Формы:

o Семинар;

o Самостоятельная работа.

Средства:

o Записи на доске;

o Раздаточный материал.

Задания	Формы работы	Комментарии
Задание 1: Прочитать определение и выполнить задание.	Самостоятельная работа, Фронтальное обсуждение (ученики предлагают свои способы, выбирают наиболее удачный вид записи). (10 мин).	Раздаточный материал 1: Определение1: Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности приближенного числа к самому этому числу. Задание1: Составить формулу для нахождения относительной погрешности. Примечание: Относительную погрешность иногда записывают в процентах. Для этого нужно умножить результат на 100%.
Задание 2: Прочитать определения и пример, ответить на предложенные вопросы. Затем вместе обсудить ответы.	Самостоятельная работа, Фронтальное обсуждение. (10 мин).	Раздаточный материал 2: Определение2: Число, заведомо превышающее относительную погрешность или равное ей, называется предельной относительной погрешностью. Определение3: Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность или равное ей, называется предельной абсолютной погрешностью. Обозначения: - “дельта” - предельная абсолютная погрешность; - “дельта малая” - предельная относительная погрешность. Пример1: Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе гирь наименьшая - 50г. Взвешивание дало 6300г. Продавец нашел точный вес арбуза? 6300 - число приближенное. Абсолютная погрешность не превышает 50г. Объясните почему? Относительная погрешность не превосходит 50/63000,008. Почему? В данном примере, какие числа можно принять за предельные абсолютную и относительную погрешности?
Задание 3: Придумать пример, аналогичный преложенному, и объяснить, по каким признакам пример аналогичный.	Самостоятельная работа, Фронтальное обсуждение. (10 мин).	Ученики придумывают примеры, затем предлагают их другим для общего обсуждения.
Задание 4: Измерить длину и ширину тетрадного листа. Какова предельная относительная погрешность каждого измерения?	Самостоятельная работа. (5 мин).
Задание 5: Сравнить измерения, получившиеся у учеников.	Фронтальное обсуждение. (5 мин).	У учеников должны получиться разные результаты - иллюстрация возможности погрешности.

Тема 7: ”Погрешность произведения”.

(40 мин)

Цели:

o Представление о погрешности произведения.

Методы:

o Метод эвристического поиска знаний.

Формы:

o Семинар;

o Самостоятельная работа.

Средства:

o Записи на доске;

o Раздаточный материал.

Задания	Формы работы	Комментарии
Задание 1: Найти площадь парты. Чему равна возможная ошибка?	Самостоятельная работа. (5 мин).	Ученики работают в парах.
Вопрос: Каким способом вы находили площадь? Как находили погрешность измерений?	Фронтальный опрос. (5 мин).	В результате должны выделить два способа нахождения погрешности: Способ 1: найти погрешность каждого измерения (- предельные относительные погрешности сомножителей). Способ 2: сначала найти площадь, а потом погрешность.
Задание 3: Найдите площадь при самых неблагоприятных случаях (две площади). Сравните три площади между собой.	Самостоятельная работа. (10 мин).	S - площадь, найденная перемножением полученных измерений; S< - площадь, если истинная величина больше получившейся. S> - площадь, если истинная величина меньше получившейся. - предельная относительная погрешность произведения.
Задание 4: Сравните предельную относительную погрешность произведения и сумму предельных относительных погрешностей сомножителей.	Фронтальное обсуждение. (5 мин).	Сумма предельных относительных погрешностей сомножителей меньше, чем предельная относительная погрешность произведения.
Задание 5: Предложите формулы, для нахождения предельной относительной погрешности произведения.	Фронтальное обсуждение. (10 мин).	Формула может и не быть получена. В этом случае работа может быть продолжена индивидуально.
Задание 6: Как вы думаете, как записать формулу для n слагаемых?	Фронтальное обсуждение. (5 мин).	Постановка проблемы. Решение вопроса может быть продолжением работы.

Тема 8: “Приближенное решение квадратных уравнений”.

(2 часа, 40 мин.)

Цель: - Дать представление о месте приближенных вычислений;

- Познакомиться со способами нахождения приближенного решения квадратного уравнения;

Задача:

- Формирование умения применять новые способы для решения задач.

математика факультативный творческий

План:

1. Организационный момент.	2 мин.
2. Первый этап. О месте приближенных вычислений.	10 мин.
3. Второй этап. Нахождение приближенного значения квадратного корня.	20 мин.
4. Четвертый этап. Способы приближенного решения квадратных уравнений. А) подбором.	125 мин.: 20 мин.
В) метод последовательных приближений.	45 мин.
С) метод половинного деления.	25 мин.
D) Аналогичная задача.	35 мин.
6. Подведение итогов.	3 мин.

Предметные основания:

Необходимые знания учащихся	Необходимые умения
Понятия: 1) точного, приближенного значений; 2) округления; 3) корня; 4) квадратного уравнения;	1) находить значения функции по графику; 2) преобразовывать квадратные уравнения; 3) округлять.

Виды работ:

1. Фронтальное объяснения;

2. Работа учащихся у доски;

3. Самостоятельная работа учащихся;

Средства:

1. записи на доске;

2. раздаточный материал.

План (развернутый).

Этапы.	Формы/задачи/средства.	Время.
1. Организационный момент.		2 мин.
2. Первый этап. О месте приближенных вычислений.	Формы: совместное обсуждение.	10 мин.
3. Второй этап. Нахождение приближенного значения квадратного корня.	Задачи: Восстановление знаний о приближенном нахождении значения. Формы: совместное обсуждение (учащиеся предлагают свои версии, потом их обсуждают); Средства: записи на доске.	20 мин.
4. Третий этап. Способы приближенного решения квадратных уравнений. А) подбором. В) метод последовательных приближений. С) метод половинного деления.		125 мин.
	Формы: самостоятельная работа, совместное обсуждение.	20 мин.
	Задачи: систематизировать знания о нахождении корня уравнения методом последовательных приближений; Формы: лекция (геометрическая интерпретация метода), совместное обсуждение (выведение метода последовательных приближений, нахождение приближенного корня уравнения), самостоятельная работа (нахождение приближенного корня уравнения); Средства: записи на доске, раздаточный материал (графики, теоретические карточки).	45 мин.
	Задачи: систематизировать знания о нахождении корня уравнения методом половинного деления; Формы: совместное обсуждение (нахождение значения корня), лекция (представление метода); Средства: раздаточный материал (графики, теоретические карточки).	20 мин.
D) Аналогичная задача.	Формы: совместное обсуждение.	40 мин.
6. Подведение итогов	Примечание: постановка проблемы.	3 мин.

Задания	Формы работы	Комментарии
Ответить на вопрос: Что является причиной появления приближенных чисел?	совместное обсуждение (10 мин).	(Учащиеся предлагают свои версии). У: (к предложенным версиям дополняется пропущенное, может быть будет предложено что-то новое, не отмеченное в а) - в). а) При измерении длин отрезков и площадей фигур, при взвешивании тел и других измерениях получаются числа, выражающие эти величины. Ввиду погрешностей измерения полученные числа являются приближенными значениями измеряемой величины. б) к ошибкам может привести неточность построения математической модели явления. (Неточная формула). в) использование традиционных методов решения алгебраических уравнений с помощью компьютера не может гарантировать точности результата вычислений. (При использовании простейших методов вычисления на компьютере используется восемь разрядов, при переполнении которых происходит накопление погрешности). Существует проблема: любой результат вычислений на МК выдается с конечным числом знаком из-за ограничений числа разрядов индикатора, ошибки округления накапливаются.
Задание 1: -иррациональное число. Можно ли вычислить значение не пользуясь МК? Найдите минимальный интервал, в котором заключено значение это значение. Для облегчения работы предлагается проанализировать таблицу. (См. приложение 1).	совместное обсуждение (20 мин).	Любое действительное число можно заключить между двумя рациональными числами и, зажав между верхней и нижней границей, определить сколь угодно точно, но, тем не менее, приближенно.
Вопрос: Как вы думаете, какое уравнение является квадратным? Задание 2: Приближенно найдите корень уравнения с точностью до сотых. х2 - 2х - 2=0. Для нахождения корня подставьте предложенные значения в уравнение и проанализируйте результаты. (См. значения в приложении 2). Задание 3: Нахождение приближенного корня методом последовательных приближений. х2 - 2х - 2 = 0 х2 = 2х +2 /х х = 2 + 2/х (См. приложение 3). Задание 4: Написать алгоритм нахождения корня.		(кто-то из учеников должен пояснить, иначе пояснить учителю).
	самостоятельная работа (10 мин), совместное обсуждение (10 мин).	Заметим, что для нахождения корня подбором нужно выбрать число, подставить его в уравнение. Если получится значение меньше 0, то нужно взять число больше, если получится значение больше 0, то взять число поменьше.
	самостоятельная работа (15 мин).	На примере нужно найти значение корня. Для этого возьмем некоторое значение х и подставим в правую часть уравнения. Далее будем подставлять в правую часть уравнения те значения, которые получились в левой части. Выполнять до тех пор, пока не найдем значение корня с точностью до сотых, тысячных и т.д.
	совместное обсуждение (15 мин).	Раздаточный материал 1: а) графически или методом проб находят первое приближение корня х = х0. х0 = первое приближение корня б) в правую часть уравнения х = 2 + 2/х подставим х0 и тогда х1 = 2 + 2/х0 - второе приближение корня. в) подставляем в правую часть уравнения х = 2 + 2/х х1 вместо х. х2 = 2 + 2/х1 - третье приближение корня. x3 = 2 + 2/х2 x4 = 2 + 2/х3 и т.д. Или алгоритм в общем виде: Пусть х = (х) - левая часть уравнения; 2 + 2/х = (х) - правая часть уравнения. (х) = (х) а) графически или методом проб находят первое приближение корня х = х0. х0 = первое приближение корня. б) в правую часть уравнения х = (х) подставим х0 и тогда х1 = (х). х1 - второе приближение корня. в) подставляем в правую часть уравнения х = (х) х1 вместо х. х2 = (х1); х2 - третье приближение корня. и т.д
Задание 5: При помощи шаблона построить графики функций у = х и у = 2 + 2/х. Постановка проблемы: Мы нашли значение уравнения двумя способами (подбором и методом последовательных приближений). Как вы думаете, какой метод проще? Почему?	самостоятельная работа (постр. графиков ф-ций). совместное обсуждение, лекция (геом. Интерпретация). (15 мин).	Раздаточный материал: шаблоны. Геометрическая интерпретация метода: 1) построим графики функций у = х и у = 2 + 2/х; 2) выберем некоторое приближенное значение корня х0 (в нашем случае х0 = 2) 3) проведем прямую х = х0. 4) прямая встретит рассматриваемые кривые в двух точках, выберем наиболее подходящую точку. 5) по найденному значению х = х0 определяем значение у(х0) =2 + 2/х0; х0 - первое приближение корня. 6) через точку А0 [х0,у(0)] проводим прямую, параллельную оси Ох, до пересечения в точке В1 с кривой у = х; 7) подставляем в уравнение у = х вместо у значение у0 = х0, решаем уравнение 2 + 2/х = х0 и находим значение х1 - второе приближение корня. 8) находим значение у1 = х1 и т. д.
Спросить у учеников, как они думают, в чем заключается метод. После разбираем метод вместе. У: При нахождении корня методом половинного деления выбирается отрезок, содержащий корень, который в процессе работы сужается. Задание 6: найдите значение корня уравнения х2 - 2х - 2 = 0 методом половинного деления. (См. приложение 4). Постановка проблемы: Мы нашли значение корня уравнения тремя способами (подбором, методом последовательных приближений и методом половинного деления). Как вы думаете, какой метод проще? Почему?	совместное обсуждение (нахождение значения корня, 15 мин), лекция (представление метода, 10 мин).	Метод половинного деления. Представим уравнение х2 - 2х - 2 = 0 в виде х = 2 + 2/х; Построим графики у = х У = 2 + 2/х; а) Значение х точки пересечения графиков будет являться корнем уравнения х2 - 2х - 2 = 0. б) Выберем отрезок [а, b], содержащий точку пересечения. в) Отрезок [a, b] делим на две части точкой z1 = (a+b)/2. г) Если z12- 2z1 - 2 = 0 то z1 - искомый корень. Если z12- 2z1 - 2 0, то из двух отрезков [a,z1] и [z1,b] выберем тот для которого значение функции у = х2 - 2х - 2 на его концах имеет разные знаки и обозначим его через [a1,b1]. Если теперь взять точку Z2=(a1+b1)/2 то снова или z22- 2z2 - 2 = 0 или z22- 2z2 - 2 0 и т.д.
Задание 7. Найти значение корня методом последовательных приближений: х2 - 7= 0. Для упрощения подсчетов воспользуйтесь таблицей. (См. приложение 5). Задание 8: При помощи шаблонов постройте графики функций у = х и у = 7/х и отметьте получившиеся значения. Постановка проблемы: Любое ли уравнение можно решить методом последовательных приближений? Для каких уравнений метод работает? Задание 9: Придумайте квадратное уравнение, которое можно решить методом последовательных приближений. Задание 10: Придумайте квадратное уравнение, которое нельзя решить методом последовательных приближений. Задание 11: Представить получившиеся уравнения.	совместное обсуждение (10 мин). Самостоятельная работа (10 мин). Самостоятельная работа (10 мин); совместное обсуждение (5 мин).	Постоянно получается только два значения. Значение не приближается к точке пересечения, только движется по кругу. Можно разделиться на две группы. Одна группа выполняет задание 9, другая - задание 10.

6.Подведение итогов.

У: Что сегодня узнали, чему научились? Какие проблемы сформулировали?

Приложение 1.

	1<2<4	1<<2
152 = 2.25	1<2<2.25	1<<1.5
1.22 = 1.44	1.44<2<2.25	1.2<<1.5
1.42 = 1.96	1.96<2<2.25	1.4<<1.5
1.452 = 2.1025	1.4<2<2.1025	1.4<<1.45
1.412 = 1.9881	1.41<2<2.1025	1.41<<1.45
1.422 = 2.0164	1.41<2<2.0164	1.41<<1.42

Приложение 2.

Х =2; X = 3; Х = 2.1; X = 2.9; X = 2.2; X = 2.8; X = 2.3; X = 2.4; X = 2.5; X = 2.6; X = 2.7; X = 2.71; X = 2.79; X = 2.72; X = 2.78; X = 2.77; X = 2.76; X = 2.75; X = 2.74; X = 2.73

Приложение 3.

Х0 = 2; Х1 = 3; Х2 = 22.(6); Х3 = 22.75; Х4 = 22.(72); Х5 = 22.7(3); Х6 = 22.7317073; Х7 = 22.7321428.

Приложение 4.

Отрезок [2;3] содержит точку пересечения графиков. 1) z1 = (2 +3)/2 = 2.5; Получили два отрезка: [2;2.5] и [2.5;3]. Для отрезка [2;2.5] значения функции имеют разные знаки. 2) z2 = (2 + 25)/2 = 2.25; Получили два отрезка: [2;2.25] и [2.25;2.5]. Для отрезка [2.25;2.5] значения функции имеют разные знаки. 3) z3 = (2.25 + 2.5)/2 = 2.375; Получили два отрезка: [2.25;2.375] и [2.375;2.5]. Для отрезка [2.375;2.5] значения функции имеют разные знаки. 4) z4 = (2.375 + 2.5)/2 = 2.4375; Получили два отрезка: [2.375;2.4375] и [2.4375;2.5]. Для отрезка [2.4375;2.5] значения функции имеют разные знаки.

Приложение 5.

х = 7/х. х0 = 3; х1 = 7/3; х2 = 3; х3 = 7/3.

Приложение 5

Красноярская университетская гимназия «Универс» №1

Кафедра математики

Творческая работа

“Изучение скорости сходимости разных методов при решении квадратных уравнений”

Выполнил:

Ученик 8 «Б» класса

Цой Сергей

Научные руководители:

Преподаватель математики

Гимназии «Универс»

Сидорова О.В.

Студентка 5 курса КГУ

Коробейникова Н.А.

Красноярск, 2002

План

Введение

I. Теоретическая часть

II. Практическая часть:

1. Нахождение значений двух равенств и определение более точного равенства

2. Нахождение корня уравнения методом половинного деления отрезка

3. Метод последовательных приближений

Вывод

Литература

Приложения

Введение

Почему я выбрал эту тему?

В последний день выездной “Школы молодого ученого”, которая проходила в ноябре, нам представили несколько тем творческих работ. Одной, из которых была: “Приближенные вычисления и накопление погрешности”, она заинтересовала меня. А именно, меня заинтересовало то, что два равенства имели приблизительно один и тот же результат. И я решил разобраться, как так получается? Позже мы доказали, что эти два равенства выведены из одного квадратного уравнения. В ходе работы над предложенной темой были открыты новые области для исследования. Предложенная тема расширилась. В дальнейшем мы исследовали скорость сходимости разных методов при решении квадратных уравнений.

Таким образом, задача нашей творческой работы заключается в исследовании скорости сходимости разных методов при решении квадратных уравнений.

Нами были выделены следующие этапы ее решения:

Нахождение корня квадратного уравнения двумя способами и выбор наиболее эффективного способа.

Изучение методов половинного деления и последовательных приближений.

Применение метода последовательных приближений к разным типам квадратных уравнений.

Выведение условия, при выполнении которого квадратное уравнение можно решить методом последовательных приближений.

Нами были выделены гипотезы:

1. Из равенств и , равенство, имеющее вид , дает более точный результат.

2. Методом последовательных приближений можно решить любое квадратное уравнение.

В первой части нашей работы представлены теоретические сведения, во второй части мы предлагаем ход нашего исследования.

Результатом нашей творческой работы является то, что равенство, имеющее вид , дает более точный результат и методом последовательных приближений можно решать лишь те квадратные уравнения, которые подчиняются выведенному условию.

I. Теоретическая часть

При решении практических задач часто приходиться делать приближенные вычисления. Возникает вопрос: насколько точно полученное значение. Сколько верных цифр в этом числе? В каких пределах заключается точное его значение? Заметим, что верными называются цифры, если представленный ими результат имеет погрешность не более младшего разряда. Для определения погрешности важно знать об источниках ее возникновения. Выделим причины возникновения погрешностей при решении задач:

1) математическое описание задачи является неточным, в частности неточно заданы исходные данные описания;

2) применяемый для решения метод часто не является точным: получение точного решения возникающей математической задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций; поэтому вместо точного решения задачи приходится прибегать к приближенному;

3) при выполнении арифметических операций производятся округления.

Разработана типология погрешностей в соответствии с причинами, т. е. выделяют три типа погрешности.

Типы погрешности, соответствующие этим причинам:

1) неустранимая погрешность:

погрешность, являющаяся следствием неточности задания числовых данных, входящих в математическое описание задачи;

погрешность математической модели:

погрешность, являющаяся следствием несоответствия математического описания задачи реальности;

2) погрешность метода;

3) вычислительная погрешность.

В нашей работе затронут один тип погрешности, а именно, вычислительная погрешность. Она появляется при нахождении корней квадратных уравнений, при выполнении арифметических операций.

Заметим, что квадратным уравнением называют уравнение вида:

ax2 + bx + c = 0,

а квадратным корнем из числа A называют такое число, которое в квадрате дает число A.

При решении математических задач, далеко не всегда бывает нужно знать абсолютно точный ответ, достаточно найти его приближенное значение, с приемлемой точностью. Более того, часто указать точный результат в виде числа невозможно. Например, при решении некоторого уравнения в ответе мы получили . Чтобы получить числовой результат, следует заглянуть в таблицы квадратных уравнений или вооружиться калькулятором. Ну а если в нужный момент их не окажется под рукой, то придется рассчитывать только на свои силы. Существует много способов приближенного вычисления корней.

Приближенное значение можно найти с заданной точностью, например, с точностью до сотен, десятков, единиц, десятых, сотых и т. д.

Остановимся подробнее на термине приближение. Приближенным значением числа A называют число a, незначительно отклоняющееся от точного числа А и заменяющее последнее в вычислениях. Если а < A, то а называют приближенным значением A по недостатку, а если а > A - приближенное значение А по избытку.

Под скоростью сходимости мы подразумеваем то, насколько быстро некоторое число приближается к корню заданного уравнения.

При нахождении корней квадратного уравнения мы использовали два метода: последовательных приближений и половинного деления.

Чтобы пользоваться этими методами, необходимо квадратное уравнение f(x) = 0 переписать в виде . Будем рассматривать уравнение .

Метод последовательных приближений

а) графически или методом подбора находят первое приближение корня уравнения .

х = х0 - первое приближение корня.

б) в уравнение подставим х0 и тогда х1 = - второе приближение корня.

в) подставляем в уравнение х1 = х1 вместо х0.

х2 = - третье приближение корня.

г) таким образом, приближения получаются по следующей схеме:

х1 = ;

х2 = ;

х3 = ;

х4 = и т.д.

Этот метод имеет геометрическую интерпретацию:

а) изобразим кривые у = х и у = .

б) выберем некоторое приближенное значение корня х0.

в) проведем прямую х = х0.

г) прямая встретит рассматриваемые кривые в двух точках, выберем наиболее подходящую точку.

д) по найденному значению х = х0 определяем значение у = .

х0 - первое приближение корня.

Метод проделан на графиках, представленных в приложении.

Метод половинного деления

1. Построим графики функций:

у = х

у = .

2. Выберем отрезок [а, b], содержащий точку пересечения.

3. Отрезок [a, b] делим на две части точкой z1 = (a+b)/2 ;

4. Если f(z1) = 0 то z1 - искомый корень. Если f(z1) 0, то из двух отрезков [a,z1] и [z1,b] выберем тот, для которого значение функции у = f(х) на его концах имеет разные знаки, и обозначим его через [a1,b1]. Если теперь взять точку Z2=(a1+b1)/2 то снова или f(z2) = 0 или f(z2) 0 и т.д.

В ходе работы нами были выделены критерии оценки методов:

1. Вычислительная погрешность.

2.Точность, которую вычисляют с помощью погрешностей и построения графиков.

3.Быстрота - это то, как быстро можно вычислить приблизительно точные значения.

II. Практическая часть

1. Нахождение значений двух равенств и определение более точного равенства

В самом начале работы нами были рассмотрены равенства:

1) . 2)

В первом равенстве х мы находили двумя способами. Опишем эти способы подробнее.

Способ 1: При нахождении х мы производили операцию округления в ходе решения.

Х1 = 1,4142; Х2 = 1,5538;

Х3 = 1,5981; Х4 = 1,6118;

Х5 = 1,6161;

Х6 = 1,6174;

Х7 = 1,61785;

Х8 = 1,61798;

Х9 = 1,6180.

Способ 2: Этот способ очень трудоемкий. Уже на втором шаге нужно проделывать большое количество операций.

А) Х1 =

х= 2

х1 = 1,4142;

б) Х2 =

х= 1 + 2+ 1 +1 = 3 + 2

Таким образом, при нахождении значения удобнее пользоваться первым способом. Он менее трудоемкий. Второй способ более трудоемкий и при этом также требует предварительного округления, например, при нахождении .

Значения второго равенства мы находили следующим образом:

X1 = 1 +

X2 =

X3 =

X4 =

X5 =

X6 =

X7 =

X8 =

X9 =

X10 =

При нахождении значений в ходе выполнения операций мы не производили округление.

Было замечено, что оба эти равенства можно записать в общем виде. В самом деле, второе равенство в общем виде будет иметь вид: , а первое равенство в общем виде: . Кроме того, эти уравнения получены из одного:

 /

(возведем в квадрат)

Так как равенства получены из одного и того же уравнения, то мы можем сравнить значения и выбрать из них наиболее эффективное равенство.

Выгоднее пользоваться равенством , так как не происходит предварительного округления, а значит, погрешность не накапливается.

В равенстве на 1-4 шагах одна устойчивая цифра, на 5,6 - три устойчивые цифры. (см. графики в приложениях 3, 4).

В равенстве на 1,2 шагах одна устойчивая цифра, на 3,4 -две, с пятого шага - три устойчивые цифры. (см. графики в приложениях 1, 2).

Таким образом, уравнения и - являются обобщениями наших равенств. При этом, они выведены из одного квадратного уравнения:

X2 - x - 1 = 0.

Заметим, что квадратные уравнения имеют два корня, но мы для простоты исследования возьмем только один - положительный.

2. Нахождение корня уравнения методом половинного деления отрезка

Найдем корень уравнения другим методом. Воспользуемся методом половинного деления отрезка.

Представим уравнение в другом виде: . Построим графики функций: у = х; у = . (Графики представлены в приложении 1). Точка пересечения графиков - корень уравнения. Графики пересекаются в двух точках. Мы будем рассматривать только одну. Второй корень находится по аналогии. Выберем промежуток, на котором находится точка. Это промежуток [1;2]. Пользуясь методом половинного деления получаем следующие результаты.

Отрезок [1; 2] содержит точку пересечения графиков.

2) z1 = (1 +2)/2 = 1.5;

Получили два отрезка: [1; 1.5] и [1.5; 2].

Для отрезка [1.5; 2] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,

12 - 1 - 1 = -1;

1.52 - 1.5 - 1 = -0.25;

22 - 2 - 1 = 1.

2) z2 = (1.5 + 2)/2 = 1.75;

Получили два отрезка: [1.5; 1.75] и [1.75; 2].

Для отрезка [1.5; 1.75] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,

1.52 - 1.5 - 1 = -0.25;

1.752 - 1.75 - 1 = 0.3125;

22 - 2 - 1 = 1.

3) z3 = (1.5 + 1.75)/2 = 1.625;

Получили два отрезка: [1.5; 1.625] и [1.625; 1.75].

Для отрезка [1.5; 1.625] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,

1.52 - 1.5 - 1 = -0.25;

1.6252 - 1.625 - 1 = 0.015625;

1.752 - 1.75 - 1 = 0.3125.

4) z4 = (1.5 + 1.625)/2 = 1.5625;

Получили два отрезка: [1.5; 1.5625] и [1.5625; 1.625].

Для отрезка [1.5625; 1.625] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,

1.52 - 1.5 - 1 = -0.25;

1.56252 - 1.5625 - 1 = -0.12109375;

1.6252 - 1.625 - 1 = 0.015625.

5) z5 = (1.5625 + 1.625)/2 = 1.59375;

Получили два отрезка: [1.5625; 1.59375] и [1.59375; 1.625].

Для отрезка [1.59375; 1.625] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,

1.56252 - 1.5625 - 1 = -0.12109375;

1.593752 - 1.59375 - 1 = -0.053710937;

1.6252 - 1.625 - 1 = 0.015625.

6) z6 = (1.59375 + 1.625)/2 = 1.609375;

Получили два отрезка: [1.59375; 1.609375] и [1.609375; 1.625].

Для отрезка [1.609375; 1.625] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,

1.593752 - 1.59375 - 1 = -0.053710937;

1.6093752 - 1.609375 - 1 = -0.019287109;

1.6252 - 1.625 - 1 = 0.015625.

7) z 7= (1.609375 + 1.625)/2 = 1.6171875;

Получили два отрезка: [1.609375; 1.6171875] и [1.6171875; 1.625].

Для отрезка [1.6171875; 1.625] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,

1.6093752 - 1.609375 - 1 = -0.019287109;

1.61718752 - 1.6171875 - 1 = -0.001891589;

1.6252 - 1.625 - 1 = 0.015625.

8) z 8= (1.6171875 + 1.625)/2 = 1.62109375;

Получили два отрезка: [1.6171875; 1.62109375] и [1.62109375; 1.625].

Для отрезка [1.6171875; 1.62109375] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,

1.61718752 - 1.6171875 - 1 = -0.001891589;

1.621093752 - 1.62109375 - 1 = 0.006851196;

1.6252 - 1.625 - 1 = 0.015625.

9) z 9= (1.6171875 + 1.62109375)/2 = 1.619140625;

Получили два отрезка: [1.6171875; 1.619140625] и [1.619140625; 1.62109375].

Для отрезка [1.6171875; 1.619140625] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,

1.61718752 - 1.6171875 - 1 = -0.001891589;

1.6191406252 - 1.61940625 - 1 = 0.002475738;

1.621093752 - 1.62109375 - 1 = 0.006851196.

10) z 10= (1.6171875 +1.619140625) /2 = 1.618164063;

Получили два отрезка: [1.6171875; 1.618164063]и [1.618164063; 1.619140625].

Для отрезка [1.6171875; 1.618164063] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,

1.61718752 - 1.6171875 - 1 = -0.001891589;

1.6181640632 - 1.618164063 - 1 = 0.00029084;

1.6191406252 - 1.61940625 - 1 = 0.002475738.

На десятом шаге мы нашли корень уравнения с точностью до сотых:

х 1.61.

Метод половинного деления очень трудоемкий, требует построения графиков для определения промежутка, на котором находится корень. Причем, только на десятом шаге мы получили значение с тремя устойчивыми цифрами.

Нахождение корня уравнения методом последовательных приближений

Решим методом последовательных приближений уравнение.

Х2 - х - 1 = 0

Х2 = х +1 /х

Х = 1 + 1/х

а) графически или методом проб находят первое приближение корня

х = х0. (см. график в приложении 1, в приложении 2 представлены графики только с положительной точкой пересечения).

Х0 = первое приближение корня

б) в правую часть уравнения х = 1 + 1/х подставим х0 и тогда х1 = 1 + 1/х0 - второе приближение корня.

в) подставляем в правую часть уравнения х = 1 + 1/х х1 вместо х.

Х2 = 1 + 1/х1 - третье приближение корня.

г) таким образом, приближения получаются по следующей схеме:

х1 = 1 + 1/х0

Х2 = 1 + 1/х1

Х3 = 1 + 1/х2

Х4 = 1 + 1/х3 и т.д.

Были получены следующие значения:

Х0 = 2;

Х1 = 1,5;

Х2 = ;

Х3 = = 1.6;

Х4 = =1.625;

Х5 = 1.6154;

Х6 = 1.6191;

Х7 = 1.6177;

Х8 = ;

Х9 =

Х10 =

3. Метод последовательных приближений

Нахождение приближенного корня методом последовательных приближений для уравнения:

Х2 - 2х - 2 = 0

Х2 = 2х +2 /х

Х = 2 + 2/х

а) графически или методом проб находят первое приближение корня

х = х0. (см. приложение 9, в приложении 10 увеличенные графики с положительной точкой пересечения).

Х0 = первое приближение корня

б) в правую часть уравнения х = 2 + 2/х подставим х0 и тогда х1 = 2 + 2/х0 - второе приближение корня.

в) подставляем в правую часть уравнения х = 2 + 2/х х1 вместо х.

Х2 = 2 + 2/х1 - третье приближение корня.

г) таким образом, приближения получаются по следующей схеме:

х1 = 2 + 2/х0

х2 = 2 + 2/х1

х3 = 2 + 2/х2

х4 = 2 + 2/х3 и т.д. Х0 = 2;

х1 = 3;

х2 = 22.(6);

х3 = 22.75;

х4 = 22.(72);

х5 = 22.7(3);

х6 = 22.7317073;

х7 = 22.7321428.

Метод последовательных приближений не требует построения графиков, так как за начальное приближение корня можно взять любое число. Графики здесь приведены для подтверждения, для геометрической интерпретации. Этот метод менее трудоемкий. Пользуясь им можно найти значение с любой степенью точности.

А для любого ли уравнения этот метод работает? Рассмотрим неполное квадратное уравнение и решим его методом последовательных приближений.

x2 - 7 = 0

x2 = 7 /x

x =

Метод последовательных приближений:

x0 = 3; х1 = 2.(3); х2 = 7 = 3; х3 = 2.(3); х4 = 7 = 3;

х5 = 2.(3); х6 = 7 = 3; х7 = 2.(3).

Мы получаем только два значения. Попробуем в качестве x0 взять другое значение. Пусть x0 = 5; х1 = = 1.4; х2 = 7 = 5; х3 = = 1.4; х4 = 7 = 5; х5 = = 1.4; х6 = 7 = 5; х7 = = 1.4.

Значения не приближаются к корню. (Геометрически: приложение 5, увеличенный график с положительной точкой - приложение 6).

Рассмотрим еще одно уравнение

x2 - 3 = 0

x2 = 3 /x

x =

Метод x0 = 2; х1 = = 1.5; х2 = 3 = 2; х3 = 1.5; х4 = 3 = 2;

х5 = = 1.5; х6 = 3 = 2; х7 == = 1.5.

Мы получаем только два значения. Попробуем в качестве x0 взять другое значение. Пусть x0 = 5; х1 = = 0.6; х2 = 3: = 5; х3 = = 0.6 ;

х4 =3: = 5; х5 = = 0.6; х6 =3: = 5; х7 = = 0.6.

Опять получается только два значения, причем эти значения не приближаются к некоторому числу. (см. приложения 7,8).

Мы нашли два вида уравнений. Для одного вида можно найти корень методом последовательных приближений, а для другого нельзя. Возникает вопрос, от чего это зависит.

Нами было замечено, что в уравнениях, для которых метод последовательных приближений работает, разность между соседними приближениями постоянно уменьшается. В уравнениях, для которых метод последовательных приближений не работает, эта разность остается постоянной. Т. е., выполняется условие:

| x2- x3 | | x1 - x2 |, (0, 1).

Применим условие к рассматриваемым уравнениям.

Выполняется ли условие для уравнения X2 - x - 1 = 0?

| x2- x3 | = | | = ;

| x1 - x2 | = || = ;

, (0, 1) - условие выполняется.

Выполняется ли условие для уравнения x2 - 7 = 0?

, при (0, 1) - условие не выполняется.

Мы выделили условие, при выполнении которого можно найти корень уравнения методом последовательных приближений. Это условие является принципом сжимающих отображений. В данной работе доказательство принципа не приводится. Это может быть дальнейшим исследованием.

Вывод

В своей работе мы пришли к выводу, что равенства и , получены из одного уравнения Х2 - х - 1 = 0. При этом, при нахождении значений с помощью равенства , мы получаем более точные значения, так как при нахождении значений предварительного округления не происходит.

При нахождении приближенного значения корня уравнения наиболее оптимальным является метод последовательных приближений. Нами было выделено условие, при соблюдении которого, можно найти корни квадратного уравнения методом последовательных приближений. Это условие можно записать в таком виде: | x2- x3 | | x1 - x2 |, (0, 1).

Литература

1. Зверкина Г.Л. Приближенные вычисления. / Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика / Глав. Ред. М.Д. Аксенова. - М.: Аванта+, 1998.

2. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973.

3. Математика: Школьная энциклопедия. М.: Дрофа, 1997.

4. Энциклопедический словарь юного математика. М.: педагогика, 1989.

5. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Харьков, Харьковский университет, 1972.

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Приложение 6

Приложение 7

Приложение 8

Приложение 9

Приложение 10

Размещено на Allbest.ru