам 300 - 500 люкс для роботи операторами ПЕОМ [10].

Вентиляція в корпусі - централізована приточно-витяжна з механічним двигуном на даху. Після встановлення герметичних пластикових вікон виникла проблема з ефективністю вентиляції, оскільки для притоку повітря через вікна їх треба відчиняти, що створює некомфортні протяги та захворюваність учнів.

Внутрішній шум у кiмнатi, окрім мовного шуму та зовнішніх шумів, утворюється вiд роботи 18 комп'ютерiв і складає 35 - 40 дБА, а сумарний шум не перевищує 60 ДБА при нормi шуму у примiщеннi даного типу 50-65 дБА. Запиленiсть складає 0,1 мг/куб.м. при нормi 0,1 - 0,2 мг на кубiчний метр.

Значення параметрiв, якi характеризують санiтарно-гiгiєнiчний стан навчання учнів 11 класу наведене у табл. 4.2, де вони порiвнюються з прийнятими нормами та стандартами [7], [35].

Таблиця 4.2

Параметри санiтарно-гiгiєнiчних умов працi у примiщеннi кабінету математики та програмування 11 класу загальноосвітньої школи

№ п/п	Параметри	Фактичне значення	Норматив за державним стандартом	Відповідність нормативним значенням
1.	Температура повітря в перехідний період, 0C	18 - 22	18-23	Не відповідає
2.	Відносна вологість, %	40-45	40-60	Відповідає
3.	Швидкість руху повітря, м/с	0,1	0,1	Відповідає
4.	Запиленість, мг/м.куб.	0,1	0,1-2	Відповідає
5.	Освітленість, лк.	200	200 - 215 (для роботи з зошитами), 300 -500 (для роботи на клавіатурі операторами ПЕОМ)	Відповідає для роботи з зошитами, не відповідає для операторів ПЕОМ
6.	Рівень шуму, дБл	55-65	50-65	Відповідає

Як показує аналіз результатів, наведених в табл.4.2, наявність 18 комп'ютерних комплексів потребує підняття рівню освітленості клавіатур з існуючого рівня 200 люкс до мінімум 300 люкс.

Проведений в дипломному дослідженні аналіз техніки електробезпеки та протипожежної профілактики в 11 класі (кабінет математики та інформатики) загальноосвітньої школи виявив наступне:

1. За небезпекою ураження електричним струмом приміщення класу до приміщень без підвищеной небезпеки, оскільки приміщення сухе, з температурою повітря в межах оптимальних значень.

2. В кабінеті використовуються правила охорони праці під час експлуатації електронно-обчислювальних машин - „Правила безпеки під час навчання в кабінетах інформатики навчальних закладів системи загальної середньої освіти” [30].

3. Для захисту від ураження електричним струмом використовується захисне заземлення, конструктивно виконане 3-х провідним підведенням електроживлення до кожного робочого місця в пластикових коробах, де 1-провід це фаза, 2-провід -«нуль», 3-провід - спеціальний провід контуру заземлення, який виведений на зовнішню групу заземлювачів. Призначення заземлення - перетворення замикання на корпус у замикання на землю з метою зниження напруги дотику та напруги кроку до небезпечних величин ( вирівнювання потенціалів) [29].

4. Приміщення по пожежній безпеці відносяться до категорії В, оскільки тут використовуються тверді горючі і важкогорючі речовини та матеріали, наприклад папір. До протипожежного інвентарю відносяться вогнегасники ВП - 5Б у кількості 5 штук, розташовані в спеціальному приміщенні шкільного коридору на відстані 12 м від дверей в клас.

5. У будівлі на випадок пожежі передбачена евакуація людей через два евакуаційні виходи, такі як: головний вхід/вихід школи (головні сходи з боку кожного поверху), бокові сходи з другого боку кожного поверху з виходом на 2-й («чорний вихід»). Відстань від найвіддаленішого класу на поверсі до найближчого евакуаційного виходу з приміщення - 24 м, це не перевищує значень, що регла-ментуються [28].

Таким чином, проведений аналіз стану охорони праці та виконання вимог санітарно-гігієнічних норм організації навчання учнів в математично-інформаційному кабінеті 11 класу школи виявив наступні порушення - необхідно удосконалити систему штучного освітлення, оскільки після встановлення ПЕОМ підвищились вимоги до рівня освітленості робочої поверхні стола.

4.3 Обґрунтування заходів щодо покращення санітарно-гігієнічних умов навчання учнів в кабінеті математики та інформатики 10 класу загальноосвітньої школи

Основними поняттями, що характеризують світло є світловий потік, сила світла, освітленість і яскравість [9].

Світловий потік - Ф, лн (люмени) потік променистої енергії оцінюваний по зоровому відчуттю. Характеризує потужність світлового випромінювання. Базується на зоровому сприйнятті.

Сила світла - відношення світлового потоку, до кута, в межах якого проходить цей потік. Одиниця вимірювання СІ: кандела (кд).

Сила світла джерела, що випромінює у всі напрямки, обчислюється за формулою:

,

де Ф - повний світловий потік джерела.

Освітленість - освітлення поверхні, що створюється світловим потоком, який падає на поверхню. Одиницею вимірювання освітленості є люкс. На відміну від освітленості, вираз кількості світла, відображеного поверхнею, називається яскравістю.

Освітленість знаходять за формулою:

,

де I - сила світла в канделах; r - відстань до джерела світла; - кут падіння проміння світла.

Освітлювана площа:

Е = Ф / S,

де S - площа.

Яскравість -- світлова характеристика тіл, які є джерелами світла. Відношення сили світла, що випромінюється поверхнею в одиницю тілесного кута до площі її проекції в площині, перпендикулярній напряму спостереження. Одиниця вимірювання СІ: кд/м2.

Об'єкт розрізнення - деталь мінімальних розмірів, знак, символ, літера, які людина розрізняє в результаті діяльності.

Для якісної оцінки умов зорової роботи використовують такі показники як фон, контраст об'єкта з фоном, коефіцієнт пульсації освітленості, показник освітленості, спектральний склад світла.

Фон - це поверхня, на якій відбувається розрізнення об'єкта. Фон характеризується здатністю поверхні відображати падаюче на неї світловий потік. Ця здатність (коефіцієнт відбиття р) визначається як відношення відбитого від поверхні світлового потоку Фвід до падаючого на неї світлового потоку Фпад; р = Фвід / Фпад.

Залежно від кольору і фактури поверхні значення коефіцієнта відбиття знаходяться в межах від 0,02 до 0,95;

при р> 0,4 фон вважається світлим;

при р = 0,2 - 0,4 - середнім і при р <0,2 - темним.

Контраст об'єкта з фоном. k - ступінь розрізнення об'єкта і фону - характеризує співвідношенням яскравостей розглянутого об'єкта (точки, лінії, знака, плями, тріщини або інших елементів) і фону. Розраховується за формулою: (Lоб - Lф)/Lоб, де Lф - яскравість фону, Lф - яскравість об'єкту. Ступінь розрізнення об'єкту і фону вважається великою, якщо k > 0,5 (об'єкт різко виділяється на фоні), середньою при k = 0,2 ... 0,5 (об'єкт і фон помітно відрізняються за яскравістю) і малою при k <0,2 (об'єкт слабо помітний на тлі).

Коефіцієнт пульсації освітленості kE - це критерій глибини коливань освітленості в результаті зміни в часі світлового потоку kE = 100 (Еmax-Еmin) / (2Еcp), де Еmin, Еmax, Еср - мінімальне, максимальне і середнє значення освітленості за період коливань; для газорозрядних ламп kE = 25 ... 65%, для звичайних ламп розжарювання kE = 7%, для галогенних ламп розжарювання kE = 1%.

Показник осліпленості С - критерій оцінки сліпучої дії освітлювальної установки, що визначається виразом Р=(S-1)1000, де S - коефіцієнт осліпленості, що дорівнює відношенню порогових різниць яскравості за наявності і відсутності сліпучих джерел в полі зору.

Коефіцієнт природної освітленості (КПО) - відношення природної освітленості, яка створюється в деякій точці заданої площини всередині приміщення світлом неба (безпосереднім або після відбивання), до одночасного значення зовнішньої горизонтальної освітленості, яка створюється світлом повністю відкритого небосхилу; виражається у відсотках.

Згідно з ДНАОП 0.00 - 1.31 - 99/2010 в приміщеннях обчислювальних центрів необхідно застосувати систему комбінованого освітлення (природнє та штучне освітлення).

Для збереження здоров'я та працездатності користувача ПК системи штучного та природнього освітлення на виробництві мають відповідати нормам встановленим в ДБН В.2.5.28 - 2006 «Природне та штучне освітлення» [9], положення Кабінету Міністрів України про інструкції з експлуатації ЕОМ, ДНАОП 0.00 - 1.31 -99/2010 [10], ДСанПіН 5.2.2.008-01 [7].

4.3.1 Вимоги до штучного освітлення на робочому місці при роботі за комп'ютером

Згідно з ДНАОП 0.00 - 1.31 - 99/2010 [10] та ДСанПіН 3.3.2.007-98 [6] штучне освітлення у приміщеннях, призначених для експлуатації ЕОМ, має відповідати умовам:

1) Штучне освітлення має здійснюватись системою загального рівномірного освітлення (система освітлення, при якій світильники розміщуються у верхній зоні приміщення рівномірно або стосовно до розташування обладнання). У виробничих та адміністративно-громадських приміщеннях, у разі переважної роботи з документами, допускається застосування системи комбінованого освітлення (крім системи загального освітлення, додатково встановлюються світильники місцевого освітлення).

2) Значення освітленості на поверхні робочого столу в зоні розміщення документів має становити 300 - 500 лк. Якщо ці значення освітленості неможливо забезпечити системою загального освітлення, допускається використовувати місцеве освітлення. При цьому світильники місцевого освітлення слід встановлювати таким чином, щоб не створювати бліків на поверхні екрана, а освітленість екрана має не перевищувати 300 лк.

3) Як джерела світла в разі штучного освітлення мають застосовуватись переважно люмінесцентні лампи типу ЛБ. Допускається застосування ламп розжарювання у світильниках місцевого освітлення.

4) Система загального освітлення має становити суцільні або переривчасті лінії світильників, розташовані збоку від робочих місць (переважно ліворуч), паралельно лінії зору працюючих.

5) Допускається використання світильників таких класів світлорозподілу - прямого світла; - переважно прямого світла; переважно відбитого світла.

6) Для загального освітлення слід застосовувати світильники серії ЛПО 3б із дзеркальними гратами, укомплектовані високочастотними пускорегулювальними апаратами (ВЧ ПРА). Допускається застосовувати світильники цієї серії без ВЧ ПРА тільки в модифікації "Кососвітло". Застосування світильників без розсіювачів та екрануючих грат заборонено.

7) Яскравість світильників загального освітлення в зоні кутів випромінювання від 50 до 90 град. з вертикаллю в повздовжній та поперечній площинах має становити не більше ніж 200 кд/кв. м, захисний кут світильників - не менше ніж 40 град. Світильники місцевого освітлення повинні мати просвічуючий відбивач із захисним кутом не меншим ніж 40 град.

8) Слід передбачити обмеження прямої блискості від джерел природного та штучного освітлення. При цьому яскравість світлих поверхонь (вікна, джерела штучного освітлення), що розташовані в полі зору повинна бути не більше ніж 200 кд/кв. м.

9) Необхідно обмежувати відбиту блискість на робочих поверхнях відносно джерел природного і штучного освітлення. При цьому яскравість бліків на екрані ВДТ має не перевищувати 40 кд/кв. м, а яскравість стелі в разі застосування системи відбитого освітлення - 200 кд/кв. м.

10) Показник осліпленості у разі використання джерел загального штучного освітлення у виробничих приміщеннях має не перевищувати 20, а показник дискомфорту в адміністративно-громадських приміщеннях має бути не більше за 40.

11) Необхідно обмежувати нерівномірність розподілу яскравості в полі зору працюючих з ВДТ. При цьому співвідношення яскравостей робочих поверхонь має бути не більшим ніж 3:1, а співвідношення яскравостей робочих поверхонь та поверхонь стін, обладнання тощо - 5:1.

12) Коефіцієнт запасу К3 - враховує запиленість приміщення, зниження світлового потоку ламп в процесі експлуатації. Коефіцієнт запасу (К куб.) для освітлювальних установок загального освітлення має дорівнювати 1,4.

13) Коефіцієнт пульсації має не перевищувати 5 %, що забезпечується застосуванням газорозрядних ламп у світильниках загального та місцевого освітлення з ВЧ ПРА для світильників будь-яких типів. Якщо не має світильників з ВЧ ПРА, то лампи багатолампових світильників або світильники загального освітлення, розташовані поруч, слід вмикати на різні фази трьохфазної мережі.

14) Для забезпечення нормованих значень освітленості у приміщеннях з ВДТ ЕОМ та ПЕОМ слід чистити шибки і світильники принаймні двічі на рік і вчасно замінювати лампи, що перегоріли.

4.3.2 Вимоги до природнього освітлення

Коефіцієнт природної освітленості (КПО) не нижче ніж 1,5 % у виробничих приміщеннях, призначених для експлуатації ЕОМ згідно ДНАОП 0.00 - 1.31 - 99/2010.

Природне освітлення поділяється на бокове, верхнє і комбіноване (верхнє і бокове). Згідно з ДНАОП 0.00 - 1.31 - 99/2010 у приміщенням призначених для експлуатації ЕОМ природнє освітлення має бути бокового типу.

Згідно з ДБН В2.5.28 - 2006 КПО нормується за правилами:

При двосторонньому боковому освітленні приміщень різного призначення нормоване значення КПО повинно бути забезпечено в розрахунковій точці в центрі приміщення на перетині вертикальної площини характерного розрізу і робочої поверхні.

У виробничих приміщеннях глибиною до 6 м при односторонньому боковому освітленні нормується мінімальне значення КПО в точці, розташованій на перетині вертикальної площини характерного розрізу приміщення і умовної робочої поверхні на відстані 1 м від стіни або лінії максимального заглиблення зони, найбільше віддаленої від світлових прорізів.

У великогабаритних виробничих приміщеннях глибиною більше ніж 6 м при боковому освітленні нормується мінімальне значення КПО в точці на умовній робочій поверхні, віддаленій від світлових прорізів:

на 1,5 м висоти від підлоги до верху світлових прорізів для зорової роботи І - IV розрядів;

У виробничих приміщеннях із зоровою роботою І-ІІІ розрядів слід використовувати суміщене освітлення.

Розрахунок КПО проводиться з урахуванням середньозважених коефіцієнтів відбивання внутрішніх поверхонь приміщень без урахування меблів, устаткування, озеленення та інших затінюючих предметів, а також при 100 % використанні світлопрозорих заповнень у світлопрорізах. Розрахункові значення КПО слід округляти до десятих часток.

Основний потік природного світла повинен бути ліворуч. Згідно з ДСанПіН 3.3.2.007 - 98 орієнтація віконних прорізів повинна бути на північ або північний схід. Не допускається направлення основного світлового потоку природного світла ззаду і спереду від працюючого за ЕОМ.

4.3.3 Розробка системи штучного освітлення

За допомогою метода коефіцієнта використання світлового потоку знаходиться світловий потік лампи, за яким вона обирається з числа стандартних. Потік обраної лампи не повинен відрізнятися від розрахункового більше ніж на +20 або -10%. При більшому розходженні коригується намічене число світильників.

Розрахункове рівняння для визначення необхідної кількості світильників [11]:

(4.1)

де F - світловий всіх ламп у світильнику, лм; Emin - нормована освітленість, лк; k - коефіцієнт запасу (залежить від типу ламп і ступеня забрудненості приміщення); Z - коефіцієнт рівномірності; коефіцієнт мінімальної освітленості або нерівномірності освітлення; n - число світильників; з - коефіцієнт використання світлового потоку, рівний відношенню світлового потоку, що падає на робочу поверхню, до сумарного потоку всіх ламп (у долях одиниці); S - площа приміщення, м2.

В якості кількісної характеристики освітленості прийнята найменша освітленість робочої поверхні Еmin, яка залежить від розряду зорових робіт, фону і контрасту об'єкта з фоном та системи освітлення.

4.3.4 Практичний розрахунок штучного освітлення

Задача. Розробити систему освітлення методом використання світлового потоку у виробничому приміщенні, призначеному для експлуатації ЕОМ. Параметри приміщення: довжина - 9 м, ширина 6 м, висота - 4 м. Коефіцієнти відбиття стелі, стін 70%, 50% відповідно.

Порядок розрахунку освітлення за методом коефіцієнта використання світлового потоку:

1) визначається розрахункова висота h, тип і кількість світильників у приміщенні. Розрахункова висота підвісу світильника визначається виходячи з геометричних розмірів приміщення [11].

h = H - hсв - hр

де Н - висота приміщення, м; hcв - відстань від стелі до нижньої частини світильника (приймається в межах від 0, при установці світильників на стелі, до 1,5 м), м, hр - висота робочої поверхні над підлогою (зазвичай hр = 0,8 м).

h = H - hсв - hр = 4 м - 0,8 м = 3,2 м.

2) Знаходяться: коефіцієнт запасу k - 1,4 згідно з ДСанПіН 3.3.2-007-98, коефіцієнт рівномірності Z = 1,1 (беремо люмінесцентні лампи) , мінімальна нормована освітленість Еmin згідно з ДСанПіН 3.3.2-007-98 складає 300 - 500 лк, приймемо 300 лк [9].

3) визначається індекс приміщення i (він враховує залежність коефіцієнта використання світлового потоку від параметрів приміщення),
де А і В - ширина і довжина приміщення, м.

Довжина приміщення складає 9 м, ширина - 6 м.

4) знаходиться коефіцієнт використання світлового потоку ламп з в залежності від типу світильника, коефіцієнтів відбиття стін, стелі та робочої поверхні та індексу приміщення. Таблиця коефіцієнтів використання світового потоку представлена в таблиці 4.2.

Оскільки індекс приміщення 1,125, а коефіцієнти відбиття стелі, стін 70%, 50%, то коефіцієнт використання світового потоку для світильників типу ЛСП 22 2-2х58/80 складає 50% - це 0,50 у долях одиниці.

Таблиця 4.2

Коефіцієнт використання світлового потоку ламп [48]

Світильник	НСП - 07	ЛСП - 01	ПВЛ	ЛСП 22 2-2х58/ 65-002
коеф. відбиття стелі	30	50	70	30	50	70	30	50	70	30	50	70
коеф. відбиття стін	10	30	50	10	30	50	10	30	50	30	30	50
Індекс приміщення	Коефіцієнт використання світового потоку
0,5	14	16	22	23	26	31	11	13	18	-	-	-
0,6	19	21	27	30	33	37	14	17	23	17	18	28
0,7	23	24	29	35	38	42	16	20	27	-	-	-
0,8	25	26	33	39	41	45	19	23	29	26	26	35
0,9	27	29	35	42	44	48	21	27	32	-	-	-
1,0	29	31	37	44	46	49	23	28	34	28	30	40
1,5	34	37	44	50	52	56	30	36	42	38	41	54
2,0	38	41	48	55	57	60	35	40	46	43	48	58
3,0	44	47	54	60	62	66	41	45	52	48	55	71
4,0	46	50	59	630	65	68	44	48	54	57	60	74

5) За формулою (4.1) знаходимо необхідну кількість світильників, при умові що будуть використовуватись люмінесцентні лампи ЛД 65-7 F = 3720 лм (в одному світильнику 2 лампи) - таблиця 4.3.

Таблиця 4.3

Технічні характеристики люмінесцентних ламп [48]

Потуж- ність, Вт	Напруга на лампі, В	Струм лампи, А	Світловий потік лампи, лм	Розмір, мм
			Тип лампи
			ЛДЦ	ЛД	ЛХБ	ЛТБ	D	L
15	54	0,33	475	560	640	665	27	451,6
20	57	0,37	780	870	890	925	40	604
30	104	0,36	1375	1560	1605	1635	27	908,8
40	103	0,43	1995	2225	2470	2450	40	1213,6
65	110	0,67	2900	3720	3630	3780	40	1514,2
80	102	0,87	3380	3865	4220	4300	40	1514,2

Розмістимо світильники у два ряди по 3 в кожному ряді. Відстань від крайнього ряду світильників до стіни повинна складати від 0,3 до 0,5 відстані між рядами світильників.

Відстань між рядами світильників складає L=(0,9...2.8)*h. Приймемо коефіцієнт 0,9, тоді .Відстань між крайніми рядами світильників до стіни: .

Розроблена система освітлення: 6 світильників типу ЛСП 22 2-2х58/80-002 (в кожному світильнику 2 лампи). Люмінесцентні лампи ЛД 65-7 80 Вт. Світильники кріпляться безпосередньо до стелі, розташовуючись у два ряди по 3 світильника в кожному ряді, відстань між крайніми рядами світильників до стіні 1.5 м, відстань між рядами 3 м.

ВИСНОВКИ

В дипломному дослідженні узагальнені матеріали розроблених різними авторами шкільних підручників та спеціальних математичних збірників задач із параметрами й методик їх розв'язання в процесі навчання з метою реалізації розвиваючого навчання, ідей моделювання і прикладної спрямованості курсу математики.

На серії практичних прикладів розв'язання задач з параметрами по всьому об'єму функціонального аналізу, який викладається в шкільній програмі алгебри, доведено - якщо в процесі навчання математики використовувати систему задач із параметрами, реалізуючи при цьому дидактичні і психологічні принципи розвиваючого навчання, то це буде сприяти інтелектуальному розвитку учнів, підвищенню їх інтересу до математики як навчального предмета, розвитку дослідницьких умінь і загального рівня математичної підготовки.