Методика работы с уже решенной задачей на примере ее преобразования на уроках математики в начальной школе

59

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«КАРЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДЕГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет начального образования

Кафедра естественно-математических дисциплин

и методик преподавания в начальных классах

Специальность

Педагогика и методика начального образования

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

на тему

Методика работы с уже решенной задачей на примере ее преобразования на уроках математики в начальной школе

Работу выполнила

студентка 253 группы

Чеснакова Анна Васильевна

Научный руководитель

к.п.н., доцент Туркина В.М.

Зав. Кафедрой

д.п.н., доцент Марченко Т.С.

_________________________

(решение о допуске и подпись)

«____»____________200___г.

Петрозаводск 2008г.

Содержание

Введение……………………………………………………………стр. 3

Глава I. Процесс работы над задачей…………...…......................стр. 6

1.1. Задача и умение её решать…………………………………..стр. 6

1.2. Виды арифметических задач………………….....................стр. 11

1.3. Этапы работы над задачей………………...…......................стр. 16

1.4. Уровни умения решать задачи……………...……………....стр. 25

1.5. Понятие преобразования задачи…………...…………….....стр. 29

1.6. Выводы…………………………………….....................….....стр.36

Глава II. Методика обучения преобразованию задач…………...стр. 37

2.1. Преобразования задачи на уроках математики в

начальной школе……………………......……………………….....стр. 37

2.2. Подготовительная работа…………………….....................…стр. 40

2.3. Обучение преобразованию задач……………………………..стр. 43

2.4. Закрепление умения преобразовывать задачи……………….стр. 53

2.5. Обсуждение результатов эксперимента…….......................…стр. 55

Заключение…………………………………………………………...стр. 59

Список литературы……………………………………………….....стр. 60

Введение

В курсе математики начальной школы задачи занимают большое место. Они необходимы для того, чтобы сформировать у учащихся важные для обыденной жизни умения, связанные с решением то и дело возникающих проблемных ситуаций. Но чтобы решить проблему, нужно понять ее суть и сформулировать словесно. Поэтому очень важно научить школьников формулировать задачу. Опыт многих учителей показывает, что эта проблема трудно разрешима. В школе большое внимание уделяется решению готовых задач, но практически не ведется работа по их составлению и преобразованию.

Необходимо отметить, что составлению и преобразованию задач уделяется некоторое место в процессе обучения математике. Но каждая задача связана с другими задачами, которые можно из нее получить, например, аналогичные задачи, обратные задачи, задачи, в которых изменен вопрос или условие и т. д. Вот этой связи и не понимают ученики. Поэтому каждую следующую задачу они воспринимают как новую. Установление наличия этой связи помогает школьнику осознать приемы получения новых задач, что постепенно снимает страх перед решением каждой новой задачи. Следовательно, возникает необходимость учить детей не только составлять задачи по выражению, по краткой записи и т.д., но и преобразовывать задачи.

Отсюда вытекает проблема исследования: поиск эффективной методики работы с уже решенной задачей на примере ее преобразования.

Анализ литературы (М.А. Бантова, М.И. Моро, С.Е. Царева, Л.М.Фридман и др.) показывает, что работа над задачей состоит из нескольких этапов.

Каждый этап требует своего методического решения. Многие авторы (С.Е. Царева, Л.М.Фридман, П.Б.Эрдниев, М.А. Бантова и др.) обращают особое внимание на последний этап - работе с задачей после её решения. Часто предлагается использовать такой приём работы, как составление и преобразование задачи. Многие авторы (Н.Б.Истомина, М.И. Моро, С.Е.Царева и др.) считают, что в процессе составления и преобразования задач ученики начинают осознавать не только задачную ситуацию, не только связи между величинами, но и сам процесс решения задачи. В процессе составления и преобразования задачи учащийся овладевает общими учебными умениями, необходимыми при решении житейских задач. При составлении и преобразовании задач у ученика развивается логическое мышление, воображение, фантазия, формируется познавательный интерес к математике, развивается его творческий потенциал. Несмотря на то, что важность обсуждаемой проблемы отмечается всеми авторами, конкретной методики обучения составлению задач, связанных с данной задачей нам не удалось найти.

Поэтому объектом исследования является методика обучения решению задач на уроках математики в начальной школе. Предметом исследования является методика обучения преобразованию решенных задач на уроках математики в начальной школе.

Поэтому целью нашего исследования является разработка методики обучения преобразованию задач.

Нами была выдвинута гипотеза: если на уроках математики в начальной школе вести работу по обучению преобразованию задач, то это будет эффективным средством повышения уровня умения решать задачи.

Для достижения поставленной цели и доказательства выдвинутой гипотезы мы поставили перед собой следующие задачи:

1. Выявить понятийный аппарат на основе анализа психолого-педагогической, методической литературы;

2. Разработать комплект заданий, способствующих повышению уровня умения решать задачи на основе умений преобразования задач на уроках математики в начальной школе;

3. Апробировать на практике разработанный нами комплект заданий, способствующих повышению уровня умения решать задачи на основе умений преобразования задач на уроках математики в начальной школе;

4. Проанализировать полученные результаты.

В своем исследовании мы пользовались следующими исследовательскими методами:

Изучение и анализ психологической, педагогической, методической литературы по теме исследования (теоретический анализ и синтез);

Наблюдение за деятельностью учеников при составлении и решении задач;

Беседы с учителями и учениками;

Анкетирование учителей;

Организация и проведение эксперимента;

Количественная и качественная обработка данных исследования.

Глава I. Процесс работы над задачей.

1.1. Задача и умение её решать

В начальном курсе обучения математике задачи играют большую роль. Что составляет содержание понятия «задача»?

В Толковом Словаре русского языка Ожегова С.И. дана такая трактовка этого понятия: «задача - это то, что требует разрешения, исполнения». [17, с. 203]

Из «Психологического словаря» мы узнаём, что «задача - цель деятельности, которая дана в определенных условиях и требует для своего использования адекватных этим условиям средств. Поиск и применение этих средств составляет процесс решения задачи». [18, с. 119]

Психолог Фридман Л.М. пишет: «Задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче». [26]

Давыдов В.В., пишет: «...Задача - это единство цели действия и условия её достижения». [7, с. 157]

Рубинштейн С.Л. связывает понятие задачи с деятельностью. Он пишет, что, деятельность направляется непосредственно с осознаваемой целью действующего субъекта «для осуществления цели необходим учёт условий, в которых её предстоит реализовать, соотношение цели с условиями определенную задачу, которая должна быть разрешена действием. Целенаправленное человеческое действие является по существу своим решением задачи». [20, с. 15]

В учебно-педагогической литературе также встречаются разнообразные подходы к пониманию задачи. Моро М.И. дает такое определение: «Задача - это сформулированный словами вопрос, ответ на который может быть получен с помощью арифметических действий». [15, с. 111]

Артемов А. К. предлагает такое определение: «Задача - единство условий и цели». [1, с. 48]

Царева С.Е. не дает строгое определение «задачи», а относит его к числу широких общенаучных понятий и выделяет следующие основные характеристики: «Задача содержит в себе некоторую информацию о какой-либо области деятельности (условие) и требование - то, что необходимо найти, узнать, построить, доказать». [33, с. 93]

Чекмарёв Я.Ф. называет задачей «вопрос, для решения которого требуется определить искомое число по данным числам и по указанной в словесной форме зависимости между данными и искомым числом». [35, с. 91]

Итак, у всех авторов определение задачи сформулировано по-разному, но все авторы сходятся в том, что задача характеризуется:

· наличием у решателя определенной цели, стремлением получить ответ на вопрос;

· наличием условий и требований, необходимых для решения задачи.

В своей работе мы будем рассматривать более узкий круг задач - это сюжетные задачи, у которых имеются свои специфические особенности:

· наличие сюжета;

· необходимость переформулировки задачи на математический язык.

Бантова М.А. характеризует сюжетную задачу как множество жизненных ситуаций, которые связаны с числами и требуют выполнения арифметических действий над ними. [2, с. 175]

Рассмотрим задачу:

«Утром в магазине было 30 кукол, в течении дня привезли еще 10. Сколько кукол продали за день, если к концу дня их осталось 12?»

У нее имеется сюжет: в магазине продавались куклы.

Прежде чем получить ответ в задаче, ученик должен переформулировать условие: всего было 30 кукол да еще 10, из них какое-то количество кукол продали, в результате осталось 12 кукол. Значит, продали 30+10 без 12 оставшихся. Эта переформулировка задачи помогает правильно выбрать арифметическое действие для решения задачи. Ученик составляет выражение: 30+10-12=28 (к).

Большинство авторов выделяют в задаче условие и требование. Говоря о структуре задачи, Сохор А.М. уточняет понимание условия и требования: характер внутренних отношений (связей, зависимостей) между данными и искомыми величинами. Условие задачи обычно намеренно составляется так, чтобы эти отношения не проявлялись сами по себе, в противном случае задача не была бы задачей. В формулировке любой задачи даны исходные условия и требование. Если они даны, то их уже не надо искать. Искать надо их основание, причи-ны, следствия, взаимоотношения и т. д., о которых ничего не сказано в первоначальной формулировке задачи. Они и составляют искомое. [22, с. 132]

Каждая арифметическая задача включает числа данные и искомые. Числа в задаче характеризуют количество конкретных групп предметов или значения величин. В тексте задачи указываются связи между данными числами, а также между данными и искомыми. Эти связи и определяют выбор арифметического действия.

Объекты задачи и отношения между ними составляют условие задачи. Например, в задаче: «Лида нарисовала 5 домиков, а Вова - на 4 домика больше. Сколько домиков нарисовал Вова?» объектами являются: 1) количество домиков, нарисованных Лидой (это известный объект в задаче); 2) количество домиков, нарисованных Вовой (это неизвестный объект в задаче и согласно требованию искомый). Связывает объекты отношение «больше на».

Анализ условия подводит к пониманию известных и к поискам неизвестного. Этот поиск идет в процессе решения задачи. Детям надо объяснить, что решать задачу - это значит понять и рассказать, какие действия нужно выполнить над данными в ней числами, чтобы получить ответ.

Основываясь на вышеизложенной трактовке понятия «задача» методисты определяют, что значит решить задачу:

«Решить задачу в широком смысле - значит раскрыть связи между данными и искомым, заданные условием задачи, на основе чего выбрать, а затем выполнить арифметические действия и дать ответ на вопрос задачи», - так считает Бантова М.А. [2, с. 179]

Моро М.И. раскрывает смысл требования «решить арифметическую задачу» по другому - «объяснить (рассказать), какие действия нужно выполнить над данными в ней числами, чтобы получить число, которое нужно узнать». [15, с.88]

Попова Н.С. считает, что «решить задачу - это значит произвести над её числовыми данными арифметические действия, которые вытекают из условия задачи и дают ответ на её вопрос». [19, с. 53]

Царева С.Е. считает, что следует различать понятия «решить задачу» и «обучать решению задачи». Очень важно понимать это различие.

В узком смысле «решить задачу - это значит ответить на ее вопрос так, чтобы ответ соответствовал условию задачи» - пишет Царёва С.Е. [33, с. 105]

«Обучение решению задач - это специально организованное взаимодействие учителя и учащихся, цель которого - формирование у учащихся умения решать задачи». [33, с. 105]

Мы согласны с мнением Царёвой С.Е. и в своей работе будем придерживаться её точки зрения.

Отождествление двух понятий "решение" и "обучение решению задач" приводит к ориентации учителя на получение ответов на вопросы задач, а не на формирование умения решать задачи, и направленности деятельности учащихся на решение конкретной задачи, овладение способом её решения.

По этой причине до сих пор для большинства учащихся главное при решении задач найти конечный результат, выраженный каким либо числом.

Для большинства учителей обучение решению задач однотипно: оно сводится к показу образца, разучиванию способов решения, доведения способа решения задач до автоматизма. До сих пор среди некоторых учителей распространено мнение, что любая задача, включенная в урок, должна быть обязательно решена на уроке, решение доведено до конца и записано соответствующим образом.

Такая работа и приводит учащихся к формальному, механическому решению задач. Итак, из всего вышесказанного можно сделать следующий вывод: дети решают: "выполняют действия - умственные, предметные, графические, речевые, и так далее, направленные на достижение цели: найти ответ на вопрос задачи, соответствующий условию" [31, с. 102], но часто не обучаются решению задачи..

1.2. Виды арифметических задач.

Все арифметические задачи по числу действий, выполняемых для их решения, делятся на простые и составные. Задача, для решения которой надо выполнить один раз арифметическое действие, называется простой. Задача, для решения которой надо выполнить несколько действий называется составной.

Составная задача включает в себя ряд простых задач, связанных между собой так, что искомые одних простых задач служат данными других. Решение составной задачи сводится к расчленению её на ряд простых задач и к последовательному их решению. Таким образом, для решения составной задачи надо установить систему связей между данными и искомым, в соответствии с которой выбрать, а затем выполнить арифметические действия. [2, с. 175]

Рассмотрим в качестве примера задачу: «В школе дежурили 8 девочек, а мальчиков на 2 больше. Сколько детей дежурило в школе?»

Эта задача включает две простых:

В школе дежурили 8 девочек, а мальчиков на 2 больше. Сколько мальчиков дежурило в школе?

В школе дежурили 8 девочек и 10 мальчиков. Сколько всего детей дежурило в школе?

Как видим, число, которое было искомым в первой задаче, стало данным во второй.

Последовательное решение этих задач является решением составной задачи: 1)8 + 2=10; 2)8+10=18.

Методика работы с каждым новым видом составных задач ведется в соответствии с тремя ступенями: подготовительная, ознакомительная и закрепление.

Запись решения составной задачи с помощью составления по ней выражения позволяет сосредоточить внимание учащихся на логической стороне работы над задачей, видеть ход решения её в целом. В то же время дети учатся записывать план решения задачи и экономить время.

В решении составной задачи появилось существенно новое сравнительно с решением простой задачи: здесь устанавливается не одна связь, а несколько, в соответствии с которыми вырабатываются арифметические действия. Поэтому проводится специальная работа по ознакомлению детей с составной задачей, а также по формированию у них умений решать составные задачи. Для того, чтобы научить учащихся правильно решать составные задачи, необходимо использовать разные виды текстов задач.

Тексты задач могут различаться по разным основаниям. Рассмотрим их.

I. По структуре текста задачи.

Необходима специальная работа по выделению структурных элементов задачи в текстах различной конструкции. Остановимся на этом подробнее.

В каждой задаче можно выделить условие и требование. Обозначим схематически условие О, а требование . Тогда задача может иметь одну из конструкций: 1, 2 или 3:

1. О :

1) Дети пошли в поход. Было 13 мальчиков и 10 девочек, позже к ним присоединились еще 5 детей. Сколько детей пошло в поход?

2) В один бидон вмещается 32 л воды, а во второй - на 12 л меньше. Найди емкость двух бидонов вместе.

2. О:

3) Сколько марок подарил Петя, если Сереже он подарил 8 марок, а Коле на 5 марок больше?

4) Сколько пассажиров совершало полет, если в самолете было 25 женщин, мужчин на 15 человек больше, чем женщин, а детей на 10 человек меньше, чем женщин?

3. О О:

Мама испекла 20 пирожков. Сколько пирожков осталось после того, как за ужином папа съел пирожков, а сын 5 пирожков?

Когда отцу было 40 лет, сыну было 12. Найди возраст сына, когда отцу будет 52 года.

Очевидно, что ученику легче всего выделить условие и требование задачи в первом случае. При чтении задачи он опирается на внешние признаки: сначала формулируется условие, в последнем предложении высказывается требование. Если мы хотим научить выделять струк-турные элементы задачи и при этом ориентироваться не на внешние признаки, а на смысл, то необходимо предлагать тексты задач различной конструкции. При этом важно, чтобы требование было представлено как в виде вопросительного, так и в виде повествовательного предложения, например:

Для отделки одной шторы требуется 8 м тесьмы. Найди длину мотка тесьмы, которая необходима для отделки трех пар таких штор.

II. По записи данных.

В большинстве приведенных примеров необходимые данные записаны с помощью цифр. Выделяя условие и требование, ученики часто только на них и ориентируются. Увидев числа, просто не читают текст, сразу пытаются манипулировать числами. Вот поэтому полезно предлагать тексты задач, где необходимые данные фиксируются разными способами: с помощью цифр, букв, сказочных чисел, словом и т. д. В таком случае ученик будет вынужден внимательно читать задачу, находить связи между данными величинами и искомым.

Приведем примеры таких задач.

На горке каталось ? детей. Когда к ним подошло * мальчиков и несколько девочек, то стало О детей. Сколько девочек подошло?

При использовании таких задач видно, на что опирается ребенок при решении задачи: на числовые данные или на смысл задачи. Решение этой задачи может быть записано следующим обра-зом:

Подошло (О - ? - *) девочек.

III. По наличию лишних или недостающих данных.

Для того чтобы научить ученика устанавливать взаимосвязь между иско-мым и данными, очень полезно предла-гать задачи с лишними и недостающими данными, а также задачи, не имеющие по разным причинам решения.

Приведем примеры таких задач.

На первой полке лежало 30 книг, на второй - 40, а на третьей на 5 книг
больше, чем на второй. Сколько книг лежало на третьей полке?

Эта задача с лишними данными. Для ее решения нет необходимости знать количество книг, лежащих на первой полке. Для того чтобы правильно ее решить, ученик должен установить, какие величины связаны между собой, а какие нет. Наблюдения показывают, что те дети, которые невнимательно читают задачу, ориентируются только на числовые данные, решают ее неправильно, дают ответ: 25 книг. Они не видят, какие величины сравниваются, не видят необходимое числовое данное - 40 книг на второй полке.

Сколько груш росло в саду, если их было на 35 деревьев больше, чем яблонь?

Эта задача с недостающими данными. Анализируя текст, ученик должен сказать, что она не имеет решения, так как в ней не хватает данных. Будет очень хорошо, если он сможет указать недоста-ющее данное, например количество яблонь.

Маша в саду собирала ягоды. Она набрала 2 кг смородины и 5 стаканов малины. Сколько ягод собрала Маша?

Данную задачу решить нельзя, так как масса ягод измерена разными мерками, над указанными числами в таком случае производить арифметические действия нельзя.

Такого вида задачи приучают не только внимательно читать текст задачи, но выявлять уровень знаний о величи-нах.

В автобусе ехало 37 человек. Сколько человек осталось в автобусе после того, как на остановке вышло 40 человек?

Данную задачу также решить нельзя, так как предложенные числовые данные не соответствуют смыслу задачи. [23, с. 51]

Примеры текстов задач, которые мы привели, помогут убедить ученика в необходимости анализа текста задачи.

Не успев прочитать задачу, ученики начинают выполнять какие-то арифметические действия с данными числами. Это становится причиной ошибок. Поэтому необходимо научить ученика не торопиться с выбором арифметического действия. Он должен понять, насколько важно внимательно читать текст задачи и может быть не один раз. Для формирования этого умения необходимы специальные зада-ния. Одним из важнейших таких заданий является работа по преобразованию задачи.

1.3. Этапы работы над задачей

Процесс решения задачи - это переход от условия задачи к ответу на ее вопрос.

Первые представления о процессе решения задач создаются у учащихся в первом классе. Ко второму классу они уже знают, что решение любой арифметической задачи состоит из следующих этапов работы:

1. Усвоение содержания текста.

Цель:

· научить понимать ситуацию в целом;

· установить смысл каждого слова, словосочетания, предложения;

· приучиться читать задачу;

· выделить структурные элементы;

· установить взаимосвязь между искомым и данными;

2. Поиск решения задач.

Цель:

· научить ученика задавать самому себе систему вопросов (от вопроса к условию, от условия к вопросу и др.), после ответа на которые он сможет найти решение;

· составить план решения;

3. Оформление решения.

Цель:

· записать решение так, чтобы оно было понятно читающему;

4. Проверка решения.

Цель:

· убедиться в правильности найденного решения.

5. Работа с решенной задачей.

Цель:

· организовать деятельность ученика так, чтобы он осознал свое продвижение от незнания к знанию;

Царева С.Е. опираясь на диссертацию Лебединцевой В.А., [31, с. 102] предлагает несколько другой подход к выделению этапов решения задачи:

1. Восприятие и осмысление задачи.

Цель:

· понять задачу, т.е. установить смысл каждого слова, словосочетания, предложения;

· выделить множества, отношения, величины, зависимости, известные и неизвестные, искомое, требование.

2. Поиск плана решения.

Цель:

· составить план решения.

3. Выполнение плана решения.

Цель:

· найти ответ на вопрос задачи (выполнить требование задачи);

4. Проверка решения.

Цель:

· установить, соответствует ли процесс и результат решения образцу правильного решения;

5. Формировка ответа на вопросы задачи (выводы о выполнении требования).

Цель:

· дать ответ на вопрос задачи (подтвердить факт выполнения требования задачи);

6. Исследование решения.

Цель:

· установить, является ли данное решение (результат решения) единственным или возможны и другие результаты (ответы на вопрос задачи), удовлетворяющие условию задачи;

Более в сокращенном виде видит этапы работы над задачей Бантова М.А. [2, с. 174]:

1. Ознакомление с содержанием задачи.

Цель: прочитать задачу; представить жизненную ситуацию, отраженную в задаче;

2. Поиск решения задачи.

Цель: выделить величины, входящие в задачу, данные и искомые числа; установить связи между данными и искомым; выбрать соответствующие арифметические действия.

3. Выполнение решения задачи.

Цель: записать решение.

4. Проверка решения задачи.

Цель: установить правильно оно или ошибочно.

Представленные выше различные подходы к выделению этапов работы над задачей имеют много общего. Во-первых, каждый этап решения есть сложное умственное действие, входящее в состав еще более сложного - решения задачи. Во-вторых, работа над задачей начинается и у Бантовой М.А., и у Туркиной В.М, и у Царевой С.Е., с прочтения, понимания задачи и выделения ее структурных элементов, т.к. именно невнимательно прочитанная задача, отсутствие анализа ее текста становятся причиной ошибок в процессе решения задач.

Поэтому при работе с задачей важно уделить как можно больше внимания 1 этапу решения задачи - усвоению содержания ее текста.

Главная цель ученика на 1 этапе - понять задачу. Методисты предлагают разные приемы работы на этом этапе. Бантова М.А., Царева С.Е. предлагают следующие приемы первичного анализа:

1. Представление жизненной ситуации, описанной в задаче, мысленное участие в ней. (Можно предложить учащимся после чтения задачи нарисовать словесную картинку).

2. Разбиение текста на смысловые части и выбор необходимой для поиска решения. (Можно предложить учащимся определить, правильно ли выделены части и повторить текст задач по частям).

3. Переформулировка текста задачи; замена описания данной в ней ситуации другой, сохраняющей все отношении и зависимости, но более точно их выражающие.

Анализ текста задачи неразрывно связан с этапом поиска решения.

Анализ задачи проводится до тех пор, пока не возникнет идея о плане решения, который позволяет нам рассуждать: от вопроса к данным и от данных к вопросу.

Для поиска решения Бантова М.А., Царева С.Е. предлагают использовать краткую запись.

В краткой записи задачи отображаются объекты, числовые данные и связи между ними. Таким образом, краткая запись фиксирует в удобообразной форме величины, числа данные и искомые, а также некоторые слова, показывающие, о чём говорится в задаче: «было», «положим», «стало» и т.п., и слова, обозначающие отношения: «больше», «меньше», «одинаковая» и т.п.

Краткая запись условия задачи помогает устранить типичные ошибки, не дает возможности поверхностного прочтения текста задачи и возможности упустить соотношения между данными.

Краткая запись задачи только в первое время несколько трудна учащимся, но учитель постоянно им помогает наводящими вопросами: Какие слова нужны для краткой записи? Какие числа надо вписать в краткое условие? Какие обозначения будем использовать?

Для того, чтобы помочь ученикам, учитель пользуется наглядностью: предметной, а затем абстрактным вариантом, а также использует краткую запись, которая подразделяется на предметную и схематическую.

Предметная краткая запись - это использование предметов для изображения ситуации, описанной в задаче. Предметная иллюстрация помогает создать яркое представление той жизненной ситуации, которая описывается в задаче. Для иллюстрации задачи используются либо предметы, либо рисунки предметов, о которых идет речь в задаче: с их помощью иллюстрируется конкретное содержание задачи.

Например: У Коли 5 тетрадей, а у Миши на 4 тетради больше. Сколько тетрадей у обоих мальчиков?

Выходят 2 мальчика, один из них берет 5 тетрадей, другой берет столько же тетрадей, сколько и первый, а затем еще 4. Такое воспроизведение уточняет представление детей, которое возникло при восприятии задачи. Но если мальчики будут держать тетради в руках и не уберут их, то у ребят не вызовет сложности над выбором действия, им не надо будет мысленно представлять ситуацию, а можно просто путем пересчета сосчитать тетради.

Если использовать предметное моделирование длительное время как основной способ, то возникнут отрицательные последствия:

· ученики не смогут построить мысленную модель без этой опоры;

· у учеников не будет происходить развитие внутреннего плана действия;

Схематичная краткая запись подразделяется на несколько видов:

а) со словами.

Например: Девочка нашла в лесу 10 белых грибов, а подосиновиков на 7 больше. Сколько всего грибов нашла в лесу девочка?

Белые - 10г.

Подосиновики - ? на 7г. больше.

б) таблица.

Если в задаче используется три величины и более, то удобнее применять табличную форму краткой записи. При табличной форме требуется выделение и название величины. Расположение числовых данных помогает установлению связей, между величинами: на одной строке записываются соответствующие значения различных величин, а значения одной величины записываются одно под другим. Искомое число обозначается вопросительным знаком.

Например: «В четырех одинаковых коробках 48 карандашей. Сколько карандашей в одной коробке?»

Таблица выглядит так:

Количество карандашей в 1 коробке	Количество коробок	Общее число карандашей
? одинаковое	4	48

При первичном знакомстве с такой задачей таблица мало чем помогает представить математическую ситуацию и выбрать нужное действие. Но если учащиеся хорошо усвоили взаимосвязь пропорциональных величин, то таблица будет очень удобна для изображения задачной ситуации.

в) графическая модель (рисунки, чертежи).

Можно применять самые простейшие рисунки, в виде кружков, квадратов, треугольников, точек, полосок и т.д., обозначающих те предметы, о которых говорится в задаче.

Например: На блюде лежало 15 яблок: красных, зеленых и желтых. Красных - 5, желтых столько же, да еще одно. Сколько зеленых яблок лежало на блюде?

- Сколько яблок лежало на блюде? (15)

- Нарисуем 15 кружков. Каждый кружок означает одно яблоко (красное, желтое или зеленое), лежащее на блюде.

- Сколько лежало красных яблок? (5).

- Значит, из нарисованных 15 кружков закрасим красным карандашом 5 кружков.

- Каждый закрашенный кружок означает одно красное яблоко. Остальные яблоки - зеленые и желтые. Тогда о зеленых и желтых яблоках можно сказать, что их 15 без 5, т.е. 15-5.

Решение: 15-5=10 (я.) желтых и зеленых

- Сколько лежало желтых яблок? (столько же, сколько и красных, да еще одно).

- Значит, из незакрашенных кружков закрасим желтым карандашом 5 кружков да еще один.

- Каждый закрашенный кружок означает одно желтое яблоко. Остальные яблоки - зеленые. Тогда о зеленых яблоках можно сказать, что их 10 без 5 и 1, т.е. 10-5-1.

Решение: 10-5-1=4 (я.) зеленых.

Ответ: 4 зеленых яблока

При таком графическом изображении ученики пользуются пересчетом, как и при предметном моделировании. Такое графическое моделирование невозможно использовать при больших числовых данных. Поэтому лучше использовать такое графическое средство как чертеж. Иллюстрацию в виде чертежа целесообразно использовать при решении задач, в которых даны отношения значений величин (больше, меньше, столько же), а также при решении задач, связанных с движением. При этом надо соблюдать указанные в условии отношения: большее расстояние изображать большим отрезком. Чертеж наглядно иллюстрирует отношение значений величин, а в задачах на движение схематически изображает соответствующую ситуацию. Одно из чисел данных в задаче (число детей, число метров в материи) изображают отрезком и, используя данные в задаче соотношения этого числа и других чисел, изображают эти числа (в 2 раза больше, на 4 кг меньше) соответствующим отрезком.

Например, для рассмотренной задачи про яблоки, можно выполнить такой чертеж:

Иллюстрация только тогда поможет ученикам найти решение, когда её выполняют сами дети, поскольку только в этом случае они будут анализировать задачу сами.

Дети могут установить связи между данными и искомым и выбрать соответствующее арифметическое действие только с помощью учителя. В этом случае учитель проводит специальную беседу, которая называется разбором задачи.

Рассуждение можно строить двумя способами: идти от вопроса задачи к числовым данным или же от числовых данных идти к вопросу.

Чаще следует использовать первый способ рассуждения, так как при этом ученик должен иметь в виду не одно выделенное действие, а все решение в целом. При использовании второго способа разбора учитель прямо подводит их к выбору каждого действия. Кроме того, такое рассуждение может привести к выбору «лишних действий».

Разбор составной задачи заканчивается составлением плана решения - это объяснение того, что узнаем, выполнив то или иное действие, и указание по порядку арифметических действий.

Третий этап деятельности учащихся по решению задачи - оформление решения. Ученики справляются с этим этапом достаточно хорошо. Если при разборе задачи и поиске решения использовался чертеж, то ошибок в записи решения бывает очень мало.

При решении некоторых видов задач необходима проверка решения. Бантова М.И., Царева С.Е., выделяют следующие виды проверок:

1. Прикидка ответа.

Применение этого способа проверки заключается в следующем: до решения или после него устанавливают, какое число получится в результате, большее или меньшее, чем данное в условии.

2. Решение задачи другим способом.

Этот способ проверки интересен тем, что является одним из средств повышения интереса к математике.

Царева С.Е. [31, с. 103] считает, что применение метода поиска нового способа решения - средство развития познавательного интереса, умения отстаивать свою точку зрения.

3. Установление соответствия между числами полученными и данными.

Обосновать правильность решения задачи можно с помощью арифметических действий и логических рассуждений о том, что, если считать полученный результат верным, то все отношения и зависимости между данными и искомыми задачи будут выполнены.

4. Составление и решение обратной задачи.

Составление обратной задачи и ее решение иногда является единственным способом проверки.

Этот вид проверки делает прочными знания об обратных связях.

Заключительным этапом в работе над задачей является работа после решения задачи. В методической литературе опубликовано немало статей (Царева С.В., Шикова Р.Н.), где описаны виды дополнительной работы над уже решенной задачей. На практике можно увидеть эффективность этих видов работы. К сожалению, пользоваться этими видами работы приходится мало, так как не разработана методика работы на этом этапе.

Многие авторы и методисты уделяют много внимания последнему этапу: работе с задачей после ее решения.

В методической литературе даются разные виды такой работы, но вот как научить детей преобразовывать задачи не говориться.

1.4. Уровни умения решать задачи

Исходя из того, что познавательная область является для процесса обучения главной, то для определения качества достижения целей важно такое понятие, как уровень усвоения. В современной педагогике в качестве показателей обученности определяют уровни усвоения знаний и умений, состояние видов активной деятельности ученика, обеспечивающих усвоение знаний.

Беспалько В.П. [4, с. 51] выделяет несколько последовательных уровней усвоения:

I уровень - репродуктивное узнавание (ученический).

Уровень усвоения новой информации, который позволяет учащемуся при повторном ее восприятии отличать правильное ее использование от неправильного. 

Характеризуется алгоритмичностью деятельности или деятельностью по узнаванию. На этом уровне ученик не может понять и поставить самостоятельно цель, а значит, и осуществить все этапы познавательной деятельности. Он действует под влиянием учителя в соответствии с уже знакомым (заученным) алгоритмом действий.

II уровень - репродуктивное алгоритмическое действие (типовой).

Уровень усвоения информации (деятельности), при котором учащийся способен самостоятельно воспроизводить информацию, применять ее в разнообразных типовых случаях, не требующих создания никакой новой информации (например, типовые задачи).

Характеризуется репродуктивной алгоритмической деятельностью. Это шаг вперед, по сравнению с первым уровнем в отношении мотивации, целеполагания (принимается, предложенная учителем, цель), наблюдается общее понимание. Однако действия по-прежнему строятся по известному алгоритму.

III уровень - продуктивное эвристическое действие (эвристический).

Уровень усвоения информации, при котором учащийся способен самостоятельно воспроизводить и преобразовывать усвоенную информацию для обсуждения известных объектов изучения и продуцирования субъективно новой информации о них, для применения усвоенной информации в разнообразных нетиповых случаях, требующих создания новых методов действия.

Характерна продуктивная деятельность, создается новая ориентировочная основа действий, в отличие от предложенного алгоритма. Этот уровень обусловлен достаточно высокой мотивацией учебной деятельности и осознанным принятием цели. Наблюдается не просто понимание, а поиск существенных сторон явления. Учащиеся добывают субъективно новую информацию.

IV уровень - продуктивное творческое действие (творческий).

Уровень усвоения информации об объектах деятельности, при котором учащийся способен использовать ее для получения объективно новой информации в процессе нахождения и обсуждения новых свойств известных объектов; нахождения и исследования новых методов деятельности с объектами; нахождения новых объектов, свойств и качеств.

Характеризуется продуктивным действием творческого типа, в результате которого создается объективно новая ориентировочная основа действий, самостоятельно ставится цель деятельности, разрабатываются новые правила и т.д.

Умение решать задачи также может быть сформировано на разном уровне. На их основе мы разработали 4 типа задания:

1 тип задания - узнавание

Если в задаче заданы цель, ситуация и действия по ее решению, а от учащихся требуется дать заключение о соответствии всех трех компонентов в структуре задачи, это деятельность по узнаванию. Учащиеся могут ее выполнять только при повторном воспроизведении ранее усвоенной информации об объектах процессах или действиях с ними.

Например, дан текст «В лагерь приехали 2 группы детей по 9 человек в каждой. Сколько мальчиков приехало в лагерь, если девочек было 11 человек?»

Дано решение: 2 * 9 = 18 (ч) 18 - 11 =7 (д)

Соответствуют ли друг другу текст и решение? (да)

2 тип задания - типовое

Если в задаче заданы цель и ситуация, а от учащихся требуются ранее усвоенные действия по ее решению, это репродуктивное алгоритмическое действие. Учащиеся выполняют его, самостоятельно воспроизводя и применяя информацию о ранее усвоенной ориентировочной основе выполнения данного действия, то есть решают типовую задачу. Будем считать типовой задачей, если в ней:

одни и те же связи между величинами;

одинаковая модель решения.

Ученик должен решить типовую задачу.

Например, дана задача: «На экскурсию в музей пришли ребята. Их разделили на 4 группы по 5 человек в каждой. Сколько учеников пришло из школы, если из детского сада пришло 12 ребят?»

3 тип задания - реконструкция

Если в задаче задана цель, но не ясна ситуация, в которой цель может быть достигнута, от учащегося требуется дополнить (уточнить) ситуацию и применить ранее усвоенные действия для решения данной задачи, это продуктивная деятельность, выполняемая не по готовому алгоритму или правилу, а по созданному или преобразованному в ходе самого действия.

Например, дана задача: «В магазин привезли ? ящиков огурцов по ? кг в каждом. Сколько огурцов продали, если осталось - кг?»

Для решения данной задачи ученику нужно самостоятельно обобщить решение данных ранее задач. Заменить символы числами и решить задачу, но решение записать на языке тех данных, которые даны в задаче.

4 тип задания - дополнение

Если в задаче известно лишь в общей форме цель деятельности, а поиску подвергаются и подходящая ситуация, и действия, ведущие к достижению цели, это продукт действия творческого типа, в результате которого создается объективно новая ориентировочная основа деятельности. Человек действует "без правил", но в известной ему области, создавая правила действия.

Например, дана задача: "Билеты на самолет до Архангельска купили 45 человек. Первым рейсом улетело 15 человек, вторым столько же,..."

Задание: необходимо поставить вопрос к данной задаче и решить ее.

На этой базе мы вывели следующие 3 уровня умения решать задачи: высокий, средний и низкий, в зависимости от количества баллов полученных в результате решения четырёх типов заданий.

Первое задание мы оцениваем в 1 балл, второе - 2 балла, за третье и четвертое ученик может получить по 3 балла.

Таким образом, ученик считается на высшем уровне, если получает 8 или 9 баллов, на среднем уровне, если получает 5, 6 или 7 баллов и на низком, если получает 1, 2, 3 или 4 балла.

Мы будем считать, что методика обучения решению задач эффективна, если в результате ее применения происходит повышение уровня умения решать задачи. Выработке умения решать составные задачи помогают так называемые упражнения творческого характера. К ним относятся решение задач повышенной трудности, решение задач несколькими способами, решение задач с недостающими и лишними данными, решение задач, имеющих несколько решений, а так же упражнения в составлении и преобразовании задач.

1.5. Понятие преобразования задачи.

Анализ литературы показывает, что последнее время уделяется внимание работе над решенной задачей. Предлагаются следующие виды работ:

1. Введение в условие задачи новых данных;

2. Изменение вопроса без изменения условия;

3. Изменение условия без изменения вопроса;

4. Изменение условия и вопроса;

5. Сравнение содержания и решения данной задачи с содержанием и решением другой задачи;

6. Исследование решения (Сколько способов решения имеет задача? При каких условиях она не имела бы решения? Возможны ли другие методы решения?).

7. Обоснование правильности решения (проверка решения задачи составлением обратной задачи).

Некоторые из перечисленных видов работ предусматривают умение детей составлять задачи, другими словами формулировать некоторый новый текст.

Составлять задачи можно двух видов: связанные с решенной и не связанные с решенной.

К задачам, не связанным с решенной, относятся задачи, составленные по выражению или по краткой записи.

К задачам, связанным с решенной задачей, относятся задачи обратные данной, аналогичные задачи, преобразованные задачи.

Мы будем подробнее рассматривать задачи, связанные с решенной, т.к. преобразование задач - есть частный случай обучения составлению задач.

Контрольные работы, проведенные перед началом эксперимента, показали, что большинство учеников не могут самостоятельно составлять задачи, связанные с решенной, а именно, преобразовывать задачи.

Рассмотрим сначала, как трактуется понятие «преобразование» в различной литературе.

В Толковом Словаре русского языка Ожегова С.И., Шведовой Н.Ю. «преобразование» - крупное изменение, перемена (книжн.).

В Экономико-математическом словаре Лопатников Л.И. [13, с. 105] рассматривает «преобразование» [transformation] как изменение значений переменных, характеризующих систему, например, превращение переменных на “входе” предприятия (живой труд, сырье и т. д.) в переменные на “выходе” (продукты, побочные результаты, брак). Это пример в ходе вещественного процесса. Решение задачи, разработка модели, передача сведений о выполнении плана - все это примеры преобразования информации. На практике оно производится различными способами обработки данных.

В Толковом словаре Ушакова понятие «преобразовывать» предлагается 3 значения:

1. В корне изменить, переделать на другой лад.

2. Придать чему-нибудь другой вид, образ, преобразить кого-нибудь либо что-нибудь.

3. Превратить из одного вида, качества в другой вид, в другое качество.

Большой Энциклопедический словарь рассматривает преобразование как замену одного математического объекта (геометрической фигуры, алгебраической формулы, функции и др.) аналогичным объектом, получаемым из первого по определенным правилам.

В методической математической литературе этот вопрос практически не освещен. Методисты много говорят об этапе работы над задачей после её решения, но конкретно не останавливаются на методике его проведения. Понятие «преобразование задач» встречается в работах Бантовой М.А., Истоминой Н.Б. и др., но разъяснение данного понятия они не предлагают. Поэтому мы решили дать свое определение.

Вернемся к структуре задачи: задача состоит из условия и требования. Условие и требование включает некие числовые данные, известные и искомые, связанные между собой. Если мы изменим эти связи, то получим новую по сравнению с исходной задачу, т.е. преобразованную задачу.

Таким образом, преобразование задач - это изменение связи между числовыми данными в некотором тексте.

Изменение связи между числовыми данными может быть следующих видов:

1. изменение связи между числовыми данными условия и требования.

Например, дана задача: «На одном столе лежало 5 книг, на другом столе на 2 книги больше. Сколько книг лежало на втором столе?»

Сделаем краткую запись:

I стол - 5 кн.

II стол - ?, на 2 кн. больше

Преобразуем задачу.

Например: «На одном столе лежало 5 книг, на другом столе на 2 книги больше. Сколько книг лежало на двух столах?»

Сделаем краткую запись:

I стол - 5 кн.

II стол - ?, на 2 кн. Больше

Таким образом, мы преобразовали простую задачу в составную.

2. изменение связи между числовыми данными в условии.

Например, дана задача: «В красной вазе стояло 7 роз, а в зеленой на 4 меньше. Сколько роз стояло в двух вазах?»

Составим краткую запись:

Крас. ваза - 7 роз

Зел. ваза - ?, на 4 меньше

Преобразуем задачу.

Например: «В красной вазе стояло 7 роз, а в зеленой на 4 больше. Сколько роз стояло в двух вазах?»

Составим краткую запись:

Крас. ваза - 7 роз

Зел. ваза - ?, на 4 больше

Таким образом, преобразовав задачу, мы изменили отношения между объектами задачи с «меньше на» на «больше на».

3. изменение связи между числовыми данными в условии и числовыми данными условия и требования.

Например, дана задача: «У Маши было 5 рублей, а у Вити на 3 больше. Сколько денег у Вити?»

Составим краткую запись:

Маша - 5 руб.

Витя - ?, на 3 больше

Преобразуем задачу.

Например: «У Маши было 5 рублей, а у Вити на 3 меньше. Сколько денег у Вити и Маши вместе?»

Составим краткую запись:

Маша - 5 руб.

Витя - ?, на 3 меньше

Таким образом, мы преобразовали простую задачу в составную и изменили отношения между объектами задачи с «меньше на» на «больше на».

Упражнения по преобразованию задач является чрезвычайно эффективными для обобщения способа их решения.

Методисты включают в работу по преобразованию задач следующие виды упражнений:

1. Изменение поставленного к условию задачи вопроса.

2. Изменение условия задачи без изменения поставленного вопроса.

3. Изменение условия и вопроса задачи.

4. Преобразование данных задач в задачи родственных им видов, т.е в «задачи, в которых величины связаны одинаковой зависимостью. Так, родственными будут задачи на нахождение четвертого пропорциональ-ного, на пропорциональное деление и на нахождение неизвест-ных по двум разностям, так как в них величины связаны про-порциональной зависимостью. Можно одну задачу преобразовать в другую родственного вида путем выполнения арифметических действий над числовыми значениями величин. В результате такого преобразования и сравнения способов решения задач родственных видов приведем детей к обобщению спосо-бов решения этих задач». [3, с. 175]

5. Составление аналогичных задач, т.е. составление задач, имеющих одинаковую математическую структуру, не изменяя связь между данными и искомым. Аналогичные задачи надо составлять после решения данной готовой задачи, предлагая при этом, когда возможно, изменять не только сюжет и числа, но и величины.

6. Составление обратных задач, т.е. составление задач, в которых «при тех же условиях одно из данных первой задачи служит искомым во второй и искомое первой входит в число данных второй». [21, с. 12] При составлении обратных задач связи между числовыми данными не должны изменяться.

Мы же остановимся в нашей дипломной работе на первых трёх видах упражнений, и будем говорить о преобразовании задач, подразумевая именно изменение поставленного к условию задачи вопроса, изменение условия задачи без изменения поставленного вопроса, изменение условия и вопроса задачи, т.к. именно этим видам работ уделено наименьшее количество внимания в методических пособиях.

Изменение поставленного вопроса.

После решения некоторых задач полезно предложить детям изменить вопрос задачи. Например, пусть ученики решили задачу: Два поезда вышли одновременно навстречу друг другу из Москвы и Киева. Московский поезд проходил 68км в час, а киевский 75км в час. Через сколько часов поезда встретятся, если расстояние от Москвы до Киева 858км?» После решения задачи можно предложить изменить вопрос так, чтобы спрашивалось о расстоянии. Учащиеся могут поставить такие вопросы: На каком расстоянии от Москвы (от Киева) произошла встреча? Какое расстояние прошел каждый поезд до встречи? Какое расстояние надо пройти каждому поезду после встреча до места назначения? На сколько километров больше прошел до встречи киевский поезд? И т.д.

Этот прием используется с различной дидактиче-ской целью.

Во многих случаях целесообразно вводить некоторые ограничения. Например, предлагается изменить вопрос так, чтобы задача решалась одним действием, двумя действиями и т.д., или чтобы задача решалась указанным действием. Такие задания предусмотрены программой и находят отражение в учебниках математики для I и II классов, но редко используются на уроке из-за недостатка времени, несмотря на то, что применение его приносит большую пользу и позволяет более полно использовать условие той или иной задачи.

Задаваемые вопросы и поиск ответов на них дают возможность решить не одну, а несколько задач по одному и тому же условию, позволяют более полно использовать условие задачи, экономить время, которое тратится на осмысление содержания и выполнение наглядной интерпретации (краткой записи) задач. Кроме того, постановка различных вопросов к задаче и затем ее решение развивают мышление. Также эти упражнения помогают обобщению знаний о связях между данными и искомым, так как при этом дети устанавливают, что можно узнать по определенным данным.

Изменение условия задачи.

Видоизменяя условие задачи, дети глубже вникают во взаимосвязь между элементами задачи, учатся рассматривать условие задачи под углом зрения ее вопроса и наоборот. [19, с. 140]

Используя данный вид преобразования задачи учащимся можно предложить решить задачу в одно действие, а затем так изменить её условие, чтобы она решалась двумя действиями. Например, «У Насти было 20 руб. Она купила ручку, которая стоит 8 руб. Сколько денег у нее осталось?». Ученики могут преобразовать задачу в такой вид: «У Насти было 20 руб. Она купила ручку, которая стоит 8 руб., и карандаш, который стоит 7 руб. Сколько денег у нее осталось?». Можно наоборот, предлагать детям задачи в 2 действия. Видоизменяя условия, дети должны из составной задачи сделать простую.

Изменение условия и вопроса задачи.

Изменение условия и вопроса задачи предлагает больший круг задач, дает возможность решить не одну, а несколь-ко задач, позволяют более полно использовать условие и требование задачи, экономить время. Данный вид упражнений развивают мышление учащихся, помогает обобщению знаний о связях между данными и искомым.

1.6. Выводы

Нами была исследована различная методическая литература. Многие авторы ведут свой разговор о методике обучения решению задач, большинство выделяет основные этапы данной работы (Бантова М.А., Истомина И.Б., Царева С.Е. и т.д.). Много внимания уделяется этапам анализа текста, поиску и оформлению решения. Последний этап в работе над задачей - работа после решения задачи - в методической литературе встречается достаточно часто, авторами предлагаются различные виды упражнений на данном этапе. На практике можно увидеть эффективность этих видов работы. К сожалению учителя зачастую не используют подобные задания, а если и используют, то мало, причиной этому является недостаток учебного времени и отсутствие методики по данному вопросу.