Использование мультимедийных средств на начальном этапе изучения обыкновенных дробей и процентов в 5-6 классах общеобразовательной школы

Реализация идей информатизации образования требует разработки специальных подходов и организационных форм обучения, обеспечивающих переход от иллюстративно-объяснительных методов и механического усвоения знаний к овладению умением самостоятельно приобретать новое знание, пользуясь современными способами представления и извлечения учебного материала и технологиями информационного взаимодействия. Расширяется спектр применения возможностей средств ИКТ в учебном процессе, разрабатываются новые методы и формы обучения, модифицируются традиционные методики обучения различным предметам [21].

В новых программных продуктах не всегда эффективно используются дидактические возможности ИКТ, а значит использовать такой продукт в педагогической деятельности не всегда целесообразно.

Возможности современного презентационного оборудования (проекторы, экраны, интерактивные доски), намного выше, чем у традиционного лекционного оборудования, что позволяет педагогу единовременно опираться на всю триаду восприятия: слышу, вижу, пишу.

Наибольшая эффективность обучения достигается за счет демонстрации презентаций, при изучении тем, требующих использования значительного и разнородного учебного материала. Необходимо создавать избыточную базу данных, из которой можно было бы компоновать содержание урока по вкусу учителя и ожидаемому уровню аудитории. При изложении учебного материала учителя могут использовать широкий набор различных демонстраций, которые позволяют:

· проиллюстрировать излагаемый материал видеоизображением, анимационными роликами с аудиосопровождением;

· использовать фрагменты лекций или полностью лекции известных педагогов;

· с помощью проекции на экран или интерактивную доску облегчить процесс восприятия информации благодаря использованию интересных, красочных, запоминающихся образов;

· хранить, систематизировать, готовить новые демонстрационные материалы [21].

Традиционные средства обучения не позволяющие воспроизводить явления действительности, заменяются моделирующими программами, что делает занятия более насыщенными и интересными.

Использование средств информационных и коммуникационных технологий при изложении учебного материала дает возможность:

· демонстрировать протекание сложных явлений и процессов, которые нельзя представить в реальных условиях или которые необходимо подчинить определенной методической позиции;

· имитировать лабораторные работы, с возможность задания и изменения начальных и граничных условий;

· представлять объект (модель объекта) и выделять его свойства;

· получать статическое и (или) динамическое отображение результатов расчета при использовании наборов произвольных параметров в виде графиков, диаграмм, таблиц, моделей;

· одновременно использовать средства трехмерного изображения, анимацию, видеосюжет и звук.

Таким образом, информатизация образования приводит к существенным изменениям форм и методов, содержания обучения. Внедрение средств ИКТ не приводит к вытеснению педагога, снижению его роли. Средства ИКТ становятся существенным дополнением к традиционным:

· использование готовых мультимедийных программ;

· создание собственных разработок с помощью стандартного программного обеспечения, с соблюдением основных требований целесообразного использования.

Применение компьютера в учебном процессе может быть следующим:

Где применять?	Для чего? (какие задачи?)	Что именно использовать?	Как?
На уроке вводного, текущего и итогового контроля.	Для автоматизации процесса, экономии времени на обработку данных.	Контролирующие и тестирующие программы.	Оборудованный класс ПО.
Ведение нового материала, закрепления, обобщения и систематизации знаний.	Для обучения на разных этапах урока. Демонстрация учебного материала.	Обучающие программы, мультимедийные продукты.	Оборудованный класс ПО. ПО и проектор.
Проведение внеклассных мероприятий.	Для реализации (развития) творческих способностей учащихся.	Компьютерные версии интеллектуальных и развивающих игр.	Оборудованный класс ПО. ПО и проектор.

Это можно проиллюстрировать использованием компьютера при изучении темы «Основные задачи на проценты» на уроках математики. Подходящим программным средством в качестве компьютерной поддержки темы может использоваться электронные таблицы EXCEL. Разработка в ней задачи на проценты позволяет, во-первых, освоить многие операции, изучаемые в программном средстве по предмету информационных технологий, и, во-вторых, закрепить материал по данной теме. Тем самым значительно сокращаются затраты учебного времени по общим предметам.

Программная разработка в EXCEL состоит из набора изучаемых функций; нахождение процента от числа, числа по проценту. В соседний столбец для каждой функции выведены данные числа. На диаграмме отмечается соответствующее процентное содержание. Таким образом, имеется возможность графически и численно проанализировать тип задачи, то есть выполнить компьютерное моделирование.

Кроме описанной технологии применения популярного программного обеспечения, на уроках математики возможно применение специализированных программ, таких как Macromedia Flash. При изучении темы «Основные задачи на дроби и проценты», в 5-6 классах можно использовать обучающую программу «Обыкновенные дроби и проценты», в частности мультимедийное пособие, в котором демонстрируются основные виды решаемых задач. Дается теоретический материал, тренировочная работа.

Применение таких программных продуктов позволяет визуализировать и сделать более наглядными многие математические понятия и абстракции, позволяют развивать пространственное воображение, организовывать контроль знаний. При применении их наряду с традиционными формами работы на уроке позволяют получать хорошие педагогические результаты.

1.2.4 Использование технологии Macromedia Flash при разработке

учебных пособий

Современный мир сложно представить без компьютера, информационных технологий, которые в последнее время стремительно развиваются: появляются новые версии программ, программные продукты разных фирм получают распространение на рынке. Большое внимание уделяется пакету Macromedia Flash как средству создания интерактивных мультимедиа-презентаций, применяемых в учебном процессе, а также всевозможных виртуальных лабораторных работ и демонстраций.

Flash технологии - одно из наиболее востребованных направлений современного интернета и анимации. Flash анимация на сегодняшний день является одной из самых популярных технологий создания мультимедийных вставок.

Технология Flash основана на использовании векторной графики в формате Shockwave Flash (SWF). Векторная графика - чистое математическое описание каждого объекта на экране. В то время как растровая графика представляет собой массив из точек разного цвета. Векторная нетребовательна к ресурсам для воспроизведения, занимает очень мало места, не искажается при масштабировании и поворотах. Анимация выполняется не в каждом кадре, а только в ключевых. Недостающие кадры не хранятся непосредственно в файле, а дорисовываются компьютером по заранее заданному закону. Это позволяет получать файлы малых размеров [47].

С помощью Flash можно создавать:

· анимированные изображения и целые мультипликационные фильмы;

· интерактивные мультимедийные документы. Такие документы взаимодействуют с пользователем, содержат текст, графику (в том числе анимацию) и звук;

· Web-страницы и даже Web-сайты, включающие в себя чаты, гостевые книги, голосования и форумы;

· элементы интерфейса, которым потом можно назначать какие-либо действия. Например, кнопки, меню, флажки, радиокнопки и т.д.

Основными преимуществами Flash - технологий являются:

· маленький размер получающихся файлов и, соответственно, более быстрая загрузка из сети. Flash использует векторный формат изображений и сжимает растровые и звуковые файлы;

· В Macromedia Flash используется специальный язык - Action Script, при помощи которого можно управлять любым элементом ролика и менять любые его свойства, менять ролик в зависимости от действий пользователя;

· красота. Flash имеет автоматическую поддержку anti-aliasing (антиалайсинг, сглаживание контуров с помощью смешения соседних цветов);

· удобство. Создавать страницы во Flash под силу даже неподготовленному пользователю;

· универсальность. В случаях, где необходима широкая интерактивность, графика, звук, и маленький размер, Flash незаменим.

Macromedia Flash удобно использовать при создании учебных материалов по различным предметам.

В частности, Flash целесообразно использовать на занятиях по математике при изучении функций, исследовании функций. На таких занятиях, преподавателю, как правило, приходится рисовать на доске множество различных графиков и дополнительных построений к ним. Это занимает много времени и достаточно утомительно. Применение Flash в таких случаях экономит время на уроке. Векторный подход к рисованию может повысить точность изображения (графики функций, касательные, площади криволинейных трапеций и пр.), и вызвать интерес за счет анимации. В нужное время масштабируемый и динамично прорисовывающийся график гораздо наглядней статичной картинки на доске. При помощи интерактивности появляется возможность варьировать параметры кривых и других элементов чертежа.

Преимущества векторной графики могут наглядно применяются на занятиях геометрией. Снова экономиться время за счёт готовых чертежей, демонстрируемых с компьютера. Анимация особенно пригодиться при изучении преобразований, в стереометрии. Решение задач на построения становится более наглядным.

При изучении понятия дроби, процента зачастую возникают трудности, связанные с непониманием основных его элементов. Введение понятия дроби в школьном курсе математики в большинстве учебников опирается на наглядное представление части целого, доли. В ходе рассмотрения такой задачи, приводящего к понятию обыкновенной дроби, описывается процесс, который носит динамический характер и для более глубокого усвоения и осмысления требует динамической иллюстрации. При использовании Flash-технологии становится возможным смоделировать такого рода процессы, тем самым повысив уровень их осмысления.

При помощи технологий Macromedia Flash и было разработано интерактивное дидактическое пособие для учеников 5-6 классов по теме «Обыкновенные дроби и проценты». Выбор данной темы, для представления её как интерактивного пособия, обусловлен тем, что есть реальная необходимость в визуализации материала и его динамическом представлении, что затруднительно реализовать посредством обычного учебника. Важен не только инструмент создания, но и, в первую очередь, содержание пособия, которое подчиняется ряду требований, предъявляемых к учебным пособиям такого рода.

1.2.5 Научно-педагогические требования к компьютерным

учебным пособиям

В последнее время появляется огромное количество более или менее удачных компьютерных и мультимедийных продуктов, где практически всегда отсутствуют методические материалы по их использованию. Такие компьютерные учебные продукты, как утверждает Розов Н.Х. в своей статье, не являются полноценными компьютерными продуктами. Разработка учебного пособия должна производиться по блокам, или модулям. Так как в целостном продукте могут быть использованы лишь какие-то отдельные фрагменты. Поэтому весьма перспективно создавать «набор миниатюр». Компьютер в этом плане открывает совершенно неограниченные возможности познать красоту и разнообразие геометрии мира (Н.Х. Розов) [37].

Еще немало важный момент - это сложность обучающих компьютерных продуктов. Чем меньше времени учитель-предметник затратит на предварительное изучение правил работы с продуктом, тем легче ему будет освоить и эффективно внедрить его в учебный процесс. «Высший профессионализм разработчика как раз в том и должен заключаться, чтобы созданная им программа автоматически выполняла максимум нужных манипуляций с материалом при минимуме простых команд пользователя».

При создании таких учебных продуктов очень важно учитывать психолого-педагогические особенности учеников. Отметим психолого-педагогические требования, которым должна удовлетворять обучающая программа:

· научность содержания: обеспечение возможности построения содержания учебной деятельности с учетом основных принципов педагогики, психологии, теории системного дизайна;

· открытость: возможность реализации любого способа управления учебной деятельностью, выбор которого обусловлен, с одной стороны, теоретическими воззрениями разработчиков обучающей программы, а с другой - целями обучения; обеспечение возможности модификации, внесения изменений в способы управления учебной деятельностью;

· целенаправленность: обеспечение обучаемого постоянной информацией о ближайших и отдалённых целях обучения, степени достижения целей; стимуляция тех видов познавательной активности обучаемых, которые необходимы для достижения основных учебных целей;

· обеспечение мотивации: стимулирование постоянной высокой мотивации обучаемых, подкрепляемой целенаправленностью, активными формами работы, высокой наглядностью, своевременной обратной связью, причем мотивация не должна идти за счет интереса к самому компьютеру;

· наличие входного контроля: диагностика обучаемого перед началом работы с целью обеспечения индивидуализации обучения, а также оказания требуемой первоначальной помощи;

· индивидуализация обучения: содержание учебного предмета и трудность учебных задач должны соответствовать возрастным возможностям и индивидуальным особенностям обучаемых и строиться с учетом уже приобретенных, знаний, умений и навыков; для реализации индивидуального подхода программа должна включать динамическую модель изучаемого объекта;

· обеспечение обучения в сотрудничестве: программа должна по возможности моделировать совместную субъект-субъектную деятельность;

· креативность: программа должна формировать логическое и системное мышление, обеспечивать подготовку специалистов с творческим потенциалом, способных видеть противоречия, а также самостоятельно ставить и решать проблемы; исключение таких нежелательных последствий компьютеризации, как чрезмерная алгоритмизация мыслительной деятельности, пассивность мышления, отказ от самостоятельных усилий в достижении целей;

· обеспечение систематической обратной связи; обратная связь должна быть, педагогически оправданной, не только сообщать о допущенных ошибках, но и содержать информацию, достаточную для их устранения;

· наличие развитой системы помощи: система помощи должна быть многоуровневой, педагогически обоснованной, достаточной для того, чтобы решить задачу и усвоить способ ее решения; помощь должна оказываться с учетом характера затруднения и модели обучаемого;

· наличие многоуровневой организации учебного материала, базы знаний и банка заданий: соблюдение данных требований позволяет организовать систему повторов по спирали с постоянной опорой на зону ближайшего развития, добавлением на каждом уровне повторения нового, более расширенного, конкретизированного материала и использованием неповторяющихся задач;

· педагогическая гибкость: программа должна позволять обучаемому самостоятельно принимать решение о выборе стратегии обучения, характера помощи, последовательности и темпа подачи учебного материала; должна быть обеспечена возможность доступа к ранее пройденному учебному материалу, выхода из программы в любой ее точке;

· возможность возврата назад; при самостоятельной работе должна быть предусмотрена отмена обучаемым ошибочных действий;

· наличие специально отведённого места для рефлексии обучаемых; программа должна накапливать результаты рефлексии с целью последующей корректировки обучающих воздействий;

· наличие интуитивно понятного дружелюбного интерфейса; программа должна адекватно использовать все способы предъявления информации в виде текста, графики, анимации, гипертекста, мультимедиа; обучаемый должен иметь возможность пролистывания информационного материала в обоих направлениях «вперед-назад» с возможностью установления типа и размера шрифта, а также повторения любого фрагмента желаемое число раз;

· обеспечение возможности получения твердой копии статических (текстовых, графических, иллюстративных) разделов программы; возможность копирования выбранной информации в личный электронный конспект, ее редактирования и распечатки без выхода из самого программного продукта;

· наличие развитой поисковой системы, режимов «лупы», «автопоказа»;

· наличие блока контроля утомления обучаемого, блока релаксации; последний должен содержать тематически однородные небольшие «банки» шуток, анекдотов, музыкальные фрагменты и т. д.;

· надёжность работы и системная целостность; техническая корректность;

· защита от случайного или неправильного нажатия; обеспечение адекватной реакции на любые, даже самые неожиданные ответы обучаемых; программа не должна «зависать» из-за непредвиденной последовательности срабатывания отдельных ее модулей или других причин; необходимо использовать иерархическую древовидную структуру различных программ и возможность отступления на предыдущий уровень в случае возникновения сбоя в работе системы.

Компьютер наряду с другими средствами обучения, а также методами и формами обучения является одним из способов реализации дидактических принципов, следовательно, последние должны задавать направление в решении вопросов использования компьютеров, а не наоборот.

При формировании дидактических требований к обучающим программам следует, прежде всего, ориентироваться на принципы обучения, содержание которых базируется на современных теоретических достижениях в области педагогики и психологии, что и позволяет использовать их в качестве системы дидактических требований:

1. Принцип научности диктует целый ряд требований к обучающим программам:

· обучающие программы целесообразно наполнять таким содержанием, которое наиболее эффективно может быть усвоено только с помощью компьютера;

· содержание программ должно соответствовать современному состоянию научного знания;

· способы усвоения учебного материала, предусмотренные программой, должны быть адекватны современным научным методам познания и динамично меняться, обеспечивая быстрое перенастраивание программного продукта в соответствии с изменяющимися требованиями.

2. Принцип наглядности формирует следующие требования к обучающим программам:

· в них при отражении чувственного объекта не следует увлекаться натурализмом: в программе должна быть представлена не любая модель, а только та, которая способствует реализации дидактических целей данной обучающей программы;

· модель, содержащуюся в программе, следует предъявлять в форме, позволяющей наиболее четко раскрыть существенные связи и отношения объекта; существенные признаки, связи и отношения модели должны быть в программе адекватно зафиксированы цветом, миганием, звуком и т. д.;

· наиболее важное требование, состоит в том, что с помощью обучающих программ необходимо не только предъявлять объект изучения, но и организовывать деятельность учащихся по его преобразованию.

3. Принцип систематичности и последовательности может быть наиболее оптимально реализован с помощью обучающих программ следующим образом:

· в объектах или явлениях, представляемых с помощью компьютерных программ, должны быть выделены основные структурные элементы и существенные связи между ними, позволяющие представлять этот объект или языковое явление в виде целостного образования;

· наряду с этим, алгоритм, в соответствии, с которым строится деятельность обучаемого по усвоению материала, должен отражать логику его системного анализа.

4. Принцип активности. Поскольку активность обусловлена сознательностью, при разработке обучающих программ необходимо ориентироваться на следующие требование:

· целесообразно в структуру программы вводить ориентировочный компонент, который должен включать два вида знаний - знание о деятельности, реализуемой с помощью программы (цель деятельности, ее предмет, средства и основные этапы осуществления), и предметные знания, необходимые для успешной работы с программой (правила, справочно-информационные данные и т.д.).

Сегодня компьютер позволяет индивидуализировать процесс обучения, гарантирует интимность успехов и неудач учеников, а его замечания и комментарии воспринимаются ими как дружелюбные и необидные. Открываются широкие перспективы создания учебных программ с дифференцированным учетом психологических типов детей (и особенно для детей с ограниченными интеллектуальными возможностями) [33].

Технически грамотно выполненный учебный продукт должен отвечать и определенным требованиям, предъявляемым к содержательной стороне. Обратимся к анализу учебной литературы, для выявления структуры учебного пособия.

Глава 2. Методика изучения темы «Обыкновенные дроби и

проценты»

2.1 Анализ учебной литературы по теме «Обыкновенные дроби и

проценты»

Изучение обыкновенных дробей и процентов начинается в 5 классе и продолжается на протяжении всего курса алгебры. Начиная с 6 класса, знания о дробях и процентах обобщаются, расширяются и систематизируются.

И, следовательно, анализ учебной литературы необходимо проводить за 5-6 классы, чтобы на основе этого анализа построить содержание дидактического пособия. Цель нашего пособия состоит в визуализации базовых понятий, лежащих в основе тем «обыкновенные дроби» и «проценты». Поэтому, в первую очередь, обратим внимание на визуальные задачи, способствующие формированию этих понятий. При анализе учебных пособий будем применять классификацию визуальных задач, предложенную Н.А. Резник.

Учебник: Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика, 5-6 Кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. В 2 ч. - 18-е изд. - М.: Мнемозина, 2006. - 142 с. [26, 27]

Тема «Обыкновенные дроби» в данном учебном пособии изложена в главе II «Дробные числа». Учащиеся 5 класса знакомятся с простейшими дробями: ; ; … Образование долей происходит на наглядной основе. Происхождение дробей разбирается как результат деления на любое число равных частей.

Например:

Мама купила арбуз и разрезала его на 6 равных частей: бабушке дедушке, папе, двум детям и себе. Эти равные части называют долями.

Так как арбуз разрезали на 6 долей, то каждый получит «одну шестую долю арбуза», или короче, «одну шестую арбуза».

Затем вводится определение обыкновенной дроби, где выделяют числитель и знаменатель, делая акцент на соотношении взятых долей к количеству долей, на которое делят целое. Записи вида называют обыкновенными дробями. В дроби число 5 называют числителем дроби, а число 8 - знаменателем дроби. Знаменатель показывает, на сколько долей делят, а числитель - сколько таких долей взято.

Образование дробей, как и образование долей рассматривается с помощью наглядных примеров.

После ряда обучающих визуальных задач типа «посмотрите и найдите», например:

№884. Какая часть фигуры закрашена?

Предложены задачи на дроби, включенные в рассмотрение этого пункта 23 «Доли. Обыкновенные дроби». Выделяют три типа задач: задачи на доли; нахождение части от числа; нахождение числа по его части. Сначала решаются задачи и примеры на нахождение одной части от числа (числа по его части): ; и т. п.

Например:

№889. Купили кусок ткани длиной 2 м 50 см и из куска сшили платье для куклы. Сколько сантиметров ткани ушло на это платье?

№891. Петя готовил уроки 1 ч 40 мин. На математику он потратил этого времени, а на историю - оставшегося времени. Сколько минут Петя готовил уроки по математике и сколько по истории?

Дальше переходят к задачам и примерам на отыскание нескольких частей целого. Дается задача - математическая модель, на основе которой рассматриваются все три типа задач. Каждая из задач имеет иллюстративное приложение и решение, описанное в учебнике.

Например:

№896. Дорога от Фабричного до Ильинского равна 8 км. Лена прошла по этой дороге 3 км. Какую часть дороги она прошла?

Решение. Длина всей дороги равна 8 км. Поэтому 1 км составляет всей дороги, а 3 км - дороги. Значит, Лена прошла дроги.

№900. Дорога от Фабричного до Отдыха составляет дороги от Фабричного до Ильинского. Чему равно расстояние от фабричного до Отдыха, если от Фабричного до Ильинского 8 км?

Решение. Разделим всю дорогу на 4 доли. Тогда длина одной доли дороги равна 8 : 4, то есть 2 км. А длина дороги, то есть трех таких долей, равна 2 3, то есть 6 км. Значит, от Фабричного до Отдыха 6 км.

№905. Дорога от Фабричного до Кратова равна 5 км, что составляет дороги от Фабричного до Ильинского. Найдите расстояние от Фабричного до Ильинского.

Решение. Так как пять восьмых дороги составляют 5 км, то одна восьмая этой дороги равна 5 : 5, то есть 1 км. А тогда вся дорога в 8 раз длиннее, чем 1 км, то есть имеет длину 1 · 8, или 8 км. Итак, от Фабричного до Ильинского 8 км.

Решение основных задач на дроби выполняется двумя действиями: делением на знаменатель (числитель) и умножением на числитель (знаменатель). Умножение или деление на дробь не рассматривается.

Пункт 24 «Сравнение дробей». При рассмотрении алгоритма сравнения дробей используются визуальные задачи.

Пирог разрезали на 5 долей и 2 доли положили на одну тарелку, а 3 доли - на другую. Две доли составляют пирога, а три доли - пирога. Так как 2 доли меньше, чем 3 такие же доли, то < .

Затем формулируется правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями: из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, у которой меньше числитель, и больше та, у которой больше числитель.

Также, сравнивают дроби при помощи точек расположенных на координатном луче.

Точка на координатном луче, имеющая меньшую координату, лежит слева от точки, имеющей большую координату.

Здесь же авторы оговаривают случай равенства дробей, наглядно представляя деление круга на 4 равные части.

Две такие части вместе составляют половину круга. На координатном луче равные дроби соответствуют одной и той же точке.

Однако ни о каком основном свойстве дроби не упоминается. Равенство дробей основано лишь на наглядном представлении каждой из дробей. Выделяется ряд визуальных задач «серия»:

№940. Объясните с помощью рисунка, почему

№941. Начертите в тетради отрезок длиной в 18 клеток. С помощью этого отрезка объясните, почему:

а) = ;

б) = .

Заметим, что авторы уделяют внимание произношению: «По тому, как человек говорит, можно судить о его культуре и интеллекте, об умении думать. Поэтому учитесь говорить правильно. В этом вам помогут примеры и пояснения, данные в рубрике, отмеченной славянской буквой «глаголь».

Введение понятий правильной и неправильной дробей осуществляется за счет ряда визуальных задач: разрезание пирога на несколько равных частей.

Разрезали пирог на 8 равных частей и 3 части положили на тарелку. На ней оказалось пирога, положив 8 частей, окажется пирога = 1.

Затем рассматривают 11 частей, соответствующие пирога, на основе чего вводится понятие правильной и неправильной дробей.

Дальше проводится знакомство с неправильными дробями, равными единице и большими единицы. Сравнение таких дробей с единицей производится с помощью изображения точек на координатном луче.

После чего формулируется правило: правильная дробь меньше единицы, а неправильная дробь больше или равна единице.

После ознакомления с неправильными дробями переходят к их преобразованию в целые и смешанные числа. Преобразование неправильной дроби в целое или смешанное число производят путем исключения целого числа из неправильной дроби. Далее решается обратная задача: целое или смешанное число заменить неправильной дробью.

Использование визуальных задач в данном пособии осуществляется, в основном, на начальном этапе изучения каждой из тем главы: «Обыкновенные дроби».

Усвоение курса дробей имеет большое значение для средней школы, так как знание учащимися дробей необходимо для всего последующего курса математики, оно тесно связано с изучением процента.

Тема «Проценты» предложена авторами для изучения в конце 5 класса. Данный материал рассматривается в §8 «Инструменты для вычислений и измерений» в главе II «Дробные числа». Перед изучением этой темы, ученики познакомились с обыкновенными и десятичными дробями, и операциями над ними. Что является необходимой теоретической «базой» для изучения процентов.

Знакомство с процентами начинается традиционным образом. Вначале вводится определение. Понятие «процент» рассматривается на примере сравнения различных величин, как сотая часть числа и вводится обозначение.

Пункт 40 «Проценты»: «Сотую часть центнера называют килограммом, сотую часть метра - сантиметром, сотую часть гектара - аром или соткой. Принято называть сотую часть любой величины или числа процентом. Значит 1 кг - один процент центнера, 1 см - один процент метра, 1 а - один процент гектара, 0,02 - один процент от 2.

Процентом называют одну сотую часть.

Для краткости слово «процент» после числа заменяют знаком «%».

Далее рассматриваются задачи на проценты с решениями. Выделяют три типа задач на проценты.

Например:

Задача 1-го типа (нахождение процента от числа). Швейная фабрика выпустила 1200 костюмов. Из них 32% составляют костюмы нового фасона. Сколько костюмов нового фасона выпустила фабрика?

Решение.

Так как 1200 костюмов - это 100% выпуска, то, чтобы найти 1% выпуска, надо 1200 разделить на 100. Получим, что 1200 : 100 = 12, значит, 1% выпуска равен 12 костюмов. Чтобы найти, чему равны 32% выпуска, надо умножить 12 на 32. Так как 12 · 32 = 384, то фабрика выпустила 384 костюма нового фасона.

Задача 2-го типа (нахождение числа по проценту). За контрольную по математики отметку «5» получили 12 учеников, что составляет 30% всех учеников. Сколько учеников в классе?

Решение.

Сначала узнаем, чему равен 1% всех учеников для этого разделим 12 на 30. Так как 12 : 30 = = 0,4, то 1% равен 0,4. Чтобы узнать, чему равны 100% учащихся, надо умножить на 100. Так как 0,4 · 100 = 40, то в классе 40 учеников.

Задача третьего типа - это задача на процентное отношение и поэтому они являются сложными. Однако авторы рассматривают эти задачи вместе с 1 и 2 типом в 5 классе.

Задача 3-го типа. Из 1800 га колхозного поля 558 га засажено картофелем. Какой процент засажен картофелем?

Решение.

Картофелем засажено всего поля. Обратим дробь в десятичную. Для этого разделим 558 на 1800. Получаем 0,31. Значит, картофелем засажена 31 сотая всего поля. Каждая сотая равна 1% поля, поэтому картофелем засажен 31% всего поля.

Для закрепления полученных знаний имеется перечень вопросов, которые помогут в дальнейшем при решении задач:

- Что называется процентом?

- Как называют 1% от центнера, метра, гектара? …

После сделанных выводов предлагаются задания для работы в классе.

Рассмотрим систему упражнений на основе классификации Н.А. Резник, с целью выделить класс визуальных задач, представленных в этом учебнике.

Задача типа «Посмотрите и определите».

№1533. Заполните таблицу:

Дроби
Десятичные		0,25					0,05
дроби
Проценты				20%		100%		1%

Введение процентов опирается на предметно практическую деятельность школьников, на геометрическую наглядность и геометрическое моделирование. Используются рисунки и чертежи, помогающие разобраться в задаче и увидеть путь решения. С помощью таких наглядных приемов можно сослаться на раннее изучаемый материал об обыкновенных дробях, где и был представлен целый ряд таких упражнений.

С помощью ряда задач устанавливается связь между процентами и обыкновенными дробями, в основном это задачи на нахождение части от числа, например:

№1572. Поле на рисунке 158 разбито на 100 долей. Закрашенная на рисунке часть засеяна горохом. Найдите площадь всего поля, если горохом засеяно 24,8 га.

№1575. Двор разбит на 100 равных частей. Часть площади двора, закрашенная на рисунке 159, отведена под стоянку машин. Найдите площадь двора, если стоянка занимает 146, 4 м².

Решение основных задач на проценты выполняется с помощью двух действий: делением на знаменатель (числитель) и умножением на числитель (знаменатель), поскольку процент выражается обыкновенной дробью, таким образом, исходная задача решается путем нахождения части от числа (числа по его части).

№1537 (1 тип). В палатку завезли 850 кг огурцов. Первый покупатель взял для соления 1% всех огурцов, а второй 3% всех огурцов. Сколько килограммов огурцов купил каждый из них?

Решение.

Всего - 850 кг огурцов

1 покупатель - 1% всех огурцов

2 покупатель - 3% всех огурцов

850 : 100 · 1 = 8,5 кг

850 : 100 · 3 = 25,5 кг

Ответ: 8,5 кг и 25,5 кг.

№1544 (2 тип). Сколько человек было в кино, если 1% всех зрителей составил 7 человек?

Решение.

7 - это 1% (1% = )

Тогда 7 · 100 : 1 = 700

Ответ: 700 человек.

Система упражнений выстроена по схеме: «от простого к сложному». О процентах также упоминается при изучении материала «Круговые диаграммы». Здесь они используются при решении следующих задач.

№1676. Молоко даёт 25% сливок, сливки дают 20% масла. Сколько масла получится из молока, надоенного за 15 дней от 360 коров, если каждая корова в среднем даёт 15 кг молока в день.

С помощью диаграмм осуществляется графическая иллюстрация различных процентных баз.

В 6 классе задачи на проценты встречаются при изучении темы пропорция.

В данном учебном пособии визуальные задачи используются при начальном этапе изучения следующих тем: обыкновенные дроби, проценты. Задачи используются как при введении новых понятий, так и в системе упражнений, направленных на закрепление материала 5 класса. В 6 классе визуальные задачи используются в системе упражнений на повторение.

Учебник: Зубарева И.И, Мордкович А.Г. Математика, 5-6 Кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. - 2-е изд. - М.: Мнемозина, 2003. - 293 с. [19, 20]

Тема «Обыкновенные дроби» начинается с §18 «Деление с остатком», что подготавливает учащихся к восприятию понятия дроби, вводимого, как результат деления натуральных чисел.

Введение понятия «Обыкновенная дробь» осуществляется посредством задач, где требуется целое разделить на несколько частей.

Например:

№330. Кусок проволоки длиной 1 метр разрезали на три равные части. Какова длина каждой части?

Ниже приводится решение этой задачи, в ходе которого возникает необходимость обозначения каждой новой полученной части, как обыкновенной дроби.

Решение: Осуществляем переход к более мелким единицам длины:

1 м = 10 дм, 10 : 3 = 3 (остаток 1)

1 м = 100 см, 100 : 3 = 30 (остаток 10)

1 м = 1000 мм, 1000 : 3 = 300 (остаток 100)

Во всех случаях получаем остатки, но по условию задачи, проволоку разрезали на три части и ничего не осталось. Таким образом, разрезав кусок проволоки длиной 1 м на три равные части, мы получаем три куска проволоки, длиною в треть метра каждый. Треть записывают в виде дроби .

Далее рассматриваются аналогичные задачи, затем вводится определение: Частное от деления натуральных чисел m и n можно записать в виде дроби , где m - числитель, а n - знаменатель:

.

Затем дробь рассматривается как количество равных долей. Представлена визуальная задача типа «проверь себя»:

№332. Кусок проволоки длиной 2 м разрезали на 3 равные части. Какова длина одной части?

Проверьте, так ли вы рассуждали при решении этой задачи.

Чтобы найти длину одной части, надо длину всего куска разделить на число частей: 2 : 3.

Частное удобно записывать в виде дроби: .

Решение: 2 м : 3 = м.

Ответ: длина одной части - м.

Далее следует ряд заданий, отмеченных знаком «У», выполняя которые ученики узнают что-нибудь новое (правило, свойство уже известного понятия).

№338 (У).

1) Ленту длиной 1 м разрезали пополам, а ленту длиной 2 м разрезали на 4 части. Какова длина одной части в каждом случае (в метрах)?

2) Сделайте рисунок к задаче, изобразив ленты в виде прямоугольников шириной 5 мм, а длиной, соответственно, 4 и 8 см. Выполните задания:

a) Сравните отрезки длиной м и м;

b) Сравните дроби и .

«Проверьте себя».

Если вы все сделали правильно, то у вас должны получиться такие рисунки:

Из рисунков видно, что =

Таким образом, учащиеся знакомятся с интересным и важным свойством дробей: «одну и ту же дробь можно записывать несколькими способами». Здесь не приводится формулировка основного свойства, подробное изучение вынесено в отдельный параграф 21 «Основное свойство дроби». Перед этим разбирается вопрос о происхождении дробей, как одна или несколько равных долей:

1) Чтобы получить дробь , надо единицу разделить на n равных частей и взять m таких частей.

2) Чтобы получить дробь , надо число m разделить на число n.

Представлен ряд обучающих визуальных задач:

№341 («Посмотрите и найдите»).

а) В семье четверо детей - одна девочка и трое мальчиков. Праздничный торт был разрезан на 6 одинаковых кусков: по одному на каждого ребенка и на каждого из родителей. Какая часть торта досталась девочке, а какая - мальчикам (рис. 36)?

б) Участок площадью 1 а был поделен на 10 грядок. На двух грядках был посажен лук, на трех - свекла, на четырех - морковь и на одной - чеснок. Найдите площадь (в арах) под каждой из этих овощных культур (рис. 37).

№342 («Тренажер»). Запишите в виде дроби, какая часть фигуры закрашена голубым цветом:

№344 («Тренажер»). Запишите, какая часть фигуры закрашена, а какая - не закрашена:

№343 («Серия»). Определите, какая часть фигуры закрашена голубым цветом. Постарайтесь дать несколько вариантов ответа.

№345

(«Серия»). Сделайте в тетради такой же рисунок и закрасьте квадрата. Постарайтесь найти разные способы.

а) б) в) г)

Предложенные упражнения нацелены на осознание учащимися понятия дроби, как одной из равных долей или нескольких равных долей единицы (целого). После того как учащиеся решили класс задач на соотнесение дроби - части закрашенной фигуры, авторы предлагают перейти к рассмотрению текстовых задач на отыскание части от целого и целого по его части, 20.

Сначала решаются задачи на нахождение одной части от целого (целое по его части), например две взаимно-обратные задачи:

№350 (У). 1) Решите задачи.

В пятом классе 36 человек. В школьной математической олимпиаде участвовали всех учащихся этого класса. Сколько учащихся пятого класса приняли участие в олимпиаде по математике?	В школьной математической олимпиаде приняли участие четверо учеников пятого класса, что составило всех учащихся этого класса. Сколько всего учащихся в пятом классе?

После чего авторы предлагают ответить на вопросы:

· какая величина принята за целое в каждой задаче?

· в какой из задач эта величина известна, а в какой - нет?

· в какой из задач требуется найти часть от целого, а в какой - целое по его части?

· можно ли утверждать, что это взаимно-обратные задачи?

Проводя, аналогию с задачей №350 учащиеся переходят к выполнению заданий на отыскание нескольких частей целого, которым предшествует подробно разобранные задачи двух типов: на отыскание части от целого и целое по его части.

№354 (У) («Проверь себя»). 1) Прочитайте задачи и ответьте на вопросы:

Площадь поля - 50 га. За день бригада трактористов вспахала поля. Сколько гектаров вспахала бригада за день?	За день бригада вспахала 20 га, что составило площади всего поля. Какова площадь поля?

что принято за целое в первой задаче; что - во второй?

в какой из задач эта величина известна, а в какой - нет?

в какой из задач требуется найти часть от целого, а в какой целое по его части?

как найти величину, которая приходится на в первом случае и как - во втором?

Решите данные задачи.

Проверьте правильность ответов и решения:

в обеих задачах за целое принята площадь всего поля;

в первой задаче целое известно - это 50 га, а во второй - целое не известно;

в первой задаче требуется найти часть от целого, а во второй - целое по его части.

Решение:

1) 50 : 5 = 10 (га) - площадь, 1 которая приходится на часть всего поля; 2) 10 • 2 = 20 (га) - площадь, 2 которая приходится на всего поля. Ответ: 20 га.	1) 20 : 2 = 10 (га) - площадь, 1 которая приходится на часть всего поля; 2) 10 • 5 = 50 (га) - площадь всего поля. Ответ: 50 га.

Таким образом, учащиеся могут сравнить две решаемые задачи, после чего сделать вывод: 1) чтобы найти часть от целого, надо число, соответствующее целому разделить на знаменатель и результата умножить на числитель дроби, которая выражает эту часть; 2) чтобы найти целое по его части, надо число, соответствующее этой части, разделить на числитель и результат умножить на знаменатель дроби, которая выражает эту часть.

Заметим, что прежде чем приступать к решению таких задач авторы просят ответить на вспомогательные вопросы:

· что принято за целое?

· известна ли эта величина?

· что теребуется найти в задаче: часть от целого или целое по его части?

· как найти величину, которая приходится на одну часть?

Система упражнений выстроена от простого к сложному, где задания сложнее отмечены специальным значком «о»:

№367 (о) («Серия»). Сделайте в тетради такой же рисунок и закрасьте указанную часть соответствующей фигуры:

а) ; б) ; в) .

№396. Запишите, какая часть фигуры закрашена:

Основное свойство дроби выводится из рассмотрения примеров на увеличение или уменьшение величины дроби в связи с увеличением и уменьшением ее членов в несколько раз. Рассмотрение примеров иллюстрируется чертежом, на котором учащиеся проверяют, что равные дроби могут быть выражены в различных видах.

№371 (У) («Серия»). Запишите, какая часть фигуры закрашена оранжевым, какая - желтым и какая - зеленым цветом. Постарайтесь найти разные способы.

№372 (У) («Серия»). Запишите, какая часть фигуры закрашена, а какая - не закрашена. Найдите разные способы.

№390 (о) («Серия»). Запишите, какая часть фигуры закрашена:

После решения примеров делаются выводы: величина дроби не изменится, если числитель и знаменатель увеличить в одинаковое число раз; величина дроби не изменится, если числитель и знаменатель уменьшить в одинаковое число раз. Основное свойство представлено символьной записью:

При изучении сокращения дробей авторы добиваются, чтобы учащиеся поняли а) на каком свойстве дробей основано их сокращение; б) цель этого преобразования (вид дроби упрощается, так как числитель и знаменатель выражаются меньшими числами). Осуществляется это с помощью вспомогательных вопросов: Какое свойство дроби для этого можно использовать? После чего авторы предлагают прочитать рубрику «Проверь себя». Здесь же проводится сравнение дробей, опираясь на основное свойство дроби.

Дальше проводится знакомство с правильными и неправильными дробями, равными единицы и большими единицы. Переход к преобразованию неправильных дробей в целые и смешанные числа осуществляется наглядно, посредством задачи, где необходимо разделить поровну пять одинаковых яблок между тремя детьми.

Выделяется ряд обучающих визуальных задач.

№416 («Серия»). Запишите двумя способами, в виде неправильной дроби и в виде смешанного числа, какая часть фигур закрашена:

№417 («Серия»). Запишите двумя способами, в виде неправильной дроби и в виде смешанного числа, какая часть фигур закрашена:

Использование визуальных задач в данном пособии осуществляется, в основном, на начальном этапе изучения каждой из тем главы: «обыкновенные дроби». Введение основных понятий осуществляется на наглядной основе.

В банк визуальных задач входят задания на повторения, представленные в 6 классе, относящиеся к категории «Серия»:

№46. Определите, какая часть фигуры закрашена:

№51. Определите, какая часть фигуры закрашена:

№104 (о). Определите, какая часть фигуры закрашена. Запишите ответ разными способами, если возможно.

№144. Флаг Нигерии поделен на три равные части. флага белая, а - зеленые. Определите, какая часть флага закрашена зеленым цветом в каждом случае и найдите флаг Нигерии.

№145. Катя закрасила квадрата, а Даша - 1 . Определите, где рисунок Кати, а где - Даши.

Уровень наглядности (учебники полноцветные) способствует возможности изучения в 5-м классе ряда тем, ранее традиционно рассматривавшихся в курсе 6-го класса: основное свойство дроби, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями (простейшие случаи).

Рассмотрим тему «Проценты». В учебнике И.И. Зубаревой и А.Г. Мордковича тема «Проценты» изучается в конце, в главе IV «Десятичные дроби». На проценты выделено 2 параграфа: §47 «Понятие процента». §48 «Задачи на проценты».

В начале §47 «Понятие процента» идет актуализация знаний. Ученикам предлагается прочитать следующие предложения:

- всхожесть семян составляют 98 процентов;

- концентрация раствора кислоты - 50 процентов;

- в выборах президента России приняли участие 65 процентов избирателей.

Затем раскрывается смысл слова «процент», которое заменяется символом «%».

Далее следует ряд заданий, отмеченных знаком «У», выполняя которые ученики узнают что-нибудь новое (правило, свойство уже известного понятия).

Например:

№929 (У). Математический кружок посещает 1% учащихся школы. Сколько процентов учащихся не посещают математический кружок?

Если вы затрудняетесь ответить, подумайте, сколько процентов составляет число всех учащихся школы.

Проверь себя.

1% - это от целого. Целое составляет . Значит, целое, в данном случае это число всех учащихся школы, составляет 100%.

К задаче 930 составлены вспомогательные вопросы. При решении следующих задач ученикам следует давать ответы на эти вопросы.

Формированию связей между частью числа, выраженной словом (словами), и соответствующим этой части процентам помогает следующее задание:

№933 («Посмотри и определите»). Заполните таблицу по образцу:

Сотая часть числа	1%
Десятая часть числа
Пятая часть числа
Четвертая часть числа
Половина
Три четверти числа
Треть числа

Система упражнений §47 направлена на усвоение двух важных вопросов: понятие «процент» и того факта, что целое - это 100%. Кроме того, школьники учатся правильно отвечать на вопрос, что принято за 100%.

§48 «Задачи на проценты». Параграф начинается с простых задач (со значком У) для устного решения, на отыскание 1%, 2% и т. д. от числа.

№939 (У). Прочитайте предложения и ответьте на вопросы:

- что принято за 100% в каждом случае?

- известна ли эта величина?

- известна ли величина, которая приходится на 1%?

1) В коллекции филателиста 35 марок, посвященных знаменательным датам, что составляет 1% всех марок его коллекции.

2) В школе 700 учеников. Шахматный кружок при Доме детского творчества посещает 1% всех учащихся этой школы.

Учащимся предлагается каждый раз установить, что надо найти - число по его проценту, или процент от числа.

В данном учебном пособии рассматриваются только два типа задач на проценты (нахождение процента от числа, нахождение числа по его проценту), решать которые учащиеся должны в два действия или, составляя выражение, где одним из первых шагов является отыскание величины, которая приходится на 1%.

С помощью ряда задач устанавливается связь между процентами и обыкновенными дробями, в основном это задачи на нахождение части от числа, например:

№934. Половину коллекции энтомолога составляют бабочки. Сколько процентов его коллекции приходится на остальных насекомых?

№935. Десятую часть коллекции нумизмата составляют монеты, выпущенные в XVIII в. Сколько процентов его коллекции приходится на остальные монеты?

№936. Четвертая часть книг городской библиотеки - произведения зарубежных писателей. Какой процент библиотечного фонда приходится на отечественную литературу?

№937. Найдите:

1% от 245 20% от 24,5 40% от 240 4% от 350

2% от 150 50% от 650 60% от 300 12,5% от 40

5% от 700 10% от 750 70% от 150 1,5% от 400

Тему «Проценты» продолжают изучать в 6 классе. Вначале 6 класса в главе положительные и отрицательные числа», в §8 «Правило вычисления значения алгебраической суммы двух чисел». Здесь представлены задачи двух типов: на нахождение процента от числа и числа по его проценту, однако более сложные, чем те, которые решали ранее.

№290(У). Мотоциклист проехал 120 км, 30% из которых - по шоссе. 60% оставшегося расстояния он ехал по грунтовой дороге, а далее - по лесной тропе.

Прочитайте первое предложение и ответьте на вопросы:

Что принято за 100%? Известна ли эта величина? Какая величина приходится на 1%? Сколько километров мотоциклист проехал по шоссе? Прочитайте второе предложение и ответьте на вопросы:

Что принято за 100%? Известна ли эта величина? Сколько всего километров проехал мотоциклист по грунтовой дороге и по лесной тропе? Чему равен 1% этой величины? Сколько километров мотоциклист проехал по грунтовой дороге? Сколько километров мотоциклист проехал по лесной тропе?

До задач 290 и 291, включены задачи, направленные на повторение сведений о процентах, полученных в 5 классе.

Самые сложные задачи на проценты рассматриваются в конце 6 класса, когда изучают пропорцию.

Учебник: Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика, 5-6 Кл. В 2 ч. - М.: Издательство «Ювента», 2004. - 176 с. [12, 13]

В главе 3, § 1, п. 1 разбирается вопрос о происхождении дробей. Приводится историческая справка «Человечеству понадобилось придумать новые - дробные - числа, придумать дроби». В природе существует величины, которые могут быть разделены на любое число равных частей. Измерение таких величин какой-либо единицей не всегда дает в результате целые числа. Рассуждая, таким образом, авторы вводят дробное число на примере деления яблок между детьми. Приходят к выводу, что применение дробных чисел позволяет ответить на вопрос «Сколько?» и в тех случаях, когда натуральных чисел недостаточно. Выводится следующее равенство:

для любых натуральных чисел m и n.

Используя символьную запись, вводятся понятия правильной и неправильной дроби: если числитель m меньше знаменателя n, то дробь называют правильной, а если он больше или равен знаменателю, то дробь называют неправильной. Приводится наглядный пример:

Правильные дроби меньше 1, а неправильные - больше или равны 1.

Возвращаясь, к примеру, о делении яблок авторы приходят к ответу другим способом «целое число + дробь». Таким образом, вводится понятие смешанного числа (смешанной дроби):

Ясно, что при любом способе дележа каждый получит одно и то же количество яблок, значит числа и 3 равны: = 3. Показываются приемы обращения смешанной дроби в неправильную и выделения целой части из неправильной дроби. На примерах показываются способы выполнения действий со смешанными дробями. Формируются умения выполнять оценку и прикидку результатов.

Прежде чем сравнивать дроби авторы рассматривают изображение таких величин на числовом луче (координатном луче), с помощью такого чертежа и проводят сравнение, основываясь на расположении точек.