Организация и содержание элективного курса "Основы теории вероятностей и математической статистики" в классах оборонно-спортивного профиля

На этом примере хорошо видно, что события могут быть попарно независимы, но зависимы в совокупности.

Изучив основные операции над событиями, можно перейти к вероятности. А именно привести основные правила, позволяющие определить вероятность появления сложного события, состоящего из более простых событий, вероятность которых нам известна.

Вероятность достоверного события равна единице: Р(E) = 1.

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей: Р(А₁+ А₂+…+ А_n) = Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_n).

Эти два равенства являются аксиомами, то есть не требуют доказательства. На основе этих равенств строится вся теория вероятностей. Приведенные ниже формулы можно вывести при помощи этих аксиом.

Вероятность невозможного события равна 0: Р(Ш) = 0.

Вероятность противоположного события равна: Р(В) = 1 - Р(А).

Вероятность суммы произвольных событий равна сумме их вероятностей без вероятности произведения событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Теперь вспомним определения независимых событий.

Событие А и В называются независимыми, если Р(АВ)=Р(А)Р(В).

На практике часто путают независимые и несовместные события, это разные понятия. Другими словами можно сказать, если события связаны независимыми экспериментами, то и сами события будут независимыми.

Показать применение изученных правил можно при решении следующей задачи.

На соревнованиях по стрельбе из лука три стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания в мишень для одного из стрелков равна 0,6, для другого - 0,7, для третьего - 0,93. Найти вероятность того, что: а) хотя бы один из стрелков попадет в мишень; б) только один из стрелков попадет в мишень; в) ни один из стрелков не попадет в мишень.

Решение. Пусть событие А - первый стрелок попал в мишень, тогда Р(A)=0,6; Событие В - второй стрелок попал в мишень, тогда Р(В)=0,7; Событие С - третий стрелок попал в мишень, тогда Р(С)=0,93.

В данной задаче все события являются независимыми, так как стреляют, независимо друг от друга.

а) Пусть событие S - хотя бы один из стрелков попадет в мишень. Вспомним определение суммы событий: событие С называется суммой А+В, которое представляет собой событие, состоящее из появлении хотя бы одного из событий А и В. Данное определение можно применить и к большему числу событий. Следовательно событие S=А+В+С. То есть нам нужно найти Р(А+В+С). А так как все события независимые то, применяя формулу суммы и произведения независимых событий, получаем:

Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС)+Р(АВС)=0,99.

б) Пусть событие S - только один из стрелков попадет в мишень. Данное событие можно представить как сумму следующих событий: . Рассмотрим подробно событие , но для начала вспомним определение произведения событий: событие C называется произведением A и B, если оно состоит из всех событий, входящих и в A, и в B. Итак, событие означает, что первый игрок попадет, а два других промажут, аналогично рассматриваются два других слагаемых. Данные слагаемые является несовместным, так как появление одного из них исключает появление двух других. Значит можно применить формулу суммы несовместных событий, а затем формулу произведения независимых событий:

Р()=Р()+Р()+Р()=

= Р(А)Р()Р()+Р()Р(В)Р()+Р()Р()Р(С)

Однако такую вероятность можно вычислить легче. Вспомним, как вычисляется вероятность противоположного события: Р(В)=1-Р(А). Применив данную формулу, вычислим вероятность и в итоге получим, что

Р() = 0,1438.

в) Составим отрицание к событию, рассматриваемому в пункте а). Если событие S - хотя бы один из стрелков попадет в мишень, то тогда - ни один из стрелков не попадет в мишень. Следовательно для решении данной задачи требуется найти Р(). Вычислим при помощи формулы противоположного события: Р()=1 - Р()=1 - 0,99 = 0,01.

Возникает вопрос, как вычислять вероятность зависимого события. То есть вероятность события, при условии, что другое событие уже произошло. Для этого ввели понятие условной вероятности.

Условной вероятностью события А, при условии, что уже произошло событие В, называется отношение вероятностей P(АВ) к Р(А) и обозначается : .

Из этой формулы можно вывести формулу вероятности произведения двух зависимых событий: .

Решим следующую задачу.

Бросается игральный кубик. Какова вероятность того, что выпало число очков, больше трех (событие А), если известно, что выпала четная грань (событие В)?

Решение. Событию В соответствует выпадение чисел 2, 4, 6. Событию А выпадение чисел 4, 5, 6. Событию АВ - 4, 6. Поэтому, используя формулу условной вероятности, получим: .

Пусть некоторое событие А может наступить при условии появлении одного из несовместных событий В₁, В₂, …, В_n.Причем известны вероятности этих событий и известны условные вероятности , , …, . Как можно найти вероятность события А?

Ответ на этот вопрос дает теорема:

Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появлении одного из несовместных событий В₁, В₂, …, В_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятности каждого из этих событий на собственную условную вероятность:.

Эту формулу также называют формулой полной вероятности.

Данную формулу можно применить для решения следующей задачи.

Для контроля продукции лыжной фабрики из трех партий лыж взята на проверку одна деталь. Какова вероятность выявления бракованной продукции, если в одной партии 2/3 лыж бракованные, а в двух других все доброкачественные?

Решение. Пусть событие В - взятая деталь бракованная, А_к - деталь берется из к-ой партии, тогда вероятность Р(А_к)=1/3, где к =1; 2; 3.

Пусть в первой партии находятся бракованные лыжи, значит , тогда в двух других партиях нет бракованных лыж, то есть: .

Применяя формулу полной вероятности получим:

.

Для введения формулы Бейеса составим задачу. Пусть дано событие А, оно может наступить при появлении одного из несовместных Событий В₁, В₂, …, В_n, которые образуют полную группу. Так, как нам заранее не известно, какое событие наступит, их называют гипотезами. Допустим, что произведено испытание в результате, которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменились вероятности гипотез, в связи с тем, что событие А уже наступило. Другими словами определим следующие условные вероятности: , , …, .

Определить данные вероятности можно при помощи формулы Бейеса:

.

Заменив , получим: .

Прибор состоит из двух узлов; работа каждого узла необходима для работы прибора в целом. Надежность (вероятность безотказной работы) в течении времени t первого узла равна p₁, второго р₂. Прибор испытывался в течении времени t, в результате чего обнаружено, что он отказал. Найдите вероятность того, что отказал первый узел, а второй исправен.

Решение. Пусть событие В - прибор отказал, событие А₁ - оба узла исправны, А₂ - первый узел отказал, а второй испарвен, А₃ - первый узел исправен, а второй узел отказал, А₄ - оба узла отказали. Эти события образуют полную группу событий. Найдем их вероятности: Р(А₁)=р₁ р₂; Р(А₂)=(1-р₁)р₂; Р(А₃)=р₁(1-р₂);Р(А₄)=(1-р₁)(1-р₂). Так как наблюдалось событие В, то , . Применяя формулу Бейеса получим:

.

Изучение случайных величин требует связи этих величин с определенными событиями, которые заключаются в попадании случайной величины в некоторый интервал и для которых определены вероятности. Другими словами необходимо связать случайную величину с полем данного испытания.

Для лучшего понимания, учителю следует привести пример.

При бросании кости могли появиться цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наперед определить число выпавших очков невозможно, так как это зависит от многих случайных величин, которые полностью не могут быть учтены. В этом смысле число очков есть величина случайная; и числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 - есть возможные значения этой величины.

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Будем обозначать случайные величины прописными (заглавными) буквами: X, Y, Z, а их возможные значения соответствующими строчными буквами x, y, z. Если величина Х имеет три значения то они будут обозначены так: х₁, х₂, х₃ .

Обычно рассматриваются два типа случайных величин: дискретные и непрерывные. Рассмотрим следующий пример.

Число мальчиков пошедших в секцию бальных танцев среди 100 пришедших туда людей есть случайная величина, которая может принимать следующие значения 0, 1, 2, …, 100. Эти значения отделены друг от друга промежутками, в которых нет возможных значений Х.

Таким образом, в этом примере случайная величина принимает отдельные изолированные значения. Приведем второй пример.

Расстояние, которое пролетит диск при метании, есть величина случайная. Действительно величина зависит от многих факторов, например от ветра, температуры и других факторов, которые не могут быть полностью учтены. Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку (а; b).

В данном примере случайная величина может принять любое из значений промежутка (а; b). Здесь нельзя отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим возможных значений случайной величины.

Уже из сказанного можно заключить о том, что целесообразно будет различать случайные величины, принимающие лишь отдельные изолированные значения, и случайные величины, возможные значения которых сплошь заполняют некоторый промежуток. Далее следует дать четкое определение дискретной и непрерывной случайной величины.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Примерами непрерывных случайных величин могут быть спортивный результат в беге или прыжках, рост и масса тела человека, сила мышц и другие.

Для задания дискретной случайной величины не достаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, в виде формулы и графически.

При табличном задании первая строка содержит возможные значения, а вторая - их вероятности:

Х	х1	х2	…	хn
p	p1	p2	…	p2

Сумма вероятностей второй строки таблицы равна единице: .Если множество возможных значений Х бесконечно, то ряд сходится и его сумма равна единице.

Для закрепления следует решить задачу.

В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 р. и десять выигрышей по 1 р. Найти закон распределения случайной величины Х - стоимости возможного выигрыша для владельца лотерейного билета.

Решение. Напишем возможные значения Х: х₁=50; х₂=1; х₃=0. Вероятности этих возможных значений равны: р₁=0,01; р₂= 0,1; р₃=1-(0,01+0,1)=0,89.

Напишем исходный закон распределения:

Х	50	10	0
p	0,01	0,1	0,89

Контроль: 0,01+0,1+0,89=1

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (х_i; p_i), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения. Также следует привести пример построения такого многоугольника.

Как мы ранее сказали, закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен, и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Также для решения многих задач не нужно знать распределения случайной величины, а достаточно знать лишь некоторые обобщающие числовые характеристики этого распределения.

Одной из таких характеристик является математическое ожидание. Для более наглядного определения рассмотрим подход к этому понятию на конкретном примере.

Пусть имеется дискретная случайная величина Х, которая может принимать значения x₁, x₂, …, x_n. Вероятности которых соответственно равны р₁, р₂, …, р_n. Тогда математическое ожидание М(Х) случайной величины Х определяется равенством: .

После определения математического ожидания ученикам может быть непонятно, где оно может пригодиться. На самом деле математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Для введения дисперсии можно привести следующий пример. На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайно величины вокруг ее среднего значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена. Именно такие задачи решает дисперсия.

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонений случайной величины от ее математического ожидания. Дисперсия обозначается, как D(x): D(Х)=M[X-М(Х)]².

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей формулой: дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания

D(Х)=M(X)2-[М(Х)]².

Для оценки рассеяния всевозможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и другие величины.

Средним квадратичным отклонением величины Х называют квадратный корень из дисперсии .

Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

Х	1	2	5
p	0,3	0,5	0,2

Решение. Найдем математическое ожидание: .

Найдем всевозможные значения квадрата отклонения: , , .

Напишем закон квадрата отклонения:

[Х-М(Х)]2	1,69	0,09	7,29
p	0,3	0,5	0,2

По определению .

Используя формулу D(Х)=M(X)²-[М(Х)]² можно найти дисперсию гораздо быстрее: .

Далее следует продолжить изучать статистику. Математическая статистика - это раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления существующих закономерностей [21]. Необходимо основательно остановиться на изучении статистических характеристик и их практического применения. Рассмотреть понятия, составляющие суть выборочного метода в статистике (выборка, варианта и пр.). Также следует рассмотреть способы их графического представления.

В практике статистических наблюдений различают два вида наблюдений:

· сплошное (изучаются все объекты);

· выборочное (не сплошное, когда изучается часть объектов).

Примером сплошного наблюдения является перепись населения, охватывающее все население страны. Выборочными наблюдениями является, например, проводимые социологические исследования, охватывающие часть населения страны, области, района и т.д.

Вся подлежащая изучению совокупность объектов называется генеральной совокупностью. Часть объектов, которая отобрана для непосредственного изучения из генеральной совокупности, называется выборочной совокупностью или выборкой.

Числа объектов в генеральной или выборочной совокупности называют их объемами. Генеральная совокупность может иметь конечный и бесконечный объем.

Сущность выборочного метода состоит в том, чтобы по некоторой части генеральной совокупности (по выборке) выносить суждение о ее свойствах в целом. Обычно ограничиваются 5-10% всей изучаемой совокупности.

Так как в дальнейшем мы будем рассматривать выборочный метод, поэтому целесообразно выделить преимущества выборочного метода:

· экономия затраты ресурсов;

· единственно возможный в случае бесконечной генеральной совокупности или в случае, когда исследовании связано с уничтожением наблюдаемых объектов (например, исследование долговечности электрических лампочек и т.д.);

· возможность углубленного исследования за счет расширения программы исследования при тех же затратах;

· снижение ошибок регистрации;

· неизбежные ошибки, возникающие в связи с изучением части объектов, могут быть заранее оценены и посредством правильной организации выборки сведены к незначимым величинам.

Между тем, использование сплошного наблюдения часто приводит к снижению точности наблюдения, а это у же вызывает неустранимые ошибки, и может привести к снижению точности сплошного наблюдения по сравнению с выборочным. Чтобы по данным выборки иметь возможность судить о генеральной совокупности, она должна быть отобрана случайно. На практике отбор может выполняться с помощью жеребьевки (лотереи) или с помощью случайных чисел.

Основной недостаток выборочного метода - ошибки исследования, называемые ошибками репрезентативности.

Выборка называется репрезентативной (представительной), если она достаточно хорошо воспроизводит генеральную совокупность. Виды выборок:

· случайная выборка (случайный выбор элементов без расчленения на части или группы);

· механическая выборка (элементы отбираются через определенный интервал);

· типическая выборка (выбор случайным образом элементов из типических групп, на которые по некоторому признаку разбивается генеральная совокупность);

· серийная выборка (случайным образом отбираются целые группы совокупности, а сами серии подвергаются сплошному наблюдению).

Способы образования выборки:

· повторный выбор - каждый элемент, случайно отобранный и обследованный, возвращается в общую совокупность и может быть повторно отобран.

· бесповторный отбор - когда обратный элемент не возвращается в общую совокупность.

Затем учащимся можно дать таблицу с основными характеристиками генеральной совокупности и выборки.

Наименование характеристики	Генеральная совокупность	Выборка
Математическое ожидание
Дисперсия
Доля

Здесь х_i - значение признака; N и n - объемы генеральной и выборочной совокупностей; N_i и n_i - число элементов генеральной и выборочной совокупностей со значением признака х_i; M и m - число элементов генеральной и выборочной совокупностей, обладающих данным признаком.

На несложном примере покажем, как вычисляются введенные характеристики.

Генеральная совокупность задана таблицей распределения:

Xi	2	4	5	6
Ni	8	9	10	3

Найти дисперсию.

Важнейшей задачей выборочного метода является оценка параметров генеральной совокупности по данным выборки.

Далее введем понятие вариационного ряда. Для начала рассмотрим пример.

Необходимо изучить изменение результатов спортсменов, занимающихся легкой атлетикой, по сравнению с предыдущим годом. Получены следующие данные результатов в процентах к предыдущему году: 97,8; 97,10; 101,17;…;142,3;141,02.(всего 100 значений.).

Различные значения признака (случайной величины Х) называется вариантами (обозначаем их через х).

Первый шаг к осмыслению - упорядочивание. Расположение вариантов в порядке возрастания (убывания), т.е. ранжирование вариантов ряда.

Следующим шагом произведем группировку, то есть разобьем на отдельные интервалы. Число интервалов не следует брать большим. Числа показывающие, сколько раз встречаются варианты из данного интервала, называются частотами (n_i), а отношение их к общему числу наблюдений частостями . Частоты и частости называют весами.

Составим таблицу.

Д	Результаты в процентах к предыдущему году х	Частота (количество спортсменов) ni	Частость (доля рабочих)	Накопленная частота niнак	Накопленная частость
1	94,0-100	3	0,03	3	0,03
2	100,0-106,0	7	0,07	10	0,10
3	106,0-112,0	11	0,11	21	0,21
…	…	…	…	…	…
8	136,0-142,0	2	0,02	100	1,00
		100	1,00

Вариационным рядом называется ранжированный в порядке возрастания или убывания ряд вариантов с соответствующими им весами (частотами или частостями). Накопленная частота n_i^нак показывает, сколько наблюдалось вариантов со значениями признака меньших х. Накопленная частость - отношение накопленной частоты к общему числу наблюдений: .

Теперь полученный вариационный ряд позволяет выявить закономерности.

Для задания вариационного ряда достаточно указать варианты и соответствующие им частоты или частости.

Аналогично с определением дискретной и непрерывной случайной величины, мы даем определение дискретного и непрерывного вариационного ряда.

Вариационный ряд называется дискретным, если любые его варианты отличаются на постоянную величину. Вариационный ряд называется непрерывным, если варианты могут отличаться один от другого на сколь угодно малую величину.

В примере мы привели непрерывный ряд.

Для графического изображения вариационного ряда используются:

· полигон - служит для изображения дискретного вариационного ряда и представляет собой ломаную, в которой концы отрезков имеют (х_i, n_i);

· гистограмма служит для изображения интервальных вариационных рядов и представляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников с основаниями, равными интервалам значений признака к=х₂-х₁. И высоты равные частотам. Если соединить середины верхних оснований прямоугольников отрезками прямой, то можно получить полигон того же распределения;

· кумулятивная прямая (кумулята) - кривая накопленных частот. Для дискретных рядов кумулята представляет ломаную, соединяющую точки (х_i, n_i^нак ) или (х_i, w_i^нак). Для интервального вариационного ряда ломаная начинается с точки, абсцисса, которой равна началу первого интервала, а ордината - накопленной частоте, равной нулю. Другие точки соответствуют концам интервалов.

Теперь переходим еще к одной важной теме - проверка статистических гипотез. Сформулируем принцип практической уверенности. Если вероятность события А в данном испытании очень мала, то при однократном выполнении испытания можно быть уверенным в том, что событие А не произойдет, и в практической деятельности вести себя так, как будто событие А вообще невозможно.

Отправляясь самолетом в другой город, мы не рассчитываем на возможность погибнуть в авиа катастрофе, хотя вероятность такого события имеется.

При многократном повторении испытаний мы не можем считать маловероятное событие А практически невозможным.

Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения.

Проверяемую гипотезу обычно называют нулевой и обозначают Н₀. Также рассматривают альтернативную (конкурирующую гипотезу) Н₁, являющуюся отрицанием Н₀.

Суть проверки статистической гипотезы состоит в вычислении статистики данной выборки. Затем по выборочному распределению определятся критическое значение. Если статистика больше критического значения, то событие можно считать практически невозможным.

Сравнение двух совокупностей имеет важное практическое значение. На практике часто встречается случай, когда средний результат одной серии эксперимента отличается от среднего результата другой серии.

В промышленности данная задача возникает при выборочном контроле качества изделий, изготовленных на разных установках или при различных технологических режимах.

Рассмотрим, как проверятся гипотеза.

Пусть имеются две совокупности, характеризуемые генеральными средними х и у. И дисперсиями. Для которых найдены средние арифметические и выборочные дисперсии. Необходимо проверить гипотезу Н₀ о равенстве генеральных средних. Тогда статистика находится по следующей формуле:

Если t>t_кр то гипотеза Н₀ отвергается. Если нет, то делается вывод, что нулевая гипотеза не противоречит имеющимся наблюдениям.

Еще одной важной темой для формирования профессионально значимых навыков у учащихся является корреляционный анализ.

Корреляционной зависимостью между двумя переменными величинами называется функциональная зависимость между значениями одной из них и условным математическим ожиданием другой.

Корреляционная зависимость может быть представлена в виде .

Это уравнение называют уравнением регрессии, а их графики линиями регрессии. Для отыскания уравнений регрессий необходимо знать закон распределения двумерной случайной величины.

Данные о статистической зависимости удобно задавать в виде корреляционной таблицы.

Вес (кг) (Х)	Середины интервалов	Рост (см) (у)
		155-160	160-165	165-170	170-175	Всего (ni)	Групповая Средняя
	Хi yj	157,5	162,5	167,5	172,5
40-45	42,5	2	1		7	10	168,5
45-50	47,5	3	6	4	6	19	165,9
50-55	52,5		3	11	1	15	166,8
60-65	62,5	2	1	2		5	162,5
70-75	72,5				1	1	172,5
Всего nj	7	11	17	15	50
Групповая средняя	50,4	49,8	52,5	47,2

Вычисленные групповые средние изобразим графически в виде ломанной, называемой эмпирической линией регрессии.

По виду ломанной можно предположить наличие линейной функциональной зависимости между случайными величинами Х и Y, то есть имеется функция y=kx+b, где .

Здесь выборочная ковариация и равна .

Вычислим для данной таблицы основные характеристики и найдем уравнение линии регрессии.

,

,

,

, k = - 46,09, b = 2471,02.

Тогда уравнение линии регрессии запишется как: y = - 46,09 х + 2471,02.

Если построить линию регрессии можно будет спрогнозировать какие-либо результаты исследований, на какой-то период времени вперед. Другая важная область применения регрессионного анализа в спортивных исследованиях также связана с прогнозированием. Очень часто предметом исследования является такой признак, который измерить затруднительно или невозможно, но в то же время известно, что изучаемый признак связан с другими признаками. Тогда пытаются подобрать модель предполагаемой зависимости по этой модели спрогнозировать значения неизмеряемого зависимого признака. Прогнозируемые таким образом значения называют предикторами. Спортивное прогнозирование - одна из важных областей применения регрессионного анализа в спортивных исследованиях.

На закрепления изученной темы учащимся можно дать следующие задачи для решения.

В ходе исследования результатов забега на 100 метров юношами одиннадцатых классов двух групп - экспериментальной и контрольной - были получены данные, представленные в таблице.

Время (секунды)	12,3-13,9	13,9-15,5	15,5-17,1	17,1-17,7
Число юношей экспериментальной группы	3	20	20	2
Число юношей контрольной группы	1	8	18	3

1. Изобразить данные графически, построив гистограммы для каждой группы.

2. Для каждой группы определить среднее значение, дисперсию, моду и медиану.

3. Проверить гипотезу о равенстве средних двух групп учащихся, используя критерий Стьюдента и полагая критическое значение статистики 1,67.

2.5. Содержание и анализ результатов опытной работы

Опытная работа, проведенная нами, заключалась в применении данных методических рекомендаций при обучении спортсменов теории вероятностей и математической статистике.

Цель опытной работы: на основе использования разработанных методических материалов сделать вывод об эффективности их использования.

В связи с отсутствием в городе школ со специализированными классами опытно-экспериментальной базой стал первый курс специальности АФК факультета физической культуры ВятГГУ.

Основные трудности при проведении опытной работы:

1) не высокий уровень знаний студентов в области математики;

2) низкая заинтересованность студентов при изучении данного предмета.

Было проведено 8 часов лекционных занятий:

№	Тема лекционного занятия	Содержание занятия
1	Основы теории вероятности	Основные определения. Классическое и статистическое определение вероятности. Вычисление вероятности.
2	Правила вычисления вероятностей	Основные правила вычисления вероятности. Формула полной вероятности, формула Бейеса.
3	Случайные величины	Определение и примеры случайных величин, закон распределения случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия.
4	Статистика. Общие сведения	Основные понятия. Вариационные ряды.
5	Дискретные и непрерывные ряды	Графическое изображение вариационного ряда, дискретные и непрерывные ряды.
6	Проверка статистических гипотез. Корреляционный анализ.	Основные определения. Примеры.
7-8	Контрольная работа

Параллельно с этим были проведены 16 часов практических занятий. В результате учащиеся изучили следующие темы.

№	Тема занятия	Содержание занятия
1-2	Комбинаторика.	Основные теоремы, применение их на практике.
3	Нахождение вероятности.	Решение задач на нахождение вероятности, используя основные формулы комбинаторики.
4-5	Нахождение вероятности, использующие основные правила.	Вычисление вероятности сложных событий, условная вероятность. Вероятность нахождения хотя бы одного события
6-7	Формула полной вероятности и формула Бейеса.	Вычисление вероятностей, используя данные формулы.
8	Случайные величины.	Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения дискретной величины и его изображение.
9-10	Характеристики случайной величины	Вычисление основных характеристик дискретной случайной величины.
11-14	Корреляционный анализ.	Корреляционная таблица, вычисление основных характеристик закона распределения двумерной случайной величины. Эмпирические линии регрессии и нахождение уравнения регрессии.
15-16	Подготовка к контрольной работе

Подробное содержание занятий можно найти в Приложении 1 к настоящей работе. Опытное преподавание проводилось в двух группах студентов. Лекционные занятия проводились для групп совместно, а практические занятия для каждой группы в отдельности. Это позволило получить более объективные результаты исследования. В начале каждого практического занятия проводился контроль по усвоению знаний, полученных на предыдущих занятиях. Данный контроль показал, что материал, который предлагался для изучения доступен для учащихся и практически не вызывает никаких трудностей. В конце изучения всего курса была проведена контрольная работа, по всем изученным темам, с которой все успешно справились. Все результаты, полученные в ходе проверки самостоятельных работ и итоговой контрольной работы, представлены в виде диаграмм (Приложение 2). На основании полученных результатов опытного преподавания можно считать, что в целом разработанные методические рекомендации способствуют достижению поставленной ели и подтверждают гипотезу исследования.

Заключение

Выпускная квалификационная работа посвящена проблемам методики обучения основам теории вероятностей и математической статистики в рамках элективного курса для профильной школы, в частности для оборонно-спортивного профиля.

В первой главе мы рассмотрели, что такое профильная школа, для чего она нужна. Также было рассмотрено значение элективных курсов в современной школе, его отличие от факультативов.

Во второй главе была рассмотрена методика преподавания теории вероятностей и математической статистики для спортсменов на основе анализа различной учебной литературы. Также был разработан элективный курс по данной теме и описано опытное преподавание данного курса.

Таким образом, цели работы были достигнуты.

На наш взгляд, разработанный элективный курс по теории вероятности и математической статистики поможет качественно усвоить школьнику этот материал, а главное, - осознанно применять полученные знание в своей практической деятельности.

Библиографический список

1. Афанасьев, В.В. Школьникам о вероятности в играх. Введение в теорию вероятностей [Текст]: для учащихся 8-11 классов / В.В. Афанасьев, М.А. Суворова. - Ярославль: Академия развития, 2006. - 192 с.

2. Баранников, А.В. Элективные курсы в профильном обучении [Текст]: информационное письмо об элективных курсах в системе профильного обучения на старшей ступени общего образования / А.В. Баранников. - 2003. - 3 с.

3. Вентцель, Е.С. Задачи и упражнения по теории вероятностей [Текст] / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. - М.: Высшая школа, 2002. - 445 с.

4. Виленкин, Н.Я. Комбинаторика [Текст]/ Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, П.А. Виленкин. - М.: МЦНМО, 2006. - 400 с.

5. Виленкин, Н.Я. Популярная комбинаторика [Текст] / Н.Я. Виленкин. - М.: Наука, 1975. - 208 с.

6. Глеман, М. Вероятность в играх и развлечениях Элементы теории вероятностей в курсе сред. школы [Текст]: пособие для учителя/ М. Глеман, Т. Варга. - М.: Просвещение, 1979. - 176 с.

7. Гмурман, В.Е. Руководство по решению задач по теории вероятностей и математической статистики [Текст] / В.Е. Гмурман. - М.: Высшая школа, 1999. - 400 с.

8. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] / В.Е. Гмурман. - М.: Высшая школа, 2000. - 479 с.

9. Днепров, Э.Д. Сборник нормативных документов. Математика [Текст] / Э.Д. Днепров, А.Г. Аркадьев. - М.: Дрофа, 2004. - 79 с.

10. Иванов, В.С. Основы математической статистики [Текст]: учебное пособие для институтов физической культуры / В. С. Иванов. - М.: Физкультура и спорт, 1900. - 176 с.

11. Караулова, Л.В. Математические задачи, как средство формирования профессионально значимых умений студента [Текст]: дисс. на соискание степени канд. пед. наук / Л.В. Караулова. - Киров, 2004. - 184 с.

12. Крутихина, М. В. Элективные курсы по математике [Текст]: учебно-методические рекомендации / М. В. Крутихина, З. В. Шилова. - Киров: ВятГГУ, 2006. - 40 с.

13. Маркова, В.И. Деятельностный подход в обучении математике в условиях предпрофильной подготовки и профильного обучения [Текст] / В.И. Маркова. - Киров: КИПК и ПРО, 2006. - 200с.

14. Маркова, В.И. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей в курсе математики основной школы [Текст]: методическое пособие / В.И. Маркова. - Киров: Изд-во Кировского ИУУ, 2004. - 58 с.

15. Масальгин, Н. А. Математико-статистические методы в спорте [Текст] / Н. А. Масальгин. - М.: Физкультура и спорт, 1974. - 151 с.

16. Матальский, М.А. Теория вероятностей в примерах и задачах [Текст]: учебное пособие / М.А. Матальский, Т.В. Романюк. - Гордно: ГрГУ - 2002. - 248 с.

17. Мордкович, А.Г. События. Вероятности. Статистическая обработка данных [Текст]: дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9кл. общеобразовательных учреждений /А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. - М.: Мнемозина, 2003. - 46 с.

18. Мостеллер, Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями [Текст] / Ф. Мостеллер. - М.: Наука, 1975. - 112 с.

19. Наше образование - Элективные курсы и культура выбора [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.gluki-obrnauki.ru/Cult.html.

20. Паршиков, А.Т. Спортивная школа как социально-педагогическая система: социальное проектирование [Текст] / А.Т. Паршиков. - М.: Советский спорт, 2003. - 352 с.

21. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике [Текст] / Д.Т. Письменный. - М.: Айрис-пресс, 2005. - 256 с.

22. Проект "Профильная школа" России [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.rkodm.chita.ru/experiment/profil-proekt.htm.

23. Солодовников, А.С. Теория вероятностей [Текст] / А.С. Солодовников. - М.: Просвещение, 1978. - 192 с.

24. Тюрин, Ю.Н. Теория вероятностей и статистика [Текст] / Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко. - М.: МЦНМО, 2008. - 256 с.

25. Фадеев, Д.К. Элементы высшей математики для школьников [Текст] / Д.К. Фадеев. - М.: Наука, 1987. - 335 с.

26. Шибасов, Л.П. За страницами учебника математики. Мат. анализ. Теория вероятностей. Старин. и занимат. задачи [Текст]: кн. для учащихся 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Л.П. Шибасов, З.Ф. Шибасова. - М.: Просвещение, 1997. - 269 с.

27. Шихова, А.П. Обучение комбинаторике и ее приложениям в средней школе [Текст] / А.П. Шихова. - Киров: Вятка, 1994. - 62 с.

Приложение 1

Программа элективного курса по математике

«Основы теории вероятностей и математической статистики»

Пояснительная записка

Элективный курс «Основы теории вероятностей и математической статистики» разработан для обеспечения старшеклассников занятиями по выбору из вариативного компонента базисного учебного плана в старшей профильной школе. Предлагаемый элективный курс позволяет осуществлять задачи профильной подготовки старшеклассников, обучающихся в классах оборонно-спортивного профиля.

Курс позволяет выпускнику средней школы приобрести необходимый и достаточный набор умений в области теории вероятностей и статистики.

Цель - формирование новых знаний у учащихся в области комбинаторики, теории вероятности и статистики, формирование у школьников компетенций, направленных на выработку навыков самостоятельной и групповой исследовательской деятельности.

Задачи:

1) научиться решать основные комбинаторные задачи;

2) научиться применять полученные знания в области комбинаторики к решению различных задач теории вероятности.

3) научиться решать простейшие задачи корреляционного анализа.

4) интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для полноценной жизни в обществе. Развитие мыслительных способностей учащихся: умения анализировать, сопоставлять, сравнивать, систематизировать и обобщать.

5) воспитание личности в процессе освоения математики и математической деятельности, развитие у учащихся самостоятельности и способности к самоорганизации.

Требования к уровню освоения содержания курса. В результате изучения курса учащиеся овладевают следующими знаниями, умениями и способами деятельности:

· имеют представление о математике как форме описания и методе познания действительности;

· умеют анализировать, сопоставлять, сравнивать, систематизировать и обобщать;

· умеют самостоятельно работать с математической литературой;

· знают основные правила комбинаторики;

· знают основные понятия теории вероятности и статистики;

· умеют решать задачи по теории вероятности и статистики, применяя формулы комбинаторики;

· умеют представлять результат своей деятельности, участвовать в дискуссиях;

· умеют проводить самоанализ деятельности и самооценку ее результата.

Содержание и требования курса

Тема 1. Комбинаторика.

Основные формулы комбинаторики: о перемножении шансов, о выборе с учетом порядка, перестановки с повторениями, размещения с повторениями, выбор без учета порядка. Правило суммы, правило произведения.

Учащиеся должны знать: что такое факториал числа, его основные свойства; как записываются формулы комбинаторики, и понимать их.

Учащиеся должны уметь: рационально решать комбинаторные задачи, применяя формулы.

Тема 2. Вероятность.

Основные понятия теории вероятности. Операции над событиями. Классический, статистический подход к определению вероятности. Основные правила вычисления вероятностей. Формула полной вероятности, Бейеса.

Учащиеся должны знать: что такое событие, зависимые (независимые) события, совместные (не совместные) события; определения суммы, произведения событий и противоположного события; в чем отличия между статистическим и классическим подходом к определению вероятности событий; определение условной вероятности, как вычислять произведение (сложение) независимых или зависимых (совместных или несовместных) событий; запись формулы полной вероятности и формулы Бейеса.

Учащиеся должны уметь: рационально решать задачи, применяя формулы комбинаторики и основные правила вычисления вероятностей.

Тема 3. Случайные величины.

Понятие дискретной и непрерывной случайной величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Вычисление математического ожидания и дисперсии.

Учащиеся должны знать: что такое случайная величина; определения дискретной и непрерывной случайной величины, уметь различать их; что такое закон распределения случайной величины; определения математического ожидания и дисперсии, понимать их практический смысл.

Учащиеся должны уметь: вычислять математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины.

Тема 4. Статистика.

Общие сведения. Вариационные ряды и их графические представления. Дискретные и непрерывные ряды. Проверка статистических гипотез.

Учащиеся должны знать: основные определения статистики; как вычислять дисперсию и математическое ожидание для генеральной совокупности и выборки; определение статистической гипотезы и основы корреляционного анализа.

Учащиеся должны уметь: изображать вариационные ряды; находить эмпирические линии регрессии и уравнение линии регрессии.

Календарно-тематический план курса

№	Тема	тип
1	Случайные события, операции над событиями, вероятность событий.	Лекция
2	Комбинаторика. Основные теоремы. Применение их на практике	Практика
3	Комбинаторика. Основные теоремы. Применение их на практике.	Практика
4	Решение задач, использующие классическое определение вероятности	Практика
5	Основные правила вычисления вероятностей, формула полной вероятности, формула Бейеса.	Лекция
6	Задачи, использующие теорему сложения и умножения вероятностей. Вероятность нахождения хотя бы одного события.	Практика
7	Задачи, использующие теорему сложения и умножения вероятностей. Вероятность нахождения хотя бы одного события.	Практика
8	Основные правила вычисления вероятностей, формула полной вероятности, формула Бейеса.	Практика
9	Случайные величины, дискретные и непрерывные случайные величины.	Лекция
10	Закон распределения случайной величины, построение полигона частот	Практика
11	Математическое ожидание и дисперсия	Лекция
12	Нахождение числовых характеристик дискретных случайных величин	практика
13	Статистика. Общие сведения	Лекция
14	Вариационные ряды и их графическое изображение	Лекция
15	Дискретные и непрерывные ряды. Проверка статистических гипотез.	Лекция
16	Дискретные и непрерывные ряды. Проверка статистических гипотез.	Лекция
17	Корреляционный анализ.	Лекция
18	Корреляционный анализ.	Лекция
19	Корреляционный анализ.	Практика
20	Корреляционный анализ.	Практика
21	Подготовка к контрольной работе	Практика
22	Подготовка к контрольной работе	Практика
23	Контрольная работа	Практика
24	Контрольная работа	Практика

Занятие 1

В нашей жизни часто приходится иметь дело со случайными явлениями, то есть ситуациями, исход которых нельзя точно предвидеть, например мы не можем точно сказать при подбрасывании монеты упадет она вверх гербом или цифрой. Аналогично не можем точно сказать, сколько очков выбьет стрелок на соревнованиях. Говоря о случайных событиях в нашем сознании возникает представление о вероятности явления.

Под испытанием в теории вероятностей принято принимать наблюдение какого-либо явления при соблюдении определенного набора условий, который каждый раз должен выполняться при повторении данного испытания. Если то же самое испытание производиться при другом наборе условии, то считается, что это уже другое испытание.

Пример: бросаем кубик - это испытание. Бросаем два кубика - другое испытание.

Результатом испытания является событие.

Событие бывает:

· достоверное (всегда происходит в результате испытания);

· невозможное (никогда не происходит);

· случайное (может произойти или не произойти в результате испытания).

Например:

1) выпадет восемь очков (невозможное);

2) выпадет не более 6 очков (достоверное);

3) выпадет число три (случайное).

Когда мы говорим о соблюдении набора условий данного испытания, мы имеем в виду постоянство значений всех факторов, контролируемых в данном испытании. Но при этом может быть большое количество неконтролируемых факторов (например, погода, ветер и т.д.), которые трудно или невозможно учесть. Следовательно, значение неконтролируемых факторов могут быть различными при каждом повторении испытания, поэтому результаты испытания оказываются случайными. Событие может произойти или не произойти.

Теория вероятностей рассматривает именно такие события, при этом предполагается, что испытание может быть повторено любое количество раз.

Например, выполнение штрафного броска в баскетболе есть испытание, а попадание в кольцо - событие. Другой пример события - это выпадение определенного числа очков при бросании игральной кости.

В теории вероятности события обозначаются заглавными латинскими буквами: A, B, C, D…

Определение: События A и B называются несовместными, если они никогда не могут произойти в результате одного испытания.

События А и В называются совместными, если они могут произойти в результате одного испытания.

Пример: испытание - один раз подбрасываем монету. События: а) выпадет орел; б) выпадет решка.

События А и В не совместны так как при подбрасывании одной монеты одновременно не выпадет орел и решка.

Определение: Событие А называется независимым от события В, если вероятность появления события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Пример: Уточним понятие независимых событий. Будем бросать две монеты и обозначим как событие A тот факт, что первая монета упадет гербом, событие B - вторая монета упадет гербом, событие C - на одной (и только на одной) монете выпадет герб. Тогда события A, B, C попарно независимы, но два из них полностью определяют третье. Действительно, A и B независимы, так как результаты второго броска никак не зависят от первого броска, A и C (а также B и C) могут показаться зависимыми, но перебором вариантов можно получить, что p(AC) = 1/4 = p(A)p(C), значит, они по определению независимые. С другой стороны, легко убедиться, что любые два события однозначно определяют третье. На этом примере хорошо видно, что события могут быть попарно независимы, но зависимы в совокупности.

Операции над событиями

1.Сумма

Событие С называется суммой А+В, которое представляет собой событие, состоящее из появлении хотя бы одного из событий А и В.

Пример: Бросается кубик событие А - выпадет число 2. Событие В - выпадет нечетное число. Тогда событие С=А+В. Будет состоять в выпадении двойки или нечетного числа

2. Произведение

Событие C называется произведением A и B, если оно состоит из всех событий, входящих и в A, и в B.

Пример: С=А•В (А- выпадет 3, В - выпадет нечетное число). Тогда С состоит в выпадении только числа 3, так как 3 является нечетным числом.