Для наблюдателя, связанного с мировой прямой OY', цепочка событий В > А > С обозначает переход от прошлого к будущему (возрастание ординаты y'), а для наблюдателя, связанного с мировой прямой OY», та же последовательность событий В > А > С обозначает переход от будущего к прошлому (убывание ординаты у»). Нельзя пройти мимо этого явления, но следует тут же оговориться, что оно не столь парадоксально, как кажется на первый взгляд. И нет достаточных оснований для того вывода, что изменение системы координат способно обратить ход времени вспять.

Теория относительности не отрицает абсолютного различия между прошлым и будущим, а напротив, формулирует четкие условия возможности такого различения, которые просто и наглядно интерпретируются в модели мира Минковского. Для того чтобы две мировые точки А и В могли быть одновременными в какой-либо ортонормированной системе координат OXY псевдоевклидовой плоскости, они должны лежать на перпендикуляре к оси ординат этой системы. И поскольку ось OY принадлежит мнимым секторам, прямая, соединяющая точки А и В, должна принадлежать вещественным секторам. Любая ось OY может быть повернута как в положительную, так и в отрицательную сторону, поскольку угол между любым неизотропным вектором верхнего сектора и каждой изотропной прямой, ограничивающей сектор, бесконечно велик. Поэтому всегда найдутся такие координатные системы OX'Y' и OX «Y», у которых оси ОY' и OY» расположены по разные стороны от оси OY. Если вектор имеет отрицательную проекцию на ось OY' (как на рис. 3), то мировая точка В является более ранней в системе OX'Y', чем точка А. При этом проекция вектора на ось OY», отклоненную в другую сторону от OY, окажется положительной, и мировая точка В будет более поздней в системе OX «Y», чем точка А. Зависимость порядка следования событий от выбора координатной системы возможна лишь для таких мировых точек А и В, расстояние между которыми выражается вещественным числом (вектор принадлежит вещественному сектору).

Если же мировые точки Р и F таковы, что расстояние между ними выражается мнимым числом (вектор принадлежит мнимому сектору) или равно нулю (точки лежат на одной изотропной прямой), то вектор не может быть перпендикулярным к какой-либо прямой мнимого сектора. Следовательно, не существует такой системы координат OXY, в которой мировые точки Р и F могли бы быть одновременными. Пусть в какой-нибудь координатной системе точка Р является более ранней, чем точка F (вектор принадлежит верхнему сектору или одной из ограничивающих его изотропных прямых). Тогда проекция вектора на любое неизотропное направление верхнего сектора будет положительной и, значит, в любой координатной системе событие F будет более поздним, чем событие Р. Другими словами, для мировых точек Р и F, определяющих вектор мнимого сектора или изотропный вектор, инверсия времени (обращение вспять последовательности событий) невозможна ни при каком изменении системы координат, так что событие F является абсолютно будущим по отношению к событию Р.

На рис. 3 все точки верхнего сектора, исходящего из точки О, включая ограничивающие его изотропные прямые у = х и у = - х, находятся в области абсолютного будущего по отношению к точке О, а все точки нижнего сектора вместе с ограничивающими его изотропными прямыми - в области абсолютного прошлого. Из каждой точки псевдоевклидовой плоскости исходят два сектора: сектор абсолютного прошлого и сектор абсолютного будущего. Как отмечено выше, вектор, касательный к любой мировой линии в любой ее точке и направленный в сторону роста мировой линии, принадлежит верхнему сектору. Поэтому какую бы точку на мировой линии мы ни выбрали, вся мировая линия не выйдет за пределы мнимых секторов, имеющих вершину в выбранной точке. А это значит, что на любой мировой линии различие между прошедшим и будущим не может зависеть от выбора координатной системы и в этом смысле абсолютно. Для точек любой изотропной прямой различие между прошедшим и будущим тоже абсолютно.

Если в мире Минковского совершается процесс проявления, то существуют два типа отношений одновременности и разновременности, основанные на двух разных критериях. Согласно одному критерию порядок следования событий во времени определяется проекциями соответствующих мировых точек на ось ординат. Этот критерий можно назвать координатно-геометрическим. Им мы и пользовались до сих пор. Согласно другому критерию порядок следования событий во времени определяется очередностью проявления соответствующих мировых точек. Оба критерия приводят к одинаковому результату, когда речь идет о мировых точках одной и той же мировой линии. Вывод об инвариантности различия между прошедшим и будущим на одной мировой линии, полученный на основе координатно-геометрического критерия, прекрасно согласуется с понятием мирового проявляющего процесса. Если прошлые участки мировой линии представляют уже сформировавшийся, проявленный материальный объект, а в будущем такого объекта нет, поскольку процесс проявления туда еще не дошел, то это физическое различие между прошлым и будущим тоже не зависит от выбора координатной системы.

Согласие обоих критериев может нарушиться, когда речь идет о точках, не лежащих на одной мировой линии. На рис. 3 точки Р и F лежат на изотропных прямых у = - х и у = х, пересекающихся в точке О. Поэтому точка Р и все точки, расположенные ниже нее на прямой PF, являются абсолютно прошлыми по отношению к точке О. Точка F и все точки, расположенные выше нее на прямой PF, являются абсолютно будущими по отношению к точке О. Но любая внутренняя точка отрезка PF удалена от мировой точки О на расстояние, выражаемое вещественным числом. Поэтому для каждой внутренней точки отрезка PF найдется такая система координат, в которой эта точка одновременна точке О, и найдутся такие системы координат, в которых эта точка является либо более ранней, либо более поздней, чем точка О. Например, в координатной системе OXY мировой точке О одновременна точка N на прямой PF. В координатной системе OX'Y' точке О одновременна точка Т на прямой PF, а точка N является будущей. В координатной системе OX» Y» точке О одновременна точка S на прямой PF, а точка N является прошлой. Это знакомая нам относительность одновременности, базирующаяся на координатно-геометрическом критерии. Другой же критерий, основанный на представлении о проявляющем процессе, не допускает такой многозначности временных отношений. По этому критерию независимо от выбора координатной системы возможно лишь одно из трех отношений: 1) мировая точка N проявляется вместе с точкой О; 2) точка N проявлена прежде точки О; 3) точка N проявится после точки О.

Каждый наблюдатель, несомненно, ощущает реальность границы между своим проявленным прошлым и непроявленным будущим. В любое мгновение своей жизни он переживает акт проявления и справедливо убежден, что в таком же положении находятся все другие наблюдатели и неодушевленные предметы. Какая же точка мировой линии PF проходит акт проявления вместе с точкой О? Здесь мы заменяем словом «вместе» слово «одновременно», поскольку стало уже привычным понимать одновременность в смысле координатного критерия. Если есть такие состояния мира, в которых существуют (проявлены) обе мировые точки О и N, и есть такие состояния мира, в которых не существует ни одна из них, но нет таких состояний, в которых одна из этих точек существовала бы, а другая не существовала, то мы скажем, что точки О и N проходят акт проявления вместе. Точки, проявляющиеся вместе, заслуживают названия абсолютно одновременных.

Координатно-геометрический критерий не допускает абсолютной одновременности. Поскольку все инерциальные системы координат в чувственно воспринимаемом пространстве равноправны и равноправны соответствующие им ортонормированные системы координат в псевдоевклидовом мировом пространстве, суждение об одновременности и разновременности мировых точек с позиций одной координатной системы столь же справедливо, как суждение с позиций любой другой системы, хотя бы эти суждения и противоречили друг другу. Раз не существует привилегированной (абсолютной) системы координат, то не может быть и абсолютной одновременности.

Но мы основываем понятие абсолютной одновременности не на координатно-геометрическом критерии и потому не вступаем в логическое противоречие с ним. Больше того, это понятие не вступает в противоречие и с экспериментальными основаниями теории относительности, поскольку экспериментирование с механическими и электромагнитными явлениями не позволяет обнаружить абсолютную одновременность. Предположим, что состояние наблюдателя, связанного с мировой прямой OF на рис. 3, изображается мировой точкой А. Наблюдатель знает, что он находится на границе между проявленным и непроявленным и переживает в свой настоящий момент времени акт проявления. Но восприятию наблюдателя в этот момент недоступна мировая точка В на прямой OF', и потому он не может знать, проявляется ли она вместе с А, была ли проявлена раньше или будет проявлена позже. Мировая точка В окажется доступной восприятию наблюдателя, когда он будет перенесен ходом проявляющего процесса вдоль своей прямой в точку М, лежащую на одной изотропной прямой с точкой В. Но это уже не поможет решению интересующего его вопроса. Факт наблюдаемости точки В из точки М будет говорить лишь о том, что точка В проявлена раньше точки М, и ничего не скажет о соотношении моментов проявления точек В и А. Между тем вполне возможны физические эксперименты, позволяющие наблюдателю, связанному с мировой прямой OF, измерить координаты точки В в его координатной системе OXY. Предположим, что в мировой точке О, где встречаются мировые прямые OY и OF', наблюдатель из OF произвел установку некоторого отражающего устройства на материальной точке, соответствующей мировой прямой OY'. В последующие моменты времени наблюдатель организует излучение фотонов из мировых точек своей прямой OF таким образом, чтобы в каждом фотоне (серии фотонов) содержалась информация о том, в какой момент времени по часам наблюдателя произошло излучение. Спустя некоторое время наблюдатель на прямой OF начнет принимать отражения своих сигналов с прямой OF' и отмечать моменты приема сигналов. Располагая такими экспериментальными данными, наблюдатель будет рассуждать следующим образом. Если в его мировой точке М принято отражение сигнала, который был испущен t секунд тому назад, то это значит, что сигнал был послан из мировой точки L, отделенной от точки М отрезком длиной . Отсюда можно найти ординату точки L.

.

За время t световой сигнал прошел вдоль оси ОХ туда и назад расстояние

определяющее абсциссу мировой точки В, отразившей сигнал. Ордината точки В равна

На мировой прямой OY такую же ординату имеет точка А:

.

Откуда наблюдатель делает справедливое заключение, что его координатной системе мировая точка В одновременна точке А. Однако, как показано выше, ото ничего не говорит о том, проявлена ли точка В раньше, позже или одновременно с точкой А. Может возникнуть вопрос: а стоит ли вообще говорить об абсолютной одновременности, если она экспериментально не обнаруживается? Не следует ли отбросить это понятие как излишнее и признать, что никакой иной одновременности, кроме относительной, в природе нет? В действительности такая точка зрения не столь безупречна, как кажется с первого взгляда. Уже выяснена несостоятельность того представления, что прошлое и будущее в равной мере не существуют, а существует лишь настоящее. Его придерживалась классическая физика, но оно противоречит относительности одновременности. Признание же прошлого и будущего существующими наряду с настоящим было бы еще худшей крайностью.

События, совершающиеся в настоящий момент времени, не вносят изменений в прошлое, не влияют на уже реализованные состояния мира, но будущие события формируются под влиянием прошлых и настоящих. Конечно, в известном смысле можно сказать, что будущее влияет на настоящее, поскольку, стремясь реализовать свои планы на будущее, мы подчиняем им свои действия в настоящем. Но, апеллируя к умственным способностям и творческим возможностям человека, мы выходим за рамки того круга явлений, в котором определяющую роль играют законы механики и электродинамики. Да и сам факт, что человек или иное живое существо может посредством целенаправленной деятельности (хотя бы и неосознанной) повлиять на ход будущих событий, направить их в то или иное русло, свидетельствует о том, что будущие события еще не реализованы, не проявлены, не существуют. Если бы будущие мировые точки были проявлены, как и прошлые, то жесткая предопределенность управляла бы развитием событий, и наше участие в жизни ограничивалось бы только пассивным просмотром существующих состояний мира в определенной последовательности. Лишилась бы почвы и смысла творческая активность, люди не имели бы возможности даже в малейшей степени быть творцами своего будущего.

Реальность различия между прошедшим и будущим служит необходимой предпосылкой определенной направленности процесса течения времени. Термодинамика характеризует положительное направление времени как такое спонтанное развертывание событий, при котором возрастает энтропия. Вот пара наглядных примеров процессов, протекающих с возрастанием энтропии. Перед началом биллиардной партии шары собраны в правильный треугольник, а после первого удара они беспорядочно рассеиваются по столу. Обратный ход времени применительно к этой ситуации выразился бы в том, что разбросанные шары должны собраться в исходный треугольник, что означало бы уменьшение энтропии системы. Другой пример. Вещество горящей сигареты рассыпается пеплом и рассеивается в окружающем воздухе в виде частиц дыма и газообразных продуктов горения (возрастание энтропии). Обратный ход времени выразился бы в обратной последовательности событий: не только рассеянные частицы собираются в целую сигарету, но и химические реакции протекают в обратном направлении, синтезируя из продуктов окисления крошки табака и вещество бумаги (уменьшение энтропии).

Признать, что прошлое физически отличается от будущего как существующее от несуществующего, - значит признать реальность перехода от непроявленного к проявленному, т.е. реальность проявляющего процесса. Принимая его для каждой мировой линии в отдельности, мы вынуждены ставить и решать вопрос о связи между процессами проявления различных мировых линий. Вряд ли возможно представить течение времени в мире так, будто проявление каждой мировой линии совершается в полной изолированности, вне всякой связи с другими мировыми линиями. Естественнее полагать, что процесс проявления характеризуется определенными пространственными формами в псевдоевклидовом мире Минковского, что совокупность точек, отделяющих на каждой мировой линии проявленную часть от непроявленной, обрисовывает определенную границу между проявленной и непроявленной областями мирового пространства. Назовем эту границу проявляющим фронтом. Каждое фиксированное положение проявляющего фронта включает в себя мировые точки, которые вместе переходят от несуществования к существованию, т.е. являются абсолютно одновременными. Поскольку в науке не рассматривался проявляющий процесс в мире Минковского, не возникала мысль и о проявляющем фронте. Но понятие проявляющего фронта с логической необходимостью сопутствует представлению о проявляющем процессе, без него это представление не может обрести достаточной четкости.

До сих пор мы рассуждали только о процессе проявления мировых линий, молчаливо допуская, что в промежутках между ними нет материальных объектов и проявляться нечему. Однако, как показано выше, вектор массы может характеризовать не только мировую линию, но и изотропную. Конечно, вектор массы характеризует не саму «пустую» линию как геометрический объект, а физический процесс, связанный с линией. Изотропные прямые проходят через каждую точку псевдоевклидовой плоскости, но, возможно, не каждая изотропная служит проводником электромагнитного воздействия. И, по-видимому, подобно тому, как имеются проявленные и непроявленные части мировых линий, должны существовать проявленные и непроявленные части изотропных линий. Вспомним, что изотропным свойственна двоякая мера длины. В метрическом отношении длина любого отрезка изотропной равна нулю, и может показаться лишенным смысла представление о процессе, совершающемся на пути нулевой длины. Однако в линейном отношении отрезки одной и той же изотропной различаются своими длинами, что позволяет говорить о распространении процесса вдоль изотропной. Та точка изотропной, до которой дошел процесс проявления, приобретает физическое свойство, характеризуемое изотропным вектором массы, благодаря чему в этой точке может быть осуществлена передача энергии и импульса от изотропной к мировой линии, если таковая встретится. В тех же точках, до которых процесс проявления еще не дошел, во-первых, нечего передавать, во-вторых, нечему передавать, поскольку там нет и проявленных точек мировой линии. Изотропные линии в качестве проявляемых объектов заполняют пространство между мировыми линиями, и благодаря этому можно (на макроскопическом уровне) представлять проявляющий фронт в псевдоевклидовой плоскости не в виде множества изолированных точек на мировых линиях, а в виде некоторой сплошной линии, прямой или кривой.

Хотя доступные нам эксперименты не позволяют определить направление проявляющего фронта, можно высказать некоторые теоретические соображения на этот счет. Линия, представляющая проявляющий фронт в псевдоевклидовой плоскости, должна пересекать все без исключения мировые линии, находящиеся в этой плоскости. Таким свойством обладает всякая прямая, принадлежащая вещественным секторам. Им обладает и кривая линия, у которой касательная в любой точке принадлежит вещественным секторам, или, иначе говоря, положительная нормаль к кривой в любой ее точке принадлежит верхнему сектору. Прямолинейный фронт будет характеризоваться единственным направлением проявляющего движения, перпендикулярным к фронту. Криволинейному фронту отвечает множество перпендикулярных к нему направлений, по которым распространяется проявляющий процесс.

Такое представление о проявляющем фронте не противоречит координатно-геометрическим различиям между абсолютно прошедшим и абсолютно будущим. Для наблюдателя, состояние которого изображается на рис. 3 мировой точкой О, абсолютно будущими являются не только точки его собственной мировой линии, но и точки других мировых линий, находящиеся в верхнем секторе. Например, точка F и все более поздние точки на прямой PF являются абсолютно будущими по отношению к точке О. Но именно такие точки и не могут быть проявлены в тот момент, когда проявляющий фронт проходит через точку О, ибо он не выходит за пределы вещественного сектора. Вместе с тем в этот момент неизбежно оказываются уже проявленными все точки нижнего сектора, исходящего из точки О, в частности точка Р и все более ранние точки на прямой PF. При любом допустимом расположении проявляющего фронта, проходящего через точку О, фронт необходимо пересечет отрезок PF в одной из его внутренних точек, которая и будет абсолютно одновременной точке О. Выше показано, что для любой внутренней точки отрезка PF найдется ортонормированная система координат, в которой эта точка одновременна точке О. Таким образом, абсолютная одновременность неизбежно примет форму относительной одновременности в какой-нибудь координатной системе, хотя мы и не можем узнать, в какой именно.

Все релятивистские эффекты, в том числе и относительность одновременности, обусловлены наклоном мировых линий друг к другу. Наш обыденный опыт и опыт классической механики ограничен мировыми линиями, имеющими близкие направления («почти параллельными»). В таких условиях проявляющий процесс воспринимается с акцентом на абсолютном характере течения времени, и этим объясняется, почему сначала наука считала одновременность инвариантной. Классическое представление о существовании абсолютной одновременности правильно отражало фундаментальное свойство мира, но страдало узостью, поскольку не учитывало богатого разнообразия форм абсолютного процесса проявления. Для, теории относительности, столкнувшейся с таким разнообразием, была бы грехом односторонности противоположная крайность - отрицание абсолютной одновременности. Не имея возможности экспериментально определить направление фронта (абсолютно одновременные точки), мы не знаем и направления нормали к нему. Практическому измерению доступны только длины проявленных участков отдельных мировых линий. Хотя не наложено никаких ограничений на численную величину угла между нормалями, направления их ограничены изотропными прямыми, так что всякая положительная нормаль к проявляющему фронту в псевдоевклидовой плоскости принадлежит одному и тому же мнимому сектору (который мы изображаем на рисунках в виде верхнего сектора). Только в этом смысле мы и можем говорить об определенности положительного направления проявляющего процесса.

Если есть какой-либо реальный физический смысл в представлении об обратном направлении течения времени, то это должно быть не что иное, как возвращение проявляющего процесса вспять по всем мировым линиям. Тогда надо представлять мир пульсирующим. Прямое движение проявляющего фронта, в результате которого вырастает космическое «дерево» мировых линий, дойдя до некоторого предела, сменится возвратным движением. Эта отрицательная фаза мирового цикла должна быть фазой «свертывания» проявленного мира. Проявляющий фронт превратится в «стирающий» фронт, который покатится назад, оставляя за собой (там, где в положительной фазе цикла находилась непроявленная область будущего) наступающую область непроявленности. Все процессы, протекавшие в прямом цикле с возрастанием энтропии, потекут в обратном направлении с уменьшением энтропии. Для того чтобы из рассеявшихся газов, дыма и пепла сгоревшей сигареты могла восстановиться целая сигарета, процесс ее «сборки» должен быть целенаправленным и управляемым информацией о структуре и путях рассеяния исходного объекта. Но вся эта информация естественным образом заключена в проявленных мировых линиях, а целенаправленность обеспечивается тем, что процесс «стирания» идет по проложенным ранее путям и не может привести ни к чему иному, как к тем пунктам, которые были исходными в процессе проявления.

2.2.3 Трехмерное псевдоевклидово пространство

До сих пор мы рассматривали мир Минковского в плоском сечении, что позволило упростить математический аппарат и представить в наиболее наглядной форме геометрическую интерпретацию эффектов специальной теории относительности. Однако такое упрощение обедняло картину мира. Чтобы понять, почему мировое пространство кажется нам трехмерным и собственно евклидовым, необходимо перейти к четырехмерной модели мира Минковского, но прежде рассмотрим в качестве промежуточной ступени трехмерное псевдоевклидово пространство.

Трехмерное псевдоевклидово пространство является разновидностью трехмерного линейного пространства. Вспомним, что линейное пространство обладает метрическими свойствами, если в нем определена операция скалярного умножения его элементов. Метрические свойства пространства могут быть исчерпывающе характеризованы метрическими отношениями между векторами базиса. Для того чтобы метрические свойства линейного пространства были псевдоевклидовыми, в базисе пространства должны быть как векторы вещественной длины, так и векторы мнимой длины. Для трехмерного пространства это условие может быть выполнено двумя способами:

1) два базисных вектора имеют вещественную длину, а третий - мнимую;

2) одни базисный вектор имеет вещественную длину, а два - мнимую.

По существу оба варианта дают одинаковый тип метрических отношений. Достаточно во втором варианте умножить длины всех базисных векторов на мнимую единицу, чтобы свести его к первому варианту. По той же причине пространство, в котором все три базисных вектора имеют мнимую длину, обладает метрическими свойствами собственно евклидова пространства.

Итак, на основе трехмерного линейного пространства может быть построен по существу только один тип псевдоевклидова пространства. Мы будем описывать его с помощью ортонормированного базиса, характеризуемого следующей таблицей скалярных произведений:

(2.18)

Таблица (2.18) означает, что векторы и являются вещественно-единичными:

а вектор - мнимоединичным:

и любые два вектора базиса , , взаимно перпендикулярны.

Ортонормированный базис , , в сочетании с фиксированной точкой О (полюсом) образует трехмерную ортонормированную систему координат OXYZ (рис. 4). Координатная плоскость OXY имеет базис, состоящий только из векторов вещественной длины , и несет на себе собственно евклидову метрику. В координатных плоскостях OXZ и OYZ один из базисных векторов () имеет длину, выражаемую мнимым числом, и эти плоскости несут на себе псевдоевклидову метрику.

Запишем разложения произвольных векторов а и b трехмерного псевдоевклидова пространства по ортонормированному базису:

(2.19)

и вычислим скалярное произведение с учетом таблицы (2.18):

(2.20)

Применяя формулу (2.20) к скалярному произведению вектора на самого себя, найдем длину (модуль) вектора

 (2.21)

Координаты радиус-вектора в ортонормированной системе координат OXYZ будем обозначать буквами х, у, z и называть их координатами точки М, указываемой радиус-вектором:

(2.21)

Длина радиус-вектора, согласно (2.22), равна

(2.23)

Она обращается в нуль, если координаты удовлетворяют условию

или (2.24)

Соотношение (2.24) определяет в трехмерном псевдоевклидовом пространстве геометрическое место точек, радиус-векторы которых являются изотропными. Это геометрическое место точек представляет собой уже не две прямые, как в псевдоевклидовой плоскости, а поверхность. Такой поверхности нет в собственно евклидовом трехмерном пространстве. Для того чтобы придать хотя бы условную наглядность описанию метрических свойств трехмерного псевдоевклидова пространства, мы будем отображать его на трехмерное собственно евклидово пространство, пользуясь совпадением линейных свойств этих пространств. Если каждой точке с координатами х, у, z в псевдоевклидовом пространстве мы поставим в соответствие точку с такими же координатами в пространстве собственно евклидовом, то получим взаимно однозначное отображение одного пространства на другое с сохранением линейных свойств. Именно такое отображение представлено на рис. 4. Метрические свойства псевдоевклидова пространства могут быть переданы в этом отображении лишь условно. Уравнению (2.24), определяющему множество изотропных; радиус-векторов в псевдоевклидовом пространстве, соответствует в собственно евклидовом пространстве, отнесенном к ортонормированной системе координат, поверхность прямого кругового конуса с осью OZ. Поэтому и саму отображаемую поверхность (2.24) в псевдоевклидовом пространстве называют конусом, а именно изотропным конусом.

Рис. 4.

Внутренняя область изотропного конуса (2.24), т.е. область, содержащая ось OZ, описывается неравенством

или (2.25)

Длина любого радиус-вектора, принадлежащего внутренней области изотропного конуса, выражается мнимым числом. Внутренняя область состоит из двух полостей. Ту полость, точки которой имеют положительную аппликату (z > 0), мы будем называть верхней полостью.

Внешняя область изотропного конуса (2.24) описывается неравенством

 или (2.26)

Длина любого радиус-вектора, принадлежащего внешней области изотропного конуса, выражается вещественным числом.

Соотношения (2.24), (2.25), (2.26) служат классифицирующими признаками, по которым любые векторы трехмерного псевдоевклидова пространства относятся к одному из трех типов. Если вектор

где бы ни находилась точка его начала, коллинеарен некоторому изотропному радиус-вектору (), то координаты вектора а удовлетворяют соотношению типа (2.24):

и вектор а является изотропным. Аналогично, о всяком векторе, коллинеарном какому-нибудь радиус-вектору внутренней области изотропного конуса (2.24), мы будем говорить, что он принадлежит внутренней области (модуль такого вектора выражается мнимым числом). Всякий вектор, модуль которого выражается вещественным числом, мы будем называть принадлежащим внешней области изотропного конуса.

В трехмерном псевдоевклидовом пространстве, как и в пространстве собственно евклидовом, плоскость однозначно определяется нормалью к ней и точкой, принадлежащей плоскости. Рассмотрим множество всех радиус-векторов , перпендикулярных к вектору а. Оно описывается уравнением

(2.28),

которое в координатной форме, согласно (2.20), принимает вид

 (2.29)

В собственно евклидовом трехмерном пространстве уравнению (2.29) соответствует плоскость, проходящая через начало координат. Но принадлежность множества точек к одной плоскости является линейным свойством пространства, а линейные свойства у собственно евклидова и псевдоевклидова пространств одинаковы. Значит, точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (2.29), лежат в одной плоскости и в псевдоевклидовом пространстве. Это и есть плоскость, проходящая через начало координат перпендикулярно к вектору а.

Если вектор а принадлежит внутренней области изотропного конуса, т.е. для его координат выполняется условие

или (2.30)

то все перпендикулярные к а радиус-векторы имеют длины, выражаемые вещественными числами, как нетрудно убедиться. Представим уравнение (4.29) в виде

(2.31)

Это можно сделать, так как (см. (2.30)). Подставив выражение (2.31) в (2.23), найдем длину радиус-вектора г произвольной точки плоскости (2.29):

(2.32)

Условие (2.30), наложенное на вектор а, можно переписать в виде:

и получить из него равносильные неравенства

Внося эти неравенства в (2.31), найдем:

.

Поскольку выражение в скобках представляет вещественное число, квадрат его не может быть отрицательным числом. Следовательно,

Это означает, во-первых, что среди радиус-векторов , принадлежащих плоскости (2.27), нет таких, длина которых выражалась бы мнимым числом. Во-вторых, среди них нет таких ненулевых векторов, длина которых равнялась бы нулю, т.е. нет изотропных векторов. Таким образом, все ненулевые радиус-векторы точек плоскости (2.27) принадлежат внешней области изотропного конуса. Точка начала координат имеет нулевой радиус-вектор и принадлежит изотропному конусу. Поэтому она оказалась исключенной из множества точек, удовлетворяющих неравенству . Однако начало координат принадлежит плоскости (2.27), так как радиус-вектор удовлетворяет уравнению этой плоскости. Итак, мы доказали, что для любого вектора а, принадлежащего внутренней области изотропного конуса, найдется перпендикулярная к нему плоскость, в которой нет ни векторов мнимой длины, ни изотропных векторов, а есть только векторы вещественной длины. Такая плоскость несет на себе собственно евклидову метрику.

Можно доказать, что плоскость несет на себе псевдоевклидову метрику, если нормаль к плоскости принадлежит внешней области изотропного конуса.

Плоскость, нормаль к которой является изотропным вектором, содержит в себе эту нормаль (изотропный вектор перпендикулярен сам себе) и оказывается касательной к изотропному конусу. Такую плоскость называют изотропной. Метрические свойства изотропной плоскости очень своеобразны, они отличаются как от собственно евклидовых, так и от псевдоевклидовых. Ортонормированная система координат в трехмерном псевдоевклидовом пространстве может быть выбрана более произвольно. Если иметь в виду физические приложения, следует выбирать мнимоединичный орт так, чтобы он принадлежал верхней внутренней полости изотропного конуса. В собственно евклидовой плоскости, перпендикулярной к орту , можно выбрать произвольно два взаимно перпендикулярных орта и .

Так как длина каждого вектора трехмерного псевдоевклидова пространства - величина инвариантная, то свойство определенных ненулевых векторов иметь длину, равную нулю, не зависит от выбора системы координат. Значит, всякий вектор, являющийся изотропным в одной координатной системе, остается изотропным и в любой другой координатной системе. Поэтому изотропный конус является инвариантной конструкцией в трехмерном псевдоевклидовом пространстве. Он обладает замечательным свойством: плоскость, перпендикулярная к любой прямой, принадлежащей внутренней области изотропного конуса, пересекается с этим конусом по обычной собственно евклидовой окружности. Рассмотрим две ортонормированные координатные системы OXYZ и OX'Y'Z' с общим началом в точке О. Изотропный конус с вершиной в точке О описывается в нештрихованной системе координат уравнением

Плоскость z = h, перпендикулярная к оси OZ, несет на себе собственно евклидову метрику и пересекается с изотропным конусом по кривой

которая является окружностью с центром на оси OZ. В штрихованной системе координат OX'Y'Z' этот же изотропный конус описывается уравнением .

Плоскость z' = h, перпендикулярная к оси OZ', тоже является собственно евклидовой плоскостью и пересекается с изотропным конусом по окружности

.

В собственно евклидовом пространстве конус, основанием которого служит круг, а вершина лежит на перпендикуляре к кругу, восстановленном из его центра, называется прямым круговым конусом. Упомянутый перпендикуляр является осью симметрии, и других осей симметрии прямой круговой конус не имеет. Прилагая этот образ к изотропному конусу, приходим к заключению, что всякая прямая, принадлежащая внутренней области изотропного конуса, является его осью симметрии. И подобно тому, как в двумерном псевдоевклидовом пространстве (плоскости) мы имеем право изобразить любую пару взаимно перпендикулярных прямых под углом на собственно евклидовой плоскости рисунка, так в отображении трехмерного псевдоевклидова пространства на собственно евклидово трехмерное пространство мы имеем право изображать любую ось OZ в виде перпендикуляра к плоскости OXY, а изотропный конус - в виде прямого кругового конуса в этой системе координат.

2.2.4 Четырехмерный мир Минковского. Гиперплоскости

На основе четырехмерного линейного пространства могут быть построены различные типы псевдоевклидовых пространств. Если среди четырех векторов базиса , , , этого пространства один вектор имеет длину, выражаемую мнимым числом, а длины остальных трех векторов выражаются вещественными числами, то такому пространству присваивается индекс 1. Умножив на мнимую единицу длины всех базисных векторов четырехмерного псевдоевклидова пространства индекса 1, получим пространство индекса 3, имеющее по существу такие же метрические свойства. Герман Минковский понял, что реальное мировое пространство обладает такими же линейными и метрическими свойствами, как псевдоевклидово четырехмерное пространство индекса 1. Для краткости мы будем называть его также пространством Минковского. Желая принять во внимание не только геометрические свойства, но и физические объекты и процессы в мировом пространстве, мы будем пользоваться термином «мир Минковского».

Ортонормированный базис в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве индекса 1 будем характеризовать следующей таблицей скалярных произведений векторов:

(2.33)

Таблица (2.33) говорит о том, что любые два различных вектора в этом базисе взаимно перпендикулярны, а длины их имеют следующие значения:

(2.34)

Запишем разложения произвольных векторов а и b пространства Минковского по ортонормированному базису , , , :

(2.35)

и вычислим скалярное произведение <а, Ь> с учетом таблицы (2.33):

. (2.36)

По общему определению - модуль вектора есть корень квадратный из скалярного произведения вектора на самого себя. В пространстве Минковского модуль вектора выражается через его координаты следующим образом:

. (2.37)

Выберем в пространстве одну точку в качестве полюса О. Совокупность ортонормированного базиса, характеризуемого таблицей (2.33), и полюса О образует ортонормированную систему координат OXYZW. Координаты радиус-вектора в этой системе будем обозначать буквами х, у, z, w и называть координатами точки М, указываемой концом радиус-вектора:

(2.38)

Рассмотрим, что представляет собой множество точек в четырехмерном пространстве Минковского, у которых радиус-векторы перпендикулярны к базисному орту (к оси OW). От векторной записи этого условия перпендикулярности

перейдем к координатному выражению

 (2.39)

Здесь ясно видно, что условием перпендикулярности радиус-вектора к базисному орту является равенство нулю четвертой координаты вектора. При этом три первые его координаты х, у, z могут принимать независимо друг от друга любые значения от до . Но множество всевозможных линейных комбинаций вида

образует трехмерное пространство. Таким образом, геометрическое место точек в четырехмерном пространстве, описываемое уравнением (2.39), представляет собой трехмерное пространство, а так как любой принадлежащий ему вектор перпендикулярен к базисному вектору , то говорят, что это трехмерное пространство в целом перпендикулярно к направлению (к оси OW).

Мы не станем делать попытку наглядно изобразить четырехмерное пространство. Можно, конечно, построить некоторый условный чертеж четырех координатных осей, но вряд ли это придаст наглядность геометрическим объектам, которых мы не воспринимаем зрительно. Мы никогда не видели трехмерное пространство «извне» и не представляем, куда направлен перпендикуляр к трехмерному пространству. Лучше избрать другой путь. В аналитических соотношениях, описывающих геометрические объекты четырехмерного мира в векторной или координатной форме, нетрудно заметить сходство с аналитическим описанием знакомых нам объектов трехмерного мира. Вот этими наглядными образами из трехмерного мира мы и будем пользоваться как подспорьем, облегчающим формирование представлений о четырехмерном мире на основе математических формул. Например, уравнение вида (2.39) описывает в случае трехмерного пространства плоскость, перпендикулярную к оси координат W. Но плоскость является двумерным множеством точек, а мы теперь должны иметь дело с трехмерным множеством, описываемым уравнением (2.39). Чтобы подчеркнуть сходство этого множества с плоскостью и отличие от нее, его называют гиперплоскостью. Базис плоскости состоит из двух векторов, базис гиперплоскости в четырехмерном пространстве состоит из трех векторов. В частности, для гиперплоскости (2.39) базисом являются векторы , , , входящие в состав ортонормированного базиса четырехмерного пространства Минковского. Поскольку длины этих трех векторов выражаются вещественными числами, приходим к заключению, что гиперплоскость (2.39) несет на себе собственно евклидову метрику, т.е. является хорошо знакомым нам трехмерным собственно евклидовым пространством.

Возьмем на оси OW какую-нибудь точку Р, отличную от точки начала координат О. Три первые координаты точки Р равны нулю, а четвертая отлична от нуля: . Запишем координатный столбец радиус-вектора точки Р:

Разность любого радиус-вектора и радиус-вектора есть связанный вектор, имеющий своим началом точку Р:

Те из векторов , которые перпендикулярны к базисному орту , удовлетворяют векторному уравнению

Оно выражается в координатной форме следующим образом:

(2.40)

Как и в предыдущем примере, условие перпендикулярности векторов к оси OW свелось к обращению в нуль их четвертой координаты , а три первые координаты х, у, z этих векторов могут принимать любые значения. Точки, указываемые концами векторов , подчиненных условию (2.40), образуют трехмерное множество, которое тоже является гиперплоскостью, перпендикулярной к оси OW. В гиперплоскости (2.40) нет ни одной точки гиперплоскости (2.69), так как у всех точек гиперплоскости (2.39) четвертая координата w равна нулю и эти точки не могут удовлетворять уравнению (2.40). Значит, гиперплоскости (2.39) и (2.40) не пересекаются, и их следует назвать взаимно параллельными. Подобно тому как мы представляем трехмерное пространство состоящим из параллельных плоских слоев, или в виде бесконечного множества параллельных плоскостей, нанизанных на перпендикулярную к ним прямую, так следует представлять четырехмерное пространство в виде бесконечного множества взаимно параллельных гиперплоскостей (трехмерных пространств), нанизанных на перпендикулярную к ним ось OW.

Рассмотрим теперь множество радиус-векторов, перпендикулярных к базисному орту , (к оси ОХ). В векторной форме это условие перпендикулярности выражается уравнением

а в координатной форме принимает следующий вид:

 (2.41)

У радиус-векторов рассматриваемого множества первая координата равна нулю, а три другие координаты могут принимать независимо одна от другой произвольные значения от до . Множество всех линейных комбинаций

представляет трехмерное пространство (гиперплоскость), в котором линейно независимые векторы , , играют роль базиса. Так как длины векторов и выражаются вещественными числами, а длина вектора - мнимым числом, заключаем, что гиперплоскость (2.41) несет на себе псевдоевклидову метрику, т.е. представляет такое же трехмерное псевдоевклидово пространство, как описанное в предыдущей главе.

Нетрудно показать, что множество точек, у которых радиус-векторы перпендикулярны к базисному орту , представляет псевдоевклидову гиперплоскость OXZW с базисом , , , описываемую уравнением . Уравнению z = 0 соответствует в четырехмерном пространстве Минковского псевдоевклидова гиперплоскость OXYW с базисом , , , перпендикулярная к координатной оси OZ.

Рис. 5.

Теперь понятно, почему условное изображение координатной системы OXYZW в виде четырех осей (рис. 5) практически бесполезно для создания наглядного представления о четырехмерном пространстве. Такой рисунок не помогает нам увидеть какую-либо гиперплоскость как трехмерное пространство, вне которого существуют другие трехмерные пространства. Мы сможем увидеть в лучшем случае лишь четыре плоскости OXY, OYZ, OZW, OXW, а не координатные гиперплоскости. Каждая из указанных плоскостей представляет лишь пересечение двух координатных гиперплоскостей. Например, гиперплоскость (OXYZ) пересекается с гиперплоскостью (OYZW) по плоскости OYZ. Действительно, гиперплоскости принадлежат все радиус-векторы, являющиеся линейными комбинациями вида

,

где х, у, z - любые вещественные числа. Гиперплоскость х = 0 представляет множество радиус-векторов, являющихся линейными комбинациями вида

,

где у, z, w - любые вещественные числа. Обеим гиперплоскостям принадлежат лишь те радиус-векторы, которые являются линейными комбинациями вида

Но множество таких радиус-векторов и есть плоскость, параллельная базисным ортам е₂, е₃ и проходящая через точку О, ч. е. плоскость OYZ.

Рис. 5 демонстрирует замечательную черту четырехмерного мира, о которой мы не имеем представления в мире трехмерном. Плоскости OYZ и OXY, изображенные на рис. 5.пересекаются по прямой OY, что для нас привычно. Но плоскость OYZ пересекается с плоскостью OXW в одной-единственной точке О. Представить наглядно этот удивительный факт мы не можем, но в справедливости его легко убедиться аналитическим путем. Различие этих двух случаев пересечения плоскостей связано с тем, что плоскости OYZ и OXY принадлежат одному и тому же трехмерному пространству (гиперплоскости OXYZ), а плоскости OYZ и OXW не умещаются в одном трехмерном пространстве (принадлежат различным гиперплоскостям).

Согласно (2.36) длина радиус-вектора (2.37) равна

(2.42)

Она обращается в нуль, если координаты радиус-вектора удовлетворяют условию

, или . (2.43)

Соотношение (2.43) определяет в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве индекса 1 геометрическое место точек, радиус-векторы которых являются изотропными. Что представляет собой это геометрическое место точек?

Прежде всего, замечаем, что уравнение (2.43) по своей структуре похоже на уравнение (2.24) изотропного конуса в трехмерном псевдоевклидовом пространстве. За формальным сходством этих уравнений обнаруживается глубокое геометрическое родство описываемых ими объектов. Рассмотрим пересечение геометрического места точек (2.43) с координатной гиперплоскостью UYZW:

. (2.44)

Гиперплоскость OYZW является трехмерным псевдоевклидовым пространством, а уравнение (2.44) представляет изотропный конус этого пространства. Аналогичным образом пересечения геометрического места точек (2.43) с двумя другими псевдоевклидовыми координатными гиперплоскостями OXYW и OXZW являются изотропным конусами этих гиперплоскостей:

.

Но с собственно евклидовой координатной гиперплоскостью OXYZ множество точек, удовлетворяющих уравнению (2.43), пересекается в одной-единственной точке:

Это точка начала координат, служащая вершиной трех рассмотренных выше изотропных конусов в псевдоевклидовых координатных гиперплоскостях.

Естественно считать множество точек, удовлетворяющих уравнению (2.43), обобщением конической поверхности на случай большего числа измерений и назвать его изотропным гиперконусом. Гиперконус представляет трехмерное множество точек в четырехмерном пространстве, аналогичное двумерной конической поверхности в трехмерном пространстве.

Продолжая аналогию между изотропным конусом и изотропным гиперконусом, назовем внутренней областью гиперконуса (2.43) множество точек, координаты которых удовлетворяют условию

или .

Согласно (2.42) длина радиус-вектора любой точки внутренней области изотропного гиперконуса выражается мнимым числом. Недостаток наглядности в представлении о четырехмерной внутренней области изотропного гиперконуса мы можем частично восполнить, рассматривая пересечения этой области с псевдоевклидовыми координатными гиперплоскостями:

Оказывается, внутренняя область изотропного гиперконуса пересекается с каждой псевдоевклидовой гиперплоскостью, проходящей через вершину гиперконуса, по внутренней области изотропного конуса этой гиперплоскости.

Рис. 6.

Здесь будет полезна наглядная иллюстрация с понижением размерности: вместо четырехмерного псевдоевклидова пространства индекса 1 рассмотрим трехмерное псевдоевклидово пространство индекса 1, а вместо псевдоевклидовой гиперплоскости - псевдоевклидову плоскость. Как видно на рис. 6, внутренняя область изотропного конуса пересекается с плоскостью по внутренней области, мнимых секторов плоскости. Если не выходить из псевдоевклидовой плоскости, то за пределами мнимых секторов можно найти только вещественные секторы. Но, выйдя из плоскости в трехмерное пространство, мы найдем вне мнимых секторов плоскости внутреннюю область изотропного конуса (в частности, мнимые секторы другой плоскости). Аналогичным образом, оставаясь в трехмерном пространстве, мы обнаруживаем за пределами внутренней области изотропного конуса только его внешнюю область. Но если выйти из трехмерного пространства в четырехмерное, то вне внутренней области изотропного конуса найдется внутренняя область изотропного гиперконуса (в частности, внутренняя область изотропного конуса другой гиперплоскости).

Аналогичное сравнение можно провести для внешних областей изотропного гиперконуса четырехмерного пространства Минковского, изотропного конуса трехмерного псевдоевклидова пространства и вещественных секторов псевдоевклидовой плоскости. Внешняя область изотропного гиперконуса состоит из точек, координаты которых удовлетворяют условию

или

(2.46)

Все векторы четырехмерного псевдоевклидова пространства индекса 1 независимо от точки их приложения можно разбить на три класса по признаку их принадлежности к одной из трех областей. Мы будем говорить, что произвольный вектор

принадлежит внутренней области изотропного гиперконуса, если его координаты удовлетворяют условию

аналогичному условию (2.45) для радиус-векторов, длина (модуль) всякого вектора внутренней области выражается мнимым числом (см. (2.37)). Мы будем говорить, что произвольный вектор а принадлежит внешней области изотропного гиперконуса, если его координаты удовлетворяют условию

,

аналогичному условию (2.36) для радиус-векторов. Длина (модуль) всякого вектора внешней области выражается вещественным числом. Наконец, если координаты вектора а удовлетворяют условию

то вектор а является изотропным и коллинеарным некоторому радиус-вектору, принадлежащему изотропному гиперконусу (2.43).

Рассмотрим в четырехмерном пространстве Минковского множество всех радиус-векторов , перпендикулярных к ненулевому вектору а. Это множество определяется уравнением

(2.47)

которое в координатной форме, согласно (2.36), принимает вид

(2.48)

Уравнение (5.16) линейное (все переменные входят в него только в первой степени), как и уравнение плоскости (2.29), но в уравнении (2.48) больше переменных, причем три из них могут принимать независимо друг от друга любые значения. Это говорит о том, что уравнение (2.48) определяет в четырехмерном пространстве трехмерное множество точек, аналогичное плоскости, т.е. гиперплоскость общего положения (проходящую через начало координат). Вектор а в уравнении (5.47) называют нормалью к гиперплоскости, потому что всякий радиус-вектор, принадлежащий этой гиперплоскости, перпендикулярен к вектору а.

Проводя такие же рассуждения, но уже для четырех переменных, нетрудно доказать, что если нормаль а к гиперплоскости (2.48) принадлежит внутренней области изотропного гиперконуса, то гиперплоскость несет на себе собственно евклидову метрику, т.е. является трехмерным собственно евклидовым пространством. Можно также доказать, что гиперплоскость, нормаль к которой принадлежит внешней области изотропного гиперконуса, несет на себе псевдоевклидову метрику, т.е. является трехмерным псевдоевклидовым пространством такого же типа, как рассмотренное выше. Наконец, гиперплоскость, перпендикулярная к изотропному вектору, содержит в себе этот вектор и обладает специфическими метрическими свойствами, отличными от собственно евклидовых и псевдоевклидовых свойств. Такую гиперплоскость называют изотропной. В ней содержатся векторы вещественные длины, но нет ни одного вектора мнимой длины и имеется только одно изотропное направление. Это значит, что изотропная гиперплоскость не проникает во внутреннюю область изотропного гиперконуса и имеет с ним только одну общую прямую, т.е. является касательной гиперплоскостью к изотропному гиперконусу.

3. Эксперимент

Практические занятия по теме «Геометрия Галилея и Минковского».

Цели: 1. Формирование знаний об этапах решения задач на построение и умений их осуществлять;

Формирование представлений об основных методах решения задач на построение;

Формирование навыков самостоятельной работы.

План занятий:

Этапы изучения темы	Тема занятия	Количество часов
1. Пропедевтический этап

Подобные документы

• Дифференциальная геометрия торсов в пространстве 1R4 с псевдоевклидовой касательной плоскостью

  Исследование геометрии поверхностей четырехмерного псевдоевклидова пространства индекса один (пространства Минковского). Определение пространства Минковского, его основные особенности, типы прямых и плоскостей. Развертывающиеся и линейчатые поверхности.
  
  дипломная работа [1,7 M], добавлен 17.05.2010
  

• Геометрия чисел

  Основная задача геометрии чисел. Теорема Минковского. Доказательство теоремы Минковского. Решётки. Критические решётки. "Неоднородная задача". Герман Минковский (Minkowski) (1864 - 1909) - выдающийся математик, еврей, родом из России, профессор.
  
  курсовая работа [581,4 K], добавлен 29.05.2006
  

• Банаховы пространства. Метрические и нормированные пространства

  Наделение множества метрикой, основные аксиомы метрического пространства. Равномерная метрика, нормы элементов и линейное пространство. Фундаментальная последовательность элементов линейного нормированного пространства. Понятие банахова пространства.
  
  реферат [375,9 K], добавлен 04.12.2011
  

• О подвижном пространстве

  Особенности неподвижного геометрического трехмерного пространства, его отличительные признаки от подвижного пространства. Отличия физической сущности скорости от математической. Понятие производной вектора по времени, методика и этапы ее определения.
  
  статья [174,3 K], добавлен 25.12.2010
  

• Начертательная геометрия

  Основные положения теоретического курса по начертательной геометрии. Эпюры - примеры построения, а также подробные описания методов решения. Описание решения типовых задач по каждой теме начертательной геометрии и их основные теоретические положения.
  
  учебное пособие [8,1 M], добавлен 16.10.2011
  

• История геометрии

  Возникновение геометрии как науки о формах, размерах и границах частей пространства, которые в нем занимают вещественные тела. Появление геометрии в Греции к концу VII в. до н. э. Теорема Пифагора и развитие методов аналитической геометрии Гаусса.
  
  реферат [38,5 K], добавлен 16.01.2010
  

• Многомерная геометрия

  Элементы общей теории многомерных пространств. Понятие векторного многомерного пространства на основе аксиоматики Вейля. Евклидово векторное пространство. Четырёхмерное пространство, его пределение и исследование. Применение многомерной геометрии.
  
  дипломная работа [1,0 M], добавлен 24.02.2010
  

• Пространства Соболева

  Понятие и основные характеристики пространства Соболева, их главные свойства, сущность простейшей теоремы вложения. Порядок применения пространства Соболева для доказательства существования и единственности обобщённого решения уравнения Лапласа.
  
  курсовая работа [232,5 K], добавлен 12.10.2009
  

• Нормированные пространства

  Понятие нормированного пространства. Пространства суммируемых функций. Интеграл Лебега-Стилтьеса. Интерполяция в пространствах суммируемых функций. Теорема Марцинкевича и ее применение. Пространства суммируемых последовательностей.
  
  дипломная работа [354,0 K], добавлен 08.08.2007
  

• Методы геометрии чисел для решения диофантовых уравнений

  Основы геометрии чисел. Решетки, подрешетки и их базисы. Основные теоремы геометрии чисел. Связь квадратичных форм с решетками. Методы геометрии чисел для решения диофантовых уравнений. Теорема Минковского о выпуклом теле. Квадратичная форма решетки.
  
  дипломная работа [884,6 K], добавлен 24.06.2015
  

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам