И. Лакатос уделяет внимание проблеме научного формализма. В своих ранних работах (из которых наиболее известная "Доказательства и опровержения") [1]. Лакатос предложил вариант логики догадок и опровержений, применив ее в качестве рациональной реконструкции развития знания в математике XVII-XIX вв. Уже в этот период он четко заявил о том, что "догматы логического позитивизма гибельны для истории и философии математики. История математики и логика математического открытия, т.е. филогенез и отнтогенез математической мысли не могут быть развиты без критицизма и окончательного отказа от формализма" [1].

Последнему (как сути логического позитивизма) Лакатос противопоставляет программу анализа развития содержательной математики, основанную на единстве логики доказательств и опровержений. Этот анализ и есть не что иное как логическая реконструкция реального исторического процесса научного познания.

И. Лакатос пишет, что в истории мысли часто случается, при появлении нового мощного метода быстро выдвигается на авансцену изучение задач, которые этим методом быть решены, в то время как все остальные игнорируются, даже забываются, а изучением его пренебрегают.

Он утверждает, что именно это как будто произошло в нашем столетии в области философии математики в результате ее стремительного развития.

Предмет математики состоит в такой абстракции математики, когда математические теории заменяются формальными системами, доказательства - некоторыми последовательностями хорошо известных формул, определения - "сокращенными выражениями, которые "теоретически необязательны, но зато типографически удобны".

Такая абстракция была придумана Гильбертом, чтобы получить мощную технику исследования задач методологии математики. Но в месте с тем И. Лакатос отмечает, что существуют задачи, которые выпадают из рамок математической абстракции. В их числе находятся все задачи, относящиеся к "содержательной" математике и ее развитию, и все задачи, касающиеся ситуационной логики и решения математических задач. Термин "ситуационная логика" принадлежит Попперу. Этот термин обозначающий логику продуктивную, логику математического творчества.

Школу математической философии, которая стремиться отождествить математику с ее математической абстракцией (а философию математики - с метаматематикой), И. Лакатос называет "формалистской" школой. Одна из самых отчетливых характеристик формалистской позиции находится у Карнапа. Карнап требует, чтобы:

а) философия была заменена логикой науки., но

б) логика науки представляет не что иное, как логический синтаксис языка науки.,

в) математика является синтаксисом математического языка.

Т.е. философию математики следует заменить метаматематикой [7].

Формализм по мнению И. Лакатоса отделяет историю математики от философии математики, собственно говоря истории математики не существует. Любой формалист должен быть согласен с замечанием Рассела, что "Законы мысли" Буля (Boole, 1854) были "первой книгой когда-либо написанной по математике. Формализм отрицает статус математики для большей части того, что обычно понималось как входящее в математику, и ничего не может сказать об ее "развитии". "Ни один из "критических" периодов математических теорий может быть допущен в формалистическое небо, где математические теории пребывают как серафимы, очищенные от всех пятен земной недостоверности. Однако формалисты обычно оставляют открытым небольшой черный ход для падших ангелов; если для каких-нибудь "смесей математики и чего-то другого" окажется возможным построить формальные системы, "которые в некотором смысле включают их", то они могут быть тогда допущены" [1].

При современном господстве формализма И. Лакатос перефразирует Канта: история математики, лишившись руководства философии, сделалась слепой, тогда как философия математики, повернувшись спиной к наиболее интригующим событиям истории математики, сделалась пустой.

По мнению Лакатоса "формализм" предоставляет крепость логической позитивистской философии. Если следовать логическому позитивизму, то утверждение имеет смысл только, если оно является "тавтологическим" или эмпирическим. Так как содержательная математика не является ни "тавтологической" ни эмпирической, то она должна быть бессмысленной, она - чистый вздор. Здесь он отталкивается от Тюркетта, который в споре с Копи утверждает, что положения Геделя не имеют смысла. Копи считает, что эти положения являются "априорными истинами", но не аналитическими, то они опровергают аналитическую теорию априорности [1].

Лакатос отметил, что никто из них не замечает, что особый статус положений Геделя с этой точки зрения состоит в том, что эти теоремы являются теоремами неформальной содержательной математики и что в действительности они оба обсуждают статус неформальной математики в частном случае. Теории неформальной математики определенно являются догадками, которые вряд ли можно разделить на априорные и апостериорные. Т.о. догматы логического позитивизма гибельны для истории и философии математики.

И. Лакатос в выражении методология науки, употребляет слово "методология" в смысле, близком к "эвристике" Полья и Бернайса и к "логике открытия" или "ситуационной логике" Поппера. Изъятие термина "методология математики" для использования в качестве синонима "метаматематики" имеет формалистический привкус. Это показывает, что в формалистской философии математики нет настоящего места для методологии как логики открытия. Формалисты считают, что математика тождественна формализованной математике.

Он утверждает, что в формализованной теории можно открыть два ряда вещей:

1. можно открыть решение задач, которые машина Тьюринга (она представляет собой конечный список правил или конечное описание процедуры в нашем интуитивном понимании алгоритма) при подходящей программе может решить за конечное время. Но ни один математик не заинтересован в том, что бы следить за этим скучным механическим "методом", предписываемый процедурами такого решения.

2. можно найти решения задач вроде: будет ли теоремой или нет некоторая формула теории, в которой не установлены возможность окончательного решения, где можно руководствоваться только "методом" неуправляемой интуиции и удачи [1].

По мнению И. Лакатоса, для живой математики непригодна эта мрачная альтернатива машинного рационализма и иррационального отгадывания вслепую. Исследователь неформальной математики дает творческим математикам богатую ситуационную логику, которая не будет ни механической, ни иррациональной, но которая никак не может получить признания и поощрения формалистской философии.

Но все таки он признает, что история математики и логика математического открытия, т.е. филогенез и онтогенез математической мысли, не могут быть развиты без критицизма и окончательного отказа от формализма.

Формалистическая философия математики имеет очень глубокие корни. Она представляет последнее звено в длинной цепи догматических философий математики. Более двух тысяч лет идет спор между догматиками и скептиками. Догматики утверждают, что силой нашего человеческого интеллекта и чувств, или только одних чувств, мы можем достичь истины и узнать, что мы ее достигли. Скептики, утверждают, что мы совершенно не можем достичь истины, или что ели даже сможем ее достичь, то не сможем знать, что мы ее достигли. В этом споре математика была гордой крепостью догматизма. Большая часть скептиков примерилась с неприступностью этой крепости догмастской теории познания.И. Лакатос утверждает, что бросить этому вызов - давно уже стало необходимым [1].

Таким образом цель данной книги И. Лакатоса - вызов математическому формализму.

Заключение