Формирование прочных навыков усвоения решения задач с параметрами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

I. Введение

II. Методика работы с задачами, содержащими параметры.

II.1. Знакомство с задачами, содержащими параметрические данные через решение линейных уравнений в 7 классе.

II.2. Введение понятия задачи с параметрическими данными на материале линейных уравнений в 7 классе

II.3. Последовательность упражнений на решение уравнений и задач с параметрами в 7 классе

II.4. Типы квадратных уравнений с параметрами

II.5. Общая классификация задач по их типу

II.6. Этапы работы над задачей с параметром.

III. Система упражнений для отработки навыков решения задач с параметрами

III.1. Классификация задач на решение линейных уравнений с параметром

1.1 Решение линейных уравнений в зависимости от установленных значений параметра

1.2. Поиск решения линейных уравнений в зависимости от установленных значений параметра

1.3. Решение линейных уравнений с параметрами с дополнительными данными в условии задачи

1.4. Тренировочные упражнения

1.5. Графическая иллюстрация решения уравнений с параметрам

1.6. Линейные уравнения с параметром, содержащие модуль

1.7. Линейные уравнения с параметром, содержащие квадратные корни

III.2 Классификация задач на решение квадратных уравнений с параметром

2.1 Уравнения с ограничениями для решения

2.2 Задачи на использование теоремы Виета

2.3 Задачи, в которых указан промежуток для решения

2.4 Дополнительные задания

2.5 Графическая иллюстрация решения квадратных уравнений с параметром

2.6 Иррациональные квадратные уравнения с параметром.

III.3 Примеры решения тригонометрических уравнений с параметрами.

III.4 Примеры решения показательных и логарифмических уравнений с параметрами

IV. Приложение

IV.1 Разработка курса по выбору для 9 класса

IV.2 Элективный курс по решению уравнений с параметрами для 10-11 классов.

V. Заключение

VI. Список литературы



I. Введение

Общеизвестно, что на ЕГЭ задания части С содержат задачи, которым в традиционном школьном курсе в силу различных причин уделяется мало внимания.

Одним из видов таких упражнений являются задачи, содержащие параметры. В школьных учебниках практически нет заданий на эту тему, потому что школьная программа охватывает узкий круг вопросов, делая основной упор не на логику решения задач.

Доказательством этого служит исследование, проведенное в 9 классе общеобразовательной средней сельской школы.

Учащимся предлагалось решить уравнение с параметром не выше второй степени a(a+3)x2+(2a+6)x-3a-9=0 . Результаты решения представлены в диаграмме:

Овладение же методикой решения уравнений с параметрами очень полезно: оно существенно повышает уровень математической подготовки учащихся, позволяет чуть по-новому, как бы изнутри, взглянуть на такие «банальные» функциональные зависимости, подробно анализируемые школьной программой, как, к примеру, линейные и квадратные многочлены. Поэтому знакомство с такими примерами можно организовать на факультативных занятиях, курсах по выбору, элективных курсах, рассматривая тему «Уравнения с параметрами». К тому же, умение решать уравнения с параметрами во многом предопределяет успешную сдачу экзаменов.

Поэтому целью моей дипломной работы является изучение существующих методик решения задач с параметрами в школьном курсе математики.

Отсюда вытекают следующие задачи:

1) Проанализировать содержание школьных учебников;

2) Выделить методики решения задач с параметрами;

3) Разработать систему упражнений для отработки навыков решения задач с параметрами;

4) Разработать курс по выбору для 9 класса;

5) Разработать элективный курс для 10-11 классов.

Объектом являются задачи с параметрами. Предметом - методы решения задач с параметрами.

Методы исследования: изучение литературных источников, личный опыт работы, дедукция, индукция, анализ, синтез, обобщение, интерпретация, конкретизация, педагогический эксперимент, математические методы решения задач.



II. Методика работы с задачами, содержащими параметры, в основной школе

II.1 Знакомство с задачами, содержащими параметры, через решение линейных уравнений в 7 классе

С некоторых пор основным связующим звеном всего курса математики стала идея функциональной зависимости. Благодаря этому устанавливается тесная связь между всеми разделами курса математики и появляется возможность подходить к решению уравнений и задач с более общей точки зрения в смысле полноты их решения. В связи с этим уместно привести высказывание В. М. Брадиса: «Представляется совершенно необходимым, чтобы учащиеся проводили исследование (то есть ставили вопрос о существовании решения, о числе решений, об особых случаях, какие могут представляться) при решении каждой задачи, особенно такой, какая ставится в общем виде ( содержит параметры)».

При решении математических задач учащиеся встречаются с различными методами исследования, применяемыми в математике, так как решение задач « заставляет учащихся сравнивать, разъединять, абстрагировать, соединять, индуцировать, дедуцировать, конкретизировать и обобщать».

Математическая задача состоит из данных и искомых величин и из условия, содержащего зависимость между данными и искомыми величинами. Примерами задач с параметрами являются задачи такого типа: «Определить площадь правильного треугольника со стороной а см.». данная задача является задачей с одним параметром. Задача: «Периметры двух квадратов составляют в сумме а см., а сумма их площадей равна b см2. Определить стороны квадратов» является задачей с двумя параметрами. Задача, которая не содержит в явном виде параметра, то есть в которой известная величина не обозначена буквой, но в то же время не выражена конкретным числовым значением, является тоже задачей с параметрическими данными. Например, задача «Тело брошено вертикально вверх с известной начальной скоростью. Когда оно будет на высоте 100 м.?» является задачей с одним параметром, так как начальная скорость является известной величиной, не имеющей определённого числового значения. При решении задач с параметрическими данными составлением уравнения получаем уравнение с параметрическими данными, то есть уравнение, коэффициенты которого содержат параметры или функции от параметров.

Обычно в школьной практике при решении задач и уравнений с параметрическими данными ограничиваются выражением искомых величин в виде функции от параметров, оставляя открытым вопрос о годности найденного выражения как решения при тех или иных допустимых значениях параметров. Но в то же время этот вопрос является составной частью полного и исчерпывающего решения задачи или уравнения. В связи с широким внедрением идеи функциональной зависимости в преподавание математики исследование решений становится посильным уже для учащихся младших классов.

Впервые знакомство с задачами, содержащими параметрические данные, можно организовать в 7 классе в теме « Линейные уравнения с одним неизвестным». К этому времени учащиеся должны иметь первоначальные навыки:

1)в составлении и решении линейных уравнений с одним неизвестным с целочисленными коэффициентами в простейших случаях.

2)в решении задач с параметрическими данными арифметическим способом.

3)в установлении множества допустимых значений букв в аналитическом выражении и величин в задаче.

Работа в этом направлении ведётся систематически, начиная с 6 класса. Если такой работы не проводилось в 6 классе, то необходимо провести её в 7 классе.

Для ознакомления учащихся с понятием уравнения и задачи с параметрическими данными можно использовать имеющиеся у них знания о существовании корней линейного уравнения. На предыдущем уроке перед рассмотрением уравнений и задач с параметрическими данными даётся в виде домашнего задания задача: «Сумма двух натуральных чисел, из которых одно в 4 раза больше другого, равна 95. Найти эти числа».

На следующем уроке разбирается подробно выполненное домашнее задание примерно по следующему плану. В данной задаче мы нашли, какие будут два натуральных числа, удовлетворяющие условиям задачи. Поставим вопрос: каким числом будет сумма двух натуральных чисел, из которых одно в 4 раза больше другого? Знаем, что сумма будет обязательно натуральным числом. Но может ли этой суммой быть любое натуральное число, мы пока не сумеем ответить. Рассмотрим некоторые примеры, располагая их в таблице:

Первое натуральное число	Второе натуральное число	Сумма этих натуральных чисел
1	4	5
2	8	10
3	12	15
4	16	20
5	20	25
6	24	30

На основе данных таблицы делается вывод, что суммой искомых чисел будет натуральное число, кратное 5. Для проверки правильности вывода решаем данную задачу в общем виде в следующей формулировке: «Сумма двух натуральных чисел, из которых одно в 4 раза больше другого, равна а. Найти эти числа».

Решение: одно число больше другого в 4 раза. Если меньшее число обозначить через х, то большее число будет 4х. Их сумма будет х+4х. По условию задачи х+4х=а, 5х=а откуда х=а/5.

Если меньшее число равно а/5, то большее число равно 4а/5. По условию задачи искомые числа должны быть натуральными. Следовательно, чтобы выражения а/5 и 4а/5 были натуральными, параметр а должен быть натуральным числом, кратным 5.

Отсюда вывод: если а делится на 5, то найденные выражения являются решениями задачи. Проверить, если а=90, 135, 242, 1022.

II.2 Введение понятия задачи с параметрами на материале линейных уравнений в 7 классе

Если мы решаем задачу с параметрическими данными, то мы получим уравнение, которое содержит кроме буквы, обозначающей неизвестное, ещё и параметры, то есть уравнение с параметрическими данными. Например, в нашей задаче уравнение х+4х=а является уравнением с одним параметром а. Решение уравнения с параметрическими данными, как мы видели, вообще говоря, производится так же, как и решение уравнения с числовыми данными.

Дальше следует раскрыть смысл задачи и уравнения с параметрическими данными. Задачи с параметрическими данными мы решали уже в 6 классе арифметическим способом, составляя по тексту задачи формулу решения и исследуя полученное выражение по условиям задачи. При этом мы получили возможность решить одновременно бесконечное множество однотипных задач с числовыми данными. Такое свойство имеется и у уравнения с параметрическими данными. Решая предыдущую задачу, мы получили уравнение х+4х=а и установили, что параметр а должен иметь только натуральные значения, кратные 5, что составляет множество допустимых значений параметра а. заменяя в полученном уравнении параметр а его значениями из множества допустимых значений, получим следующие уравнения с числовыми данными:

при а=5 х+4х=5

при а=10 х+4х=10

при а=15 х+4х=15

при а=20 х+4х=20

Из этого вытекает, что уравнение с параметрическими данными представляет бесконечное число однотипных уравнений с числовыми данными. Решая каждое из этих уравнений, мы получим решение задачи с числовыми данными.

Для домашнего задания можно дать подобную задачу. При этом даются дополнительно вопросы:

1)Определить по полученным формулам, при каких значениях параметра задача имеет решение.

2)Вычислить по полученным формулам некоторые величины, если значение параметра дано.

3)Проверить соответствуют ли полученные значения при некотором значении параметра тем значениям, которые мы получили, решая задачу как задачу с числовыми данными.

В дальнейшем в течение изучения данной темы и после этого предлагаются систематически параллельно с уравнениями и задачами с числовыми данными и уравнения с параметрическими данными. При этом мы ограничиваемся в основном уравнениями и задачами с одним параметром и притом самым простейшим. Основная цель их- устранить разрыв между решением уравнений и задач с числовыми данными и параметрическими данными и исследованием решений.

II.3. Последовательность упражнений на решение уравнений и задач с параметрами в 7 классе

Решение уравнений входит как составная часть в решение задачи. Я присоединяюсь к мнению многих методистов, которое можно выразить словами А. Н. Барсукова: «… мы считаем методически целесообразным и практически необходимым, чтобы упражнения в решении и составлении уравнений как с числовыми, так и с буквенными коэффициентами проводились параллельно для каждого типа уравнений».

Приведём упражнения на решение уравнений и задач с параметрическими данными, которые можно предложить в 7 классе.

Упражнение № 1.

Решить следующие уравнения относительно х:

1)7с+3х=13с

2)20+х-10=а

3)5х2+m=5х(х+2)

4)11х+а=3х

5)х-3х+5х=2

6)5х-k=6

7)х 2+p=(х-1)2

Решение: (первого примера) Установим, какие числовые значения могут иметь неизвестное х и параметр с на основе производимых в уравнении действий. Подобные вопросы необходимо ставить при решении каждого из уравнений и задач с параметрическими данными. Неизвестное х и параметр с могут иметь любое рациональное значение, так как умножение двух рациональных чисел всегда существует.. Решая уравнение, найдём, что х=2с.

Ответ: если с- любое рациональное число, то х=2с.

Можно считать решение уравнения законченным. Но в целях конкретизации необходимо, особенно на первых порах, поставить ряд дополнительных вопросов, которые в то же время являются подготовительным материалом для решения задач с параметрическими данными. Приведём к данному уравнению ряд вопросов, которые могут быть предложены и при решении других уравнений с параметрическими данными ( не обязательно всех вопросов одновременно для каждого уравнения):

1)Заполнить следующую таблицу:

c	-3	-2,5	-2	-1,5	-1	-0,5	0	0,5	1
x=2c

2)Определить по таблице, при каких значениях параметра с уравнение имеет положительные решения (отрицательные решения, нулевое решение).

3)Определить по формуле решения х=2с, при каких значениях параметра уравнение имеет решением число 0.(положительное, отрицательное число). Если решением уравнения является дробное выражение (примеры 3-7), то можно поставить вопрос о целочисленности решений.

4)Составить по данным таблицы график, нанеся на горизонтальную ось значения параметра с масштабом 1 единица = 1см и на вертикальную ось значения решения уравнения с масштабом 1 единица = 1 см.

5)Определить по графику, при каких значениях параметра решения уравнения будут положительными (отрицательными, равными нулю); при каких значениях параметра решение уравнения будет меньше 5 (больше 2) и другое. Сравнить полученные результаты с ранее найденными по таблице и по формуле. Записать полученные результаты, используя соответствующие математические символы.

6)Написать уравнение, если с=-1, с=3, с=0. Решить полученные уравнения и проверить найденное решение по составленной таблице и построенному графику.

Ответы на примеры 2-7: 2) х=а-10; 3) х=m/10; 4) х=-а/8; 5) х=2/3; 6) х=(k+6)/5; 7) x=(1-p)/2.

Упражнение № 2.

1.В прямоугольном треугольнике один из углов, прилежащих к гипотенузе, равен а градусам. Найти величину другого угла, прилежащего к гипотенузе.

Решение. Если искомый угол равен х градусам, то так как сумма углов, прилежащих к гипотенузе, равна 900, то 0<а<900 и 0<х<900.

По условиям задачи получается уравнение:

х+а=90,

которое имеет единственное решение

х=90-а.

Очевидно, что при 0<а<900, полученное решение х=90-а принадлежит области допустимых значений неизвестного (0<х<900).

Ответ: если 0<а<900 , то искомый угол при гипотенузе равен ( 90-а) градусам.

Если при решении уравнения возникает необходимость решить неравенство, то это можно сделать на основании свойств, рассмотренных в примере.

Примечания. При решении задач с параметрическими данными необходимо, особенно на первых порах, решить ту же задачу с числовыми данными, и особенно тогда, когда решение задачи представляет для учащихся затруднения. Также следует перед решением задачи дать ряд предварительных заданий с целью облегчить решение задачи. Например, относитнльно данной задачи:

1)Какое соотношение имеет место для углов прямоугольного треугольника, прилежащих к гипотенузе? В каких пределах могут измеряться величины углов прямоугольного треугольника, прилежащих к гипотенузе?

2)Установить, при каких значениях параметра а решение уравнения 2x-3(x-5)=a будет положительным числом? Числом меньше 10?

3)Написать в виде равенства предложение: сумма углов прямоугольного треугольника, прилежащих к гипотенузе, равна 900.

После решения задачи можно предложить ещё и дополнительные вопросы для решения:

1)Заполнить таблицу

а	10°	20°	30°	40°	50°	60°	70°	80°	90°
х=90°-а

2)Определить по составленной таблице, как изменяется второй угол, прилежащий к гипотенузе, при возрастании (убывании) первого угла, прилежащего к гипотенузе.

3)Какой вид имеет треугольник при а=450?

4)При каких значениях параметра а задача не имеет решения?

5)Построить график для выражения 90-а в множестве допустимых значений параметра а.

6)Определить по графику, при каких значениях параметра а искомый угол будет больше 250? Написать ответ при помощи знака неравенства.

7)Определить по графику, при каком значении параметра а искомый угол равняется 310. Проверить полученный результат, решая данную задачу, как задачу с числовыми данными, то есть при а=590.

Полученную формулу решения выражать графически является полезным в том смысле, что по графику мы можем установить свойства искомых величин, которые в некоторых случаях учащиеся не могут установить аналитическим путём из-за отсутствия соответствующих теоретических знаний. Наглядное изображение поможет учащимся усматривать свойства функций, а следовательно тех процессов, которые она выражает. Это необходимо ещё и потому, что в учебнике для 7 класса под редакцией Теляковского отсутствуют упражнения на решение уравнений графическим методом.

При решении задач с параметрическими данными необходимо установить множество допустимых значений параметров и неизвестных. После решения составленного уравнения проверяется, является ли найденное решение уравнения решением задачи. При этом множества допустимых значений параметров могут уточняться, после чего мы принимаем их за окончательное множество допустимых значений параметров.

2.Один из углов равнобедренного треугольника при основании равняется m градусам. Найти угол при вершине.

Решение. Если х- угол при вершине, то 0<х<1800 и 0<m<900. Составленное уравнение х+2m=1800, его решение х=1800-2m.

Ответ. Если 0<m<900, то угол при вершине равен (1800-2m) градусам.

3.Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см. периметр треугольника равен p см. найти длину основания.

Решение. Так как сумма двух боковых сторон меньше периметра, то p>20. Если основание треугольника х, то 0<х<20, так как третья сторона треугольника меньше суммы двух остальных сторон. Уравнение х+20= p и его единственное решение х= p-20. Исследование полученного решения относительно ограничений, поставленных относительно искомого, даёт

20< p<40.

Ответ. Если 20< p<40, то длина основания равна )см.

4.Сумма трёх положительных чисел, из которых каждое следующее в 10 раз больше предыдущего, составляет k. Какие эти числа?

Ответ. Если k>0, то искомые числа , , и .

Дополнительные задания:

1)Вычислить искомые числа, если их сумма k=999.

2)При каких значениях k эти числа будут натуральными? Привести примеры.

5. Сумма трёх последовательных целых чисел равна p. Найти эти числа.

Ответ. Если p- целое число, кратное трём, то искомые числа равны , , .

Вычислить искомые числа при p=24; 0; -12.

6. Длины сторон треугольника выражаются тремя последовательными целыми числами. Найти длину каждой стороны, если периметр треугольника равен p см.

Решение. Пусть наименьшая сторона треугольника равна х1 см, следующая х2 см и наибольшая х3 см. по условию задачи х2=х1+1 и х3=х2+1=х1+2.

Так как между сторонами треугольника имеет место соотношение х1+х2>х3, откуда

х1+х1+1>х1+2

или х1>1.

Имеем, p и х1 натуральные числа и притом p>0 и х1>1. Уравнение

х1+х1+1+х1+2= p, откуда х1=, х2=, х3=.

Так как х1>1, то и

>1, , , p>6.

Ответ. Если периметр треугольника p выражается натуральным числом большим 6 и кратным 3, то искомые стороны треугольника будут , , .

7. При сложении трёх последовательных неотрицательных целых чисел получено в сумме однозначное число p. Какие числа сложены?

Решение. Если наименьшее из этих чисел х1, то х1?0 и 0< p<10. х1=-1, х2=х3=+1.

Чтобы х1?0, необходимо -1?0, то есть p?3. Чтобы искомые числа были целыми, необходимо, чтобы p было числом, кратным 3, то есть p=3, 6, 9, 12, 15, …

Так как p- однозначное число, то окончательно p=3, 6, 9.

Все возможные случаи исчерпываются тремя возможностями:

при p=3 искомые числа 0, 1, 2.

при p=6 искомые числа 1, 2, 3.

при p=9 искомые числа 2, 3,4.

8. В трёх цехах завода работает с рабочих. Во втором цехе- в 5 раз больше, чем в первом, в третьем столько, сколько во втором и в первом вместе. Сколько рабочих в каждом цехе?

Ответ. Если с натуральное число, делящееся на 12, то в первом цехе рабочих, во втором рабочих и в третьем рабочих.

Упражнение №3.

Решить следующие уравнения относительно х:

1)ах-а=3а 6) ах+х=а2+2а+1

2)4-3mх=7 7) 7х+b2=bx+49

3)ax+4=-2 8) a2x+4=a(x+2)+2

4)x-ax=3 9) a2x-16x=a+4

5)(k+1)x=2-x

Указание. Так как в 7 классе рассматриваются уравнения первой степени с одним неизвестным, то и при решении уравнений с параметрическими данными следует ограничиться случаем, когда коэффициент при неизвестном после приведения уравнения к каноническому виду не равен нулю. Случай, когда коэффициент при неизвестном равен нулю, в 7 классе не следует рассматривать.

Пример решения уравнения 5.

Параметр k и неизвестное х могут быть любыми числами. Произведя тождественные преобразования, приведём уравнение к каноническому виду:

(k+2)х=2.

Так как мы имеем дело с уравнением первой степени, то есть с уравнением, у которого коэффициент при неизвестном отличен от нуля, то при k+2?0 или k?-2 уравнение имеет единственное решение х=.

Ответы. 1) если а?0, то х=4. 2) если m?0, то х=-. 3) если а?0, то х=-. 4) если а?1, то х= . 6) если а?-1, то х=а+1. 7) если b?7, то х= b+7. 8) если а?0 и а?1, то х=. 9) если а?±4, то х= .

Упражнение №4.

Решить уравнения относительно х:

-а=2 4) -5=10

+х=а 5) -=1

3)х-а=

Указание. Решение примеров этого упражнения отличается от предыдущих тем, что необходимо освободиться от дробей.

Ответы. 1) х=2(а+2) 2) х=а 3) х=4а-30 4) если а?0, то х= 5) если а?0, то х=-.

Упражнение №5.

Решить уравнения относительно х:

1) 5) 2)

7)

8)

Указание. Особенность решения примеров этого упражнения заключается в том, что при установлении множества допустимых значений параметра необходимо исключить из этого множества значения, которые обращают знаменатель дробей в нуль. Так, в примере 1 параметр а может иметь все рациональные значения, кроме нуля, то есть a?0; в примере 6 b?±3; в примере 7 b?±10.

Ответы. 1) если a?0, то x=; 2) если n?0, то x=n(n+1); 3) если p?0 и p?4, то x=p+4; 4) если p?0 и p?3, то; 5) если a?0 и a?-3, то x=a-3; 6) если b?0 и b?±3, то ; 7) если b?0 и b?±10, то ; 8) если a?0 и a?2, то .

Усвоение решения уравнений и задач с параметрическими данными в 7 классе в таком объёме вполне посильно. После усвоения учащимися методов решения линейных уравнений с параметрами можно провести письменную работу.

Вариант письменной работы:

1)Решить уравнение относительно x:

2)На верхней полке книг было в 5 раз больше, чем на нижней. Если с верхней полки переложить на нижнюю а книг, то на обеих полках книг станет поровну. Сколько книг было сначала на каждой полке?

II.4Типы квадратных уравнений с параметрами

Задачи, связанные с квадратным трёхчленом, встречающиеся в школьной практике, чрезвычайно разнообразны. Но среди них нет достаточного количества разнообразных квадратных уравнений, содержащих параметр, где основное, что требуется от учащихся, это внимательное чтение формулировки задания.

Задачи первого типа. Определить все значения параметра а, при которых уравнение имеет один корень, два корня, не имеет корней.

Пример 1. Определить все значения параметра а, при которых уравнение 2ах2-4(а+1)х+4а+1=0 имеет один корень.

Решение. Здесь главное- не забыть про случай а=0, поскольку в условии не сказано, что рассматривается квадратное уравнение. При а=0 имеем линейное уравнение -4х+1=0 с единственным корнем х=1/4. Остальные значения параметра а мы получим из уравнения D/4=0.

4(a2+2a+1)-2a(4a+1)=0

2a2-3a-2=0

a1=-1/2; a2=2.

Ответ. 0; -1/2; 2.

К азбуке квадратного трёхчлена относится и теорема Виета.

Для того, чтобы х1 и х2 были корнями уравнения ах2+bx+c=0, необходимо и достаточно выполнение равенств:

х1+х2=-b/a; х1*х2=с/а.

Из теоремы Виета следует разложение на множители квадратного трёхчлена:

ах2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)=0.

На теореме Виета основан целый ряд традиционных задач и методов решения. Например:

Пусть х1 и х2 корни уравнения x2+px+q=0. Выразить x1 4+x24 через p иq.

Решение. x1 4+x24=(x12+x22)2-2x12*x22=(( х1+х2)2-2x1*x2)2-2x12*x22=(p2-2q)2-2q2=p4-4p2*q+2q2

Ответ. x1 4+x24= p4-4p2*q+2q2.

Как мы знаем, для того, чтобы квадратное уравнение ах2+bx+c=0 имело корни, необходимо и достаточно выполнение неравенства D?0. Как правило, в случае необходимости в задачах доказать, что заданное квадратное уравнение имеет решение, начинают с вычисления его дискриминанта, с тем, чтобы потом доказать его неотрицательность.

Однако в некоторых случаях можно указать и иные, более простые способы доказательства существования решения квадратного уравнения. Эти способы основываются на очевидных графических соображениях. Так, если а>0, то для доказательства того, что уравнение ах2+bx+c=0 имеет два решения, достаточно указать одну точку х0, в которой f(x0)=ax02+bx0+c<0. Чаще всего в качестве х0 берут 0 ( даёт достаточное условие с<0), 1 ( условие а+b+c<0) или -1 ( условие а-b+c<0).

Пример 2. Доказать, что при любом а уравнение (a3-2a2)x2-(a3-a+2)x+a2+1=0 имеет решение.

Решение. Можно, конечно, попытаться найти дискриминант и доказать, что он положителен, но не будем спешить. Обозначим левую часть уравнения через f(x). Сразу видно, что f(0)=a2+1>0 при любом а. Утверждение задачи будет доказано, если мы найдём х1, для которого f(x1)<0. Попробуем х1=1. (Выбор такого значения выглядит естественным, поскольку в этом случае пропадают члены с а3). f(1)=-a2+a-1<0 при любом а. Теперь легко сделать вывод, что наше уравнение всегда имеет решение. Более того, если a3-2a2?0, то есть а?0 и а?2, данное уравнение имеет два корня; при этом всегда имеется корень, удовлетворяющий неравенству 0<x<1.

Полезно научить учеников в процессе поиска решения почаще обращаться к «картинкам», искать соответствующую графическую интерпретацию.

Задачи второго типа. Задачи на определение знаков корней квадратного уравнения.

Теорема Виета очевидным образом используется в задачах, в которых требуется определить знаки корней квадратного уравнения.

Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение x2-2(a-3)x+a2-3a+2=0 имеет решение? Определить знаки корней в зависимости от а.

Решение. Прежде всего, если a2-3a+2<0, 1<а<2, то уравнение имеет корни разных знаков.(Дискриминант при этом «автоматически» положителен). В остальных случаях или корней нет, или они одного знака. Отдельно надо рассмотреть случаи, когда корни равны или один из них равен 0. В случае положительности дискриминанта и свободного члена на основании теоремы Виета знаки обоих корней противоположны по знаку коэффициента при х- второму коэффициенту уравнения. Значит, для того чтобы было х1 >0 и х2>0, необходимо и достаточно выполнения неравенств

Отсюда а>5. Точно так же рассматриваются другие случаи.

Ответ. Если а<1 или 2<а<2,5 , то х1<0, х2<0; если а=1 или а=2,то х1<0, х2=0; если 1<а<2, то х1<0, х2>0; если а=2,5 ,то х1=х2<0; если 2,5<а<5, то корней нет; если а=5, то х1=х2>0; если а>5, то х1>0, х2>0.

Ответ выглядит сложнее, чем решение задачи. Поэтому существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа- это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.

Задачи третьего типа. Расположение корней квадратного трёхчлена.

Выделим прежде всего два наиболее распространённых вида задач, связанных с расположением корней квадратного трёхчлена.

1 вид. Задачи, в которых изучается расположение корней относительно заданной точки А. Возможны 3 случая, не считая случая отсутствия корней: оба корня меньше А; один корень меньше А, а другой больше А; оба корня больше А. Задачи первого типа без труда сводятся к проблеме, рассмотренной выше,- определению знаков корней квадратного трёхчлена. Это делается при помощи замены t= x-A, x= t+A,в результате которой трёхчлен относительно x переходит в трёхчлен относительно t. Знаки корней нового квадратного трёхчлена очевидным образом определяют расположение корней исходного квадратного трёхчлена относительно А. можно и не делать замены.

Пример 1. При каком значении параметра а один корень уравнения х2-(3а+2)х+2а-1=0 больше 1, а другой меньше 1?

Решение. Решение легко получается на основании следующего простого графического соображения. График функции у = х2-(3а+2)х+2а-1 представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. По условию эта парабола должна пересекать ось Х, причём отрезок должен содержать внутри себя точку 1.

Следовательно, значение квадратного трёхчлена х2-(3а+2)х+2а-1 при х=1 должно быть отрицательным. Это условие является необходимым и достаточным для того. Чтобы выполнялись неравенства х1<1<х2.

Ответ. а>-2.

В общем случае для того, чтобы уравнение f(x)=ax2+bx+c=0 имело бы один корень меньше А, а другой больше А, необходимо и достаточно выполнения неравенства а*f(A)<0. Не следует последнее условие заучивать. Необходимо понять принцип его получения и уметь провести необходимые рассуждения в конкретных задачах.

Пример 2. При каких значениях параметра а оба корня уравнения ах2-2(2а-1)х+2-3а=0 больше 1?

Решение. Для того чтобы оба корня уравнения f(x)= ах2-2(2а-1)х+2-3а=0 были больше 1, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1)D>0;

2)а*f(1)>0;

3)хв=

Необходимость первого условия очевидна. Второе неравенство означает, что знак f(x) при х=1 совпадает со знаком старшего коэффициента. Квадратные трёхчлены, удовлетворяющие первому и второму условиям, обладают тем свойством, что все они имеют два корня и оба эти корня либо меньше 1, либо больше 1.

Третье неравенство выделяет из них те трёхчлены, у которых оба корня больше 1. Оно означает, что вершина параболы расположена правее прямой х=1.



y

a>0 a>0

0 1 x

a<0 a<0

Система всех трёх неравенств даёт нам необходимое и достаточное условие для того, чтобы оба корня данного уравнения были больше 1. Второе неравенство даёт а(4-6а)>0. 0<а<. А из третьего неравенства следует , что а<0 или а>1. Таким образом, нам нет необходимости решать первое неравенство, поскольку уже решённые неравенства несовместимы.

Ответ. Ни при каких.

2 вид. Задачи, в которых исследуется расположение корней квадратного трёхчлена относительно заданного отрезка здесь можно выделить 6 возможных случаев расположения корней (оба меньше А; один меньше А, другой на отрезкеи так далее). Если же отдельно рассматривать ситуацию, когда D=0, то добавятся ещё 3 случая. Мы вновь не будем заниматься построением общей теории, а рассмотрим конкретные примеры.

Пример 1. При каких значениях параметра а все решения уравнения (а-1)х2-(а+1)х+а=0 удовлетворяют условию 0<х<3?

Решение. Обозначим f(x)= (а-1)х2-(а+1)х+а. Необходимым и достаточным условием для того, чтобы f(x) (если а?1) имела все свои корни внутри отрезка , будет выполнение системы неравенств:

1) D?0

2) (а-1)f(0)>0

3) (а-1)f(3)>0

4) 0<хв<3, где хв=.

Оба неравенства 2) и3) выполняются при а> или а<0. Решим четвёртое неравенство: 0<<3. Будем иметь а> или а<-1.

Значит система неравенств 2), 3), 4) имеет решение а> или а<-1. Условие D?0 даёт нам -3а2+6а+1?0 или 3а2-6а-1?0, откуда ?а?, а поскольку а> или а<-1, то <а?. Отдельно рассматривается случай а=1.

Ответ. <а? , а=1.

Если бы в условии требовалось, чтобы оба корня располагались на заданном отрезке, то есть указывалось на наличие двух различных корней, то правое нестрогое неравенство ответа следовало бы заменить на строгое и исключить случай а=1.

Пример 2. Определить, как расположены корни уравнения ax2-3(a+1)x+2a+7=0 относительно отрезка [-1;4].

Решение. Решим эту задачу несколько иначе, способом, который можно назвать «обобщенным методом интервалов». Сначала определим, где обращается в ноль дискриминант уравнения. Имеем 9(a+1)2-4a(2a+7)=0, a2-10a+9=0, a1=1, a2=9.

При 1<а<9 корней у данного уравнения нет. Обозначив, как обычно, левую часть уравнения через f(x), найдем f(-1)=6a+10, f(4)=6a-5. Как видно, f(-1) и f(4) меняют знаки соответственно при а=-.

Множество значений параметра а точками -, 0, , 1, 9 разбивается на четыре интервала и две полупрямые (к найденным ранее значениям параметра а добавлено значение, при котором обращается в нуль старший коэффициент, а=0).

Рассмотрим эти шесть случаев.

1)а<-. Имеем D>0, а<0, f(-1) =6a+10<0, f(4)=6a-5<0, хв= можно проверить, что при а<- будет -1<<4. Значит уравнение имеет корни, ветви параболы направлены вниз, значения

f(x) при х=-1 и х=4 отрицательны, вершина параболы расположена между прямыми х=-1 и х=4. Следовательно, в этом случае оба корня расположены между -1 и 4.

y

-1 0 4

х_в x

2)-<a<0 (случай а=- рассматривается отдельно). Имеем f(-1)>0, f(4)<0. А поскольку а <0, то один корень меньше -1, а другой расположен между -1 и 4.



y

4

-1 0 x

Точно так же рассматриваются остальные четыре случая.

Ответ: при а<-, <а<1, а>0 имеем -1 <х1<х2<4; при -<a<0 имеем х1<-1<х2<4; при 0<а< имеем -1 < х1< 4< х2; при 1<а<9 корней нет. Если а=-. То х1=-1, х2=, если а=0, то один корень х0=; если а=, то х1=, х2=4; если а =1, то х1=х2=3; если а=9, то х1=х2=.

Пример 3. Определить, как расположены корни уравнения ах2-(а3+1)х+а2=0 относительно отрезка [1;3].

Решение. В данном случае приемы, которые мы использовали при решении предыдущего примера, не нужны; все гораздо проще, рассматриваемое уравнение всегда (при а?0) имеет корни: х1=а2 и х2=. теперь закончить решение не составляет труда.

При решении задач не стоит увлекаться общими теориями, следует попытаться сначала выявить специфику данного конкретного примера.

4.Взаимное расположение корней двух квадратных трехчленов.

1)Найти все значения параметра а, при которых уравнения х2-(2а-1)х+а=0 и (а+1)х2-ах-1=0 имеют хотя бы один общий корень.

Решение. Решение основывается на следующей простой идее: если два уравнения f1(x)=0 и f2(x)=0 имеют общий корень х0, то при любых k1 и k2 уравнение k1 f1(x)+ k2 f2(x)=0 имеет тот же корень х0.

Возьмем сначала k1 и k2 так, чтобы в комбинации исчез свободный член: k1=1, k2=а. получим после сокращения на х, поскольку очевидно, что х0?0, линейное уравнение (а2+а+1)х-(а2+2а-1)=0.

Затем выберем k1 и k2 так, чтобы исчез член с х2: k1=a+1, k2=-1. Получим второе линейное уравнение (2а2-1)х-(а2+а+1)=0.

Так как х должен удовлетворять обоим полученным линейным уравнениям, для а должно выполняться соотношение (а2+а+1)2=(а2+2а-1)(2а2-1).

Далее получаем а4+2а3-6а2-4а=0. Левая часть разлагается на множители:

а(а3+2а2-6а-4)=а(а3-2а2+4а2-8а+2а-4)=а((а-2)а2+(а-2)4а+2(а-2))=а(а-2)(а2+4а+1).

Ответ. а1=0, а2=2, а3=-2-, а4=-2+.

Для каждого из найденных значений а необходимо убедиться, что соответствующие уравнения имеют решения. (достаточно проверить существование одного из них).

Заданную пару квадратных уравнений можно рассматривать как систему из двух уравнений с неизвестными х и а.

2)Расположить корни уравнений х2++2а=0 и х2+-а=0 в порядке возрастания.

Решение. Обозначим f(x)= х2++2а, g(x)= х2+-а, y1 и y2- корни уравнения f(x)=0; z1 и z2- корни уравнения g(x)=0.

По смыслу задачи следует рассматривать лишь те значения параметра а, для которых оба уравнения имеют решения. Условие не отрицательности обоих дискриминантов дают нам неравенства:- ?а<0, 0<а?.

Найдем значения х, при которых f(x)= g(x): х=. Уравнения имеют общий корень, если f()= g()=0, откуда а=-3.

Таким образом, множество значений параметра а, при которых оба уравнения имеют корни, разбито на два интервала.

- -3 0 а

Концы интервалов удобнее рассматривать отдельно. Возникают три случая.

1)- <а<-3. Имеем f()= g()=а(а3+27)>0. С точностью до обозначений, какая из двух парабол соответствует f(x), а какая g(x), возможны два случая.

Y - <а<-3 y

f(x) g(x)

y₁ 0 z₁ y₂ z₂ x y₁ 0 y₂ z₁ z₂ x

Посмотрим, как расположены вершины каждой из парабол по отношению к прямой х=. Для f(x) имеем хв=-. На рассматриваемом интервале изменения а имеем -<. Вершина второй параболы также левее прямой х=. Следовательно, имеет место случай, когда вершины обеих парабол лежат по одну сторону от прямой х=. Осталось выяснить, какая из двух парабол на рисунке соответствует f(x), а какая g(x).

Если а<0 и х<, то f(x)- g(x)=(х-)<0, то есть f(x)<g(x). Значит, g(x) при х< идет выше f(x) и y1<z1<z2<y2. Если а=- , то y1<z1=z2<y2.

2)-3<а<0. В этом случае f()= g()=а(а3+27)<0. Как и в предыдущем пункте, при х< f(x)<g(x), y1<z1< y2< z2.

Если а=-3, то y1<z1<z2=y2.

Y

0 y₁ z₁ y₂ z₂

X

3)0<а?. Имеем f()= g()>0. Обе вершины слева от прямой х=, и f(x)>g(x) при х<. Следовательно, z1<y1<y2<z2. Если а=, то z1<y1=y2<z2.

Y

z₁ y₁ 0 y₂ z₂

x

Получить правильный ответ в данном примере можно было бы несколько проще, хотя и менее законно. Из соображений непрерывности следует, что на каждом из трех интервалов имеет место один и тот же порядок следования корней (граничными точками такого рода интервалов являются: запрещенные значения параметра, в данном случае а=0; нули дискриминантов- точки а=- и а= - и значения параметра, при которых уравнения имеют один и тот же корень а=-3; в общем случае сюда надо добавить значения параметра, при которых обращается в ноль коэффициент при х2). Для выявления этого порядка следования достаточно рассмотреть какое-либо значение параметра а из соответствующего интервала. В нашем случае для крайних интервалов можно взять даже их концы: а=- и а= , а для среднего, например, а=-1.

II.5 Общая классификация задач по их типу

Так как уравнения с параметрами не выше второй степени являются самыми распространенными в практике итоговых и конкурсных заданий, определим их общую структуру и выделим основные их типы. Их общий вид определяется многочленом F(a;x)=f(a)x2+g(a)x+h(a) с параметром а или многочленом F(a;b;x)=f(a;b)x2+g(a;b)x+h(a;b) с параметрами а и b не выше второй степени.

Отметим, что наиболее важными в практике являются следующие задачи:

1)Решить уравнение (неравенство) с параметрами;

2)Найти значение параметров, при которых общее решение уравнения (неравенства) обладает некоторыми свойствами.

В уравнении f(a)x2+g(a)x+h(a)=0 не выше второй степени с параметром а и переменной х всякое частное уравнение принадлежит одному из следующих типов:

;

2);

;

;

;

;

Контрольные значения параметра определяются уравнением f(a)=0 и уравнением D=0. На выделенных контрольными значениями промежутках допустимых значений параметра дискриминант D имеет определенный знак, соответствующие частные уравнения принадлежат одному из двух последних типов.

Тогда решение всякого уравнения с параметром не выше второй степени осуществляется по следующим этапам:

1)На числовой прямой отмечаются все контрольные значения параметра, для которых соответствующие частные уравнения не определены.

2)На области допустимых значений параметра исходное уравнение при помощи равносильных преобразований приводится к виду f(a)x2+g(a)x+h(a)=0.

3)Выделяется множество контрольных значений параметра, для которых f(a)=0.

Если уравнение f(a)=0 имеет конечное множество решений, то для каждого найденного контрольного значения параметра соответствующее частное уравнение решается отдельно. Проводится классификация частных уравнений по первым трем типам.

На бесконечном множестве решений уравнения f(a)=0 проводится решение уравнения g(a)=0, выделяются типы и особых частных уравнений. Множеству {a\f(a)=0,g(a)0} соответствует тип 3) не особых частных уравнений.

4)Выделяются контрольные значения параметра, для которых дискриминант D=g(a)2-4f(a)h(a) обращается в нуль. Соответствующие не особые частные уравнения имеют двукратный корень x=-.

5)Найденные контрольные значения параметра разбивают область допустимых значений параметра на промежутки. На каждом из промежутков определяется знак дискриминанта D.

Множеству {a\f(a)0,D<0} соответствует тип не особых частных уравнений, не имеющих решений,, для значений параметра {a\f(a)0,D>0} частные уравнения имеют два различных действительных корня.

Пример 1. Решить уравнение х2-х+1=.

Решение. В уравнении значение а=0 является контрольным, для него соответствующее частное уравнение не определено. На множестве {a\a?0} исходное уравнение равносильно (а+6)х2-(а+3)х+1=0.

f(a)=а+6 обращается в нуль для а=-6. Соответствующее частное уравнение 3х+1=0 имеет единственное решение х=-.

На множестве {a\a?-6;0} частные уравнения являются квадратными с дискриминантом D=а2+2а-15. Дискриминант D=0 для а=-5 и а=3. Пусть а=-5, соответствующее частное уравнение х2+2х+1=0 имеет двукратный корень х=-1. Для а=3 соответствующее частное уравнение 9х2-6х+1=0 имеет двукратный корень х=.

На числовой прямой отметим найденные значения параметра и на каждом из полученных промежутков установим знак дискриминанта D.

-6 -5 0 3 а

Если ає(-5;0)(0;3), то соответствующие частные уравнения не имеют решений. Для значений параметров из {a\a(-;-6)(-6;-5)(3;)} частные уравнения имеют два различных корня, их общие решения х=.

Ответ.



Пример 2. Решить уравнение (Iа-2I+а-2)х2+(IIаI-3I+а-3)х+(Iа-2I-а+2)=0.

Решение. По определению модуля f(a)= Iа-2I+а-2=

g(a)= IIаI-3I+а-3=

-6, если а<-3.

h(a)= Iа-2I-а+2=

Отметим промежутки, на которых коэффициенты f(a), g(a), h(a) обращаются в ноль.

f(a)=0 h(a)=0

0 2 3 а

g(a)=0

Коэффициент f(a)= Iа-2I+а-2 обращается в нуль для а(;2]. На данном множестве значений параметра исходное уравнение равносильно уравнению g(a)+h(a)=0. Для а=2 частное уравнение особое, типа , так как g(2)=h(2)=0.

Если а[0;2), то g(a)=0, h(a)=2(2-a)0 и частные уравнения особые, типа .

Пусть а(-;0), тогда g(a)?0 и х=-= является общим решением уравнения на данном множестве значений параметра.

На множестве значений параметра {a|f(a)?0}={a|a(2;)} соответствующие частные уравнения имеют вторую степень. Так как f(a)h(a)=(|a-2|+a-2)(|a-2|-(a-2))=|a-2|2-(a-2)2=0, то дискриминант D=g(a)2-4f(a)h(a)=g(a)2.

Отсюда дискриминант D=0для значений параметра {a|a(2;3]}. Соответствующие частные уравнения 2(а-2)х2=0 имеют двукратный корень х=0.

Пусть а(3;), тогда f(a)=2(a-2)?0? D=4(а-3)2>0 и исходное уравнение имеет два различных корня х=0 и х=.

Ответ:

Замечание. Рассмотрим исходное уравнение как уравнение с переменными а и х. изображение множества его решений в системе координат Оах имеет следующий вид:

Y

x=

x=

-3 0 2 3 a

x=

x=

В уравнении f(a;b)x2+g(a;b)x+h(a;b)=0 не выше второй степени с параметрами а и b и переменной х всякое частное уравнение принадлежит одному из вышеперечисленных типов с аналогичными характеристиками. Контрольные значения параметров определяются уравнениями f(a;b)=0 и D=g(a;b)2-4f(a;b)h(a;b)=0. В плоскости Оаb эти уравнения выделяют области, на которых дискриминант D имеет определенный знак. Тогда общая схема решения уравнений с двумя параметрами не меняется, лишь вместо числовой прямой используется координатная плоскость Оаb. Графическое изображение линий контрольных значений параметров и выделенных ими областей однотипности обеспечивает наглядность в выполнении каждого из этапов решения.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Частные уравнения не определены для всех значений параметров a и b, для которых a-b=0, то есть на множестве {(a;b)|a=b}. На области допустимых значений параметров {(a;b)|a?b} исходное уравнение равносильно уравнению (2-ab)x2-2(a-b)x+2=0. Контрольными являются значения параметров, для которых 2-ab=0. На множестве точек {(a;b)|b=a,ab=2} гиперболы ab=2, исключая точки (-) и (), соответствующие частные уравнения -2(a-b)x+2=0 имеют общее решение х=.

b

a

Для значений параметров {(a;b)|a?b,ab?2} соответствующие частные уравнения являются квадратными. Дискриминант D=4(a-6)2-8(2-ab)=4(a2+b2-4) обращается в нуль на множестве контрольных точек {(a;b)|a?b, a2+b2-4=0} окружности a2+b2=4, снова исключая точки(-) и ().

На множестве {(a;b)|a?b, a2+b2=4} точек окружности соответствующие частные уравнения (2-ab)(x-)2=0 имеют двукратный корень .

Для допустимых значений параметров, отличных от точек гиперболы и окружности, дискриминант соответствующих квадратных уравнений отличен от нуля. На множестве {(a;b)|a?b, a2+b2<4} точек круга дискриминант D отрицателен, и соответствующие частные не особые уравнения не имеют решений. Для точек {(a;b)|a?b, ab?2, a2+b2>4} вне этого круга дискриминант D>0, и общие решения уравнения х=.

Ответ.

Пример 4. Решить уравнение =0.

Решение. Для значений параметров {(a;b)|a2+b2-4?0}соответствующие частные уравнения не определены.

На области допустимых значений параметров {(a;b)|a2+b2-4>0} выделим подмножество {(a;b)|a2+b2-4>0,b=0} точек прямой Оа, исключая точки круга. Соответствующие частные уравнения имеют вид 2|a|х+. Их общее решение х=.

На множестве точек {(a;b)|a2+b2-4>0,b?0} частные уравнения имеют вторую степень. Их дискриминант D=4(|a2-b|+a2-b). По определению модуля D=.

Для точек {(a;b)|a2+b2-4>0,b?0, b?a2} не ниже параболы, исключая точки круга и прямой b=0, соответствующие не особые частные уравнения имеют вид 2=0.

Тогда х= является двукратным корнем на множестве {(a;b)|a2+b2-4>0,b?0, b?a2}.

Все частные уравнения для значений параметров {(a;b)|a2+b2>4, b?0, b<a2} вне круга и ниже параболы, исключая точки прямой b=0, квадратные, причем дискриминант D=8(a2-b)>0. Общие решения уравнения на данном множестве значений параметров имеют вид x=.

b

-2 2 a

Ответ. ; ; .

Формулировки многих заданий помимо решения уравнения f(a)x2+g(a)x+h(a)=0 ставят задачи поиска значений параметров, для которых его общие решения f1(a)= и f2(a)= удовлетворяют одному из следующих условий:

1)оба или положительны, или отрицательны, или имеют различные знаки;

2)располагаются внутри некоторого промежутка () или вне его;

3)располагаются определенным образом относительно корней другого уравнения.

В таких формулировках присутствует некоторое действительное число и требуется найти значения параметра, обеспечивающие для общих решений х1=f1(a), x2=f2(a) одно из требований а)-в).

а) б) в)

х₁ х₂ х₁ х₂ х₁ х₂

В первом случае таким числом является ноль, во втором- числа, в третьем - один из корней другого уравнения. Простой способ решения таких задач основан на справедливости следующих результатов о расположении действительного числа относительно корней f1(a) и f2(a) многочлена F(a;x)= f(a)x2+g(a)x+h(a) с параметром а и переменной х.

1.На множестве {a|f(a)?0,D>0} для общих решений f1(a) и f2(a) многочлена F(a;x)= f(a)x2+g(a)x+h(a) число удовлетворяет условию f1(a)<<f2(a) (или f2(a)<< f1(a)) для тех и только тех значений параметра, для которых f(a)F(a;)<0.



а) б) y

y

F(a;)

f₁(a) f₂(a) f₁(a) x x