Формирование временных представлений на уроках математики в начальной школе по программе "Школа России"

Размещено на http://www.allbest.ru/

Формирование временных представлений на уроках математики в начальной школе по программе "Школа России"

математика школа величина временной

Содержание

1. Теоретические основы формирования временных представлений на уроках математики в начальной школе по программе «Школа России»

1.1 Понятие величины. Измерение величин

1.2 История изучения величины «время»

1.3 Величины, изучаемые в начальной школе

1.4 Особенности математического блока УМК «Школа России»

2. Методические аспекты формирования временных представлений на уроках математики в начальной школе по программе «Школа России»

2.1 Методика формирования временных представлений в начальном курсе математики по программе «Школа России»

2.2 Описание опытно-экспериментальной работы

Заключение

Список литературы

Приложение

Введение

Основными базисными понятиями начального курса математики являются «число» и «величина». В методико-математической литературе, используемой при подготовке учителей начальных классов, этому уделяется много внимания. Однако «подлинное происхождение и сущность этих понятий, их взаимосвязь и взаимообусловленность остаются вне сознания подавляющего большинства школьников и, к сожалению, многих учителей» [28,с.7].

Как показывает практика, у учителя нередко наблюдается неуверенность в использовании термина «величина», а также входящего в сферу величин понятия времени. Это связано, во-первых, с высоким уровнем абстрактности изучаемого понятия. Во-вторых, процесс изучения времени значительно сложнее измерения длин, площадей, объемов и масс, т.к. за единицу времени не может быть взят произвольный промежуток, а только такой, который связан с периодически повторяющимся процессом. Поэтому существующее измерение времени основано на учете вращения Земли вокруг оси и обращения Земли вокруг Солнца и не является абсолютно точным.

Таким образом, цель работы состоит в исследовании методики изучения темы «Время. Измерение времени» на уроках математики в начальной школе по программе «Школа России».

Объект исследования: процесс формирования временных представлений на уроках математики в начальной школе.

Предмет исследования: методика формирования временных представлений в начальном курсе математики УМК «Школа России».

Исходя из вышесказанного, можно определить следующие задачи:

1. Раскрыть теоретические основы формирования временных представлений на уроках математики в начальной школе: понятие величины, виды величин, аксиомы положительных скалярных величин, особенности измерения величин, историю изучения величины «время».

2.. Рассмотреть величины, изучаемые в начальной школе.

3. Определить содержание подготовки учащихся по теме «Время. Измерение времени» на уроках математике в начальной школе.

4.Описать методику формирования временных представлений в начальном курсе математики по программе «Школа России» и проверить ее эффективность в ходе опытно-экспериментальной работы.

Методы исследования: теоретический анализ научно-методической литературы по проблеме исследования, педагогическое наблюдение, тестирование, опытно - экспериментальная работа.

1. Теоретические основы формирования временных представлений на уроках математики в начальной школе по программе «Школа России»

1.1 Понятие величины. Измерение величин

Величина - неопределяемое понятие. Под величинами понимают свойства объектов, которые допускают сравнение (<, >, =) и которым можно поставить в соответствие некоторую количественную характеристику.

Форма, цвет, материал - не являются величинами, т.к. они не допускают сравнения (например, нельзя сказать «более деревянный» или «менее деревянный»). Длина отрезка, площадь фигуры, масса тела - величины.

Классификация величин.

Величины бывают:

1) Скалярные - определяются только числовым значением (длина отрезка, масса тела, площадь фигуры).

2) Векторные - определяются числовым значением и направлением (скорость, сила, ускорение).

3) Аддитивные и неаддитивные

Аддитивные - допускают сложение (длина отрезка, площадь фигуры).

Рис.1

Длина отрезка а равна сумме длин отрезков с и b (рис.1).

Неаддитивные - не допускают сложения (плотность, температура) (рис. 2).



Рис. 2

4) Однородные и неоднородные.

Однородные - выражают одно и тоже свойство объектов (длина отрезка и периметр треугольника).

Неоднородные - выражают различные свойства объектов (периметр треугольника и площадь треугольника).

Аксиомы положительных скалярных величин

Аксиома 1: Любые две положительные скалярные величины можно сравнить. Если a и b - однородные положительные скалярные величины, то для них справедливо одно из трех утверждений: 1) a=b или 2) a<b или 3) a>b.

Аксиома 2: Любые однородные положительные скалярные величины можно складывать. В результате получится величина того же рода.

Аксиома 3: Из большей положительной скалярной величины можно вычесть меньшую положительную скалярную величину, ей однородную. В результате получится величина того же рода.

Аксиома 4: Любую положительную скалярную величину можно умножить на положительное действительное число. В результате получится величина того же рода.

Аксиома 5: Любую положительную скалярную величину можно разделить на величину, ей однородную. В результате получится положительное действительное число.

Положительной скалярной величине можно поставить в соответствие количественную характеристику - численное значение (меру) при выбранной единице измерения. Отыскать численное значение величины возможно в результате ее измерения.

Измерение положительных скалярных величин - это процесс установления отображения из множества положительных скалярных величин V+ во множество положительных действительных чисел R+.

В результате такого отображения каждой положительной скалярной величине ставится в соответствие единственное положительное действительное число, называемое численным значением величины или мерой.

Процесс измерения величин строится по-разному для каждого множества измеряемых объектов, но при этом имеются следующие общие моменты:

1. В каждом множестве измеряемых объектов выбирается один и называется единичным.

2. Величине единичного объекта ставится в соответствие положительное действительное число 1.

3. Величина измеряемого объекта делится на величину единичного объекта. В результате (по аксиоме 5 положительных скалярных величин) получится положительное действительное число - численное значение (мера) величины измеряемого объекта при выбранной единице измерения.

Символически: mе(a) - мера величины а при единице измерения е.

В процессе измерения используются следующие свойства меры:1. mе(e) = 1 - свойство меры единичного объекта.2. Равным величинам соответствуют равные положительные действительные числа: (а=b)=>(mе(a)=mе(b)) - свойство инвариантности меры.3. (с=a b)=>(mе(c)=mе(a)+mе(b)) - свойство аддитивности меры.4. mе(а) = mе1(а) mе(е1) - свойство мультипликативности меры (позволяет переходить от одних единиц измерения к другим) [26].

1.2 История изучения величины «время»

На заре человечества осознание времени формировалось в мифологических образах, а с зарождением философии началась многовековая история философского осмысления времени [4, с.5].

С появлением научного мировоззрения время стало пристально рассматриваться во многих науках, особенно в физике и физико-математических дисциплинах.

За последние несколько десятилетий проблема времени «по числу посвященных ей исследований и публикаций вышла на одно из первых мест в мировой научной литературе, а по своему мировоззренческому значению занимает, пожалуй, ведущее место в философских исследованиях современности» [9, с. 4].

Ещё Аристотель (384-322 гг. до н.э.) обратил свое внимание фактически на все основные аспекты феномена времени, и от его взглядов берут начало многие развитые впоследствии концепции времени [29, с.64].

Поставив проблему существования времени, как некоторой самостоятельной сущности, Аристотель в дальнейшем связывает бытие времени с движением и в конечном итоге приходит к выводу, что время -- это мера движения. Рассматривая проблему взаимосвязи времени и движения, Аристотель доказывает, что «время не есть движение, но и не существует без движения» [29, с.65].

Согласно Аристотелю, время, фактически, -- это некое равномерное течение, на фоне которого протекают все изменения и движения и по отношению к которому определяется быстрота или медленность всех движений и изменений. Что же касается самого времени, т. е. равномерного фона всех движений и изменений, вопрос о его быстроте или медленности бессмыслен, поскольку не по чему определять скорость течения времени.

Аристотель считал, что он нашел абсолютные «мировые часы» -- равномерное суточное вращение восьмой, самой удаленной небесной сферы, или, иначе, «сферы неподвижных звезд». Но уже во II в. до н.э. Гиппархом (ок. 180 или 190-125 гг. до н.э.) была открыта прецессия.

Оказалось, что «сфера неподвижных звезд», помимо суточного вращения, имеет еще медленное прецессионное движение с периодом полного оборота в 26 000 лет. Для того, чтобы объяснить это явление и в то же время сохранить идею равномерного кругового вращения небесных сфер, в общепринятой в Средние века аристотелевско-птолемеевской системе мира за видимой «восьмой» небесной сферой помещалась не имеющая на себе никаких небесных тел и, следовательно, невидимая «девятая» сфера, которой и приписывалось равномерное суточное вращение.

При этом предполагалось, что равномерное суточное вращение последней, «девятой», сферы передается всем нижележащим сферам, которые, однако, имеют и собственные равномерные движения [29, с.78].

По мере выявления все более тонких деталей движения небесной сферы для объяснения этого движения оказалось недостаточно девяти сфер, и позднее вводится представление о «десятой» сфере, а во времена Николая Коперника были попытки ввести в картину мира даже «одиннадцатую» сферу [4, с.159].

Если учесть, что все эти дополнительные сферы не имели на себе каких-либо небесных тел и их вращение признавалось недоступным для наблюдения, то станет понятно, почему используемое астрономами в качестве «меры всех движений» равномерное «первое движение», т. е. суточное вращение небесной сферы, становится все более абстрактным, все более оторванным от материальных процессов и постепенно начинает осознаваться как некое абстрактное «математическое время» [29, с.80].

Экономическое развитие европейских стран и произошедшие к позднему Средневековью социальные сдвиги, изменение в образе жизни городских жителей вызвали потребность в радикальном изменении приемов и методов измерения времени.

В конце XIII -- начале XIV вв. появляются механические часы, позволяющие отмерять равномерно текущее время [25]. Появление механических часов внесло радикальные изменения в практику измерения времени и использования временных категорий, как в обыденной жизни, так и в научных исследованиях. Вполне естественно, что переход городских жителей Европы к равномерному «городскому» времени не мог не вызвать интереса образованных людей и тем более философов к проблеме времени и не вызвать среди них оживленных дискуссий. Использование неравных и изменяющихся в течение года «дневных» и «ночных» часов делало невозможным развитие таких наук, которые требовали сколь-либо точного измерения времени. Лишь астрономы, которые не могли обойтись без измерения времени, делили полные сутки на 24 часа, в силу чего они, в отличие от остальных людей, имели равные и не изменяющиеся в течение года часы.

С крушением геоцентрической картины мира этот процесс должен был завершиться полным отрывом используемого астрономами «равномерного времени» от каких бы то ни было материальных процессов, в результате чего наиболее равномерное, наиболее «истинное» время, время «в наиболее собственном смысле» должно было превратиться в некий абстрактный равномерный и не связанный с материальными процессами «поток» часов, суток, лет и т. д. и осознаваться как некая универсальная астрономическая, а возможно, и вообще «математическая» независимая равномерная переменная величина.

И действительно, «переменные величины» в математике первоначально трактовались как величины, зависящие от равномерно текущего времени [29, с.80].

Декарт причисляет идею длительности к разряду ясных и отчетливых идей, которые не могут быть ложными, а во-вторых, деление предмета на равные части, т. е. «измерение», согласно Декарту, не всегда является только мысленным, измерение может опираться и на объективную расчлененность предмета на равные части. В частности, «чем-то реальным является... разделение века на годы и дни...»,поскольку опирается на объективную расчлененность веков на годы и дни [2, с. 139].

Определяя понятие времени, Р. Декарт пишет: «...Время, которое мы отличаем от длительности, взятой вообще, и называем числом движения, есть лишь известный способ, каким мы эту длительность мыслим...» [2, с.451].

Противопоставление времени и длительности полностью преодолевается современником Рене Декарта Пьером Гассенди. Критикуя Р. Декарта за попытку противопоставить время как меру «истинной длительности» («абсолютное время») времени как мере длительности конкретной длящейся вещи, П. Гассенди пишет: «Я, по крайней мере, знаю одно-единственное время, которое, конечно (я этого не отрицаю), может называться или считаться абстрактным, поскольку оно не зависит от вещей, так как существуют вещи или нет, движутся они или находятся в состоянии покоя, оно всегда течет равномерно, не подвергаясь никаким изменениям. Существует ли кроме этого времени какое-то другое, которое могло бы называться или считаться конкретным постольку, поскольку оно связано с вещами, т. е. поскольку вещи длятся в нем, я никоим образом не могу знать» [2, с. 641].

Итак, у Гассенди время обретает характер некоторой объективной, ни от каких материальных процессов не зависящей и абсолютно равномерно текущей сущности.

Сопоставим характеристику этого «одного-единственного времени» с ньютоновской характеристикой «абсолютного времени» классической физики. «Абсолютное, истинное математическое время само по себе и по самой своей сущности, без всякого отношения к чему-либо внешнему, протекает равномерно, и иначе называется длительностью. Относительное, кажущееся или обыденное время есть или точная, или изменчивая, постигаемая чувствами, внешняя, совершаемая при посредстве какого-либо движения, мера продолжительности, употребляемая в обыденной жизни вместо истинного математического времени, как то: час, день, месяц, год» [2, с. 30].

Таким образом, согласно И. Ньютону, объективно, независимо ни от чего внешнего, ни от каких материальных процессов существует только «абсолютное, истинное математическое время», которое, несмотря ни на что, течет абсолютно равномерно, и иначе называется длительностью.

Относительное же время - это не какое-то особое время, текущее на ряду с «абсолютным временем», а доступная для простых людей степень приближения к абсолютному времени, поскольку это отмеряемая при помощи приблизительно равномерны» материальных процессов мера длительности («продолжительности»), т. е. мера «абсолютного времени». «Абсолютное время, - пишет И. Ньютон, - различается в астрономии от обыденного солнечного времени уравнением времени. Ибо естественные солнечные сутки, принимаемые при обыденном измерении времени за равные, на самом деле между собой не равны. Это неравенство и исправляется астрономами, чтобы при измерениях движений небесных светил применять более правильное время. Возможно, что не существует (в природе) такого равномерного движения, которым время могло бы измеряться с совершенною точностью. Все движения могу ускоряться или замедляться, течение же абсолютного времени изменяться не может. Длительность или продолжительность существования вещей одна и та же, быстры ли движения (по которым измеряется время), медленны ли, или их совсем нет, поэтому она надлежащим образом и отличается от своей, доступной чувствам, меры, будучи из нее выводимой при помощи астрономического уравнения» [2, с.31-32].

Наблюдается удивительное сходство взглядов на время И. Ньютона и П. Гассенди. Сходство и даже почти полное совпадение взглядов Ньютона и Гассенди на время связано с тем, что для них, как для естествоиспытателей, была привычной сформировавшаяся еще в XIV в., а к XVII в. уже общепринятая среди астрономов идея «математического времени». Оно понималось как оторванное от доступных наблюдению материальных процессов абсолютно равномерное «течение», «поток», или «дление», идея, возникшая, из представления об «истинном времени», или «времени в собственном значении», связанном с равномерным суточным вращением невидимых, но, с точки зрения астрономов и философов Средневековья, реально существующих небесных сфер.

После крушения в XVI в. геоцентрической картины мира абсолютно равномерное «математическое время» потеряло связь с материальными процессами и превратилось просто в равномерное деление, т. е. равномерный поток часов, суток, лет и т. д.

Утверждению в сознании широкого круга городских жителей подобных представлений о времени, несомненно, должно было способствовать и то обстоятельство, что в практике повседневного счета (измерения) времени Европа на протяжении XIV--XVI вв. постепенно переходит от неравномерных и постоянно изменяющихся «дневных» и «ночных» часов к равным и неизменным в течение суток и года часам.

Однако анализ понятия и критериев равномерности убеждает, что равномерность есть соотносительное свойство сравниваемых между собой материальных процессов и что в принципе возможно существование неограниченного множества удовлетворяющих критериям равномерности классов соравномерных процессов, каждый из которых в соответствующей области материальной действительности пригоден для введения единиц измерения длительности и практического измерения времени.

Как указывается в «Полном энциклопедическом справочнике», в настоящее время в рамках эфемеридного времени выделяются следующие виды времени: звездное, солнечное, всемирное, местное, поясное, декретное [1, с.375-376].

К единицам измерения времени относятся год, месяц, сутки, час, минута, секунда [1, с.376-379].

Система счисления времени варьируется в различных календарях, среди которых можно выделить: древнеегипетский, шумерийский, вавилонский, ханаанейский, древнеиндийский, майянский, китайский, республиканский календарь французской революции, византийский и православный, юлианский или астрономический календарь [1, с. 379-380].

1.3 Величины, изучаемые в начальной школе

Величина, так же как и число, является основным понятием курса математики начальных классов, в задачу которого входит формирование у детей представления о величине как о некотором свойстве предметов и явлений, которое прежде всего связано с измерением [8].

В начальных классах используется интуитивный подход, в соответствии с которым формируются представления о величинах как о некоторых свойствах предметов или явлений, связанных, прежде всего с измерением. При формировании представления о величине большую роль играет система заданий. В процессе выполнения этих заданий, практических работ на сравнение величин и их измерение учащиеся могут получить глубокое представление о каждой величине, предусмотренной программой [32, с.49].

Выделяются следующие основные подходы к рассмотрению темы «Величины» в начальном курсе математики:

Рис. 3

По этому принципу построены программы:

· М.И.Моро, М.А.Бантовой и др.;

· Н.Б.Истоминой;

· С.И.Волковой, Н.Н.Столяровой «Развитие познавательных способностей учащихся на уроках математики»;

· С.И.Волковой, О.Л.Пчелкиной «Математика и конструирование»;

· дидактическая система Л.В.Занкова;

· курс по системе укрупнения дидактической единицы П.М.Эрдниева. Особенности: Величины рассматриваются в тесной связи с изучением целых неотрицательных чисел и дробей: обучение измерениям связывают с изучением счета; новые единицы измерения вводят сразу после введения соответствующих счетных единиц; образование, запись и чтение именованных чисел изучают параллельно с нумерацией абстрактных чисел; арифметические действия выполняют над абстрактными и над именованными числами.

Рис. 4

По этому принципу построены программы:

· К.И.Нешкова, Ю.Н.Макарычева, А.М.Пышкало;

· В.Н.Рудницкой;

· А.И. Маркушевича;

· Н.Г.Салминой, В.А.Тарасова.

Особенности: Важнейшим понятием является понятие множества, на основе которого рассматриваются такие понятия, как «число», и такие отношения, как «равно», «меньше», «больше». Сведения о величинах рассматриваются в связи с измерениями и рассредоточены в соответствии с изученными числами.



Рис. 5

По этому принципу построена программа: Л.Г.Петерсон.

Особенности: Понятия множества и величины лежат в основе формирования представлений о числах.

Особенности: Понятия множества и величины лежат в основе формирования представлений о числах.

Рис. 6

По этому принципу построены программы:

· по системе обучения Д.Б.Эльконина - В.В.Давыдова;

· Л.М.Фридмана.

Особенности: Формирование понятия величины, т.е. введение в область отношений величин, раскрытие отношения величин как всеобщей формы числа, последовательное введение различных частных видов чисел как конкретизация общего отношения величин в определенных условиях, построение обобщенных способов действий с числами.

Младшие школьники изучают такие величины как цена, стоимость, масса, емкость, длина, время, скорость площадь и др. Эти величины включены в начальный курс с целью обеспечения практической надобности в измерении длины предметов, площади, массы; для лучшего усвоения нумерации и арифметических действий; для развития пространственных представлений.

Важнейшее место в этой работе отводится формированию умений и навыков, связанных с измерением ряда величин, практическому ознакомлению детей с соответствующими измерительными приборами и их шкалами, ознакомлению с системой единиц измерения и с переходом от одной единицы измерения к другим (таблица мер).

Таким образом, в основе методики изучения величин лежит практическая деятельность учащихся, связанная с овладением навыками измерения таких величин, как длина отрезка, площадь фигуры, масса тела, время.

Изучение величин и их измерение идет параллельно с ознакомлением учащихся с числами, фигурами. Для этого используется система текстовых задач, при решении которых учащиеся выполняют ряд действий над числами представляющими, в частности, некоторые значения той или иной величины (длины, площади, массы, времени, скорости). Большое внимание уделяется решению задач с пропорциональными величинами, такими как (таблица 1):

Таблица 1

1	Расстояние (S)	Скорость (V)	Время (t)
2	Работа (A)	Производительность (н)	Время (t)
3	Стоимость (C)	Цена (a)	Количество товара (n)
4	Количество квартир в доме (K)	Количество квартир на одном этаже (k)	Количество этажей (n)
5	Объем бассейна (V)	Скорость наполнения бассейна (a)	Время наполнения (t)
6	Площадь прямоугольника (S)	Длина (a)	Ширина (b)
7	Количество мест в театре (T)	Количество мест в ряду (t)	Количество рядов (n)
8	Масса заготовленного варенья (M)	Масса варенья в одной банке (m)	Количество банок (n)
9	Расход ткани на платье (P)	Расход ткани на одно платье (p)	Количество платьев (n)

Специфическими, относящимися только к усвоению представлений о величинах, являются задачи, связанные с выработкой измерительных навыков, выработкой навыков «чтения» шкалы мерной линейки, часовой шкалы, шкалы торговых весов и т.п. Здесь важно сформировать у детей умение правильно устанавливать измерительный инструмент или прибор.

Таким образом, после окончания начальной школы дети должны иметь следующие представления о величинах:

1. Знать единицы измерения величин и соотношения между крупными и мелкими единицами измерения.

2. Уметь пользоваться измерительными приборами.

3. Уметь измерять величины и выражать результат в различных единицах измерения.

4. Уметь сравнивать величины, то есть устанавливать отношения «больше», «меньше» и «равно».

5. Уметь выполнять все арифметические действия с единицами измерения величин.

Данные задачи находят отражение при реализации следующих этапов изучения величины в начальной школе (программа «Школа России»):

I этап. Выявление представлений ребенка о данной величине. Введение понятия и соответствующего термина.

II этап. Сравнение однородных величин (визуально, ощущением, положением, приложением, с помощью различных мерок).

III этап. Знакомство с единицей измерения величины и с измерительным прибором.

IV этап. Сложение и вычитание однородных величин, выраженных в единицах одного наименования.

V этап. Знакомство с новыми единицами измерения величин в тесной связи с изучением нумерации по концентрам. Перевод одних единиц нумерации в другие.

VI этап. Перевод величин, выраженных в единицах одних наименований, в однородные величины, выраженные в единицах других наименований.

VII этап. Сложение и вычитание однородных величин, выраженных в единицах двух различных наименований.

VIII этап. Умножение и деление величины на число.

В программе Н.Б.Истоминой последовательность изучения величин схожа с указанной выше, но имеются некоторые отличия:

I этап. Выяснение и уточнение имеющихся у детей представлений о данной величине, которые они выражают в речи с помощью различных житейских понятий.

II этап. Сравнение однородных величин (визуально, ощущением, положением, приложением, с помощью различных мерок).

III этап. Знакомство с единицами измерения величин, с соотношениями между ними и с измерительным прибором.

IV этап. Выполнение арифметических действий с величинами: сложение, вычитание, умножение и деление величины на число.

В программе Л.Г.Петерсон дополнительно учащиеся рассматривают исторические сведения, свойства величин:

I этап (подготовительный). Формирование представлений детей о величине, на основе которых строится ознакомление с изучаемой величиной.

II этап. Непосредственное сравнение величин.

III этап. Опосредованное сравнение величин с помощью мерки.

IV этап. Обоснование необходимости использования при сравнении величин единой мерки..

V этап. Исторические сведения о величинах и их измерении..

VI этап. Современные единицы измерения, соотношения между ними. Перевод величин, выраженных в единицах одного наименования, в другие.

VII этап. Сложение и вычитание величин. Решение текстовых задач.

VIII этап. Свойства величин.

1) Изученная величина - это определенное свойство предметов, которое позволяет их сравнивать (т.е. устанавливать отношения больше, меньше, равно).

2) Невозможность непосредственного сравнения величин (визуально, наложением) приводит к необходимости их измерения.

3) Чтобы измерить величину, нужно выбрать мерку (единицу измерения) и узнать, сколько раз она содержится в измеряемой величине. Получается число, которое называется значением величины. Таким образом, сравнение величин сводится к сравнению чисел (значений величин). Причем результат измерения зависит от выбранной мерки: чем больше мерка, тем меньше раз она содержится в измеряемом объекте.

4) Сравнивать, складывать величины можно лишь тогда, когда они измерены одинаковыми мерками.

Между тем, С.Л.Царева, автор методического пособия для учителей начальных классов отмечает, что при обучении учащихся математике по некоторым системам и учебникам «...интуитивные представления детей о конкретных величинах не только не уточняются, но в определенной мере искажаются: авторы отождествляют объект и величину, характеризующую его, они также не разводят понятия величина, значение величины, числовое значение величины, смешивают физический и математический смысл величины. В результате представления учащихся о величине, полученные из учебников этого направления, могут быть противоречивыми, алогичными и формальными» [31].

С этим нельзя не согласиться, т.к. в связи с использованием (верным и не верным) различных терминов в практической деятельности учителей возникает желание привести трактовки величин в начальных классах в соответствие с трактовкой этих понятий в науке.

Как отмечает Р.Н.Шикова, предваряя изучение конкретных величин, прежде всего, необходимо ознакомить учащихся со свойствами различных предметов и научить учащихся выявлять как качественные, так и количественные свойства: например, сравнить 2 кубика одинакового цвета по размеру и по массе. Сравнивая большой и маленький кубики, ученики приходят к выводу, что один из них больше по размеру, а другой больше, например, по массе. Выполняя такие упражнения, учащиеся начинают понимать, что сравнение нужно проводить по определенному свойству. При измерении тех или иных величин важно, чтобы учащиеся осознавали, что величина - это свойство предметов, по отношению к которому можно проводить сравнение и сложение [32].

1.4 Особенности математического блока УМК «Школа России»

Авторы: М.И. Моро, Ю.М. Колягин, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова, С.И. Волкова, С.В. Степанова.

Данный начальный курс математики интегрированный: в нем объедены арифметический, алгебраический и геометрический материал. Основу составляют представления о натуральном числе и нуле, четырех арифметических действиях с целыми неотрицательными числами и важнейших их свойствах, а также основанное на этих знаниях осознанное и прочное усвоение приемов устных и письменных вычислений. Важное место занимает ознакомление с величинами и их измерением.

Курс построен концентрически, что позволяет соблюсти постепенность в нарастании трудности учебного материала, и создает хорошие условия для совершенствования формируемых знаний, умений и навыков.

Ведущие принципы обучения:

· учет возрастных особенностей учащихся;

· органическое сочетание обучения и воспитания;

· усвоение знаний и развитие познавательных способностей;

· практическая направленность преподавания;

· индивидуальный подход к учащимся.

Практическая направленность методики выражена в следующих положениях:

1. Сознательное усвоение детьми различных приемов вычислений обеспечивается за счет использования рационально подобранных средств наглядности и моделирования с их помощью тех операций, которые лежат в основе рассматриваемого приема. Предусмотрен постепенный переход к обоснованию вычислительных приемов на основе изученных теоретических положений (переместительное свойство сложения, связь между сложением и вычитанием, сочетательное свойство сложения и др.).

2. В программе заложен механизм формирования у детей сознательных и прочных навыков устных и письменных вычислений, доведения до автоматизма знания табличных случаев действий. Этому способствует хорошо распределенная во времени, оптимальная насыщенная система упражнений, а также ограничение действий над числами пределами миллиона, отказ от изучения ряда относительно сложных для детей этого возраста вопросов, не имеющих принципиального значения для продолжения математического образования.

3. Алгоритмизация курса выражена в усилении роли алгоритмов при рассмотрении таких вопросов, как письменные вычисления, правила выполнения действий в числовых выражениях, проверка действий и т.п. Введены новые алгоритмы, усовершенствованы традиционные.

4. Рассмотрение теоретических вопросов курса опирается на жизненный опыт ребенка, практические работы, различные средства наглядности, подведение детей на основе собственных наблюдений к индуктивным выводам, сразу же находящим применение в учебной практике.

5. Система упражнений, направленных на выработку навыков, предусматривает их применение в разнообразных условиях. Тренировочные упражнения рационально распределены во времени. Значительно усилено внимание к практическим упражнениям с раздаточным материалом, к использованию схематических рисунков, а также предусмотрена вариативность в приемах выполнения действий, в решении задач.

6. На первых порах обучения важное значение имеет игровая деятельность детей на уроках математики. В программе приведен примерный перечень дидактических игр и игровых упражнений.

Основные содержательные линии: «Нумерация чисел», «Арифметический материал», «Алгебраический материал», «Геометрический материал», «Дроби и доли», «Текстовые задачи», «Величины и их измерение».

При формировании представлений о величинах (длине, массе, площади и др.) учитель опирается на опыт ребенка, уточняет и расширяет его. Так, при ознакомлении с понятием длины сначала используют такие приемы, как сравнение «на глаз», затем прием наложения, на следующем этапе вводятся различные мерки. В ходе выполнения таких заданий учащиеся подводятся к самостоятельному выводу о необходимости введения единых общепринятых единиц измерения каждой величины. Дети знакомятся с измерительными инструментами.

1 класс: В концентре «Десяток» учащиеся знакомятся с длиной отрезка, единицей измерения - сантиметр. Организуется работа по формированию временных представлений: сначала, потом, до, после, раньше, позже. При изучении чисел от 11 до 20 полученные знания закрепляются, вводится новая единица измерения - дециметр. Устанавливаются соотношения между ними. Кроме того, происходит знакомство с часом, дети учатся определять время по часам с точностью до часа. Изучение массы и объема начинается с введения единиц измерения - килограмм и литр.

2 класс: Полученные в 1 классе знания закрепляются и уточняются на новом числовом множестве - числа от 1 до 100. Вводится понятие - длина ломаной. Рассматриваются единицы измерения и соотношения между ними: длины - сантиметр, дециметр, миллиметр; времени - час, минута (определение времени по часам с точностью до минуты).

Кроме того, учащиеся знакомятся с периметром многоугольника.

3 класс: Площадь. Единицы площади: квадратный сантиметр, квадратный дециметр. Соотношение между ними. Площадь прямоугольника (квадрата).

Единицы времени: год, месяц, сутки.

Единица длины - метр. Соотношения метра и миллиметра, сантиметра, дециметра.

Единица массы - грамм. Соотношение грамма и килограмма.

Ознакомление с единицами измерения величин и их соотношениями проводится в течение всех лет обучения в начальной школе.

Одной из основных задач четвертого года обучения становится пополнение и обобщение этих знаний. Необходимо рассмотреть соотношение между единицами каждой величины.

Единицы длины: миллиметр, сантиметр, дециметр, километр.

Единицы площади: квадратный миллиметр, квадратный сантиметр, квадратный дециметр, квадратный метр, квадратный километр, ар, гектар.

Единицы массы: грамм, килограмм, центнер, тонна.

Единицы времени: секунда, минута, час, сутки, месяц, год, век.

Эти соотношения усваиваются учащимися при выполнении различных заданий и разучивании соответствующих таблиц. Программой предусмотрено также изучение приемов сложения и вычитания значений одной и той же величины, а также умножение и деление значений величины на однозначное число.

1. Величина - неопределяемое понятие. Под величинами понимают свойства объектов, которые допускают сравнение (<, >, =) и которым можно поставить в соответствие некоторую количественную характеристику.

Величины бывают: скалярные, векторные, аддитивные и неаддитивные, однородные и неоднородные.

Длина отрезка, площадь фигуры, масса тела, время - положительные скалярные величины.

Положительной скалярной величине можно поставить в соответствие количественную характеристику - численное значение (меру) при выбранной единице измерения. Отыскать численное значение величины возможно в результате ее измерения.

Измерение положительных скалярных величин - это процесс установления отображения из множества положительных скалярных величин V+ во множество положительных действительных чисел R+.

В результате такого отображения каждой положительной скалярной величине ставится в соответствие единственное положительное действительное число, называемое численным значением величины или мерой.

2. В начальных классах изучаются такие величины как цена, стоимость, масса, емкость, длина, время, скорость площадь и др. Эти величины включены в начальный курс с целью обеспечения практической надобности в измерении длины предметов, площади, массы; для лучшего усвоения нумерации и арифметических действий; для развития пространственных представлений. Большое внимание уделяется решению задач с пропорциональными величинами.

3. Начальный курс математики по программе «Школа России» интегрированный: в нем объедены арифметический, алгебраический и геометрический материал. Основу составляют представления о натуральном числе и нуле, четырех арифметических действиях с целыми неотрицательными числами и важнейших их свойствах, а также основанное на этих знаниях осознанное и прочное усвоение приемов устных и письменных вычислений. Важное место занимает ознакомление с величинами и их измерением.

2. Методические аспекты формирования временных представлений на уроках математики в начальной школе по программе «Школа России»

2.1 Методика формирования временных представлений в начальном курсе математики по программе «Школа России»

Задачи изучения темы:

познакомить учащихся с единицами времени и их соотношениями;

научить определять время по часам;

сформировать умение складывать и вычитать величины, выраженные в единицах времени, а также умножать и делить их на число;

Трудности изучения темы «Время. Измерение времени»:

1) Время всегда в движении, течение времени всегда совершается в одном направлении - от прошлого к будущему, оно необратимо, его нельзя задержать, вернуть, «показать» (текучесть, непрерывность, необратимость).

2) Время воспринимается человеком опосредованно, через конкретизацию временных единиц и отношений в постоянно повторяющихся явлениях жизни и деятельности.

3) Все меры времени (минута, час, сутки, неделя, месяц, год) представляют определенную систему временных эталонов, где каждая мера складывается из единиц предыдущей и служит основанием для построения последующей. Соотношение единиц не равно 10n.

Основные понятия темы: секунда, минута, час, сутки, неделя, месяц, декада, квартал, год, век.

Сутки - время обращения Земли вокруг своей оси.

Год - время обращения Земли вокруг Солнца.

Первые представления о времени, о временных промежутках, об измерении времени учащиеся получают еще до школы. Уже в детском саду дети знают название дней недели, месяцев в году, имеют представление о смене дня и ночи, некоторые умеют даже определять время по часам. Однако временная последовательность событий (что было раньше, что позже), понятие о продолжительности событий усваивается детьми с большим трудом. Типичными для них являются ошибки в установлении последовательности событий (вчера, сегодня, завтра,…)

В соответствии с программой «Школа России» знакомство с величиной «время» и единицами ее измерения начинает осуществляться со II класса. Однако, учитывая сложность процесса формирования временных представлений, необходимо с I класса вести работу в этом направлении.

При этом можно выделить следующие основные требования к знаниям, умениям и навыкам учащихся:

К концу 4 класса учащиеся должны знать:

- единицы названных величин, общепринятые их обозначения, соотношения между единицами каждой из этих величин;

- связи между такими величинами, как цена, количество, стоимость; скорость, время, расстояние и др.;

должны уметь:

- узнавать время по часам;

- выполнять арифметические действия с величинами (сложение и вычитание значений величин, умножение и деление значений величин на однозначное число);

- применять к решению текстовых задач знание изученных связей между величинами.

Первые представления о времени дети получают в дошкольный период. Смена дня и ночи, смена времен года, повторяемость режимных моментов в жизни ребенка - все это формирует временные представления. Однако как временная последовательность событий (что было раньше, что позже), так и особенно понятие о продолжительности событий усваиваются детьми с большим трудом. Типичными являются ошибки детей в установлении последовательности событий (например, дети смешивают понятия «вчера» и «завтра»).

Временные представления у первоклассников формируются, как и у дошкольников, прежде всего в процессе их практической (учебной) деятельности: режим дня, ведение календаря природы, восприятие последовательности событий при чтении сказок, рассказов, при просмотре фильмов, ежедневная запись в тетрадях даты работы - все это помогает ребенку увидеть изменение времени, почувствовать течение времени. Программа предусматривает в 1 классе знакомство детей с названиями дней недели, их последовательностью. В качестве наглядного пособия используется отрывной календарь или модель настольного календаря.

Самые первые уроки в 1 классе посвящены закреплению полученных в дошкольном возрасте знаний, уточняются понятия: «сначала», «потом», «раньше», «позже».

Начиная с 1 класса необходимо приступить к сравнению знакомых, часто встречающихся в опыте детей временных промежутков. Например, что длится дольше: урок или перемена, учебная четверть или каникулы, что короче по времени: занятия ученика в школе или рабочий день родителей? Такие задания способствуют развитию чувства времени. В процессе решения задач, связанных с понятием разности, дети приступают к сравнению возраста людей и постепенно овладевают важными понятиями: старше - моложе - одинаковые по возрасту.

Ввиду большой практической потребности полезно ознакомить первоклассников с тем, как по часам определяется время, при этом достаточно, если дети научатся пока вести отсчет времени с точностью до часа.

Знакомство с единицами времени способствуют уточнению временных представлений детей. Знание количественных отношений единиц измерения помогает сравнивать и оценивать по продолжительности промежутки времени, выраженные в тех или иных единицах времени. Такие единицы времени, как месяц и год, сутки, час и минута изучаются во 2 классе, а век и секунда - в 3 и 4 классах. Необходимо формировать у детей конкретные представления о каждой единице времени, добиваться усвоения их соотношений, научить пользоваться календарем и часами и с их помощью решать несложные задачи на вычисление продолжительности событий, если известны его начало и конец, а также задачи, обратные данной (т.е. на установление начала и конца события).

При знакомстве с часами обращается внимание на 12 и 24 - часовое счисление времени суток. Дети узнают, что началом суток является полночь (0 ч), что счет часов в течение суток идет от начала суток, поэтому после полудня (12 ч) каждый час имеет другой порядковый номер (1 час дня - это 13 ч , 2 часа дня - 14 ч и т.д.). Усвоению этой системы отсчета помогает изображение ее с помощью отрезка (рис.9):

Рис. 9

Чтобы дети научились устанавливать время по часам, полезно изготовить с ними на уроках труда циферблат с подвижными стрелками и, используя эту модель часов, выполнять практические упражнения. Учащимся сообщается, что «Маленькая стрелка часов - часовая. Она проходит от одной большой чёрточки до другой за 1 час. Большая стрелка - минутная. Она проходит от одной маленькой чёрточки до другой за 1 минуту. В 1 часе 60 минут».

Чтобы подготовить детей к восприятию единиц времени, необходимо во 2 классе продолжать систематическую работу с календарем, начатую в 1 классе. Подводя итог и обобщая наблюдения, полезно обращать внимание детей на последовательность месяцев и количество дней в каждом месяце. При записи даты в тетрадях следует также почаще задавать вопросы на выяснение последовательности месяцев (Сегодня 1 октября. А предыдущий месяц как назывался? Какой следующий месяц и т.п.).

Знакомя детей с месяцем и годом, учитель использует табель-календарь. Работая с календарем, учащиеся выписывают названия месяцев по порядку и количество дней в каждом месяце, выделяют одинаковые по продолжительности месяцы, отмечают самый короткий, определяют порядковый номер месяца, устанавливают день недели, если известно число и месяц, решают задачи на нахождение продолжительности событий.

Наибольшую трудность в практическом отношении представляет вопрос об определении промежутка времени между двумя событиями в течение недели, месяца, года:

Определение промежутка времени в течение одного месяца: «Сколько дней пройдет от 5 ноября до 27 ноября?»

Определение промежутка времени в течение двух смежных месяцев: «Посевные работы начали 24 апреля, а закончили 5 мая. Сколько времени длились посевные работы?»

Определение промежутка времени между двумя несмежными месяцами: «Запуск первого космонавта Ю. Гагарина на корабле «Восток» был произведен 12 апреля 1961г., запуск второго космонавта Ю.Титова на корабле «Восток - 2» был произведен 6 августа того же года. Сколько времени прошло от начала запуска первого корабля до начала второго?»

Учитель может показать, как быстро подсчитать число дней, зная, что в неделе 7 дней; объяснить, как запомнить число дней в каждом месяце при помощи кисти руки.

Понятие о сутках раскрывается через близкие детям понятия о частях суток - утро, день, вечер, ночь. Кроме того, опираются на представление временной последовательности: вчера, сегодня, завтра. Детям предлагают перечислить, чем они были заняты от вчерашнего утра до сегодняшнего утра , что будут делать, начиная с сегодняшнего вечера и до завтрашнего вечера и т.п. «Такие промежутки времени, - сообщает учитель, - называют сутками». Дети устанавливают, сколько суток проходит со вчерашнего вечера до завтрашнего вечера, сколько суток прошло от начала недели (понедельника) до субботы, которые по счету сутки наступят и т.п.

Следующими рассматриваются час и минута. Конкретные представления о соответствующих промежутках времени также формируются через практическую деятельность детей, через наблюдения. Так, час - это продолжительность одного урока и перемены. Чтобы ощутить время продолжительностью в 1 минуту, включают упражнения, с помощью которых дети узнают, что можно сделать за минуту (до какого числа успеешь сосчитать, сколько можно решить примеров, какое расстояние пройти и т.п.).

На первом же уроке по знакомству с часом и минутой сообщаются отношения между мерами времени: В 1 сутках 24 часа, в 1 часе 60 минут.

Усвоению отношений между единицами времени помогает таблица мер (рис. 11), которую следует повесить в классе, а также систематические упражнения в преобразовании именованных чисел, выраженных в мерах времени (сколько минут составляет 1 час и 30 минут, сколько суток составляет 72 часа и т.п.), их сравнении, нахождении различных долей любой единицы времени, решение задач на вычисление времени.

Рис.

В 3 классе таблица единиц времени пополняется - учащиеся знакомятся с веком и секундой. Конкретное представление о продолжительности секунды дети получают на основе наблюдений (устанавливают, что можно сделать за секунду).

Век - самая крупная из рассматриваемых единиц времени. Некоторое представление о продолжительности отрезка времени в 100 лет дети могут получить, сравнивая свой возраст, возраст близких людей и т.п.. Можно для наглядности начертить соответствующие отрезки на миллиметровой бумаге, приняв, например, 1 мм за 1 год.

Рис.

Знания о системе единиц расширяются. Дети узнают, что основными единицами измерения являются сутки - время, в течение которого Земля делает полный оборот вокруг своей оси, и год - время, в течение которого Земля делает полный оборот вокруг Солнца. Из этих основных единиц образованы все остальные.

Дети учатся осуществлять перевод величин, выраженных в единицах одних наименований, в однородные величины, выраженные в единицах других наименований.

Учащимся достаточно часто предлагаются задания следующего характера:

« Вырази:

1) в часах: 2 сут, 10 сут., 12 ч, 120 мин;

2) в сутках: 48 ч, 72 ч, 96 ч, 2 недели;

3) в месяцах: 3 года, 8 лет и 4 мес;

4) в годах: 24 мес, 60 мес, 84 мес, 96 мес.»

В 3 классе рассматриваются простейшие случаи сложения и вычитания простых и составных именованных чисел, выраженных в единицах времени. Преобразования чисел при этом выполняют попутно, без предварительной замены заданных составных чисел простыми.

Учащимся сообщается, что сложение и вычитание величин, выраженных в единицах разных наименований может быть устным или письменным. Если легко выполнить операцию, то вычисление выполняется устно. Для этого достаточно отдельно сложить величины одного наименования. В случае необходимости выполнить перевод и записать ответ. Если устно выполнить операцию сложно, то тогда величины, записанные в единицах двух различных наименований, нужно выразить в единицах одного наименования (наименьшего). Затем выполнить операцию над полученными многозначными числами. Выполнить обратный перевод. Показать целесообразность введения новой величины наглядно.

Например: 1 ч 30 мин + 25 мин = 1 ч 55 мин

Записывай вычисления в строчку:

18 ч 36 мин - 9 ч 20 мин 30 с + 25 с

18 ч 36 мин - 9 мин 2 мин 30 с - 1 мин

Следует отметить, что авторы умышленно не предлагают учащимся для выполнения «сложные случаи». Так как учащиеся достаточно часто забывают, что соотношение единиц времени не равно 10 n и допускают ошибки в вычислениях.

На данном этапе учащимся предлагаются следующие задания: