Математическая постановка краевых задач уравнения теплопроводности

8

РЕФЕРАТ

«Математическая постановка краевых задач уравнения теплопроводности»

Краевые условия

Дифференциальное уравнение теплопроводности является математической моделью целого класса явлений теплопроводности и само по себе ничего не говорит о развитии процесса теплопереноса в рассматриваемом теле. При интегрировании дифференциального уравнения в частных производных получаем бесчисленное множество различных решений. Чтобы получить из этого множества одно частное решение, соответствующее определенной конкретной задаче, необходимо иметь дополнительные данные, не содержащиеся в исходном дифференциальном уравнении теплопроводности. Этими дополнительными условиями, которые в совокупности с дифференциальным уравнением (или его решением) однозначно определяют конкретную задачу теплопроводности, являются распределение температуры внутри тела (начальные или временные условия), геометрическая форма тела и закон взаимодействия между окружающей средой и поверхностью тела (граничные условия).

Для тела определенной геометрической формы с определенными (известными) физическими свойствами совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями. Итак, начальное условие является временным краевым условием, а граничные условия - пространственным краевым условием. Дифференциальное уравнение теплопроводности вместе с краевыми условиями составляет краевую задачу уравнения теплопроводности (или короче - тепловую задачу).

Начальное условие определяется заданием закона распределения температуры внутри тела в начальный момент времени, т. е.

Т (х, у, z, 0) = f (х, у, z), (3.1)

где f (х, у, z) -- известная функция.

Во многих задачах принимают равномерное распределение температуры в начальный момент времени; тогда

Т (х, у, z, 0) = Т_о = const. (3.2)

Граничное условие может быть задано различными способами.

1. Граничное условие первого рода состоит в задании распределения температуры по поверхности тела в любой момент времени,

Т_s (?) = f(?) (3.3)

где Т_s (?) - температура на поверхности тела.

Изотермическое граничное условие представляет частный случай условия 1-го рода. При изотермической границе температуру поверхности тела принимают постоянной T_s= const, как, например, при интенсивном омывании поверхности жидкостью с определенной температурой.

2. Граничное условие второго рода состоит в задании плотности теплового потока для каждой точки поверхности тела как функции времени, т. е.

q_s (?) = f(?). (3.4)

Условие 2-го рода задает величину теплового потока на границе, т.е. кривая температуры может иметь любую ординату, но обязательно заданный градиент. Простейший случай граничного условия второго рода состоит в постоянстве плотности теплового потока:

q_s (?) = q_c = const.

Адиабатическая граница представляет частный случай условия 2-го рода. При адиабатическом условии тепловой поток через границы равен нулю. Если теплообмен тела с окружающей средой незначителен в сравнении с тепловыми потоками внутри тела, поверхность тела можно считать практически непропускающей тепла. Очевидно, что в любой точке адиабатической границы s удельный тепловой поток и пропорциональный ему градиент по нормали к поверхности равны нулю.

3. Обычно граничное условие третьего рода характеризует закон конвективного теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой при постоянном потоке тепла (стационарное температурное поле). В этом случае количество тепла, передаваемого в единицу времени с единицы площади поверхности тела в окружающую среду с температурой Т_с в процессе охлаждения (Т_s > Т_с), прямо пропорционально разности температур между поверхностью тела и окружающей средой, т. е.

q_s = ? (Т_s - Т_с), (3.5)

где ? -- коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплообмена (вm/м²·град).

Коэффициент теплообмена численно равен количеству тепла, отдаваемого (или получаемого) единицей площади поверхности тела в единицу времени при разности температур между поверхностью и окружающей средой в 1°.

Соотношение (3.5) можно получить из закона теплопроводности Фурье, полагая, что при обтекании поверхности тела газом или жидкостью передача тепла от газа к телу вблизи его поверхности происходит по закону Фурье:

q_s =-?_г·(?Т_г/?n)_s·1_n= ?_г·(T_s-T_c)·1_n/? =?·(T_s-T_c)·1_n (3.6)

где ?_г -- коэффициент теплопроводности газа, ? -- условная толщина пограничного слоя, ? = ?_г /?.

Следовательно, вектор теплового потока q_s направлен по нормали п к изотермической поверхности, его скалярная величина равна q_s.

Условная толщина пограничного слоя ? зависит от скорости движения газа (или жидкости) и его физических свойств. Поэтому коэффициент теплообмена зависит от скорости движения газа, его температуры и изменяется вдоль поверхности тела в направлении движения. В качестве приближения можно считать коэффициент теплообмена постоянным, не зависящим от температуры, и одинаковым для всей поверхности тела.

Граничные условия третьего рода могут быть использованы и при рассмотрении нагревания или охлаждения тел лучеиспусканием. По закону Стефана-Больцмана лучистый поток тепла между двумя поверхностями равен

q_s(?) = ?*[T⁴_s(?) -T⁴_a], (3.7)

где ?* -- приведенный коэффициент лучеиспускания, Т_a -- абсолютная температура поверхности тепловоспринимающего тела.

Коэффициент пропорциональности ?* зависит от состояния поверхности тела. Для абсолютно черного тела, т. е. тела, обладающего способностью поглощать все падающее на него излучение, ?* = 5,67·10^-12 вт/см²·°К⁴. Для серых тел ?* = ?·?, где ? - коэффициент черноты, изменяющийся в пределах от 0 до 1. Для полированных металлических поверхностей коэффициенты черноты составляют при нормальной температуре от 0,2 до 0,4, а для окисленных и шероховатых поверхностей железа и стали -- от 0,6 до 0,95. С повышением температуры коэффициенты ? увеличиваются и при высоких температурах, близких к температуре плавления, достигают значений от 0,9 до 0,95.

При малой разности температур (Т_п - Т_а) соотношение (3.7) можно приближенно написать так:

q_s(?) = ?*{[T²_s(?) +T²_a]·[T_s(?) +T_a]}·[ T_s(?) -T_a] = ?(T)· [ T_s(?) -T_a] (3.8)

где ? (Т) -- коэффициент лучистого теплообмена, имеющий ту же размерность, что и коэффициент конвективного теплообмена, и равный

? (Т)= ?*[T²_s(?) +T²_a]·[T_s(?) +T_a]= ?*·?(T) (3.9)

Соотношение (3.9) является выражением закона Ньютона охлаждения или нагревания тела, при этом T_а обозначает температуру поверхности тела, воспринимающего тепло. Если температура Т_s(?) изменяется незначительно, то коэффициент ? (Т) приближенно можно принять постоянным.

Если температура окружающей среды (воздуха) Т_с и температура тепловоспринимающего тела Т_а одинаковы, а коэффициент лучепоглощения среды очень мал, то в соотношении (3.9) вместо Т_а можно написать Т_с. При этом небольшая доля потока тепла, отдаваемого телом путем конвекции, может быть положена равной ?_к·?Т, где а_к -- коэффициент конвективного теплообмена.

Коэффициент конвективной теплоотдачи ?_к зависит:

1) от формы и размеров поверхности, отдающей тепло (шар, цилиндр, пластина) и от ее положения в пространстве (вертикального, горизонтального, наклонного);

2) от физических свойств теплоотдающей поверхности;

от свойств окружающей среды (ее плотности, теплопроводности
и вязкости, в свою очередь зависящих от температуры), а также

от разности температур Т_s - Т_с.

В этом случае в соотношении

q_s = ?·[Т_s(?) - Т_с], (3.10)

коэффициент ? будет суммарным коэффициентом теплообмена:

? = ?_к+ ?(Т) (3.11)

В дальнейшем нестационарный теплообмен тела, механизм которого описывается соотношением (3.10), будем называть теплообменом по закону Ньютона.

По закону сохранения энергии количество тепла q_s(?), отданного поверхностью тела, равно количеству тепла, которое подводится изнутри к поверхности тела в единицу времени к единице площади поверхности путем теплопроводности, т. е.

q_s(?) = ?·[Т_s(?) - Т_с(?)] = -?(?T/?n)_s (3.12)

где для общности постановки задачи температура Т_с считается переменной, а коэффициент теплообмена ?(Т) приближенно принят постоянным [?(Т) = ?= const].

Обычно граничное условие пишут так:

?(?T/?n)_s + ?·[Т_s(?) - Т_с(?)] = 0 (3.13)

Из граничного условия третьего рода, как частный случай, можно получить граничное условие первого рода. Если отношение ?/? стремится к бесконечности [коэффициент теплообмена имеет большое значение (?>?) или коэффициент теплопроводности мал (?> 0)], то

Т_s(?) - Т_с(?) = lim [1/(???)·(?T/?n)_s] = 0

???>?

откуда

Т_s(?) = Т_с(?)

т. е. температура поверхности теплоотдающего тела равна температуре окружающей среды.

Аналогично при ?>0 из (x) получаем частный случай граничного условия второго рода -- адиабатическое условие (равенство нулю потока тепла через поверхность тела). Адиабатическое условие представляет другой предельный случай условия теплообмена на границе, когда при весьма малом коэффициенте теплоотдачи и значительном коэффициенте теплопроводности поток тепла через граничную поверхность приближается к нулю. Поверхность металлического изделия, соприкасающегося со спокойным воздухом, при недолгом процессе может приниматься адиабатической, так как действительный поток теплообмена через поверхность незначителен. При длительном процессе поверхностный теплообмен успевает отнять у металла значительное количество тепла, и пренебрегать им уже нельзя.

4. Граничное условие четвертого рода соответствует теплообмену поверхности тела с окружающей средой [конвективный теплообмен тела с жидкостью) или теплообмену соприкасающихся твердых тел, когда температура соприкасающихся поверхностей одинакова. При обтекании твердого тела потоком жидкости (или газа) передача тепла от жидкости (газа) к поверхности тела в непосредственной близости к поверхности тела (ламинарный пограничный слой или ламинарный подслой) происходит по закону теплопроводности (молекулярный перенос тепла), т. е. имеет место теплообмен, соответствующий граничному условию четвертого рода

Т_s(?) = [Т_с(?)]_s (3.14)

Помимо равенства температур, имеет место также равенство потоков тепла

-?_c(?T_c/?n)_s = -?(?T/?n)_s (3.15)

Дадим графическую интерпретацию четырех видов граничных условий (рис. 3.1).

Скалярная величина вектора теплового потока пропорциональна абсолютной величине градиента температуры, который численно равен тангенсу угла наклона касательной к кривой распределения температуры вдоль нормали к изотермической поверхности, т.е

(?T/?n)_s = tg ?_s

На рис. 3.1 изображены на поверхности тела четыре элемента поверхности ?S с нормалью к ней n (нормаль считается положительной, если она направлена наружу). По оси ординат отложена температура.

8

Рис. 3.1 Различные способы задания условий на поверхности

Граничное условие первого рода состоит в том, что задана Т_s (?); в простейшем случае Т_s (?) = const. Отыскивается наклон касательной к температурной кривой у поверхности тела, а тем самым и количество тепла, отдаваемое поверхностью (см. рис. 3.1., а).

Задачи с граничными условиями второго рода имеют обратный характер; задается тангенс угла наклона касательной к температурной кривой у поверхности тела (см. рис. 3.1, б); находится температура поверхности тела.

В задачах с граничными условиями третьего рода температура поверхности тела и тангенс угла наклона касательной к температурной кривой--величины переменные, но задается на внешней нормали точка С, через которую должны проходить все касательные к температурной кривой (см. рис. 3.1, в). Из граничного условия (3.13) следует

tg ?_s = (?T/?n)_s = (Т_s(?) - Т_с)/(???) (3.16)

Тангенс угла наклона касательной к температурной кривой у поверхности тела равен отношению противолежащего катета [Т_s(?)--Т_c]

к прилежащему катету ??? соответствующего прямоугольного треугольника. Прилежащий катет ??? является величиной постоянной, а противолежащий катет [Т_s (?) -- Т_с] непрерывно изменяется в процессе теплообмена прямо пропорционально tg ?_s. Отсюда следует, что направляющая точка С остается неизменной.

В задачах с граничными условиями четвертого рода задается отношение тангенсов угла наклона касательных к температурным кривым в теле и в среде на границах их раздела (см. рис. 3.1, г):

tg ?_s /tg ?_c = ?_c?? = const (3.17)

с учетом совершенного теплового контакта (касательные у поверхности раздела проходят через одну и ту же точку).

Выбирая для расчета тип того или иного простейшего граничного условия, следует помнить, что в действительности поверхность твердого тела всегда обменивается теплом с жидкой или газообразной средой. Можно приближенно считать границу тела изотермической в тех случаях, когда интенсивность поверхностного теплообмена заведомо велика, и адиабатической - если эта интенсивность заведомо мала.