Дифференциация в процессе обучения математике

- Значительно улучшается четкость в организации работы класса;

- Так как каждый ученик работает на посильном для него уровне трудности, он лучше осознает свои ближайшие цели и задачи;

- Четкость в работе дает возможность постоянно контролировать знания, умения и навыки;

- Наличие сильных учеников как группы позволяет постоянно продумывать работу с ними, учитывать возможности их развития.

На основе вышесказанного можно заключить, что педагоги-математики, использующие дифференциацию при обучении школьников, отмечают его эффективность и целесообразность применения в школе.

2.2. Анализ опытной работы по дифференциации обучения математике в 11 классе мсош п. Кордяга.

Опытная работа по дифференциации осуществлялась в 11 классе мсош поселка Кордяга. Данная работа проводилась в несколько этапов. На первом этапе была проведена диагностическая работа по выявлению индивидуальных особенностей каждого школьника, были выделены временные типологические группы для работы на уроках и составлен план дифференцированного обучения. Вторым этапом опытной работы было проведение уроков с использованием дифференциации. На заключительном, третьем этапе, были проведены проверочные работы для оценки результатов примененной системы обучения. Теперь подробнее о каждом этапе.

1 этап:

В 11 классе мсош поселка Кордяга учится 8 учеников, из них - 3 мальчика, 5 девочек. Возраст учеников - 15-16 лет. В целом, класс успевающий. Большинство учеников класса имеют достаточные знания в области математики, свободно на них опираются при изучении нового материала, при решении примеров. Это ученики с высоким и средним уровнем обученности. Но кроме них имеются 2 ученика, которым необходимо пристальное внимание со стороны учителя математики, так как они имеют пробелы в знании программного материала, часто не могут применить имеющиеся знания на практике, то есть обладают низким уровнем обученности. Эти данные получены с помощью изучения оценок по математике в классном журнале, а также из беседы с учителем математики, который на основе своего опыта работы с данным классом дал сведения об уровне подготовки каждого ученика в области математики. Распределение учащихся по уровням обученности отражено в таблице.

Уровень обученности.

Фамилия ученика	Высокий уровень обученности	Средний уровень обученности	Низкий уровень обученности
Апиркян Р.		+
Бушмакина Е.		+
Зорин Я.	+
Крестьянинов В.	+
Скрябина О.	+
Слуднев С.	+
Черепанова Я.			+
Штинова М.			+

Пояснение к таблице:

-Высокий уровень обученности - ученик в любой ситуации учебного процесса демонстрирует высокие знания ранее изученного материала, высокий уровень математических умений и навыков;

-Средний уровень обученности - ученик не всегда располагает необходимым фондом знаний, умений и навыков при изучении математики;

-Низкий уровень обученности - школьник, имея ограниченный фонд знаний, умений и навыков.

Кроме того, установлено, что более половины учеников класса имеют уровень обучаемости, достаточный для глубокого изучения программного материала. В качестве метода исследования обучаемости был выбран анализ процесса решения экспериментальных задач. Задания были подобраны так, чтобы они требовали не воспроизведения известных алгоритмов решения, а самостоятельного нахождения пути решения задачи. Ученикам была предложена самостоятельная работа из 3-х заданий, а также числовой тест (см. приложения 1 и 2).

По результатам этих работ была составлена таблица.

Уровень обучаемости.

Фамилия ученика	Высокий уровень обучаемости	Средний уровень обучаемости	Низкий уровень обучаемости
Апиркян Р.		+
Бушмакина Е.		+
Зорин Я.	+
Крестьянинов В.	+
Скрябина О.	+
Слуднев С.		+
Черепанова Я.			+
Штинова М.			+

Пояснение к таблице:

-Высший уровень обучаемости - ученик свободно анализирует материал, обладает способностью самостоятельно найти путь решения задачи нового типа;

-средний уровень обучаемости - ученик испытывает трудности в анализе материала, решении задач нового типа, но с помощью учителя справляется с заданием;

- низкий уровень обучаемости - ученик испытывает большие трудности в анализе материала, слабо владеет или совсем не владеет умениями и навыками умственного труда, не способен выполнить задание, требующее самостоятельного нахождения пути решения.

На основании вышеприведенных данных можно выделить следующие группы в классе:

1 группа - обладающие высоким уровнем математических знаний, умений и навыков, самостоятельно и творчески мыслящие (Зорин, Крестьянинов, Скрябина).

2 группа - обладающие достаточно хорошим уровнем математических знаний, умений и навыков, но испытывающие трудности при решении задач нового типа (Апиркян, Бушмакина, Слуднев).

3 группа - имеющие низкий уровень математических знаний, умений и навыков, не способные решить новую задачу (Черепанова, Штинова).

Характеризуя отношение к учению, интересы и склонности учеников данного класса, нужно отметить следующее. Лишь одна ученица класса-Скрябина Оксана - имеет прочный устойчивый интерес к математике. Девочка даже в свободное время с большим желанием решает математические задачи, любит преодолевать трудности при выполнении различных примеров. Она выбрала для себя профессию учителя математики.

Диагностика уровня интереса учащихся к предмету была проведена с помощью учителя математики, который охарактеризовал всех учеников по нескольким показателям. Все данные отражены в таблице «Уровень сформированности качеств, характеризующих интерес к математике», приведенной ниже.

Уровень сформированности качеств, характеризующих интерес к математике.

Показатель Фамилия	Наличие самостоятельности при решении познавательных задач	Отношение к творческим поисковым задачам	Осведомленность в области математики
Апиркян Р.	1	1	2
Бушмакина Е.	2	1	2
Зорин Я.	2	3	3
Крестьянинов В.	2	2	3
Скрябина О.	3	3	3
Слуднев С.	1	2	3
Черепанова Я.	1	2	1
Штинова М.	1	1	1

Пояснение к таблице.

Наличие самостоятельности при решении познавательных задач:

1- ученик не может работать без помощи учителя.

2- ученик проявляет интерес к самостоятельной работе в зависимости от ситуации при наличии контроля со стороны учителя.

3- ученик всегда проявляет высокую самостоятельность, стремится сам разобраться в трудных вопросах.

Отношение к творческим поисковым задачам:

1-ученик не любит решать сложные задачи, при малейших трудностях пасует.

2- ученик любит решать творческие поисковые задачи, но, испытав затруднение при решении, сразу обращается за помощью к товарищам или учителю.

3- ученик с большим желанием решает сложные задачи, любит преодолевать трудности.

Осведомленность в области математики:

1-низкий уровень математических знаний, умений и навыков.

2-средний уровень математических знаний, умений и навыков.

3-высокий уровень математических знаний, умений и навыков.

На основании данной таблицы, с учетом классификации Г.И.Щукиной (см. пункт 1.2) ученики были распределены по уровням познавательного интереса.

Уровень познавательного интереса.

Фамилия ученика	Высокий уровень познавательного интереса	Средний уровень познавательного интереса	Низкий уровень познавательного интереса
Апиркян Р.			+
Бушмакина Е.		+
Зорин Я.	+
Крестьянинов В.	+
Скрябина О.	+
Слуднев С.		+
Черепанова Я.			+
Штинова М.			+

2 этап:

Дифференциация осуществлялась на уроках по следующим темам (описание уроков см. в приложениях):

Алгебра:

- Таблица первообразных (1 урок).

- Правила нахождения первообразных (2 урока).

Геометрия:

- Простейшие задачи в координатах (2 урока).

Занятия были построены с учетом различий в уровнях знаний и способностей учащихся. Одной из целей уроков было развитие интереса к математике, которому способствовали необычные формы проведения уроков, личное участие каждого ученика в работе, чувство ответственности, осознание каждым учеником своей возможности чего-то достичь.

Приведем пример использования дифференциации на конкретном уроке.

Урок «Правила нахождения первообразных».

Цель урока: выработка умений находить первообразную, график которой проходит через данную точку и первообразные в случаях, непосредственно сводящихся к применению таблицы первообразных и трех правил нахождения первообразных.

На этом уроке дифференциация применяется на этапе закрепления изученного материала (дифференцированно-групповая работа).

Учащиеся рассаживаются по группам (группы 1,2,3 (см. пункт 1.2)).

Каждой группе выдается карточка. Дается следующая устная инструкция по выполнению заданий: « Познакомьтесь с заданием, затем приступайте к решению. Если результат у всех одинаковый, то решайте другую задачу. Если кто-то получил другой результат, чем другие, он должен объяснить, как решал и по возможности найти ошибку. При необходимости можно помочь ему. Если получено несколько разных ответов, то все члены группы еще раз анализируют весь ход решения».

Карточка группы 1:

1. Для функции f найдите первообразную, график которой проходит через данную точку:

f(x)= М (;3)

2. Докажите, что разность первообразных для функции f(x)=2- sin2x в точках М(1;3), N(2;4) равна 4.

3. При каких а функция F=xsinx+acosx является первообразной для функции F=xcosx?

Карточка группы 2.

1.Для функции f найдите первообразную, принимающую заданное значение в данной точке:

f(x)=4x+1/x² F(-1)=4

2.Для функции f найдите 2 первообразные, расстояние между соответствующими точками графиков которых (т.е. точками с равными абсциссами) равно а:

f(x)=2-sinx a=4

3.Найти общий вид первообразных для функции f(x)=(5+2x)⁶

Карточка группы 3.

1. Для функции f найдите первообразную, принимающую заданное значение в данной точке:

f(x)=x³ F(-1)= 2.

2. Для функции f найдите первообразную, график которой проходит через данную точку:

f(x)=3x²-2x+4 M (-1;1)

3. Найти общий вид первообразных для функции f(x)=(3+2x)²

Описания остальных уроков приведены в приложениях.

3 этап:

На завершающем этапе исследования с учениками были проведены 2 работы:

- контрольная работа по геометрии;

- самостоятельная работа по алгебре (см. приложения).

Обе работы требовали применения полученных знаний, умений, навыков и содержали как задания на воспроизведение известных алгоритмов решения, так и задачи на самостоятельный творческий поиск решения. По итогам проверки этих работ и обобщения их результатов было снова составлено распределение школьников по уровням обученности и обучаемости:

Уровень обученности.

Фамилия ученика	Высокий уровень обученности	Средний уровень обученности	Низкий уровень обученности
Бушмакина Е.	+
Апиркян Р.		+
Зорин Я.	+
Крестьянинов В.	+
Скрябина О.	+
Слуднев С.	+
Черепанова Я.		+
Штинова М.		+

Уровень обучаемости.

Фамилия ученика	Высокий уровень обучаемости	Средний уровень обучаемости	Низкий уровень обучаемости
Апиркян Р.		+
Бушмакина Е.		+
Зорин Я.	+
Крестьянинов В.	+
Скрябина О.	+
Слуднев С.	+
Черепанова Я.		+
Штинова М.			+

Сравним результаты до проведенной работы и после нее:

Количество учеников Уровень обученности	До проведения опытной работы	После проведения опытной работы
высокий	4	5
средний	2	3
низкий	2	0

Количество учеников Уровень обучаемости	До проведения опытной работы	После проведения опытной работы
высокий	3	4
средний	3	3
низкий	2	1

Для диагностики уровня познавательного интереса в конце исследования была вновь составлена таблица:

Уровень сформированности качеств, характеризующих интерес к математике.

Показатель Фамилия	Наличие самостоятельности при решении познавательных задач	Положительное отношение к творческим поисковым задачам	Осведомленность в области математики
Апиркян Р.	2	2	2
Бушмакина Е.	2	2	2
Зорин Я.	3	3	3
Крестьянинов В.	2	3	3
Скрябина О.	3	3	3
Слуднев С.	2	2	3
Черепанова Я.	1	3	2
Штинова М.	1	1	2

Также вновь произведено распределение школьников по уровням познавательного интереса, и результаты сравнены с результатами до проведения опытной работы.

Уровень познавательного интереса.

Фамилия ученика	Высокий уровень познавательного интереса	Средний уровень познавательного интереса	Низкий уровень познавательного интереса
Апиркян Р.		+
Бушмакина Е.		+
Зорин Я.	+
Крестьянинов В.	+
Скрябина О.	+
Слуднев С.	+
Черепанова Я.		+
Штинова М.			+

Сравним:

Количество учеников Уровень познавательного интереса	До проведения опытной работы	После проведения опытной работы
Высокий	3	4
Средний	2	3
Низкий	3	1

Анализ таблиц, сравнивающих уровни развития исследуемых показателей до и после проведения опытной работы, позволяет сделать следующие выводы: после применения дифференциации на уроках в классе, в целом, повысился уровень знаний, умений и навыков учащихся; возрос уровень обученности в классе и уровень познавательного интереса.

Наиболее заметное влияние дифференциация обучения оказала на уровень обученности учеников. Работа каждого ученика на посильном для него уровне трудности привела к тому, что школьники, отнесенные нами до проведения дифференциации в группу с низким уровнем обученности, перешли теперь в группу со средним уровнем обученности. Кроме того, повысилось количество учащихся, чей уровень знаний и умений можно определить как высокий.

Уровень обучаемости в классе изменился незначительно, но, тем не менее, в лучшую сторону: два ученика перешли в группы более высокого уровня - один из группы среднего уровня обучаемости в группу высокого уровня, другой - из группы низкого уровня в группу среднего уровня обучаемости. В целом, в классе увеличилось число учащихся, способных самостоятельно или при небольшой помощи учителя проработать новый учебный материал, найти алгоритм решения новой задачи.

Изменение уровня познавательного интереса выразилось в том, что большая часть учеников класса стала с большим желанием решать сложные задачи, преодолевать трудности, с увлечением самостоятельно работать.

На основе вышесказанного можно сделать вывод, что дифференциация, примененная на уроках математики в 11 классе, способствовала повышению эффективности процесса обучения.

Заключение.

Исследование дифференциации в обучении математике показало, что изучение этого вопроса является в настоящее время очень актуальным.

В ходе работы мы определили, что дифференциация - это такая система обучения, которая ставит своей целью создание оптимальных условий для выявления задатков, развития интересов и способностей, она характеризуется формированием групп учащихся, сходных по какому-либо комплексу свойств и качеств, среди которых основными являются обученность, обучаемость, познавательный интерес. Было установлено, что современная школа предоставляет большие возможности для использования дифференциации. Число и разнообразие способов реализации дифференцированного подхода в школе зависит от творческой направленности учителя, от его педагогического мастерства, от умения работать сразу со всем классом и с каждым учеником в отдельности.

В ходе исследования было выяснено, что педагоги-математики, использующие дифференциацию в обучении школьников, отмечают его эффективность и необходимость применения в школе.

Опытная работа, в ходе которой были применены на практике некоторые из способов реализации дифференцированного обучения (дифференцированно-групповая работа, индивидуализированная самостоятельная работа), привела к следующим результатам:

Количество учеников Уровень обученности	До проведения опытной работы	После проведения опытной работы
высокий	4	5
средний	2	3
низкий	2	0
Количество учеников Уровень обучаемости	До проведения опытной работы	После проведения опытной работы
высокий	3	4
средний	3	3
низкий	2	1

Количество учеников Уровень познавательного интереса	До проведения опытной работы	После проведения опытной работы
Высокий	3	4
Средний	2	3
Низкий	3	1

Итак, опытная работа способствовала тому, что в классе, в целом, повысился уровень знаний, умений и навыков учащихся; возрос интерес школьников к математике, повысились способности учеников к глубокому изучению программного материала, то есть можно заключить, что гипотеза, выдвинутая в начале нашего исследования, о том, что эффективность обучения повысится, если будет использоваться дифференциация, подтвердилась.

Библиографический список.

1) Айзенк Г.Ю. Проверьте свои способности.- СПб.: Лань,1999.-160 с..

2) Акимова М.К. ,Козлова В.Т. Индивидуальность учащегося и индивидуальный подход. - М.: Знание, 1992.- 80с.

3) Болтянский В.Г., Глейзер Г.Д. К проблеме дифференциации школьного математического образования.// Математика в школе.-1989.-№3-с.9-10.

4) Бабанский Ю.К. Оптимизация процесса обучения.-М.: Педагогика, 1977.

5) Бударный А.А. Пути и методы предупреждения и преодоления неуспеваемости и второгодничества. Кандидатская диссертация. М.1963.

6) Волковысский Р.Ю., Темкина Д.А. Организация дифференцированной работы учащихся при обучении.- М.: Просвещение, 1993.-110с.

7) Гильбух Ю.З. Внимание: одаренные дети. - М.: Знание, 1991.-79с.

8) Гингулис Э.Ж. Развитие математических способностей учащихся.// Математика в школе.-1990, № 1.

9) Гусев В.А. Индивидуализация учебной деятельности учащихся как основа дифференцированного обучения математике в средней школе.// Математика в школе.-1990.-№4.

10) Дорофеев Г.В. Дифференциация в обучении математике.// Математика в школе.-1990.№6.-С.15-20.

11) Злоцкий Г.В. Широкий спектр средств дифференциации.// Математика в школе.-1991.-№5

12) Калмыкова З.И. Психологические принципы развивающего обучения.- М.: Знание, 1979.-126с.

13) Калмыкова З.И. Проблема преодоления неуспеваемости глазами психолога. - М.: Знание, 1982.-96с.

14) Калмыкова З.И. Продуктивное мышление как основа обучаемости. - М.: Педагогика, 1981.-200с.

15) Косенкова Т.А. Из опыта работы со слабыми учащимися.// Математика в школе.-1991.№2-с.12-13.

16) Крутецкий В.А. Психология математических способностей.- М.: Просвещение, 1968.-467с.

17) Лийметс Т.В. Групповая работа на уроке. - М.: Знание, 1975.-300с.

18) Малофеев Р.И. Проблемное обучение в средней школе.- М.: Просвещение, 1996.-207 с.

19) Машарова Т.В. Педагогическая технология: личностно-ориентированное обучение. Учебное пособие.- М.: Педагогика ПРЕСС, 1999.-144с.

20) Монахов В.Л., Орлов В.А., Фирсов В.В. Дифференцированное обучение в средней школе.// Cоветская педагогика, 1990. №8.

21) Общая психология / под ред. А.В.Петровского.- М: Просвещение, 1986.- 464с.

22) Охитина Л.Т. Психологические основы урока.- М.: Просвещение, 1977.-96с.

23) Петрова Е.С. Дифференцированное обучение. 1 сентября.-2001,№ 16-с.7-12.

24) Рабунский Е.С. Индивидуальный подход в процессе обучения школьников.- М.: Педагогика, 1975.-82с.

25) Ромашко И.В., Винник В.М. Технология работы в разноуровневых группах.// Математика в школе.-1996, №4.-с.40-41.

26) Самоволов П.К. К проблеме дифференциации обучения.// Математика в школе.-1991.-№4.

27) Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. -М.: Просвещение, 1995.-238с.

28) Сухомлинский В.А. Избранные произведения: в 5 т. - Киев: Радянська школа, 1979-1980.

29) Тимощук М.Е. О дифференцированной помощи учащимся при решении задач//Математика в школе.1990.№3.-с.13-15

30) Унт И.Э. Индивидуализация и дифференциация обучения.- М.:Педагогика,1990. -191с.

31) Утеева Р.А. Формы учебной деятельности учащихся на уроке.// Математика в школе.-1995, №2.-с.33-34.

32) Утеева Р.А. Дифференцированные формы учебной деятельности учащихся.// Математика в школе,№5-с.32-33.

33) Ушинский К.Д. Сочинения. М.- С.-П: АПН РСФСР,1949.

34) Чередов И.М. Формы учебной работы в средней школе.- М.: Просвещение,1988.-159с.

35) Чередов И.М. О дифференцированном обучении на уроках.- М.: Просвещение,1973.-155с.

36) Чередов И.М. Система форм организации обучения в советской общеобразовательной школе. - М.: Педагогика, 1987.-151с.

37) Черникова Т.М. Уроки в парах сменного состава.// Математика в школе.-1995, № 2.-с.45-46.

38) Шахмаев Н.И. Учителю о дифференцированном обучении.- М.: АПН СССР,1989.-231с.

39) Щукина Г.И. Проблемы познавательного интереса в педагогике. - М.: Педагогика,1971.

40) Юркина С.Н. О дифференцированном обучении математике.// Математика в школе.-1990,№3.-с.13-14.

41) Якиманская И.С. Личностно-ориентированное обучение в современной школе. - М.:-Сентябрь,1996.-96с.

42) Якиманская И.С. Развивающее обучение. - М.: Педагогика, 1979.-144с.

Приложение 1.

Числовой тест.

1. Продолжите числовой ряд:

18 20 24 32 …

2. Вставьте недостающее число:

3. Вставьте недостающее число:

4. Продолжите числовой ряд:

212  179 146 113 …

5. Продолжите числовой ряд:

64 48 40 36 34 …

6. Вставьте недостающее число:

2	6
54	18
?	9
81	27

7. Вставьте пропущенное число:

341 (250) 466

282 ( … ) 398

8. Вставьте пропущенное число:

9. Продолжите числовой ряд:

7 19 37 61 …

10. Вставьте пропущенное число:

8 5 2

4 2 0

9 6 ?

Приложение 2.

Самостоятельная работа.

1. Восстановите пропущенные цифры в записи умножения:

9 5

* *

* * 5

* *

* * 3 *

2. Найдите сумму целых чисел от 1 до 50 хотя бы двумя способами.

3. Число 64 представлено в виде суммы двух положительных слагаемых так, что сумма их квадратов минимальна. Найдите эти слагаемые.

 Приложение 3.

Пример применения дифференциации на уроке по теме «Таблица первообразных».

Цель урока: научить с помощью таблицы находить общий вид первообразной, закрепить этот навык при решении упражнений.

На этом занятии дифференциация используется при изучении нового материала. В начале урока вызываются к доске трое учащихся сильной группы 1.

Задание: найти первообразные для данных функций:

1 ученик: у=хⁿ

y=1/cos²x

2 ученик: y=

y=sinx

3 ученик: y=cosx

y=1/sin²x

В это время с остальными учениками класса проверяется домашнее задание, а затем устно находится первообразная функции y=k.

Далее проверяется правильность выполненных у доски заданий таким образом: по очереди выходят к доске ученики групп 2 и 3, каждый проверяет правильность одной из найденных первообразных, обосновывая свои действия ссылкой на соответствующие определения, правила и т.п.

Затем таблица первообразных заносится в тетради.

Приложение 4.

Пример применения дифференциации на уроке по теме «Правила нахождения первообразных» (урок 1).

Цель: рассмотреть правила нахождения первообразных и поупражнять учащихся в их применении.

После рассмотрения правил нахождения первообразных ученики группы 1 сразу же приступают к решению задач из учебника (Колмогоров А.Н. «Алгебра и начала анализа. 11 класс» - №342(а,в), №343(а,г), №344(б,г), №346(а)). С учащимися групп 2 и 3 повторно рассматривается каждое правило и решается пример, иллюстрирующий это правило. Затем группа 2 также приступает к самостоятельному решению задач из учебника, а ученики группы 3 по очереди решают номера из учебника у доски, поясняя каждое свое действие.

Задания.

Найдите общий вид первообразных для функции f:

№342.

а) f(x)=2-x³+1/x³

в) f(x)=1/x²-sinx

№343

а) f(x)=(2x-3)⁵

г) f(x)= -1/3cos(x/3-п/4)

№344

б) f(x)=2/cos²(п/3-x)

г) f(x)= -2/x⁵+1/cos²(3x-1)

№346

а) f(x)=1-cos3x+2sin(п/3-x).

Приложение 5.

Пример применения дифференциации на уроке по теме «Простейшие задачи в координатах» (урок 1).

Цель урока: рассмотреть формулу нахождения координат середины отрезка, нахождения длины вектора по его координатам, нахождения расстояния между двумя точками. Научить учащихся применять формулы для решения задач.

На этапе закрепления изученного материала проводится дифференцированно-групповая работа (см п.2.2-пример применения дифференциации на уроке «Правила нахождения первообразных»)

Карточка группы 1.

1. Середина отрезка АВ лежит на оси Ох. Найдите m и n, если:

А(-3;m;5), В(2;-2;n).

2. Точка М - середина отрезка АВ. Найдите координаты точки А, если В(0;0;2), М(-12;4;15).

3. Даны точки А(3/2;1;-2), B(2;2;-3), C(2;0;-1). Найдите периметр треугольника АВС и длины его медиан.

Карточка группы 2.

1. Точка М - середина отрезка АВ. Найдите:

а) координаты точки М, если А(0;3;-4), В(-2;2;0)

б) координаты точки В, если А(14;-8;5), М(3;-2;-7)

2. Даны векторы а{5;-1;7}, b{0;-3;4}.

Найдите:

а) ¦a¦

б) ¦a+ b¦

3. Найдите длину вектора АВ, если А(-35;-17;20), В(-34;-5;8).

Карточка группы 3.

1. Точка М - середина отрезка АВ. Найдите координаты точки М, если:

а) А(0;3;-4), В(-2;2;0)

б) А(1;-2;-4), В(8;2;2)

2. Найдите длины векторов

а) а{5;-1;7}

б) b{0;-3;4}

3. Найдите длину вектора АВ, если А(-1;0;2), В(1;-2;3).

Приложение 6.

Пример применения дифференциации на уроке по теме «Простейшие задачи в координатах» (урок 2).

Цель урока: закрепить навыки нахождения координат середины отрезка, нахождения длины вектора по его координатам, нахождения расстояния между двумя точками.

После проверки домашнего задания организуется индивидуализированная самостоятельная работа. Каждый ученик получает карточку, в зависимости от того, в какую группу он входит.

Карточка группы 1.

1.Заданы координаты точек A(-1;2;3), B(1;-4;1), C(1;-3;2), D(0;1;0). Найти расстояние между серединами отрезков АВ и СD.

2.Найти длины векторов а = i+j+k, d = -2k.

3. Точки A(2;4;-4), B(1;1;-3), C(-2;0;5) являются вершинами параллелограмма ABCD. Найдите координаты точки D.

Карточка группы 2.

1. Найти длину вектора 3а-b, если а{2;3;2}, b{-1;-2;1}.

2. Даны точки А(1;-1;0), B(1;2;3), C(-1;2;0). Найти координаты середины отрезка BC и координаты вектора CD, где D-середина отрезка AB.

3. Определите вид треугольника ABC, если A(9;3;-5), B(2;10;-5), C(2;3;2).

Карточка группы 3.

1. Точка М - середина отрезка АВ. Найдите:

а) координаты точки М, если А(2;-3;-4), В(-3;1;0)

б) координаты точки В, если А(7;5;5), М(2;-2;0)

2. Найдите длину вектора b{2;-6;1}.

3. Определите вид треугольника ABC, если A(3;7;-4), B(5;-3;2), C(1;3;-10).

Приложение 7.

Самостоятельная работа по алгебре.

1. Докажите, что функция F является первообразной для функции f на множестве R:

а) F(x)=x⁴-3, f(x)=4x³

б) F(x)=5x-cosx, f(x)=5+sinx

2. Найдите общий вид первообразной для функции f(x)=4/x²+3cosx.

3. Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку М: f(x)=6/cos²3x+1, М(п/4;п/4).

Приложение 8.

Самостоятельная работа по геометрии.

1. Даны точки A(2;7;1), B(0;-1;3), B(2;9;1) и вектор a{-3;4;0}. Найти:

а) координаты точки С - середины отрезка АВ.

б) ¦AB¦

в) ¦а¦

2. Даны точки A(2;4;-4), B(1;1;-3), C(-2;0;5), D(-1;3;4). Докажите, что они являются вершинами параллелограмма.

3. Найдите расстояние от точки A(-1;-7;0) до плоскости ХОZ.