Формування у другокласників умінь розв’язувати складені задачі

78

Міністерство освіти і науки України

Тернопільський національний педагогічний університет

імені Володимира Гнатюка

Кафедра природничих і математичних дисциплін та методики їх викладання

ДИПЛОМНА РОБОТА

Формування у другокласників умінь розв'язувати складені задачі

Підготувала

студентка факультету підготовки вчителів початкових класів

Шагай Олександра Михайлівна

Науковий керівник

кандидат педагогічних наук, доцент

Козак Мирослава Василівна

Тернопіль-2009

Зміст

Вступ……………………………………………………………………………….3

Розділ 1. Теоретичні основи проблеми дослідження…………………………...9

1.1 Роль задач у початковому курсі математики….....………….……….…...…9

1.2 Проблема формування вмінь у другокласників розв'язувати складені задачі.......................................................................................................................24

Розділ 2. формування вмінь учнів розв'язувати складені задачі……..............34

2.1 Пропедевтична робота до введення складених задач…..............................34

2.2 Ознайомлення учнів зі складеними задачами.………….……………..…..45

2.3 Розвиток умінь розв'язувати складені задачі..………….………..………..58

2.4 Організація і зміст експериментального дослідження, аналіз його ефективності…...................................…………………….……………………...73

Висновки………………………………………………………..….….…………79

Використана література…….............………………………………………..….84

Додаток………………………..…………………………….….………………...89

Вступ

Актуальність дослідження. У системі загальної середньої освіти одне із основних місць займає початкова школа, де закладається фундамент розумових, моральних та емоційно-вольових якостей особистості. Курс математики початкових класів є основою для осмисленого засвоєння системи математичних знань, формування умінь і навичок у наступних класах і отримання математичної освіти в цілому.

Важливу роль у курсі математики початкової школи відіграють текстові задачі. Вони, „з одного боку, складають специфічний розділ програми, зміст якого учні мають засвоїти, з другого - виступають як дидактичний засіб навчання, виховання і розвитку школярів” [12, 70].

Розв'язування текстових задач спрямоване на „формування в учнів системи математичних знань, вироблення вмінь і навичок математичного моделювання, обчислення, розвитку прийомів розумової діяльності (планування, пошук раціональних шляхів, критичність тощо)” [5, 148]. Текстові задачі „допомагають розкрити опосередковані зв'язки математики з навколишнім середовищем і практичною діяльністю людей, реалізувати пізнавальні й виховні функції навчання” [19, 14]. Так, сюжети текстових задач для початкових класів відображають працю дітей і дорослих, досягнення країни в різних галузях народного господарства, науки, культури, містять цікаву пізнавальну інформацію з природознавства і т. ін.

Процес „розв'язування текстових задач сприяє формуванню таких розумових дій, як аналіз і синтез, конкретизація і абстрагування, порівняння, узагальнення тощо” [27, 6]. Від оволодіння вміннями розв'язувати задачі залежить не лише підготовка школярів з математики на даному етапі навчання, а й осмислене засвоєння систематичних курсів алгебри, геометрії, фізики, інформатики у наступних класах.

Проектом Державного стандарту загальної середньої освіти передбачається удосконалення методики навчання учнів початкових класів, а за мету початкового курсу математики ставиться „досягнення кожним учнем рівня навченості не нижче обов'язкового” [58, 4]. Нові вимоги вимагають нових технологій навчання, які б забезпечили і високий рівень теоретичної та практичної підготовки з математики, і переорієнтацію навчально-виховного процесу на особистість учня, на сприятливі умови для досягнення кожним заданого рівня знань, умінь і навичок.

Дані, необхідні для осмислення цілісності і цілеспрямованості формування вмінь розв'язувати текстові задачі, одержані нами в результаті аналізу педагогічної, психологічної і методичної літератури, де є немало цінних ідей і теоретичних узагальнень. Так, праці в галузі педагогічної психології (Л.С.Виготський, П.Я.Гальперін, Г.С.Костюк, О.М.Леонтьєв, Н.Ф.Тализіна, І.С.Якиманська) розкривають зміст поняття ”вміння” і розуміння механізмів його формування у школярів початкової школи. Психологічний та методичний аспект процесу розв'язування задач досліджували Г.О.Балл, Л.Л.Гурова, С.Д.Максименко, Є.І.Машбиць, Н.О.Менчи-нська, Н.А.Побірченко, З.І.Слєпкань, Л.М.Фрідман.

До проблеми розв'язування задач при вивченні математики тією чи іншою мірою зверталися відомі методисти. Особливу увагу розв'язуванню задач як засобу розвитку мислення, формування системи математичних понять, добору задач до підручників у середній школі приділяли Г.П.Бевз, Ю.М.Колягін, І.Ф.Тесленко, А.А.Столяр, Л.М.Фрідман, у початковій школі - М.О.Бантова, Г.В.Бельтюкова, М.В.Богданович, Г.В.Гап'юк, М.М.Левшин, М.Г.Моро, Я.А.Король, М.В.Козак, Л.П.Кочіна, А.С.Пчолко, Н.Уткіна та ін.

Заслуговують на увагу ряд досліджень, які розкривають проблеми навчання математики учнів початкових класів в цілому і розв'язування задач зокрема. Так, В.Є.Гергенова досліджувала текстові задачі як засіб формування математичних понять, О.І.Гришко і Т.С.Михайлович розглядали питання формування логічних умінь у процесі розв'язування задач, Л.С.Іванова розробляла методи попередження типових математичних помилок, Г.П.Лишенко досліджував проблему вдосконалення системи задач для початкових класів [68, 22-23].

Позитивно оцінюючи наукову і практичну значущість праць з даної проблеми, необхідно, разом з цим, відзначити, що ряд аспектів формування вмінь розв'язувати текстові задачі залишилися нерозкриті, зокрема - обсяг теоретичних знань про текстову задачу і процес її розв'язування у початкових класах; визначення рівнів програмних вимог до вироблення вмінь учнів початкової школи розв'язувати текстові задачі; добір різнорівневих завдань, спрямованих на формування вмінь розв'язувати задачі; способи раціонального поєднання фронтальної, групової та індивідуальної форм роботи на уроках математики при розв'язуванні задач в кожному конкретному класі у початковій ланці школи.

Крім того, „традиційна методика формування вмінь розв'язувати текстові задачі орієнтована на ”середнього” учня” [1, 21]. Вона не враховує зміст та основні ідеї проекту Державного стандарту загальної середньої освіти в Україні, зокрема ідеї рівневої диференціації навчання та орієнтацію її результатів на навчальні можливості школярів. Також недостатньо досліджені методичні особливості ознайомлення молодших школярів із складеними задачами, що відбувається у 2 класі.

Таким чином, актуальність дослідження зумовлена його значущістю для розробки удосконаленої методики розв'язування складених задач у 2 класі початкової школи, яка враховує особливості навчальної діяльності учнів під час розв'язування текстових задач, психолого-педагогічні засади вироблення вмінь розв'язувати текстові задачі, різнорівневі вимоги до математичної підготовки школярів. Виявлення шляхів удосконалення методики формування вмінь розв'язувати складені задачі у 2 класі і складає проблему нашого дослідження.

Мета дослідження - розробити, теоретично обґрунтувати і експериментально перевірити методичну систему (мета, зміст, організаційні форми, прийоми і засоби) формування вмінь учнів 2 класу розв`язувати складені задачі.

Відповідно до мети дослідження були поставлені такі завдання:

На основі аналізу психологічної і навчально-методичної літератури, практики навчання з'ясувати стан досліджуваної проблеми.

Розкрити зміст і операційний склад умінь учнів розв`язувати текстові задачі; визначити психолого-методичні засади їх формування.

Визначити рівні та особливості навчальної діяльності учнів початкової школи під час розв'язування складених задач.

Розробити систему завдань, спрямованих на удосконалення умінь другокласників розв'язувати складені задачі.

Експериментально перевірити удосконалену методику формування вмінь розв`язувати складені задачі у 2 класі.

Об`єкт дослідження - процес формування у другокласників вмінь розв'язувати складені задачі.

Предмет дослідження - шляхи удосконалення умінь розв'язувати складені задачі.

Гіпотеза дослідження: якщо, навчаючи розв`язуванню текстових задач, враховувати зміст і операційний склад умінь, рівні програмних вимог їх формування, психолого-педагогічні засади вироблення вмінь, принципи добору завдань, то це підвищить ефективність навчання учнів розв'язувати складені задачі, а отже, рівень математичного розвитку школярів і підготовку їх з математики в цілому.

Для вирішення завдань використані такі методи дослідження:

? теоретичні - аналіз психологічної і навчально-методичної літератури з проблеми дослідження (уточнення понятійного апарату, розкриття змісту вмінь і закономірностей їх формування); семантичний аналіз текстових задач (з'ясування структурних компонентів задачі і зв'язків між ними); моделювання педагогічних ситуацій, аналіз та обробка результатів педагогічного експерименту методами (підтвердження ефективності експериментальної методики);

? емпіричні - спостереження, анкетування, бесіди з учнями і вчителями, вивчення передового досвіду вчителів, констатуючий експеримент (з'ясування недоліків традиційного навчання, встановлення рівнів сформованості вмінь); формуючий експеримент (апробація запропонованої методичної системи, підтвердження гіпотези дослідження).

Методологічною основою дослідження є системно-структурний підхід до аналізу навчальної діяльності; психологічна теорія поетапного формування розумових дій і понять; загальнодидактичні та методичні положення розвивального навчання; результати дослідження вітчизняних і зарубіжних психологів, дидактів і методистів про закономірності навчально-виховного процесу. Дослідження ґрунтувалося на основних положеннях Закону України "Про Освіту", державної національної програми "Освіта (Україна ХХІ століття)" про зміст і завдання загальноосвітньої підготовки учнів та концепції базової математичної освіти в Україні.

Наукова новизна роботи полягає в тому, що визначено зміст і операційний склад вмінь розв'язувати складені задачі, рівні програмних вимог до їх вироблення; обґрунтовано обсяг теоретичних знань про складену задачу і процес її розв'язування; розроблена система завдань, спрямованих на формування у другокласників умінь розв'язувати складені задачі; визначено наукові підходи до добору методів, прийомів, засобів та організаційних форм вироблення вмінь розв'язувати складені задачі з урахуванням особливостей навчальної діяльності учнів 2 класу.

Теоретичне значення дослідження полягає у з'ясуванні місця та ролі складених задач у процесі навчання другокласників математики; у визначенні психолого-методичних засад формування вмінь розв'язувати складені задачі у 2 класі; у розробці методичної системи вироблення вмінь (мета, зміст, організаційні форми, прийоми, засоби), яка враховує опера-ційний склад умінь розв'язувати складені задачі та особливості навчальної діяльності учнів 2 класу.

Практичне значення дослідження зумовлюється тим, що розроблена методика забезпечує ефективне вироблення у другокласників вмінь розв'язувати складені задачі; принципи відбору складених задач для 2 класу можуть бути використані при написанні методичних посібників; розроблена методика може бути впроваджена в практику роботи початкової школи.

Вірогідність наукових результатів і висновків дипломної роботи забезпечена методологічною обґрунтованістю її вихідних теоретичних положень, адекватністю методів дослідження його меті і завданням, тривалістю і широтою педагогічного експерименту, результатами обробки кількісних і якісних даних експериментального дослідження.

Структура і обсяг дослідження. Дипломна робота складається із вступу, двох розділів, висновків, списку використаних літературних джерел, додатків. Загальний обсяг роботи - 91 сторінка.

Розділ 1. Теоретичні основи проблеми дослідження

1.1 Роль задач у початковому курсі математики

Основним засобом, який використовується при вивченні математики для формування знань, умінь і навичок учнів, є задачі. Задачі являються засобом реалізації загальноосвітньої, виховної і розвиваючої цілей. Для формування виділених елементів теоретичних знань і оволодіння учнями відповідними їх видами діяльності необхідно розглядати систему задач, що забезпечує засвоєння навчального матеріалу.

За останні роки в педагогічній психології, дидактиці й методиці навчання математики були проведені дослідження з різних проблем теорії задачі. Значний внесок зробили: Н.Г.Амнєєв, Г.О.Балл, М.І.Бурда, Л.Л.Гурова, В.В.Давидов, О.М.Матюшкін та багато інших. У цих дослідженнях вирішуються кардинальні питання постановки задач, їх структури, методики навчання розв'язання задач, зв'язків з відомим в умовах, коли суб'єкт не має способу (алгоритму) цієї дії.

На думку К. О. Славської, „задача з психологічної точки зору - це не тільки об'єктивна вихідна ситуація, а насамперед задача, що виникає для людини, тобто об'єктивна вихідна проблемна ситуація, об'єктивне вихідне співвідношення умов і вимоги, що створює невідповідність між ними” [68, 22]. Задачу мають розглядати як особливу форму пізнання дійсності. Тому вона сама виступає як об'єкт, що детермінує процес мислення людини.

Якщо аналізувати психологічний аспект розв'язування задач, то дослідники відмічають тісний зв'язок цього процесу з мисленням особистості. Усі компоненти мислення (змістовий, операційний та процесуальний) виявляються в мисленнєвій діяльності особистості. Ця діяльність виникає і формується як процес за умов проблемної ситуації і задачі. Первинно виникає проблемна ситуація, тобто „конфлікт, суперечність між обставинами та умовами - між наявними знаннями і актуальним потребами” [4, 41]. Це малоусвідомлений процес невизначеності: “Що не так? Що не таке?” тощо.

Усвідомлення проблемної ситуації становить уже перший етап у її розв'язанні. На другому етапі відбувається „вирізнення відомого і невідомого. Внаслідок цього проблемна ситуація перетворюється на задачу” [11, 289]. У структурі задачі вирізняють умову та вимоги. Для характеристики умови використовують такі ознаки, як звичність-незвичність ситуації, а також характер поставленої умови (словесний опис, зображення, реальна ситуація) і ступінь вираження в ситуації суттєвого відношення між відомими і невідомими величинами, що є ключовим у розв'язанні задачі.

Задачі мають задум (ідею, зміст). Важливою характеристикою вимог є чіткість їх формулювання [3]. Задачу характеризує також співвідношення між умовами і вимогами. В умові можуть міститися всі елементи; необхідні для розв'язання задачі, можуть бути зайві елементи тощо.

Прикладом нашого підходу до поняття задачі є трактування, що його дав Р. В. Загоруй. Він пише: “Задача - це більш-менш визначені системи інформаційних процесів, неузгоджене або навіть суперечливе відношення між якими викликає потребу в їхньому перетворенні. Суть розв'язання саме і полягає у пошуках подолання шляхів такої неузгодженості” [19, 14].

Р.Е.Басангова визначає задачу як “як об'єкт розумової діяльності, що містить вимогу деякого практичного перетворення або відповіді на теоретичне питання за допомогою пошуку умов, що дозволяють розкрити зв'язки (відношення) між відомими і невідомими її елементами” [4, 42].

З методичної точки зору поняття “задача” розглядається в роботах М. І. Бурди, Ю. М. Колягіна, В. І. Крупіча, Г. І. Саранцева й ін.

П.І.Сорокін під задачею розуміє „об'єкт розумової діяльності, що містить вимогу і деякі умови, за яких, ця вимога має бути досягнута” [62, 37]. Отже, задача повинна мати такі ознаки: бути носієм знань і умінь, а також засобом їх засвоєння; способом організації і керування пізнавальною діяльністю учнів; однією з форм прояву методів навчання; засобом зв'язку теорії з практикою.

Поняття ”математична задача” розглядалося в працях Г.А.Балла, Г.П.Бевза, Є.С. Березанської, М.В.Богдановича, П.М.Ерднієва, Ю.М.Колягіна, Л.М.Фрідмана та ін. Серед математичних задач в окрему групу виділяються текстові. До текстових відносимо задачі, в яких описується кількісна або якісна сторона реальних процесів, явищ чи ситуацій та міститься вимога знайти шукану величину, що знаходиться у зв'язку із даними в задачі величинами.

У загальній системі навчання математики „розв'язування задач є одним з видів ефективних вправ. Розв'язування задач має дуже велике значення насамперед для формування в дітей повноцінних математичних понять, для засвоєння ними теоретичних знань, визначених програмою” [65, 13]. Так, якщо хочемо сформувати в школярів правильне поняття про дію додавання, необхідно, щоб діти розв'язали достатню кількість простих задач на знаходження суми, виконуючи щоразу операцію об'єднання множин.

Отже, задачі є тим конкретним матеріалом, за допомогою якого в дітей формуються нові знання і закріплюються в процесі застосування вже здобуті знання. Виступаючи в ролі конкретного матеріалу для формування знань, задачі дають можливість пов'язати теорію з практикою, навчання з життям. Розв'язування задач формує в дітей практичні вміння, потрібні кожній людині в повсякденному житті. Наприклад, обчислити вартість покупки, ремонту квартири; визначити, о котрій годині треба вийти, щоб не запізнитись на поїзд, тощо.

Використання „задач як конкретної основи для ознайомлення з новими знаннями і застосування вже здобутих дітьми знань відіграє дуже важливу роль у формуванні в них елементів світогляду” [10, 169]. Розв'язуючи задачі, учень упевнюється в тому, що багато математичних понять (число, арифметичні дії тощо) випливають з реального життя, з практики людей. Через розв'язування задач діти ознайомлюються з важливими фактами, які мають пізнавальне і виховне значення. Так, зміст багатьох задач, які розв'язують у початкових класах, відображає працю дітей і дорослих, досягнення нашої країни в галузі народного господарства, техніки, науки, культури.

Задачі є „і предметом і засобом навчання. Вони є основним засобом забезпечення зв'язку навчання із життям, політехнічного направлення в навчанні, здійснення міжпредметних зв'язків всередині математики і останньої з іншими навчальними предметами” [7, 165]. На уроках математики навчальний процес в більшості випадків слідує від задач до теорії, а потім від теорії до задач: задачі => теорія => задачі.

Задача - це «сформульоване запитання, відповідь на яке можна знайти за допомогою арифметичних дій» [3, 151]. З визначення задачі випливає, що в ній обов'язково має міститись якесь запитання. Без запитання задачі немає. Оскільки відповідь на запитання задачі дістаємо в результаті виконання арифметичних дій, очевидно, в ній повинна міститися вимога визначити те чи інше число (або числа) - шукане і, крім того, повинні вказуватися ті числа, за допомогою дій над якими можна знайти шукане. Тому обов'язковими елементами будь-якої арифметичної задачі є невідоме (шукане) число (чи кілька таких) і дані числа.

В навчанні математиці виділяють найбільш важливі функції задач: навчальні, виховні, розвиваючі, контролюючі [19, 14].

Навчальні функції спрямовані на формування у школярів системи математичних знань, умінь і навичок (як передбачених програмою, так і таких, що розширяють, поглиблюють її зміст) на різних етапах навчання.

Виховні функції спрямовані на формування пізнавального інтересу, самостійності, навичок навчальної праці, культури математичної мови, графічної культури.

Розвиваючі функції спрямовані на розвиток мислення в учнів, просторових уявлень, на оволодіння ними ефективними прийомами розумової діяльності.

Контролюючі функції спрямовані на встановлення рівня навчання, здібності до самостійного вивчення матеріалу, рівня математичного розвитку учнів і сформованості пізнавальних інтересів.

У зв'язку з великою кількістю видів математичних задач розглянемо існуючі їх класифікації. Зокрема, у методичній літературі можна знайти наступні класифікації [17, 116-117].

1. За кількістю невідомих у структурі задач. Ю.М.Колягін пропонує їх класифікувати на навчальні, пошукові та проблемні.

2. За характером об'єктів задачі поділяють на практичні та математичні.

3. За відношенням до теорії виділяють стандартні та нестандартні задачі. У ролі основної ознаки стандартних задач вказано наявність у курсі математики таких загальних правил і положень, що однозначно визначають програму розв'язання цих задач та виконання кожного кроку цієї програми (тобто мають свій алгоритм розв'язування). Нестандартні задачі - це такі, для яких у курсі математики не існує загальних правил або положень, що визначають точну програму їх розв'язання.

4. За функціями у процесі навчання розрізняють дидактичні, пізнавальні та розвиваючі задачі. Задачі з дидактичними функціями використовують для підготовки учнів до введення нового матеріалу, а також при його закріпленні: вони несуть функцію застосування теорії, що вивчається. Задачі з пізнавальними функціями мають за мету відпрацювати та поглибити основний зміст математичної дисципліни. Задачі з розвиваючими функціями - це ті, розв'язування яких потребує певних знань та вмінь, не передбачених програмою. Саме ці задачі спрямовані на розвиток мислення.

5. Задачі, що стимулюють навчально-пізнавальну діяльність; організують та здійснюють навчально-пізнавальну діяльність учнів; задачі, у процесі виконання яких здійснюється контроль та самоконтроль ефективності навчально-пізнавальної діяльності.

6. Задачі для початкової школи класифікують за змістом: задачі на рух, задачі на пропорційне ділення, на знаходження четвертого пропорційного.

7. За характером вимоги у початковому курсі математики виділяють задачі на обчислення, задачі на побудову, задачі текстові, задачі комбінованого характеру.

Наведені класифікації дозволяють ширше уявити собі проблеми, пов'язані з методикою навчання молодших школярів розв'язувати задачі, спрямовуючи цей процес на розвиток мислення.

Загалом задачі у початковому курсі математики класифікують на прості і складені [20, 28-29]. При цьому до простих належать 25 видів задач (на розкриття змісту арифметичних дій; на розкриття відношень між числами; задачі, що розкривають зв'язки між компонентами і результатами арифметичних дій; задачі на збільшення (або зменшення) числа на кілька одиниць (чи в кілька разів) та ін.).

Прості задачі часто використовуються початковому курсі математики і при ознайомленні учнів з іншими сюжетами задач у справі формування в дітей уявлень про величини, їх вимірювання, про зв'язки, які існують між такими величинами, як ціна, кількість і вартість; маса одного предмета, число предметів і загальна маса; швидкість, час і пройдений шлях; довжина і ширина прямокутника та його площа; норма виробітку за одиницю часу, затрачений час і загальний виробіток, норма витрати яких-небудь матеріалів на один виріб, число виробів і загальна витрата матеріалів на них тощо. Такі задачі розглядаються в 1-4 класах поступово, в міру розширення кола величин, що вводяться у зв'язку з вивченням відповідних питань і на матеріалі інших вправ.

Аналогічно тому, як прості задачі використовуються для створення наочної опори при розгляді таких питань теорії, як, скажімо, зв'язок між компонентами і результатами дії, значна „група складених задач допомагає дітям усвідомити властивості розглядуваних дій” [36, 19]. Це задачі, що ілюструють властивості додавання і віднімання, що вивчаються в 1 класі, а також властивості множення й ділення, розглядувані в 2-4 класах.

У початковому курсі математики арифметичні задачі використовуються протягом усіх чотирьох років навчання. „Система їх розміщення, природно, збігається з логікою розгортання понять, що вводяться, ознайомлення з арифметичними діями і їх властивостями. Особливість задач, які для цього відбираються, максимальна їх простота” [37, 45]. Вони мають бути цілком зрозумілі, близькі дітям за сюжетом, просто викладені, без будь-яких незрозумілих, нових для дітей слів, які б потребували додаткових пояснень. Саме цій меті підпорядкована більша частина задач, широко представлених у програмі і в підручниках для кожного року навчання.

У структурному відношенні текстові задачі складаються з умови і вимоги. Умова і вимога задачі включають в себе дані (відомі, невідомі, шукані), їх числове значення і зв'язки між ними. У результаті встановлення взаємозв'язків між умовою й вимогою визначається оператор задачі - окрема дія (при розв'язуванні простих задач) або сукупність дій (при розв'язуванні складених) та їх обґрунтування.

Формування умінь розв'язувати складені задачі - одне із головних і складних завдань програми шкільного курсу математики в початкових класах. Складність цього завдання зумовлена багатьма факторами. Однак найбільш суттєвим є той, що в методиці навчання математики в початковій ланці освіти залишилися нереалізованими такі загальнодидактичні принципи, як-от: науковості, послідовності, систематичності, зв'язку теорії з практикою, індивідуального підходу та ін.

Так, ще Я.А.Коменський зазначав, що „міцно засвоюється лише те, що добре обґрунтовано” [40, 14]. Отже, розв'язання тієї чи іншої задачі має бути науково обґрунтованим. Для цього учні повинні знати найелементарнішу класифікацію задач і вміти визначити, до якого саме виду належить та чи інша задача.

Сам „процес розв'язування задач за певної методики позитивно впливає на розумовий розвиток школярів, оскільки він потребує виконання розумових операцій: аналізу і синтезу, конкретизації і абстрагування, порівняння, узагальнення” [44, 14]. Так, „під час розв'язування будь-якої задачі учень виконує аналіз: відокремлює запитання від умови, виділяє дані і шукані числа; складаючи план розв'язання, він виконує синтез, користуючись при цьому конкретизацією (в думці «малює» умову задачі), а потім абстрагуванням (абстрагуючись від конкретної ситуації, вибирає арифметичні дії)” [51, 74]; внаслідок багаторазового розв'язання задач певного виду учень узагальнює знання зв'язків між даними і шуканим, чим узагальнюється спосіб розв'язування задач цього виду.

У процесі дослідження конкретизовано мету і етапи розв'язування текстових задач (сприйняття і первинний аналіз тексту задачі; пошук і складання плану розв'язування; здійснення розв'язання; контроль і корекція), систему операцій, яка розкриває діяльність учня під час розв'язування задач.

Проаналізуємо поняття “вміння розв'язувати текстові задачі”. Під вмінням розуміємо „готовність і здатність учнів початкової школи самостійно і свідомо розв'язувати задачі” [52, 16]. В процесі навчання математики доцільно виділяти окремі й узагальнені вміння. До окремих вмінь відносять вміння розв'язувати задачі певного виду. Якщо учень переносить засвоєні дії на нові види задач, правильно і самостійно розв'язує текстові задачі широкого кола, то відповідні вміння є узагальненими. Кінцевим результатом навчання є узагальнені вміння. Загальне вміння розв'язувати текстову задачу утворює складний комплекс, що включає активне оперування математичними знаннями і відповідними вміннями й навичками, досвід у застосуванні знань і певну сукупність розумових дій, які необхідні для розв'язання.

Аналіз діяльності учнів початкових класів під час розв'язання текстових задач дозволив виявити структуру даного вміння. Остання включає „знання, специфічні для формування вмінь розв'язувати текстові задачі певного виду (наприклад, обґрунтовуючи знання) і знання, інваріантні для загального вміння (знання про текстову задачу, її склад та процес розв'язування)” [41, 82].

Психологічною основою формування вмінь розв'язувати текстові задачі є основні положення теорії поетапного формування розумових дій (О.М.Леонтьєв, П.Я.Гальперін, Н.Ф.Тализіна та ін.) у синтезі з основними положеннями асоціативно-рефлекторної теорії (Д.Н.Богоявленський, Є.Н.Кабанова-Меллер, Н.О.Менчинська та ін.).

Вчені-методисти виділяють такі загальні етапи формування вмінь розв'язувати текстові задачі (підготовчо-мотиваційний, ознайомлення, закріплення, вдосконалення, контролю і корекції знань і вмінь) [66, 39].

Аналіз досліджень з методики математики свідчить про те, що в проблемі навчання молодших школярів розв'язувати задачі є значні досягнення [14]. Так, з'ясовано можливість застосування алгебраїчного методу розв'язування задач, визначено основні напрями роботи у виробленні в учнів уміння загального підходу до розв'язування задач, виявлено доцільність опрацювання взаємно обернених задач, з'ясовано роль задач підвищеної трудності у навчанні і розвитку, уточнено класифікацію простих задач тощо. Проте є ще й нерозв'язані питання з проблеми використання математичних задач у початковій школі.

Дослідженнями вітчизняних психологів встановлено три основні типи активності учнів: репродуктивно-наслідувальний, пошуково-виконав-чий і творчий [5; 11; 40]. Кожний із зазначених типів активності виявляється і розвивається в школярів під час роботи над задачею. Так, перший тип активності, що виявляється під час засвоєння учнями предметних дій і мовних форм, дає їм змогу успішно засвоїти дії співвіднесення та вибору і виділяти в змісті навчального матеріалу раніше вивчені та нові поняття. Другий тип активності виявляється в тому, що учні можуть самостійно аналізувати зміст задачі, встановлювати зв'язок між відомими і невідомими величинами. Основним виявом третього типу активності є уміння учнів самостійно аналізувати задачу і оригінальним способом її розв'язувати.

Зауважимо, що „той чи інший тип активності потребує, щоб у навчанні було створено ситуації, в яких би учні виконували нові за змістом завдання і вчились застосовувати раціональні способи дій” [11, 321]. Якщо таких ситуацій на уроці не буває, в учнів не виникає потреби в оволодінні діями і операціями, які сприяють переходу їх на вищий рівень активності. Тривале перебування учнів в стані одного певного типу активності гальмуватиме їх загальний психічний розвиток.

Отже, рівень активності учня істотно впливає на його готовність сприймати задачу й знаходити спосіб її розв'язування [3, 186].

Готовність учнів сприймати задачу залежить також від того, як організовує вчитель аналіз учнями задачного матеріалу. Зазначимо, що „в процесі сприймання задачі учні повинні встановити логічний зв'язок між умовою і кінцевою вимогою задачі, усвідомити основне значення вимоги” [9]. При створенні умов, які забезпечують формування в учнів готовності сприймати задачу, великої уваги заслуговує додержання принципу комплексності. Суть цього принципу полягає в тому, щоб «у процесі аналізу задачі учні складали певні судження, робили узагальнення, встановлювали раціональний спосіб розв'язування» [21, 24].

Принцип комплексності у формуванні готовності сприймати задачу -- це також „спеціальна організація процесу засвоєння прийомів розумової діяльності: осмислено сприймати і запам'ятовувати, аналізувати, порівнювати, узагальнювати і конкретизувати задачний матеріал, користуватися формулами” [48, 92]. Сприймаючи задачу, учні виконують цілий ряд розумових і практичних дій: виділяють із змісту важливу для її розв'язання інформацію, зіставляють між собою складові частини задачі, встановлюють між ними зв'язок, складають орієнтовний план розв'язування.

Систематизуючи задачі, які вміщено в підручниках з математики для 1--4-х класів, слід виходити з концепції поділу задач на дві групи. До першої групи належать задачі, які складають «задачний мінімум» (програмний мінімум), до другої -- всі інші. Межа між задачами першої і другої групи рухома. Задача, яка належить до програмного мінімуму у 2 чи 3 класі, в 1 класі використовується тільки з пропедевтичною метою. Так, у 1 класі задачі на знаходження добутку або частки двох чисел належать до другої групи, а в 2 класі -- це вже задачі програмного мінімуму.

У початкових класах учні розв'язують задачі майже на кожному уроці з математики, міра навантаження при цьому різна. Для ознайомлення з новими видами задач здебільшого відводяться окремі уроки. Певна частина таких уроків планується також для розвитку вмінь учнів розв'язувати задачі. На уроках, присвячених вивченню нового арифметичного матеріалу чи застосуванню нових знань, для розв'язання задач, відводиться в середньому 15-20 хв. [53].

Урок, на якому проводиться ознайомлення із задачами нового виду, структурно ближчий до комбінованого. В нього входять усні вправи на формування навичок швидких обчислень, повідомлення учням мети уроку, підготовку їх до свідомого сприймання задачі нового виду, пояснення як початок формування вмінь розв'язувати задачі нового виду, закріплення і завдання додому. Відмінність такого уроку від звичайного комбінованого в тому, що кожна його складова частина підпорядкована головній меті -- ознайомленню із задачею нового виду.

При розв'язуванні задачі нового виду учень повинен сприйняти її в цілому, застосувати певні знання чи прийоми обчислень в нових умовах, а також усвідомити нові функції об'єкта. Отже, розв'язування задач -- це творчий процес. Враховуючи вимоги, які ставляться щодо проблемного навчання, вчитель має спрямовувати учнів на самостійне розв'язування задач за допомогою відповідних підготовчих вправ чи засобів унаочнення, своєчасно виявляти помилкові міркування в процесі розв'язування і подавати їм допомогу (але не послаблювати вольових зусиль), підтримувати емоційний тонус і впевненість у тому, що кожен з них спроможний самостійно розв'язати задачу [14, 18].

Практика розв'язання задач веде до вдосконалення вміння їх розв'язувати. Одним з показників його є згортання процесу міркування, потрібного для розв'язання задачі. У ньому випускаються судження загального характеру (судження обґрунтування, судження, що несуть в собі правила дії), вони не формулюються, хоч розумові дії і відбуваються згідно з ними. Формулюються переважно оперативні судження, через які загальні положення застосовуються до умови даної задачі. Важливу роль у цьому процесі відіграють узагальнені асоціації, які є основою «згорнених умовиводів» [4, 43].

Усвідомлення проблеми, особливо нової, несподіваної і життєво актуальної, характеризується рядом переживань, до яких належать передусім почуття здивування, почуття нового. Почуття породжується також самим ходом розв'язання завдання, труднощами, з якими людина зустрічається при цьому, успіхами й невдачами, внутрішніми суперечностями між зробленими висновками і новими фактами з завершенням роботи над задачею. Ці емоції не тільки супроводять процес мислення, а й впливають на нього, надаючи йому жвавості, пристрасності.

Розв'язування задачі включає і вольові компоненти. Воно потребує „наполегливості в переборенні труднощів, з якими людина при цьому зустрічається, сили її волі” [21, 26]. Факти з творчої діяльності вчених, винахідників цілком підтверджують цю думку. Коли б той, хто дивується винахідливості генія, міг поглянути на самий процес цих винаходів, то став би дивуватися не тільки розумові, а й силі волі, пристрасті і наполегливості винахідника.

Таким чином, процес розв'язання задач приводить в дію всі психічні сили особистості. Розв'язує задачі не сама по собі думка, а особистість, яка думає, прагнучи до пізнання що непізнаних, життєво важливих для неї зв'язків і відношень речей [17, 118].

Процесові розв'язування людиною будь-якої задачі передує її постановка. Цей етап важливий у всіх задачах, однак особливо в тих, які виникають у практичній трудовій діяльності. „Вміння знаходити майбутню задачу -- проблемну ситуацію -- одна з провідних властивостей мислення практика-професіонала” [22, 50]. Проблемна ситуація найчастіше не усвідомлюється повністю й існує постільки, оскільки в ній, так би мовити, «присутня» людина, яка її виявила.

Задача відрізняється від проблемної ситуації тим, що вона усвідомлена суб'єктом, об'єктивована й найчастіше описана словесно або в іншій знаковій (числовій, графічній) формі. Постановка задачі містить її аналіз і розуміння на певному рівні, попереднє визначення задуму рішення, стратегії, плану дій. Вона обов'язково передбачає врахування можливих реально доступних і наявних засобів розв'язання задачі.

Під засобами розв'язування розуміються „матеріальні, матеріалізовані та ідеальні об'єкти, що безпосередню не входять до умов задачі, але залучаються до її розв'язання” [40, 85]. У цьому сенсі матеріальним засобом розв'язування є і олівець, яким пише людина, і верстат, на якому виготовляється деталь, і комп'ютер, на якому обчислюються дані для проектування.

З поняттям «засоби розв'язування» пов'язане поняття «стратегія розв'язування». У психологічній літературі існує кілька стратегій розв'язу-вання задач. Відоме визначення В.О.Моляко, за яким „стратегія -- це домінуюча тенденція в інтелектуальній поведінці суб'єкта, що розв'язує задачу” [11, 387]. Стратегія передбачає вміння поставити й проаналізувати нову задачу, здійснити пошук найадекватнішої гіпотези розв'язання і саме розв'язування.

Цей термін необхідно співвіднести з такими, як «метод», «спосіб», «прийом» розв'язування та ін., які визначають сукупність (послідовність, систему) дій (операцій, кроків), що забезпечують розв'язання задачі. Інакше кажучи, «метод», «спосіб» та інші терміни такого типу належать до процесу розв'язування задачі в його виконавчій, реалізаційній частині. Стратегія ж стосується механізмів, які керують процесом розв'язування і породжують послідовність виконуваних дій [3]. Визначити стратегію можна як систему засобів і рекомендацій щодо їх перетворення в процесі розв'язування.

„Стратегія в розвиненому вигляді формується у професіоналів, здебільшого визначаючи індивідуальний стиль їхньої діяльності, загальні підходи до постановки й розв'язування нових задач” [48, 60]. Практичного працівника навчають так званих початкових (робочих) стратегій, а далі професіонал, нагромаджуючи практичний досвід, перетворює їх у міцніші й ефективніші процедури, пов'язані з індивідуальною підсистемою засобів професійної діяльності та індивідуальними прийомами роботи з ними.

Зазначені підходи до поняття задачі та процесу її розв'язування використовуються в проблемному навчанні для організації такої діяльності школяра, яка сприяє не тільки засвоєнню ними знань, умінь, навичок, а й розвиває творчі здібності, формує творчий потенціал.

До схеми розв'язування задач входять основні етапи (усвідомлення і розуміння задачі, складання та здійснення плану, рефлексія -- погляд назад, аналіз пошукового процесу), які вказують на послідовність дій, необхідних для правильного розв'язку задачі [54, 368]. Вибір практичної дії (способу) не має відбуватися шляхом спроб і помилок, тобто безпосереднього маніпулювання можливостями елементів, а потім виважування вдалих і невдалих результатів такого шукання.

Пошук розв'язання слід будувати на вивченні особливостей елементів і припущенні про можливий шлях розв'язання задачі (антиципація). Цей шлях припускає один спосіб розв'язання задачі й водночас ігнорує інші, що скорочує пошуковий процес загалом. Вибір різних варіантів дії відбувається на основі досвіду особистості, спираючись на який доводиться шукати подібну й успішно розв'язану задачу, порівнювати її з тою, яку потрібно розв'язувати.

Якщо остання задача схожа за своєю сутністю з тими, що є у досвіді суб'єкта, то вона підводиться під певний тип, а далі, як пишуть Дж.Міллер, Ю.Галантер, К.Прібрам, досліджуючи значення планування в інтелектуальній діяльності, розв'язується за систематичним планом, тобто за алгоритмом [51, 74]. Отже, цей спосіб розв'язання задачі ґрунтується на згадуванні про спосіб розв'язку подібних задач, про дії, які використовували для їх перетворення. Цей шлях надійний, але може бути тривалим.

Альтернативним способом може бути евристичний шлях, тобто така діяльність суб'єкта, яка дає змогу розв'язати нетипову задачу. Евристичними є „доцільні прийоми, які суб'єкт виробив у процесі розв'язання задачі і які здатний свідомо переносити на інші задачі. Наука, що вивчає закономірності евристичної діяльності людини, називається евристикою. Евристична діяльність відрізняється від алгоритмізованої тим, що вона не шукає готової схеми дій для розв'язання задачі, а створює нову схему дій (новий спосіб)” [59, 167].

Процес розв'язання задачі залежить від установки. Як оперативні компоненти до цього процесу входять сприймання, уявлення, поняття, судження, умовиводи, міркування, емоційні та вольові компоненти. Отже, у процесі розв'язання задач актуалізуються всі психічні сили людини. Особливо важливу роль у цьому процесі відіграють розумові дії.

Істотний вплив на ефективність розв'язування задач мають ставлення суб'єкта до цієї діяльності, його установки [54]. Установка виявляється як стан змобілізованості, готовності до дії, тому є механізмом регуляції мисленнєвої діяльності, формою спрямованості на розв'язування конкретної задачі. Виникнення установки залежить від наявності потреби в розв'язанні задач та від особливостей ситуації задоволення цієї потреби. А тому готовність до розв'язування задачі виникатиме тоді, коли діє підсилена мотивація, коли суб'єкт уже досяг колись успіху в цій діяльності й відчуває щодо неї свою адекватність.

Уміння розв'язувати текстові задачі виробляються ефективно, якщо:

1) подавати повну орієнтовну основу дій;

2) при первинному поясненні розгорнуто подавати зразок розв'язування задачі з фіксацією складових операцій;

3) опрацьовувати виконання окремих дій, які входять до складу загального вміння шляхом розв'язання спеціальних вправ;

4) використовувати різні види моделей задачної ситуації;

5) забезпечувати різні види діяльності (репродуктивну, продуктивну, творчу) та тривалість процесу формування вміння [66, 41].

Отже, у початкових класах учні ознайомлюються із різновидами арифметичних задач. Вивчення задач різних видів є важливим засобом формування у молодших школярів математичних уявлень і понять. Усвідомлення їх є важливим як для практично-життєвої підготовки учнів, так і для подальшого засвоєння математичних знань у середніх класах.

1.2 Проблема формування вмінь у другокласників розв'язувати складені задачі

Традиційно ознайомлення з поняттям “складена задача” здійснюється в 2-му класі на задачах на знаходження остачі, й ці задачі пропонуються учням майже протягом усієї теми. Але учні запам'ятовують спосіб розв'язування і при розв'язуванні нової задачі наслідують його, не звертаючись до розгорнених міркувань. Тому „ознайомлення з поняттям “складена задача” та процесом її розв'язування проводиться на різноманітних математичних структурах задач” [20, 28]. Такий підхід спонукає учнів до засвоєння дій з розв'язування задачі, а не до заучування плану розв'язування.

Складені арифметичні задачі відіграють важливу роль у навчанні дітей тих загальних прийомів розумової діяльності, які необхідні для розв'язання будь-якої задачі: а) аналізувати, виділити відоме і невідоме; б) встановлювати зв'язки між даними і шуканим; в) складати план розв'язування; г) перекладати залежності між даними і шуканим, сформульовані в задачі словами, на мову математичних виразів, рівностей, рівнянь; д) виконувати відповідні дії (розв'язувати відповідні рівняння) і знаходити відповідь на запитання задачі; е) перевіряти розв'язання [12, 71].

Однією з функцій складених задач є „розвиток здобутих знань, удосконалення їх у процесі застосування в змінених умовах” [44, 25]. Але складені сюжетні задачі, введено в початковий курс математики не лише для цього. Одна з їх функцій - навчити дітей “перекладу” словесно заданих відношень і зв'язків між різними величинами, числами, на мову математичних виразів, рівностей, рівнянь. Цій меті підпорядковані і добір задач, і система їх розміщення в часі, і методика роботи над ними.

Ця система забезпечує поступовий перехід від простого до дедалі складнішого: від складання простих виразів і рівнянь у процесі розв'язання задач на одну дію до складання виразів з 2-3 діями при розв'язуванні досить легких за структурою складених задач. Поступове наростання труднощів у таких вправах можливе тільки тоді, коли вчитель розуміючи завдання, що стоять перед ним, використовуватиме для цього пропоновані вправи з підручника.

Складені задачі використовуються під час ознайомлення з деякими новими поняттями, новими випадками дій, вони допомагають дітям усвідомити нові для них поняття дробу числа й інші питання курсу.

Складені задачі використовують і як наочну конкретну основу для розгляду нових понять, властивостей дій. Цією функцією визначається їх місце у загальній системі курсу: вони „вводяться тоді, коли розглядаються відповідні питання, і в такій кількості, яка потрібна для пояснення нових питань. При цьому спеціальної мети навчити дітей розв'язувати задачі двома способами не ставиться. Важливіше, щоб вони могли розв'язати її раціональним способом” [1, 21].

Інша група складених задач, що займають велике місце в підручниках для початкових класів школи, пов'язана з роботою над різними кількісними відношеннями. Такі задачі вводяться після того, як діти достатньо засвоять кількісні відношення і навчаться застосовувати свої знання під час розв'язування простих задач, які містять слова “на стільки-то (у стільки-то разів) більше (менше)” в різному контексті.

Складені задачі дають можливість продовжити і розширити та поглибити роботу, спрямовану на ознайомлення дітей з різними величинами і залежністю між ними. Група складених задач, пов'язаних з необхідністю застосувати знання зв'язку між такими величинами, як ціна, кількість, вартість, займає важливе місце в підручниках для всіх чотирьох класів [20, 29].

Застосовуючи до складених сюжетних задач алгебраїчний метод розв'язування, можна поділити їх на дві категорії. Поділ сюжетних задач на дві категорії надто широкий, але в ньому є певний практичний сенс. До першої групи віднесемо задачі на 2 дії, а до другої -- на 3 і 4 дії. Такий поділ пояснюється тим, що вироблення вмінь розв'язувати задачі на 3 і більше дій спирається не тільки на знання видів простих задач і залежностей між величинами, а й на вміння учнів розв'язувати задачі на 2 дії. Часто задачі на 2 дії є «блоками», з яких складається розв'язування задач на 3 і більше дій.

Складені задачі поділяють за кількістю дій, якою розв'язується та чи інша задача. Це задача на дві, три, чотири дії. Трьома діями розв'язуються задачі, які утворилися розширенням задач на дві дії; також до цього типу належать також задачі на знаходження суми двох добутків, різниці двох добутків, різниці двох часток і т. ін. [37, 45].

Формування поняття про складену задачу та ознайомлення з процесом розв'язування складених задач здійснюється за допомогою порівняння задачі з двома запитаннями та відповідної складеної задачі; порівняння простої та складеної задач, які мають однакові умови; вибору необхідних і достатніх ознак для розпізнавання складеної задачі; підведення під поняття “складена задача”; виведення наслідків про належність або неналежність задачі до поняття “складена задача”.

Спеціально опрацьовується уміння виконувати аналітичний пошук розв'язування задачі - спочатку до задач подаються готові схеми аналізу, потім - діти повинні самостійно заповнити схему аналізу на картці з друкованою основою, а далі складають її самі. Аналогічно формується вміння розбивати складену задачу на прості та визначати порядок розв'язування простих задач.

Істотним в організації діяльності учнів на етапі ознайомлення з поняттям “складена задача” є її спрямованість не на розв'язання кожної конкретної задачі, а на оволодіння комплексом умінь, на оволодіння цим поняттям [44, 28].

На підставі визначених теоретичних основ нами удосконалена методика формування загального уміння розв'язувати складені задачі, в якій визначено мету і зміст кожного з зазначених етапів. На відміну від чинних підручників, ми пропонуємо проводити цілеспрямовану підготовку до введення поняття про складену задачу. На етапі підготовчої роботи засобом спеціальних завдань у дітей формуються уявлення: про те, що за двома певними числовими даними можна відповісти на кілька запитань; різні задачі можуть мати однакові розв'язання; неможливість відповісти на запитання задачі, якщо числових даних бракує; про необхідність вибору числових даних для відповіді на запитання задачі; про існування задач, на запитання яких не можна відповісти одразу; про існування задач, що складаються з двох простих задач, які пов'язані за змістом; про те, що аналіз може складатися з двох циклів - кожний з яких відповідає певній з двох простих задач [46, 112].

Формування загального вміння розв'язувати складені задачі реалізується за допомогою систем навчальних задач для 2 класу. Навчання розв'язувати складені задачі доцільно здійснювати на різноманітних математичних структурах задач, не зосереджуючись на відпрацюванні розв'язання задачі певної структури. Істотним у методиці ознайомлення із задачами нової математичної структури є введення їх на основі або порівняння зі схожими простими задачами, або на основі продовження сюжету простої задачі, або на основі зміни запитання простої задачі до даної умови, або на основі зміни умови або запитання складеної задачі відомої математичної структури.

Таким чином, „досліджується вплив цих змін на розв'язування задачі; задачі нової математичної структури зіставляються з задачами вже відомими, що полегшує їх засвоєння. Крім того, застосовується й такий методичний прийом, коли задача нової структури подається без зіставлення з відомими структурами, що спонукає відтворення повного складу дій, які містить загальне уміння розв'язувати складені задачі” [41, 163].

При формуванні вміння розв'язувати складені задачі в 2-му класі учням пропонуються складені задачі різноманітних математичних структур.

Наведемо систему задач, з якими учні ознайомлюються у 2 класі.

1. Задачі на знаходження невідомого зменшуваного.

2. Задачі на дві дії (поняття про складену задачу).

3. Складені задачі, які містять відношення "більше на".

4. Складені задачі, які містять відношення "менше на".

5. Задачі на знаходження третього доданка за сумою і двома відомими доданками.

6. Задачі на знаходження невідомого від'ємника.

7. Задачі на знаходження числа, яке задане подвійним різницевим відношенням.

8. Задачі на знаходження числа, яке на кілька одиниць більше (менше) від суми двох чисел [56, 6-7].

Формування й розвиток умінь в учнів 2 класу розв'язувати складені задачі забезпечуються дотриманням загальних методичних вимог у роботі над задачами, а також деякими спеціальними прийомами, що конкретизують і доповнюють загальнометодичні настанови.

Уміння розв'язувати задачу передбачає знання тих загальних правил, які сприяють раціональному підходу до пошуків розв'язання [66, 41-42]. У широкому розумінні розв'язування задачі розпочинається зі збирання необхідної інформації. Вивчають задачну ситуацію, запитання задачі, згадують або знаходять з певних джерел ті ознаки й властивості величин, про які йдеться в задачі. Потім з'ясовують залежності між даними і шуканими величинами, ознаки і властивості, які слід використовувати для знаходження відповіді на запитання. На основі цього визначають хід розв'язування. Це конструктивна (і основна) частина роботи над задачею. Друга частина -- виконавча, коли роблять необхідні записи; визначають дії чи складають вираз або рівняння; здійснюють обчислення і записи відповіді; перевіряють розв'язання.