Методические особенности обучения решению геометрических задач

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Математические задачи в курсе геометрии основной школы

В типологии математических задач, представленной в [11. С. 103] одним из первых рассматривается деление их по признаку математического содержания. В соответствии с этим делением, если условие и заключение задачи принадлежат определенному разделу математики, то она принадлежит одному из следующих типов - арифметические, алгебраические, геометрические, тригонометрические, комбинаторные и т. д. Таким образом, геометрические задачи составляют в этой типологии отдельный класс задач, специфические особенности которых мы и рассмотрим.

1.1 Геометрическая задача: понятие, структура, решение

Одной из важнейших характеристик овладения математикой на том или ином уровне является умение решать задачи, причем не только стандартные, но и «требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности» [17 с 16.].

Говоря о геометрической задаче, напомним некоторые положения общей теории задач в обучении математике, конкретизируя их, где это возможно и целесообразно, на задачах геометрического характера.

Примем следующее понятие задачи: задача - это требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь на те условия, которые указаны в задаче, и/или учитывая их, [23 С. 6]. Тогда математическая задача - это задача, сформулированная на математическом языке, а геометрическая задача - это задача, сформулированная на геометрическом языке.

Заметим, что иногда задача формулируется на житейском, бытовом или профессиональном языке нематематической отрасли знаний, но решается математическими (геометрическими) средствами. Тогда прежде чем решать, ее надо перевести на математический (геометрический) язык. Такого рода задачи очень важны в процессе формирования компетенций. Однако они очень редко встречаются в учебниках математики (геометрии) или в сборниках математических (геометрических) задач.

Из данного выше определения задачи следует, что ее структура в самом общем плане включает в себя условие задачи (совокупность утверждений) и требование задачи Заметим, что иногда условием задачи называют всю формулировку задачи, т.е. все условия и требования вместе.. В задаче обычно присутствует не одно условие, а несколько независимых элементарных (т.е. нерасчленимых далее) условий. Требований в задаче также может быть не одно.

Пример. Задача. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 см. и 12 см. Найти катеты треугольника.

В этой задаче можно выделить такие элементарные условия:

1) треугольник, о котором идет речь в задаче, прямоугольный;

2) в этот треугольник вписана окружность;

3) точка касания окружности с гипотенузой делит ее на два отрезка;

4) длина одного из этих отрезков равна 5 см.;

5) длина другого отрезка равна 12 см.

Требование этой задачи можно расчленить на два элементарных:

1) найти длину одного катета треугольника;

2) найти длину другого катета треугольника.

Понятие «решение задачи» используется в нескольких основных смыслах:

- решение задачи как план (способ, метод) осуществления требований задачи;

- решение задачи как процесс выполнения плана, реализации требования;

- решение задачи как результат выполнения плана решения.

школа теорема геометрия чертеж

1.2 Роль и функции геометрических задач

Роль и функции задач в обучении геометрии в основной школе во многом определяются целью изучения курса геометрии в VII-IX классах, которая сформулирована а программах по математике следующим образом: «Целью изучения курса геометрии в VII-IX классах является систематическое изучение свойств геометрических фигур на плоскости, формирование пространственных представлений, развитие логического мышления и подготовка аппарата, необходимого для изучения смежных дисциплин (физика, черчение и т.д.) и курса стереометрии в старших классах» [18. С. 8.].

Итак, в качестве обучающей цели курса геометрии VII-IX классов в программах по математике является систематическое изучение свойств геометрических фигур на плоскости; в качестве развивающей цели - формирование пространственных представлений и развитие логического мышления; пропедевтическая цель состоит в подготовке аппарата, необходимого для изучения смежных дисциплин и стереометрии. Геометрические задачи эффективно способствуют достижению всех сформулированных в программе целей курса геометрии VII-IX классов.

Систематическое решение задач способствует сознательному и прочному усвоению теории геометрии, помогает увидеть ее практическую ценность, формирует ключевые компетенции в области геометрии. Геометрические задачи, как и другие математические задачи, выполняют воспитательные, развивающие и обучающие функции.

Осуществляя подбор задач для урока, учитель может преследовать различные цели, используя различные функции той или иной задачи на различных этапах урока.

· Задача может предварять какое-либо теоретическое положение и помогает отыскать его или усмотреть некоторую геометрическую зависимость. Тогда в задачи включают отдельные элементы доказательства теоремы. Рассмотрим пример.

Пример. Примеры задач на этих двух страницах взяты из [12. С. 554-555] Перед доказательством признака равенства треугольников по трем сторонам можно предложить следующие задачи:

а) Дано: АВ = ВС; АD = СD.(Рис. 1).

Доказать: BAD = BCD

Рис. 1.

б) Дано: в четырехугольнике АBCD:

АВ = АD; ВС = СD (Рис. 2.).

Доказать: ABC = АDС

Рис. 2

· Решение задачи может служить источником получения новых знаний по геометрии. Тогда полезно к условию задачи сформулировать некоторую последовательность заданий-требований.

Пример. Задача. Через точку М внутри круга проведены две хорды АB и CD. Доказать, что треугольники AMC и DMB подобны (Рис. 3).



Рис. 3.

Последовательность заданий-требований может быть такая:

- Записать пропорциональность сходственных сторон.

- Сравнить произведение отрезков хорды CD, на которые их делит точка М.

- Провести диаметр через точку М и сравнить произведение отрезков диаметра с произведениями отрезков каждой из хорд, проходящих через точку М.

- Сформулировать полученное предложение.

· Задача по геометрии может выполнять роль демонстрации практической значимости геометрии. Далее мы будем говорить специально о такого рода задачах, рассматривая классификации геометрических задач.

Пример. Задача. Длина тени, отбрасываемой деревом, равна 8,7 м, в то время как длина тени палки, воткнутой вертикально в землю, равна 1,2 м. Определить высоту дерева, если длина палки равна 0,88 м.

Рис. 4

1.3 Классификации геометрических задач

В методической литературе приняты следующие условные классификации геометрических задач.

1. По специфике языка. В курсе геометрии основной школы часто решаются текстовые задачи, т.е. те задачи, условие которых представлено преимущественно на естественном языке. Примером такого рода задачи из задач, рассмотренных в предыдущем пункте, может служить задача о хордах круга. Как видно из этого примера, кроме естественного здесь может использоваться и геометрический язык.

Иногда решаются и сюжетные геометрические задачи, то есть те, в которых присутствует фабула. В них описан «некоторый жизненный сюжет (явление, событие, процесс) …» [22. С. 3]. Чаще всего это геометрические задачи с практическим содержанием. Таковой является, например, последняя задача предыдущего пункта.

Сюжетные геометрические задачи играют значительную роль в процессе обучения, т.к. при их решении решается одна из важнейших задач всего курса математики - обучение методу моделирования и, в первую очередь, перевод естественного языка на язык математический, что иногда представляет значительную трудность.

Абстрактные задачи (с использованием только геометрического языка) встречаются гораздо реже. Иллюстрацией такого рода задач могут служить две задачи на готовых чертежах в первом из рассмотренных в предыдущем пункте примере.

2. По характеру рассматриваемых в геометрической задаче объектов они подразделяются на чисто геометрические задачи и практические задачи.

В чисто геометрических задачах речь идет только о геометрических фигурах вне связи их с конкретными объектами окружающего мира. Именно такие задачи составляют основное содержание задачного материала современных учебников геометрии. Приведенные в предыдущем пункте задачи, кроме последней, являются чисто геометрическими.

В практических задачах основными объектами являются предметы окружающего мира. Например, последняя задача предыдущего пункта относится к практическим. Эти задачи помогают учащимся узнавать в предметах окружающего мира знакомые геометрические фигуры, использовать те или иные свойства этих фигур и тем самым осознавать возможности практического применения геометрии. Более того, практические задачи играют большую роль в формировании общих компетенций. Задач с практическим содержанием в учебниках обычно недостаточно. Большую помощь в насыщении курса планиметрии такого рода задачами может оказать пособие для учителя [Апанасовы].

3. По отношению к теории [23. Оборот титула] или по уровню проблемности [11. С. 102] геометрические задачи делятся на стандартные и нестандартные В [11. С. 102-103] кроме нестандартных в соответствии с уровнем проблемности выделяются еще обучающие, поисковые и проблемные задачи. Мы не будем чрезмерно усложнять эту классификацию. задачи.

Геометрические задачи, для решения которых в школьном курсе имеются готовые алгоритмы или эти алгоритмы непосредственно следуют из определений или теорем, называют стандартными.

Примеры. Первый пример. Стандартными являются геометрические задачи, в которых теоремы могут служить алгоритмами решения. Так, теорема о средней линии трапеции служит алгоритмом для решения задач нахождения длины средней линии трапеции по ее основаниям. Последовательность шагов алгоритма для решения таких задач проста:

1) устанавливаем длину оснований трапеции;

2) находим их полусумму. Это и будет длина средней линии.

Второй пример. Все так называемые элементарные задачи на построение являются стандартными.

4. Наиболее распространенная классификация, которая обычно используется и в работе с учащимися, - это классификация, основанием которой является характер требований задачи. В соответствии с этим основанием геометрические задачи условно классифицируются на задачи: 1) на вычисление, 2) на доказательство, 3) на построение (конструктивные задачи).

Заметим, что эта классификация, несмотря на очень широкое ее распространение, достаточно условна: задача на вычисление часто является и задачей на доказательство, так как требует обоснования; одним из очень существенных этапов решения задачи на построение является доказательство; во многих задачах сочетается построение, вычисления и измерение. Все же эта классификация облегчает рассмотрение особенностей каждого вида геометрических задач.

5. В методической литературе специально выделяются так называемые “задачи на готовых чертежах”. Далее мы кратко их охарактеризуем. Функции этих задач не столько математические, сколько методические.

6. Методический характер носит и классификация, основой которой является характер использования задачи на уроке. В соответствии с этой классификацией можно выделить:

- подготовительные задачи,

- задачи на раскрытие содержания новых понятий,

- задачи на применение отдельной теоремы, формулы и др.;

- комбинированные задачи: на применение нескольких теорем, формул и т.д.

Некоторые примеры такого рода задач приведены в пункте 1.2.

Рассмотрим методику использования в процессе обучения наиболее интересных с методической точки зрения классов геометрических задач.

2. Методические особенности обучения решению геометрических задач.

2.1 Чертеж и краткая запись условия геометрической задачи

Основная особенность геометрических задач состоит в том, что их решение практически всегда сопровождается на том или ином этапе (иногда на нескольких) построением схематического чертежа-наброска, или, в некоторых случаях, полноценного чертежа. Правильное выполнение простейшего чертежа, как и его чтение, - одни из важнейших компетенций, необходимых каждому человеку в его повседневной, а во многих случаях и профессиональной деятельности.

С методической точки зрения чертеж - важнейшее средство наглядности, значение которого для обучения геометрии трудно переоценить. Особенно значительную роль играют чертежи в курсе геометрии основной школы, так как они, в отличие от старших классов, достаточно легко выполнимы и отражают истинное положение фигуры на плоскости.

При построении чертежа следует выполнять ряд требований. Сформулируем основные из них.

1. Чертеж должен представлять собой схематический рисунок основного объекта задачи (геометрической фигуры, или совокупности фигур, или какой-то части этих фигур).

2. Все элементы фигуры и некоторые ее характеристики должны быть обозначены на чертеже с помощью букв и других знаков.

Если в тексте задачи указаны какие-либо обозначения фигуры или ее элементов, то эти обозначения должны быть и на чертеже; если же в тексте никаких обозначений нет, то следует воспользоваться общепринятыми или наиболее удобными в данном конкретном случае.

3. Чертеж к геометрической задаче должен отражать наиболее общий случай вида и расположения основного ее объекта.

Это означает, что если в задаче в качестве основного объекта назван, например, треугольник и при этом не указан его вид, то следует построить разносторонний непрямоугольный треугольник. Или если в задаче основным объектом является трапеция, то не следует строить равнобедренную или прямоугольную трапецию и т.д.

4. При выполнении чертежа желательно соблюдать заданные в условии пропорции в построении отдельных элементов фигуры.

Это не значит, что необходимо строго выдерживать масштаб. Однако, если по условию задачи сторона АВ треугольника АВС наибольшая, то это должно быть соблюдено на чертеже. Или если задана медиана треугольника, то она должна проходить через одну из вершин и приблизительно через середину противоположной стороны. Надо соблюдать также такие заданные в условии задачи отношения, как параллельность, перпендикулярность и т.п.

5. Чертеж существенно облегчит процесс решения задачи, если он верен, легко выполним, нагляден.

Построение чертежа, как правило, сопровождает краткая запись всех условий и требований геометрической задачи. В ней, пользуясь принятыми на чертеже обозначениями, записываются все характеристики и отношения, указанные в условии задачи.

При этом названия фигур или отдельных ее частей следует заменять схематической записью их определений. Так, вместо того, чтобы писать, что ABCD - трапеция, лучше записать, что AB ¦ CD.

В краткой записи, так, где это возможно и целесообразно, следует использовать стандартный математический символический язык, т.е. знаки =, ¦, и т.п.

Заметим, что эти рекомендации не носят тотального характера, при решении некоторых геометрических задач чертеж и краткая запись могут быть выполнены иначе. Приведем пример построения чертежа и выполнения краткой записи одной интересной геометрической задачи Задача заимствована из [23. С. 12-13]..

Пример. Задача. Диагональ трапеции перпендикулярна к ее основаниям; тупой угол, прилежащий к ее основанию, равен 120?, а боковая сторона, прилежащая к нему, равна 7 см; большее основание равно 12 см. Найти среднюю линию трапеции.

Основной объект задачи - трапеция, в которой одна из диагоналей перпендикулярна ее основаниям.

Если начинать чертить эту трапецию обычным способом с построения ее сторон, ошибка практически неизбежна, т.к. нестандартное положение занимает диагональ трапеции: она должна быть перпендикулярна ее основаниям. Поэтому наиболее оптимальный путь - построение этой диагонали, которую можно представить в качестве вертикального отрезка, от концов которого строятся два горизонтальных отрезка, - основания трапеции, направленные в разные стороны от диагонали. Строим тупой (по условию) угол при большем (обычно нижнем) основании. Вторая его сторона пересечет меньшее основание в одной из вершин трапеции. Достраиваем трапецию, придерживаясь заданных пропорций, проводим в ней среднюю линию, вводим стандартные обозначения тупого угла при большем основании (Рис. 5).

Рис. 5

2.2 Методика обучения решению стандартных геометрических задач

Как мы уже говорили, стандартные геометрические задачи - это такие задачи, которые решаются с помощью одной теоремы, одного определения геометрического понятия и т.п. Тем не менее, не всегда процесс решения такой задачи проходит гладко. Дело в том, что в конкретной теореме, определении конкретной геометрической фигуры алгоритм применения их к определенной стандартной геометрической задаче находится в свернутом виде. Для того, чтобы его использовать, следует развернуть этот алгоритм в пошаговую программу действий. К тому же стандартные задачи являются основными геометрическими задачами, поскольку все остальные в конечном счете сводятся к ним.

Можно выделить следующие особенности процесса решения стандартных геометрических задач.

1. Анализ стандартной геометрической задачи сводится к распознаванию вида задач, к которому принадлежит данная задача, т.е. того общего положения геометрии (аксиомы, теоремы, определения геометрической фигуры), с помощью которого она решается.

Это диктует необходимость для обучаемого держать в оперативной памяти все изученные в геометрии общие положения - аксиомы, теоремы, определения геометрических фигур

2. Поиск решения стандартной геометрической задачи состоит в составлении на основе общего положения геометрии последовательности шагов решения задач данного вида, то есть в разворачивании свернутой в общем положении программы деятельности. Ее не обязательно формулировать письменно, достаточно просто наметить.

3. Решение стандартной геометрической задачи состоит в применении этой программы к условиям данной задачи.

4. При этом какой-то шаг программы может быть ранее решенной стандартной задачей. Таким образом, процесс накопления стандартных задач во многом индивидуален. Он обеспечивает решение все более сложных, но все же уже для решаемого стандартных задач.

Пример. Для решения элементарной задачи на построение треугольника по трем элементам (сторонам и углам), каждая из которых является стандартной, используются такие ранее решенные элементарные стандартные задачи, как построение угла и отрезка, равных заданным. ?

2.3 Методика обучения решению геометрических задач на доказательство

Надо признать, что задачи на доказательство - наиболее трудный вид геометрических задач. Но так как задача на доказательство по сути дела является теоремой, то для нее практически сохраняются все особенности методики обучения доказательству теорем. Поэтому мы не будем повторять основные положения этой методики, ограничившись примером работы над задачей на доказательство.

Пример. Задача. В треугольниках АВС и А1В1С1 углы А и А1 - прямые, BD и B1D1 - биссектрисы. Докажите, что треугольники равны, если угол В равен углу В1 и BD=B1D1. [4. С.85].

1 ЭТАП. Анализ условия задачи и построение чертежа

Деятельность учителя	Деятельность ученика
1. Какого типа эта задача? 2. Какие фигуры участвуют в задаче? 3. К какому виду относятся эти треугольники? 4. Какие элементы этих треугольников заданы? 5. Каковы эти биссектрисы?	Геометрическая задача на доказательство. Треугольники АВС и А1В1С1. Треугольники прямоугольные, В= =В1. В этих треугольниках из вершин В и В1 проведены биссектрисы. Эти биссектрисы равны.
	6. Сделайте чертеж и нанесите данные

Размещено на http://www.allbest.ru/

7. Что требуется доказать? 8. Запишите кратко условия и требование задачи.

2 ЭТАП. Поиск путей доказательства

Деятельность учителя	Деятельность ученика
1. В задаче требуется доказать, что треугольники равны. Какими теоремами пользуемся для доказательства того, что треугольники равны? 2. Что нужно найти в этих треугольниках, чтобы доказать их равенство? 3. Сколько пар равных элементов необходимо найти в этих треугольниках, почему? 4. Какие равные элементы мы имеем по условию задачи? 5. Каких равных элементов нам не хватает, чтобы применить один из признаков? 6. Попробуем доказать равенство катетов АВ и А1В1. Как мы доказываем равенство отрезков? 7. Чтобы доказать равенство катетов АВ и А1В1, какие треугольники следует рассмотреть? 8. Определите вид треугольников. 9. Сколько пар равных элементов нам следует найти в этих треугольниках? 10. Что известно об этих треугольниках по условию? 11. Итак, какой вывод можно сделать о треугольниках ABD и A1B1D1? 12. Зачем мы рассматривали эти треугольники? 13. Значит, какой вывод можно сделать из равенства треугольников? 14. Зачем мы рассматривали равенство отрезков АВ и А1В1? 15. Итак, какой вывод можно сделать о АВС и А1В1С1? 16. В итоге наметим план решения задачи: a) Рассмотрим АВD и А1В1D1 и докажем их равенство. Сделаем вывод о равенстве сторон АВ и А1В1 b) Рассмотрим АВС и А1В1С1 и установим их равенство	Признаками равенства треугольников Нужно найти равные элементы. Две пары, так как треугольники прямоугольные. Угол В равен углу В1. Равенства гипотенуз, или равенства катетов. Доказываем через равенство треугольников. Рассмотреть Они прямоугольные. Две пары. BD=B1D1, 1=2 (как половины равных углов) АВD=А1В1D1 по катету и острому углу. Чтобы доказать равенство отрезков АВ и А1В1. АВ=А1В1. Чтобы доказать равенство АВС и А1В1С1. АВС= А1В1С1 по катету и острому углу.

Поиск путей решения (анализ) и составление плана удобно сопровождать схемой, заменяя стоящие знаки вопроса на знаки равенства при синтезе ( см далее схему).

3 ЭТАП. Оформление решения.

Доказательство:

1. Рассмотрим АВD и А1В1D1. Они прямоугольные, т.к.:

BD=B1D1 (по условию),

ABD=A1B1D1 (как половины равных углов), так как В=В1 (по условию) и ЅВ=ЅВ1 .

Следовательно, АВD= А1В1D1.

2. Рассмотрим АВС и А1В1С1. Они также прямоугольные, т.к.:

АВ=А1В1 (по доказанному),

В=В1 (по условию).

Следовательно, АВС=А1В1С1 (по катету и острому углу), что и требовалось доказать.

Размещено на http://www.allbest.ru/

2.4 Методика обучения решению задач на вычисление

Прежде поясним, почему именно они подвергаются детальному анализу. Задачи на доказательство, как мы уже сказали, по существу являются теоремами. Задачи на построение требуют отдельного рассмотрения в теме “Геометрические построения на плоскости”.

Задачи на вычисление составляют основное содержание задачного материала учебников геометрии основной школы. Более того, задача на вычисление обычно включает в себя элементы построений, а также доказательство некоторых геометрических фактов, то есть они зачастую значительно богаче по геометрическому содержанию, чем другие классы задач.

Введем рабочее понятие задачи на вычисление.

Задача на вычисление - это задача, в которой требуется выразить неизвестные величины (отрезки, углы, площади и др.) или их отношения через известные величины, которые могут быть даны в общем виде или числовыми значениями.

Иногда данные величины выражены буквами и ответ должен быть дан в общем виде. Но в большинстве задач данные выражены числами и решение их следует доводить до числа. При решении вычислительных задач учащиеся пользуются теми навыками в преобразованиях формул и вычислениях, которые получены ими на уроках математики (арифметики) и алгебры. Поэтому процесс решения таких задач в значительной мере сводится к:

- составлению уравнений, формул;

- алгебраическим преобразования,

- арифметическим вычислениям.

Таким образом, именно эти задачи в наибольшей степени реализуют внутрипредметные связи с арифметикой, алгеброй, в дальнейшем - тригонометрией.

Геометрические задачи на вычисление имеют свои специфические особенности. Рассмотрим их в контексте основных этапов решения любой задачи. Напомним эти этапы:

1) анализ условия задачи,

2) поиск способа решения задачи, составление плана;

3) осуществление плана, оформление решения задачи;

4) изучение полученного решения.

Охарактеризуем специфические особенности первого этапа решения геометрической задачи на вычисление - работы с условием. Основной метод обучения здесь - чаще всего метод беседы. Учитель должен тщательно отработать систему вопросов к учащимся.

В начале работы с условием чаще всего ставится вопрос: “Какие геометрические фигуры рассматриваются в задаче?”, выделяется основная фигура.

После этого полезно поработать с содержанием геометрических понятий, входящих в условие задачи, ее терминологией. Уместны вопросы типа:

- Какая фигура называется ... ?

- Что значит, что ... ? и др.

Параллельно строится чертеж, причем правильный чертеж во многом определяет ход решения задачи.

Мы уже рассматривали подробно требования к чертежу. Переформулируем их в более простом, понятном ученикам виде, в котором их можно использовать на уроке:

- максимально возможное соответствие условию;

- наглядность, оптимальные размеры (не только на доске; учителем, особенно на первых порах, даются и необходимые указания по построению чертежей в тетрадях);

- рассматриваются (и это специально оговаривается учителем) геометрические фигуры общего вида, а не частные случаи.

По окончании построения чертежа на нем выделяются данные и искомые элементы цветом, обозначениями:

- углы - цифрами и дугами;

- равные отрезки значками “”, “”, “”;

- прямые углы значком “” и др.

Иногда на чертеже указываются данные величины. При этом основное требование - не загромождать чертеж.

Раскроем специфические особенности второго этапа решения геометрической задачи на вычисление.

Чаще всего используется аналитический метод поиска решения: рассуждения ведутся от требования задачи к ее условию. Здесь уместны вопросы типа:

- Что надо найти в задаче?

- А что для этого надо знать?

- В какую фигуру входит ... ?

- Что отсюда следует? И так далее.

Синтетический путь поиска решения задачи (от условия задачи к ее требованию) уместен, если не удается анализ:

- Рассмотрим фигуру ...

- Сделаем дополнительные построения ...

И тому подобное.

На этапе поиска решения определяющую роль играет чертеж. На нем ищутся фигуры, в которые входят искомые и данные элементы и таким образом устанавливаются соотношения между ними. Часто выполняются дополнительные построения - только необходимые, не загромождающие чертеж.

Учителю очень важно ненавязчиво руководить выбором и использованием теории (определений, теорем, аксиом). Здесь уместны вопросы типа:

- Какая геометрическая фигура называется ... ?

- Сформулируйте определение ...

- Какими свойствами обладает ... ?

- Какое из них связывает данные и искомые элементы?

- Как эту связь выразить в виде формулы, уравнения, отношения?

После этого подводятся итоги: из предложенных вариантов решения выбирается наиболее эффективный, намечается общий (недетализированный) план решения задачи.

III этап - осуществление плана во всех деталях, оформление решения.

При выполнении вычислений возникает вопрос: в каком виде должен быть получен ответ и промежуточные результаты? Постепенно следует приучать учащихся решать задачу в общем виде, подставляя числовые данные в заключительную формулу или уравнение, так как иногда при вычислении промежуточных результатов выполняется лишняя работа (некоторые величины, которые были найдены в процессе решения задачи, могут не входить в конечную формулу).

При оформлении решения чаще всего практикуется пошаговая запись решения с обоснованиями (аналогичная оформлению доказательства теорем). Заключает оформление ответ на вопрос задачи.

Последний этап решения задачи (исследование полученного решения) в случае геометрической задачи на вычисление предполагает:

- оценку полученного ответа на достоверность.

- проверку решения (в отдельных случаях).

Пример методики работы с задачей на вычисление.

Задача № 412 [3]. Даны равнобедренный прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С, катетом АС=12см и квадрат CDEF, такой, что две его стороны лежат на катетах, а вершина Е - на гипотенузе треугольника. Найдите периметр квадрата.

1 этап. Основной метод - вопросно-ответный (беседа).

- Какие геометрические фигуры рассматриваются в задаче? (Равнобедренный прямоугольный треугольник и квадрат).

- Выясним, как они расположены относительно друг друга. Для этого вспомните, какими свойствами обладает равнобедренный прямоугольный треугольник? (Катеты равны, угол прямой). Квадрат? (Углы прямые и стороны равны).

- В обозначении квадрата использована буква С, что это значит? (Одна вершина квадрата и вершина прямоугольного треугольника с прямым углом при ней совпадут в точке С).

- Что сказано о трех других вершинах квадрата? (Е - на гипотенузе, а D, F - должны лежать на катетах, потому, что по условию стороны квадрата с общей вершиной С лежат на катетах)

Параллельно строится чертеж, оформляется краткая запись.

Размещено на http://www.allbest.ru/

2 этап.

Аналитический метод поиска решения:

- Какие величины даны в условии? (Длина катета треугольника). Что надо найти в задаче? (Периметр квадрата)

- По какой формуле он рассчитывается? (Р=4а).

-А что для этого надо знать? (Длину стороны квадрата).

- Частью каких элементов треугольника являются стороны квадрата? (Частью сторон).

- Можно ли визуально предположить, как связаны стороны треугольника и стороны квадрата? (Видимо, равны половине стороны). Если бы нам удалось это доказать, смогли бы мы ответить на вопрос задачи? (Да. 6 умножить на 4).

- Итак, надо попытаться доказать, что сторона треугольника равна по длине двум сторонам квадрата. Одна сторона квадрата непосредственно является частью стороны треугольника. Значит нужно доказать, что оставшаяся часть FB равна стороне квадрата.

- В состав какой фигуры входит отрезок FB? (EFB). Может быть, можно визуально найти равный ему треугольник, в состав которого входит сторона квадрата? (ADE, сторона DE).

- Итак, нужно доказать равенство треугольников. Что мы можем сказать о виде треугольников? ( они прямоугольные). Какие признаки равенства прямоугольных треугольников знаем? Какие равные элементы имеются в треугольниках? (Два угла соответственно равны и два катета как стороны квадрата).

- Какой можно вывод сделать, опираясь на признак равенства? (Треугольники равны).

- Что из этого следует? (DE=FB).

-Чему равна длина стороны треугольника? (Сумме длин сторон квадрата CB=CF+DE=2CF).

- Чему равна длина стороны квадрата из этого выражения? (Половине длины стороны треугольника).

- Зная длину стороны треугольника, сможем найти сторону квадрата? Периметр?

Намечается общий план решения задачи.

1. Доказать, что треугольники EFB и ADE - прямоугольные и обосновать их равенство.

2. Сделать вывод о равенстве отрезков DE и FB.

3. Найти длину стороны квадрата.

4. Найти периметр квадрата.

3 этап - осуществление плана во всех деталях, оформление решения.

Решение

1. EFB и ADE - прямоугольные (при их вершинах D и F углы являются смежными с углами квадрата, тогда их величина по 90).

2. EFB=ADE (по катету и острому углу): 1=2 как углы при основании равнобедренного треугольника, DE=EF как стороны квадрата.

3. DЕ=FB из равенства треугольников, тогда СВ=CF+FB=CF+DE=2CF. Откуда CF=1/2CВ=6см.

4. Р=64=24 (см).

Ответ. 24см.

4 этап. Исследование. Оценка полученного ответа на достоверность: периметр выражается положительным числом, в нашем случае - верно. ?

2.5 Методика использования задач на готовых чертежах в курсе геометрии основной школы

Задачи на готовых чертежах - это задачи, в которых условие предложено в виде чертежа с общепринятыми понятными обозначениями и, как правило, краткой записью заключения; чаще всего предполагается устный характер их решения. Задачи на готовых чертежах находят все более широкое применение в курсе геометрии основной школы.

Они могут выполнять роль подготовительных упражнений перед введением нового понятия, доказательством теоремы, решением сложной задачи, представляя собой решение элементарной стандартной подзадачи.

Эффективна организация устных вычислений по готовому чертежу для выработки навыков применения соответствующих теорем, аксиом, определений геометрических фигур.

Незаменимы задачи на готовых чертежах при организации самостоятельной работы учащихся как обучающего, так и контролирующего характера; полезны домашние задания по готовым чертежам, в том числе индивидуального характера.

Большое влияние оказывает решение задач на готовых чертежах на развитие устной и письменной математической речи учащихся.

Большую помощь в насыщении курса геометрии основной школы задачами на готовых чертежах может оказать пособие для учителя [20].

Итак, специфика задач на готовых чертежах состоит в предъявлении условия, которое предлагается в виде чертежа. Данные и требования задачи могут быть:

1) даны в виде краткой записи к чертежу;

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пример 1. Примеры взяты из пособия [20].

Дано: a||b, c - секущая,

1=42

Найдите 1 и 2.

Пример 2.

Размещено на http://www.allbest.ru/

2) отмечены непосредственно на чертеже:

3) проговорены учителем на уроке;

4) к различным заданиям может быть дано общее требование (см. пример 3 в таблице на следующей странице).

Геометрическое содержание задач на готовых чертежах: рассматриваются, как правило, опорные (типовые) геометрические конфигурации, которые потом используются для доказательства теорем, решения более сложных геометрических задач.

Условие задачи может подаваться по-разному, в частности, в зависимости от технической оснащенности кабинета математики оно может быть:

- при наличии интерактивной доски или мультимедийного проектора встроено в презентацию к уроку;

- подготовлено заранее на доске (в том числе переносной, частично закрытой и др.);

- изготовлена кодопленка;

- использованы кадры диафильма или весь диафильм;

- изготовлен плакат, таблица;

- изготовлен макет чертежа с помощью магнитной доски.

Перечислим несомненные преимущества использования задач на готовых чертежах: экономия времени, показ образцов правильного построения чертежей, формирование умения читать чертеж, что относится к основным общетехническим умениям; формирование умений устно рассуждать, обосновывать, вычислять; развитие пространственного мышления, воспитание эстетических вкусов.

К основному недостатку задач на готовых чертежах можно отнести то, что не формируются конструктивные навыки учащихся. Поэтому в использовании этих задач необходима разумная мера.

Пример 3.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Литература

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия. Пробный учебник для 8-9 кл. средней школы. М. 1991.

2. Апанасов Л.Т., Апанасов Н.П. Сборник математических задач с практическим содержанием. - М.: Просвещение. 1987.

3. Атанасян Л.С. и др. Геометрия: Учебник для 7-9 кл. средней школы. - М. 1995.

4. Базовые методики обучения математике: Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов пединститутов и педуниверситетов Малова И.Е., Горохова С.К., Малинникова Н.А. и др. - Брянск: Изд-во БГПУ, 2001.

5. Бескин Н.М. Методика геометрии. М. 1947.

6. Дробышева И.В. , Дробышев Ю.А. Лабораторный практикум по теории и методике обучения математике. - Калуга: КГПУ, 2003.

7. Дробышева И.В. , Дробышев Ю.А., Малахова Е.И. Теоретические основы методики обучения математике. Тексты лекций. Часть 1. - Калуга: КГПУ, 2012.

8. Колмогоров А.Н. и др. Геометрия. Учебное пособие для 6-8 классов средней школы. М. 1979.

9. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: Учебное пособие для студентов физико-математических специальностей пединститутов / Е.И. Лященко и др. - М.: Просвещение, 1988.

10. Метельский Н.В. Дидактика математики. Минск. 1982.

11. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов / Под научн. ред. Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой. - М.: Дрофа, 2005.

12. Методика преподавания математики в восьмилетней школе / Под общей редакцией С.Е. Ляпина. - М.: Просвещение, 1965.

13. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика/ Составители Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. - М. 1985.

14. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика. - М. 1987.

15. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 5-9 классов средней школы. - М.: Просвещение, 1988.

16. Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 7-11 классов средней школы. М. 1987.

17. Пойа Д. Математическое открытие. - М.: Наука, 1970.

18. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика, 5-11 класс. - М.: Дрофа, 2012.

19. Руденко В.Н., Бахурин Г.А. Геометрия: Пробный учебник для 7-9 классов средней школы. М. 2012.

20. Саврасов С.М., Ястребинецкий Г.А. Упражнения по планиметрии на готовых чертежах. - М. Просвещение, 1987.

21. Фридман Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. - М.: Педагогика, 1977.

22. Фридман Л.М. Сюжетные задачи по математике. История, теория, методика. - М.: Школа-пресс, 2012.

23. Фридман Л.М. , Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи. - М.: Просвещение, 1989.

24. Чичигин В.Г. Методика преподавания геометрии. Планиметрия. М.: Учпедгиз, 1959.

25. Шарыгин И.Ф. Геометрия 7-9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Дрофа, 2010.

Размещено на Allbest.ur