Разработка факультативного курса "Алгебраические числа" для учащихся общеобразовательной школы

13. Решить графически и аналитически уравнение:

а) z + z= 1 - i; б) z + z + 1= i.

14. Построить точки, изображающие комплексные числа:

а) 1 + i, б) 1, в) -1, г) i,

д) -i, е) -1 + 2i, ж) 2 - 3i, з) sin + icos.

15. Найти тригонометрическую форму комплексного числа:

а) 1, б) -1, в) i, г) - i, д) 1 + i, е) -1 + i.

17. Доказать справедливость равенств:

а) , arg ;

б) , arg .

18. Вычислить:

, arg ;

19. Нарисовать множество точек, удовлетворяющих условиям:

а) z= 1; б) z 1; в) z> 2; г) 1 z 2;

д) arg z = ; е) arg z = ; ж) arg z = ; з) arg z = 0.

20. Доказать, что расстояние между точками z и t равно z - t.

21. Изобразить множество точек z таких, что

а) z - i= 1; б) z - i 1; в) z - i< 1; г) z - i 1.

22. Какое множество точек z задается условиями:

а) z - 1= z - i; в) z + 1=z - i=z + i;

б) z + i=z + 1 - i; г) z - 1=z - 2i=z + 1 + i.

23. Найти расстояние от точки z0 до множества M:

а) z0 = 2, M = zarg z = ; в) z0 = -1 + i, M = zarg z = ;

б) z0 = -2i, M = zarg z = ; г) z0 = 4 + 3i, M = zarg z = 0.

24. Найти расстояние от точки 2 + 3i до множества M:

а) M = zarg z = ; в) M = zarg z = ;

б) M = zarg z = ; г) M = zarg z = .

25. Считая z 1, найти указанное значение:

а) min 1 + i - z; в) min 3 + 2i - z;

б) max 1 + i - z; г) max 3 + 2i - z.

26. Найти расстояние между множествами точек:

а) M1 = zz - i 1, M2 = zz - 2 - 3i 1;

б) M1 = zz - 2i 1, M2 = zarg z = .

27. Найти точку на окружности, имеющую наименьший положительный аргумент:

а) z - 3i= 2; в) z - 2 - 3i= 1;

б) z - 1 - 2i= 1; г) z + 1 - i=.

27. Доказать, что для любых комплексных чисел справедливо равенство

x + y2 + x - y2 = 2(x2 + y2).

Объяснить его геометрический смысл.

28. Доказать, что если z< , то

а) (1 + i)z3 + iz < ; б) (2 + 3i)z5 + (1- i)z <.

Прежде чем приступать к решению следующих задач необходимо рассказать о произведении и частном комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме

29. Выполнить действия над комплексными числами:

а) (1 - i)(cos - i sin); б) ;

30. Найти модуль и наименьший положительный аргумент комплексного числа:

а) (i +)(1 - i)(1 + i); б) (1 - i)( - i).

31. Вывести формулу Муавра: (cos + i sin)n = cosn + i sinn.

Алгебраические числа

1. Доказать, что множество всех чисел указанного вида является полем

а) , б) a + bi, где a, b - рациональны, i - мнимая единица.

2. Среди чисел найти рациональные.

а) , б) , в) , г) .

3. Доказать иррациональность чисел:

4. Известно, что - неалгебраическое число. Какие из чисел являются алгебраическими: а) 3 + + 1, б) + 1/, в) + 1/ + 1.

5. Можно ли построить с помощью циркуля и линейки треугольник равновеликий кругу радиуса 1?

6. Является ли число алгебраическим? Можно ли его построить с помощью циркуля и линейки?

Теорема Кантора

1. Как установить взаимно-однозначное соответствие между

а) замкнутыми отрезками разной длины;

б) окружностями разного радиуса;

в) кругом и областью ограниченной квадратом;

г) открытым отрезком и замкнутым отрезком;

д) отрезком и лучом;

е) отрезком и прямой;

ж) прямой и окружностью?

2. Как вы думаете где больше точек на прямой, на плоскости или в пространстве?

3. Докажите, что конечных последовательностей из 0 и 1 счетное множество?

4. Каким может быть подмножество счетного множества?

5. Докажите, что бесконечных последовательностей из 0 и 1 столько же сколько точек на отрезке.

6. Почему конечных последовательностей натуральных чисел счетное число?

7. Сколько можно расположить на плоскости непересекающихся букв «Г» одного размера; а букв «О»?

§ 3. Методические рекомендации по организации изучения факультативного курса «Алгебраические числа»

Для разработки рекомендаций по организации работы сформулируем некоторые общие требования взаимосвязанного построения дополнительного образования и уроков по математике:

преемственность в содержании, методах и формах организации занятий по математике должна определяться целями обучения математики, всестороннего развития и воспитания учащихся.

взаимосвязанное построение уроков и факультативных занятий по математики не должно противоречить дидактическим принципам в обучении математики.

не должно быть противоречий психолого-педагогическими требованиями;

не должно быть несогласованности и с директивными нормами организации работы общеобразовательной школы.

главным критерием эффективности взаимосвязанного построения уроков, внеклассных занятий и дополнительного образования по математике должна быть в конечном счете результативность неразрывно связанных друг с другом процессов обучения, развития и воспитания школьников.

взаимосвязь уроков и дополнительного образования должна рассматриваться в такой последовательности: уроки математики - внеклассные занятия - дополнительное образование. [37]

Перейдем к рассмотрению вопроса методического обеспечения факультативного курса «Алгебраические числа». Оперативные навыки, приобретаемые учащимися в процессе изучения темы, и использование этих навыков на протяжении всего дальнейшего обучения имеют безусловный приоритет по сравнению с логическими аспектами изложения теории, с уровнем строгости и общности определений, теорем и доказательств. [17, 36]

Такой подход к изучению темы связан с рядом обстоятельств. Прежде всего, теоретический уровень обучения математике не должен значительно отличаться от уровня общеобразовательных классов.

Нельзя не учитывать также и объективные возрастные особенности учащихся, их ограниченные возможности в усвоении абстрактных теоретических построений, и быть может, самое главное - еще не сложившуюся внутреннюю потребность в более высоком, чем раннее, уровне строгости - в строгой форме определений, в необходимости доказательств теоретических утверждений в обще виде, в теоретическом обосновании алгоритмов решения задач, ориентированных на практические применения.

Наконец, существенное значение имеют и общедидактические и методические соображения о значимости логики в курсе математики, о роли формальных доказательств в процессе обучения математики, о точности языка преподавания математики. Мы не будем детально вдаваться в эту исключительно деликатную тему и ограничимся лишь двумя замечаниями. [37]

Во-первых, даже для профессионального математика некоторые доказательства «на примере», абсолютно неприемлемые с чисто логической точки зрения, могут быть настолько убедительными, что их логически необходимое формальное доказательство отличается от примера лишь общими обозначениями.

Такими являются, например, доказательства признаков делимости на 3 и на 9 в младших классах, правило перевода бесконечной периодической дроби в обыкновенную, основанное на домножение на степень числа 10.

В этих теоремах частные примеры настолько адекватно моделируют общее формальное доказательство, что в справедливости общих утверждений после таких доказательств, рассчитанных на младших школьников, не будет сомневаться и профессионал - математик. В тоже время доказательства в общем виде в данных случаях отличаются от примеров лишь громоздкостью обозначений и с дидактической точки зрения не дают ничего нового, кроме чисто формальной логической строгости.

Между тем, одна из основных особенностей рассматриваемой темы, определяемая и ее содержанием и целью изучения, состоит именно в том, что большая часть основных результатов допускает дидактически допустимое обоснование с помощью примеров, адекватно отражающих сущность формального доказательства. Это позволяет практически всегда избегать громоздких обозначений и выкладок, существенно облегчая погружение учащихся в рассматриваемый раздел. [17, 25]

Кроме того, теоретические обоснования некоторых алгоритмов, ориентированных на практическое применение, могут быть проведены сравнительно несложно, что предоставляет учителю богатые возможности для дифференцированного подхода к учащимся.

Во-вторых, недостатки овладения школьниками тем или иным конкретным математическим материалом, как правило, в меньшей степени связаны с логическим уровнем его изложения.

Еще раз подчеркнем, что выбор логического уровня изложения теории полностью отдается на усмотрение учителя.

С начальными понятиями теории многочленов от нескольких переменных: нормальный вид многочлена, сложение, вычитание, умножение многочленов, степень многочлена, - учащимся уже знакомы из курса алгебры.

Наша задача - доступно и легко изложить материал по теме «Алгебраические числа». Сразу следует отметить, что для изучения учащимся представлена не полная теория, а лишь основные блоки, которые позволяют практически оперировать и то, только те которые учащиеся 8 и 9 классов могут освоить. Поэтому доказательства, задачи, определения, утверждения доказываются для частных случаев или на примерах.

Раздел I. История возникновения и развития числовых понятий

Для изложения материала данного раздела мы предлагаем метод рассказа. Он предполагает устное повествовательное изложение содержания учебного материала.

Раздел 2. Симметрические многочлены.

Тема 2.1. Первичные понятие и простейшие свойства. В данной теме необходимо уделить внимание усвоению детьми определения симметрического многочлена и возможности формирования навыков переименования переменных. Для введения понятия переименования переменных мы предлагаем наглядно - иллюстративный метод: рассмотреть различные переименования для конкретного числа переменных. Аналогичным способом мы предлагаем рассматривать элементарные симметрические многочлены. Это позволит не только сформировать навыки по записи элементарных симметрических многочленов для конкретного числа переменных, но и понять закономерность процесса построения таких многочленов. В данной теме приводятся четыре утверждения, которые в последующем потребуются для доказательства более сложных теорем и свойств. Мы посчитали целесообразным доказать только два из них (утверждение 3, 4), так как доказательство этих фактов можно провести на конкретном примере и оно не является слишком абстрактным для понимания детей в 8-10 классах.

Тема 2.2. Основные теоремы о симметрических многочленах. В данной теме трудности могут возникнуть с пониманием алгоритма выражения симметрического многочлена через элементарные симметрические. Поэтому на данном занятии стоит сразу отработать данный алгоритм на решении задач аналогичных примеру рассмотренному в доказательстве теоремы.

Тема 2.3. Некоторые применения основной теоремы. Здесь рассматриваются симметрические дроби, симметрические многочлены по наборам переменных и формулы Виета. В рассмотрении данной темы необходимо акцентировать внимание на вывод формул Виета. Его необходимо провести на конкретном примере. После их вывода необходимо закрепить знания формул при решении задач. При рассмотрении понятия симметрической дроби можно предложить детям, интересную на наш взгляд, задачу о представлении симметрической дроби в виде отношения двух симметрических многочленов, которая позволит лучше понять основное свойство дроби и само понятие симметрической дроби. Теорема о строение симметрических многочленов необходима для доказательства теоремы о структуре множества алгебраических чисел.

Раздел 3. Алгебраические числа.

Тема 3.1. Числовые поля. Материал данного раздела рассматривается подробно в 8 классе, поэтому начальные этапы рассмотрения носят скорее обобщающий характер. А вот новое в данном вопросе - комплексные числа. При описании этого числового множества, мы предлагаем рассмотреть пары чисел на декартовой плоскости и действия над такими парами. Затем вводится мнимая единица i и приводится представление комплексного числа в алгебраической форме (знакомство с формулой Эйлера и теоремой Муавра на данном этапе почти невозможно по ряду очевидных причин, прежде всего, ввиду отсутствия достаточных знаний по тригонометрии). Здесь же предполагается знакомство с полярной системой координат и тригонометрической формой комплексного числа. Основное внимание следует уделить арифметическим действиям над комплексными числами, решению линейных и квадратных уравнений с действительными и комплексными коэффициентами. Мы умышленно предлагаем расширенный список задач на комплексные числа. В нем содержатся разнообразные задачи, связанные с геометрическим представлением комплексных чисел. При решении этих задач используются свойства прямоугольных треугольников и окружностей, т.е. наблюдаются определенные межпредметные связи. Следует обратить внимание на задачи, использующие понятие расстояния между точками на плоскости и его интерпретацию на языке комплексных чисел.

Нет сомнения в том, что задачи на комплексные числа способны вызвать живой интерес учащихся. С помощью задач можно организовать индивидуальную самостоятельную работу, а потом разобрать их решения на дополнительном занятии.

После рассмотрения числовых множеств для более наглядного понимания и для закрепления удобно привести графическую диаграмму, иллюстрирующую расположение основных числовых множеств. Учащиеся должны понять вложение числовых множеств одно в другое. Например, натуральные числа являются подмножеством целых чисел. Этот факт следует даже из определения целых чисел - это натуральные числа, противоположные к ним и нуль. Поэтому круг, изображающий множество натуральных чисел, находится внутри круга целых чисел. Аналогичные рассуждения можно провести и с другими множествами. Необходимо обратить внимание на расположение рациональных и иррациональных чисел. Они не являются подмножествами друг друга. Дети должны понять, что все действительные числа делятся на непересекающиеся множества рациональных и иррациональных чисел.

Тема 3.2. Алгебраические числа. Основная цель заключительных тем - демонстрация новых идей. Овладение техникой отходит на задний план, поскольку сама техника весьма нетривиальна. Новые красивые идеи, несомненно, способны вызвать интерес у школьников, интересующихся математикой, открыть перед ними ее красоту.

В данной теме могут возникнуть трудности с пониманием различных понятий: поле, алгебраически замкнутое поле, запись многочленов с большим числом переменных. Кроме того, при доказательстве теорем о поле алгебраических чисел используются формулы Виета и теорема о симметрических многочленах по наборам переменных - это достаточно тонкие рассуждения и вполне естественны трудности при понимании соответствующих рассуждений. Вполне допустимо, если эти теоремы будут приведены на минимальном уровне строгости, вполне допустимо ограничиться пониманием соответствующих формулировок и их применением при решении задач.

Тема 3.3. Теорема Кантора. При введении понятия счетности множества надо расшифровать слово «пересчитать» в определении. Полезным является установление сначала разного сорта взаимно-однозначных соответствий между простейшими геометрическими фигурами, и только после этого следует переходить к доказательству счетности различных числовых множеств. После доказательства теоремы Кантора следует указать на его неконструктивность, т.е. невозможность указать хотя бы одно неалгебраическое число.

Заключение

Изучение истории дополнительного образования показало, что дополнительное образование и внеклассная работа взаимосвязаны и входят в состав непрерывного математического образования. В своем развитии дополнительное математическое образование и внеклассная работа прошли несколько этапов, но наиболее важный период для появления факультативных и внеклассных занятий - 60-е года 20 века. Это позволило реализовать дифференцированный подход к обучению и осуществить индивидуализацию отечественного образования. Условиями организации дополнительного образования является определение некоторой модели: «Свободная мысль», «Личностная модель», «Развивающая модель», «Активизирующая модель», «Формирующая модель», «Обогащенная модель», где заложены свои критерии и система методов: критерии преемственности методов, критерий соответствия целям и задачам обучения, критерии соответствия содержанию занятий, критерии соответствия возрастным и индивидуальным особенностям развития старшеклассников. А также при построении курса дополнительного математического образования необходимо учитывать комплексный подход к разработке такого курса, а также психологические особенности детей, на возрастную группу которых рассчитан этот курс. Этим вопросам посвящена целиком первая глава.

С учетом первой главы предложена разработка факультативного курса «Алгебраические числа», в частности, определено содержание курса, предложена примерная программа, а также методические рекомендации по организации работы. Предлагаемый курс является естественным продолжением факультативного курса «Многочлены от одной переменной», разработанного Г.В. Дорофеевым. Кроме того, предлагаемый факультативный курс можно рассматривать как естественное продолжение одной из важнейших линий школьного курса - числовой линии. При отборе содержания учитывалась история возникновения и развития основных понятий, а также их связи с другими важнейшими понятиями основного курса и значимость не только для математики, но и для общего образования. При отборе содержания и подаче материала мы отдавали предпочтение идеям, а не отработке технических навыков. На наш взгляд, предложенный содержательный материал показывает единство различных разделов математики - арифметики, алгебры, геометрии, анализа, и способен вызвать живой интерес учащихся.

Материалы дипломной работы могут быть использованы при внедрения данного курса в школьную практику.

Библиография

1. Азаров Ю.П. Радость учить и учиться. - М.: Политиздат, 1989. - 335 с.

2. Алексеев А.Е. В помощь начинающему учителю по математике. - Якутск, 1984. - 38 с.

3. Альхова З.Н. Внеклассная работа по математике. - Саратов: Лицей, 2001.

4. Батурина Г.И., Кузина Т. Ф. Введение в педагогическую профессию: Учеб. пособие для студентов сред. пед. учеб. заведений. - М.: Издательский центр «Академия», 1998. - 176 с.

5. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. - М.: Наука, 1963. - 292 с.

6. Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. - М.: Наука, 1965. - 300 с.

7. Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. - М., 1959.

8. Василевский А.Б. Задания по внеклассной работе по математике: 9 - 11 кл. - Минск, 1988. - 127 с.

9. Введение в педагогическую профессию: Курс лекций. // Научные редакторы: Н.К. Сергеев и Е.И. Сахарчук. - Волгоград: Перемена, 1998.

10. Винберг Э.Б. Симметрия многочленов. - М.: Изд-во Моск. центра непрерывного мат. образования, 2001.- 24 с.

11. Внеклассная работа по математике. / Под ред. Ф.С. Королева и др. - Первиль, - 1999.

12. Внеклассная работа по математике в средней школе: Учебное пособие для студентов физ. - мат. фак. и начин. учителей по математике. / Под ред. В.И. Сухорукова. - Балашов: БГПИ, 1994. - 204 с.

13. Возрастная и педагогическая психология. - 2-е изд., испр. и доп. /Под ред. А.В. Петровского. - М., 1979.

14. Вопросы преподавания математики в школе. Классные и факультативные занятия. /Под ред. Сандлера А.И. - Куйбышев, 1971. - 154с.

15. Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. - М.: Просвещение, 1985. - 196 с.

16. Гольховой В.М. Индивидуализация учебной деятельности учащегося как основа дифференцированного обучения по математике. - М.: Моск. пед. ин-тут, 1997.- 16 с.

17. Дорофеев Г.В. Математика для каждого. - М.: Аякс, 1999. - 292 с.

18. Дорофеев Г.В., Пчелинцев С.В. Многочлены от одной переменной. Книга для учащихся - М.: Просвещение, 2001. - 142 с.

19. Жаров В.А. Избранные вопросы для факультативных и внеклассных занятий по математики. - Ярославль, 1971. - 163 с.

20. Зимняя И.А. Педагогическая психология: учебное пособие. - Ростов н/Д.: Феникс, 1997.

21. Кадыров. И.М. Взаимосвязь внеклассных и факультативных занятий по математике. Книга для учителя. - М.: Просвещение,1983. - 63 с.

22. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. - М., 1989.

23. Козырева А.Ю. Лекции по педагогике и психологии творчества. - Пенза: Научно-методический центр Пензенского городского отдела образования, 1994.- 344 с.

24. Колмогоров А.Н. Математика в её историческом развитии. - М.: Наука, 1991. - 256.

25. Крутецкий В.А. Психология обучения и воспитания школьников. - М.,1976.

26. Лихачёв Б.Т. Педагогика. Курс лекций. Учебное пособие для студентов пед. учебн. заведений и слушателей ИПК и ФПК. - М.: Прометей, 1992. - 526 с.

27. Материалы для факультативных занятий по математики в средней школе. /Под. ред. А.И. Сандлера. - Куйбышев, 1971.

28. Мерлина Н.И. Дополнительное математическое образование школьников и современная школа.- М.: Гелиос, 2001.

29. Мижериков В.А., Ермоленко М.Н. Введение в педагогическую профессию: Учебное пособие для студентов педагогических учебных заведений. - М.: Педагогическое общество России, 1999.

30. Немов Р.С. Психология: Учеб. для студ. пед. вузов: В 3 кн. - 3-е изд. - М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1999.

31. Ожегов С.И. Словарь русского языка. - М., 1964.

32. Особенности углубленного изучения математики в 8- 9 классах. Сост. Е.П. Нелин, - Киев, 1989. - 175с.

33. Педагогика. Учеб. пособие для студентов пед. училищ. /С.П. Баранов, Л.Р. Болотина, Т.В. Воликова, В.А. Сластенин. - М.: Просвещение, 1981. - 367 с.

34. Педагогика. Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по спец. 2121 «Педагогика и методика нач. обучен.» /С.П. Баранов, Л.Р. Болотина, В.А. Сластенин и др.; Под ред. С.П. Баранова, В.А. Сластенина. -2-е изд., доп. - М.: Просвещение, 1986. - 336 с.

35. Педагогика: педагогические теории, системы, технологии: Учеб. пособие для студ. пед. учеб. заведений. /С.А. Смирнов, И.Б. Котова, Е.Н. Шиянов, Т.И. Бабаева и др.; Под ред. С.А. Смирнова. - М.: Издательский центр «Академия», 1998. - 512 с.

36. Прасолов В.В. Многочлены. - М.: МЦНМО, 2001. - 335 с.

37. Рыбников К.А. История математики. - М.: Изд-во МГУ, 1994. - 310.

38. Семенов В.И. Некоторые методологические и методические аспекты углубленного изучения математики. Учебное пособие. - Кемерово, 1988. - 135 с.

39. Факультативные занятия по математике. Сборник статей. /под ред. П.С. Орехова. - Ижевск,1969.

40. Факультативные курсы по математике в средней школе. Сборник трудов. /под.ред. М.К. Андронова. -М.,1994.

41. Юшкевич А.П. История математики в средние века. - М., 1961

Размещено на Allbest.ru