Методические особенности изучения геометрического материала в начальной школе

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

Галилео Галилей За последние время в обществе произошли кардинальные изменения в представлении о целях образования и путях их реализации. Цель образования по Федеральному государственному стандарту первого поколения 2004 года была в усвоении знаний, умений и навыков, как основных итогов образования, новое поколение Федерального государственного образовательного стандарта от 2010 года базируется на системно-деятельностном подходе, направлено на общекультурное, личностное и познавательное развитие обучающихся. Произошёл переход к пониманию обучения как процесса подготовки учащихся к реальной жизни, готовности занять активную позицию, успешно решать жизненные задачи, уметь работать в группе.

Помогает в этом младшим школьникам изучение геометрического материала, а именно: знакомство с линиями, телами, поверхностями, геометрическими фигурами, выделение фигур определенной формы, изучение некоторых характеристик этих фигур.

«Стандарт устанавливает требования к результатам обучающихся с учетом специфики содержания предметной области «Математика и информатика», а именно: умение исследовать, распознавать и изображать геометрические фигуры».

Планируемые результаты освоения основной образовательной программы начального общего образования являются одним из важнейших механизмов реализации требований Стандарта к результатам обучающихся, освоивших основную образовательную программу.

В соответствии с «Примерной основной образовательной программой начального общего образования» по курсу «Математика и информатика» в разделе:

«Пространственные отношения. Геометрические фигуры». Выпускник научится:

- описывать взаимное расположение предметов в пространстве и на плоскости;

- распознавать, называть, изображать геометрические фигуры (точка, отрезок, ломаная, прямой угол, многоугольник, треугольник, прямоугольник, квадрат, окружность, круг);

- выполнять построение геометрических фигур с заданными измерениями (отрезок, квадрат, прямоугольник) с помощью линейки, угольника;

- использовать свойства прямоугольника и квадрата для решения задач;

- распознавать и называть геометрические тела (куб, шар);

- соотносить реальные объекты с моделями геометрических фигур.

Выпускник получит возможность научиться: распознавать, различать и называть геометрические тела: параллелепипед, пирамиду, цилиндр, конус.

«Геометрические величины». Выпускник научится: измерять длину отрезка; вычислять периметр треугольника, прямоугольника и квадрата, площадь прямоугольника и квадрата; оценивать размеры геометрических объектов, расстояния приближённо (на глаз). Выпускник получит возможность научиться: вычислять периметр многоугольника, площадь фигуры, составленной из прямоугольников».

«Начальная школа - принципиально новый этап в жизни ребенка, начинается систематическое обучение в школе, расширяется сфера взаимодействия с окружающим миром, изменяется социальный статус и увеличивается потребность в самовыражении. Происходит переход от главной игровой деятельности в дошкольном возрасте - к формированию ведущей учебной деятельности у детей младшего школьного возраста, в которой будет происходить становление основных психических и психологических особенностей развития в данном периоде школьной жизни ребенка».

В процессе изучения и получения новых знаний, умений и навыков о геометрических представлениях главную роль играют наблюдения и практическая деятельность учащихся. Формирование представлений идёт от предмета, представляемого ребенком в голове - к форме геометрической фигуры как его образа и, соответственно, наоборот, от определенной фигуры-образа - к реальному предмету.

Изучение геометрии в начальной школе даёт возможность познакомить детей совсем с другой по сравнению с арифметической стороной математического способа познания окружающего мира, а большое количество геометрических форм и методов их познания даёт возможность показать им эстетическую сторону математики.

В отличие от других разделов математики изучение геометрического материала требует в основном эмоционально-образных, познавательных прогнозов, организованных для учащихся и, следовательно, является важным для интеллектуального и эстетического развития младших школьников. Умение ориентироваться в пространстве составляет важный элемент любого вида учебной деятельности, постоянные занятия по геометрии в начальной школе способствуют также хорошей успеваемости в учении на начальной ступени образования. Главной задачей и целью каждого учителя должно быть желание сформировать у младших школьников - способность мыслить. От сформированности образа мышления у детей, зависит не только развитие его математических способностей, но и то, как он в своем будущем сможет разобраться в себе, реализовать собственные возможности, используя полученные знания, умения и навыки в новых ситуациях.

Все вышеизложенное послужило основанием для написания данной дипломной работы на тему: «Методические особенности изучения геометрического материала в начальной школе».

Объектом исследования: является процесс обучения геометрии млад- ших школьников.

Предмет исследования: методические приёмы изучения геометрического материала в курсе математики начальной школы.

Цель исследования: выявить совокупность методических приемов и особенностей изучения геометрического материала в начальной школе.

В нашей работе была выдвинута следующая гипотеза: выявленные методические приемы изучения геометрического материала в начальной школе позволят оптимизировать процесс обучения геометрии младших школьников.

Цель, объект, предмет и гипотеза исследования наметили следующие задачи исследования:

1) изучить психолого-педагогическую литературу по основам обучения младших школьников геометрии и выявить механизм усвоения ими геометрического материала;

2) сформулировать принципы организации деятельности учащихся в процессе изучения геометрического материала и определить методические приемы их реализации в практике;

3) разработать систему упражнений геометрического содержания;

4) исследовать влияние разработанной системы упражнений на процесс изучения геометрического материала младшими школьниками.

Для решения поставленных задач использовались следующие методы:

§ теоретические: анализ научно-методической литературы;

§ эмпирические: наблюдение, анализ, сравнение и обобщение результатов.

Организация исследования. Работа проводилась с 11 января по 08 апреля 2016 года на базе ГБОУ школы № 1466, расположенной по адресу: г. Москва, улица Ереванская, дом 20. В исследовании принимали участие 42 учащихся из 4 «А» и 4 «Б» классов.

1. Теоретические основы изучения геометрического материала в начальной школе

1.1 Психолого-педагогические основы обучения младших школьников геометрии

Начальное образование - основа, главный «кирпичик» всего дальнейшего образования, как в школе, так и в последующем обучении.

Возраст младшего школьника является чувствительным для адресного формирования личности ребенка, для развития его мышления, памяти. Именно в этот период у детей наблюдается высокая познавательная активность, стремление к новым знаниям, а, следовательно, к умениям и навыкам. Это итог всего общего развития ребенка в дошкольный период, где закладываются основы формирования всесторонне развитой личности.

Мышление ребенка находится в переходном этапе его развития. Именно в этот период происходит переход от наглядно-образного мышления к словесно- логическому, понятийному мышлению.

Как отмечает Н.Ф. Виноградова «в детской психологии доказано, что благополучное развитие высших форм мышления во многом определяется уровнем сформированности наглядно-действенного и наглядно-образного мышления».

Геометрия с её принципом наглядности - одна из главных баз мышления, так как содержание данного предмета является основой для формирования умственных действий и мыслительных процессов.

Как правильно отмечал основоположник возрождения наглядной геометрии И.Ф. Шарыгин: «Особая роль элементарной геометрии по отношению к серьёзной науке, причем не только математической, состоит также в том, что она (элементарная геометрия) является неисчерпаемым источником интересных и оригинальных идей, облегчает поиск решения самых различных научных и технических проблем».

На данном этапе начального образования - школа уделяет мало внимания для изучения наглядной геометрии. Геометрические понятия даются в малом объёме, «в результате изучения числовых понятий, учащиеся достигают значительного развития абстрактного мышления, а с другой стороны, их пространственные представления остаются неразвитыми». Такое положение вещей в начальной школе даёт возможность разработать курс геометрии в начальных классах. Такие известные математики и дидактики как А.В. Белошистая, Н.Б. Истомина, Н.С. Подходова и другие постарались чётко изложить и структурировать курс геометрии в начальной школе.

В современных школах, к большому сожалению, очень редко соблюдается логически правильное изложении геометрии в начальных классах, а также практически не используется тот положительный эффект и результат, который в дальнейшем помог бы детям в изучении геометрии, как отдельного предмета в средней и старшей школах, что является одной из целей изучения геометрии.

Давайте внимательно вчитаемся в слова П.А. Карасева, написанные им в середине столетия: «Наглядная геометрия, в отличие от систематического курса геометрии, изучает свойства геометрических форм путем "живого созерцания", то есть непосредственных восприятий и представлений конкретных предметов и их изображений. Изучение свойств геометрических фигур обосновывается индуктивным методом -- обобщением частных однородных случаев. Задача учителя -- дать детям большое количество систематизированных зрительных впечатлений, в которых дети должны разобраться и сделать свои выводы при помощи объяснений и наводящих вопросов учителя... Учителям... надо отрешиться от обычных приемов преподавания систематического курса геометрии... с обязательным заучиванием определений, с задаванием на дом, «спрашиванием» уроков... Этот метод индуктивного и непосредственного опытного усвоения геометрических законов, тесно связанный с практикой построения и измерения геометрических форм, более отвечает особенностям детской психики с ее остротой восприятий, с активным воображением, с памятью главным образом моторного и зрительного типа, но еще со слабо развитым логическим мышлением... В отличие от "геометрического материала" в современной начальной школе, "наглядная геометрия" не должна быть придатком к арифметике, вырождаясь в изучение мер длины, площади и объема, и способов измерения прямолинейных отрезков, площадей прямоугольников и объемов прямоугольных параллелепипедов».

«Перечислим цели и задачи изучения геометрии в стартовом звене образования учащегося:

· развитие пространственного мышления и воображения;

· развитие мыслительных операций школьника: классификация, обобщение, рассуждение и другое;

· формирование представлений о геометрических объектах как предметах и объектах окружающего мира;

· развитие геометрических представление младших школьников с помощью изготовления и рисования моделей геометрических фигур и тел;

· усвоение начальных приемов черчения с помощью линейки, угольника и циркуля;

· усвоение элементарных сведений по геометрии необходимых и полезных при изучении других предметов;

· ознакомление со способами нахождения углов, длин, объемов и площадей фигур;

· активизации мышления школьника путем постановки и решения геометрических задач;

· введение начал логического мышления в доступной форме для конкретной возрастной группы учащихся;

· развитие письменной и устной речи, относящейся к области пространственных представлений младших школьников;

· подготовка к изучению систематического курса геометрии в средней школе».

«Границы младшего школьного возраста, совпадающие с периодом обучения в начальной школе, устанавливаются в настоящее время с 6 до 10 - 11 лет.

Начало обучения в школе ведет к коренному изменению социальной ситуации развития ребенка. Он становится «общественным» субъектом и имеет теперь социально значимые обязанности, выполнение которых получает общественную оценку.

Ведущей в младшем школьном возрасте становится учебная деятельность. Она определяет важнейшие изменения, происходящие в развитии психики детей на данном возрастном этапе. В рамках учебной деятельности складываются психологические новообразования, характеризующие наиболее значимые достижения в развитии младших школьников и являющиеся фундаментом, обеспечивающим развитие на следующем возрастном этапе».

Согласно концепции, Э. Эриксона, «возраст 6-12 лет рассматривается как период передачи ребенку систематических знаний и умений, обеспечивающих приобщение к трудовой жизни и направленных на развитие трудолюбия». Важнейшие новообразования возникают во всех сферах психического развития: преобразуется интеллект, личность, социальные отношения. Ведущая роль учебной деятельности в этом процессе не исключает того, что младший школьник активно включен и в другие виды деятельности, в ходе которых совершенствуются и закрепляются новые достижения ребенка.

Согласно Л.С. Выготскому, «специфика младшего школьного возраста состоит в том, что цели деятельности задаются детям преимущественно взрослыми. Учителя и родители определяют, что можно и что нельзя делать ребенку, какие задания выполнять, каким правилам подчиняться и т.д. Одна из типичных ситуаций такого рода - выполнение ребенком какого-либо поручения.

Даже среди тех школьников, которые охотно берутся выполнить поручение взрослого, довольно частыми являются случаи, когда дети не справляются с заданиями, поскольку не усвоили его сути, быстро утратили первоначальный интерес к заданию или просто забыли выполнить его в срок. Этих трудностей можно избежать, если, давая детям какое-либо поручение, соблюдать определенные правила».

Важнейшим условием развития произвольного поведения ребенка является участие взрослого, который направляет усилия ребенка и обеспечивает средствами овладения.

С первых дней пребывания в школе ребенок включается в процесс межличностного взаимодействия с одноклассниками и учителем. На протяжении младшего школьного возраста это взаимодействие имеет определенную динамику и закономерности развития.

По теории Л.С. Выготского, «с началом школьного обучения мышление выдвигается в центр сознательной деятельности ребенка. Развитие словесно- логического, рассуждающего мышления, происходящее в ходе усвоения научных знаний, перестраивает и все другие познавательные процессы: память в этом возрасте становится мыслящей, а восприятие - думающим».

Согласно концепции, Ж. Пиаже, «интеллектуальное развитие ребенка 7-11 лет находится на стадии конкретных операций. Это значит, что в указанный период умственные действия становятся обратимыми и скоординированными. В этом смысле уроки математики наиболее полно отвечают потребностям и развитию выше названных умений. Поскольку в этом возрасте наглядность в обучении первоклассников имеет безусловный приоритет среди других методов обучения, то использование геометрического материала на различных этапах урока существенно повышает мотивацию и интерес детей к учебной деятельности. Кроме того, их сознание ориентируется на яркие образы, которые благодаря геометрическим фигура, могут существенно повысить эффективность и результативность урока. В то же время это существенно повышает возможности мышления младших школьников, т.к. они легче воспринимают учебные задания».

Е.Е. Данилова говорит о том, что «младший школьный возраст сенситивен для становления высших форм произвольного запоминания, поэтому целенаправленная развивающая работа по овладению мнемической деятельностью является в этот период наиболее эффективной». В.Д. Шадриков и Л.В. Черемушкина «выделили 13 мнемических приемов, или способов организации запоминаемого материала:

ь группировка,

ь выделение опорных пунктов,

ь составление плана,

ь классификация,

ь структурирование,

ь схематизация,

ь установление аналогий,

ь мнемотехнические приемы,

ь перекодирование,

ь достраивание запоминаемого материала,

ь серийная организация,

ь ассоциации,

ь повторение».

Из этого списка становится ясно, что в достаточной степени все эти умственно-логические операции содержат в себе уроки математики, которые позволяют ребенку пока еще на самом простейшем уровне совершать операции обозначенного порядка, постепенно переходя к все более сложным их видам.

Отчего же у младшего школьника появляются проблемы с учебной работой? С одной стороны проблемы имеют все шансы появляться от особенностей учебного материала и уровня его сложности, с другой -- от способностей и стремлений самого ученика, от личных и возрастных отличительных черт его памяти, интереса, мышления и безусловно - от мастерства и профессионализма учителя.

Ученикам 1-х классов проще осознать и изучить материал несложных автоматическим запоминанием и зазубриванием, но, когда педагог даёт своим учащимся креативные и увлекательные задачи, которые возможны вследствие интерактивного метода обучения на базе геометрического используемого материала.

«Неумение и нежелание активно мыслить - это отличительные особенности рассматриваемой группы неуспевающих учащихся, иногда называемых «интеллектуально пассивными». Психологи рассматривают интеллектуальную пассивность как следствие неправильного воспитания и обучения, когда ребенок не прошел в течение жизни до школы определенный путь умственного развития, не научился необходимым интеллектуальным навыкам и умениям».

«Существует 3 фактора, которые могут вызвать дефекты познавательной деятельности и тем самым влиять на успеваемость учащихся:

1) несформированность учебной деятельности;

2) недостатки развития психических процессов;

3) неадекватное использование учащимися своих устойчивых индивидуально-психологических особенностей».

Таким образом, «младший школьный возраст считается одним из важнейших этапов школьного обучения. Высокая чувствительность данного возрастного этапа устанавливает большие потенциальные возможности многогранного развития ребенка». Применение геометрического материала на уроках математики в 1-м классе значительно увеличивает их результативность. Ученики наиболее мотивированы на подобные занятия, они энергичны, так как в этой ситуации они лучше усваивают учебную задачу и склонны делать предложенные им действия. Занятие с использованием геометрического материала становится интереснее.

1.2 Специфика изучения геометрического материала в курсе математики начальной школы

Геометрический материал не выделяется в программе по математике для начальных классов в качестве самостоятельного раздела. В учебном процессе изучения элементов геометрии непосредственно связывается с изучением арифметических и алгебраических вопросов.

Обучение элементам геометрии в начальной школе сводится к ознакомлению с простейшими плоскими фигурами и изменению геометрических величин инструментальными средствами.

«Обучение младших школьников элементам геометрии должно:

Ш соответствовать естественному ходу их геометрических представлений;

Ш рассматривать геометрию как органическую часть математики и, следовательно, как необходимую составляющую начального математического образования;

Ш соответствовать историческому ходу становления математической науки;

Ш выделять геометрические факты в процессе практической работы с моделями геометрических фигур, что предполагает обязательным включать в процесс познания не только зрительные и слуховые, но и кинестетические рецепторы;

Ш вырабатывать умение оперировать геометрической информацией;

Ш подготавливать учащихся к усвоению систематического геометрического материала».

Раскрывая геометрический материал учащимся 1-4 классов, надо учитывать, что первые представления о формах, размерах и взаимном положении предметов в пространстве дети накапливают еще в дошкольный период.

Этапы формирования геометрических представлений ребенка:

1. Восприятие геометрических фигур.

2. Выделение элементов из которых состоят фигуры.

3. Выделение существенных признаков.

4. Решение геометрических задач.

Главной проблемой исследования геометрического материала в 1-4 классах считается развитие у детей конкретных понятий о фигурах, а именно: точка, прямая линия, отрезок прямой, ломаная линия, угол, многоугольник, круг. При этом система упражнений и задач геометрического содержания и методика работы над ними обязаны способствовать развитию пространственных представлений у младших школьников, умений наблюдать, сравнивать, мотивировать результат.

Принимая во внимание задачи при изучении геометрического материала, необходимо обширно применять различные наглядные пособия. Это демонстрационные, общеклассные модификации геометрических фигур, необходимы личные наглядные пособия.

Более результативными способами изучения геометрического материала считаются лабораторно-практические: моделирование фигур из бумаги, из палочек, из проволоки; черчение, измерение и иное.

При обучении в школе следует основываться на имеющийся навык младшего школьника, конкретизировать и обогащать их взгляды и представления.

У обучающихся 1-4 классов необходимо формировать четкие образы точки, прямой и кривой линий, отрезка прямой. Цель педагога - обучить вычленять, именовать и грамотно демонстрировать данные фигуры, изображать и описывать их на бумаге и на доске, называть с поддержкой букв. Ребята должны обучиться определять и чертить отрезки установленной длины.

Огромную роль при изучении геометрического материала в начальных классах представляют геометрические задания, намерено нацеленные на формирование у учащихся пространственных представлений и воображения, их речи и мышления, практических умений и способностей. К ним возможно причислить задания на:

ь классификацию геометрических фигур;

ь деление фигур на части;

ь составление геометрических фигур заданной формы из других фигур;

ь вычленение фигур на чертеже сложной конфигурации;

ь распознавание фигур знакомых видов в окружающей обстановке;

ь выяснение геометрической формы предметов или их частей.

С точкой ученики знакомятся с самого начала обучения в первом классе. Педагог с помощью заданий: «Поставьте точку посредине клетки. Поставьте точку посередине левой стороны клетки и так далее» - учит ориентироваться в клетке. Далее данные познания применяются при написании цифр. При объяснении письма цифр, педагог произносить, где начинать писать и где останавливаться, ставя точку в клетках, после ученики объединяют их чертой и рисуют различные узоры согласно примеру, который показал учитель.

После знакомства с прямой линией дети учатся ставить точки на прямой, проводить прямые линии через одну, две, три заданные точки относительно прямой линии.

Когда осуществляется ознакомление с компонентами многоугольника, ученики постигают знания о том, что вершины многоугольника - это точки.

В третьем классе дети проходят обозначение этих точек латинскими буквами. Учитель объясняет, что для того, чтобы отличать и различать точки на чертеже принято обозначать их заглавными латинскими буквами, например, D, N, V, A и так далее, которые пишутся возле точки.

Формирование представлений о прямой линии у учащихся 1-х классов закладывается в процессе решения разнообразных упражнений. При этом происходит сопоставление прямой и кривой линии.

Младшие школьники должны научиться узнавать прямую линию, начерченную в любом положении на плоскости, отличать её от кривой, уметь проводить прямые, используя линейку.

В процессе выполнения упражнений, дети знакомятся с некоторыми свойствами прямой, например, упражняясь в проведении линий через точки, дети обобщают свои наблюдения: через одну точку можно провести сколько угодно прямых и кривых линий; через две точки можно провести только одну прямую линию, а кривых сколько угодно.

Непосредственно с отрезком прямой ученики познакомятся также практическим путем: фиксируют на прямой 2 точки, и педагог объясняет, что данную часть прямой от первой точки до второй именуют отрезком прямой, или кратко - отрезком, а точки - концами отрезка. Далее отрезок сопоставляют с прямой и выводят заключение, что отрезок ограничен, а прямая - ничем не ограничена, мы изображаем на листе только части прямой. До того, как объяснять младшим школьникам как измеряются отрезки, разъясняется представление о равных и неравных отрезках. Объясняется метод определения данных отношений - наложение. На следующем этапе после знакомства с см, дм, м ученики выполняют множество упражнений на измерение и черчение отрезков, решают задачи на увеличение и уменьшение отрезков на несколько единиц.

Выделяя компоненты многоугольника, ученики определяют, что стороны многоугольника - отрезки.

После того, как учащиеся познакомятся с обозначением отрезков буквами, предоставляются письменные упражнения, направленные на закрепление навыков выделения отрезков, являющихся частями других отрезков.

Например, предлагают записать все отрезки, которые имеются на чертеже, записать отрезки с началом в точке А, измерить с помощью линейки и выписать равные отрезки. (рис. 1).

Рисунок 1. Отрезок

Со временем младшие школьники понимают, что отрезок может быть общей стороной нескольких многоугольников, и, основываясь на этом, делают упражнения на построение отрезков внутри многоугольников так, чтобы при этом получались новые фигуры. Например, провести внутри пятиугольника один отрезок так, чтобы при разрезании получились треугольник и прямоугольник. (рис. 2).

Рисунок 2. Пятиугольник

Такие упражнения развивают у учеников фантазию и пространственные представления, а еще закрепляют геометрические понятия.

Понятия о многоугольнике, угле и круге складывается у учащихся постепенно в течение всего обучения в начальной школе.

Изначально, при изучении первого десятка, геометрические фигуры используются как дидактический материал. Опираясь на него, дети учатся считать, решать задачи, вычислять, составлять орнаменты, сравнивать и прочее. Попутно уточняются представления об отдельных фигурах, запоминаются их названия: круг, треугольник, квадрат.

Понятие многоугольника дается в первом классе, с прямым углом учащиеся знакомятся во втором классе, а с видами углов - в четвертом классе, понятие круг и окружность дается в 3 классе. Многоугольник - это геометрическая фигура, представляющая собой замкнутую ломанную линию.

При знакомстве с многоугольником вычленяют элементы многоугольников: стороны, углы, вершины. Рассматривают различные виды треугольников (равносторонние и разносторонние, равнобедренные) в третьем классе (рис. 3).

Рисунок 3. Виды треугольников

Далее в таком же плане рассматривают четырехугольники, пятиугольники и так далее, приурочивая эту работу к изучению соответствующих чисел в пределах первого десятка. Выделяя элементы многоугольников, учащиеся подмечают связь между числом элементов и названием фигуры.

Знакомством с прямым углом лучше начинать с практической работы. Ученики получают произвольные листы цветной бумаги, при этом их внимание обращается на то, что листы бумаги у всех различны по форме и размерам. Затем под руководством учителя они складывают листы сгибанием сначала вдвое, потом перегибают еще раз.

Учитель предлагает развернуть сложенный лист. Дети видят, что линии сгиба листа бумаги разделили его на четыре угла, у которых одна вершина - одна точка. Дети практически убеждаются в том, что все четыре угла равны между собой, так как при складывании листа бумаги по линиям сгиба углы совпадают. Учитель сообщает, что эти углы называют прямыми. При этом подчеркивается, что несмотря на различные формы листов и их размеры, получены равные углы. Это устанавливается практическим путем: с помощью наложения моделей прямых углов, взятых у разных учеников.

Пользуясь моделью прямого угла, учащиеся находят прямые и непрямые углы на окружающих предметах. В дальнейшем используют прямой угол чертежного треугольника. Для закрепления представлений прямого угла включают специальные упражнения.

Понятие угла закрепляется в дальнейшем в процессе изучения многоугольников, например, при рассмотрении прямоугольника. В основе организации деятельности учащихся, направленной на формирование представлений о прямоугольнике и квадрате, лежат определения: прямоугольник - это четырёхугольник, у которого все углы прямые, а квадрат - это прямоугольник с равными сторонами.

Использование родовых и видовых понятий способствует постепенному осознанию детьми, что любой квадрат есть прямоугольник и в тоже время не всякий прямоугольник может быть квадратом. Чтобы ученики увидели не только отличительные признаки прямоугольника и квадрата, но и их общие признаки, работу целесообразно проводить в двух направлениях: по вычленению существенных признаков прямоугольника (квадрата); по установлению связей между ними. Вычленению существенных признаков прямоугольника (квадрата) способствуют специальные задания на распознавание геометрических фигур, их моделирование и вычерчивание. Например, при ознакомлении школьников с прямоугольником используется метод практических работ в сочетании с методом беседы. На доску прикрепляются четырёхугольники (рис. 4).



Рисунок 4. Четырёхугольники

Проводится беседа:

-как можно назвать эти геометрические фигуры? (четырёхугольники),

-почему так думаете? (потому что каждая из этих фигур содержит по четыре угла, четыре вершины, четыре стороны).

-используя модель прямого угла, найдите среди этих четырехугольников четырехугольник, имеющий прямой угол.

Учитель поясняет, что четырёхугольник у которого все углы прямые, называют прямоугольниками.

Выполнение заданий на распознавание геометрических фигур не только позволяет осознать существенные признаки фигуры, но и способствует формированию наглядно - образной обобщенности.

После того как учащиеся усвоят свойство противоположных сторон прямоугольника, из множества прямоугольников вычленяют квадраты - прямоугольники с равными сторонами.

Работа на уроке так и организуется, чтобы учащиеся увидели, что квадрат это частный случай прямоугольника.

Большое значение для закрепления представлений о многоугольниках, а также для развития пространственных представлений в целом имеют задачи с геометрическим содержанием, которые включаются систематически, начиная с первого класса, а именно:

· задачи на деление заданных фигур так, чтобы получившиеся части имели указанную форму;

· задачи на составление новых фигур из данных многоугольников;

· задачи на распознавание всевозможных геометрических фигур.

В процессе решения таких задач у детей формируется умение воспринимать многоугольник, составленный из частей, и в то же время видеть многоугольники, являющиеся частями другого многоугольника, вырабатывается наблюдательность, зоркость, умение мысленно конструировать геометрические фигуры.

В 3 классе учащиеся знакомятся с окружностью и кругом. Учатся чертить окружности с помощью циркуля, знакомятся с элементами окружности и круга центром и радиусом. Все эти совпадения усваиваются детьми в процессе практических упражнений.

Сопоставив круг с многоугольником, учащиеся устанавливают, что границей многоугольника является замкнутая ломаная линия, а границей круга замкнутая кривая линия - окружность.

Чтобы учащиеся не смешивали круг с окружностью, дают специальные упражнения, например, проведите окружность и раскрасьте круг, отметьте центр круга или окружности, а также точки, лежащие внутри круга, вне круга, на окружности.

Опираясь на понятие отрезка, учащиеся 1 класса знакомятся с понятием ломаной линии. Для этого по образцу, данному учителем, предлагают учащимся построить линию из палочек или бумажных полосок. Учитель дает название новой линии. Учащиеся чертят ломаные линии. Каждый раз дети подсчитывают, сколько отрезков содержит ломаная линия и сколько у неё звеньев. Так же с опорой на практические работы вводят понятие незамкнутой и замкнутой ломаной линии. Учащиеся строят из палочек ломаную линию, находят ее начало и конец (конец последнего отрезка). Учитель дает название такой ломаной - незамкнутая, а затем предлагает по образцу соединить начало и конец незамкнутой ломаной линии. Учащиеся сами догадываются, что такая ломаная линия называется замкнутой. При этом звенья соединяют так, чтобы они кроме вершин, не имели общих точек.

В процессе упражнений устанавливают связь между замкнутой ломаной линией и многоугольником, для которого ломаная линия является границей: замкнутая ломаная линия из трех звеньев ограничивает треугольник, из четырех четырёхугольник и так далее.

Затем во втором классе учащихся знакомят с измерением ломаных линий, то есть нахождением длины ломаной линии. Для того, чтобы найти длину ломаной линии нужно измерить длину каждого звена и сложить их все. Необходимо включить достаточное количество упражнений на нахождение длины незамкнутых и замкнутых ломаных линий, которые содержать различное число звеньев.

Понятие периметра многоугольника вводится в третьем классе. Учитель поясняет, что сумма длин сторон многоугольника называется его периметром. До введения понятия периметра многоугольника после знакомства с прямоугольником, квадратом и многоугольником даются различные упражнения:

Ш начертите прямоугольник со сторонами 3 и 6 см. Укажите его противоположные стороны.

Ш найдите длину каждой стороны треугольника, изображенного на доске. Найдите сумму длин всех сторон треугольника.

Затем специально рассматривается нахождение суммы длин сторон равносторонних многоугольников, а также нахождение суммы длин сторон прямоугольника. Сумма длин сторон этих фигур дети находят сначала путем измерения их сторон и сложения полученных чисел. Но тут же обращается внимание на свойства этих фигур - равенство всех сторон или равенство противоположных сторон. Учащиеся делают вывод о возможности сократить измерения. Здесь учащиеся, кроме геометрических, закрепляют также и арифметические знания. Опираясь на чертеж, они подмечают, что можно поступить и по-другому: найти сумму длин смежных сторон, а затем умножить эту сумму на два.

В дальнейшем предлагаются упражнения вида:

Ш стороны прямоугольника равны 24 мм и 40 мм соответственно. Найдите периметр прямоугольника.

Ш поставьте в тетради точки, как показано на доске и соедини их отрезками так, чтобы получился треугольник. Найдите его периметр.

В процессе выполнения таких упражнений формируется понятие периметра многоугольника и умение находить его, а также развиваются пространственные и геометрические представления.

С площадью геометрических фигур дети знакомятся в 4 классе. Прежде всего, площадь выделяется как свойство плоских предметов среди других их свойств. В процессе изучения геометрического материала у детей уточняются представления о площади как о свойстве плоских геометрических фигур. Более четким становится понятие, что фигуры могут быть различными и одинаковыми по площади. В процессе решения задач с геометрическим содержанием учащиеся знакомятся с некоторыми свойствами площади. Они убеждаются, что площадь не изменяется при изменении положения фигуры на плоскости. дети многократно наблюдают соотношение между всей фигурой и её частями, упражняются в составлении различных по форме фигур из одних и тех же заданных частей. Ознакомление с площадью происходить так: учитель берет треугольник и круг, накладывает одну фигуру на другую и говорит: «В этом случае говорят, что площадь треугольника меньше площади круга или площадь круга больше площади треугольника». (рис. 5).

Рисунок 5. Площадь фигуры

Чтобы показать учащимся, что не всегда так легко можно определить площадь фигуры учащимся предлагают сравнить прямоугольник и квадрат, не сильно отличающихся по площади: например - квадрат 4 на 4 см, а прямоугольник - 5 на 3 см. (рис. 6)

Рисунок 6. Сравнение площадей квадрата и прямоугольника

Сначала дети пытаются определить на глаз, затем способом наложения.

Однако оба эти способа не помогают детям решить вопрос. Выслушав все ответы, учитель переворачивает другую сторону фигур и предлагает сосчитать, сколько одинаковых квадратов содержит каждая фигура. Так дети устанавливают, площадь какой фигуры больше, а какой меньше. На последующих уроках предлагается определить площадь фигур путем подсчета квадратов. Подсчитав количество квадратов, дети говорят, что площадь данной фигуры равна, например, 8 квадратам, 10 квадратам и так далее. (рис. 7).

Рисунок 7. Определение площади фигуры

1.3 Использование практической работы при изучении геометрического материала в начальной школе

Одно из главных методических требований, предъявляемых к обучению детей в начальных классах, -- усиление направленности к практической работе преподавания математики.

Выполнение стоящих перед школой задач, повышение развивающей, воспитывающей значимости обучения учеников требует определенных способов, средств и организационных форм обучения. Таким образом, при изучении геометрического материала в начальных классах более результативен метод практических работ.

Опыт демонстрирует, что при использовании практического метода получается создать у учащихся ряд мыслительных приемов, нужных для верного вычленения значительных и неважных признаков при ознакомлении с геометрическими фигурами.

Учащиеся предпочитают делать задания с использованием геометрического материала, так как данные упражнения удовлетворяют их познавательный интерес, благодаря таким видам деятельности, которые соответствуют их возрасту: рисования, вырезания, рассматривания иллюстраций, дидактической игры.

Задания с геометрическими фигурами, их формами начинают выполнять с 1-го класса с помощью игр на составление целого из частей (геометрические фигуры, изображения) и на создание картинок по образцу из геометрических фигур. К таким играм можно отнести: «Составь картинку», геометрические мозаики и многие другие. Данный вид заданий повышает развитие у учащихся сенсорных умений и навыков, а также дети учатся отличать геометрические формы.

Весьма познавательны игровые задания «Дорисуй», «Дострой». На листах представлены геометрические фигуры, и ребёнок должен дорисовать изображение предмета. За основу берутся геометрические формы, с помощью которых учащийся должен воспроизвести картинку до конца. Использование игр на составление изображений предметов на плоскости, домов, деревьев, дорог, предметов домашнего обихода из специальных наборов геометрических фигур. Игра «Танграм» и «Пифагор».

Ребенка привлекает итог - сопоставить увиденное на образце, с тем что получается у него в конце работы.

Очень большую значимость в формировании пространственных представлений играет добавление понятия - осевая симметрия. Ученики учатся искать на предложенных вариантах работ пары симметричных точек и строить симметричные фигуры.

В особенности учащиеся любят графические диктанты, в которых нужно нарисовать предмет по образцу или более сложная задача от заданной точки нарисовать предмет под диктовку учителя.

Начиная знакомство с квадратом, прямоугольником и прямым углом важно организовать изучение этих фигур так, чтобы ученики смогли выделить их существенные и несущественные признаки.

При изучении прямого угла проводится следующая практическая работа: перед началом урока на столы раскладывают бумагу разного цвета, размера, возможно даже бумага с неровными краями.

Педагог предлагает взять любую бумагу и сложить её пополам, при этом делая тоже самое вместе с детьми. Далее складывает этот же лист пополам еще раз. (рис.8).

Рисунок 8. Нахождение прямого угла

Учитель объясняет, что получилось модель прямого угла, также показывая его вершину и стороны. Следующий этап - это самостоятельная работа детей, под руководством учителя. Далее происходить закрепление полученного материала с помощью многократного повторения при помощи наложения получившегося у ученика примера - с чертежным треугольником или линейкой треугольной формы. Закрепление знаний о прямом угле можно проводить с помощью карточек, на которых изображены различные геометрические фигуры. Детям дают возможность найти в каждой фигуре прямые углы, если таковые имеются и раскрасить найденные углы цветными карандашами. Каждый ученик получает карточку, на которой изображены геометрические фигуры разного цвета. Предлагается с помощью модели прямого угла найти в каждой фигуре прямые углы и отметить их. Выполняя это задание, учащиеся цветными карандашами закрашивают прямые углы. (рис. 9).

Рисунок 9. Найти прямой угол

При изучении главных признаков прямоугольника и квадрата нужно организовать их изучение также при помощи практических заданий, направленных на изучение и последующее закрепление знаний о данных геометрических фигурах.

Приведем пример одного практического упражнения игрового характера при изучении данной темы - «убери лишнее». Данное задание направлено на определение существенных и несущественных признаков прямоугольника. (рис. 10).



Рисунок 10. Признаки прямоугольника

Также следует провести беседу с учащимися, задавая следующие вопросы:

-Как называются фигуры, которые вы видите на рисунке?

-Что общего у этих многоугольников?

-Какая из фигур на рисунке 10 не похожа на все остальные?

-Почему вы так думаете? (после ответа, следует убрать (закрыть) лишнюю фигуру).

-Что общего у тех фигур, которые остались на картинке?

Подобные упражнения помогает осознать 1-ый существенный признак: прямоугольник - это четырёхугольник.

Для того, чтобы закрепить 2-ой существенный признак прямоугольника: прямоугольник - четырёхугольник, у которого все углы прямые, можно провести игру.

На доске появляются четырехугольники с разными сторонами, разного цвета, и несколько геометрических фигур не прямоугольники. (рис. 11)



Рисунок 11. Четырёхугольники

Проводится беседа, в которой педагог подчеркивает, что не каждый четырёхугольник может быть прямоугольником, для этого у четырёхугольника все углы должны быть прямыми. Далее закрепляется несущественные признаки:

-прямоугольники могут быть разного цвета;

-могут быть сделаны из разного материала;

-могут отличаться размерами;

-по-разному располагаться на поверхностях.

И напоминается о том, что все прямоугольники можно считать многоугольниками.

В дальнейшем уяснению существенных признаков многоугольников помогают следующие задания:

§ разрезание бумажных фигур на части;

§ выделение из фигуры сложной формы знакомые фигуры. Например, учащиеся находят 2 треугольника, 4 четырехугольника, один из которых - квадрат. (рис. 12)

§ Конструирование фигур различной геометрической формы из других геометрических фигур.



Рисунок 12. Выделение фигур

2. Методические особенности изучения геометрического материала в начальной школе

2.1 Общие вопросы методики изучения элементов геометрии в начальной школе

Принципиальным условием, обеспечивающим полновесную реализацию целей обучения арифметике, является не только правильное, осмысленное учителем преподавание учебного материала, но и умение самостоятельно отобрать необходимый учебный материал. Плохое качество геометрических познаний - итог, отображающий не столько ограниченные познавательные возможности младших школьников, сколько недочёты, относящиеся к реализации программы, содержанию преподаваемого геометрического материала в системе его исследования, принятой тем или другим учителем. Любой педагог должен быть знаком с главными аспектами, позволяющими не допускать ошибок при отборе геометрического материала. Мы рассмотрим, как авторы разных учебных пособий формируют геометрический материал.

Проанализировав методики М.И. Моро, Л.Г. Петерсон, И.И. Аргинской, мы выделили их общие черты.

Геометрический материал во всех методиках изучается в течении всего учебного года, не выделяясь в отдельно, а переплетается с изучением главного- арифметического материала. Так, с самого истока геометрические фигуры и их элементы используются в качестве объектов для счета предметов, служат средством наглядности.

После ознакомления с измерением длины отрезка решаются задачи на нахождение суммы и разности двух отрезков, длины ломаной.

Представлений о разных геометрических фигурах и их свойствах формируются у детей равномерно. Это такие фигуры как точка, линии (кривая, прямая, замкнутая, незамкнутая, отрезок, ломаная), многоугольники различных видов.

В учебнике М.И. Моро для 4 класса геометрический материал присутствует практически на каждом уроке. Его взаимосвязь с арифметикой, конечно, не так ограничена, однако всегда, когда это можно сделать, она просматривается. Эта связь двусторонняя. Модели геометрических фигур постоянно используются в качестве наглядной основы при изучении счета, при ознакомлении с числами, арифметическими действиями и их свойствами. Моделирование с помощью отрезков незаменимо при обучении решению текстовых задач.

При изучении темы «Числовые выражения» на полях учебника дается чертеж прямоугольников. Например, рассмотри чертеж на полях, выпиши названия всех прямоугольников и найди их площадь. (рис. 13).

Рисунок 13. Чертёж прямоугольника

Начертите прямоугольник, ширина которого равна 3 см, а длина его в 2 раза больше. На сколько сантиметров длина данного прямоугольника больше его ширины?

В учебнике представлены задания на распознавание известных детям фигур не только в отдельно, но и в условиях сопоставления их с другими.

· выпишите названия всех многоугольников, изображенных на чертеже.

· найдите периметр и площадь квадрата АВСD. (рис. 14).

Рисунок 14. Многоугольник

Мы видим и большое количество обратных заданий -- когда нужно составить фигуру заданного вида из нескольких данных.

· Узнай площадь прямоугольника, который можно составить из всех этих фигур.

· Вырежи такие фигуры, составь из них прямоугольник и вычисли его площадь. (рис. 15).

Рисунок 15. Составление фигуры

Эти упражнения необходимы для развития у детей пространственных представлений, для дальнейшего изучения геометрии в старших классах.

Много упражнений на измерение и черчение, требующих использование линейки, чертежного треугольника и циркуля.

Наряду со свойствами сторон прямоугольника дети знакомятся со свойствами диагоналей прямоугольника и квадрата. На эту тему отводится 2 урока. Это дает возможность еще раз подчеркнуть, что прямоугольник и квадрат являются родовым и видовым понятиями. Это существенно, так как в первичном представлении детей прямоугольник и квадрат воспринимаются равноправными различными фигурами, как и другие виды многоугольников. Знание детьми свойств сторон и диагоналей прямоугольника и квадрата позволило показать, как можно построить эти фигуры на нелинованной бумаге с помощью циркуля и линейки, без использования чертежного угольника.

Как было показано, геометрический материал во многих случаях удается связать с арифметическим. Однако в целом он раскрывается в собственной логике, параллельно с другими вопросами курса.

В учебнике И.И. Аргинской «Математика» 4 класс, геометрический материал проходит через весь курс 4-го класса, выполняя задачи: расширения понятий о геометрии и задачу расширения математических понятий.

Так как площадь фигур является одной из главных тем элементов геометрии в 4-м классе, в учебнике этой теме посвящено большое количество заданий. (рис. 16)

· Начертите прямоугольник ABCD и проведите отрезок АС (отрезок АС - диагональ прямоугольника).

· На какие фигуры диагональ поделила прямоугольник?

· Сделайте самостоятельно такой прямоугольник, разрежьте его и убедитесь, что получившиеся треугольники равны.

· Найдите площадь прямоугольника.



Рисунок 16. Прямоугольник

Шар, призма, пирамида, конус, цилиндр - основные пространственные фигуры, с которыми продолжается работа в 4-м классе.

В самом начале четвертого класса школьники возвращаются к сравнению фигур между собой, ищут их сходства и различия. Основная цель такой работы закрепление понятий и свойств таких фигур.

Совершенно новым является включение в программу 4-го класса знакомство с изображением трех видов пространственной фигуры: сбоку, сверху, сзади.

Основной из причин включения этого материала в программу 4-го класса является развитие пространственного воображения детей.

В третьем классе ученики познакомились с числовым лучом, научились находить на нем точки с заданными координатами, выполнять обратную к ней операцию - определять координаты заданных на луче точек, а также проводилась работа над вопросом рационального выбора единичного отрезка В начале 4-го класса продолжается работа в этих направлениях.

Однако, уже в другом задании перед учениками возникает совершенно новая проблема - восстановление начала координатного луча и единичного отрезка по заданным координатам отмеченных на нем точек.

· Что изображено на чертеже? (рис. 17).



Рисунок 17. Луч со стертым началом

· Верно ли, что это числовой луч со стертым началом?

· Подумай, можно ли восстановить его начало? Как ты предлагаешь это сделать?

· Попытайся восстановить начало луча своим способом.

Последний небольшой, но важный вопрос, продолжение которого не- обходимо проследить, касается построения треугольников по заданным его элементам. В начальной школе мы считаем необходимым рассмотреть случаи, связанные с классическими признаками равенства треугольников - построить треугольники по стороне и двум прилегающим к ней углам, по двум сторонам и углу между ними и по трем сторонам. Построения с помощью циркуля и линейки без делений и транспортира.

По методике Л.Г. Петерсон уже в 1 классе учащиеся знакомятся с такими общими понятиями, как область, граница, сеть линий и другими.

В учебнике Л.Г. Петерсон отрезки и фигуры разбиваются на части. При этом возникают те же самые соотношения между частью и целым, которые дети встречали при сложении и вычитании конечных совокупностей.

Рисунок 18. Отношение между целым и частью

Особое внимание при изучении геометрического материала уделяется на вычерчивание фигур на бумаге в клетку, а также измерениям, например, находить длину отрезка.

По методикам М.И. Моро и Л.Г. Петерсон определения понятий детям не сообщаются, однако указываются существенные признаки, которые фактически отражают содержание этих понятий. Дети учатся практически использовать соответствующие признаки при узнавании различных фигур, их классификации.

Во всех трех рассмотренных нами программах при изучении представлений о геометрических фигурах большое внимание уделяется практическим упражнениям, связанным с:

Ш построением, вычерчиванием и преобразованием одних фигур в другие; рассмотрением некоторых свойств изучаемых фигур;

Ш упражнениями, направленными на развитие арифметической зоркости (умение узнавать геометрические фигуры на сложном чертеже);

Ш составлением геометрических фигур из частей, разделять на заданные части;

Ш конструированием фигур из полочек.

Н.Б. Истомина обращает внимание на то, что «успешное формирование такого абстрактного понятия, как геометрическая фигура, зависит от многообразия представлений, накопленных учащимися, и не только на уроках математики, но и на других уроках. Поэтому учитель, максимально используя опыт детей, должен использовать разнообразные предметы, с помощью которых уточняются и усваиваются соответствующие геометрические образы и понятия о точке, отрезках и так далее. При этом система упражнений и задач геометрического содержания и методика работы над ними должны способствовать развитию пространственных представлений у детей, умений наблюдать, сравнивать и обобщать».