Разработка методики введения определения "асимптота"

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Калужский государственный университет им. К.Э.Циолковского

Контрольная работа

по ТиМОМ

Студентки

5 курса очного отделения

Физико-математического факультета

Группы ФМ-51

Ильиной Е.Е

Калуга 2012



Алгебра и начала анализа 10-11 класс (А.Н. Колмогоров)

Асимптота (вертикальная, горизонтальная, наклонная) - разработать методику введения определения «асимптота»

1. Мотивация

Построить и исследовать графики следующих функций:

а) y=

б) y=

в) y=x+

а) y=

(Если учащиеся не помнят график данной функции- гиперболы, строим его по точкам)

x	1	-1	2	-2	0.5	-0.5	0.2	-0.2
y	1	-1	0.5	-0.5	2	-2	5	-5

Найдем область определения и значений данной функции.

Какой промежуток является областью определения данной функции? Любое значение может принимать x?

х принимает любое значение, кроме 0, так как на ноль делить нельзя.

D(f)=(-;0);+)

Область значений:

E(f)= (-;0);+)

Является ли данная функция четной, нечетной, периодической?

f(x)=

f(-x)=1/(-x)=- ; -f(x)=-

f(x) f(-x)

f(-x)=-f(x)

Функция является нечетной, график симметричен относительно начала координат, не периодическая.

Есть точки пересечения с осями координат?

Таких точек нет.

Является ли данная функция возрастающей, или убывающей?

Функция убывающая, х=0 является точкой разрыва.

Имеет данная функция точки максимума, минимума?

Нет.

Как себя ведёт данная функция в окрестности точек не входящих в область определения данной функции? В нашем случае, в окрестности точки х=0.



x	0,1	0,2	0,4	0,5	-0,1	-0,2	-0,4	-0,5
y	10	5	2,5	2	-10	-5	-2,5	-2

Как себя ведет функция?

График приближается к оси Oy. Но никогда её не пересечёт.

А пересекается ли гипербола с осью Ox?

y	0,1	0,2	0,4	0,5	-0,1	-0,2	-0,4	-0,5
x	10	5	2,5	2	-10	-5	-2,5	-2

График приближается к оси Ox, не пересекает её.

б) y=

x	0	1	-1	2	-2	3	-3
y	1	0,5	0,5	0.2	0.2	0,1	-0,1

Найдем область определения и значений данной функции.

Какой промежуток является областью определения данной функции? Любое значение может принимать x?

х принимает любое значение

D(f)=(-;+)

Область значений: E(f)=;+)

Является ли данная функция четной, нечетной, периодической?

f(x)=

f(-x)== ; -f(x)=-

f(-x)- f(x)

f(x)=f(-x)

Функция является четной, график симметричен относительно оси ординат, не периодическая.

Есть точки пересечения с осями координат?

Есть точки пересечения с осью Oy, x=0 y=1

Является ли данная функция возрастающей, или убывающей?

Функция возрастает на промежутке (-;0),

убывает на промежутке ;+)

Имеет данная функция точки максимума, минимума?

Точка максимума x=0 y=1

Как себя ведёт график данной функции приближаясь к оси Ох, пересечет ли он эту ось?

y	0,1	0,2	0,4	0,5	-0,1	-0,2	-0,4	-0,5
x	3	2	1,22	1	-3	-2	-1,22	-1

График приближается к оси Ox, не пересекает её.

в) y=x+

x	1	-1	2	-2	3	-3	0,5	0,2	-0,2	-0,5
y	2	-2	2,5	-2,5	3,33	-3,33	2,5	5,2	-5,2	-2,5



Найдем область определения и значений данной функции.

Какой промежуток является областью определения данной функции? Любое значение может принимать x?

х принимает любое значение, кроме 0, так как на ноль делить нельзя.

D(f)=(-;0);+)

Область значений:

E(f)= (-;-2);+)

Является ли данная функция четной, нечетной, периодической?

f(x)=

f(-x)= ; -f(x)=

f(x) f(-x)

f(-x)=-f(x)

Функция является нечетной, график симметричен относительно начала координат, не периодическая.

Есть точки пересечения с осями координат?

Таких точек нет.

Является ли данная функция возрастающей, или убывающей?

Функция возрастает на промежутке (-;-1);+)

Убывает на промежутке (-;0);1).

Имеет данная функция точки максимума, минимума?

Тока минимума x=1 y=2

Точка максимума x=-1 y=-2

Как себя ведёт данная функция в окрестности точек не входящих в область определения данной функции? В нашем случае, в окрестности точки х=0.

x	0,5	0,2	-0,2	-0,5	0,1	-0,1
y	2,5	5,2	-5,2	-2,5	10,1	-10,1

Как себя ведет функция?

График приближается к оси Oy. Но никогда её не пересечёт.

2. Подготовка к введению определения

Мы с вами построили графики нескольких различных функций. Посмотрите на них внимательно, есть ли что-то общее? Какие функции задают графики, как себя ведет график?

Область определения и значения у них различны, промежутки возрастания, убывания и точки максимума тоже.

Первый и третий график не пересекают осей координат, ветви графика приближаются к осям, но не пересекутся с ними никогда.

Второй график пересекает ось Oy, приближается к оси Ox, но никогда её не пересечёт.

Мы заметили, что существуют прямые к которым график функции приближается, но никогда с ними не пересекается.

В математике такие прямые называют асимптотами. Существует несколько видов, это горизонтальные, вертикальные и наклонные асимптоты. Что же такое асимптота?

3. Введение определения

Чем является асимптота? Прямой.

Что такое вертикальная асимптота? Это прямая.

Какая это прямая, как она будет располагаться? Вертикальная прямая.

Что происходит с графиком функции? Он приближается к этой прямой но не пересекается с ней.

Вертикальная асимптота - вертикальная прямая к которой приближается график функции, но никогда с ней не пересечется.

Запишем определение вертикальной асимптоты.

Вертикальные прямые, к которым неограниченно приближается график функции f, называют вертикальными асимптотами.

Что такое горизонтальная асимптота?

Горизонтальные прямые, к которым неограниченно приближается график функции f, называют горизонтальными асимптотами.

Запишем определение.

Если график функции неограниченно приближается к некоторой горизонтальной прямой при неограниченном возрастании (по модулю x),то такую прямую называют горизонтальной асимптотой.

Что такое наклонная асимптота?

Если график функции неограниченно приближается к некоторой наклонной прямой, то такую прямую называют наклонно асимптотой.

Запишем определение.

Если график функции неограниченно приближается к некоторой наклонной прямой при неограниченном возрастании (по модулю x),то такую прямую называют наклонной асимптотой.

Посмотрите на графики, полученные нами ранее.

В первом случае, какая прямая является асимптотой?

х=0 - вертикальная асимптота.

y=0 - горизонтальная асимптота.

Второй график какие асимптоты имеет?

y=0 - горизонтальная асимптота.

Третий график.

х=0 - вертикальная асимптота.

А также есть наклонная асимптота. Посмотрите на график, одна его ветвь приближается к оси Oy, а другая будет приближаться к какой-то наклонной прямой. Эта прямая будет проходить через начало координат. Каким уравнением она будет задаваться?

y=x - наклонная асимптота.

4. Логико-математический анализ структуры определения

Чем является асимптота с точки зрения геометрии?

Прямая.

Каким отличительным свойством обладает эта прямая (асимптота)?

К ней приближается график функции, но не пересекается с ней.

5. Выполнение действий подведения под понятие

№1. Построить график функции y= и указать асимптоты данного графика, если они есть.



х=-1 - вертикальная асимптота.

y=0 - горизонтальная асимптота.

Что называется горизонтальной асимптотой? вертикальной?

Если график функции неограниченно приближается к некоторой горизонтальной прямой при неограниченном возрастании (по модулю x),то такую прямую называют горизонтальной асимптотой.

Вертикальные прямые, к которым неограниченно приближается график функции f, называют вертикальными асимптотами.

№2. Построить график функции y=tgx и указать асимптоты данного графика, если они есть.

х= - , х= - вертикальные асимптоты.

Что называется горизонтальной асимптотой? вертикальной?

Если график функции неограниченно приближается к некоторой горизонтальной прямой при неограниченном возрастании (по модулю x),то такую прямую называют горизонтальной асимптотой.

Вертикальные прямые, к которым неограниченно приближается график функции f, называют вертикальными асимптотами.

№3. Какие асимптоты имеет график следующей функции y= изображенный на рисунке?

х=-1 х=1, - вертикальная асимптота.

y=1 - горизонтальная асимптота.

Что называется горизонтальной асимптотой? вертикальной?

Если график функции неограниченно приближается к некоторой горизонтальной прямой при неограниченном возрастании (по модулю x),то такую прямую называют горизонтальной асимптотой.

Вертикальные прямые, к которым неограниченно приближается график функции f, называют вертикальными асимптотами.

№4. Какие асимптоты имеет график следующей функции y= изображенный на рисунке?

х=0 - вертикальная асимптота.

y=x/2- наклонная асимптота

Что называется наклонной асимптотой? вертикальной?

Вертикальные прямые, к которым неограниченно приближается график функции f, называют вертикальными асимптотами.

Если график функции неограниченно приближается к некоторой наклонной прямой при неограниченном возрастании (по модулю x),то такую прямую называют наклонной асимптотой.

6. Формулировка эквивалентных определений

Вы теперь знаете что такое асимптота, знаете виды асимптот.

Давайте ещё раз повторим определение асимптоты вертикальной, горизонтальной, наклонной.

Если график функции неограниченно приближается к некоторой горизонтальной прямой при неограниченном возрастании (по модулю x),то такую прямую называют горизонтальной асимптотой.

Вертикальные прямые, к которым неограниченно приближается график функции f, называют вертикальными асимптотами.

Если график функции неограниченно приближается к некоторой наклонной прямой при неограниченном возрастании (по модулю x),то такую прямую называют наклонной асимптотой.

Можем ли мы по другому сформулировать эти определения.

Если график функции неограниченно приближается к некоторой вертикальной прямой при неограниченном убывании(по модулю x),то такую прямую называют вертикальной асимптотой.

Горизонтальные прямые, к которым неограниченно приближается график функции f, называют горизонтальными асимптотами.

Наклонная прямая, к которой неограниченно приближается график функции f, называют наклонной асимптотой.



Алгебра и начала анализа 10-11 класс (А.Н. Колмогоров)

t=arccosa+2n,

nZ - методика введения формулы для решения тригонометрического уравнения.

1. Мотивация

Задача: Мотоциклист совершает прыжок через 10 установленных в ряд автобусов. Длина ряда 40 м. Под каким углом должен совершаться прыжок? Известно, что скорость разгона равна 22 м/с. Закон движения мотоциклиста:

L=

О чём идет речь в задаче?

Мотоциклист совершает прыжок через 10 установленных в ряд автобусов.

Какие данные нам известны из условия задачи?

Длина - 40 м.

Скорость - 22м/с.

И закон движения- L=

Что необходимо найти?

Под каким углом должен совершаться прыжок.

Запишем условие задачи.

Дано:

L=40м,

22м/с.

g=10м/с²

-?

Решение:

Можем ли мы сразу найти угол?

Нет, подставив данные в формулу можем найти Cos.

40=

Cos=0.826

Мы получили уравнение нового вида, которое содержит какую функцию?

Тригонометрическую.

Как будет называться такое уравнение?

Тригонометрическим.

Это совершенно новый вид уравнение, с таким уравнением вы сталкиваетесь впервые, наша сегодняшняя цель научиться решать уравнения подобного вида.

Запишем получившееся уравнение в общем виде:

Cos=t

2. Подготовка к введению формулы

Cos=t

При всех значения t уравнение будет иметь решение?

Нет, если >1 то уравнение не имеет решений, так как 1

Изучая тригонометрические функции, мы говорили о том, что косинус принимает значения от -1 до 1.

Если<1, то надо найти такие числа ,что Cos=t.

Вспомним как выглядит график функции Cos=y.



На промежутке сколько решений будет уметь уравнение Cos=t?

Одно решение.

Как будет обозначаться это число?

arccos t.

На промежутке сколько решений будет уметь уравнение Cos=t?

Одно решение.

Как будет обозначаться это число?

- arccos t.

Получили что уравнение имеет два решения на промежутке

arccost

Какой является функция Cos=y?

Четная, периодическая.

Значит, уравнение данного вида будет иметь ещё несколько решений, которые будут отличаться от найденных нами уже. На какое число они будут отличаться?

На 2n, nZ

Можем мы объединить всё полученные решения и записать одной формулой? Какая формула получится?

arccost+2n, nZ

Проиллюстрируем решение данного уравнения на единичной окружности.

Косинус это абсцисса точки P_a единичной окружности. Если <1 сколько таких точек получим?

Две

Если t=1?

Одна

При t=1 что будет с числами arccos t и - arccos t?

Они совпадут.

3. Введение формулы

Формула корней уравнения Cos=t имеет следующий вид:

arccost+2n, nZ

Решение уравнений Cos=1 в математике принято записывать в следующем виде x=2n, nZ

Так же для уравнений Cos=0 и Cos=-1 существует особая форма записи корней.

Cos=0, x=n, nZ

Cos=-1, x=n, nZ



4. Усвоение формулы

Вернёмся к нашей задаче. Какое уравнение мы получили?

Cos=0.826

Чему будет равно ?

arccos(0,83)+2n, nZ

arccos(0,83)=34^o

34^o

+2n, nZ

n=0,

Каким будет ответ в задаче?

Прыжок должен совершаться под углом 34^o

На доске записано уравнение Cos=t и формула

arccost+2n, nZ, 1

Задание: решить следующие уравнения

1) Cos=

2) Cos=

Cos=, , arccos+2n, nZ

+2n, nZ

Cos= , arccos+2n, nZ

+2n, nZ



Формул на доске нет, учащиеся при решении проговаривают формулу вслух, пошагово комментируют что делать.

Решить уравнения

Cos=, arccos+2n, nZ

+2n, nZ

Cos= x=2n, nZ

При решении заданий учащийся проговаривает формулу про себя, на доске формулы не записаны.

Cos=, arccos(-+2n, nZ

+2n, nZ

Cos= x=n, nZ

5. Применение формулы

Задача: Сила тока в цепи со временем изменяется по закону I=2.7Cos(50t+1). Определите время t, если известно что сила тока равна 1.3А.

О чём идет речь в задаче? Что нам дано? Что необходимо найти?

Дано:

I=2.7Cos(50t+1)

I=1.3А.

t-?

Решение:

1.3=2.7Cos(50t+1)

Cos (50t+1)=0.48

50t+1arccos+2n, nZ

50t+1 +2n, nZ

50t -1+2n, nZ

t= -1/50+n/25, nZ

Ответ: t= -1/50+n/25, nZ



Алгебра и начала анализа10-11 класс (А.Г. Мордкович)

асимптота тригонометрический уравнение урок

Разработать урок по функционально-графическому методу решения уравнений.

Тема урока: Функционально-графический метод решения уравнений.

Тип урока: Урок совершенствования знаний умений и навыков.

Цели урока:

Образовательные: Систематизировать, обобщить, расширить знания, умения учащихся, связанные с применением функционально-графического метода решения уравнений. Отработать навыки решения уравнений функционально-графическим методом.

Развивающие: Развитие памяти, логического мышления, умения анализировать, сравнивать, обобщать, самостоятельно делать выводы; развитие грамотной математической речи.

Воспитательные: воспитывать аккуратность и точность при выполнении заданий, самостоятельность и самоконтроль; формирование культуры учебного труда; продолжить формирование познавательного интереса к предмету.

Структура урока:

I. АЗ

1. Организационный момент.

2. Устная работа с целью проверки домашнего задания.

3. Фронтальный опрос с целью АЗ по теме.

4. Постановка целей и задач на следующий этап урока.

II. ФУН

1. Коллективное решение задач.

2. Постановка домашнего задания.

3. Самостоятельная работа.

4. Подведение итогов урока.

Ход урока:

I.АЗ

1.Организационный момент.

2. Устная работа с целью проверки домашнего задания.

Начнём урок с проверки домашнего задания.

Называйте ответы по цепочке.

1358. а)4^x=1/16 б)(1/6)^x=36

4^x=4^-2 6^-x=6²

x=-2 x=-2

1364. a)(1/5)^x*3^x= б)5^x*2^x=0,1^-3

)^x=)^3/2 10^x=10³

x=1.5 x=3

1366.a)2^2x-6*2^x+8=0

2^x=a

a=2, a=4

2^x=2, 2^x=4

x=1, x=2

1367. б)2*4^x-5*2^x+2=0

2^x=a

2a²-5a+2=0

a=2, a=1/2

2^x=2, 2^x=1/2

x=1, x=-1

1371. a)5^x=-x+6 y=5^x y=-x+6



x=1

Молодцы, у всех получились такие ответы, есть вопросы по домашнему заданию? Все справились?

3. Фронтальный опрос с целью АЗ по теме.

Как называются уравнения, которые вы решали в домашней работе?

Показательные.

Какие уравнения называются показательными?

Показательными уравнениями называют уравнения вида a^f(x)=a^g(x), где а - положительное число отличное от 1,и уравнения, сводящиеся к этому виду.

Какому уравнению равносильно уравнение a^f(x)=a^g(x)?

Уравнение a^f(x)=a^g(x) (где a>0,a) равносильно уравнению f(x)=g(x)

C помощью каких основных методов вы решали показательные уравнения?

1) Метод уравнивания показателей

2) Метод введения новой переменной

3) Функционально графический метод

4.Постановка целей и задач на следующий этап урока.

Сегодня мы подробнее остановимся на решение уравнений с помощью функционально - графического метода.

За 10 минут до конца урока вы напишите небольшую самостоятельную работу.

II.ФУН

1.Коллективное решение задач.

В чём же суть функционально-графического метода решения уравнений? Что мы должны сделать решая уравнение таким способом?

Чтобы решить уравнение вида f(x)=g(x) функционально-графическим методом нужно:

Построить графики функций у=f(x) и y=g(x) в одной системе координат.

Определить координаты точки пересечения графиков данных функций.

Записать ответ.

№1 a) 3^x=-x+4

Каким методом мы будем решать уравнение?

Функционально -графическим.

Какой будет первый шаг при решении уравнения?

Введем функции.

Какие функции у нас получаться?

y=3^x y=-x+4

Если учащийся может, строит график сразу, если нет, сначала составляет таблицу.

Каким образом строим график?

По точкам, подставляем в функцию x и находим y.

Как мы найдём корень уравнения?

Найдём точку пересечения двух получившихся графиков.

Сколько точек пересечения у нас получилось, посмотри на рисунок?

Одна точка.

Что это значит? Сколько корней имеет данное уравнение?

Один корень, равен 1.

Ответ: x=1

б) 3^x/2=-0.5x+4

Каким методом мы будем решать уравнение?

Функционально -графическим.

Какой будет первый шаг при решении уравнения?

Введем функции.

Какие функции у нас получаться?

y=3^x/2 y=-0.5x+4

Как мы найдём корень уравнения?

Найдём точку пересечения двух получившихся графиков, корень равен 2.

Ответ: x=2



№2 a)2^x+1=x³

Каким методом мы будем решать уравнение?

Функционально -графическим.

Какой будет первый шаг при решении уравнения?

Введем функции.

Какие функции у нас получаться?

y=2^x+1 y= x³

Как мы найдём корень уравнения?

Найдём точку пересечения двух получившихся графиков, корень равен 2.

Ответ: x=2

б)2^x=(x²/2)+2

Каким методом мы будем решать уравнение?

Функционально -графическим.

Какой будет первый шаг при решении уравнения?

Введем функции.

Какие функции у нас получаться?

y=2^x y= (x²/2)+2

Если учащийся может, строит график сразу, если нет, сначала составляет таблицу.

Как мы найдём корень уравнения?

Найдём точку пересечения двух получившихся графиков, корень равен 2.

Ответ: x=2

2.Откройте дневники, запишите домашнее задание.

№№1372,1370,1371(в, г)

3.Самостоятельная работа.

А сейчас небольшая самостоятельная работа. Проверим как вы усвоили материал, всё ли из вас поняли суть функционально-графического метода решения уравнений.

№1 Решить уравнение функционально - графическим методом:

1 вариант 2 вариант

а)5^x/5=-x² (решений нет) а)3^x+2-6x=0 (решений нет)

б)3^x+2-3=0 (x=-1) б)5^x/5+x-1=0 (x=0)

№2 Сколько корней имеет уравнение и в каком промежутке они находятся

1 вариант 2 вариант

а)3^x=-x²-2 (решений нет) а) 3^x=-x²+2 ((-1,5;1) два корня)

б)3^x/2=6x ((-3;3,5) два корня) б)2^x+x²-5=0 (-2.5;1.5) два корня)

4.Подведение итогов урока.

Чем сегодня мы занимались на уроке? Задания, какого вида решали?

Какой метод решения показательных уравнений вы сегодня освоили?

Повторим ещё раз, в чём суть функционально - графического метода решения уравнений?

Объясните пошагово, как решаются уравнения таким методом?

Есть вопросы? Всем всё понятно?

Урок закончен, можете быть свободны.

Размещено на Allbest.ru