главнаяреклама на сайтезаработоксотрудничество База знаний Allbest
 
 
Сколько стоит заказать работу?   Искать с помощью Google и Яндекса
 



Методика изучения объемов многогранников в курсе стереометрии

Основы изучения темы "Объемы многогранников" в курсе геометрии 10-11 классов. Развитие пространственных представлений и логического мышления. Методика изучения темы "Объем. Объемы призмы. Объемы прямоугольного параллелепипеда". Цели изучения темы.

Рубрика: Педагогика
Вид: дипломная работа
Язык: русский
Дата добавления: 24.06.2009
Размер файла: 275,4 K

Полная информация о работе Полная информация о работе
Скачать работу можно здесь Скачать работу можно здесь

рекомендуем


Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже.

Название работы:
E-mail (не обязательно):
Ваше имя или ник:
Файл:


Cтуденты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны

Подобные документы


1. Методика изучения многогранников в школьном курсе стереометрии
Подходы к определению многогранника и его видов. Подходы к определению выпуклого и правильного многогранника. Изучение темы "Многогранники" в школьном курсе стереометрии. Виды и роль наглядных средств при изучении многогранников.
дипломная работа [145,9 K], добавлен 08.08.2007

2. Изучение темы "Многоугольники" в школьном курсе геометрии
Роль и место темы "Многоугольники" в школьном курсе геометрии, методика изучения данной темы. Понятия и признаки треугольника, прямоугольника, ромба, квадрата, трапеции. Выпуклые и правильные многоугольники: доказательство теорем и решение задач.
дипломная работа [2,9 M], добавлен 16.02.2012

3. Методика изучения свойств прямоугольного треугольника в курсе геометрии 7-8 классов
Введение понятия прямоугольного треугольника, его характеристика и отличительные свойства, признаки равенства и подобие. Теорема Пифагора. Методические основы изучения темы "Прямоугольный треугольник", примерные уроки, типы и формы контроля знаний.
дипломная работа [1,3 M], добавлен 24.06.2011

4. Методика обучения школьников применению теории к решению задач на вычисление и доказательство по теме "Многоугольники"
Роль, место и мировоззренческая функция темы "Многоугольники" в школьном курсе геометрии, анализ ее содержания в учебниках по геометрии и методика изучения. Организация обобщающего повторения темы в курсе геометрии 9 класса и материалах ЕГЭ по математике.
дипломная работа [2,7 M], добавлен 09.03.2012

5. Методика изучения темы "Циклы" в курсе информатики и ИКТ
Анализ учебных пособий по информатике: Угринович Н.Д., Макаров Н.В., Семакин И.Г. Методика преподавания темы "Циклы" в базовом курсе информатики. Применение методики построения алгоритмов по теме "Циклы" на конспекте урока и лабораторной работе.
курсовая работа [621,6 K], добавлен 07.07.2012

6. Методика изучения кристаллогидратов в школьном курсе химии
История изучения кристаллогидратов. Их классификация, номенклатура и значение. Анализ содержания темы "Кристаллогидраты" в школьных программах и учебниках химии. Методические рекомендации к ее изучению. Возможности модернизации темы "Кристаллогидраты".
автореферат [55,4 K], добавлен 10.08.2009

7. Методика применения ЦОР в процессе изучения темы "Электромагнитные колебания"
Информационные технологии обучения. Дидактические принципы изучения темы "Электромагнитные колебания" в курсе физики. Компьютерное моделирование электромагнитных колебаний. Повышение наглядности обучения при использовании компьютерных моделей на уроках.
курсовая работа [840,9 K], добавлен 21.03.2009

8. Методика преподавания темы "Тригонометрические функции" в курсе алгебры и начал анализа
Общие вопросы изучения тригонометрических функций в школе. Анализ изложения темы "Тригонометрические функции" в различных школьных учебниках. Методика преподавания темы в курсе алгебры и начал анализа. Опытное преподавание.
дипломная работа [213,1 K], добавлен 08.08.2007

9. Методика изучения темы "Параллельность прямых и плоскостей"
Логико-математический анализ и понятийный аппарат темы "Параллельность прямых и плоскостей" в курсе геометрии. Описание методики обучения учащихся, тематическое планирование. Методика обучения базовому теоретическому материалу и решению задач по теме.
курсовая работа [617,2 K], добавлен 01.03.2013

10. Методика изучения темы "Подобные треугольники"
Анализ понятийного аппарата темы "Подобные треугольники". Методика изучения темы, ее раскрытие в учебниках различных авторов. Усвоение учащимися признаков подобия треугольников и формирования умения применять их. Этапы решения геометрических задач.
курсовая работа [300,5 K], добавлен 06.10.2011


Другие документы, подобные Методика изучения объемов многогранников в курсе стереометрии

Страница:  1   2 


62

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Вятский государственный гуманитарный университет»

Физико-математический факультет

Кафедра дидактики физики и математики

Выпускная квалификационная работа

Методика изучения объемов многогранников в курсе стереометрии

Выполнила студентка V курса физико-математического факультета Черезова Валентина Анатольевна

Научный руководитель: к.пед.н., доц. каф. дидактики физики и математики Шилова З. В.

Рецензент: к.пед.н., ст.преп. каф. дидактики физики и математики Горев П. М.

Допущена к защите в ГАК

« » Зам. Зав. кафедрой М. В. Крутихина

« » Декан факультета Е. В. Кантор

Киров 2008

Содержание

Введение

Глава 1. Теоретические основы изучения темы «Объемы многогранников» в курсе геометрии 10-11 классов

§ 1 Анализ учебной программы по математике 10-11 классов

§ 2 Анализ учебников геометрии 10-11 классов

§ 3 Различные подходы к определению объема многогранников

§ 4 Цели изучения темы «Объемы многогранников»

в курсе стереометрии

1.4.1. Развитие пространственных представлений

1.4.2. Развитие логического мышления

Глава 2. Методика изучения темы «Объемы многогранников»

§ 1 Пропедевтика изучения темы «Объемы многогранников»

§ 2 Методика изучения темы «Объем. Объемы призмы. Объемы прямоугольного параллелепипеда»

§ 3 Методика изучения темы «Объемы пирамиды»

Глава 3. Опытное преподавание

Заключение

Библиографический список

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Приложение 6

Приложение 7

Приложение 8

Приложение 9

Введение

Основной задачей модернизации российского образования является повышение его доступности, качества и эффективности. Это предполагает точный и правильный подход ко всему образовательному процессу, приведение его в соответствие с требованиями времени. В настоящее время традиционный взгляд на содержание обучения математике, ее роль и место в общем образовании пересматриваются и уточняются. Наряду с подготовкой учащихся, которые в дальнейшем в своей профессиональной деятельности будут пользоваться математикой, важнейшей задачей обучения становится обеспечение некоторого гарантированного уровня математической подготовки всех школьников независимо от специальности, которую они изберут в дальнейшем [10].

Для продуктивной деятельности в современном информационном мире требуется достаточно прочная базовая математическая подготовка, поэтому изучение темы «Объемы фигур» очень актуально, так как они необходимы для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования.

Тема «Объемы » - одна из центральных тем в курсе стереометрии средней школы. Проблема организации уроков по изучению объемов многогранников одна из самых актуальных, так как она занимает значительную часть в курсе стереометрии. Если педагог не знает методики, особенностей проведения уроков по тому или иному учебнику, то в классе не может идти речи об усвоении программного материала по математике.

По мнению А.Д. Александрова, вопрос о необходимости любого школьного предмета, о необходимости того или иного его раздела сводится к вопросу о его практической надобности и значении в развитии личности [2].

Понимание того, что практически нужно в геометрии и что в данном предмете может служить развитию личности, должно определять и содержание предмета, и постановку его преподавания.

Ни один предмет ученики так ни готовы воспринимать, как наглядную геометрию, в то же время, ни один предмет не начинают изучать в школе с таким опозданием, как геометрию. Шестилетний провал в геометрическом образовании детей - это трудно восполнимая потеря с точки зрения и общего эмоционального и умственного развития ребенка. Процесс геометрического образования должен быть непрерывным (не допускать периодов бездействия), равномерным (не допускать перегрузок на каких-либо этапах), разнообразным [30].

Во всяком подлинно геометрическом предложении, будь то аксиома, теорема или определение, неразрывно присутствуют эти два элемента: наглядная картина и строгая формулировка, строгий логический вывод. Там, где нет ни одной из двух сторон, нет и подлинной геометрии.

Именно при изучении многогранников и их объемов решение данной задачи выступает наиболее ярко, и их рассмотрению должно быть уделено больше внимания, потому что многогранники дают особенно богатый материал для развития пространственных представлений, для развития того соединения живого пространственного воображения со строгой логикой, которая составляет сущность геометрии.

Объектом выпускной квалификационной работы является процесс обучения стереометрии в средней школе.

Предмет исследования - изучение объемов многогранников в курсе стереометрии.

Основная цель исследования - разработать методические рекомендации по изучению темы «Объемы многогранников» в курсе стереометрии по учебникам [7] и [8].

Гипотеза исследования: изучение объемов многогранников в курсе стереометрии в средней школе будет более эффективным, если:

· формировать понятие объема на наглядно-интуитивном уровне с привлечением жизненного опыта учащихся;

· целенаправленно работать по формированию понятия объема и навыков решения основных типов задач в 5-6 классах;

· систематически обращаться к задачам на объемы многогранников в старших классах;

· проводить факультативные курсы.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

· проанализировать программу по математике для 10-11 классов и ряд учебников по геометрии в соответствии с программой;

· проанализировать учебно-методическую и научно- педагогическую и математическую литературу по теме исследования;

· выделить различные подходы к определению понятия «Объемы многогранников»

· рассмотреть методические аспекты изучения темы «Объемы многогранников»

· составить план факультативных занятий по теме «Объемы многогранников»;

· провести опытное преподавание.

Методы исследования:

1) изучение и анализ научно-педагогической, методической и математической литературы, программы, учебников, учебных и методических пособий по теме;

2) посещение уроков, на которых рассматривались многогранники и их объемы и наблюдение за работой учащихся;

3) опытное преподавание.

Глава 1. Теоретические основы изучения темы «Объемы многогранников» в курсе геометрии 10-11 классов

§ 1 Анализ учебной программы по математике 10-11 классов

Проанализировав учебную программу по математике [23], можно заметить, что основной целью изучения свойств геометрических тел в пространстве является развитие пространственных представлений учащихся, освоение способов вычисления практически важных геометрических величин и дальнейшее развитие логического мышления учащихся.

Курсу присущи систематизирующий и обобщающий характер изложения, направленность на закрепление и развитие умений и навыков, полученных в неполной средней школе. При доказательстве теорем и решении задач активно используются изученные в курсе планиметрии свойства геометрических фигур, применяются геометрические преобразования, векторы и координаты. Высокий уровень абстрактности изучаемого материала, логическая строгость систематического изложения соединяются с привлечением наглядности на всех этапах учебного процесса и постоянным обращением к опыту учащихся. Умения изображать важнейшие геометрические тела, вычислять их площади поверхностей и объемы имеют большую практическую значимость.

Другой подход к структурированию курса математики старших классов связан с реализацией профильной дифференциации обучения. Вводятся два курса - курс А и курс В разного объема и уровня.

Курс А ориентирован на тех учащихся, которые рассматривают математику как элемент общего образования и не предполагают использовать ее непосредственно в своей будущей профессии. Этот курс представлен одним предметом математикой, в котором в разумной последовательности чередуются сведения алгебры и начал анализа с геометрическим материалом.

Цель изучения курса А в 10-11 классах - дать учащимся представление о роли математики в современном мире, о способах применения математики как в технических, так и в гуманитарных сферах. При изучении в этом курсе элементов анализа опора делается на наглядно-интуитивное представление учащихся, роль формальных рассуждений и доказательств невелика. Изучение геометрического материала также широко опирается на наглядность. Существенно снижается внимание к идее аксиоматического построения курса стереометрии. Основной акцент делается на формирование умений применить изученные факты в простейших случаях.

Курс В предназначен для учащихся, выбравших для себя те области деятельности, в которых математика играет роль аппарата, специфического средства для изучения закономерностей окружающего мира. В рамках этого курса сохраняются традиции деления на два предмета - алгебра и начала анализа и геометрия.

Изучение алгебры и начал анализа и геометрии как составляющих курса В предполагает реализацию тех же целей, которые ставятся перед этими математическими дисциплинами в общеобразовательном курсе, но на более высоком и усложненном уровне [36].

Изучение программного материала по теме «Объемы многогранников» дает возможность учащимся:

· получить представление о широте применения геометрии в различных областях человеческой деятельности; познакомиться с некоторыми фактами истории геометрии;

· усвоить систематизированные сведения о пространственных формах;

· научиться проводить аналогию плоскими и пространственными конфигурациями, видеть общность и различие свойств аналогичных структур на плоскости и в пространстве, использовать планиметрические сведения для описания и исследования пространственных фигур;

· научиться иллюстрировать и моделировать проекционным чертежом пространственные формы, решать позиционные задачи (в частности, задачи на сечения) на проекционном чертеже;

· решать задачи на нахождение площадей поверхностей и объемов тел, на вычисление линейных и угловых элементов пространственных конфигураций;

· решать задачи на доказательство;

· овладеть набором приемов, часто применяемых для решения стереометрических задач на вычисление и доказательство.

Уровень обязательной подготовки по теме «Объемы многогранников» ограничивается следующими требованиями:

· уметь распознавать на моделях и по описанию основные пространственные тела (призма, пирамида), указывать их основные элементы, узнавать эти формы в окружающих предметах;

· уметь иллюстрировать условие стереометрической задачи либо чертежом, либо моделью;

· уметь вычислять значение геометрических величин (длин, площадей, объемов), применять изученные формулы;

· уметь решать несложные задачи на вычисление с использованием изученных свойств и формул (свойства параллельности прямых и плоскостей, многогранников и тел вращения).

В содержание материала по теме «Объемы многогранников» входят разделы: «Объем прямоугольного параллелепипеда». «Объемы прямой призмы и цилиндра». «Объемы наклонной призмы, пирамиды и конуса». «Объем шара и площадь сферы». «Объемы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора».

Это обязательный минимум, которым должны овладеть учащиеся, изучая тему «Объемы многогранников».

§ 2 Анализ учебников геометрии 10-11 классов

Исходя из требований программы, различные авторские коллективы предлагают ряд учебников геометрии 10-11 классов. Рассмотрим некоторые из них.

Учебник [7] является продолжением и развитием учебника для 7-9 классов того же авторского коллектива. Изложение теоретического материала более строгое, чем на предыдущей ступени обучения. Теоретические тексты кратки и доступны. Система упражнений последовательна, содержит задачи разного уровня сложности, примеры решения наиболее важных задач, причем данные решения наиболее трудных задач потребуются ученикам как опорные, при доказательстве теорем, следствий из теорем и т. д. Имеются дополнительные задания, которые идут после всей главы. Для решения этих задач необходимо знать не только материал изученной главы («Объемы тел»), но и применить знания, умения и навыки, полученные при изучении других тем. В процессе их решения очень хорошо развивается логика, воображение. Другими словами можно сказать, что при решении дополнительных задач у учащихся развиваются три качества: пространственное воображение, практическое понимание и логическое мышление.

На изучение темы «Объемы тел» отводится 19 ч. Входят такие разделы, как: объем прямоугольного параллелепипеда, объемы прямой призмы и цилиндра, объемы наклонной призмы, пирамиды и конуса, объем шара и площадь сферы, объемы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора.

Основная цель - продолжить систематическое изучение многогранников и тел вращения в ходе решения задач на вычисление их объемов. В курсе стереометрии понятие объема вводится по аналогии с понятием площади плоской фигуры, и формулируются основные свойства объемов. Существование и единственность объема тела в школьном курсе математики приходится принимать без доказательства, так как вопрос об объемах принадлежит, по существу, к трудным разделам высшей математики. Поэтому нужные результаты устанавливаются, руководствуясь больше наглядными соображениями. Учебный материал главы в основном должен усваиваться в процессе решения задач.

Основная теория в начале курса стереометрии изучается с опорой на геометрические тела, что повышает доступность материала, а значит, и результативность обучения.

Учебник И. Ф. Шарыгина [11] реализует авторскую наглядно-эмпирическую концепцию построения школьного курса геометрии. Его характеризует отказ от аксиоматического метода и акцент на использование наглядных методов в процессе построения теории и решения задач. В учебнике нетрадиционно изложены многие необходимые теоретические факты. Их доказательства оригинальны и, что немаловажно, красивы. Учебные тексты написаны хорошим литературным языком.

Теоремы в учебнике нацелены не столько на «прохождение программы», сколько на создание необходимого запаса сведений для решения задач. Например, весьма интересно изложен раздел «Объемы», в котором имеются теоремы, обычно не рассматриваемые в школе. Доказательства этих теорем поучительны сами по себе, а владение ими дает запас фактов и приемов, позволяющих решать довольно трудные задачи.

Система упражнений в учебнике позволяет реализовать идею уровневой дифференциации. Здесь есть задачи, отмеченные звездочкой, предназначенные для углубленной подготовки; специально выделены полезные (П), важные (В) и трудные (Т) задачи.

Учебник И. М. Смирновой [9] для естественнонаучного профиля является одним из нескольких учебных пособий, написанных И. М. Смирновой и В. А. Смирновым. Эти учебники объединяет единая концепция авторского подхода к геометрии как науке и учебному предмету, а их отличия связаны с учебными задачами, которые ставятся в том или ином профиле. Так учебник для естественнонаучного профиля позволяет углубить знания учащихся по геометрии, в нем расширен материал о многогранниках, например, имеются теорема Эйлера, учебные пункты, посвященные правильным, полуправильным, звездчатым многогранникам, многогранникам, вписанным в сферу, описанным около сферы и т. п. Больше внимания в учебнике уделено изучению кривых и поверхностей, рассматриваются аналитические способы задания фигур. Наряду с декартовыми координатами в пространстве используются полярные и сферические координаты.

Учебник [6] написан кратко и просто, в нем реализован аксиоматический подход к построению курса. В теоретической части учебника авторы выделяют основные теоремы, из которых остальные получаются как следствия. Например, в первом параграфе выводится формула объема прямого цилиндра, а затем представление объема интегралом. Но после параграфа идут задачи на объем прямой призмы. Таким образом, ученики сами выводят формулы. В учебнике обращается внимание на практическое применение геометрии, на ее связь с искусством, архитектурой. Авторы представляют геометрию как живую развивающуюся науку, ведущую свою историю от египетских землемеров и геометров Древней Греции. Изложение теоретического материала строгое. Четкая структура, высокая научность, доступность изложения, простота и краткость - отличительные черты этого учебника. Авторы представляют геометрию, как науку, тесно связанную с окружающим миром. Появлению абстрактного понятия предшествует реальная картина, которая аргументирует необходимость этой абстракции.

К каждому параграфу дается набор задач. Среди них выделены основные задачи, то есть обязательные для всех. Именно в задачах заложен принцип развивающего обучения. Большую помощь учащимся окажут предметный указатель и ответы.

По учебнику [6] на изучение темы «Объемы тел и площади их поверхностей» отводится 20 ч. Входят такие параграфы, как: определение объема, представление объема интегралом, объемы некоторых тел - цилиндра (в том числе призмы), конуса (в том числе пирамиды), шара; площадь поверхности, площадь сферы, площадь поверхности цилиндра и конуса.

Основная цель - продолжить ознакомление учеников с геометрическими величинами.

Аппарат для нахождения этих величин взят из курса начал анализа: интегрирование и вычисление пределов. Тонкие вопросы существования этих величин требуют некоторого комментария со стороны учителя. Например, если мы умеем вычислять объем шара, то из каких соображений находится объем любой его части?

Следует заметить, что только в этом разделе теории в учебнике встречаются утверждения, не имеющие достаточно полного обоснования, опирающиеся на наглядно ясные соображения. Например, постулируется, что любое простое тело имеет объем.

В учебнике И. М. Смирновой и др. [10] реализован курс, несколько меньший по объему, чем в обычных классах, он рассчитан на 2 часа в неделю в течение полутора лет. В нем сохранены основные вопросы традиционной программы по стереометрии. При этом устранены излишняя детализация и теоремы, играющие вспомогательную роль.

Гуманитарная направленность курса поддерживается за счет вопросов исторического, философского и мировоззренческого характера, рассмотрения приложений геометрии. При этом курс логически связан, содержит необходимые определения, свойства, теоремы и их доказательства. Большую роль играет наглядность.

После теоретического материала имеются задания для самоконтроля по теории и различные задачи, среди которых выделены важные задачи, используемые при решении других задач. Главы заканчиваются списком задач, с помощью которых можно повторить содержание главы.

Таким образом, в настоящее время действующих учебников по геометрии для 10-11 классов очень много. Каждый авторский коллектив вносит в содержание своих учебников что-то новое, отличающее их от других. Школа и учителя вправе выбирать те из них, которые, по их мнению, дадут оптимальный уровень знаний по геометрии учащимся того или иного класса. В общеобразовательных школах, где нет углубленного изучения отдельных предметов, чаще всего используют учебник [7].

§ 3 Различные подходы к определению объема многогранников

Задача определения объемов тел относится к глубокой древности. Она возникла в связи с практической деятельностью людей. Говоря простым языком, объем - это часть пространства, занимаемая телом. Точнее: объем - некоторая физическая, а именно геометрическая величина, характеризующая то свойство тел, что они трехмерны или занимают часть пространства. С понятием величины мы много раз встречались в физике и в геометрии.

Прежде всего, величины можно измерять, получая при этом именованные числа. Будем считать, что величина, или именованное число, которое ее выражает, - это одно и то же.

Тогда: 1) величина не может принимать отрицательных значений; 2) если тело (или носитель величины) разбито на части, то сумма величин частей равна величине целого. Величины одного рода можно складывать; 3) для двух величин одного рода существует отношение - отвлеченное число, которое не зависит от способа измерения величин [3].

Рассмотрим конкретный пример.

Представим себе два сосуда: один в форме куба, а второй произвольной формы (рис. 1). Пусть оба сосуда доверху наполняются жидкостью. Допустим, выяснилось, что для наполнения первого сосуда понадобилось m кг жидкости, а для наполнения второго сосуда понадобилось n кг жидкости. Естественно считать, что второй сосуд в раз больше первого. Число, указывающее, во сколько раз второй сосуд больше первого, мы будем называть объемом второго сосуда. Первый сосуд является единицей измерения. Из этого определения понятия объема получаются следующие его свойства:

· Во-первых, так как для заполнения каждого сосуда требуется определенное количество жидкости, то каждый сосуд имеет определенный (положительный)объем.

· Во-вторых, для заполнения равных сосудов потребуется одно и то же количество жидкости. Поэтому равные сосуды имеют равные объемы.

· В-третьих, если данный сосуд разделить на две части, то количество жидкости, необходимое для заполнения всего сосуда, состоит из количества жидкости, необходимой для заполнения его частей. Поэтому объем всего сосуда равен сумме объемов его частей [24].

По данному определению для того, чтобы узнать объем сосуда, надо заполнить его жидкостью. В жизни, однако, требуется решать обратную задачу. Требуется узнать количество жидкости, необходимой для заполнения сосуда, не производя самого заполнения. Если бы мы знали объем сосуда, то количество жидкости мы бы получили, умножая объем сосуда на количество жидкости, необходимой для заполнения единицы объема.

Тело мы будем называть простым, если его можно разбить на конечное число тетраэдров, то есть треугольных пирамид. В частности, такие тела как призма, пирамида, вообще выпуклый многогранник, являются простыми.

Рассмотрим другое определение объема многогранников.

Число, характеризующее величину внутренней области многогранника, называется объемом многогранника.

Смежными многогранниками называются такие многогранники, которые имеют одну или несколько общих граней, причем остальные точки каждого из многогранников расположены вне другого (рис. 2).

Условимся рассматривать объем многогранника как величину, обладающую следующими свойствами:

1. Два равных многогранника имеют один и тот же объем, независимо от их расположения в пространстве.

2. Объем многогранника, представляющего собой сумму двух смежных многогранников, равен сумме объемов этих многогранников.

3. Если из двух многогранников первый содержится целиком внутри второго, то объем первого многогранника не превосходит объема второго.

Многогранники, имеющие равные объемы, называются равновеликими [37]. За единицу объема принимается объем куба, ребро которого равно единице длины (мм, см, дм, м и т.п.).

Естественно, такие определения понятия объема многогранников даются на строгом математическом языке. Рассмотрим подходы к определению понятия объемов многогранников в школьных учебниках.

Во всех учебниках объем вводится аналогично площади, с той лишь разницей, что в учебнике [7] определения нет, а в учебниках [8] и [6] они имеются: в учебнике [8] - это положительная величина, а в учебнике [6] - неотрицательная.

Существуют два подхода к определению объема:

1 подход. Понятие объема вводится аксиоматически. Объем - это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

- равные тела имеют равные объемы;

- если тело разбито на части, являющиеся простыми телами, то объем этого тела равен сумме объемов его частей;

- объем куба, ребро которого равно единице длины, равен единице.

Такой подход реализован в учебниках [8] и [6]. Причем, как говорилось выше, перед понятием объема проговаривается аналогия с понятием площади.

2 подход. Понятие вводится конструктивно. Будем считать, что каждое из рассматриваемых нами тел имеет объем, который можно измерить с помощью выбранной единицы измерения объемов. За единицу измерения объемов примем куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. Куб с ребром 1 см. называют кубическим сантиметром и обозначают см3.

Такой подход реализован в учебнике [7]. Отличие также состоит в том, что аксиомы, сформулированные в учебнике [8] в определении, в учебнике [7] прописаны отдельной чертой как свойства.

Дальнейшее изучение происходит по-разному.

Во всех учебниках первой формулой вводится объем прямоугольного параллелепипеда, как произведения трех его измерений. Что касается учебного пособия [6], то в нем изложение материала отличается от других учебников. Это связано с тем, что предназначен он для классов с углубленным изучением математики. Материал построен таким образом, что сначала сформированные наглядные представления расширяются, причем отталкиваясь от реальности. Затем, переходя от наглядности, осуществляется точная словесная формулировка. Так, например, доказывается теорема об объеме прямого цилиндра. Призма рассматривается как частный случай - это цилиндр, но с другим основанием. Аналогичным образом вводится объем конуса, а отсюда получаем как следствие объем пирамиды. Представление объема интегралом доказывается в виде теоремы, но не в полном объеме, так как оно сложно и требует расширения понятия интеграла. Применение этот материал нашел при доказательстве формул объемов цилиндра, конуса (пирамиды) и шара. Для некоторых тел вращения дается общая формула объема через интеграл. В виде задач сформулированы метод Кавальери и формула Симпсона, причем предлагается найти им аналоги в планиметрии. Аналогично предлагается вывести самостоятельно формулы для шарового сегмента, шаровых пояса и сектора, определения которых даны в формулировке задач. Имеется также дополнение к главе, где рассматривается вопрос равновеликости и равносоставленности. Практическая часть пособия представлена достаточным количеством задач, при этом их тематика довольно обширная по сравнению с другими учебниками. Отличительной чертой задач является то, что учащиеся должны искать и, решая, проводить самостоятельно аналогию с курсом планиметрии. Это развивает память, мышление, воображение, а также способствует более прочному закреплению материала.

Проанализировав учебные пособия по данной теме при дальнейшем рассмотрении учебников будем опираться только на учебники [7] и [8], так как в них изложение материала и построение курса более понятно для изучения школьниками.

В младших и средних классах (I-V) понятие объема фигуры употребляется по существу как первичное, неопределяемое. У учащихся формируется убежденность в том, что окружающие их физические тела имеют определенный объем, это убеждение по интуиции переносится и на геометрические тела. По отношению к кубу и прямоугольному параллелепипеду в IV классе предлагаются формулы, которые иллюстрируются (для случая целых измерений) с помощью разбиения данной фигуры на единичные кубики. Такое разбиение можно условно считать первым в школьном курсе подходом к определению понятия объема; число единичных кубов, составляющих прямоугольный параллелепипед (в частности куб), принимается за числовое значение объема соответствующей фигуры.

В курсе VIII класса учащиеся знакомятся с общей задачей нахождения объемов многогранников и некоторых других фигур. Практика преподавания выявила некоторые трудности в усвоении этого материала восьмиклассниками, к тому же характер его изложения не вполне увязан с общей практической направленностью пропедевтического курса стереометрии [16].

Таким образом, углубленное изучение определения объема приходится отложить до X класса, где к этому понятию возвращаются и в теме «Многогранники» и в теме «Фигуры вращения».

§ 4 Цели изучения темы «Объемы многогранников» в курсе стереометрии

1.4.1. Развитие пространственных представлений

Широкие возможности для развития пространственных представлений открываются при использовании различных наглядных пособий и ТСО. Можно организовать работу по изготовлению наглядных пособий силами учащихся. Эта работа потребует от них и определенных знаний, и достаточно развитого пространственного воображения. Работа по изготовлению самодельных учебных наглядных пособий проводится под руководством учителя в классе, во внеурочное время, в кружках и школьных производственных мастерских. Помимо положительного влияния на усвоение курса математики, такая работа содействует повышению эффективности урока. Иное дело, когда учитель злоупотребляет демонстрацией наглядных пособий. Этим он избавляет учеников от необходимости напрягать, упражнять воображение и в результате мешает его развитию.

Использование наглядных моделей многогранников способствует решению разных дидактических задач. Они будут полезны на уроках геометрии. Наборы многогранников (каркасные модели, деревянные, из бумаги) демонстративны, дают необходимые представления о форме. Они могут служить объектами для измерения и определения площадей поверхностей и объемов. Тела из стекла прозрачны и позволяют видеть элементы фигур, сечения тела, которые показываются либо стеклянными вкладышами, либо с помощью натянутых нитей. Эти модели могут демонстрироваться целому классу. С ними полезно поработать и отдельному ученику, пропустившему урок или занятому решением задач.

Полезно иметь в кабинете и разбирающиеся наборы геометрических тел, сделанные из картона или плотной бумаги. Учащиеся могут самостоятельно изготовить развертки многогранников. Достаточная прочность фигуры в сборке может быть достигнута даже без клея. При необходимости модель можно разобрать (Приложение 1).

Также при изучении многогранников и их объемов можно использовать различные рабочие и справочные таблицы. Рабочие таблицы - это такие таблицы, по материалу которых можно организовать активную мыслительную деятельность учащихся как по усвоению нового теоретического материала, так и по его закреплению. С помощью рабочих таблиц возможно осуществить выполнение большого числа упражнений, способствующих выработке и закреплению у учащихся определенных навыков. По ним можно проводить опрос учащихся или создать проблемную ситуацию перед классом. В отличие от рабочих таблиц, справочные таблицы, то есть таблицы для запоминания, предназначены для длительного воздействия на зрительный аппарат учащихся. Такие таблицы могут быть вывешены в кабинете математики на длительное время. Таким образом, основным свойством справочных таблиц является (помимо наглядности, которая в ряде случаев играет важную роль) их дидактическая направленность. Таблицы эти предназначены для принудительного воздействия на память учащегося с целью запоминания основных фактов, формул, графиков и др. Примером таких таблиц может служить таблица «Вычисление площадей и объемов многогранников», в которой изображены различные виды многогранников и указаны формулы вычисления объема и площади поверхности для каждого вида.

Большие возможности воспитания самостоятельности и активности открываются при использовании тетрадей с печатной основой. В настоящий момент они все чаще появляются в школах. Тетради с печатной основой предназначаются для организации самостоятельной работы на этапе закрепления и повторения пройденного материала. Основная отличительная особенность тетради в том, что она позволяет более рационально использовать учебное время, так как ученики освобождаются при работе с тетрадью от механического переписывания текста заданий и основное внимание сосредотачивают на выполнении заданий, включенных в тетрадь. Тетради с печатной основой включают большое число заданий. Цель заданий различна. Задания могут дать ученику образец способа рассуждений, решения. Данные в тетради могут содержать пропуски в тексте, которые ученики должны заполнить при работе с тетрадью (причем пропущены не случайные слова, а такие, которые заставляют ученика лишний раз обратиться к определениям, задуматься над последовательностью операций). Итак, тетрадь с печатной основой дает возможность отрабатывать и прививать учащимся навыки решения типовых задач.

Также нельзя забывать и про такие средства обучения как диапозитивы, кодопозитивы, компьютерные средства, которые могут быть эффективно применены при изучении многогранников и их объемов.

Нередко наглядные средства рассматривают лишь как временную опору при начальном усвоении знаний. Сторонники такой оценки роли наглядных средств полагают, что модели в этом случае приучают учащихся к очевидности и поэтому не способствуют развитию логического мышления. Выдвигается даже дидактическое правило: чем старше учащиеся, тем меньше моделей должно применяться в преподавании математики. Принять такую точку зрения и вытекающее из нее дидактическое правило нельзя, так как они несостоятельны. Правильно понимаемое применение наглядных средств не только уместно, но и необходимо на всех ступенях обучения.

Таким образом, готовясь к конкретному уроку, учитель выбирает те средства, с которыми легче организовать необходимую работу учащихся, то есть наиболее простые в данный момент для их восприятия.

Чтобы некоторая материальная модель позволяла организовать усвоение того или иного понятия, она должна не только правильно его отражать, но и быть простой для восприятия учащимися.

Таким образом, чтобы достигнуть основной цели изучения многогранников - это развитие пространственных представлений и пространственного воображения учащихся - необходимо использовать на уроках геометрии наглядность и ТСО.

1.4.2. Развитие логического мышления

Данная цель реализуется через правильно подобранный задачный материал и разумное сочетание логики и интуиции учащихся. Заданный материал по теме «Объем многогранников» дает возможность применения различных методов. Одна и та же задача может быть решена по-разному. Целенаправленная работа учителя по решению «опорных» задач (задач, часто встречающихся и являющихся элементами других задач по теме «Объем многогранников»), по обучению умению применять различные методы при их решении, по отбору задач для демонстрации эффективности того или иного метода решения дает ощутимые результаты.

Материал учебника, различных пособий представляет учителю богатые возможности для дальнейшего развития логического мышления учащихся. Здесь вводятся много новых понятий, определений, доказываются теоремы, при этом возможно эффективное применение различных методов (координатный, векторный и др.). Решение задач на построение или задач, включающих построение как промежуточный элемент, требует логического обоснования, умелой записи. При работе над определением, теоремой нельзя ограничиваться воспроизведением текста учебника, нужно так организовать работу на уроке, чтобы учащиеся поняли необходимость каждого из свойств, фигурирующих в определении понятия, умели распознать понятие по его определению, умели выделять условие и заключение теоремы. Несомненную пользу принесет переформулировка изучаемых свойств объема и многогранников в терминах «если - то», «необходимо - достаточно», выявление условий применимости каждой из теорем.

Необходимо также помнить, что при изучении объемов многогранников, как и при изучении других разделов курса стереометрии, должно осуществляться разумное сочетание интуиции учащихся и логики. Педагогически нецелесообразно стремиться строго определять те понятия, о которых учащиеся имеют достаточно четкое и правильное представление из собственного жизненного опыта, а формулировки которых являются слишком громоздкими.

Выводы по § 1

1. Основные цели изучения темы «Объемы многогранников» в курсе стереометрии - развитие пространственных представлений учащихся, освоение способов вычисления практически важных величин и дальнейшее развитие логического мышления учащихся.

2. Анализ программы и учебников показал, что в настоящее время наиболее адаптированными учебниками для общеобразовательных школ являются [7] и [8].

3. На современном этапе обучения наиболее целесообразным является конструктивный способ введения понятия «Объем многогранников».

4. При подготовке к каждому уроку необходимо выбирать такие средства наглядности, которые позволяют легче организовать работу с учащимися по развитию пространственных представлений.

5. Для реализации основных целей изучения темы необходима тщательно продуманная система задач с практическим содержанием и задач на развитие логического мышления.

Глава 2. Методика изучения темы «Объемы многогранников»

§ 1 Пропедевтика изучения темы «Объемы многогранников»

Как по ранее действовавшей, так и по новой программе тема «Прямоугольный параллелепипед и его объем» изучается в 5 классе и увязывается с изучением законов арифметических действий. Изложение этого материала содержит максимально полное рассмотрение вопросов, связанных с первоначальными пространственными представлениями, прямоугольным параллелепипедом и понятием объема. Эксперимент, проведенный во многих школах, показал, что такое изложение темы требует 15-16 уроков, в то время, как новая программа отводит на этот материал (вместе с решением задач) несколько меньшее время. Учебник математики должен содержать полное объяснение, позволяющее учащемуся в случае необходимости (например, в случае пропуска двух-трех уроков по болезни) самостоятельно разобраться в материале по учебнику. Между тем изложение первоначального геометрического материала в наших учебниках для 5 класса традиционно является чрезмерно сжатым, практически не раскрывает все моменты элементарной геометрии. Поэтому при объяснении материала и при решении задач учитель вынужден сам давать дополнительные разъяснения.

Во-первых, учащиеся должны понимать, что такое прямоугольный параллелепипед. Речь идет вовсе не о том, чтобы они представляли себе прямоугольный параллелепипед как нечто похожее на коробку или брусок. У учащихся должны быть сформированы первоначальные пространственные представления: поверхность и каркас прямоугольного параллелепипеда, четверки параллельных ребер, измерения прямоугольного параллелепипеда, равенство противоположных граней, развертка и т. д.

Каким бы простым телом ни казался параллелепипед, учащимся требуется определенное время на знакомство с ним. Каждый ученик должен иметь на уроке и дома какую-нибудь модель параллелепипеда. При этом важно, чтобы учащиеся не просто рассматривали параллелепипед, но и задействовали при его изучении и другие виды восприятия. Так, они должны не только глазами, но и пальцами провести по его ребрам, «ощутить», что в каждой вершине сходятся три ребра. Взяв параллелепипед в руки так, чтобы в каждой его вершине оказалось по одному пальцу, они увидят и ощутят мышечно, что число задействованных пальцев равно 8, следовательно, у параллелепипеда 8 вершин. Аналогично можно сосчитать и число его граней. Такое использование при восприятии тела различных органов чувств помогает создать более полный его мыслительный образ [19].

Результатом подобного изучения параллелепипеда должно стать осознание целого ряда особенностей. Все грани прямоугольного параллелепипеда - прямоугольники, и всего их шесть; напротив друг друга расположены равные грани, таких пар равных граней три; в каждой вершине сходится три неравные грани. Аналогичные выводы можно сделать и о ребрах: всего их 12; есть равные ребра - три группы по четыре ребра; в каждой вершине сходится три ребра разной длины. Наконец, вершины: их 8, по четыре вершины в каждой из противолежащих граней. Такое всестороннее и внимательное изучение параллелепипеда, однако, не предполагает, что предлагаемые далее задания выполняются учащимися в умственном плане без опоры на модели и рисунки.

Особенностью рассмотрения параллелепипеда является комбинированный характер большинства рассматриваемых задач, который заключается не только в активной работе пространственного воображения, но и в привлечении изученных ранее понятий в новых ситуациях и сочетаниях: ломаная, составленная из ребер куба, периметр грани, площадь поверхности и др. Это создает определенные сложности для учащихся, поэтому выполнение таких упражнений требует дополнительных комментариев и разъяснений учителя.

Во-вторых, учащиеся должны получить первоначальное представление об объеме тела как о месте, занимаемом этим телом в пространстве. Эта задача нам представляется особенно важной. Учащиеся должны получить внутреннее убеждение о том, что объем - это объективное свойство окружающих предметов [1].

Начать изучение пункта «Объем параллелепипеда» полезно с напоминания о том, как измеряются длины и площади (выбор единицы измерения и др.) (Приложение 4)

Вывод правила вычисления объема параллелепипеда аналогичен выводу правила вычисления площади прямоугольника, поэтому сначала полезно повторить вывод последнего. Заметим, что очень важно сопроводить вывод правила нахождения объема параллелепипеда практическим выполнением учащимися описанных в учебнике действий. Полезно дать каждому учащемуся возможность повторить эти действия самостоятельно, проговаривая и поясняя их. Эти действия по заполнению пространства кубиками следует постепенно перевести в умственный план. Необходимость в них со временем отпадет и, сохраняя идею измерения пространства, учащиеся смогут сначала перейти к правилу вычисления объема параллелепипеда, а позднее и к формуле. Этим и определяется значительная доля заданий с кубиками, в которых требуется изобразить тело заданного объема, сложить (мысленно или практически) параллелепипед и определить его измерения, по изображению определить число кубиков, вошедших в коробку, и т. д. Кроме того, эти упражнения прекрасно развивают пространственное воображение: умение представить фигуру по ее описанию или изображению, выполнить с помощью нее заданные действия.

В-третьих, учащиеся должны усвоить формулу вычисления объема прямоугольного параллелепипеда. При этом они должны четко понимать, что, например, формула V = abc дает не определение объема прямоугольного параллелепипеда, а способ его вычисления. Нам представляется совершенно недопустимым ответ учащихся, который чаще всего приходится слышать: «Объем прямоугольного параллелепипеда - это произведение трех его измерений».

Если к этому добавить, что указанный материал должен быть увязан с законами арифметических действий, что необходимо научить пятиклассников решать задачи, связанные с нахождение объема прямоугольного параллелепипеда, что нужно рассмотреть вопрос о единицах измерения объемов и о переходе от одних единиц к другим и что, наконец, необходимо провести заключительную контрольную работу по теме, то станет ясно, что уложить все это в 16 часов можно лишь при напряженном режиме времени в классе. Тенденция к уменьшению числа часов, отводимых на данную тему, нам представляется не только методически не оправданной, но и вредной.

Учащиеся должны уметь приблизительно представлять кубические единицы измерения: 1 см3, 1 дм3, 1 м3, знать, что 1 дм3 = 1 л, представлять объемы некоторых сосудов, например, объем стакана равен 1/4л = 250 мл = 250 см3, объем ведра равен приблизительно 10 л, объем чайной ложки - 5 см3 или 5 мл., уметь осуществлять переход от одних единиц измерения в другие [19].

Перевод одних единиц в другие должен опираться на знание линейных метрических зависимостей. Полезно, если учащиеся составят табличку зависимостей между основными единицами объема, и будут пользоваться ею в дальнейшем при выполнении упражнений (Приложение 4).

Очень важный момент в теме «Объемы» - это переход от одних единиц измерения к другим. Затруднение детей в непонимании, а что же такое «куб. ед.» (ед3)? Отсюда большое количество ошибок при выполнении заданий типа: «Выразите в кубических сантиметрах 2 дм3 80 см3». Учащийся судорожно вспоминает, сколько кубических сантиметров в кубическом дециметре. Естественно, он часто ошибается и не имеет алгоритма для проверки своих знаний.

Особое место при изучении объема тел занимает обучение сравнению, в частности сравнению факта, выраженного словесно, с его интерпретацией на чертеже. Чертеж может служить опровержением какого-то общего высказывания. Учась опровергать неверные высказывания, школьники постепенно привыкают к доказательствам. А это необходимый вид деятельности при изучении геометрии.

Итак, разносторонняя работа с рисунком, чертежом не только способствует общему умственному развитию школьников, но развивает пространственное воображение, обеспечивая более полное и продуктивное изучение геометрии, и начинать эту работу необходимо в 5-6 классах при изучении математики.

Задание: 1) Имеются два сосуда вместимостью 3 л и 5 л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана 4 л воды?

2) Какими могут быть размеры комнаты, объем которой равен 60 м3?

3) Изготовьте каркасную модель куба объемом 1дм3.

4) Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 см и выстроили в один ряд. Какой длины получится ряд?

5) Вычислите объем вашей комнаты, где вы занимаетесь дома [5].

Отметим, что при изучении объемов тел необходимо уделять внимание и разверткам геометрических тел. Начать работу по изучению этого материала необходимо с практической деятельности: изготовления развертки и сворачивания ее в пространственное тело. Важно при этом обращать внимание учащихся на сам процесс сворачивания, на то, какие грани оказались противоположными, а какие - соседними, какие отрезки и точки совместились. Переход от практического решения к мысленному должен осуществляться постепенно, с учетом индивидуального развития учащихся.

Задание: 1) Куб сложен из 8 маленьких кубиков. Сколько прямоугольных параллелепипедов содержится в этом кубе?

2) Деревянный куб покрасили со всех сторон, потом распилили его на 27 одинаковых кубиков. Сколько среди них имеют одну, две, три окрашенные грани? Сколько кубиков не окрашено?

3) Из фигур выберите те, которые являются развертками куба? (рис. 3)

4) Какой длины получится полоса, если кубический километр разрезать на кубические метры и выложить их в одну линию?

5) В пустой прямоугольный бассейн, размеры которого 100 х 100 метров, налили 1 000 000 литров воды. Можно ли плавать в этом бассейне? [27]

§ 2 Методика изучения темы «Объем. Объемы призмы. Объемы прямоугольного параллелепипеда»

При планировании данной темы следует предварительно разбить ее на логически законченные части. Это поможет учителю правильно организовать повторение, проводить систематически учет и контроль знаний учащихся, своевременно и постепенно готовить средства наглядности, сгруппировать умения и навыки в соответствии с указаниями программы, заблаговременно подобрать соответствующие задачи и упорядочить их, подготовить тематику и содержание самостоятельных и контрольных работ, а также другие дидактические материалы (Приложение 2).

Тема «Объемы многогранников» изучается в 11 классе. На уроки геометрии в 11 классе отводится по два часа в неделю, всего 68 часов. Из них на объемы многогранников отводится 15-19 часов (в зависимости от учебника).

Подготовительной работой к началу изучения темы «Объемы многогранников» может служить повторение темы «Многоугольники», свойств и формул площадей многоугольников, многогранников, задач на построение сечений из курса 10 класса.

Уже в 7-9 классах учитель может включать в уроки задания типа:

1) Чему равна площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, у которого длины ребер, исходящих из одной вершины, равны a, b, c?

2) Вычислите площадь диагонального сечения куба, ребро которого равно 4 см (рис. 4).

3) Сколько краски потребуется, чтобы окрасить

куб с ребром 2,5 см, если на покраску одного квадратного метра требуется 200 г краски?

4) Вычислите площадь полной поверхности правильной четырехугольной призмы, сторона основания которой равна 3 см, а высота 7 см.

5) На рис. 5 изображена развертка четырехугольной призмы. Выполните необходимые измерения и вычислите площадь полной поверхности призмы.

6) Вычислите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 12 см, а боковое ребро 20 см (основанием правильной пирамиды является квадрат, а все боковые ребра имеют одинаковую длину).

7) Вычислите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 8,3 см, а боковое ребро - 12 см.

Основная цель уроков - ввести понятие объема тела, рассмотреть свойства объемов, теорему об объеме прямоугольного параллелепипеда и следствие об объеме прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник.

Для введения понятия объема учащимся понадобятся знания из курса планиметрии, которые необходимо повторить, а именно: понятие многоугольника, его площадь, свойства площадей, знание формул для нахождения площадей некоторых многоугольников, понятие многогранника, их виды, свойства.

Необходимо напомнить известные учащимся понятия призмы и прямоугольного параллелепипеда. Подчеркнуть, что каждая из этих поверхностей ограничивает некоторое геометрическое тело и отделяет его от остальной части пространства. Если следовать строго дедуктивному пути изложения школьного курса стереометрии по учебнику [7], надо определить такие понятия как «геометрическое тело», «ограниченность тела», «простое тело», которые лежат в основе определения объема многогранника. Однако на любом этапе обучения в средней школе следует руководствоваться принципом педагогической целесообразности при введении понятия. В данном случае, как понятие геометрического тела, так и понятие ограниченности тела, педагогически целесообразно считать интуитивно ясным для учащихся из их опыта и не давать им формально-логических определений, которые окажутся недоступными для всех учащихся. Этот материал могут прочитать самостоятельно наиболее подготовленные учащиеся, проявляющие повышенный интерес к математике.

Считаем, что полезно перед изучением определения «Объем» провести с учениками беседу по теме «Многогранники и его элементы».

1. Объясните, что такое:

а) многогранник;

б) поверхность многогранника.

2. Дан выпуклый многогранник. Что называют его гранью, ребром, вершиной?

3. Назовите известные вам многогранники. Выпуклым или невыпуклым является каждый из них? Сколько граней, ребер, вершин у каждого из них?

4. Два тетраэдра имеют общую грань и расположены по разные стороны от нее. Сколько вершин, ребер, граней имеет полученный многогранник?


Страница:  1   2 

дипломная работаМетодика изучения объемов многогранников в курсе стереометрии скачать дипломная работа "Методика изучения объемов многогранников в курсе стереометрии" скачать
Сколько стоит?

Рекомендуем!

база знанийглобальная сеть рефератов