Разработка факультативного курса "Алгебраические числа" для учащихся общеобразовательной школы

29

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Московский городской педагогический университет

Математический факультет

Кафедра алгебры, геометрии и методики их преподавания

Дипломная работа

Разработка факультативного курса «Алгебраические числа» для учащихся общеобразовательной школы

Студента:

Пчелинцева Алексея Сергеевича

Научный руководитель:

к.п.н., доцент Чуйкова Н.В.

Москва - 2010

Оглавление

Актуальность исследования

Глава 1. Сущностная характеристика дополнительного математического образования с точки зрения системного подхода

§ 1. История развития дополнительного математического образования и внеклассной работы в России

§ 2. Педагогические условия организации дополнительного математического образования в 8-10 классах общеобразовательной школы

§ 3. Психологические особенности учащихся 8-10 классов, влияющие на содержание и формы организации факультативных занятий

Глава 2. Условия внедрения факультатива «Алгебраические числа» в практику общеобразовательной школы

§1. Содержание факультативного курса

Раздел 1. История развития числовых понятий

Раздел 2. Симметрические многочлены

Раздел 3. Алгебраические числа

§2. Примерная программа факультатива «Алгебраические числа»

§3. Методические рекомендации по организации изучения факультативного курса «Алгебраические числа»

Заключение

Библиография

Актуальность исследования

Математическое развитие является важным фактором, обеспечивающим готовность человека к непрерывному образованию и самообразованию в самых различных областях человеческой деятельности.

Общеобразовательная школа не в состоянии в полной мере удовлетворить такие потребности. Однако дополнительное математическое образование учащихся в форме внеклассных занятий, понимаемое как «образовательный процесс, имеющий свои педагогические технологии, формы и средства их реализации», по программам государственных стандартов общеобразовательной школы является необходимым условием диверсификации образования, дает возможность учитывать всех школьников, сильных, слабых и тех, чьи интересы лежат в другой области.

Важной причиной дополнительного изучения математических наук в школе является связь абстрактных математических понятий с объективной действительностью.

Существенные изменения в концепции школьного математического образования, произошедшие за последние десятилетия, заставляют вернуться к обсуждению вопроса о более углубленном изучении чисел и многочленов в средней школе. В настоящее время рассматриваемая тема предлагается в системе углубленного изучения математики. Так изучение этой темы затронуто в учебнике Н.Я. Виленкина для 8 классов с углубленным изучением математики. Она связана с расширением существующего содержания, по сравнению с общеобразовательным курсом, и учитель имеет право ее не изучать. Актуальность изучения темы «Алгебраические числа» в 8-10 классах общеобразовательной школы обосновывается преемственностью этой темы в вузах, вооружением учащихся простыми и эффективными методами решения более широкого, по сравнению с общеобразовательной школой класса задач. Эта тема является продолжением числовой линии, изучению которой посвящается достаточно большое количество часов в школы.

Изучение этой темы в содержании общеобразовательной школы представляется целесообразным ввиду очевидных тесных связей с материалом, изучаемым в вузах: комплексные числа, многочлены, матрицы, … Обсуждение симметрических многочленов и комплексных чисел уже в 8 классе, овладение учащимися основными применениями этой теории, дают им возможность решать более широкий круг задач, и, что особенно важно - осваивать новые математические идеи, т.е. качественно повышать уровень своей математической подготовки [17, 18].

Изучением данной темы занимались Н.Я. Виленкин, Э.Б. Винберг, Г.В. Дорофеев, В.В. Прасолов, С.Л. Табачников и другие.

Возможно, что изучение темы «Алгебраические числа» окажется для учащихся 8-10 классов достаточно трудным, даже в классах с углубленным изучением математики. Однако при соответствующей методике изучения этой темы, ориентированной, прежде всего, на знакомство с рядом новых идей и понятий, такой курс может вызвать у учащихся живой интерес к математике, показать им ее красоту. Математическая техника и отработка конкретных навыков должны отойти на задний план.

Прикладные аспекты изучения различных разделов факультативного курса практически лишены мотивационной значимости, поскольку довести их до реальных приложений невозможно, и вряд ли целесообразно. Учащиеся, способные освоить соответствующий материал, не нуждаются в мотивации изучения предлагаемых разделов.

Итак, можно сделать вывод, что изучение дополнительных разделов и тем в курсе математики на этапе 8 - 10 классов является важным фактором, обеспечивающим готовность человека к непрерывному образованию и самообразованию в самых различных областях человеческой жизни.

Цель исследования. Разработать факультативный курс «Алгебраические числа» для школьников 8-10 классов и проанализировать условия его внедрения в процесс дополнительного математического образования.

Задачи исследования.

Изучить историю развития дополнительного математического образования и внеклассной работы в России.

Выявить педагогические условия организации дополнительного математического образования в 8-10 классах общеобразовательной школы.

Сформулировать психологические особенности учащихся 8-10 классов, влияющие на содержание и формы организации факультативных курсов.

Выявить научно-методические аспекты определения содержания факультативного курса «Алгебраические числа».

Предложить примерную программу факультативного курса «Алгебраические числа».

Разработать методические рекомендации по организации изучения дополнительного курса «Алгебраические числа».

Методы исследования.

Метод изучения психолого-педагогической литературы по теме;

Метод теоретического поиска;

Метод обобщения и систематизации передового педагогического опыта, относящегося к проблемам дополнительного образования.

Структура дипломной работы.

Работа состоит из введения, двух глав, заключения и библиографии. Она изложена на 60 страницах; библиография включает 41 наименование.

В главе 1 раскрывается сущность организации дополнительного образования в средней школе и рассматриваются следующие вопросы:

история развития дополнительного математического образования и внеклассной работы в России,

педагогические условия организации дополнительного математического образования в 8-10 классах общеобразовательной школы,

психологические особенности учащихся 8-10 классов, влияющие на содержание и формы организации дополнительных математических курсов.

В главе 2 представлено содержание факультативного курса «Алгебраические числа» и его методическое обеспечение. Она состоит из трех параграфов. В первом параграфе предлагается детально проработанный факультативный курс, включающий в себя исторический раздел, раздел посвященный основной теореме о симметрических многочленах с рядом важнейших следствий (симметрические многочлены по наборам переменных, формулы Виета) и раздел, посвященный собственно алгебраическим числам, - комплексные числа, алгебраическая замкнутость поля алгебраических чисел, теоремы Кантора о счетности множества алгебраических чисел и несчетности множества точек на отрезке [0; 1]. Во втором параграфе обсуждаются основные требования к учащимся, предлагается примерная программа курса и система задач по данному курсу. В третьем параграфе обсуждаются методические рекомендации по данному курсу.

В заключении отражены основные выводы проведенного исследования.

Глава 1. Сущностная характеристика дополнительного математического образования с точки зрения системного подхода

§ 1. История развития дополнительного математического образования и внеклассной работы в России

Дополнительное образование школьников и внеклассная работа взаимосвязаны и входят в состав непрерывного математического образования, поэтому об их истории и развитии необходимо говорить в контексте общего школьного математического образования.

А.К. Бруднов относил дополнительное образование «к сфере наибольшего благоприятствования для становления личности каждого ребенка», отмечал, что «в его процессе неисчерпаемы возможности создания ситуации успеха для каждого ребенка, что благотворно сказывается на воспитании и укреплении его личностного достоинства», что это «мощное средство развития личности». Он считал, что этот вид образования изначально ориентирован на свободный выбор различных видов и форм деятельности, формирования собственных представлений о мире, развития познавательной мотивации и способностей. [39, 40]

В.Б. Новичков, зам. директора Московского института развития образовательных систем, считает, что дополнительное образование может дополнять образовательную сферу по-разному: оно может расширять предметные области; оно может увеличивать «вооруженность» личности; оно способно многократно усиливать мотивацию образовательной деятельности. [39, 40]

Таким образом, одной из значимых характеристик российской системы образования, как отмечалось выше, является то, что в ее структуре рассматривается дополнительное образование. При этом, само дополнительное образование интерпретируется как бы с разных позиций. Одни исследователи (В.В. Безлепкин, А.М. Новиков и др.) дополнительным образованием называют послевузовское образование в системе повышения квалификации или получение второй специальности. С другой стороны, ряд исследователей (А.К. Бруднов, В.А. Березина, Л.И. Виноградова, В.В. Белова и др.) дополнительным образованием называет дополнительное образование только детей и молодежи с 6 до 18 лет, сюда непосредственно относят и школьные кружковые внеурочные занятия. Такая ситуация, с одной стороны, свидетельствуя о неоднозначности определения понятия дополнительного образования, выявляет то, что объединяет позиции; точки зрения разных исследователей.

А именно, сущностной характеристикой дополнительного образования является его связь с базовым образованием, что позволяет рассматривать это образование в контексте общей макросистемы образования как одну из его составляющих, подструктур наряду с подструктурой базового.

Дополнительное образование это изначально ориентированное на свободный выбор каждым ребенком той или иной области знаний и предлагающее услуги всем детям без всякого принуждения на привлекательной для детей и юношества основе добровольности. Это формирует особую образовательную среду и атмосферу заинтересованности, взаимозаботы, творчества. [35]

Продолжая анализ понятия «дополнительное образование» отметим, в программе «Столичное образование - 3» Московского департамента образования, отдельный раздел посвящен дополнительному образованию детей. В программе дополнительное образование определяется как «неотъемлемая часть системного обучения, призванного раскрыть способности ребенка, реализовать его тяготение к познанию, творчеству».

Проблемы истории школьного математического образования исследовались в трудах И. К. Андронова, Ю.М. Колягина, В.И. Лысенко, Г.Г. Масловой и др.

Т.С. Полякова дает систематическое изложение истории отечественного математического образования и делит её на 9 этапов:

этап зарождения,

этап становления,

этап создания российской модели классической системы школьного математического образования,

этап движения за реформацию,

этап поиска новых моделей математического образования,

этап реставрации отечественных традиций, создания советской модели классической системы школьного математического образования,

этап её реформирования,

этап контреформации,

современный этап.

На каждом этапе можно выделить структуры, относящиеся по своему характеру и целям к дополнительному математическому образованию. [32]

Но сделаем акцент на 6 этапе. В 1931 г. восстанавливается предметное преподавание основных наук, вводятся стабильные программы, в том числе и по математике, появляются стабильные учебники.

В 40 - 50х. гг. отечественная модель классического школьного образования достигла наиболее оптимального функционирования. Именно в этот период и начала функционировать система внеклассной работы отечественной школы. Под внеклассной работой по математическим наукам понимаются необязательные систематические занятия учащихся с преподавателем во внеурочное время.

Следует различать два вида внеклассной работы по математике:

работа с учащимися, отстающими от других в изучении программного материала (дополнительные внеклассные занятия);

работа с учащимися, проявляющими к изучению математики повышенный, по сравнению с другими, интерес и способности (собственно внеклассная работа в традиционном понимании смысла этого термина).

Такие занятия отвечают следующим основным целям:

пробуждение и развитие устойчивого интереса учащихся к математике и ее приложениям.

расширение и углубление знаний учащихся по программному материалу.

оптимальное развитие математических способностей у учащихся и привитие учащимся определенных навыков научно-исследовательского характера.

воспитание культуры математического мышления.

развитие у учащихся умения самостоятельно и творчески работать с учебной и научно-популярной литературой.

расширение и углубление представлений учащихся о культурно-исторической ценности математики, о роли отечественной математической школы в мировой науке.

установление более тесных деловых контактов между учителем математики и учащимися и на этой основе более глубокое изучение познавательных интересов и запросов школьников.

Предполагается, что эти цели частично реализуются на уроках. Однако в процессе классных занятий, ограниченных рамками учебного времени и программы, сделать это с достаточной полнотой не удается. Поэтому окончательная реализация целей переносится на внеклассные занятия. [20]

К 60-м годам 20 века школьное математическое образование все более отдалялось от развития современной математики, не было связано с бурно развивающейся информатикой и вычислительной техникой, не учитывало новейших достижений педагогики и психологии. Назрела необходимость радикального его пересмотра. Все это требовало новых, более эффективных форм внеклассной работы и дополнительного математического образования. Учащимся были нужны новые знания, а вузам - хорошо подготовленные абитуриенты. Поэтому возникли весьма разнообразные формы внеклассной работы с учащимися по математике: публичные лекции для учащихся, юношеские математические школы, специальные школы (программистов-вычислителей), общематематические школы и классы, вечерние и заочные математические школы, школы - интернаты, летние и зимние математические школы. [26]

Начался первый этап введения факультативных и дополнительных занятий в школу.

Факультативные занятия - одна из форм дифференцированного обучения. Попытки дать толкования понятию "дифференциация обучения" предпринимаются учеными давно. Чтобы отчетливее представить движение научной мысли относительно содержания рассматриваемого понятия, обратимся к различным определениям этого понятия.

Как считает З.И. Калмыкова, дифференциация обучения - это создание специализированных классов и школ, рассчитанных на учете психологических особенностей школьников.

И.Э. Унт утверждал, что это учет индивидуальных особенностей учащихся в той или иной форме, когда учащиеся группируются на основании каких-либо особенностей для раздельного обучения.

Г.В. Дорофеев, С.Б Суворова., В.В. Фирсов, П.В. Кузнецов поддерживали мнение о том, что - это такая система обучения, при которой каждый ученик, овладевая некоторым минимумом общеобразовательной подготовки, являющейся общезначимой и обеспечивающей возможность адаптации в постоянно меняющихся жизненных условиях, получает право и гарантированную возможность уделять преимущественное внимание тем направлениям, которые в наибольшей степени отвечают его склонностям.

Когда речь идет о дифференцированном обучении, то говорится о комплексе организационно-управленческих, социально-экономических и правовых аспектов обучения, которые создают статус учебного заведения.

Если речь идет о дифференцированном подходе, то имеется в виду технология индивидуального подхода к учащимся с целью определения уровня их способностей и возможностей, их профильной ориентации, максимального развития каждой личности на всех этапах обучения. Если дифференциацию рассмотреть как систему, то, на наш взгляд, дифференцированный подход немыслим без дифференцированного обучения, т.е. от организации учебно-воспитательного процесса во всех его звеньях непосредственно зависит результативность технологии индивидуального подхода к учащимся. [11, 12]

Индивидуальный подход к учащимся предполагает частичное, временное изменение ближайших задач и отдельных сторон содержания учебно-воспитательной работы, постоянное варьирование её методов и организационных форм с учетом общего и особенного в личности каждого ученика для обеспечения всестороннего ее развития.

Первые факультативные курсы назывались "Дополнительные главы и вопросы математики" в "Специальные курсы". В журнале "Математика в школе" в 1980 году были опубликованы программы этих факультативных курсов. В это время факультативные курсы были ориентированы на новую программу по математике и являлись местом апробации новых тем. После широкой экспериментальной проверки на факультативных занятиях некоторые темы были включены в основной курс математики. Например, "Метод координат", "Множества в операции над ними", "Бесконечные множества", "Геометрические преобразования”, "Производная".

В практику работы школы факультативные занятия вошли в 1967-1968 учебном году. Уже в конце 1968 года в Москве состоялось Всесоюзное совещание по опыту углубленного изучения отдельных школьных предметов по выбору учащихся. Совещание обсудило итоги первого года внедрения факультативных занятий в школу, рассмотрело широкий круг вопросов, связанных с содержанием и организацией факультативов и поставило ряд серьезных проблем, связанных, прежде всего, с методикой их проведения, оценкой знаний учащихся, комплектованием групп, местом факультативных занятия в учебно-воспитательном процессе, связи с другими занятиями по математике. [27]

По мере внедрения в жизнь новых программ обязательного курса математики программа факультативного курса "Дополнительные главы и вопросы математики" претерпевала ряд изменений. Так в 1973-1974 учебном году, в связи о переходом на новые программы была принята усовершенствованная программа факультативных курсов, которая, как было отмечено выше, не включила ряд тем, переведенных в основной курс.

К 1980 году был завершен переход средней школы на новую

программу по математике. Факультативный курс "Дополнительные главы и вопросы математики" с успехом выполнил свои функции и был заменен на новый курс. Начался второй этап внедрения факультативных занятий в школе. Новый курс включил в себя три следующих раздела:

избранные вопросы математики;

математика в приложениях;

алгоритмы и программирование.

Последний раздел заменил специальные курсы по математике. Программа данных факультативных курсов была опубликована в журнале "Математика в школе". Для раздела "Математика в приложениях" журнал поместил примерное теоретическое планирование с указанием рекомендуемых форм проведения занятий и списком литературы. Для проведения занятии по первому разделу "Избранные вопросы математики" издательство "Просвещение" выпустило соответствующую литературу в помощь учителю, ведущему факультативные занятия по этому курсу, были изданы методические пособия.

Современный этап развития школьного математического образования характеризуется кардинальными изменениями, связанными, прежде всего, с отказом от концепции единообразия отечественной школы, что привело к распаду образовательной моносистемы советского периода. [27]

Современная образовательная ситуация отличается многовариантностью систем, существующих в образовательном пространстве России.

§ 2. Педагогические условия организации дополнительного математического образования в 8-10 классах общеобразовательной школы

При разработке занятий для дополнительного изучения предмета необходимо учитывать некоторые педагогические условия организации таких видов дополнительного образования в форме внеклассных занятий.

Сформулируем цели и задачи построения таких внеурочных занятий:

Углубление и расширение знаний по математике.

Развитие интереса учащихся к предмету.

Развитие их математических способностей.

Воспитание у школьников интереса и вкуса к самостоятельным

занятиям математикой.

Воспитание и развитие инициативы и творчества.

Интеллектуальное развитие.

Подготовка к практической творческой деятельности по любой

специальности.

Повышение общего уровня развития учащихся.

Подготовка школьников к дальнейшему образованию и самообразованию.

Расширение и углубление знаний учащихся по программному

материалу.

Оптимальное развитие математических способностей у учащихся и привитие учащимся определенных навыков научно-исследовательского характера.

Воспитание высокой культуры математического мышления.

Развитие у учащихся умения самостоятельно и творчески работать с учебной и научно-популярной литературой.

Расширение и углубление представлений учащихся о практическом значении математики в технике, экономике, математическом моделировании.

Расширение и углубление представлений учащихся о культурно - исторической ценности математики, о роли ведущих ученых математиков в развитии мировой науки.

Одна из задач, которые возлагаются на дополнительное образование - улучшать подготовку учащихся к обучению в вузах. Но если эта задача становиться главной, то занятия сводятся к прямым тренировкам и повторению. А это дискредитирует саму идею дополнительного образования. Поэтому сознательное, глубокое усвоение идей, методов школьного курса и новых тем является лучшей подготовкой. [11, 34]

Для того чтобы показать целесообразность общего психолого-педагогического подхода к нашей теме, сформулируем вывод: критерий совершенствования содержания и методики организации занятий, носящих дополнительный характер, должен быть комплексным. Он заключается в учете и всесторонней оценке всего педагогического, психологического и математического единства, которым должны быть связаны учебная работа по математике и дополнительные занятия. Определяющую роль в этом единстве играет учебная работа.

Говоря о единстве, мы подразумевали здесь взаимосвязь и преемственность в содержании, формах и методах организации учебной работы, внеклассных занятий и дополнительного образования по математике.

Определенная зависимость дополнительных занятий от учебной и внеклассной работы по математике очевидна. Однако это обстоятельство не затрудняет, а облегчает выполнение следующей основной задачи дополнительных занятий: учитывая интересы и склонности учащихся, расширить и углубить усвоение ими программного материала, ознакомить с некоторыми общими идеями современной математики, раскрыть приложения математики на практике.

Решение актуальных задач определения содержания дополнительного образования по математике, разработки методики его организации требует изучения ряда более общих вопросов. Решение этих задач должно базироваться на анализе соответствующей педагогической и методико-математической литературы, анализе результатов специальных исследований по затронутым проблемам, на передовом педагогическом опыте.

Внеклассная работа, несмотря на некоторую свою произвольность и специфическую воспитательную направленность, всегда строится на основе программного материала. Но это не исключает возможность рассматривать и дополнительные вопросы, лишь бы они были доступны и весьма интересны для изучения их учащимися. [20, 30]

Из сказанного следует, что единым фундаментом в научном содержании всех занятий по математике (классных, внеклассных, дополнительного образования) является программный учебный материал. Таким образом, учитель должен помнить, что внеклассная работа и дополнительное образование должны строиться с учетом завершения задач обучения математике; уроки математики должны подготавливать учащихся к внеклассной работе и дополнительным занятиям. Учитывая, что дополнительное образование по математике вводится только с 7 класса, учителю следует совершенствовать методику проведения уроков. [29, 40]

Научные линии, по которым содержание математики усваивается школьниками, в сложившемся сейчас школьном курсе определились следующие: алгоритмическая, формально-логическая линии, функциональная и графическая линии, линия геометрических преобразований и др. Некоторые из них подчинены друг другу (линия уравнений и неравенств входит составной частью в функциональную линию) или тесно связаны (как, например, функциональная и графические линии). Эти линии служат учебно-познавательным целям (усвоение установленных программой математических фактов, математического языка, методов математического исследования, развитие научного мышления.

В настоящее время еще нет полной ясности в вопросе об учебно-познавательных целях, реализацию которых должен взять на себя курс математики средней школы в целом. Их выявление помогло бы дать важные рекомендации, касающиеся содержания классных, внеклассных занятий и дополнительного образования по математике.

Для определения содержания внеклассных и дополнительного образования по математике, для разработки их эффективной методики сформулируем некоторые общие требования взаимосвязанного построения уроков и других видов занятий.

Преемственность в содержании, методах и формах организации уроков, внеклассных занятий и дополнительного образования по математике должна определяться целями обучения математике, всестороннего развития и воспитания учащихся. [38, 28]

Взаимосвязанное построение уроков, внеклассных занятий и дополнительного образования по математике не должно противоречить дидактическим принципам в обучении математики.

Не должно быть противоречий с научно обоснованными психолого-педагогическими требованиями, например, такими, как: изучение новых понятии на основе известных понятий; включение этих понятий в круг имеющихся у учащихся знаний; опора при изучении математических абстракций на конкретные модели; использование практических возможностей приложения математики не только на завершающем этапе изучения данного вопроса, но и в качестве мотива, обосновывающего необходимость изучений этого раздела, вопроса. [38, 32]

Не должно быть несогласованности и с директивными нормами организации работы общеобразовательной школы. Например, нельзя часы, отведенные на дополнительное образование, использовать для внеклассной работы по математике (хотя бы потому, что это не предусмотрено финансированием школы и противоречит идее занятий по выбору и интересам учащихся).

Главным критерием эффективности взаимосвязанного построения уроков, внеклассных занятий и дополнительного образования по математике должна быть в конечном счете результативность неразрывно связанных между собой процессов обучения, развития и воспитания школьников. [31]

Поскольку результативность учебно-воспитательного процесса зависит главным образом от «массовости» занятий, то преемственность и взаимосвязь уроков, внеклассных занятий и дополнительного образования должны рассматриваться в такой последовательности: уроки математики - внеклассные занятия - дополнительное образования. Самая массовая форма обучения - уроки - главное звено этой цепи. Дополнительно образование не может охватить всех учащихся, а отдельные внеклассные занятия - могут. [39, 2]

Примечательной особенностью дополнительного образования является то, что программа курса для каждого класса составлена из рада основных тем, содержание которых непосредственно примыкает к общему курсу математики. Однако содержание учебной работы учащихся на курсах дополнительного образования определяется не только математическим содержанием изучаемых тем и разделов, но и различными методическими факторами: характером объяснения учителя, соотношением теории и учебных упражнений, содержанием познавательных вопросов и задач, сочетанием самостоятельной работы и коллективного обсуждения полученных каждым учащимся результатов.

Кроме того, в условиях работы по новым программам и учебникам математики определилась неизученная область внеклассной работы, касающаяся ее взаимосвязи с дополнительным образованием.

В дополнительном образовании школьников, в частности в математическом, на наш взгляд, необходимо использовать основные психологически ориентированные модели школьного обучения, понимая под этим следующее: содержание и формы школьного образования, дополнительного в частности, должны соответствовать психологии ребенка, его правам и интересам. [27]

Основными методическими моделями, построенными с учетом психологических механизмов умственного развития учащихся, являются:

«Свободная мысль», в которой в максимальной мере учитывается инициатива ребенка. Сторонники данной модели: Р. Штейнер, Ф.Г. Кумбе, Ч. Сильберман, В.С. Библер, С. Ю. Курганов считали, что при наличии определенной помощи со стороны учителя ребенок, тем не менее, сам определяет интенсивность и продолжительность своих учебных занятий, свободно планирует собственное время, самостоятельно выбирает средства обучения. Ключевой психологический элемент - «свобода индивидуального выбора».

«Личностная модель». Представители данной линии Л.В. Занков, И.И. Аргинская, И.В. Нечаева утверждали, что основной психологической целью данной модели является общее развитие учащегося, в том числе развитие его познавательных, эмоционально-волевых, нравственных и эстетических возможностей. Ключевой психологический элемент - «целостный личностный рост».

«Развивающая модель». В центре внимания оказывается перестройка учебной деятельности ребенка как на уровне содержания, так и на уровне формы ее организации с тем, чтобы обеспечить появление некоторых новых психологических качеств: теоретического мышления, рефлексии, самостоятельности в решении разнообразных учебных задач и т.д. Ключевой психологический элемент - «способы деятельности». Ученые, разделяющие данную теорию: Д.Б. Эльконин, В.В. Давыдов, В.В. Репкин, А.З. Зак.

«Активизирующая модель», направлена на повышение уровня познавательной активности учащихся за счет включения в учебный процесс проблемных ситуаций, опоры на познавательные потребности и интеллектуальные чувства. Ключевой психологический элемент - «познавательный интерес». Это мнение разделяли А.М. Матюшкин, М.М. Махмутов, М.Н. Скаткин, Г.И. Щукина.

«Формирующая модель». Предполагается, что влиять на умственное развитие ребенка - это значит осуществлять целенаправленное управление процессом усвоения знаний и умений. П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина, И.П. Калошина, В.П. Беспалько, СИ. Шапиро считали, что при условии прохождения учеником всех необходимых этапов с учетом специально организованной учителем ориентировочной основы действий можно гарантировать сформированность знаний и умений с наперед заданными качествами. Разновидностью этой модели являются программированное и алгоритмическое обучение. Ключевой психологический элемент - «умственное действие».

Все перечисленные модели несомненно способствуют повышению эффективности школьного обучения, поскольку на первом плане оказывается ребенок как субъект деятельности и основные педагогические усилия направляются на его познавательное и личностное развитие. [25, 26] Поэтому неудивительно, что на уровне конкретных методических приемов эти модели в той или иной степени взаимопересекаются.

«Обогащенная модель». Ее ключевой элемент - «индивидуальный ментальный опыт». М.А. Холодная, сторонник данной модели, считает, что цель данной модели - помочь ребенку выстроить собственный (личный или ментальный) мир. В качестве показателей интеллектуальной зрелости можно рассматривать характеристики индивидуального умозрения, например такие:

широта умственного кругозора;

гибкость к многовариантность оценок происходящего;

готовность к принятию необычной информации;

умение осмысливать происходящее одновременно в терминах

прошлого (причин) и в терминах будущего (последствий);

ориентация на выявление существенных, объективно значимых аспектов происходящего;

склонность мыслить в категориях вероятного в рамках ментальной модели «как если бы».

Имея необходимые интеллектуальные ресурсы, ребенок впоследствии самостоятельно сможет решить, над чем и как он будет думать.

Роль учителя здесь заключается в «выстраивании» с помощью определенного материала учебного арсенала субъективных средств продуктивного интеллектуального отношения к действительности.

В период становления дополнительного образования встал вопрос о методах, используемых на этих занятиях, не всегда находил правильное решение. Нередко использовались те же методы обучения, что и на основных уроках математики или методы кружковой работы. В первом случае дополнительное образование превращались во внеклассные занятия по математике, в другом - носили поверхностный, легковесный характер. [27, 28]

В исследованиях, посвященных проблемам постановки и организации дополнительного образования, говорится о важном значении поисковой исследовательской деятельности, которая является результатом проблемного обучения; о постановке самостоятельных работ и организации самообучения учащихся на базе дополнительного образования.

Высказываются некоторые рекомендации относительно выбора форм и методов обучения при дополнительном образовании, а именно:

организация самостоятельной работы учащихся на всех этапах обучения.

построение процесса изучения математики как совместной исследовательской деятельности учащихся.

индивидуализация и увеличение объема самостоятельной работы каждого учащегося.

Были выделены следующие критерии отбора методов организации дополнительного образования:

Критерии преемственности методов.

Критерий соответствия целям и задачам обучения.

Критерии соответствия содержанию занятий.

Критерии соответствия возрастным и индивидуальным особенностям развития старшеклассников.

Рассмотрим теперь каждый из этих критериев в отдельности и

определим его место и роль в решении образовательных, воспитательных и развивавших задач обучения. [37, 40]

Критерий преемственности методов, применяемых на основных занятиях и дополнительном образовании по математике означает, что методы, используемые при дополнительном образовании находятся не в отрыве, а являются естественным продолжением методов, используемых на основных уроках. Этот критерии предполагает, что на основных уроках, предшествующих дополнительному образованию, заложена некоторая база и созданы условия - расширения применяемых методов в сторону постепенного приближения к методам обучения, носящим самостоятельный, творческий характер.

Критерий соответствия целям и задачам обучения предполагает, что при выборе методов обучения необходимо учесть цели обучения, задачи образования, воспитания и развития, которые будут реализовываться на данном этапе урока и на протяжении изучения всего материала дополнительного курса. Методы обучения играют первостепенную роль в выработке не только знаний, но и умений, навыков учащихся. Среди таких умений и навыков, выработка которых необходима при дополнительном образовании, выделим следующие:

умение по решению задач, доказательству теорем и т.д.;

умение слушать объяснение нового материала, выделять главное, существенное, вести конспект занятий;

умение работать с книгой: учебниками по математике, учебно-методической и научно-популярной литературой;

умение подготовить и сделать доклад или сообщение по прочитанному материалу;

умение написать статью для стенгазеты, реферат на определенную тему, с самостоятельным изучением подбором литературы;

умение проводить самостоятельное исследование поставленной проблемы, включающее в себя: изучение необходимой литературы, поиски и нахождение решения проблемы, доказательство полученных результатов, доклад по итогам проведенных исследований.

Критерий соответствия содержанию занятий предполагает, что использование тех или иных методов обучения при дополнительном образовании непосредственно зависит от содержания материала.

Таким образом, условиями организации дополнительного курса образования является определение некоторой модели: «Свободная мысль», «Личностная модель», «Развивающая модель», «Активизирующая модель», «Формирующая модель», «Обогащенная модель», где заложены свои критерии и система методов: критерии преемственности методов, критерий соответствия целям и задачам обучения, критерии соответствия содержанию занятий, критерии соответствия возрастным и индивидуальным особенностям развития старшеклассников. А также при построении курса дополнительного математического образования необходимо учитывать комплексный подход к разработке такого курса.

§ 3. Психологические особенности учащихся 8-10 классов, влияющие на содержание и формы организации факультативных занятий

Подростковый возраст называют переходным. Психологическое состояния подросткового возраста связано с двумя «переломными» моментами этого возраста: психофизиологическим - половым созреванием, и всё, что с ним связано, и социальным - конец детства. Вступление в мир взрослых.

Но, будучи по типу логики мышления равным взрослому, по жизненному опыту и содержанию сознания подросток остается еще ребенком. Главным противоречием подросткового возраста можно считать противоречие между рассудочной формой возникновения в сознание подростка рефлексии, ставшей для него ведущей формой сознательного отношения к миру, и неличным миром взрослых, не укладывающейся в рамки рассудочности, и в то же время провозглашающим рассудочность (сознательность) своего бытия. [12]

Нам при планировании факультативных занятий необходимо рассмотреть вопрос развития мышления в переходном возрасте. Основная разница между маленьким школьником и подростком, легко обнаруживаемая даже самым поверхностным наблюдением над их поведением - общеизвестная склонность подростка и юноши к рассуждениям. Это эпоха - эпоха рассуждающего мышления. Подростковый возраст - возраст проблем, рассуждений и споров. Находящаяся в разгаре своего созревания функция мышление начинает проявлять себя с большой энергией, и огромное место занимает мышление в жизни подростка и юноши. Они забрасывают в школе учителей вопросами, а дома усиленно думают над решением порой труднейших проблем. Дружить для них в значительной степени, - значит иметь партнёров для рассуждений, а содержание их учебных предметов в большей мере состоит из рассуждений и доказательств. И в школе, и вне школы они имеют репутацию спорщиков, причём в этих спорах уже большое место занимает доказательство своих собственных положений. Порой мышление проявляется с такой избыточной энергией, что производит впечатление как бы игры: спорят ради спора, рассуждают, чтобы рассуждать, и думают над проблемами с виду эксцентричными.

Абстрактное мышление ещё далеко от полной зрелости. В подростковом возрасте лишь начинается интенсивное развитие абстрактных понятий, но это развитие продолжается с ещё большей интенсивностью в юношеском возрасте.

Как ни интенсивно развивается мышление подростка, как ни сильно оно выходит за пределы личных восприятий, ограниченных местом и временем, как ни активно оно проявляется по отношению к памяти, всё же оно недостаточно широко и глубоко, ещё недостаточно всёсторонне. На его мышлении лежит ещё тень не преодоленной метафизичности, и ему ещё не хватает в должной мере диалектичности. Ему недостаёт ещё философского диалектического мышления.

Мышление -- одна из тех функций, которые в онтогенезе (ранняя стадия развития), как и в филогенезе (более позднее развитие), развиваются позднее ряда многих других функций. Влияние школы на мышление, начинающееся с первого дня поступления ребёнка в школу, особенно ярко выступает в подростковом возрасте. Ключом ко всем проблемам развития мышления в переходном возрасте является тот установленный рядом исследований факт, что подросток впервые овладевает процессом образования понятий, что он переходит к новой и высшей форме интеллектуальной деятельности - к мышлению в понятиях.

Это центральное явление всего переходного возраста, и недооценка оттеснить на задний план изменения интеллектуального характера по сравнению с эмоциональными и другими сторонами кризиса, присущие большинству современных теорий переходного возраста, объясняются в первую очередь тем, что образование понятий представляет собой в вышей степени сложный процесс, отнюдь не аналогичный простому вызреванию элементарных интеллектуальных функций, а потому не поддающийся внешнему констатированию, грубому определению на глаз. Этот процесс знаменует собой действительно революционные изменения как в области содержания, так и в области форм мышления. Именно высшие формы мышления, в частности логическое мышление, раскрываются в своём значении перед подростком.

Без мышления в понятиях нет понимания отношений, лежащих за явлениями. Целый мир глубоких связей, лежащих за внешней видимостью явлений, мир сложных взаимозависимостей и отношений внутри каждой сферы действительности и между её отдельными сферами раскрывается только перед тем, кто подходит к нему с ключом понятия.

Мир внутренних переживаний, закрытый от ребёнка раннего возраста, сейчас раскрывается перед подростком и составляет чрезвычайно важную сферу в содержании его мышления.

В соответствии с требованиями, предъявляемыми современной школой, обучение в ней должно ориентироваться на развитие продуктивного, творческого мышления, обеспечивающего возможность самостоятельно приобретать новые знания, применять их в многообразных условиях окружающей действительности.

Исследование процесса усвоения и применения знаний показали, что обычно учащиеся усваивают содержательную сторону знаний и непосредственно с ней связанные конкретные приемы решения довольно узкого круга задач. Лишь у школьников с высокой обучаемостью на основе решения единичных задач формируются обобщенные приемы, методы решения целого класса задач. Формирование такого рода обобщенных приемов умственной деятельности чрезвычайно важно, так как оно означает существенный сдвиг в интеллектуальном развитии, расширяет возможности переноса знаний в относительно новые условия. В соответствие с этим одним из принципов развития творческого, продуктивного мышления является специальное формирование обобщенных приемов умственной деятельности.

Обобщенные приемы умственной деятельности делятся на две большие группы -- приемы алгоритмического типа и эвристические.

Остановимся сначала на характеристике приемов алгоритмического типа.

Это приемы рационального, правильного мышления, полностью соответствующего законам формальной логики. Точное следование предписаниям, даваемым такими приемами, обеспечивает безошибочное решение широкого класса задач, на который эти приемы непосредственно рассчитаны. Вооружение учащихся правильными, рациональными приемами мышления, обучение тому, как определять понятия, классифицировать их, строить умозаключения, решать в соответствии с данным алгоритмом задачи, оказывает положительное влияние и на самостоятельное, продуктивное мышление, обеспечивает возможность решения задач-проблем.

Формирование приемов мыслительной деятельности алгоритмического типа, ориентирующих на формально-логический анализ задач, является необходимым, но не достаточным условием развития мышления. Необходимо оно, во-первых, потому, что содействует совершенствованию репродуктивного мышления, являющегося важным компонентом творческой деятельности (особенно на начальном и конечном этапах решения проблем). Во-вторых, эти приемы служат тем фондом знаний, из которых ученик может черпать строительный материал для создания, конструирования методов решения новых для него задач. Недостаточным формирование алгоритмических приемов является потому, что не соответствует специфике продуктивного мышления, не стимулирует интенсивное развитие именно этой стороны мыслительной деятельности.

Вот почему формирование таких приемов должно сочетаться со специальным вооружением учащихся приемами эвристического типа.

Приемы другого типа назвали эвристическими потому, что они непосредственно стимулируют поиск решения новых проблем, открытие новых проблем, открытие новых для субъекта знаний и тем самым соответствуют самой природе, специфике творческого мышления. В отличие от приемов алгоритмического типа, эвристические приемы ориентируют не на формально-логический, а на содержательный анализ проблем. Они направляют мысль учеников на проникновение в суть описываемого в условии предметного содержания, на то, чтобы за каждым словом они видели его реальное содержание и по нему судили о роли в решении того или иного данного. Многие эвристические приемы стимулируют включение в процесс решения проблем наглядно-образного мышления, что позволяет использовать его преимущество перед словесно логическим мышлением -- возможность целостного восприятия, видения всей описываемой в условии ситуации. Тем самым облегчается течение характерных для продуктивного мышления интуитивных процессов.

Следовательно, одним из принципов развития мышления должно быть специальное формирование как алгоритмических, так и эвристических приемов умственной деятельности. [12]

Итак, подведем итог по вопросу психологических особенностей данного возраста. Вся история психического развития в переходном возрасте состоит из этого перехода функций вверх и образования самостоятельных высших синтезов. Различные функции не развиваются рядом друг с другом, как пучок веток, поставленных в один сосуд; они развиваются как связанные между собой общим стволом различные ветки единого дерева. В процессе развития все эти функции образуют сложную иерархическую систему, где центральной, или ведущей, функцией является развитие мышления, функция образования понятий. Все остальные функции вступают в сложную взаимосвязь с этим новым образованием и перестраиваются на основе мышления.

Глава 2. Условия внедрения факультива «алгебраические числа» в практику общеобразовательной школы

§ 1. Содержание факультативного курса «Алгебраические числа»

факультативный курс математический алгебраический

Необходимо сделать одно замечание общего характера. В основу данного курса положены общие методические установки, разработанные Г.В. Дорофеевым [17]. Основные методические идеи Г.В.Дорофеева были реализованы в учебном пособии [18], на которое мы серьезно опираемся и считаем «образцом для подражания». Предлагаемый курс можно рассматривать как расширение темы «Многочлены от одной переменной». К сожалению, за рамками курса остались задачи на построение с помощью циркуля и линейки, хотя в упражнениях есть несколько задач на эту тему и при желании вполне возможно более подробное изложение соответствующего материала.

РАЗДЕЛ 1. ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОНЯТИЙ

Мы приведем примерное содержание данного раздела. По желанию учителя материал может быть дополнен и скорректирован. В дальнейшем по ходу изложения основного содержания также будут приведены исторические комментарии, отсутствующие в данном разделе. Заметим, что используемый материал взят из книг по истории математики, содержащихся в библиографии.

Центральным математическим понятием является число. Отметим сразу, что многочлены, поля, множества, функции тесно связаны с понятием числа. Впрочем, последнее замечание относится практически к любому математическому понятию. Для нас точкой отсчета является 1600 г. Наступление 16 в. в Западной Европе ознаменовалось важными достижениями в алгебре и арифметике. Были введены в обращение десятичные дроби и правила арифметических действий с ними. Настоящим триумфом стало изобретение в 1614 логарифмов Дж. Непером. С начала 16 в. более широко стали употребляться иррациональные числа. Б.Паскаль (1623-1662) и И. Барроу (1630-1677), учитель Ньютона в Кембриджском университете, утверждали, что такое число, как , можно трактовать лишь как геометрическую величину. Однако в те же годы Р. Декарт (1596-1650) и Дж.Валлис (1616-1703) считали, что иррациональные числа допустимы и сами по себе, без ссылок на геометрию. В это время продолжались споры по поводу законности введения отрицательных чисел. Еще менее приемлемыми считались возникавшие при решении квадратных уравнений комплексные числа, такие как , названные Декартом «мнимыми». Эти числа были под подозрением даже в 18 в., хотя великий российский математик (швейцарец по происхождению) Л.Эйлер (1707-1783) с успехом пользовался ими.

Достижения в алгебре.

Решение задач, сводящихся к частным видам уравнений 2-ой и 3-ей степени, можно найти еще в древнем Вавилоне (2000 лет до н.э.). Первое изложение теории решения квадратных уравнений дано в книге Диофанта «Арифметика» (3 в. н.э.). В 16 в. итальянские математики Н. Тарталья (1499-1577), С. Дель Ферро (1465-1526), Л. Феррари (1522-1565) и Дж. Кардано (1501-1576) нашли общие решения уравнений третьей и четвертой степеней. Чтобы сделать алгебраические рассуждения и их запись более точными, были введены символы: +, -, , , , =, < и другие. Самым существенным новшеством стало систематическое использование французским математиком Ф. Виетом (1540-1603) букв для обозначения неизвестных и постоянных величин. Это нововведение позволило ему найти единый метод решения уравнений второй, третьей и четвертой степеней.

Великий английский физик и математик И.Ньютон (1643-1727) открыл соотношение между корнями и дискриминантом [b2 - 4ac] квадратного уравнения, а именно, что уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет равные действительные, разные действительные или комплексно сопряженные корни в зависимости оттого, будет ли дискриминант b2 - 4ac равен нулю, больше или меньше нуля. В 1799 великий немецкий математик К.Гаусс (1777-1855) доказал так называемую основную теорему алгебры: каждый многочлен n-й степени с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней.

В течение почти 300 лет после открытия способов решения уравнений степени 3 и 4 делались безуспешные попытки решить в радикалах уравнения степени 5 и выше с буквенными коэффициентами. Такие попытки предпринимал великий немецкий математик Г. Лейбниц, но «бог распорядился иначе». Только в 1826 г. норвежский математик Н. Абель (1802-1829) доказал, что невозможно получить общее решение уравнения степени выше 4 с помощью конечного числа указанных операций. Это, правда, не исключало, что корни каждого конкретного уравнения с числовыми (а не буквенными) коэффициентами могут быть выражены в радикалах. Тем более, что существует много уравнений специального вида степени выше 4, допускающих такое решение.

Накануне своей гибели на дуэли французский математик Э. Галуа (1811-1832) дал решающий ответ на вопрос о том, какие уравнения разрешимы в радикалах. В теории Галуа использовались перестановки корней и было введено понятие группы, которое нашло широкое применение во многих областях математики. Примером уравнения неразрешимого в радикалах является уравнение x5 - 25x - 5 = 0. Нельзя не отметить теоретико-групповые и теоретико-полевые идеи и результаты великого французского математика Ж. Лагранжа (1736-1813), приблизившие решение проблемы разрешимости уравнений в радикалах. Кстати, весьма близок к решению проблемы был и Абель, которого сразила смерть в 1829 году, когда он интенсивно занимался этой проблемой и сообщил Лежандру свои результаты, уж очень близкие к результатам Галуа. Дальнейшее развитие возникших идей привело к созданию теорий групп, колец и полей - важнейших направлений современной алгебры.