Действительно, по определению, если |x| ?1, имеем: - р/2 ? arcsin x ? ? р/2. Таким образом, углы arcsin (-х) и - arcsin х принадлежат одному и тому же отрезку [- р/2; р/2].

Найдем синусы этих углов: sin (arcsin(-х)) = - х (по определению); поскольку функция y=sin x нечетная, то sin (-arcsin х)= - sin (arcsin x)= - х. Итак, синусы углов, принадлежащих одному и тому же промежутку [-р/2; р/2], равны, значит, равны и сами углы, т.е. arcsin (-х)= - arcsin х. Значит, функция y=arcsin x - нечетная. График функции y=arcsin x симметричен относительно начала координат.

Покажем, что arcsin (sin x) = х для любого х [-р/2; р/2].

Действительно, по определению -р/2 ? arcsin (sin x) ? р/2, а по условию -р/2 ? x ? р/2. Значит, углы х и arcsin (sin x) принадлежат одному и тому же промежутку монотонности функции y=sin x. Если синусы таких углов равны, то равны и сами углы. Найдем синусы этих углов: для угла х имеем sin x, для угла arcsin (sin x) имеем sin (arcsin(sin x)) = sin x. Получили, что синусы углов равны, следовательно, и углы равны, т.е. arcsin (sin x) = х. [5].

Рис. 7

Рис. 8

График функции arcsin (sin|x|) получается обычными преобразованиями, связанными с модулем, из графика y=arcsin (sin x) (изображен штриховой линией на рис. 8). Искомый график y=arcsin (sin |x-/4|) получается из него сдвигом на /4 вправо вдоль оси абсцисс (изображен сплошной линией на рис. 8)

1.4 Функция, обратная тангенсу

Функция y=tg x на промежутке принимает все числовые значения: E (tg x)=. На этом промежутке она непрерывна и монотонно возрастает. Значит, на промежуткеопределена функция, обратная функции y = tg x. Эту обратную функцию называют арктангенсом и обозначают y = arctg x [4].

Арктангенсом числа а называют угол из промежутка , тангенс которого равен а. Таким образом, arctg a есть угол, удовлетворяющий следующим условиям: tg (arctg a) = a и 0 ? arctg a ? р.

Итак, любому числу х всегда соответствует единственное значение функции y = arctg x (рис. 9) [4].

Очевидно, что D (arctg x) = , E (arctg x) = .

Функция y = arctg x является возрастающей, поскольку функция y = tg x возрастает на промежутке. Нетрудно доказать, что arctg(-x) = - arctgx, т.е. что арктангенс - нечетная функция.

Рис. 9

График функции y = arctg x симметричен графику функции y = tg x относительно прямой y = x, график y = arctg x проходит через начало координат (ибо arctg 0 = 0) и симметричен относительно начала координат (как график нечетной функции).

Можно доказать, что arctg (tg x) = x, если x.

1.5 Функция, обратная котангенсу

Функция y = ctg x на промежутке принимает все числовые значения из промежутка. Область ее значений совпадает с множеством всех действительных чисел. В промежутке функция y = ctg x непрерывна и монотонно возрастает. Значит, на этом промежутке определена функция, обратная функции y = ctg x. Функцию, обратную котангенсу, называют арккотангенсом и обозначают y = arcctg x [4].

Арккотангенсом числа а называют угол, принадлежащий промежутку, котангенс которого равен а.

Таким образом, аrcctg a есть угол, удовлетворяющий следующим условиям: ctg (arcctg a)=a и 0 ? arcctg a ? р.

Из определения обратной функции и определения арктангенса следует, что D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . Арккотангенс является убывающей функцией, поскольку функция y = ctg x убывает в промежутке.

График функции y = arcctg x не пересекает ось Ох, так как y > 0 R. При х = 0 y = arcctg 0 =[4].

График функции y = arcctg x изображен на рисунке 11.

Рис. 11

Отметим, что для всех действительных значений х верно тождество: arcctg(-x) = р-arcctg x.

2. Методические основы изучения обратных тригонометрических функций

2.1 Процесс обучения

Обучение - это, прежде всего, процесс целенаправленной, организованной, планомерной познавательной деятельности учащихся под руководством педагогов.

Основная цель современной школы - создать такую систему образования, которая бы обеспечивала образовательные потребности личности в соответствии с её склонностями, интересами и возможностями, создавала бы условия для самореализации, готовила бы к творческому интеллектуальному труду.

Знания в области математики являются необходимой составной частью интеллектуального баланса каждого образованного человека.

Универсальный элемент мышления - логика. Искусство определять и умение работать с определениями; умение отличать известное от неизвестного, доказанное от недоказанного, искусство анализировать, классифицировать, ставить гипотезы, пользоваться аналогиями - всё это и многое другое человек осваивает в значительной мере именно благодаря изучению математики [26].

Широко распространенный термин «процесс обучения» может означать самые различные по объему и содержание понятия от общей системы всего среднего образования до отдельного урока по тому или иному предмету.

В этой выпускной квалификационной работе рассматривается процесс обучения, связанный с одной математической темой «Обратные тригонометрические функции». И в ходе этого процесса учащийся получает знания по данной теме.

Тем не менее, процесс обучения в любом смысле есть процесс труда, включающий работника, т.е. человека, который осуществляет этот труд в соответствии с поставленной целью (формирование у учащихся понятия об обратных тригонометрических функциях). Предмет труда, материал, воздействуя на который человек, получает продукт заданного качества и количества в нашем случае это учащиеся или обучаемые. Средства труда - это те средства, которыми человек действует на предмет труда. В данном случае это методика изучения обратных тригонометрических функций. Но обучение есть весьма сложный трудовой процесс. Задача учителя выделить общие черты при преподавании темы для старших и младших школьников, но в то же время и разграничить некоторые моменты, учитывая возрастные особенности детей. Большая сложность ещё и в том, что дети одновременно со школьным подвергаются ещё и внешкольному воздействию - со стороны семьи, улицы, друзей, телевидения, т.е. среды и это воздействие не всегда является благоприятным, а значит, появляется необходимость заинтересовать каждого ученика. Кроме этого, каждый ребёнок обладает определенной психической, физиологической индивидуальностью, уровень способностей так же будет различен, подобно наличию или отсутствию склонностей или таланта в той или иной области отсюда должен вытекать индивидуальный подход к каждому ученику [26].

Ученик не есть просто предмет труда, пассивно воспринимающий рабочее воздействие учителя. В соответствии со своими познавательными возможностями на основании закономерностей детского познания, пользуясь ранее приобретенными учебными навыками, он тоже действует, и действует весьма активно, так как занят трудом, имя которому - учение [26].

От простого предмета труда учащийся отличается и тем, что он, как и при любой деятельности, переживает своё отношение (проще говоря - так или иначе относится) к изучаемому материалу, к учителю, к товарищам по классу, к миру вообще, к результатам своей деятельности не только конечным - в виде оценок, например, - но и, так сказать, текущим, сиюминутным. Поэтому полезную аналогию между обучением и трудовым процессом не следует рассматривать шире тех пределов, где та аналогия способна породить продуктивные размышления.

Обучение есть и не что иное, как процесс общения (или, как его чаще называют, коммуникации) между учителем и учащимися. Как и при любом общении, учащиеся, слушая активно, предугадают дальнейший ход изложения, радуясь верным догадкам и осмысливая причины неудачных, не оправдавшихся. Ведь успех или неуспех в учении также влияет на формирование отношения к учебным предметам. Успех вызывает положительные эмоции, позитивное отношение к предмету и стремление развиваться в этом отношении, а неуспех порождает негативное отношение к предмету и желание прервать занятия.

Учитель должен быть хорошим стратегом и вовремя создавать для интеллекта детей посильные трудности. В этом и заключается трудность: уметь не ликвидировать все преграды на пути ребят к вершине знания, а планомерно создавать их, что позволит детям не только осознано владеть школьной программой, но и продвинуться на пути формирования своей личности.

2.2 Психолого-педагогический аспект

2.2.1 Возрастные особенности подростков

Знание психологии учеников помогает учителю в его работе, так как учителя нередко задают вопрос: «Как относиться к ученикам, а в особенности к старшеклассникам? Считать ли их детьми, пусть, старшими, но все-таки детьми, или требовать с них, как с взрослых?» Вопрос этот не случайный. Его решение связано с пониманием кардинальных проблем возраста, специфики и ведущих тенденций, определяющих особенности учебно-воспитательного процесса в старших классах, стратегию обучения и воспитания. «Как относиться» - значит, решить для себя, какие принципы положить в основу планирования содержания и методов обучения, какие требования предъявлять учащимся, как строить общение с ними, как оценить их знания, возможности, способности, т.е. как определить основные направления и пути реализации характера обучения. Найти ответы на эти вопросы поможет анализ возрастных особенностей учащихся [12].

Тема «Обратные тригонометрические функции» изучается в старшей школе, поэтому остановимся на специфике подросткового возраста.

Подростковый возраст - важный этап развития умственных способностей. Старшеклассники чаще и настойчивее задают вопрос «почему?» и высказывают сомнения в достаточности и обоснованности предлагаемых объяснений. Их мыслительная деятельность более активна и самостоятельна. Они более критично относятся к учителям. Само представление об интересности предмета иное: если шестиклассники ценят внешнюю занимательность, то десятиклассникам интересно то, что требует самостоятельного обдумывания. Для них характерна тяга к обобщениям, поиск общих принципов и законов, стоящих за частными фактами.

Однако широта умственных интересов часто сочетается у подростков с разбросанностью, отсутствием системы и метода. Иногда они склонны преувеличивать уровень своих знаний и особенно умственных возможностей.

В работе со старшеклассниками, с одной стороны, встают задачи формирования новых действий - задачи совершенствования всех звеньев учебной жизнедеятельности и коррекции некоторых ее элементов, по тем или иным причинам оказавшихся у отдельных учащихся недостаточно сформированными. Особое внимание в старшем школьном возрасте должно быть уделено формированию учебных действий, необходимых исследовательского поиска самопознания, осуществляемого по типу эксперимента. Этот возраст характеризуется интенсивным формированием контрольно-оценочного аппарата, возможностью ввертывать в процессе работы отдельные звенья контроля. Это способствует ускорению темпа работы. Старшеклассники уже могут вполне осознанно и гибко применять все формы самоконтроля. Качественной особенностью деятельности старшеклассников, как уже отмечалось, является возросший уровень произвольности и саморегуляции. Учащиеся могут не только самостоятельно выделять цели и задачи своей деятельности, но и вполне сознательно подчинять им способы своей работы. Действия оценки становятся сформированным действием самого учащегося как субъекта учебной деятельности. Оно является внутренней основой для принятия и самостоятельной постановки учебной задачи. При сформированной деятельности учащийся планирует, способы решения учебных и жизненных задач в соответствии со своими возможностями, может определить степень отработки отдельных элементов деятельности, прогнозирует возможные затруднения в работе и способы их преодоления [6].

В подростковом возрасте внимание, память, воображение уже приобрели самостоятельность - подросток настолько овладел этими функциями, что теперь в состоянии ими управлять по своей воле. В этот период начинает выявляться индивидуально доминирующая ведущая функция: каждый подросток может сам отрефлексировать, какая из функций является для него наиболее значимой [6].

2.2.2 Психолого-педагогические особенности учебной деятельности в школах с углубленным изучением математики

Психолого-педагогический подход к обучению требует анализа учебной деятельности как деятельности субъекта, как особой формы социальной и познавательной активности учащегося, в которой происходит реализация его собственных стремлений [22].

Важно знать не только объективные результаты учебной деятельности, но и то, как она протекает: какие мотивы побуждают учащегося учиться, как формируются «личностные смыслы», как принимаются учебные задачи и подбираются соответствующие учебные действия. Понимание психологических механизмов саморегуляции учебной деятельности поможет вскрыть собственную позицию учащегося в учении: какова мера его активности, система отношений и личностных ценностей [22].

Психологический анализ учебной деятельности связан с пониманием ее как деятельности ведущей в связи с той функцией, которую она выполняет в развитии школьников. Ведущая деятельность объединяет в себе основные тенденции развития, формирует и перестраивает психические процессы, обуславливает психологические изменения личности. Деятельность становится ведущей постольку, поскольку в ней появляется и интенсивно формируется нечто новое, позволяющее понять и охарактеризовать происходящие в ней качественные сдвиги [23].

Итак, качественно новой характеристикой учебной деятельности в школах и классах с углубленным изучением математики является ее профессиональная направленность. Учебно-профессиональная деятельность как ведущая изменяет всю систему отношений учащихся к учению, к себе, к окружающим. В связи с устремленностью в будущее отношение к учению в школах и классах с углубленным изучением математики выступает в иной фазе: учение носит для учащихся личностный смысл на принципиально иной, чем в обычной школе, основе - на основе задач самоопределения и социализации личности [23].

Динамика развития учебной деятельности от младшего школьного возраста к старшему связана с изменением функций учителя, она от организаторской переходит к направляющей и консультационно-творческой. Поэтому учащийся должен сам становиться подлинным субъектом учебной деятельности: уметь самостоятельно выделять учебные задачи, выбирать соответствующие им учебные действия, осуществлять различные формы самоконтроля, всесторонне и объективно оценивать результаты своей работы [6].

Учебная деятельность в таких школах и классах требует от учащихся высокой степени активности. Это в равной степени относится как к умственной, так и к общей активной позиции в процессе познания.

Проблема активности учащегося в обучении охватывает, таким образом, два аспекта формирования учебно-воспитательного процесса - внешний и внутренний:

1) активность и мотивы учебной деятельности, ее обусловленность потребностями, интересами, целями самих учащихся, исходя из специфики психолого-педагогических особенностей развития;

2) активность и особенности организации учебно-воспитательного процесса, т.е. зависимость активности учащегося от форм, методов и средств обучения и воспитания в образовательной среде, которая зависит от количества и личных умений учителя [26].

А значит, задача учителя организовать процесс обучения таким образом, чтобы каждое усилие по овладению знаний протекало в условии развития познавательных способностей учащихся, формирования у них таких основных приемов умственной деятельности, как анализ, синтез, абстрагирование, обобщение, сравнение. Учащихся необходимо учить самостоятельно делать обобщения, творчески применять знания в новой ситуации. Именно такие новые ситуации и выдвигаются при изучении обратных тригонометрических функций.

2.3 Тематическое планирование

Успех углубленного изучения математики во многом зависит от профессионального уровня учителя и степени заинтересованности и подготовленности школьников. Обучение в X-XI классах предполагает наличие у учеников более или менее устойчивого интереса к математике и намерение выбрать после окончания школы связанную с ней профессию. На этом этапе необходимо обеспечить подготовку к поступлению в вуз и продолжению образования. Поэтому предполагаемое планирование учебного материала учитель может и должен менять их в зависимости от уровня класса, своих вкусов: упрощать или дополнять материал, переставлять темы, варьировать число часов, отводимых на ту или иную тему, проводить несколько больше или меньше проверочных работ.

Учителю предоставляется право свободного выбора методических путей и организационных форм обучения, учитывающих возрастные возможности учащихся. Очень важно при этом, чтобы требования к знаниям и умениям учащихся не были чрезмерно завышенными. Чрезмерность требований порождает перегрузку, что ведет, особенно на первом этапе к угасанию интереса к математике.

Планирование проведено в соответствии с учебным планом, согласно которому в неделю и в X-XI классах 5,5-6 часов в неделю.

Предполагаемое планирование учебного материала для X-XI классов ориентировано в основном на учебник Н.Я. Виленкина и других и опубликовано в сборнике МО РФ программ для общеобразовательных учреждений по математике, выпускаемом издательством «Дрофа» [22].

2.4 Методические рекомендации по организации обучения теме «Обратные тригонометрические функции»

Основной целью занятий является расширение и углубление знаний, развитие интереса учащихся к предмету, а также развитие их математических способностей. Кроме того, в настоящее время при изучении любого материала, а, в частности, и обратных тригонометрических функций, следует обращать особое внимание на те аспекты темы, усвоение которых необходимо для успешной сдачи ЕГЭ.

Введению понятия арксинуса, арккосинуса и арктангенса числа предшествует рассмотрение теоремы о корне, смысл которой достаточно очевиден для учащихся. Основное внимание здесь нужно уделить разъяснению смысла указанных понятий, а также формированию умения находить табличные значения (например, , , и так далее), что необходимо не только для безошибочного решения тригонометрических уравнений, но и для грамотной работы с самими функциями, так как среди заданий, предлагаемых на ЕГЭ, встречаются примеры типа: найти значение выражения , , и другие (это группа B) [7].

Тема «Обратные тригонометрические функции»изучается после преобразований тригонометрических выражений и доказательства тождеств (т.е. навыки работы с тригонометрическими формулами дети уже имеют). Тема предшествует изучению тригонометрических уравнений и неравенств, изучается не очень глубоко, но достаточно, чтобы уяснить определение этих функций. Необходимо жестко, требовательно сформировать понимание и запоминание определения этих обратных тригонометрических функций. Эти определения даются на основе самих тригонометрических функций, авторитарным методом, в качестве готовой информации (абстрактно-дедуктивно), после чего проводится работа по запоминанию определений. Необходимо требовать разъяснение определения из учебника, тогда ученикам будет легче ориентироваться в записи обратных тригонометрических функций. Сформулировав определения и дав основные понятия, неплохо проверить, поняли ли учащиеся смысл всего сказанного. Для этой цели можно предложить группу простых упражнений. Например, попросить ребят выполнить последовательность следующих заданий:

- объяснить запись: arcsin р/4, arctg(-1) и т.д. (обязательно дать пример «на засыпку», например, чему равен arccos р);

- вычислить arccos р/2, arctg 1 и т.д.

Следует обратить особое внимание на области определения и области значений функций, промежутки их возрастания и убывания, так как эти вопросы составляют необходимую базу для решения примеров групп B и С единого государственного экзамена, например:

B5. Пусть есть решение следующей системы уравнений Вычислите значение [7].

С2. Найдите множество значений функции , заданной на отрезке [7].

Кроме того, важен акцент на самой математической сути аркфункций - даже в сильном классе зачастую не понимают, что аркфункция есть угол.

Для отработки необходимо большое количество тренировочных упражнений. Контроль со стороны учителя осуществляется за ходом и результатом решения.

Кроме того, при изучении этих функций полезно использовать геометрическую интерпретацию их как углов (дуг окружности), построенных надлежащим образом. Эта интерпретация естественна и логически обоснована, ведь аркфункции являются обратными к тригонометрическим функциям, рассмотренным на соответствующих промежутках. Аргументы же последних имеют широко известную интерпретацию как углы или дуги окружности.

Деятельность ученика становится более целенаправленной, если перед ним поставлена учебная задача по овладению обобщенным приемом решения задач. Поэтому обучение строится, основываясь на общих приемах решения.

Перед изучением новой темы необходимо актуализировать базовые знания (вспомнить о существовании обратных функций, привести примеры таковых). Требуется повторить тригонометрические функции, их свойства, графики. Обязательно повторить формулы приведения. Объяснение темы сочетается с наблюдением учащихся, с вопросами учителя и ответами учеников и может перерасти в беседу. Ученики под руководством учителя рассуждают, решают возникшие познавательные задачи. Обучение и закрепление рекомендуется проводить на конкретных примерах, усложняя их в течении урока от элементарных до сложных. Целесообразно подробно обсуждать ход решения каждой задачи, предлагать учащимся давать объяснения своих выводов. Если возможен не один способ решения упражнения, то рассматривать все возможные. Домашнее задание не надо слишком усложнять, достаточно дать ряд примеров, аналогичных тем, которые решались в классе, так как усложнение домашнего задания ведет к отказу выполнения данного задания. Контроль можно проводить либо с помощью самостоятельной работы, либо прибегая к тесту, который был разработан по теме «Обратные тригонометрические функции».

2.5 Методические разработки уроков по теме «Обратные тригонометрические функции»

С учетом методических рекомендаций, приведенных выше, и на основании учебников для школ с углубленным изучением математики были разработаны уроки по теме «Обратные тригонометрические функции».

2.5.1 Конспект урока по алгебре №1 (10 класс)

Урок - лекция

Тема урока:

Действительно, по определению, если |x| ? 1, имеем: -р/2? arcsin x ?р/2.

Таким образом, углы arcsin (-х) и - arcsin х принадлежат одному и тому же отрезку [-р/2; р/2].

Найдем синусы этих углов: sin (arcsin(-х)) = - х (по определению); поскольку функция y = sin x нечетная, то sin (-arcsin х) = - sin (arcsin x) = - х. Итак, синусы углов, принадлежащих одному и тому же промежутку [-р/2; р/2], равны, значит, равны и сами углы, т.е. arcsin(-х) = - arcsin х. Значит, функция y = arcsin x - нечетная. График функции y = arcsin x симметричен относительно начала координат.

Итак, искомый график уже построен на отрезке длины 2р. Но искомая функция имеет период 2р, поэтому график с любого отрезка длины 2р можно периодически продолжить на все значения х (см. рис. 14).

Рис. 14

Областью значений функции y = cos x является отрезок. На отрезке функция непрерывна и монотонно убывает. Значит, на отрезке определена функция, обратная функции y = cos x. Эту обратную функцию называют арккосинусом и обозначают y = arccos x.

Aрккосинусом числа а, если |а|1, называют угол, косинус которого принадлежит отрезку; его обозначают arccos а.

Таким образом, arccos а есть угол, удовлетворяющий следующим двум условиям: сos (arccos a) = a, |а|1; 0 ? arccos a ? р.

Например, arccos, так как cos и; arccos, так как cosи .

Функция y=arccos x (рис. 15) определена на отрезке, областью ее значений является отрезок. На отрезке функция y = arccos x непрерывна и монотонно убывает от р до 0 (поскольку y = cos х - непрерывная и монотонно убывающая функция на отрезке ); на концах отрезка она достигает экстремальных значений: arccos(-1)= р, arccos 1 = 0. Отметим, что arccos 0 = .

График функции y = arccos x (см. рис. 15) симметричен графику функции y = cos x относительно прямой y = x [4].

Рис. 15

Покажем, что имеет место равенство arccos(-x) = р - arccos x.

В самом деле, по определению 0 ? arccos х ? р. Умножая на (-1) все части последнего двойного неравенства, получаем -р ? arcсos х ? 0. Прибавляя р ко всем частям последнего неравенства, находим, что 0 ? р - arccos х ? р. Таким образом, значения углов arccos(-х) и р-arccos х принадлежат одному и тому же отрезку. Поскольку на отрезке косинус монотонно убывает, то на нем не может быть двух различных углов, имеющих равные косинусы. Найдем косинусы углов arccos(-х) и р-arccos х. По определению cos (arc - cos x)= - x, по формулам приведения и по определению cos (р-arccos х) =-cos (arccos х) = - х. Итак, косинусы углов равны, значит, равны и сами углы.

При выполняется равенство arccos (cos x) = х. Так как функция четна, то мы можем построить ее график на отрезке . Затем воспользуемся периодичностью функции с периодом 2р. График функции изображен на рисунке 16.

Рис. 16