Действия над приближенными значениями.

Вычисления с приближенными данными на микрокалькуляторе.

Итоговое повторение курса алгебры 8 класса. Решение задач.

9 класс.

Содержание учебного материала.

1.Квадратичная функция.

Функция. Область определения и область значений функции.

Свойства функции.

Квадратный трехчлен и его корни.

Разложение квадратного трехчлена на множители.

График функции у=ах².

Графики функций у=ах²=n и y=a(x-m)².

Построение графика квадратичной функции.

Решение неравенств второй степени с одной переменной.

Решение неравенств методом интервалов.

2.Уравнения и системы уравнений.

Целое уравнение и его корни.

Уравнения, приводимые к квадратным.

Теорема Безу. (3-4 часа)

Графический способ решения систем уравнений.

Решение систем уравнений второй степени.

Решение задач с помощью систем уравнений второй степени.

3.Арифметическая и геометрическая прогрессии.

Последовательности.

Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии.

Формула n суммы первых членов арифметической прогрессии.

Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии.

Формула n суммы первых членов геометрической прогрессии.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q|<1.

4.Тригонометрические выражения и их преобразования.

Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Радианная мера угла. Вычисление значений тригонометрических функций с помощью МК.

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла.

Применение основных тригонометрических формул к преобразованию выражений.

Итоговое повторение курса алгебры 7-9 классов.

Повторение.

2.3 Обзор теории

Теорема Безу и ее приложения вполне могут быть усвоены учащимися средней школы, но, к сожалению, школьные учебники не содержат материала по этой теме. В этой главе мы рассмотрим теорию представленную по этому вопросу в различной методико-математической литературе.

Вполне возможно, что теорема Безу может вызвать сложности у некоторых, а может быть и большинства учащихся, поэтому необходимо подготовить учащихся к ее восприятию. В этом параграфе вы найдете ответ на вопрос: "Какой материал необходимо изучить до теоремы Безу?". На мой взгляд, таким материалом является:

- схема Горнера;

- теоремы о целых и дробных корнях многочлена с целыми коэффициентами;

- теорема о делении с остатком.

1.Схема Горнера. Схема Горнера является самым простым материалом и, опираясь на него, вводиться последующий материал. Она позволит учащимся быстро проверить является ли некоторое число корнем многочлена.

В многочлен, как и в любое буквенное выражение, можно вместо переменной подставлять числа, и в результате он превращается в числовое выражение, т. е., в конечном счете, в число. Если многочлен обозначен буквой f, а с -- некоторое число, то значение f при х = с обозначается, как известно через f(с). Число f(с) часто называют также значение многочлена f в точке с.

Например, если f =3x² - 12х +10, то

f (3) =33² - 123 + 9 =0, f (0) =9,

В общем виде, если например,

f = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + … + a_n-1x + a_n

и с -- некоторое число, то

f(c) = a₀cⁿ + a₁c^n-1 + … + a_n-1c + a_n

Особо отметим "крайний" случай, когда f -- многочлен нулевой степени, т. е. f = а, где а -- число, так что f в действительности не содержит переменной. В этом случае считают, что его значение при любом х равно а.

Поэтому такие многочлены называются постоянными, или константами (от латинского constantum -- постоянство). Нулевой многочлен также является константой: все его значения равны нулю.

Сделаем два важных для решения задач замечания:

1. Значение f(О) равно свободному члену многочлена.

2. Значение f(1) равно сумме коэффициентов многочлена.

Действительно, если

f = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + … + a_n-1x + a_n ,

f(0) = a_n , f(1) = a₀ + a₁ + … + a_n-1 + a_n .

Важно обратить внимание учащихся на то, что нахождение значений многочлена в соответствии с определением не представляет никаких принципиальных трудностей, однако вычисления при этом могут оказаться достаточно громоздкими.

Для упрощения вычислений существует прием, называемый схемой Горнера -- по имени английского математика ХVI в. Эта схема состоит в заполнении некоторой таблицы из двух строк.

Например, чтобы вычислить значение многочлена

f = 2х⁴ - 9х³ - 32х² - 57

при х = 7 строка его коэффициентов записывается первой, старший коэффициент "дублируется" во второй строке, а перед ним ставится значение переменной 7, при котором мы вычисляем значение многочлена. Получается таблица, пустые клетки которой и предстоит теперь заполнить.

	2	-9	-32	0	-57
7	2

Это делается по единому правилу: стоящее слева число умножается на 7 и складывается с числом, стоящим над пустой клеткой. Поэтому в первой пустой клетке ставится число 27 - 9 = 5, во второй клетке ставится 5 7 -- 32 = 3, в третьей - 37 + 0 = 21, и в последней - 217 - 57 = 90.

Полностью заполненная схема Горнера выглядит так:

	2	-9	-32	0	-57
7	2	5	3	21	90

Эти вычисления приводят к ответу: f(7)=90 - это последние число второй строки. Это утверждение можно проверить непосредственной подстановкой

Одной из основных задач, ради которой в математике развивалась теория многочленов с одной переменной, являете решение так называемых целых алгебраических уравнений, т. е. уравнений вида

a₀xⁿ + a₁x^n-1 + … + a_n-1x + a_n = 0,

произвольных степеней и с произвольными коэффициентами. В связи с решением уравнений вводится важнейшее понятие - корень многочлена.

Определение. Число с называется корнем многочлена f, если f (с) = 0.

Другими словами, число с является корнем многочлена, если

a₀cⁿ + a₁c^n-1 + … + a_n-1c + a_n = 0.

Это равенство означает, что число с является корнем уравнения

a₀xⁿ + a₁x^n-1 + … + a_n-1x + a_n = 0,

при подстановке вместо х числа с получается верное равенство. Поэтому корень многочлена f и корень соответствующего уравнения f (х) = 0 - это одно и то же.

Понятно, что схема Горнера позволяет проверять, является ли данное число с корнем данного многочлена или нет: с ее помощью мы как раз и вычисляем значение f (с).

Если требуется проверить несколько значений с, то для экономии выкладок строят не три отдельные схемы, а одну - объединенную. Например, для многочлена f=3x⁵-5x⁴-7x²+12 и чисел с = 1, -1, 2 составляется таблица:

3	-5	0	-7	0	12
1	3	-2	-2	-9	-9	3
-1	3	-8	8	-15	15	-3
2	3	1	2	-3	-6	0

Конечно, при заполнении третьей и четвертой строки таблицы "работает" только первая строка - строка коэффициентов многочлена f.

Мы видим, в частности, что из трех рассмотренных чисел только с = 2 является корнем данного многочлена.

2.Целые и дробные корни многочленов. В этом пункте приводится теория, которая позволяет ответить на вопрос является ли число корнем данного многочлена.

Одной из основных задач теории многочленов с одной переменной является решение целых алгебраических уравнений, т. е. уравнений вида

a₀xⁿ + a₁x^n-1 + … + a_n-1x + a_n = 0,

Эта задача, однако, чрезвычайно сложна и, как доказано в математике, в определенном смысле вообще неразрешима. Если для уравнений низких степеней - от первой до четвертой - существуют специальные формулы для вычисления корней, то для уравнений пятой и более высоких степеней дело обстоит иначе, и их корни, вообще говоря, могут быть найдены лишь приближенными методами.

В то же время полностью может быть решена более узкая задача - нахождение рациональных, т. е. целых и дробных (если они существуют) корней любого уравнения (многочлена) с целыми коэффициентами. Более того, поиск таких корней достаточно прост и основан на простейшем рассуждении, ясном из следующего примера.

Пример. Определить является ли число 7 корнем многочлена

f = 2x⁵ - 15x⁴ + 7x³ - 2x + 10.

Преложим учащимся вычислить значение f(7) по схеме Горнера.

	2	-15	7	0	-2	10
7	2	-1	0	0	-2	4

Мы видим, что число 7 не является корнем данного уравнения. Обратим внимание учащихся на то, что даже по схеме Горнера вычисления могут быть очень громоздкими. Если в задаче нужно проверить является ли число -13 корнем данного уравнения, то числа будут получаться просто астрономическими.

Как же быть? Нет ли более простого способа, который позволил бы нам определить может ли данное число быть корнем нашего уравнения?

Вернемся к примеру. Можно заметить, что в сумме

27⁵ - 157⁴ + 77³ - 27 + 10

все слагаемые, кроме последнего, - целые числа, делящиеся на 7. Отсюда ясно, что эта сумма не равна 0. Действительно, если

27⁵ - 157⁴ + 77³ - 27 + 10 = 0,

27⁵ - 157⁴ + 77³ - 27 = -10,

Но этого не может быть, потому что левая часть равенства делится на 7, а правая не делится. Это рассуждение показывает, что целыми корнями данного многочлена могут быть только числа, являющиеся делителями числа -10. Для любого другого числа мы точно так же, как для 7, приходим к противоречию.

Целое число, не являющееся делителем 10, не может быть корнем данного многочлена.

На самом деле верно и общее утверждение, а его доказательство проводится буквально по той же схеме, что в рассмотренном примере.

Теорема 1 (о целых корнях).

Если целое число k - корень многочлена с целыми коэффициентами, то k - делитель его свободного члена.

Доказательство.

Пусть

f = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + … + a_n-1x + a_n

- многочлен с целыми коэффициентами, и целое число k - его корень.

Тогда, по определению корня, выполняется равенство f(k) = 0, т. е.

a₀kⁿ + a₁k^n-1 + … + a_n-1k + a_n = 0,

Вынося общий множитель k за скобки, получим равенство

k(a₀k^n-1 + a₁k^n-2 + … + a_n-1) + a_n = 0,

откуда

a_n = -k(a₀k^n-1 + a₁k^n-2 + … + a_n-1) .

Так как числа a₀, a₁,…, a_n-1, a_n и k - целые, то в скобках стоит целое число, и следовательно, а_n делится на k, что и требовалось доказать.

Доказанная теорема может быть сформулирована и следующим образом: всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Итак, задача нахождения целых корней многочлена с целыми коэффициентами полностью решена - с помощью теории делимости целых чисел.

Но оказывается, что на той же основе можно получить алгоритм поиска и дробных корней многочленов с целыми коэффициентами.

Теорема 2 (о рациональных корнях).

Пусть рациональное число - корень многочлена с целыми коэффициентами, причем дробь - несократимая. Тогда числитель дроби p - делитель свободного члена, а знаменатель q - делитель старшего коэффициента многочлена.

Доказательство.

Пусть рациональное число где q - несократимая дробь, является корнем многочлена f = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + … + a_n-1x + a_n c целыми коэффициентами.

Это означает, что выполняются равенства

f() = a₀()ⁿ + a₁()^n-1 + … + a_n-1() + a_n = 0,

a₀() + a₁() + … + a_n-1() + a_n = 0,

откуда после приведения к общему знаменателю получим

a₀pⁿ + a₁p^n-1q + … + a_n-1pq^n-1 + a_nqⁿ = 0,

Полученное равенство можно переписать в виде

a₀pⁿ = -q(a₁p^n-1 + … + a_n-1pq^n-2 + a_nq^n-1 )= 0,

откуда следует, что a₀pⁿ делится на q. Так как дробь несократима, то числа р и q не имеют общих простых делителей, а тогда числа рⁿ и q также не имеют общих простых делителей.

Поэтому а₀ делится на q, что и требовалось доказать. Точно так же доказывается, что а_n делится на р. Теорема доказана.

Заметим, что теорема о целых корнях является простым следствием только что доказанной теоремы: если положить q = 1, то дробь p/1 = р несократима, и поэтому свободный член а_n делится на числитель р.

Другим важным следствием этой теоремы является следующее утверждение.

Теорема 3. Если старший коэффициент многочлена с целыми коэффициентами равен 1, то всякий рациональный корень многочлена является целым числом.

Доказательство.

Пусть - корень многочлена со старшим коэффициентом 1. Тогда по теореме 2 число 1 делится на q, а это возможно только когда q = +1, так что действительно является целым числом. Теорема доказана.

Эта теорема может быть сформулирована и другими способами, полезными для решения задач:

1. "Многочлен с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом 1 не может иметь дробных корней".

2. "Корни многочлена с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом 1 либо целые, либо иррациональные".

Следует обратить внимание учащихся на то, что утверждения, обратные к теоремам о целых и рациональных корнях, неверны. Например, утверждение, обратное к теореме о целых корнях, может быть сформулировано следующим образом: "Если целое число k - делитель свободного члена многочлена с целыми коэффициентами, то k - корень этого многочлена" или "Всякий делитель свободного члена многочлена с целыми коэффициентами является его корнем". Так как эти факты можно опровергнуть простой проверкой, то они могут быть предложены учащимся в качестве задач.

3. Теорема о делении с остатком. Материал, представленный в этом пункте, необходим для открытия теоремы Безу.

Определение. Пусть f и g -- два многочлена, причем g 0. Многочлен f делится на многочлен g тогда и только тогда, когда существует такой многочлен h, что f=gh.

Основные свойства делимости в множестве многочленов те же, что и в множествах натуральных и целых чисел. Например, если f делится на g и g делится на h то f делится на h.

В самом деле, если f = gu и g = hv, то f = uhv = h (uv) так что f действительно делится на h. Доказательства этих свойств проводятся точно так же, как и в числовых множествах.

Делимость многочленов имеет большое значение для решения уравнений: если многочлен f делится на многочлен g, т. е. f представляется в виде f = gh, то уравнение f(х)=0 равносильно уравнению g(х)h(х)=0. Поэтому дальше надо решить уравнения g(х)=0 и h(х)=0, каждое из которых имеет степень, меньшую степени многочлена f, т. е. существенно проще.

Таким образом, для решения уравнений полезно уметь раскладывать многочлены на множители. Однако эта задача очень трудная, и для ее решения полезным оказывается новое понятие - деление многочленов с остатком. С подобным понятием (деление с остатком) учащиеся уже встречались в множестве натуральных чисел.

Определение. Остатком от деления многочлена f на многочлен g0 называется такой многочлен r, что

1) разность f-r делится на g;

2) многочлен r либо нулевой, либо имеет степень меньшую, чем степень g.

Отметим сразу же, что утверждения: "остаток от деления f на g - нулевой" и " f делится на g" означают одно и то же.

Из определения остатка следует, что если r -- остаток от деления f на g, то разность f - г имеет вид gq, где q - некоторый многочлен, и следовательно, f=gq+r. Это представление многочлена через делимое g и остаток r очень важно для теории и для практики решения задач.

Но дело в том, что определение частного и остатка не дают никакой информации о существовании и единственности частного и остатка при делении одного многочлена на другой. Поэтому нам понадобится следующая теорема:

Теорема.

Для любого многочлена f(x) и любого ненулевого многочлена g(x) существует единственная пара многочленов g(x) и r(x), для которой выполняется равенство f(x)=g(x)q(x)+r, и многочлен r(x) либо нулевой, либо имеет степень, меньшую степени g(x).

Коротко эту теорему можно сформулировать так: любой многочлен на любой ненулевой многочлен можно однозначно разделить с остатком. Именно эта однозначность и позволяет ввести термины "остаток" и "частное" (или, как и в натуральных числах, полное частное").

Для нахождения остатка существует специальный прием, алгоритм - "деление уголком". Основа этого алгоритма - последовательное понижение степени делимого. Мы покажем его на конкретном примере, а затем сформулируем правило деления.

Пусть f =4х⁵ - Зх³ + х - 1, g =2x² - 3. Домножим g на такой одночлен, чтобы старшие члены f и g "уравнялись": это будет, очевидно, одночлен q₁, = 2х³, а получить его можно, разделив 4х⁵ на 2х². Так как старшие члены многочленов f и gq₁, оказались равными, то при вычитании из f произведения gq₁ получим многочлен степени меньшей, чем у многочлена f.

Обозначим эту разность через f₁; тогда f₁ = f -- gq₁ = (4х⁵ - Зх³ + х - 1) - (2x² - 3)2x³ = (4х⁵ - Зх³ + х - 1) - (4x⁵ - 6x³) = 3x³ + x - 1.

Теперь вместо f будем рассматривать многочлен f₁, и уравняем старшие члены f₁, и g - для этого g надо домножить на q₂ = 3x³:2x² = x. Новая разность f₂, равна f₂ = f -- gq₂ = (3x³ + x - 1) - (2x² - 3) x = (3x³ + x - 1) - (3x² - x) = x - 1, и мы получили многочлен степени 1 -- меньшей, чем степ многочлена g.

Оказывается, что этот многочлен f₂, и есть искомый остаток (по определению). В самом деле, о степени его мы уже сказали, а с другой стороны I

f₂ = f -- gq₂ , f₁ = f -- gq₁ ,

и поэтому

f₂ = f -- gq₂ = f -- gq₁ - gq₂ ,

откуда

f = f₂ + gq₁ + gq₂ = f₂ + g(q₁ + q₂),

Другими словами, многочлен f₂, удовлетворяет определению остатка от деления многочлена f на многочлен g.

Итак, мы разделили f на g с остатком:

4х⁵ - Зх³ + х - 1 = (2x² - 3)(2x³ + x) + x - 1.

Таким образом, в процессе деления с остатком осуществляем одни и те же действия: на каждом шагу делим старший коэффициент "промежуточного" многочлена с некоторым индексом на старший коэффициент многочлена g, умножаем g на частное, вычитаем произведение из "промежуточного" многочлена, получаем следующий многочлен - до тех пор, пока не получится "промежуточный" многочлен степени меньшей, чем степень многочлена g, - это и есть остаток.

Итак, всякий многочлен f можно разделить с остатком на сбой другой многочлен g, отличный от нулевого, и это всегда можно сделать с помощью деления "уголком".

Однако в случае, когда многочлен g - линейный, т. е. f = ax+ b, то вычисления можно провести по схеме Горнера (нетрудно убедится, что схема дает одновременно и остаток, и частное).

4.Теорема Безу. В учебной литературе представлены различные трактовки и доказательства теоремы Безу, приведем некоторые из них.

1. Остаток от деления многочлена f(x) на x-a равен значению f(x) при x=a.

Доказательство.

Рассмотрим произвольный многочлен f(x) и разделим его с остатком на двучлен x-а. Поскольку степень этого двучлена равна 1, то остаток либо равен 0, либо имеет степень 0. И в том, и в другом случае остаток r есть число. Таким образом, многочлен f(x) представляется в виде

f (x) = (x -- a) q(x)+r.

Положив в этом тождестве x=a, получим, что f(a) =r. Мы доказали тем самым, что остаток от деления многочлена на двучлен x-a равен значению многочлена при х=а [32].

2. Для того чтобы многочлен f(x) делился на x-c, необходимо и достаточно, чтобы f(c)=0.

Доказательство.

Необходимость. Пусть f(x) делится на x-c, т.е. f(x)=(x-c)h(x). Следовательно f(c)=0.

Достаточность. Пусть f(c)=0. Тогда в равенстве f(x)=(x-c)h(x)+r будет

r=f(c)=0, т.е. f(x)=(x-c)h(x) [11].

3. Пусть f(x) - многочлен, c - некоторое число.

1) f(x) делится на двучлен x-c тогда и только тогда, когда число с является его корнем.

2) Остаток от деления f(x) на x-c равен f(c).

Доказательство.

Сначала мы докажем второе утверждение. Для этого разделим f с остатком на x-c:

f(x)=(x-c)q+r;

по определению остатка, многочлен r либо равен 0, либо имеет степень, меньшую степени x-c, т.е. меньшую 1.

Но степень многочлена меньше 1 только в том случае, когда она равна нулю, и поэтому в обоих случаях r на самом деле является нулем или отличным от нуля числом.

Подставив теперь в равенство f(x)=(c-c)q(c)+r значения x=c, мы получим

f(c)=(c-c)q(c)+r,

так что действительно r=f(c), и второе утверждение доказано [10].

Теперь первое утверждение почти очевидно. В самом деле, утверждение "f(x) делится на x-c" означает, что остаток от деления равен 0. Но остаток, по доказанному, равен f(c), так что "f(x) делится на x-c" означает тоже самое, что и f(c)=0.

Чаще всего в учебной литературе встречается первая формулировка, но она будет трудно доступна для восприятия учащимися в силу своей краткости.

На мой взгляд, наиболее удачны третья формулировка и доказательство (Дорофеев, Пчелинцев) теоремы Безу, но 1-й и 2-й пункты следует поменять местами потому что, во-первых, утверждение 2 проще открыть и, во-вторых, с него начинается доказательство теоремы.

5. Следствия из теоремы Безу. Материал, представленный в данном пункте, позволит учащимся ответить на важный теоретический вопрос: "Сколько корней имеет уравнение n-степени?"

Теорема 1.

Многочлен степени n имеет не более n корней.

Доказательство.

Пусть многочлен f степени n имеет k корней, и с - один из его корней. Предположим противное - пусть k n.

По теореме Безу, f=(x-c)g, и частное g имеет степень n-1. Всякий корень f, отличный от с, является одновременно и корнем g: если f(a)=0, то (a-c)g(a)=0, откуда g(a)=0, так как ac. Другими словами, многочлен g имеет по меньшей мере k-1 n-1 корней, т.е. число его корней также больше его степени.

Но с многочленом g можно привести те же рассуждения, и на втором шагу получить новый многочлен h, число корней которого также больше его степени. Продолжая таким образом, мы придем к многочлену степени 2, имеющему больше 2 корней, чего не может быть.

Полученное противоречие показывает, что предположение k n неверно, и следовательно, k не больше n.

Нетрудно привести примеры, когда многочлен степени имеет ровно n корней и когда он имеет меньше n корней, в частности, вообще не имеет корней. Эти примеры полезно придумать самостоятельно.

При этом следует иметь в виду, что число корней многочлена существенно зависит от того, какое числовое множество мы рассматриваем.

Например, многочлен f=x²-2 не имеет корней в множестве рациональных чисел Q - не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. В то же время в множестве действительных чисел R он имеет два иррациональных корня ().

Из теоремы о числе корней вытекают два исключительных важных и для теории, и для практики утверждения.

Теорема 2.

Два многочлена степени, не большей n, принимают одинаковые значения по меньшей мере при n+1 значении х тогда и только тогда, когда при каждой степени х они имеют одинаковые коэффициенты.

Доказательство.

"В одну сторону" это утверждение очевидно: если многочлены имеют одинаковые коэффициенты, то при всех значениях х они, естественно, принимают одинаковые значения.

И наоборот, если многочлены f и g имеют степень не больше n, то их разность h либо является нулевым многочленом, а тогда при каждой степени х они имеют одинаковые коэффициенты, либо отлична от нуля и имеет степень не больше n. Но тогда эта разность имеет не меньше чем n+1 корень - это те значения переменной х=х_i, при которых h(x_i)=f(x_i)-g(x_i)=0, что противоречит теореме 1 о числе корней: число корней разности большее ее степени.

Теорема 3.

Два многочлена принимают одинаковые значения при всех значениях х тогда и только тогда, когда при каждой степени х они имеют одинаковые коэффициенты.

Доказательство.

Это утверждение моментально следует из предыдущего: если многочлены принимают одинаковые значения при всех значениях х, то они принимают одинаковые значения при числе значений, большем наибольшей из их степеней.

2.4 Методические рекомендации

1. Организация обучения.

Так как на изучение теоремы Безу отводится мало времени, то следует определенным образом организовать изучение материала, то есть параметризировать учебный процесс.

В педагогической технологии академика В.М. Монахова выделяются пять параметров: целеполагание, диагностика, дозирование, логическая структура, коррекция.

На этапе ЦЕЛЕПОЛАГАНИЕ выделим основные цели которые будут поставлены перед учащимся и сформулируем их в форме: " знать…", " уметь…", "понимать…", " иметь представление о…" (подробнее см. в технологической карте).

На этапе ДИАГНОСТИКА с помощью небольших самостоятельных работ (на 5-10 минут), получаем информацию о достижения микроцели или о недостижения микроцели, а также выявляются типичные ошибки учащихся (подробнее см. в технологической карте).

На этапе ДОЗИРОВАНИЕ определяем объем и содержание самостоятельной внеаудиторной деятельности учащихся (подробнее см. в технологической карте).

На этане ЛОГИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА по числу микроцелей выделим группы уроков

На этапе КОРРЕКЦИЯ организуем специальную деятельность учащихся по ликвидации пробелов, выявленных на этапе диагностики (подробнее см. в технологической карте).

7 класс.

Целеполагание.

В1. Уметь применять схему Горнера для вычисления значений многочленов.

В2. Уметь применять схему Горнера для нахождения корней многочленов и

нахождения корней целых алгебраических уравнений.

В3. Знать формулировки теорем о целых и дробных корнях многочленов с целыми коэффициентами.

В4. Уметь находить целые и дробные корни многочленов и уравнений любых степеней с целыми коэффициентами.

Диагностика.

Д0. 1. Выполните действия. (Устно)

2. Найти сумму коэффициентов многочлена

а) f(x) = 3x⁴ + 2x³ + 15x² - x - 1;

б) f(x) = 7x⁵ - 3x³ + 12x² - 2x + 13.

3. Выпишите коэффициенты многочлена и свободный член.

а) f(x) = 3x⁴ + 2x³ + 15x² - x - 1;

б) f(x) = 7x⁵ - 3x³ + 12x² - 2x + 13.

Д1. Используя схему Горнера, вычислите значение f(x) = x⁴ + 3x³ + 2x² + 1 при с=3; -4.

Д2. Определите, какие из чисел -5; 2 являются корнями уравнения x³ - 6x² + 11x - 6 = 0.

Д3. Определите, какие из чисел 1, 2, -2, 4, 5, -13, 28, -7, 123, 3 не являются корнями многочлена:

а) x³ + 38x - 123;

б) 2x⁴ - 13x³ + 8x² - 12x + 40.

Д4. Найдите рациональные корни многочлена:

6x⁵ - x⁴ + 2x³ - 2x² - 4x - 1.

Коррекция.

К1. Затруднения в этой теме связаны с заполнением схемы Горнера (пропуск коэффициента).

Пример. f(x) = x⁴ + 3x³ + 2x² + 1

	1	3	2	1

Пути исправления.

1. Выпишите коэффициенты многочлена (при x⁵ , x⁴ , x³ , x² , x) и свободный член.

f(x) = x⁵ + 4x³ - 53x² + 25

2. Проверьте правильность заполнения первой строки схемы Горнера для многочлена:

f(x) = 7x⁵ - 3x³ + 12x² - 2x + 13

	7	-3	12	-2	13

3. Составить схему Горнера для многочлена f(x) =13x⁴ - 6x² + x - 17

К2. Затруднения в этой теме связаны с заполнением схемы Горнера (арифметические ошибки).

Пути исправления.

1) Выполните действия.

2) Повторить правила выполнения действий с положительными и отрицательными числами.

Отдельным учащимся могут быть предложены индивидуальные карточки с вычислительными заданиями.

К3. Затруднения связанные с усвоением алгоритма нахождения значений по схеме Горнера.

Пути исправления.

1)Учащимся предлагается визуально оформленный алгоритм (см. ?)

2) При выполнении вычислений по схеме Горнера порядок действий указывается стрелками.

К4.Ученик не может перечислить все делители числа.

Пути исправления.

1. Выпишите все натуральные делители чисел 9, 13, 28, 31?

2. На какие из данных чисел 1, 3, 12 , -3, -4, 5, -6, 6, -18 делится число 36?

3. Выпишите все целые делители числа 30.

4. Повторить признаки делимости.

Дозирование самостоятельной внеаудиторной деятельности учащихся.

8 класс.

Целеполагание.

В1. Знать теорему о возможности деления с остатком.

В2. Уметь находить частное и остаток от деления многочлена на многочлен.

Диагностика.

Д0. Найдите неполное частное и остаток от деления:

а) числа 137 на 14;

б) числа 12506 на 27.

Д1. 1. Указать несколько делителей нулевой, первой, второй степени многочлена:

а) x³;

б) x² - 5x + 6.

2. Выберите правильную формулировку теоремы о делении с остатком:

а) Для любого многочлена f(x) и любого произвольного многочлена g(x) существует единственная пара многочленов g(x) и r(x), для которой выполняется равенство

f(x)=g(x)q(x)+r,

и многочлен r(x) либо нулевой, либо имеет степень, меньшую степени g(x).

б) Для любого многочлена f(x) и любого ненулевого многочлена g(x) существует единственная пара многочленов g(x) и r(x), для которой выполняется равенство

f(x)=g(x)q(x)+r,

и многочлен r(x) либо нулевой, либо имеет степень, меньшую степени g(x).

с) Для любого многочлена f(x) и любого ненулевого многочлена g(x) существует единственная пара многочленов g(x) и r(x), для которой выполняется равенство

f(x)=g(x)q(x)+r,

и многочлен r(x) имеет степень большую степени g(x).

Д2. 1.Разделите с остатком многочлен f(x) на g(x) (Найдите неполное частное и остаток от деления многочлена f(x) на g(x)):

f(x) = x⁴ + 5x³ + 4x² - 5x + 5, g(x) = x² + 3x + 1;

2. Проверьте, делиться ли многочлен f(x) на g(x):

f(x) = x⁴ + 4x³ + 9x² + 10x + 6, g(x) = x² + 2x + 2;

Коррекция.

К1. При делении многочлена на многочлен учащиеся ошибаются при вычитании, забывая менять знак.

Пример.

Пути исправления.

1. Упростите:

а) (2x² - 3x + 12) - (3x² + 7x - 5)

б) (x³ - 29x - 6) - (x³ + x² + 4x)

2. Выполните вычитание.

К2. При делении многочлена на многочлен нам приходится поэтапно производить вычитание двух многочленов. Некоторые учащиеся бездумно производят вычитания, не производя заранее анализа подобных слагаемых.

Пути исправления.

1) Приведите подобные слагаемые (x³ - 29x - 6) - (x² + 4x)

2) Укажите коэффициент при а) x³ б) x² в) x

1. 2x³ + x - 4

2. 9x² - 7x + 15

Дозирование самостоятельной внеаудиторной деятельности учащихся.

9 класс.

Целеполагание.

В1. Уметь применять теорему Безу для выделения линейного множителя.

В2. Уметь решать уравнения, сводящиеся к квадратному с помощью подбора рациональных корней.

В3. Знать, что число корней многочлена не превосходит его степени.

Диагностика.

Д0. 1. Какие из чисел 1, 2, -3, -2, -5, 13, -15 являются корнями многочлена x⁴ + 23x³ + 3x + 35.

2. Найти остаток от деления x³ + x² - x + 5 на x - 1;

Д1. Подбирая целые корни, разложите многочлен на множители с помощью схемы Горнера: x⁵ - 5x³ + 5x² - 1.

Д2. Решите уравнение 4x³ - 5x + 2 = 0.

Д3. Решите уравнение:

а) 2x³ - 5x² - 3x + 6 = 0;

б) x⁶ - 7x³ + 6 = 0.

Коррекция.

К1. Затруднения связанные с вспоминанием алгоритма нахождения значений по схеме Горнера.

Пути исправления.

1)Учащимся предлагается визуально оформленный алгоритм (см. ?)

2) При выполнении вычислений по схеме Горнера порядок действий указывается стрелками.

К2. Арифметические ошибки.

Пути исправления.

1) Повторить правила выполнения действий с положительными и отрицательными числами.

2) Решение вычислительных примеров в устных упражнениях, эстафетах.

3) Проведение коротких математических диктантов.

Отдельным учащимся могут быть предложены индивидуальные карточки с вычислительными заданиями (как для решения на уроке, так и на дом).

К3. Учащиеся не помнят или допускают ошибки в алгоритме нахождения целых и дробных корней.

Пути исправления.

Учащимся предлагаются индивидуальные карточки-инструкции с указанными алгоритмами.

Дозирование самостоятельной внеаудиторной деятельности учащихся.

2. Методические рекомендации.

Важно не увлечься теоретизированием, а больше внимания уделить практическим упражнениям. В этом параграфе представлены методические рекомендации, которые позволят сделать теоретический материал, изложенный в первой главе, доступным для восприятия учащимися. В конце каждого пункта описаны знания и умения, которыми должны обладать ученики после прохождения данной темы, а также указано ее место в школьном курсе и время на ее изучение.

Схема Горнера. Для лучшего усвоения учениками правила заполнения схемы Горнера, на мой взгляд, можно воспользоваться следующей схемой:

Эти вычисления приводят к ответу: f(7) = 90 - это последнее число второй строки. Ученики могут проверить это непосредственной подстановкой и сравнить время, понадобившееся на вычисление в обои случаях.

Место темы: 7-й класс.

Время на изучение: 2 часа (урока).

Изучение данной темы позволит учащимся значительно упростить вычисления значений многочленов. А также даст возможность быстро проверить является ли некоторое число с корнем уравнения.

После изучения темы учащиеся должны уметь применять схему Горнера для:

- вычисления значений многочленов

- нахождения корней многочленов и нахождения корней целых алгебраических уравнений

Целые и дробные корни многочленов. Важно, вместе с учащимися, выделить алгоритмы поиска целых и рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами. Можно оформить эти алгоритмы в виде индивидуальных карточек-инструкций и раздать всем ученикам. Эти карточки будут особенно полезны тем учащимся, которые умеют решать задачи только по заданному образцу. Способные учащиеся смогут быстрее освоить процесс нахождения целых и рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами и перейти к решению более сложных задач.

Место темы: 7-й класс.

Время на изучение: 2 часа (урока).

Материал представленный в данном параграфе позволит учащимся существенно упростить процесс нахождение рациональных (целых и дробных) корней уравнений с целыми коэффициентами.

После изучения темы учащиеся должны:

- знать формулировки теорем о целых и дробных корнях многочленов с целыми коэффициентами.

- уметь находить целые и дробные корни многочленов и уравнений любых степеней с целыми коэффициентами.

Примечание. Для пропедевтики материала изучаемого в 7 классе при прохождении тем "Умножение одночлена на многочлен" и "Умножение многочлена на многочлен" можно ввести проверку делением.

Теорема о делении с остатком. Так как в процессе изучения этой темы нужно чтобы учащиеся научились делить "уголком" нужно четко сформулировать правило деления одного многочлена на другой.

Сформулируем правило.

Ученикам, у которых возникают трудности с делением можно предложить карточку-инструкцию, содержащую данное правило.

Место темы: 8-й класс

Время на изучение: 2 часа (урока).

Данная тема необходима для открытия, доказательства и применения теоремы Безу.

После изучения темы учащиеся должны:

- знать теорему о возможности деления с остатком

- уметь находить частное и остаток от деления многочлена на многочлен.

Теорема Безу. Открытие теоремы Безу:

Разобьем класс на два варианта и предложим учащимся выполнить следующие упражнений.

№1.

Ответы выписываются на доске и сравниваются, после чего учащиеся могут высказать следующий вывод: остаток от деления f(x) на x-c равен f(c).

№2.

Ответы выписываются на доске и сравниваются, после чего учащиеся могут высказать следующий вывод: f(x) делится на x-c тогда и только тогда, когда число с является его корнем.

После чего сформулируем и докажем теорему Безу.

Место темы: 9-й класс

Время на изучение: 3-4 часа (урока).

После изучения темы учащиеся должны:

- уметь применять теорему Безу для выделения линейного множителя

- уметь решать уравнения, сводящиеся к квадратному с помощью подбора рациональных корней

- знать, что число корней многочлена не превосходит его степени, приводить примеры многочленов, у которых число корней меньше степени и равно степени

3. Устные упражнения и творческие задания.

Так как на материал не отводится много времени и нужно организовать его адекватное усвоение, я предлагаю особую систему проведения устных упражнений и творческих заданий.

Схема Горнера.

Устные упражнения. Форма проведения - фронтальный опрос.

1. Выполните действия

2. Подсчитай, какое число должно быть в рамке?

3. Выполните умножение. Назовите сумму коэффициентов.

а) х² (4х + 1);

б) (5х - 3)(5х + 3).

Творческое задание.

1. Восстановите схему Горнера, заполнив пустые клетки:

1	1	2	-1	-3	-3

	1		-3	-2	0	1
2					30

По заполненной схеме составьте многочлен. Укажите его степень.

2. Придумайте многочлен. Составьте для него схему Горнера. Сколько столбцов будет в этой схеме?

Целые и дробные корни многочлена.

Устные упражнения.

Форма проведения - фронтальный опрос.

1. Перечислите делители 15; 28; 36; -35.

2. Укажите, какое число лишнее? Ответ обоснуйте.

а) 20; 50; 100; 200; 85.

б) 30; 63; 52; 72; 3.

в) 60; 75; 22; 115; 2005.

г) 7; 13; 15; 17; 23.

Форма проведения - эстафета по рядам.

3. Выпишите в столбик все делители числа.



1 ряд	2 ряд	3 ряд
36	30	40

Творческое задание.

Опираясь на признаки делимости, придумайте пять трехзначных чисел, имеющих хотя бы один общий делитель (не единицу).

Теорема о делении с остатком. Устные упражнения.

Форма работы - фронтальный опрос.

1. 2·8 - 9(-1)· 63+46

16·2+47·3-7

11·(-5) - 34·(-8)-12

2. Заполните таблицу.

Делимое	Делитель	Неполное частное	Остаток
17	2
26		5
	8	9	3
	10	4	3

3. Заполните пропуски.



Творческое задание.

Заполните таблицу.

Делимое	Делитель	Неполное частное	Остаток
12			2
	4		1
	3	3
		7	4
	5		6

Теорема Безу.

Устные упражнения.

Эстафета по рядам с выходом к доске или на раздаточном материале.

1. Заполнить схему Горнера.

а)

	3	-6	-9	0	-11
7

б)

	3	-6	-9	0	-11
6

в)

	3	-6	-9	0	-11
8

2. Определите, какие из чисел 1, 2, -2, 4, 5, -13, 28, -7, 123, 3 не являются корнями многочленаx⁴ - 2x³ + 5x² - 13x - 40.

3. Заполните таблицу.

Делимое	Делитель	Неполное частное	Остаток
25	3
19		3
	50	8	4
	11	11	5

Творческое задание.

1. Придумайте многочлен (не меньше третьей степени). Составьте для него схему Горнера. Найдите целые и дробные корни многочлена или докажите, что их нет.

2. Придумайте:

а) многочлен, имеющий четыре целых корня.

б) многочлен, имеющий четыре различных целых корня.

в) многочлен, имеющий два целых корня и два дробных корня.

г) многочлен третьей степени, имеющий только один корень.

д) многочлен четвертой степени, имеющий пять корней.

2.5 Банк задач

Здесь приведена система упражнений, рекомендуемая для закрепления материала, выделены основные типы задач.

- Типы задач необходимые при изучении темы теорема Безу.

1. Задачи на составление (заполнение) схемы Горнера.

2. Задачи на применение схемы Горнера.

3. Задачи на нахождение делителей числа (многочлена). (Пропедевтическая)

4. Задачи на нахождение целых корней многочлена с целыми коэффициентами.

5. Задачи на нахождение рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами.

6. Задачи на деление с остатком двух чисел. (Пропедевтическая)

7. Задачи на деление многочлена на многочлен.

8. Задачи на разложение многочлена на множители.

9. Задачи на решение уравнений (с помощью теоремы Безу).

А также задачи трудные задачи.

Схема Горнера.

1. Проверьте правильность заполнения первой строки схемы Горнера для многочлена:

а) f(x) = 3x⁴ + 2x³ + 15x² - x - 1

	3	2	15	-1	-1

б) f(x) = 7x⁵ - 3x³ + 12x² - 2x + 13

	7	-3	12	-2	13

2. Заполните схему Горнера:

	2	-7	3	-1	3
2

Чему равно f(2)?

3. Используя схему Горнера, вычислите значение f(x) = x⁴ + 3x³ + 2x² + 1 при с=1;2;3;-1;-2;-4.

4. Определите, какие из чисел ±1; ±2; ±3 являются корнями уравнения:

а) x³ - 6x² + 11x - 6 = 0;

б) 3x⁵ - 2x⁴ + 19x³ - 5x² - x - 6 = 0.

5. Восстановите схему Горнера, заполнив пустые клетки:

а)

1	1	2	-1	-2	-3

б)

	1		-1	-2	0	1
2					40

в)

	1	0	11	-7	9
			12	-19

6*. Заполните схему Горнера для произвольного многочлена степени 3: f(x) =a₀x³ + a₁x² + a₂x + a₃ и произвольного числа с и убедитесь, что последнее число второй строки есть значение f(c).

7*. Проверьте, что для многочлена f(x) = a₀x⁵ + a₁x⁴ + a₂x³ + a₃x² + a₄x + a₅ верно равенство f(c) = ((((a₀c + a₁)c + a₂)c + a₃)c+ a₄) + a₅ . Как это равенство связано со схемой Горнера?

Целые и дробные корни многочленов.

1. На какие из данных чисел 1, 3, 12 , -3, -4, 5 делится число 36?

2. Выпишите (назовите) все натуральные делители чисел 7, 13, 10, 6?

Есть ли среди указанных чисел простые числа? Если есть укажите.

3. Выпишите все целые делители чисел: 15, 16, 18, 30.

4. Дан многочлен f(x) = x⁴ - 5x³ + 19x² - 8x + 12. Выпишите все делители свободного члена.

5. Определите, какие из чисел 1, 2, -2, 4, 5, -13, 28, -7, 123, 3 не являются корнями многочлена:

а) x³ + 38x - 77;

б) 2x⁴ - 21x³ + 3x² - 17x + 20;

в) 9x⁵ - x³ - 16x² + 4x - 35;

6. Какие из чисел 1, 2, -3, -2, -5, -7 являются корнями многочлена:

а) 2x⁵ - 5x⁴ + 11x³ - 17x² + 16x - 4;

б) x⁴ + 23x³ + 3x + 35;

7. Найдите все целые корни многочлена или докажите что многочлен не имеет целых корней.

а) x⁴ - 11x³ + 5x² - x + 15;

б) 2x⁵ - 28x⁴ + 3x³ - 7x² - 35;

8. Найдите рациональные корни многочлена:

a) 36x³ - 36x² +11x - 1;

б) 6x⁵ - x⁴ + 2x³ - 2x² - 4x - 1;

в) 6x⁵ + x⁴ - 4x³ - 11x² + 10x - 2.

9. Найдите дробные корни многочлена:

а) 4x⁴ + 4x³ + 3x² - x - 1;

б) x³ + 2x² - 5x - 6;

в) x⁴ - 4x³ - 10x² +23x + 10.

10. Докажите, что из данных чисел только одно является общим корнем многочленов f(x) и g(x):

а) f(x) = x³ - 7x + 6, g(x) = 5x⁴ - 8x³ + 7x - 4, {-7; -; -;; 1; 2};

б) f(x) = 3x³ + 2x² + 4x - 9, g(x) = x⁵ - 2x⁴ + 3x³ - 6x + 4, { -; -2; ; ; 5; 1; 3}

Теорема о делении с остатком.

1. Указать несколько делителей нулевой, первой, второй степени многочлена:

а) x²;

б) x³ - 1;

с) x² - 5x + 6.

2. Найдите неполное частное и остаток от деления:

а) числа 126 на 13;

б) числа 27408 на 34.

3. Разделите с остатком многочлен f(x) на g(x) (Найдите неполное частное и остаток от деления многочлена f(x) на g(x)):

а) f(x) = x⁴ + 5x³ + 4x² - 5x + 5, g(x) = x² + 3x + 1;

б) f(x) = x⁵ + 3x³ + 2x² - 1, g(x) = 3x² + x + 2;

в) f(x) = x¹⁹⁹⁵ - 1, g(x) = x³⁹⁷ - 1.

4. Проверьте, делиться ли многочлен f(x) на g(x):

а) f(x) = x³ - 5x² + 7x - 2, g(x) = x² - 3x + 1;

б) f(x) = x⁴ + 4x³ + 9x² + 10x + 6, g(x) = x² + 2x + 2;

в) f(x) = 2x⁵ + 4x⁴ + 8x³ + 5x² + 8x + 3, g(x) = x² + 2x + 3.

5. Укажите многочлены, делящиеся на g(x) = x² + x + 1:

а) f(x) = x⁴ + x² + 1;

б) f(x) = x⁶ + x + 1;

в) f(x) = x³ - 12x +4;

г) f(x) = x⁵ - 1.

6. Какие из многочленов данных многочленов делятся на 1) x - 1; 2) x +1.

а) f(x) = x² + 3x + 2;

б) f(x) = x³ - 3x² + 2;

в) f(x) = x⁴ - 2x³ + 2x² - 9x + 8;

г) f(x) = 4x⁵ + x² - 7x + 2.

7*. Существует ли число с, при котором f(x) делится на g(x):

а) f(x) = x⁴ - 3x³ + 5x² - 9x + 6, g(x) = x² + c;

б) f(x) = x⁴ + 2x³ + 5x² + 4x + 4, g(x) = x² + x + c;

Теорема Безу.

1. Найти остаток от деления f(x):

а) f(x) = x³ + x² - x + 5 на x - 1;

б) f(x) = x⁴ - 3x³ + 9x² - 27x + 81 на x + 3.

2. Подбирая целые корни, разложите многочлен на множители с помощью схемы Горнера:

а) x⁴ - 2x³ - x² - 4x + 12;

б) x⁵ - 5x³ + 5x² - 1;

с) x⁶ - 3x⁴ + 3x² - 1.

3. Составьте план решения и решите уравнение:

а) 4x³ - 5x + 2 = 0;

б) 8x³ - 4x² + 1 = 0;

в) 9x³ - 12x² + 1 = 0;

г) 27x³ + 9x² - 9x + 1 =0.

4. Решите уравнение:

1) а) x³ + x² - 5x + 3 = 0;

б) 2x³ - 5x² - 3x + 6 = 0;

2)а) x⁴ - x² - 2 = 0;

б) x⁶ - 7x³ + 6 = 0.

5. Решите уравнение:

а) (x² - x + 1)² = 3x² - x³ - x⁴;

б) (x² + x + 1)² = 3x⁴ +7x³ + 5x²;

в) 9(x² + 1)² = (5x² + x + 3) (x² + 1)².

г) 2x⁴ - 4x³ + x² + x - 1 = 0;

д*) 12x⁴ + 24x³ + 8x² - 4x - 1.

6. Решите уравнение, подобрав сначала целый корень:

а) x⁵ - 8x⁴ + 21x³ -21x² + 8x - 1 = 0;

б) x⁵ - 3x⁴ - 2x³ - 8x² - 4 = 0.

7*. Решите систему методом подстановки:

а)

б)

Заключение

Целью дипломной работы являлась разработка методики обучения теме "Теорема Безу" в школьный курс алгебры.

В процессе выполнения дипломной работы была проработана существующая литература по методам преподавания алгебры в школьной программе и решены следующие задачи:

Посредством анализа методической и психолого-педагогической литературы обоснован способ включения теоремы Безу в школьный курс алгебры, при этом удалось учесть дидактические принципы организации обучения, основными из которых являются научность, доступность и систематичность, а также учесть возрастные особенности учащихся (7-9 класс).

Изучение учебной литературы позволило отобрать и систематизировать материал, который должен входить в содержании темы: схема Горнера, теоремы о целых и дробных корнях многочлена, теорема Безу.

Проработка программы по математике и учебников в связи с исследуемой темой позволила создать комплекс задач, обеспечивающих оптимальное усвоение теоремы Безу учащимися средней школы.

Рассмотренные в дипломной работе вопросы предоставлены в виде предложений по включению и преподаванию теоремы Безу в школьном курсе алгебры и конкретных рекомендаций по проведению уроков.

Список изученной литературы

1) Алгебра: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. Учреждений/Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.5-е изд. - М.: Просвещение, 1998.

2) Алгебра: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. Учреждений/Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков и др.; Под ред. С.А. Теляковского. - М.: Просвещение, 2001.

3) Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений/Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков и др.; Под ред. С.А. Теляковского. - 9-е изд. - М.: Просвещение, АО "Московские учебники", 2001.

4) Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений/Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков и др.; Под ред. С.А. Теляковского. - 4-е изд. - М.: Просвещение, АО "Московские учебники", 1997.

5) Атутов П.Р. Технология и современное образование / / Педагогика. - 1996. - № 2.

6) Беспалько В.П. Слагаемые педагогической технологии. - М.: Педагогика, 1989.

7) Бесчетнов В. М. Математика: Курс лекций для учащихся 7-11 кл.: Том 1. - М.: Демиург, 1994.

8) Галицкий М.П. и др. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением курса математики / М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. - М.: Просвещение, 1992.

9) Гамезо М.В., Домашенко И.А. Атлас по психологии: Информ.-метод. Материалы к курсу "Общ. психология": Учеб. пособие для студентов педю ин-тов. - М.: Просвещение, 1986.

10) Дорофеев Г.В., Пчелинцев С.В. Многочлены с одной переменной. Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики, студентов пед. университетов и преподавателей школ с углубленным изучением математики. - СПб.: Специальная Литература, 1997.

11) Избранные вопросы математики: 10 кл. Факультативный курс. А.М. Абрамов, Н.Я. Виленкин, Г.В. Дорофеев и др.; Сост.: С.И. Шварцбурд. - М.: Просвещение, 1980.

12) Концепция математического образования (в 12-летней школе) // Математика в школе. №2. 2000. С.13-18.

13) Коротов В.М. Общая методика учебно-воспитательного процесса: Учеб. пособие для слушателей ФПК директоров школ и студентов пед. ин-тов. - М.: Просвещение, 1983.

14) Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. - М.: Просвещение, 1990.

15) Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников/Под редакцией Н.И. Чуприковой. - М.: Издательство "Институт практической психологии"; Воронеж: Издательство НПО "МОДЭК", 1998.

16) Крутецкий В.А. Психология: Учебник для учащихся пед. училищ. - М.: Просвещение, 1980.

17) Математика: 5-11кл.: Программы. Тематическое планирование: для общеобразоват. шк., гимназий, лицеев: Сост. Г.М Кузнецова, Н.Г. Миндюк. - М.: Дрофа, 2000.

18) Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, и др.; Под редакцией Г.В. Дорофеева - М.: Дрофа, 1999.

19) Менчинская Н.А. Проблемы обучения, воспитания и психического развития ребенка/Под редакцией Е.Д. Божович. - М.: Издательство "Институт практической психологии"; Воронеж: Издательство НПО "МОДЭК", 1998.

20) Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. институтов/Ю.М. Колягин, В.А. Оганесян, В.Я. Саннинский и др. - М.: Просвещение, 1975.