Метод інверсії

При інверсії крапка А переходить у крапку Аґ, частина променя ОА переходить у зовнішню його частину Аґк?. дуга Аmв при інверсії перетвориться в себе.

Крапка В перетвориться в крапку Вґ. ОВ преоюразуется у Вґ?. У такий спосіб сектор базисної кола Аmво перетвориться у фігуру, обумовлену зовнішньою частиною променя, Аґк?, Вґ? і дугою Аґmвґ.

Побудова.

щ (О, R) - базисна коло;

А ? Аґ, В ? Вґ;

ОА > Аґк?;

ОВ > ВL?;

АmВ > АґmВґ;

К?Аґmвґ? - шукана фігура (мал. 6).

Доказ. Доказ треба з аналізу й побудови.

Дослідження. Задача має завжди рішення й притім єдине.

Мал. 6

Задача 7. Дано дві кола, що стосуються один одного в крапці А. прийнявши крапку А за полюс інверсії побудувати фігуру, інверсну двом окружностям.

Аналіз. Нехай щ1 (О1, R1), щ2 (О2, R2) - даної кола, щ (А, R) - базисна коло. В = щ щ2, З = щ щ2, D = щ щ1, К = щ щ1. при інверсії крапки В, З, D і До перетворяться в себе, тому що вони належать щ (А, R). Тому що кола щ1 і щ2 проходять через центр базисної кола, то вони перетворяться в прямі : l1 B, l1 C, l2 D, l2 К.

Побудова.

щ1 (О1, R1), щ2 (О2, R2) - даної кола, щ1 щ2 = А, щ (А, R) - базисна коло;

В = В = щ щ2, В > Вґ;

З = З = щ щ2, З > Сґ;

3. D = щ щ1, D > Dґ;

К = К = щ щ1, К > Кґ;

4. l1 Вґ, l1 Сґ, l2 Dґ, l2 Кґ, l1 і l2 - шукані прямі (мал 7).

Мал. 7

Доказ.Доказ треба з аналізу й побудови.

Дослідження. Задача має єдине рішення.

Задача 8. через дану крапку А провести коло, ортоганальную двом даним окружностям.

Аналіз. щ1 (О1, R1), щ2 (О2, R2) - даної кола, крапка А - дана крапка.

Приймемо щ1 і щ2 за базисні, тоді крапка А при інверсії перетвориться в крапку Аґ, Аґ О1А, і А перетвориться Аґґ, Аґґ О2А.

А, Аґ, Аґґ щ (О, ОА), щ - шукана коло.

Побудова.

щ1 (О1, R1), щ2 (О2, R2) - даної кола, А - дана крапка;

А > Аґ, Аґ О1А;

А > Аґґ, Аґґ О2А;

А, Аґ, Аґґ щ (О, ОА);

щ (О, ОА) - шукана коло (мал. 8).

Мал. 8

Доказ. Коло, що проходить через три взаємно інверсні крапки, ортогональна двом даним окружностям. А, Аґ, Аґґ - взаємно інверсні крапки.

Дослідження. Задача має єдине рішення.

Задача 9. Знаючи радіус інверсії, відстань двох крапок А верб від центра інверсії й відстань АВ, обчислити відстань між крапками Аґ і Вґ, відповідно інверсними крапкам А и В.

Аналіз. щ (О,R) - базисна коло, А и В - даної крапки.

ОА = а, ОВ = b, АС = с

При інверсії крапка А перетвориться в крапку Аґ, У перетвориться у Вґ.

З подоби ОАВ і ОАґВґ треба, що

, АґВґ = ; ОАґ ОА = R2; ОАґ = , АґВґ =

Мал. 9

Доказ. Доказ треба із властивостей взаємно інверсних крапок А и Аґ, У и Вґ і подоби ОАВ і ОАґВґ.

Дослідження. Задача має єдине рішення.

Задача 10. Дано коло щ1 (О1, R1) і пряма l. Побудувати коло інверсії щ (О, R), щодо якої щ1 (О1, R1) і пряма l були б взаємно інверсні.

Аналіз. щ1 (О1, R1) - дана коло, l - дана пряма. m - довільна пряма, m l. А m, А l.

При інверсії крапка А перетвориться в крапку Аґ, Аґ щ1, Аґ = щ1 m. l ¦lґ, lґ m, lґ А. О = m щ1, В = щ2 (О2, ) lґ.

ОВ - радіус шуканої кола інверсії.

Побудова.

щ1 (О1, R1) - дана коло, l - дана пряма;

m l, m - довільна пряма, m l = А, m щ1 = О;

l ¦lґ, lґ m, Аґ lґ;

щ2 (О2, );

В = щ2 lґ;

щ (О, ОВ) - шукана коло (мал. 10).

Мал. 10

Доказ. Тому що за умовою щ1 (О1, R1) і пряма l взаємно інверсні, те щ1 (О1, R1) проходить через центр кола інверсії, значить взявши довільну крапку А l, ми повинні побудувати дотичну до шуканої кола в крапці В. АґВ О1Аґ, О1А, Аґ належить одній прямій m.

Дослідження. Задача має єдине рішення.

Задача 11. Дано коло щ (О, R) і АВС, де А, В, С щ. Побудувати фігуру, інверсну вписаному трикутнику АВС.

Аналіз. АВС - даний трикутник, А, В, С щ (О, R). При інверсії крапки, що належать базисної кола перетвориться в себе, тобто А ? Аґ, В ? Вґ, З ? Сґ. Пряма, що не проходить через центр інверсії перетвориться в коло, що проходить через центр інверсії, тобто АВ перетвориться в дугу АmВ кола г1, ВР перетвориться в дугу ВnС кола г2, АС перетвориться в дугу АkС кола г3. у такий спосіб АВС перетвориться при інверсії в три дуги.

Побудова.

щ (О, R) - базисна коло, АВС, А,В,С щ;

А ? Аґ, В ? Вґ, З ? Сґ;

АВ > АmВ, АmВ г1 (О, R1),

ВР > ВnС, ВnС г2 (О, R2),

АС > АkС, АkС г3 (О, R3);

АґmвґnCґkAґ - шукана фігура (мал 11).

Доказ.

Доказ треба з аналізу.

Дослідження.

Задача завжди має рішення й притім єдине.

Мал 11

Задача 12. Дано крапку О и дві не минаючі через неї прямі а й b. Провести через крапку Об такий промінь, щоб добуток його відрізків від крапки Про до крапок перетинання з даними прямими було дорівнює квадрату даного відрізка.

Аналіз. Нехай крапка О - дана крапка, а й b - дані прямі, ОВ - шуканий промінь, такий що ОА ОВ = r2, де r - даний відрізок.

Інверсія щодо кола щ (О, r) переведе крапку А в крапку В, а пряму а - у деяку коло г, що проходить через крапку В. Таким чином

В ? г b.

Побудова.

щ (О,r) - базисна коло;

а > г;

В ? г b;

ОВ - шуканий промінь (мал 12).

Доказ.

Нехай А = ОВ а, тоді А - прообраз крапки В у інверсії відносно щ (О, r), тому що пряма а - прообраз кола г, те по визначенню інверсії ОА ОВ = r2.

Дослідження.

Якщо г b, то задача має два рішення;

Якщо коло г стосується b, то задача має одне рішення;

Якщо г не перетинається з b, то рішень немає.

Висновок

Геометричні побудови можуть зіграти серйозну роль у математичній підготовці школяра. Задачі на побудову, розв'язувані за допомогою інверсії звичайно не допускають стандартного підходу до них і формального сприйняття їхніми учнями. Такі задачі зручні для закріплення теоретичних знань учнів по будь-якому розділі шкільного курсу геометрії. Вирішуючи геометричні задачі на побудову, учні здобувають багато корисних креслярських навичок.

У даній роботі було розглянуте поняття інверсії як методу, за допомогою якого вирішуються деякі задачі на побудову, розглянуті основні властивості й теореми, на які опирається даний метод. Також у дипломній роботі розглянута задача Аполлонія, рішення якої і є основою методу інверсії, наведені приклади рішення задач на побудову за допомогою інверсії. У додатку дипломної роботи представлені рішення деяких більше складних задач.

Дана тема, на мій погляд, підходить до проведенню факультативних занять по геометрії в 8 класі, тому що в 7 класі були вивчені основні моменти планіметрії, які необхідно знати для рішення задач на побудову, але при цьому треба для початку провести курс по вивченню теми інверсії. Це має місце, тому що в цей час найкраще потрібно розвивати розумову діяльність учнів, учити хлопців доводити, міркувати, розвивати основні навички, необхідні для подальшого кращого засвоєння геометрії. Але це важливо ще й тому, що на рішення таких задач у курсі планіметрії практично немає часу.

Геометричні побудови в цей час не зв'язані безпосередньо з найбільш актуальними проблемами математики. Але в процесі вивчення засвоюються поняття й здобуваються деякі навички, що мають значення й за межами цього питання. Одним із широко розповсюджених у сучасній математиці понять є поняття алгоритму. Вивчення геометричних побудов є гарним засобом підготовки до засвоєння цього поняття. Дійсно, ціль рішення кожної геометричної задачі саме й складається в одержанні деякого алгоритму. Можливість розв'язання геометричної задачі на побудову розуміється саме як алгоритмічна можливість розв'язання. Досить повчальний розгляд задач, пов'язаних з доказом неможливості виконання якої-небудь побудови даними засобами, тому що питання можливості розв'язання тієї або іншої задачі при тих або інших допущеннях, що зустрічаються у всіляких розділах математики. Геометричні побудови грають також особливу роль, як засіб доказу існування геометричної фігури які мають зазначеними властивостями. Геометричні побудови становлять також теоретичну основу практичної графіки.

Список літератури

1. А. Адлер. Теорія геометричних побудов. - К., 2004

2. Б. І. Аргунов, М. Б. Балк, Геометричні побудови на площині. - К., 1997

3. М. Ф. Четверухін, Методи геометричних побудов. - К., 2005

4. Б. І. Аргунов, М. Б. Балк, Елементарна геометрія. - К., 2005

5. О. В. Погорєлов, Геометрія. - К., 2005

6. І. Я. Бакельман, Інверсія. - К., 2000

7. С. Л. Певзнер, Інверсія і її додатки. - Харків, 2000

8. І. М. Яглом, Геометричні перетворення. - К., 2003

9. Д. І. Перепелкін, Курс елементарної геометрії. - К., 2001

10. Б.В. Кутузов, Геометрія. Посібник для вчительських і педагогічних інститутів. - К., 2008.

Размещено на Allbest.ru

Размещено на Allbest.ru