Элективный курс по математике для классов спортивно-оборонного профиля
Изложение основных методов математической статистики, теории вероятности для студентов физических факультетов. Задачи, использующие формулы: сложения и умножения вероятностей; полной вероятности и формулу Бейеса. Случайные величины. Статистика.
| Рубрика | Педагогика |
| Вид | учебное пособие |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 28.05.2008 |
| Размер файла | 153,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Корреляционная модель предполагает, что обе переменные - случайные величины.
Простейшей формой связи между двумя переменными является линейная зависимость вида У=а+bX. Параметр а носит название начальной ординаты. Параметр b носит название коэффициента регрессии, он характеризует наклон прямой линии.
Расчет параметров уравнения регрессии производится по методу наименьших квадратов:
.
Для выполнения этого учловия параметры находят из решения системы уравнений:
Которое можно представить в виде готовых формул:
.
Уравнение регрессии служит для анализа формы связи между двумя признаками.
III Математические методы
1 Дерево решений
Дерево решений используют, когда нужно принять несколько решений в условиях неопределенности, когда каждое решение зависит от исхода предыдущего или исхода испытаний. Составляя “дерево” решений нужно нарисовать “ствол” и “ветви”, отражающие структуру проблемы. Располагаются “деревья” слева направо. “Ветви” обозначают возможные альтернативные решения, которые могут быть приняты, и возможные исходы, возникающие в результате этих решений.
Квадратные “узлы” обозначают места, где принимаются решение, круглые “узлы” - появление исходов. Так как принимающий решение не может влиять на появление исходов, ему остается лишь вычислять вероятность их появления.
Когда все решения и их исходы указаны на “дереве”, просчитывается каждый из вариантов, и в конце проставляется его денежный доход. Все расходы, вызванные решением, проставляются на соответствующей “ветви”.
Рассмотрим пример: "Играть ли в гольф?" Чтобы решить задачу, т.е. принять решение, играть ли в гольф, следует отнести текущую ситуацию к одному из известных классов (в данном случае - "играть" или "не играть"). Для этого требуется ответить на ряд вопросов, которые находятся в узлах этого дерева, начиная с его корня.
Первый узел нашего дерева "Солнечно?" является узлом проверки, т.е. условием. При положительном ответе на вопрос осуществляется переход к левой части дерева, называемой левой ветвью, при отрицательном - к правой части дерева. Таким образом, внутренний узел дерева является узлом проверки определенного условия. Далее идет следующий вопрос и т.д., пока не будет достигнут конечный узел дерева, являющийся узлом решения. Для нашего дерева существует два типа конечного узла: "играть" и "не играть" в гольф.
В результате прохождения от корня дерева (иногда называемого корневой вершиной) до его вершины решается задача классификации, т.е. выбирается один из классов - "играть" и "не играть" в гольф.
Любая модель, представленная в виде дерева решений, является интуитивной и упрощает понимание решаемой задачи. Результат работы алгоритмов конструирования деревьев решений легко интерпретируется пользователем. Это свойство деревьев решений не только важно при отнесении к определенному классу нового объекта, но и полезно при интерпретации модели классификации в целом. Дерево решений позволяет понять и объяснить, почему конкретный объект относится к тому или иному классу.
Алгоритм конструирования дерева решений не требует от пользователя выбора входных атрибутов (независимых переменных). На вход алгоритма можно подавать все существующие атрибуты, алгоритм сам выберет наиболее значимые среди них, и только они будут использованы для построения дерева.
Точность моделей, созданных при помощи деревьев решений, сопоставима с другими методами построения классификационных моделей (статистические методы, нейронные сети).
2 Игры
В практике часто встречаются конфликтные ситуации. Игра - это упрощенная модель конфликта. В отличии от конфликта игра ведется по четким правилам. Для решения конфликтов разработан специальный аппарат - теория игр. Для задания игры необходимо определить:
1. варианты действий игроков
2. объем информации каждого игрока о поведении противника
3. выигрыш, к которому приводит совокупность действий игроков.
Игра в которой участвуют два игрока называется парной. В игре где участвуют более двух игроков называется множественной.
Игра в которой выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, называют игрой с нулевой суммой (антагонистической игрой)
Естественным обобщением матричных игр являются бесконечные антагонистические игры (БАИ), в которых хотя бы один из игроков имеет бесконечное количество возможных стратегий. Мы будем рассматривать игры двух игроков, делающих по одному ходу, и после этого происходит распределение выигрышей. При формализации реальной ситуации с бесконечным числом выборов можно каждую стратегию сопоставить определённому числу из единичного интервала, т.к. всегда можно простым преобразованием любой интервал перевести в единичный и наоборот.
Введём определения и обозначения : [0; 1] единичный промежуток, из которого игрок может сделать выбор;
х число (стратегия), выбираемое игроком 1;
y число (стратегия), выбираемое игроком 2;
Мi(x,y) выигрыш i-го игрока; G (X,Y,M1,M2) игра двух игроков, с ненулевой суммой, в которой игрок 1 выбирает число х из множества Х, игрок 2 выбирает число y из множества Y, и после этого игроки 1 и 2 получают соответственно выигрыши M1(x, y) и M2(x, y). Пусть, далее, G (X,Y,M) игра двух игроков с нулевой суммой, в которой игрок 1 выбирает число х, игрок 2 число y, после чего игрок 1 получает выигрыш М(x, y) за счёт второго игрока.
Большое значение в теории БАИ имеет вид функции выигрышей M(x, y). Так, в отличии от матричных игр, не для всякой функции M(x, y) существует решение. Будем считать, что выбор определённого числа игроком означает применение его чистой стратегии, соответствующей этому числу. По аналогии с матричными играми назовём чистой нижней ценой игры величину
V1 = M(x, y) или V1 = M(x, y),
а чистой верхней ценой игры величину
V2 = M(x, y) или V2 = M(x, y),
Для матричных игр величины V1 и V2 всегда существуют, а в бесконечных играх они могут не существовать.
Естественно считать, что, если для какой-либо бесконечной игры величины V1 и V2 существуют и равны между собой (V1 = V2 = V), то такая игра имеет решение в чистых стратегиях, т.е. оптимальной стратегией игрока 1 есть выбор числа xoX и игрока 2 числа yoY, при которых M(xo, yo) = V, в этом случае V называется ценой игры, а (xo, yo) седловой точкой в чистых стратегиях.
Пример 1. Игрок 1 выбирает число х из множества Х = [0; 1], игрок 2 выбирает число y из множества Y = [0; 1]. После этого игрок 2 платит игроку 1 сумму
M(x, y) = 2х2 y2.
Поскольку игрок 2 хочет минимизировать выигрыш игрока 1, то он определяет
(2x2 y2) = 2х2 1,
т.е. при этом y = 1. Игрок 1 желает максимизировать свой выигрыш, и поэтому определяет
(M(x, y)) = (2х2 1) = 21 = 1,
который достигается при х = 1.
Итак, нижняя цена игры равна V1 = 1. Верхняя цена игры
V2 = ((2х2 y2)) = (2 y2) = 21 = 1,
т.е. в этой игре V1 = V2 = 1. Поэтому цена игры V = 1, а седловая точка (1;1).
3 Линейное программирование
Программирование- это процесс распределения ресурсов.
Математическое программирование- это использование математических методов и моделей для решения проблем программирования. Если цель исследования и ограничения на ресурсы можно выразить количеством в виде линейных зависимостей между переменными, то соответствующий раздел математического программирования называется линейным программированием.
Литература
1. Теория вероятностей и математическая статистика: / В.Е. Гмурман; М.: Высшая школа - 1999 г. - 479с.
2. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: / В.Е. Гмурман; М.: Высшая школа - 2002 г. - 404 с.
3. Задачи и упражнения по теории вероятностей: / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров; М.: Высшая школа - 2002 г. - 445 с.
4. Теория вероятностей: / Е.С. Венцель; М.: Наука - 1964 г. - 572 с.
5. Математическая статистика. Оценка параметров. Проверка гипотез: / А.А. Боровнов; М.: Наука - 1984 г. - 469 с.
6. Элементы высшей математики для школьников: /Д.К. Фадеев; М.: Наука - 1987 г. 335 с.
7. Математические методы в экономике. Учебно-методическое пособие. 3-е издание: / Г.И. Просветов; М.: РДЛ - 2007 г. - 160 с.
8. Теория вероятностей в примерах и задачах: Учебное пособие / М.А. Матальский, Т.В. Романюк - Гордно: ГрГУ; 2002 г.-248 с.
9. Основы математической статистики: Учебное пособие для ин-ов физ.культ./ Под ред. В.С. Иванова - М.: Физкультура и спорт; 1990 г.- 176 с.
10. Математико - статистические методы в спорте. М., Физкультура и спорт; 1974 г. - 151 с.
Подобные документы
Профильная школа и модернизация образования. Значение элективных курсов в современной школе, их отличие от факультативов. Методика преподавания теории вероятностей и математической статистики для спортсменов, разработка элективного курса по данной теме.
дипломная работа [277,1 K], добавлен 24.06.2009Возникновение и развитие элективных курсов по математике. Цели, задачи, функции элективных курсов. Мотивы выбора школьниками элективных курсов. Базовые требования к содержанию программ. Психолого-педагогическая характеристика личности учащихся 9 классов.
дипломная работа [846,0 K], добавлен 18.07.2011Аспекты обучения основам комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики в рамках профильной школы. Структура и содержание курса «Основы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики» в профилях различных направлений.
дипломная работа [362,8 K], добавлен 28.05.2008Об актуальности, основных проблемах и резервах введения курса теории вероятностей в школьный курс математики. Методика изложения теории вероятностей в школе. Знакомство школьников с миром вероятностей. Методические элементы введения комбинаторики.
дипломная работа [353,1 K], добавлен 11.01.2011Общее представление о теории вероятностей. Элементы теории вероятностей и статистики на уроках математики в начальной школе (методика работы). Анализ эксперимента. Констатирующий, методический, контрольный эксперимент.
дипломная работа [107,0 K], добавлен 19.04.2002Анализ современных исследований по введению в школьную математику элементов теории вероятностей и математической статистики. Определение содержания и разработка методики проведения факультативного курса "Элементы теории вероятностей" в средней школе.
дипломная работа [517,6 K], добавлен 12.06.2011Процесс подготовки учителя к обучению школьников элементам теории вероятностей. Изучение характеристик случайных величин. Методика работы при использовании элементов теории вероятностей на уроках математики. Основные понятия о факультативном курсе.
курсовая работа [118,3 K], добавлен 26.01.2011Умение упорядочить полученные знания для рационального применения. Развитие навыков учащихся в вычислении классической вероятности. Формирование вероятностного мышления. Классическое определение теории вероятности. Первичное закрепление изученного.
разработка урока [36,0 K], добавлен 04.05.2011Цели организации элективных курсов по математике, их типы и содержание. Требования к отбору задач для занятий, формы обучения и контроля знаний. Методические рекомендации к проведению занятий элективного курса "Геометрические построения на плоскости".
аттестационная работа [711,6 K], добавлен 30.05.2013Основоположники классической теории вероятности - отношения числа благоприятствующих исходов события к общему числу равновозможных результатов. Пределы нахождения возможности случайного, невозможного и достоверного события, его относительная частота.
конспект урока [36,1 K], добавлен 04.05.2011
