Методика организации и проведения уроков итогового повторения в 9 классе по теме: "Основные методы решения планиметрических задач" в плане подготовки к ГИА

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФГБОУ ВПО Нижегородский государственный педагогический университет

Факультет математики, информатики и физики

Кафедра математического анализа, теории и методики обучения математике

Методика организации и проведения уроков итогового повторения в 9 классе по теме: «основные методы решения планиметрических задач» в плане подготовки к ГИА

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

Нижний Новгород

2013



План

Введение

Глава I.

§ 1. Обобщающее повторение по математике: его цели, особенности организации и проведения

§ 2. Основные методы решения планиметрических задач школьного курса геометрии

§ 3. Специальные приёмы решения планиметрических задач школьного курса геометрии

Глава II.

§1. Тематическое планирование уроков

§2. Практическое исследование

Заключение

Список литературы



Введение

С 2004 года в Российской Федерации проводится апробация государственной (итоговой) аттестации (ГИА) выпускников девятых классов в новой форме.

В КИМ ГИА-9 в условиях апробации новой формы экзамена достигнута определенная стабильность (в целом год от года сохраняется структура и содержание КИМ ГИА по абсолютному большинству предметов). Необходимые корректировки структуры и содержания работы (изменение количества заданий, усиление практико-ориентированной составляющей, увеличение доли заданий, выполнение которых требует опоры на логическое мышление, умения делать выводы и т.п.) вносятся постепенно после широкого общественного обсуждения и апробационных исследований. При этом КИМ ГИА ежегодно совершенствуются по каждому общеобразовательному предмету: уточняются формулировки заданий и подходы к отбору экзаменационного материала, совершенствуется система оценивания отдельных заданий и экзаменационной работы в целом.

Основное отличие экзаменационной работы от модели, действовавшей в последние годы, заключается в том, что в ней отражены предложения по раздельному оцениванию алгебраической и геометрической подготовки учащихся с целью выставления отметок по курсу алгебры и курсу геометрии, а также усилен блок заданий по использованию приобретенных знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни. Работа включает три модуля - «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика».

Максимальное количество баллов, которое может получить экзаменуемый за выполнение всей экзаменационной работы, - 38 баллов. Из них - за модуль «Алгебра» - 17 баллов, за модуль «Геометрия» - 14 баллов, за модуль «Реальная математика» - 7 баллов. Модуль «Геометрия» содержит 8 заданий: в части 1 - 6 заданий базового уровня, в части 2 - 2 задания в одном из которых необходимо уметь проводить доказательные рассуждения при решении задач, а в другом уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами.

Рекомендуемый минимальный результат выполнения экзаменационной работы, свидетельствующий об освоении федерального компонента образовательного стандарта в предметной области «Математика», - 8 баллов, набранные в сумме за выполнение заданий всех трёх модулей, при условии, что из них не менее 3 баллов по модулю «Алгебра», не менее 2 баллов по модулю «Геометрия» и не менее 2 баллов по модулю «Реальная математика». Преодоление этого минимального результата даёт выпускнику право на получение, в соответствии с учебным планом образовательного учреждения, итоговой оценки по математике или по алгебре и геометрии.

В процессе обучения математике важное место отводится организации повторения изученного материала. Необходимость повторения обусловлена задачами обучения, требующими прочного и сознательного овладения ими. Одним из важнейших вопросов, способствующих дальнейшему повышению успеваемости, достижению глубоких и прочных знаний у учеников является вопрос о повторении ранее пройденного материала.

Без прочного сохранения приобретенных знаний, без умения воспроизвести в необходимый момент, ранее пройденный материал, изучение нового материала всегда будет сопряжено с большими трудностями и не дает надлежащего эффекта.

Проблема повторения широко обсуждается в литературе. Большое значение повторению учебного материала и упражнений придавали Я.А.Коменский, Н.И.Лобачевский, К.Д.Ушинский . Широко известны классификации повторений по различным признакам [О.А.Аракелян, М.К.Бишевский, Л.Ю. Березина и др. ], описаны приемы и методы организации повторения [Т.К.Авдеева, О.А.Аракелян, Г.В.Асауляк, О.К.Афанасьева, М.К.Бишевский и др. ]

Чтобы готовить учащихся к решению планиметрических задач необходимо проводить итоговое повторение по данной теме. Однако, в виду загруженности программы и нехватки часов итоговое повторение осуществляется не в полном объеме, или не осуществляется вовсе.

В свете вышесказанного следует, что, не смотря на всю важность и значимость курса планиметрии в школьной программе, большему количеству разработок в плане итогового повторения, процент верно выполненных планиметрических заданий в ГИА находится на низком уровне.

Всё это определяет актуальность проблемы исследования, которая заключается в разрешении указанного противоречия путём разработки научно-обоснованных методических рекомендаций по организации и проведению итогового повторения школьного курса математики.

Проблема исследования заключается в систематизации знаний учащихся и проведения итогового повторения курса планиметрии.

Объект исследования - Процесс обучения планиметрии учащихся основной школы.

Предмет исследования - Методическая система организации итогового повторения планиметрии и систематизация приемов и методов решения планиметрических задач.

Цель исследования - Обосновать необходимость итогового повторения, выяснить, какова роль итогового повторения курса планиметрии при подготовке к ГИА, выявить условия организации школьного курса планиметрии и на их основе разработать решение.

Гипотеза исследования: если в соответствии с систематизацией знаний и умений учащихся, организовать итоговое повторение по курсу планиметрии, включив основные методы решения планиметрических задач, то это будет способствовать более эффективной сдачи ГИА.

Исходя из сформулированной гипотезы для достижения цели исследования, были определены следующие задачи:

- провести анализ научно-методической, математической, психолого-педагогической литературы по теме исследования;

- выделить цели и особенности организации и проведения итогового повторения школьного курса математики;

- выделить основные и специальные методы решения планиметрических задач;

- разработать методические рекомендации по теме исследования;

- провести опытную проверку разработанной методики.

Проблема, цели, задачи обусловили выбор методов исследования:

- анализ научной, методической, математической литературы по теме;

- анализ результатов решения планиметрических задач в ГИА;

- проведение диагностики решения планиметрических задач;

Значимость состоит в том, что результаты и выводы исследования, содержание уроков итогового повторения могут быть использованы учителями при проведении уроков по разработанной тематике.



Глава I.

§ 1. Обобщающее повторение по математике: его цели, особенности организации и проведения

Повторение можно классифицировать в зависимости от содержания повторяемого материала: повторение, проводимое на уровне понятий, на уровне системы понятий, на уровне теорий. Это дает возможность осуществлять дифференцированный подход к учащимся, учитывать их возрастные и индивидуальные особенности [7]

Обобщающее повторение на уровне понятий в большей степени приемлемо в группе слабоуспевающих учащихся, а обобщающее повторение па уровне теорий -- в группе наиболее подготовленных учащихся. При работе со слабыми учащимися не следует пассивно приспосабливаться к их слабым сторонам, необходимо активно воздействовать на их умственное развитие, чтобы ученики постепенно переходили к наиболее оптимальному процессу обучения. Ученика, достигшего определенных положительных сдвигов в учении, надо как можно быстрее вводить в общий ритм работы класса, оказывая при этом необходимую помощь.

При обобщающем повторении на уровне понятий сопоставляются изученные понятия, школьники учатся переформулировать определения понятий через другую совокупность существенных признаков, давать определение понятию, принимая за основу (если это возможно) другое родовое понятие, отличное от того, которое содержалось в исходном определении понятия. В процессе этой работы у учащихся вырабатываются умения сравнивать понятия по схеме: выделение признаков понятий нахождение различных, а затем сходных признаков, сопоставление понятий по этим признакам. Основными методами работы на таких уроках являются методы наблюдения и сравнения.

Например, при повторении понятия касательная к окружности полезно, чтобы ученики свойство касательной (касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания) переформулировали в определение касательной: прямая, проходящая через точку окружности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной к окружности. Определение касательной (прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, называется касательной к окружности) переформулировали как свойство касательной: касательная с окружностью имеет одну общую точку.

При обобщающем повторении на уровне системы понятий отыскиваются новые связи и отношения между понятиями, прослеживается развитие определенных понятий в их иерархических зависимостях, при этом происходит либо обогащение и расширение понятий, либо образование новых. Обобщающее повторение на уровне системы понятий должно быть также направлено на выявление общих свойств группы понятий и на их распространение на другие понятия, при этом на первый план выдвигается анализ взаимосвязей понятий. Сначала следует выделить отношения, устанавливающие связи между элементами одного и того же класса математических объектов, затем отношения, устанавливающие связи между элементами различных классов. К ним следует отнести отношения тождества, несогласованности, подчинения, соподчинения, частичного совпадения.

Для того чтобы систематизированным знаниям была придана определенная структура, полезно также представить полученные результаты обобщения в виде классификационной схемы, сводных таблиц, определенных записей.

В схемах и таблицах выделяются не только элементы схемы, но и отражаются отношения между ними. Охватывая разом множество понятий, учащимся легче проследить за развитием узловых понятий, увидеть, в какие отношения вступает каждое из них с остальными. Схемы выступают как модель структуры учебного материала и как средство лучшего отражения этой структуры в сознании учения. Они помогают школьникам получить целостное представление об изученной порции учебного материала.

Приведем примеры схем, которые можно использовать при обобщающем повторении на уровне системы понятий.

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

При обобщающем повторении темы «Многоугольники» происходит сопоставление понятий треугольник, параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция, выясняются связи между ними. Эти понятия включаются в новые отношения, учащиеся устанавливают иерархию понятий. Результатом обобщения может служить схема, изображенная на рис. 1.

Методы работы с таблицами и схемами различны: учитель проводит беседу, выразив ее результаты в виде схемы; знакомит учащихся с планом беседы, а затем по этому плану проводит ее; знакомит учащихся со схемой, по которой они самостоятельно проводят обобщение, предлагает учащимся самостоятельно обобщить материал и выразить результаты в виде схемы. [12]

Рассмотрев эту схему с учащимися, учитель предлагает серию вопросов:

Как определить ромб через четырехугольник, квадрат через четырехугольник, квадрат через ромб?

Можно ли определить ромб через прямоугольник?

Что является пересечением множества всех прямоугольников и множества всех ромбов?

Методика организации работы учащихся по данной теме может быть и другой. Например, учитель может лишь определить цель работы и указать основные вопросы, на которые учащиеся должны найти ответы; определить не только цель работы и перечень вопросов, но и раскрыть этапы и методику работы над этими вопросами.

При обобщающем повторении на уровне теорий дается определенная трактовка изученным понятиям с позиции тех или иных фундаментальных теорий, входящих в содержание математических курсов, при этом строится единая, общая форма многообразия частных фактов, явлений понятий. Значительное внимание уделяется происхождению понятий. Школьники устанавливают общие закономерности, причинно-следственные отношения, обобщают и конкретизируют материал, применяют общие положения к конкретным фактам. Материал, выносимый на обобщающее повторение на уровне теорий, должен представлять собой логическую систему, вопросы которой объединены той или иной фундаментальной теорией.

Обобщающее повторение на уровне теорий освещает полученные знания не только в плане внутри предметных, но и меж предметных связей, так как многие понятия различных учебных предметов получают единую трактовку с позиций одной какой-либо теории.

Например, при повторении темы «Векторы» основное внимание следует уделить векторному методу решения задач. Сначала необходимо повторить основные теоретические факты: коллинеарность и равенство векторов, сложение, вычитание и умножение вектора на число. Основное время урока следует отвести для решения задач, показывающих применение векторов при доказательстве и решении задач.

Повторение можно организовать в ходе решения задач:

На стороне BC треугольника отмечена точка N так, что . Выразите вектор через векторы и .

Три точки A, B и C расположены так, что . Докажите, что для любой точки O справедливо равенство .

Доказать для того, чтобы C было серединой отрезка AB необходимо и достаточно выполнение векторного равенства .

Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям и равен полуразности оснований.

Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырехугольника, точкой пересечения делятся пополам.

Пусть , и - медианы треугольника , а произвольная точка. Докажите, что .

Дан четырехугольник и точка . Что представляет собой данный четырехугольник, если .

Заметим, что для того, чтобы повторение сыграло определенную положительную роль, нужно не эпизодическое, а систематическое, целенаправленное его использование после изучения различных тем, разделов и всего курса в целом. [13]

В контрольно-измерительные материалы единого итоговой государственной аттестации по математике за курс средней школы и государственного экзамена за курс основной школы включены задания по геометрии, результаты выполнения которых учитываются при определении порога успешности, то этот факт актуализирует своевременное изучение геометрии в полном объеме. Прежде всего, незнание фундаментальных метрических формул, а также свойств основных планиметрических фигур полностью лишает учащихся возможности применять свои знания по планиметрии при решении соответствующих задач ГИА и ЕГЭ.

В контрольно-измерительные материалы 2008 г. были включены задания по всем основным содержательным разделам курса планиметрии:

- «Треугольники» (прямоугольный треугольник, признаки равенства треугольников, решение косоугольного треугольника, подобие треугольников, площадь треугольника);

- «Четырехугольники» (параллелограмм и его виды, трапеция);

- «Правильные многоугольники» (четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник, восьмиугольник, девятиугольник, двенадцатиугольник);

- «Окружность» (длина окружности, площадь круга, касательная к окружности и её свойства; вписанная и описанная окружности);

- «Векторы».

В приведенной ниже таблице 1 представлено распределение заданий по разделам курса геометрии в зависимости от уровня сложности.

Таблица 1

№	Раздел	Вся работа	Часть 1 (базовый уровень)	Часть 2 (повышенный уровень)	Часть 3 (высокий уровень)
		Число заданий
1	Треугольники	5	3	1	1
2	Четырехугольники	5	3	2	0
3	Многоугольники	1	0	1	0
4	Окружность	3	2	0	1
5	Векторы	1	1	0	0

При разработке содержания экзаменационной работы учитывалась необходимость проверки овладения различными видами деятельности. При этом задания подбирались с учетом распределения по видам деятельности, представленного в таблице 2.

Таблица 2

	Виды деятельности	Кол-во заданий	% от максимального балла за всю работу
1	Знать и понимать	3	20
2	Применять знания и умения в знакомой ситуации	6	30
3	Применять знания и умения в измененной ситуации	4	25
4	Применять знания и умения в новой ситуации	2	25

Для учащихся, собирающихся продолжить обучение в старшей школе важно сформировать представление о геометрии как об аксиоматической науке. Это позволит им получить целостное представление о математике и иметь предпосылки для успешного обучения в будущем.

Для учителей математики будет полезна следующая система работы в 9-х классах во время подготовки к ГИА в новой форме. [10]

Введение государственной итоговой аттестации по математике в новой форме (ГИА) в 9 классе вызывает необходимость изменения в методах и формах работы учителя.

Данная необходимость обусловлена тем, что изменились требования к знаниям, умениям и навыкам учащихся в материалах экзамена по математике. Само содержание образования существенно не изменилось, но существенно сместился акцент к требованиям умений и навыкам. Изменилась формулировка вопросов: вопросы стали нестандартными, задаются в косвенной форме, ответ на вопрос требует детального анализа задачи. И это всё в первой части экзамена, которая предусматривает обязательный уровень знаний. Содержание задач изобилует математическими тонкостями, на отработку которых в общеобразовательной программе не отводится достаточное количество часов. В обязательную часть включаются задачи, которые либо изучались давно, либо на их изучение отводилось малое количество времени (проценты, стандартный вид числа, свойства числовых неравенств, задачи по статистике, чтение графиков функций), а также задачи, требующие знаний по другим предметам, например, по физике.

К сожалению, научно-методические службы не обеспечивают школы новыми, соответствующими современным требованиям, учебно-методическими комплексами, поэтому учителям приходится самим находить пути решения данной проблемы. И здесь уже однозначного решения нет: подготовленность детей разная, уровень классов разный. В этой ситуации в наиболее выгодном положении находятся классы с углубленным изучением математики.

Изменение тематического планирования. Составить планирование таким образом, чтобы осталось достаточное число часов на повторение всего учебного материала. Количество часов можно сэкономить на тех темах, которые не требуют выработки навыков, а проходят в плане ознакомления, а также сократить число часов на отработку навыков невостребованных тем. Это надо делать очень осторожно, тщательно проанализировав содержание экзаменационных работ.

Включать в изучение текущего учебного материала задания, соответствующие экзаменационным заданиям.

В содержание текущего контроля включать экзаменационные задачи.

Изменить систему контроля над уровнем знаний учащихся по математике

Итоговое повторение построить исключительно на отработке умений и навыков, требующихся для получения положительной отметки на экзамене.

Уроки повторения строятся следующим образом. На уроке разбираются типовые задачи по 2-3 темам. На дом задаются аналогичные задачи. На следующем уроке выясняются затруднения, которые возникли у учеников, прорабатывают эти задачи. Затем даётся проверочная работа. Ученики, не сдавшие зачёт, обязаны дома проработать дополнительный вариант и сдать зачёт на дополнительном занятии. Через определённое число уроков проводится тренировочная работа по целому блоку тем, анализируется, корректируется и проводится зачетная работа по данному блоку тем. Затем цикл повторяется по другим темам. После обобщающего повторения проводятся (две) предэкзаменационные работы в условиях, приближенных экзаменационным.

Важно, чтобы все ученики сдали обязательную часть зачетной работы. В зачётную работу можно (нужно) включать не только обязательные задания, но и более сложные (для подготовленных учеников).

Подготовка ко второй части работы осуществляется как на уроках, так и во внеурочное время на элективных курсах. Используются сборники для подготовки к экзаменам, рекомендованные ФИПИ и МИИО.

Важным условием успешной подготовки к экзаменам является тщательность в отслеживании результатов учеников по всем темам и в своевременной коррекции уровня усвоения учебного материала.

Конечно же, данная система требует большего количества времени учителя на подготовку к урокам, на проверку работ, на проведение дополнительных занятий. Но, если учитель заинтересован в результатах своего труда, то ему в любом случае необходимо совершенствовать систему контроля над уровнем знаний и умений учащихся.

Основными целями математического образования являются:

- интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для полноценной жизни в обществе;

- овладение конкретными математическими знаниями, умениями и навыками, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования;

- воспитание личности в процессе освоения математики и математической деятельности;

- формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания действительности.

В основу отбора содержания общего математического образования положен принцип реализации поставленных целей на небольшом по объему информационно емком и практически значимом материале, доступном для учащихся школьного возраста. При этом представляется необходимым руководствоваться принципом преемственности, или разумного консерватизма, что обусловлено в первую очередь тем объективным фактом, что традиционное содержание обучения математике, сложившееся в течение многих десятилетий, отражает тот объем математических знаний, которые, с одной стороны, являются фундаментом математической науки, а с другой - доступны учащимся. Принцип преемственности должен сочетаться с современными тенденциями развития отечественной и зарубежной школы.

Геометрические фигуры, измерение геометрических величин, изучение геометрии подвергается весьма существенному пересмотру, предлагается отказаться от строго дедуктивного построения курса, усилив внимание к его наглядно - эмпирическому аспекту.

Проблемой обучения учащихся решению планиметрических задач занимались математики: Семенов А.В., Трепалин А.С., Ященко И.В., Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. и др. Много было выпущено литературы для подготовки к ГИА этими математиками. Так же и для этого года выпущена специальная литература: «ГИА 2013. Математика. Семенов А.В., Трепалин А.С., Ященко И.В. и др. (2013, 88с.)», «Математика. 9 класс. Тренажер по новому плану ГИА. Алгебра, геометрия, реальная математика. Под ред. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. (2013, 160с.)», «ГИА. Математика. 9 класс. Практикум по выполнению типовых тестовых заданий. Реальные тесты. Лаппо Л.Д., Попов М.А. (2013, 80с.)» и др.

Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2013 году государственной (итоговой) аттестации (в новой форме) по МАТЕМАТИКЕ обучающихся, освоивших основные общеобразовательные программы основного общего образования:

Модуль «Геометрия».

Часть 1. В этой части экзаменационной работы содержатся задания по всем ключевым разделам курса геометрии основной школы, отраженным в кодификаторе элементов содержания. Распределение заданий по разделам содержания приведено в таблице 3.

Табл. 3. Распределение заданий части 1 по разделам содержания

Код по КЭС	Название раздела содержания	Число заданий
1	Числа и вычисления	2
2	Алгебраические выражения	2
3	Уравнения и неравенства	2
4	Числовые последовательности	1
5	Функции и графики	1

Табл. 4. Распределение заданий части 1 по КЭС

Код по КЭС	Название раздела содержания	Число заданий
7.1	Геометрические фигуры и их свойства	1
7.2	Треугольник	1
7.3	Многоугольники	1
7.4	Окружность и круг	1
7.5	Измерение геометрических величин	1

Требования к уровню подготовки выпускников, соответствующие Федеральному компоненту государственного образовательного стандарта, зафиксированы в кодификаторе требований (КТ).

Табл. 5. Распределение заданий части 1 по требованиям

Код по КТ	Название	Число заданий
5	Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами	4
7.8	Проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать ошибочные заключения	1

Требования к уровню подготовки выпускников распределяются по следующим категориям познавательной деятельности:

знание/понимание (владение терминами; распознавание); применение знаний для решения математической задачи (умение решить геометрическую задачу, предполагающую применение системы знаний, включение известных понятий, приемов и способов решения в новые связи и отношения, распознавание стандартной задачи в измененной формулировке);

рассуждение (умение оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать ошибочные заключения).

Табл. 6. Распределение заданий части 1 по категориям познавательной деятельности

Категория познавательной деятельности	Число заданий
Знание /понимание	1
Применение знаний для решения математической задачи	3
Рассуждение	1

Часть 2. Задания второй части экзаменационной работы направлены на проверку таких качеств геометрической подготовки выпускников, как:

- умение решить планиметрическую задачу, применяя различные теоретические знания курса геометрии;

- умение математически грамотно и ясно записать решение, приводя при этом необходимые пояснения и обоснования;

- владение широким спектром приемов и способов рассуждений.

Все задания Части 2 базируются на содержании, регламентируемом Федеральным компонентом государственного стандарта общего образования по математике. Распределение заданий по разделам кодификаторов элементов содержания и требований к уровню подготовки выпускников представлено в таблицах 7 и 8.

Табл. 7. Распределение заданий части 2 по разделам содержания

Код по КЭС	Название раздела содержания	Число заданий
7	Геометрия	3



Табл. 8. Распределение заданий части 2 по требованиям

Код по КТ	Название	Число заданий
7.8	Проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать ошибочные заключения	1
5	Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами	2

[http://www.fipi.ru/view/sections/227/docs/628.html]

Итоговое повторение помогает ученикам 9 класса наиболее успешно сдать ГИА. Важно отметить за модуль «Геометрия» можно получить 14 баллов, а все задания в данном модуле относятся к школьному разделу планиметрии. Большинство учеников к 9 классу забывают основные понятия курса планиметрии, не говоря уже о формулах, поэтому при итоговом повторении курса планиметрии ученики вспоминают основные понятия и формулы, что позволит им применить их на при сдаче ГИА.

§ 2. Основные методы решения планиметрических задач школьного курса геометрии

Начну рассматривать методы решения планиметрических задач с анализа основной математической литературы по геометрии.

Геометрия. 7 - 9 классы. Учеб. для общеобразоват. учреждении / [Атанасян Л.С. и др.] 20-е изд. - М.: Просвещение, 2010. - 384 с.

В данном учебнике понятию треугольник отведена целая глава в которой рассматривается понятие треугольника, первый - третий признаки равенства треугольников, медианы треугольника, биссектрисы треугольника, высоты треугольника, также предложены задачи на построение. Четырех угольникам также выделяется целая глава в которую входят три параграфа. В первом параграфе рассматривается понятие многоугольника, выпуклый многоугольник, четырехугольник. Во втором параграфе рассматривается понятие параллелограмма и трапеции. В третьем понятие прямоугольника, ромба, квадрата, осевой и центральной симметрии. Так же в учебнике понятию подобные треугольники выделена глава. В главе окружность выделены параграфы: касательная к окружности, центральные и вписанные углы, четыре замечательные точки треугольника, вписанная и описанная окружности. Так же целая глава уделена методу координат.

Геометрия. 7 - 9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждении / А.В. Погорелов. - 10 - е изд. - М.: Просвещение, 2009 - 224 с.

Данный учебник неразбит на главы, он делиться на классы с 7 по 9, и в нем выделены параграфы в которых приведены пункты по темам. 7 КЛАСС:

В § 1. Основные свойства простейших геометрических фигур выделен пункт посвящённый треугольнику и существованию треугольника. В § 3 рассматриваются «Признаки равенства треугольников»: первый признак равенства треугольников; второй признак равенства треугольников; равнобедренный треугольник; обратная теорема; высота, биссектриса и медиана треугольника; свойство медианы равнобедренного треугольника; третий признак равенства треугольников. § 4 называется «Сумма углов треугольника» в нем следующие подпункты: параллельность прямых; углы, образованные при пересечении двух прямых секущей; признак параллельности прямых; свойство углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей; сумма углов треугольника; внешние углы треугольника; прямоугольный треугольник; существование и единственность перпендикуляра к прямой. В § 5 «Геометрические построения» рассматривается понятие окружности, так же окружность, описанная около треугольника, касательная к окружности, окружность, вписанная в треугольник, построение треугольника с данными сторонами.

8 КЛАСС начинается с § 6 «Четырехугольники» в нем рассматриваются: определение четырехугольника; параллелограмм; свойство диагоналей параллелограмма; свойство противолежащих сторон и углов параллелограмма; прямоугольник; ромб; квадрат; теорема Фалеса; средняя линия треугольника; трапеция; теорема о пропорциональных отрезках. В § 7 рассматривается Теорема Пифагора. 9 КЛАСС начинается с § 12 «Решение треугольников» в нем рассматривается теорема косинусов, теорема синусов, соотношение между углами треугольника и противолежащими сторонами, решение треугольников. Следующий § 13 «Многоугольники» в нем рассматриваются понятия: ломаная; выпуклые многоугольники; правильные многоугольники; формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников; построение некоторых правильных многоугольников; подобие правильных выпуклых многоугольников; длина окружности.

Так же стоит рассмотреть специальную литературу по данной теме:

Кузнецова Л.И., Кириллова С.В., Огурцова О.К. Элементарная математика: геометрические фигуры и их свойства в задачах на доказательство и вычисление: Учебно - методическое пособие для студентов факультета математики, информатики и физики. Н. Новгород: НГПУ, 2011. 71с.

В данном методическом пособии содержится три дидактические единицы: геометрия треугольника, геометрия четырехугольника и геометрия окружности. В разработке каждой дидактической единицы представлено следующее содержание: систематизированный теоретический материал; задачи иллюстрирующие применение этого материала; комментарии к поиску и решению ключевых задач, в котором отражены основные методы и приемы поиска решения задачи. Данное методическое пособие позволяет повторить основные теоритические положения связанные с понятием треугольника, четырехугольника и окружностью.

Гордин Р.К. Геометрия. Планиметрия. 7 - 9 классы. - 3 - е изд., испр. - М.: МЦНМО, 2006. - 416 с.: ил.

Настоящий сборник задач по геометрии является дополнительным материалом к действующим школьным учебникам. Всего в сборнике более 1250 задач, которые распределены по трем уровням сложности. Задачи каждого уровня не требуют знаний, выходящих за рамки школьной программы. В то же время, если для решения задач первого уровня достаточно добротного знания материала учебника, то задачи второго и тем более третьего уровня подразумевают повышенный интерес к геометрии и более глубокое владение умениями и навыками, полученными на уроках. Задачи второго уровня рассчитаны на наиболее сильных учеников обычного класса и на учеников классов с углубленным изучением математики. Задачи третьего уровня довольно трудны. Большинство из них в разное время предлагалось на различных математических олимпиадах. В начале каждого параграфа приведены основные факты, необходимые для решения содержащихся в нем задач. Приводятся также примеры типичных задач с решениями. Ко всем задачам на вычисление даются ответы. К наиболее важным с точки зрения составителя задачам (не обязательно наиболее трудным) приводятся решения или указания. Ключевые задачи отмечены «ноликом». Как правило, утверждения, содержащиеся в таких задачах, являются основой для решения целых циклов содержательных задач школьной геометрии. Книга адресована школьникам, желающим самостоятельно научиться решать задачи по геометрии. Кроме того, она может быть эффективно использована учителем для работы на уроках, а также для подготовки к ГИА.

ГИА 2013. Математика. Семенов А.В., Трепалин А.С., Ященко И.В. и др. М.: 2013 - 88 с.

Сборник содержит более 500 заданий, аналогичные заданиям базового уровня Государственной итоговой аттестации по математике 2013 года и более 100 задач повышенного уровня по алгебре и геометрии. Задания базового уровня разбиты по модулям: алгебра, геометрия, реальная математика. Задания повышенного уровня даны по модулям: алгебра, геометрия. В книге даны четыре тренировочных варианта, соответствующие демонстрационному варианту ГИА 2013 года. Книга позволит не только подготовиться к решению заданий базового уровня ГИА по всем трем модулям, но и закрепить знания школьного курса математики в процессе обучения. Ко всем заданиям приведены ответы. Сборник адресован учащимся девятых классов для подготовки к ГИА по математике. Пособие будет полезно учителям, учащимся старших классов, их родителям, а также методистам.

ГИА. Математика. 9 класс. Практикум по выполнению типовых тестовых заданий. Реальные тесты. Лаппо Л.Д., Попов М.А. М.: 2013 - 80 с.

Практикум по математике содержит 10 вариантов типовых тестовых заданий Государственной итоговой аттестации (в новой форме). Назначение пособия -- отработка практических навыков учащихся при подготовке к экзамену (в новой форме) в 9 классе по математике. В сборнике даны ответы на все варианты тестов, также приводятся решения всех заданий одного из вариантов. Приведена подробная инструкция по проверке и оценке работ учащихся. Пособие предназначено для учителей, методистов и учащихся 9 классов основной школы, использующих тесты для подготовки к Государственной итоговой аттестации (в новой форме).

Анализ литературы позволил выделить следующие основные методы решения планиметрических задач.

Метод дополнительных построений (конструктивный)

Суть метода дополнительных построений заключается в том, что чертеж к задаче, на котором трудно заметить связи между данными и искомыми величинами, дополняется новыми (вспомогательными) элементами, после чего эти связи становятся более ощутимыми или даже очевидными.

Существуют задачи, в которых дополнительное построение определяет единственный способ решения; в них решение, как правило, начинается с такого построения. В других задачах используется смешанный прием решения, когда дополнительное построение реализует лишь часть решения. В третьих задачах оно применяется как один из возможных методов наряду с другими, хотя может и не являться лучшим. Во многих случаях применение дополнительного построения делает решение задачи устным. Приведу пример задачи представленной в демонстрационном варианте ГИА, которая решается с помощью дополнительного построения:

В окружности с центром О проведены две равные хорды АВ и СD. На эти хорды опущены перпендикуляры ОК и ОL соответственно. Докажите, что ОК и ОL равны.

Решение: Проведём радиусы ОА, ОВ, ОС, ОD. Треугольники АОВ и СОD равны по трём сторонам. ОК и ОL -- их высоты, проведённые к равным сторонам, следовательно, они равны как соответственные элементы равных треугольников.

Часто решающий задачу интуитивно использует дополнительное построение, но, не выделяя его как метод, может не увидеть целесообразности его применения в других, более сложных или даже аналогичных задачах.

Как узнать, какое дополнительное построение следует выполнять в том или ином случае? Ответ на этот вопрос дает своего рода классификация дополнительных построений, связанная с характерными признаками фигуры, данной в задаче. Тщательный анализ решений достаточно большого количества задач, в которых дополнительное построение используется прямо или косвенно, показал, что целесообразность применения того или иного дополнительного построения зависит от этих признаков.

Дополнительное построение 1. Если в треугольнике задана медиана, то треугольник достраивается до параллелограмма с центром в основании этой медианы (рис. 1).

В зависимости от содержания задачи такое достраивание можно выполнять для одной, двух или даже трех медиан. При этом возможно использование не всего параллелограмма, а лишь его части (например, треугольника ABA2).

Задача №1. Две стороны треугольника равны 27 и 29, а медиана, проведенная к третьей стороне равна 26. Найти высоту, проведенную к стороне 27.

Дано:

?ABC, AB=27,BC=29,BO=26

CD ? высота

BO ? медиана

Найти CD.

Решение:

1. Дополнительное построение: строим OE=BO, ABCE-

параллелограмм (по признаку) BC=AE=29. AB=EC=27

2. S?ABC= S?ABE

3.S?ABE=(по формуле Герона)

S?ABE=

S?ABC=, , CD=20

Ответ: 20

Дополнительное построение 2. Если дана трапеция, то ее диагональ или боковая сторона параллельно переносятся (рис. 2).

Задача №2. Найти высоту равнобедренной трапеции, если её диагонали взаимно перпендикулярны, а площадь трапеции равна S.

Дано:

ABCD? равнобедренная трапеция

AC и BD ? диагонали

ACBD

S ? площадь трапеции

Найти h ? высоту трапеции

Решение:

1. Дополнительное построение: строим CE||BD

2. равнобедренный (т.к AC=BD, BD=CE,AC=CE)

3. прямоугольный (т.к COBD, BD||CECECO)

4. Проводим высоту CF - она является медианой и биссектрисой

AE=2AF=2h

Sтр.=

BC+AD=AE (т.к BCED- параллелограмм) BC=DE

Sтр.= h=

Ответ:

Дополнительное построение 3. продолжить на 1/3 длины всей медианы и достроить до параллелограмма

B

E

A1

O

A B1 C

Задача №3. Длина треугольника выражается формулой a=2/3v2(mb2+mc2)-ma2 ; где ma, mb, mc, длины медиан треугольника. Докажите.

Доказательство:

Отметим на медиане AD точку O пересечения медиан треугольника; согласно свойству (три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины треугольника), она делит AD в отношении AO:OD=2:1

Продолжим OD на расстояние DF=OD=1/3ma и соединим точку F с B и C

Теперь составим уравнение, связывающее длины сторон BO=2/3mb, CO=2/3mc и диагоналей OF=2/3ma, BC=a параллелограмма OBFC

(2/3ma)2+a2=2((2/3mb)2+(2/3mc)2)

a=2/3v2(mb2+mc2)-ma2

что и требовалось доказать.

Дополнительное построение №4. Если в задаче дана длина всех трёх медиан, то как правильно, для того чтоб найти площадь треугольника, продолжают все медианы на1/3 её длины и достраивают до параллелограмма.

Задача №4. Медианы треугольника ABC, AA1=3см, BB1=4см, CC1=5 см Найти площадь треугольника ABC

Решение:

Продолжим медианы AA1 BB1 и CC1 на длину отрезков A1E, B1N, C1M равные по длине OA1, OB1, OC1 соответственно получим шесть равновеликих треугольников MBO, MOA, AON, NOC, COE, OEB стороны которых равны 2/3 длины медиан

SOBE=

BO=mb; OE=AA1; BE=mc

BO=·4= OE=·3=2

BE=·5= S=

SBOC=SBOA1+SCOA1=SBOA1+SBA1E=SBOE

SABC=3SBOE

SABC=8cм

Ответ 8 cм

Дополнительное построение 5. Если дан четырехугольник, у которого суммы противоположных сторон равны, то в него вписывается окружность.

Задача №5. В трапеции ABCD (AB и CD основания) меньшее основание равно a, углы, прилежащие к этому основанию, равны , а диагонали взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции.

Дано:

ABCD - трапеция

AB и CD - основания

Найти S трапеции

Решение:

1.Дополнительное построение: строю описанную окружность (т.к трапеция равнобедренная, то можно описать окружность)

2.Sтр.=

3. Пусть QB=x, AB=2x (т.к ), AQ=y

По теореме Пифагора:

5. BQ=QC=x

По теореме Пифагора из BQC:

x+x=a

6. AQ=QD=y

По теореме Пифагора из AQD:

7. BD=BQ+QD=

8. S=

Ответ: [8]

Аналитические методы

Один из основных аналитических методов решения планиметрических задач является векторный метод. Примерная схема решения геометрических задач векторным методом:

- Прочитать задачу, выделить условие и требование задачи, выполнить чертёж.

- Ввести в рассмотрение векторы (выбрать базис - два неколлинеарных вектора на плоскости, три некомпланарных вектора в пространстве).

- «Перевести» геометрическое условие задачи на язык векторов. Векторы, необходимые для решения, выразить через базисные.

- «Перевести» геометрическое требование задачи на язык векторов (можно устно).

- С помощью векторной алгебры (преобразований векторных выражений) перейти от векторного условия задачи к требованию.

- Полученному векторному выражению дать геометрическое истолкование. [ лекции по ТиМОМ НГПУ 2012 год]

С помощью данного метода можно решать геометрические задачи представленные во второй части модуля «Геометрия». Приведу пример одного из решений основанного на данном методе:

Задача№ 6. На катетах прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С построены квадраты АСQP и BCRS. Точка М середина гипотенузы АВ. Доказать, что отрезки СМ и QR перпендикулярны.

Решение:

1) Так как М середина АВ, то = •(+)

2) =

3) • = (+) • ( ) = ( • • + • • )

Так как CA и CQ перпендикулярны, то • =0; аналогично • =0.

Учитывая это, получим: • = ( • • ) =

= (CA• CR •cos180° - CB• CQ •cos180°) = (CA• CR+CB• CQ)

А так как CR=CB и CQ=CA, то • = (CB• CA-CA• CB)=0.

4) Итак, • = 0, поэтому отрезки QR и CM перпендикулярны.

Что и требовалось доказать.

Также к аналитическому методу относиться метод координат с помощью которого можно решать планиметрические задачи в ГИА;

Примерная схема решения геометрических задач методом координат:

- Прочитать задачу, выделить условие и требование задачи, выполнить чертёж.

- Выбрать систему координат (наиболее рациональным способом).

- Записать координаты точек, необходимых для решения. «Перевести» геометрическое условие задачи на язык координат.

- «Перевести» геометрическое требование задачи на язык координат (можно устно).

- С помощью алгебраических преобразований перейти от условия задачи к требованию.

- Полученному алгебраическому выражению дать геометрическое истолкование. [ лекции по ТиМОМ НГПУ 2012 год]

Приведу пример одного из решений основанного на данном методе:

Задача №7. В прямоугольном равнобедренном треугольнике проведены медианы острых углов. Вычислите косинус угла между ними.

Решение: 1. Введем систему координат так, в этом случае вершины треугольника будут иметь координаты: С(0,0), А(а,0), В(0,а), а середины катетов: . (Здесь а - длина катета.)

2. Вычислим координаты векторов и .

3. Теперь используем формулу для вычисления косинуса угла между векторами. (Этот угол совпадает с углом между медианами.)

Ответ: .

Данные методы решения планиметрических задач помогут учащимся наиболее продуктивно подготовится к решению модуля «Геометрия». Ученик должен ознакомиться с определенным набором достаточно трудных геометрических задач, научиться решать задачи, следуя известным образцам. В геометрии в отличие от алгебры алгоритмов очень мало, почти нет. Поэтому при обучении возрастает значение опорных задач, обобщающих полезный факт, либо иллюстрирующий метод или прием.

§ 3. Специальные приёмы решения планиметрических задач школьного курса геометрии

повторение математика планиметрический урок

Метод площадей

Метод площадей (формулы площадей треугольников, многоугольников, свойства площадей используются при решении задач и доказательстве теорем, в условиях и требованиях которых ничего не говорится о площадях.)

Основные приемы:

- Линейные (угловые) элементы и соответствия между ними можно найти, применяя различные формулы для вычисления площади треугольника (многоугольника).

- Если треугольник (многоугольник) разбит на несколько треугольников, то можно использовать свойство о том, что сумма площадей частей равна площади исходного многоугольника.

- Отношение отрезков можно заменить отношением площадей треугольников.

- Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то можно использовать тот факт, что отношение произведений сторон, заключающих равные углы, равно отношению площадей соответствующих треугольников.

- При доказательстве геометрических неравенств можно использовать неравенство для треугольника: 2s<аb. [9]

Также можно использовать теоремы позволяющие решать планиметрические задачи:

Теорема 1. Если треугольники имеют общую вершину и их основания лежат на одной прямой, то площади треугольников пропорциональны длинам их оснований :

Задача №8. В треугольнике АВС проведены медианы, М - точка их пересечения. Найти площадь треугольника АВМ, если площадь исходного треугольника равна 9.

Решение:

Теорема 2. Если треугольники имеют общую сторону, то их площади пропорциональны длинам отрезков, высекаемых продолжением их общей стороны на прямой, соединяющей их вершины:

Задача №9. Диагонали разделили четырехугольник на треугольники, площади трех из которых равны 10, 15 и 24. Найти площадь четвертого треугольника.

Решение:

В современных учебниках, пособиях и различного рода задачниках, к сожалению, уделяется мало внимания психологическим факторам, влияющим на успешность обучения математике. А именно, воспитание у учащихся уверенности в своих силах, развитие умения пользоваться прошлым опытом.

Берутся два общеизвестных утверждения, которые являются базовыми. На основе этих утверждений выстраиваются две «цепочки» задач по нарастающему уровню сложности. Решения задач в этих «цепочках» основаны на базовых утверждениях и на решении предыдущих задач.

Утверждение 1. Два треугольника являются равновеликими, если равны их высоты и основания.

Задача 10. Докажите, что диагональ параллелограмма делит его на два равновеликих треугольника.

Решение: Высоты треугольников ABD и BCD равны. AD = BC (по свойству параллелограмма). Тогда в силу утверждения 1 S^ABD = S^BCD

Задача 11. На стороне CD параллелограмма ABCD взята произвольная точка Е. Зная, что S^ABE = S, найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение: Проведем дополнительное построение: КЕ¦AD. Тогда из задачи 1 следует, что S^KBE = S^CBE, а S^AKE = S^ADE . Отсюда SABCD = 2S.

Задача 12. В параллелограмме ABCD на сторонах AB и CD взяты произвольные точки M и N. Докажите, что площадь четырехугольника KMEN равна площади четырех образовавшихся треугольников.

Решение: Проведем отрезок КЕ. Тогда в силу задачи 2 S^KME = S^KMB + S^MEC, а S^KNE = S^AKN + S^EDN

 Отсюда S^KMEN = S^KMB + S^MEC + S^KNE + S^EDN

Задача 13. Внутри параллелограмма ABCD взята произвольная точка О. Зная площадь трех треугольников с вершиной в точке О, найдите площадь четвертого треугольника.

Решение: Пусть S^ADO = S1, S^ABO = S2,

S^BOC = S3. Произведем дополнительное построение: КЕ¦АВ.

Введем следующие обозначения:

S^EOD = a, S^KCO = b, S^BKO = c, S^AEO = d.

Тогда S2 = с +d , S^DOC = a + b, S1 + S3 = a + b + c + d . 

Отсюда S^DCO = S1 + S3 - S2

Задача 14. Каждая диагональ четырехугольника делит его на треугольники одинаковой площади. Докажите, что это параллелограмм.

Решение: Из условия следует, что верны равенства: S1 + S2 = S3 + S4 и S1 + S4 = S3 + S2 . Откуда получим, что S1 = S3, а S2 = S4. Отметим, что S2:S1= AO:ОС, S4:S3=AO:OC. Кроме этого, соответствующие высоты треугольников BOC, COD и AOB, AOD равны, соответственно, площади относятся как длины оснований. Из того, что S1 = S3 и S2 = S4. следует, что AO:OC =AO:OC. Следовательно, AO = OC. Аналогично можно доказать, что BO = OD . Можно сделать вывод, что диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, а это значит, что ABCD - параллелограмм.

Нестандартные решения стандартных задач помогают воспитать заинтересованный подход к изучению материала. Основной специальный метод решения планиметрических задач это метод площадей, который позволяет решать задачи в которых присутствует понятие площади. Данный метод решения используется при решении планиметрических задач первой части в ГИА, также его знание может пригодится на экзамене и в других задания нахождения элементов через площадь фигуры, так как каждый год в содержании заданий происходит изменение.

Вывод к первой главе

Подготовка к государственной итоговой аттестации (ГИА) - неотъемлемая часть современного курса математики. Задачи по геометрии занимают примерно третью часть всех заданий КИМов. Геометрия является очень мощным средством развития личности в самом широком диапазоне.

Большинство учеников к 9 классу забывают основные понятия курса планиметрии, не говоря уже о формулах, поэтому при итоговом повторении курса планиметрии ученики вспоминают основные понятия и формулы, что позволит им применить их на при сдаче ГИА. Итоговое повторение позволяет ученикам в полной мере подготовиться к экзамену.

Основные методы решения планиметрических задач помогут учащимся наиболее продуктивно подготовится к решению модуля «Геометрия». Ученик должен ознакомиться с определенным набором достаточно трудных геометрических задач, научиться решать задачи, следуя известным образцам. В геометрии в отличие от алгебры алгоритмов очень мало, почти нет. Поэтому при обучении возрастает значение опорных задач, обобщающих полезный факт, либо иллюстрирующий метод или прием.

Нестандартные решения стандартных задач помогают воспитать заинтересованный подход к изучению материала, используя специальный метод решения планиметрических задач это метод площадей, который позволяет решать задачи в которых присутствует понятие площади. Данный метод решения используется при решении планиметрических задач первой части в ГИА.



Глава II.

§1. Тематическое планирование уроков

Проводить итоговое повторение по планиметрии очень важно. Однако, в виду загруженности программы и нехватки часов итоговое повторение осуществляется не в полном объеме, или не осуществляется вовсе. Поэтому нужно ознакомиться с тематическим планированием и постараться выделить в нем время для проведения повторения планиметрии. Лишь малый процент учеников решает задачи из второй части модуля «Геометрия», на это стоит обратить внимание и непросто «натаскать» учеников на решение задач, а научить осознано решать типологические задачи используя основные методы решения планиметрических задач.

Основной тип литературы по подготовке к ГИА направлен на «натаскивание» учеников решения задач, нет в литературе теоритических пояснений к решению задач, не выделены методы с помощью которых решаются задачи, а также можно решить данные задачи. В связи с этим нужно обратить внимание на построение плана повторения.