Системы уравнений полевой теории стационарных электромагнитных явлений

6

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПОЛЕВОЙ ТЕОРИИ

СТАЦИОНАРНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ

Сидоренков В.В.

МГТУ им. Н.Э. Баумана

Полевая концепция природы электричества является фундаментом классической электродинамики и базируется на признании факта взаимодействия разнесенных в пространстве электрических зарядов посредством электромагнитных (ЭМ) полей. Покажем, что уравнения полевой теории стационарных явлений электромагнетизма можно получить гипотетически, ориентируясь всего лишь на несколько основных эмпирических законов в этой области знаний.

Исходным эмпирическим законом в учении об электричестве, как известно [1], является закон Кулона взаимодействия неподвижных точечных электрических зарядов, на основе которого цепочкой физически логичных рассуждений составим систему последовательно связанных между собой полевых уравнений электростатики:

(a) , (b) , (1)

(c) , (d) ,

где и - абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, соответственно. Здесь в первом уравнении (1a) аналитически сформулировано прямое следствие формулы закона Кулона - условие потенциальности электростатического поля. В следующем уравнении (1b) рассматривается математическое свойство структуры поля взаимодействия зарядов в законе Кулона , когда поток такого поля через произвольную замкнутую поверхность равен константе (так называемая теорема Гаусса). Физически это уравнение описывает следствие явления электрической поляризации, в виде отклика материальной среды на наличие в данной точке стороннего электрического заряда ( - объемная плотность стороннего заряда) либо на воздействие внешнего электрического поля (). Поскольку дивергенция ротора любого векторного поля тождественно равна нулю, то из уравнения (1b) для областей среды с локальной электронейтральностью () непосредственно следует третье уравнение (1c), показывающее, что эффект электрической поляризации материальной среды принципиально сопровождается вихревым полем электрического векторного потенциала . Последнее уравнение (1d) - это условие кулоновской калибровки, обеспечивающее чисто вихревой характер поля вектора .

Как видим, уравнения обсуждаемой системы рассматривают такие области пространства, где присутствует только статическое электрическое поле, структурно реализуемое, согласно уравнению (1c), двумя векторными взаимно ортогональными полевыми компонентами: электрической напряженностью и векторным электрическим потенциалом . Формально право на существование именно такой структуры электрического поля иллюстрируется логикой проведенных рассуждений и видом полученных уравнений, однако однозначным аргументом объективности данного факта служит следующее из уравнений (1) соотношение энергетического баланса для потока электрической энергии:

(2)

Следовательно, перенос извне в данную точку пространства потока электрической энергии (левая часть соотношения (2)) действительно осуществляется двумя взаимно ортогональными векторными компонентами электрического поля посредством потокового вектора , что и обеспечивает энергетику процесса электрической поляризации среды (правая часть соотношения (2)).

Продолжим далее нашу цепочку логических рассуждений, позволяющую получить теперь систему последовательно связанных между собой полевых уравнений, описывающих посредством статического ЭМ поля диссипативный процесс стационарной электрической проводимости в материальной среде:

(a) , (b) , (3)

(c) , (d) ,

где - удельная электрическая проводимость. Здесь в первом уравнении (3a) математически сформулировано условие потенциальности электрического поля, существующего в проводнике при наличии в нем электрического тока. Второе уравнение (3b) является аналитической записью фундаментального постулата - закона сохранения электрического заряда для случая стационарной электропроводности и, согласно закону Ома , описывающее характер поведения электрического поля в проводящей среде. В частности, это уравнение показывает, что в рамках закона Ома электропроводности однородный проводник с постоянным током локально электронейтрален (). А поскольку дивергенция ротора векторного поля тождественно равна нулю, то из уравнения (3b) непосредственно получаем третье уравнение (3c), показывающее, что процесс электропроводности принципиально сопровождается вихревым магнитным полем напряженности , охватывающим линии этого тока. Четвертое уравнение (3d) физически представляет собой магнитный аналог теоремы Гаусса, хотя математически это условие кулоновской калибровки, обеспечивающее чисто вихревой характер поля вектора .

Таким образом, уравнения системы (3) описывают свойства статического ЭМ поля, представленного, согласно уравнению (3c), двумя векторными взаимно ортогональными полевыми компонентами: электрической и магнитной напряженностями. Объективность существования такой структуры ЭМ поля иллюстрируется видом уравнений этой системы, где главным физическим аргументом однозначности такого вывода служит следующее из этих уравнений соотношение баланса для потока ЭМ энергии:

(4)

Видно, что перенос в пространстве потока ЭМ энергии принципиально реализуется посредством обеих компонент ЭМ поля в виде потокового вектора Пойнтинга . Этот поток, поступая извне в данную точку проводника (левая часть соотношения (4)), идет на компенсацию джоулевых потерь в процессе электропроводности, обусловленных выделением тепла в проводнике, что описывается законом Джоуля-Ленца (правая часть (4)). Данный вопрос наиболее последовательно исследован (вплоть до построения картины “силовых” линий вектора Пойнтинга у поверхности проводника с током) в учебном пособии по электродинамике Зоммерфельда [2].

Необходимо отметить, что, несмотря на наличие в проводнике с током ЭМ поля с компонентами электрической и магнитной напряженности, вследствие чего проводник обладает электрической и магнитной энергиями, из уравнений системы (3) не следуют для этих энергий соотношения баланса, аналогичные соотношению (2) потока электрической энергии. Структурно уравнения ЭМ поля (3) не способны в принципе описать потоки электрической или магнитной энергий ввиду отсутствия в них вторых компонент соответствующих полей. Например, для компоненты нужна также еще и компонента , а это уже электрическое поле, уравнения которого представлены системой (1). Здесь, безусловно, видна общность обсуждаемых систем уравнений (1) и (3).

Вернемся снова к нашей цепочке логических рассуждений с целью получить теперь систему уравнений магнитостатического поля, позволяющих описать процессы магнитной поляризации (намагничивания) материальной среды:

(a) , (b) , (5)

(c) , (d) .

Первое уравнение (5a) показывает, что в рамках представлений классической электродинамики все магнитные явления имеют токовую природу, то есть вихревое магнитное поле напряженности в магнитостатике принципиально порождается процессом электропроводности . Второе уравнение (5b) физически представляет собой магнитный аналог теоремы Гаусса, описывающей следствия магнитной поляризации среды под действием внешнего магнитного поля, однако формально математически его можно назвать условием кулоновской калибровки, обеспечивающее чисто вихревой характер поля вектора . Соответственно, третье уравнение (5c) напрямую следует из уравнения (5b) и показывает, что процесс магнитной поляризации (намагничивания) принципиально сопровождается вихревым полем векторного магнитного потенциала . Чисто вихревой характер поля вектора обеспечивается условием кулоновской калибровки посредством дивергентного уравнения (5d).

Таким образом, уравнения системы (5) описывают свойства и поведение в материальных средах статического магнитного поля, структурно реализуемого, согласно уравнению (5c), двумя векторными полевыми компонентами: магнитной напряженностью и векторным магнитным потенциалом . Объективность существования именно такой структуры магнитного поля иллюстрируется видом уравнений системы (5), откуда следует главный и однозначный аргумент реальности данного физического факта - соотношение баланса для потока магнитной энергии:

, (6)

описывающее энергетику процесса магнитной поляризации материальной среды. Как видим, перенос извне в данную точку пространства потока магнитной энергии (левая часть соотношения (6)) действительно осуществляется двумя взаимно ортогональными полевыми компонентами магнитного поля посредством потокового вектора . При этом намагничивание материальной среды реализуется двумя способами: как посредством воздействия на среду поля магнитной напряженности (второе слагаемое правой части соотношения (6)), так и за счет процесса электрической проводимости в среде (первое слагаемое правой части (6)).

Полученные выше системы уравнений электростатического (1) и магнитостатического (5) полей позволяют теперь, по существу формально, из уравнений (1c), (1d) и из (5c), (5d) составить еще одну систему полевых уравнений, в которых рассматриваются свойства статического вихревого поля ЭМ векторного потенциала с электрической и магнитной компонентами, реализация которых физически обусловлена процессами соответственно процессами электрической и магнитной поляризации материальных сред:

(a) , (b) , (7)

(c) , (d) .

Здесь дивергентные уравнения (7b) и (7d) математически это калибровки, обеспечивающие чисто вихревой характер компонент поля ЭМ векторного потенциала. Очевидно, что данная система уравнений представляют собой основу для физической интерпретации поля ЭМ векторного потенциала, выяснения его роли и места в явлениях электромагнетизма. Объективность существования именно такой структуры указанного поля иллюстрируется видом уравнений системы (7) и следующим из них соотношением баланса:

, (8)

описывающим, судя по размерности потокового вектора , процесс передачи материальной среде момента ЭМ импульса.

В качестве наглядного примера серьезного прогресса в концептуальном развитии основ теории электричества рассмотрим использование представленных здесь результатов для изучения процесса стационарной электропроводности в металле - уникальном объекте, где указанный процесс, как будет показано ниже, порождает все обсуждаемые здесь явления электромагнетизма. Стремление описать эту конкретную ситуацию естественно скажется на облике полученных систем уравнений и на их основе соотношений баланса, но их математическая структура и базовое физическое содержание при этом, безусловно, останутся неизменными.

Так, например, при неизменной структуре уравнений электростатики (1) соотношение баланса электрической энергии (2) ввиду особой специфики физического механизма электрической поляризации проводника действием электрического тока [3] примет несколько иной вид:

,

где - постоянная времени релаксации заряда в проводящей среде. При этом внешний вид систем уравнений ЭМ поля (3) и магнитостатики (5) и следствий из них (4) и (6) останутся неизменными и не потребуют комментариев, поскольку тождественны обсуждаемой ситуации. Напротив, в случае использования системы (7) для описания статического поля ЭМ векторного потенциала, созданного в проводнике постоянным током, роторные уравнения (7a) и (7с) этой системы определенно модифицируются и представятся как:

(a) , (b) , (9)

(c) , (d) .

Отсюда непосредственно получаем и модификацию соотношения (8) баланса передачи момента ЭМ импульса проводнику с током

. (10)

Как видим, процесс электрической проводимости имеет полевое континуальное воплощение, что является принципиальным дополнением и расширением узких рамок формализма традиционных локальных представлений о данном явлении. Безусловным аргументом справедливости такого вывода служат потоки электрической (2) и магнитной (6) энергий, ЭМ энергии компенсации джоулевых потерь (4) и потока момента ЭМ импульса (10), поступающие в проводник в указанном процессе. Важно здесь и то, что все эти потоки неразрывно связаны между собой и существуют одновременно, то есть именно их совокупность обуславливает феномен электропроводности материальных сред. Кстати, углубление в рамках классической электродинамики физических представлений о процессе стационарной электрической проводимости в металле и их современное полевое развитие подробно рассматривается в работе [3].

Таким образом, в общем виде и на конкретном примере установлено существование в Природе структурно сложного векторного поля, которое с концептуальной точки зрения условно назовем единое электродинамическое поле. Согласно уравнениям системы (7), оно базируется на поле ЭМ векторного потенциала с взаимно ортогональными электрической и магнитной компонентами, существование которого в свою очередь реализует функционально связанные с ним и другие составляющие единого поля: ЭМ поле с компонентами электрической и магнитной напряженности, электрическое поле с компонентами и , и, наконец, магнитное поле с компонентами и . Анализ полученных здесь систем стационарных полевых уравнений электромагнетизма убедительно показал, что структура вышеназванных полей из двух векторных взаимно ортогональных компонент - это объективный способ существования составляющих единого электродинамического поля, принципиальная и единственная возможность их распространения посредством потока соответствующей физической величины. В этой связи отметим, что концепция единого электродинамического поля применима ко всем известным в настоящее время ЭМ явлениям и процессам, но наиболее ярко и физически перспективно проявляет себя в динамических явлениях, обусловленных действием переменного во времени указанного поля, системы уравнений описания которого представлены в работе [4].

Литература:

1. Матвеев А.Н. Электродинамика. М.: Высшая школа, 1980. 383 с.

2. Зоммерфельд А. Электродинамика. М.: ИЛ, 1958. 504 с.

3. Сидоренков В.В. Развитие физических представлений о процессе электрической проводимости в металле // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2005. - № 2. - С. 35-46.

4. Сидоренков В.В. Обобщение физических представлений о векторных потенциалах в классической электродинамике // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2006. - № 1. - С. 28-37.