Тема "Функції" є однією з найважливіших тем у курсі алгебри 7-го класу, так як вона буде супроводжувати учнів у їх подальшому навчанні. Розв'язування багатьох завдань є неможливим без знання та розуміння даної теми. Важливе завдання полягає в залученні учнів до використання рівнянь і функцій як засобів математичного моделювання реальних процесів і явищ, розв'язування на цій основі прикладних та інших задач.

У процесі вивчення цього розділу учні систематизують, поглиблюють, узагальнюють знання про степені і корені та їх властивості, засвоюють поняття лінійної функції, прямої пропорційності, функціональної відповідності, розв'язувати рівняння.

Об'єкт дослідження: процес навчання математики учнів старшої школи.

Предмет дослідження: методика підготовки учнів з математики за темою "Функції".

Мета курсової роботи: розробити порівняльний аналіз викладу теми за підручниками різних авторів.

Завдання курсової роботи:

1) Визначити вимоги державного стандарту щодо вивчення змістової лінії до якої відноситься дана тема.

2) Проаналізувати програму з математики щодо розвитку даної змістової лінії.

3) Ознайомитися з програмними вимогами до вивчення даної теми.

Розробити два варіанти методичного аналізу теми "Функції" за підручниками авторського колективу під керівництвом О.С. Істер та Г.П. Бевз.

4) Розв'язати та систематизувати вправи шкільних підручників щодо заданої теми.

функція методичний підручник шкільний

5) Порівняти методику викладання даної теми у різних підручниках (виділити однакове і різне).

Методи дослідження: теоретичні - системний і порівняльний аналіз навчально-методичної літератури з проблеми дослідження; емпіричні спостереження за процесом навчання учнів, бесіди з вчителями та учнями, аналіз й узагальнення передового досвіду вчителів та методистів.

Дана курсова робота складається з п'яти параграфів.

У першому параграфі даного дослідження розглянуті теоретичні основи змістової лінії "Функції" за Державним стандартом базової і повної загальної середньої освіти. Другий параграф містить аналіз програмних вимог теми "Функції" за Держаною програмою. Третій та четвертий параграфи присвячені методичному аналізу теми "Функції" за підручниками О.С. Істерта Г.П. Бевз з алгебри 7 класу. У п'ятому параграфі представлений порівняльний аналіз обраної теми у навчальному процесі за різними підручникам.

§ 1. Особливості змістової лінії "функції" за державним стандартом загальноосвітньої школи

загальної характеристики складових змісту освіти;

Базового навчального плану загальноосвітніх навчальних закладів II-III ступеня згідно з додатком 1 (далі - Базовий навчальний план);

державних вимог до рівня загальноосвітньої підготовки учнів згідно з додатком 2.

Цей Державний стандарт розроблений на основі Державного стандарту початкової загальної освіти, затвердженого постановою Кабінету Міністрів України від 20 квітня 2011 р. № 462 (Офіційний вісник України, 2011 р., № 33, мал.1378), із спрямуванням освітніх галузей на розвиток сформованих і формування нових предметних (галузевих) компетентностей. [1]

Предметні (галузеві) компетентності стосуються змісту конкретної освітньої галузі чи предмета, і для їх опису використовуються такі ключові поняття: "знає і розуміє”, "уміє і застосовує”, "виявляє ставлення і оцінює” тощо.

Цей Державний стандарт включає такі освітні галузі, як "Мови і літератури”, "Суспільствознавство”, "Мистецтво”, "Математика”, "Природознавство”, "Технології”, "Здоров'я і фізична культура”, зміст яких послідовно взаємозв'язаний із змістом відповідних освітніх галузей Державного стандарту початкової загальної освіти.

Зміст освітніх галузей, їх складові, державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів відповідають завданням основної і старшої школи у їх послідовному взаємозв'язку. Зміст кожної освітньої галузі структурується та реалізується за навчальними предметами і курсами, програми яких затверджує МОНмолодьспорт.

Визначальним для системи вітчизняної загальної середньої освіти є українознавче спрямування всіх освітніх галузей.

Протягом навчання в основній школі учні здобувають базову загальну середню освіту, що разом із початковою є основою загальноосвітньої підготовки, формує в них готовність до вибору професії і реалізації шляхів подальшої освіти. Зміст освіти в основній школі для всіх учнів єдиний.

Варіативність методик організації навчання, а також наявність в учнів можливості обирати курси за вибором залежно від власних пізнавальних здібностей дають змогу застосовувати особистісно зорієнтований, компетентнісний і діяльнісний підходи.

У старшій школі, де навчання є профільним, обов'язковий для вивчення зміст освітніх галузей реалізується шляхом вивчення окремих предметів, курсів за вибором загальноосвітніх закладів відповідно до загальної кількості годин, передбачених для кожної галузі, або шляхом застосування модульної технології.

Інваріантна складова Базового навчального плану формується на державному рівні і є обов'язковою для реалізації в усіх навчальних закладах, що дають повну загальну середню освіту.

Освітня потреба старшокласників у профільному навчанні задовольняється шляхом створення мережі загальноосвітніх закладів різного типу, яка складається з однопрофільних і багатопрофільних ліцеїв, гімназій, загальноосвітніх шкіл, що мають змогу повністю реалізувати _ального_сть навчання, а також професійно-технічних навчальних закладів, коледжів. Крім того, освітня потреба учнів старшої школи у профільному навчанні може задовольнятися в межах освітніх округів.

Зміст освіти і вимоги до його засвоєння у старшій школі диференціюються за базовим і профільним рівнями. Базовий рівень визначається обов'язковими вимогами до загальноосвітньої підготовки учнів згідно з цим Державним стандартом, а профільний - навчальними програмами, затвердженими МОНмолодьспортом.

У старшій школі співвідношення навчальних годин для вивчення обов'язкових предметів і предметів, самостійно обраних учнями для профільного навчання, становить орієнтовно 50 на 50 відсотків.

Варіативна складова Базового навчального плану формується загальноосвітнім закладом з урахуванням особливостей регіону та індивідуальних освітніх запитів учнів.

На основі цього Державного стандарту МОНмолодьспорт організовує розроблення і проводить апробацію навчальних програм, які затверджуються в установленому порядку.

Навчальна програма розробляється з урахуванням науково обґрунтованих вимог, що є спільними для всіх навчальних предметів.

Варіативні навчальні програми розробляються з урахуванням потреб різних регіонів і науково-методичних пріоритетів учителя.

На основі Базового навчального плану, який визначає загальні засади організації навчально-виховного процесу у загальноосвітніх закладах, МОНмолодьспорт розробляє типові навчальні плани, в яких зміст освітніх галузей реалізується шляхом вивчення навчальних предметів і курсів інваріантної складової. Загальноосвітні заклади на основі типових навчальних планів складають щороку робочі навчальні плани, в яких конкретизується варіативна складова загальної середньої освіти з урахуванням особливостей організації навчального процесу.

Бюджетне фінансування загальноосвітнього закладу здійснюється з урахуванням установленої Базовим навчальним планом сумарної кількості годин інваріантної та варіативної складових і можливості у процесі вивчення окремих предметів поділу класу на групи.

Освітня галузь "Математика”

Курс математики основної школи логічно продовжує реалізацію завдань математичної освіти учнів, розпочату в початкових класах, розширюючи і доповнюючи ці завдання відповідно до вікових і пізнавальних можливостей школярів. В основу побудови змісту й організації процесу навчання математики покладено компетентнісний підхід, відповідно до якого кінцевим результатом навчання предмета є сформовані певні компетентності як здатності учня успішно діяти в навчальних і життєвих ситуаціях і нести відповідальність за свої дії. Компетентність є особистісним утворенням, яке формується на основі здобутих знань, досвіду діяльності, вироблених ціннісних орієнтацій, ставлень, оцінок.

Навчання математики в основній школі передбачає передусім формування предметної математичної компетентності, сутнісний опис якої подано у розділі "Державні вимоги до загальноосвітньої підготовки учнів" цієї програми. Крім того, воно має зробити певний внесок у формування окремих ключових (більш загальних, що виходять за межі одного предмета) компетентностей, зокрема загально-навчальної (уміння вчитися), комунікативної (здатності грамотно формулювати і висловлювати судження), загальнокультурної та інших. Формування зазначених компетентностей підпорядковується реалізації загальних завдань шкільної математичної освіти, що здійснюється на всіх ступенях школи. До них належать:

· формування ставлення учнів до математики як невід'ємної складової загальної культури людини, необхідної умови її повноцінного життя в сучасному суспільстві на основі ознайомлення з ідеями і методами математики як універсальної мови науки і техніки, ефективного засобу моделювання і дослідження процесів і явищ навколишнього світу;

· забезпечення оволодіння учнями математичною мовою, розуміння ними математичної символіки, математичних формул і моделей як таких, що дають змогу описувати загальні властивості об'єктів, процесів та явищ;

· формування здатності логічно обґрунтовувати та доводити математичні твердження, застосовувати математичні методи у процесі розв'язування навчальних і практичних задач, використовувати математичні знання і вміння під час вивчення інших навчальних предметів;

· розвиток умінь працювати з підручником, опрацьовувати математичні тексти, шукати і використовувати додаткову навчальну інформацію, критично оцінювати здобуту інформацію та її джерела, виокремлювати головне, аналізувати, робити висновки, використовувати отриману інформацію в особистому житті;

· формування здатності оцінювати правильність і раціональність розв'язування математичних задач, обґрунтовувати твердження, приймати рішення в умовах неповної, надлишкової, точної та ймовірнісної інформації.

Крім цих загальних освітніх завдань в основній школі реалізуються такі специфічні для даного етапу навчання математики освітні завдання:

· розширення знань учнів про число (від вивчених у початковій школі натуральних чисел до дійсних), формування культури усних, письмових, інструментальних обчислень;

· формування системи функціональних понять, умінь використовувати функції та їх графіки для характеристики залежностей між величинами, опису явищ і процесів;

· забезпечення оволодіння учнями мовою алгебри, уміннями здійснювати перетворення алгебраїчних виразів, розв'язувати рівняння, нерівності та їх системи, моделювати за допомогою рівнянь реальні ситуації, пояснювати здобуті результати;

· формування в учнів уявлення про математичну статистику і теорію ймовірностей як окремі науки, про особливості організації статистичних досліджень, наочне подання статистичних даних, визначення числових характеристик статистичного ряду, понять випадкової події та її ймовірності;

· забезпечення оволодіння учнями мовою геометрії, розвиток їх просторових уявлень і уяви, умінь виконувати геометричні побудови за допомогою геометричних інструментів (лінійки з поділками, транспортира, косинця, циркуля і лінійки);

· формування в учнів знань про геометричні фігури на площині, їх властивості, а також умінь застосовувати здобуті знання у навчальних і життєвих ситуаціях;

· формування в учнів уявлення про найпростіші геометричні фігури в просторі та їх властивості, а також первинних умінь застосовувати їх у навчальних і життєвих ситуаціях;

· ознайомлення учнів зі способами і методами математичних доведень, формування умінь їх практичного використання;

· формування в учнів знань про основні геометричні величини (довжину, площу, об'єм, міру кута), про способи їх вимірювання й обчислення для планіметричних і найпростіших стереометричних фігур, а також уміння застосовувати здобуті знання у навчальних і життєвих ситуаціях;

· вивчення геометричних перетворень площини (рухів, подібності) та їх найпростіших властивостей, а також розвиток в учнів функціональних уявлень на геометричному змісті;

· ознайомлення учнів з основами методу координат і векторного методу.

Необхідною умовою формування компетентностей є діяльнісна спрямованість навчання, яка передбачає постійне включення учнів до різних видів педагогічно доцільної активної навчально-пізнавальної діяльності, а також практична його спрямованість. Необхідно, де це можливо, не лише показувати виникнення математичного факту із практичної ситуації, а й ілюструвати його застосування на практиці.

Важливу роль у навчанні математики відіграє систематичне використання історичного матеріалу, який підвищує інтерес до вивчення математики, стимулює потяг до наукової творчості, пробуджує критичне ставлення до фактів, дає учням уявлення про математику як невід'ємну складову загальнолюдської культури. На дохідливих прикладах слід показувати учням, як розвивалися математичні поняття і відношення, теорії та методи. Ознайомлення учнів з іменами та біографіями видатних учених, які створювали математику, зокрема видатних українських математиків, сприятиме національному і патріотичному вихованню школярів.

Характеристика навчального змісту і особливостей його реалізації

Зміст математичної освіти в основній школі структурується за такими змістовими лініями: числа; вирази; рівняння і нерівності; функції; елементи комбінаторики, теорії ймовірностей та статистики; геометричні фігури; геометричні величини. Кожна з них розвивається з урахуванням завдань вивчення математики на цьому ступені шкільної освіти, в якому виокремлюються два основні етапи: 5 - 6 класи і 7 - 9 класи. Освітні завдання на першому етапі реалізуються у процесі вивчення єдиного курсу математики, на другому - двох курсів: алгебри і геометрії.

У 7-9 класах вивчаються два математичних курси: алгебра і геометрія. [2]

Основними завданнями курсу алгебри є формування умінь виконання тотожних перетворень цілих і дробових виразів, розв'язування рівнянь і нерівностей та їх систем, достатніх для вільного їх використання у вивченні математики і суміжних предметів, а також для практичних застосувань математичного знання. Важливе завдання полягає в залученні учнів до використання рівнянь і функцій як засобів математичного моделювання реальних процесів і явищ, розв'язування на цій основі прикладних та інших задач. У процесі вивчення курсу посилюється роль обґрунтувань математичних тверджень, індуктивних і дедуктивних міркувань, формування різноманітних алгоритмів, що має сприяти розвитку логічного мислення і алгоритмічної культури школярів.

У 7 класі вводиться одне з фундаментальних математичних понять - поняття функції. У цьому ж класі розглядається лінійна функція та її графік. Ці відомості використовуються для графічного ілюстрування розв'язування лінійного рівняння з однією змінною, а також системи двох лінійних рівнянь з двома змінними. Інші види функцій розглядаються у зв'язку з вивченням відповідного матеріалу, що стосується решти змістових ліній курсу. Зокрема у 8 класі в темах "Раціональні вирази" та "Квадратні корені" учні ознайомлюються з функціями , у = x² і та їх властивостями. У 9 класі розглядається квадратична функція. Вивчення її властивостей пов'язується, зокрема, з розв'язуванням квадратних нерівностей.

Таким чином, функціональна лінія пронизує весь курс алгебри основної школи і розвивається в тісному зв'язку з тотожними перетвореннями, рівняннями і нерівностями. Властивості функцій, як правило, встановлюються за їх графіками, тобто на основі наочних уявлень, і лише деякі властивості обґрунтовуються аналітично. У міру оволодіння учнями теоретичним матеріалом кількість властивостей, що підлягають вивченню, поступово збільшується. Під час вивчення функцій чільне місце відводиться формуванню умінь будувати й аналізувати графіки функцій, характеризувати за графіками функцій процеси, які вони описують, спроможності розуміти функцію як певну математичну модель реального процесу.

Прикладна спрямованість вивчення функцій, рівнянь, нерівностей доповнюється ознайомленням з елементами комбінаторики, теорії ймовірностей і статистики.

Дана тема "Функції" - третя тема курсу алгебри 7-го класу, на вивчення якої відведено 10 годин. Тема має велике значення, так як фактично розкриває основні питання та сутність змістової лінії - "Функції", до якої повністю відноситься. Ця тема має велике значення у курсі шкільного курсу алгебри, так як дає базові знання, що необхідні при подальшому вивченні алгебри у старших класах. Але разом з тим, тема не надто тісно пов'язана з уже пройденим матеріалом, що дає можливість учням з низьким рівнем знань легко оволодіти нею. Це одна з найцікавіших тем шкільного курсу математики так як містить чимало цікавих задач та побудов, в тому числі практичного спрямування, що можуть з легкістю зацікавити учнів та заохотити їх до вивчання теми.

Дана тема має таку структуру:

Вивчення даної теми спрямоване на набуття нових умінь та навичок учнів. Вони повинні навчитись наводити приклади функціональних залежностей, лінійних функцій, пояснювати зміст понять: аргумент, функція, область визначення функції, множина значень функції, графік функцій.

Формулювати означення понять:

- функція;

- графік функції;

- лінійна функція;

- пряма пропорційність.

Під час вивчення теми учні мають навчитись також називати та ілюструвати на прикладах способи задання функції, описувати побудову графіка функції, зокрема лінійної, та її окремого виду пропорційності.

Також важливою навичкою є вміння розв'язувати вправи, що передбачають:

- знаходження області визначення функції;

- знаходження значення функції за даними аргументу;

- побудову графіка лінійної функції;

- знаходження за графіком функції значення функції за даним значенням аргументу і навпаки;

- визначення окремих характеристик функції за її графіком (додатні значення, від'ємні значення, нулі).

До базових знань необхідних для вивчення теми функції можна віднести вирази зі змінними, цілі раціональні вирази, тотожні вирази та їх перетворення, властивості степеня. Також необхідним є розуміння учнями означень одночлена та многочлена, та розв'язання не складних показникових рівнянь.

Основними поняттями теми (за підручником алгебри 7 клас (О.С. Істер) [3] є:

1. Якщо кожному значенню змінної х з деякої множини відповідає єдине значення змінної у, то таку залежність називають функціональною залежність або функцією.

2. Усі значення які набуває незалежна змінна (аргумент), утворюють область визначення функції; усі значення яких набуває залежна

змінна (функція), утворюють область значень функції.

3. Графіком функції називається фігура, яка складається з усіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати - відповідним значенням функції.

4. Нуль функції - значення аргументу, при якому значення функції дорівнює нулю.

5. Лінійною називається функція, яку можна задати формулою виду y=kx+b, де x - незалежна змінна, k, b - деякі числа.

Що стосується способу означення математичних понять даної теми, то означення функції, області значення та області визначення функції доцільно віднести до конструктивних означень.

Так як дана тема являється новою для новою для учнів, то доцільніше буде використати абстрактно-дедуктивний метод введення понять, так як цей спосіб потребує менше часу для пояснення залишаючи більше часу для розгляду прикладів, хоча і потребує від учнів певного рівня математичної підготовки та уже може використовуватися в шкільному курсі математики 7-го класу.

Що стосується способу вивчення означень, я вважаю, що можливо використати роздільний спосіб, для кращого запам'ятовування змісту означень.

У класах з низьким рівнем підготовки учнів доцільно використати конкретно-індуктивний спосіб введення цих понять, якщо достатньо часу.

Основними твердженнями теми є:

1. Графіком будь-якої лініяної функції є пряма.

2. Щоб побудувати графік функції y=b, досить досить позначити на осі у точку з координатами (0; b) та провести через цю точку пряму, паралельну осі х.

3. визначення прямої пропорційності.

4. Графіком прямої пропорційності є пряма, яка проходить через початок координат.

В класі з високим рівнем підготовки учнів можна, за наявності часу, довести дані твердження.

Якщо діти окремого класу мають низький рівень підготовки, то кількість доведень доцільно обмежити, а усю увагу приділити вирішенню прикладів та задач. Якщо ж дана тема вивчається з учнями з високим рівнем підготовки, то більше часу виділити на пояснення, а саме на вирішення завдань підвищеної складності.

Для закріплення теми можна використати наступні завдання: [3, 137]

1. Через яку з даних точок проходить графік рівняння 5х+4у=20?

а) А (-4; 0) б) В (3;

1) в) С (0;

5) г) Д (2;

3)

2. Побудуйте графік функції у=-2х-2. Користуючись побудованим графіком установіть, при яких значеннях аргументу функція набуває від'ємних значень.

Функція набуває від'ємних значень при (0; +?)

№1198 [3, 139]

Точка А (a; b), де a?0, b?0, належить графіку функції . Чи належить цьому графіку точка:

а) В (-a; b) б) С (a; - b) в) Д (-a; - b)

Так як дана функція за умовою є параболою, і a?0, b?0, то вітки направлені вгору. Отже х - може приймати як додатні так і від'ємні значення, а у - лише додатні.

Відповідь: В (-a; b) - належить функції, С (a; - b); Д (-a; - b) не належать.

№ 833 [6, 37]

Поїзд рухаючись зі швидкістю 65км/год, пройшов за t годин відстань s кілометрів. Задайте формулою залежність s від t. Обчисліть значення функції яка відповідає значенню аргументу: 1; 2,4; 3; 5,8

S=,

отже y=65x, підставимо значення у таблицю:

Задача [5, 13]

На параболі, що є графіком функції знайдіть точки, для яких сума абсциси та ординати дорівнює 6.

Нехай (x; y) - шукана точка, тоді її координати задовольняють умову x+y=6. Маємо систему . З першого рівняння системи отримаємо і підставимо вираз (6-х) замість у у друге рівняння. Маємо

Тоді , .

Шукані точки: (-2; 8), (3; 3).

Задача [7, 91]

Побудуйте графік функції .

Знаходимо область визначення функції: .

Якщо , то ,

Якщо , то .

Побудуємо ескіз графіка вказаної функції

Задачі даної тема потребують чіткого розуміння її означень, та добре розвиненої просторової уяви для побудови графіків функцій.

Доцільно, щоб учні раціонально переводили сюжетну форму формування задачі у формулу заданої функції, з використанням основних компонентів: х; у.

До типових помилок учнів можна віднести:

- плутання області значень функції з областю визначення;

- неправильну побудову графіка функції;

- неправильну підстановку даних значень у формулу, або неправильне її обчислення;

- невміння переводити текстову задачу в математичну.

§ 4. Методичний аналіз теми "функції" за підручником "Алгебра" 7 класу, (Г.П. Бевз, В.Г. Бевз)