Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВИРСИТЕТ»

Кафедра Управление качеством и механики

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе

Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил

по дисциплине «Методы исследования механических систем»

Выполнил студент группы УКб 11 - 1

Холопкина Е. В.

Нормоконтроль О. В Хомякова

Иркутск 2012г.



ЗАДАНИЕ

на курсовую работу

Содержание задания:

1. Применение основного закона динамики и дифференциальных уравнений движения материальной точки при решении задач.

2. Основные свойства внутренних и внешних сил механической системы. Вычисление работы сил.

Исходные данные: приведены в сборнике заданий для курсовых работ по теоретической механике: учебное пособие для вузов под редакцией А. А. Яблонского.- М.: Интеграл-Пресс, 2008, и предыдущие издания.



ВВЕДЕНИЕ

Динаммика - раздел механики, в котором изучаются причины возникновения механического движения. Динамика оперирует такими понятиями, как масса, сила, импульс, энергия.

Также динамикой нередко называют, применительно к другим областям физики (например, к теории поля), ту часть рассматриваемой теории, которая более или менее прямо аналогична динамике в механике, противопоставляясь обычно кинематике (к кинематике в таких теориях обычно относят, например, соотношения, получающиеся из преобразований величин при смене системы отсчета).

Иногда слово динамика применяется в физике и не в описанном смысле, а в более общелитературном: для обозначения просто процессов, развивающихся во времени, зависимости от времени каких-то величин, не обязательно имея в виду конкретный механизм или причину этой зависимости.

Динамика, базирующаяся на законах Ньютона, называется классической динамикой. Классическая динамика описывает движения объектов со скоростями от долей миллиметров в секунду до километров в секунду.

Однако эти методы перестают быть справедливыми для движения объектов очень малых размеров (элементарные частицы) и при движениях со скоростями, близкими к скорости света. Такие движения подчиняются другим законам.

С помощью законов динамики изучается также движение сплошной среды, т. е. упруго и пластически деформируемых тел, жидкостей и газов.

Основная задача динамики

Исторически деление на прямую и обратную задачу динамики сложилось следующим образом:

· Прямая задача динамики: по заданному характеру движения определить равнодействующую сил, действующих на тело.

· Обратная задача динамики: по заданным силам определить характер движения тела.

Законы Ньютона

Классическая динамика основана на трёх основных законах Ньютона:

· 1-й: Существуют такие системы отсчета, относительно которых поступательно движущееся тело сохраняет свою скорость постоянной, если на него не действуют другие тела или их действие скомпенсировано.

· 2-й: В инерциальной системе отсчета сумма всех сил, действующих на тело, равна произведению массы этого тела на векторное ускорение этого же тела (действие на тело силы, проявляется в сообщении ему ускорения).

В наиболее общем случае, который описывает также движение тела с изменяющейся массой (например, реактивное движение), 2-й закон Ньютона принято записывать следующим образом:

,

где -- импульстела. Таким образом, сила характеризует быстроту изменения импульса.

· 3-й: Тела действуют друг на друга силами равными по модулю и противоположными по направлению

Если при этом рассматриваются взаимодействующие материальные точки, то обе эти силы действуют вдоль прямой, их соединяющей. Это приводит к тому, что суммарный момент импульса системы состоящей из двух материальных точек в процессе взаимодействия остается неизменным. Таким образом, из второго и третьего законов Ньютона могут быть получены законы сохранения импульса и момента импульса

Многие законы динамики могут быть описаны исходя не из законов Ньютона, а из принципа наименьшего действия.

динамика механический система работа



РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА Д-1

Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил

Вариант 24

Дано: V_A=0; б=30^о; f = 0,2; l = 6м, h=4,5м. Определить ф и h.

Решение. Для решения поставленной задачи воспользуемся дифференциальным уравнением движения.

AB: F = ma; Fx₁= ma; Fx₁ = m?

m? = G • sinб - F_тр

Fy₁ = m; Fy₁ = m?,

G • cosб - N = 0; N = G •cosб; G = mg; F_тр = f • N

m? = mg • sinб - f • N

m? = mg • sinб - f • mg • cosб

? = g (sinб - fcosб) - уравнение ускорения

? = V_X = g (sinб - fcosб) • t + c₁ - уравнение скорости по оси х (1)

x = -уравнение движения (2)

Н. у.: t = ф, ? = V_B, x = l

c₁ = 0; c₂ = 0

V_x = g (sinб - f cosб) t

x =

приt = ф, ? = V_B, x = l, тогда уравнения (1) и (2) принимают вид:

V_B = g (sinб - f cosб) ф (3)

l = (4)

ф =

l = =

из (4) ф = = = 2,5 c

из (3) V_B = = = 8 м/с

BC: F = ma; Fx = ma_x; Fx = m?

0 = m?; ? = 0

V_X = c₃

x = c₃t + c₄

Fy = ma_y; Fy = m?

G = m?; mg = m?; ? = g

V_Y = gt + c₅

y =

Н. у.: t = 0; x = 0; y = 0

V_X = V_B • cosб

V_Y = V_B • sinб ,

отсюда с₃ = V_B • cosб ;c₄ = c₆ = 0 ; c₅ = V_B• sinб

приt = ф; x = d; y = h =>d = V_B • cosб • T (5)

h = V_B • sinб • T + (6)

из (5) T = = = 1, 74 c =>h = 8 sin30 • 1,74+ = 21,75 м

Ответ: h = 21,75 м ; ф = 2,5 с.

ЗАДАНИЕ

1. Применение основного закона динамики и дифференциальных уравнений движения материальной точки при решении задач.

Второй закон (основной закон динамики) : произведение массы точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы.

Математически этот закон выражается векторным равенством .

При этом между модулями ускорения и силы имеет место зависимость ma = F.

Второй закон динамики, как и первый, имеет место только по отношению к инерциальной системе отсчета. Из этого закона непосредственно видно, что мерой инертности материальной точки является ее масса, так как две разные точки при действии одной и той же силы получают одинаковые ускорения только тогда, когда будут равны их массы; если же массы будут разные, то точка, масса которой больше (т. е. более инертная), получит меньшее ускорение, и наоборот.

Если на точку действует одновременно несколько сил, то они, как известно, будут эквивалентны одной силе, т.е. равнодействующей , равной геометрической сумме этих сил. Уравнение, выражающее основной закон динамики, принимает в этом случае вид

или .

С помощью дифференциальных уравнений движения решается вторая задача динамики.

1) Определение движения точки координатным способом.

Рассмотрим свободную материальную точку, движущуюся под действием сил ,,.., . Проведем неподвижные координатные оси Oxyz (рис.2). Проектируя обе части равенства на эти оси и учитывая, что и т.д., получим дифференциальные уравнения криволинейного движения точки в проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат:

, ,

Рис. 2

Так как действующие на точку силы могут зависеть от времени, от положения точки и от ее скорости, то правые части уравнений могут содержать время t, координаты точки х, у, z и проекции ее скорости . При этом в правую часть каждого из уравнений могут входить все эти переменные.

Чтобы с помощью этих уравнений решить основную задачу динамики, надо, кроме действующих сил, знать еще начальные условия, т.е. положение и скорость точки в начальный момент. В координатных осях Oxyz начальные условия задаются в виде: при



.

2. Основные свойства внутренних и внешних сил механической системы. Вычисление работы сил.

Внешние силы- силы, действующие на материальную точку системы со стороны тел не входящих в состав данной механической системы.

Внутренние силы- силы, действующие между материальными точками данной механической системы.

Силы заданные по условию задачи принято называть- активными силами. А силы, обусловленные наличием связи- реакциями связи.

Обозначаются внешние силы верхним индексом «е», а внутренние - верхним индексом «Я»: F^e- внешняя сила, F^Я - внутренняя сила.

Свойства внутренних сил:

Первое свойство. Геометрическая сумма всех внутренних сил системы (главный вектор внутренних сил) равна нулю

Где - равнодействующая внутренних сил, приложенных к точке с номером k.

Второе свойство. Геометрическая сумма моментов всех внутренних сил относительно произвольной точки пространства (главный момент внутренних сил) равна нулю

Работа внешних сил.

При деформации конструкций происходит перемещение точек приложения внешних сил, при этом внешние силы на заданных перемещениях совершают работу.

Вычислим работу некоторой обобщенной силы (рис. 1), которая возрастает от нуля до заданной величины достаточно медленно, чтобы можно было пренебречь силами инерции перемещаемых масс. Такую нагрузку принято называть статической.

Рис.1

Пусть в произвольный момент деформации силе соответствует обобщенное перемещение . Бесконечно малое приращение силы на величину вызовет бесконечно малое приращение перемещения . Очевидно, что элементарная работа внешней силы, если пренебречь бесконечно малыми величинами второго порядка,

Полная работа, совершенная статически приложенной обобщенной силой , вызвавшей обобщенное перемещение ,

. (Рис. 2)

Полученный интеграл представляет собой площадь диаграммы , которая для линейно деформированных систем является площадью треугольника с основанием окончательного значения перемещения и высотой окончательного значения силы

(Рис. 3)

Рис. 4

Таким образом, действительная работа при статическом действии обобщенной силы на упругую систему равна половине произведения окончательного значения силы на окончательное значение соответствующего ей обобщенного перемещения (теорема Клапейрона).

В случае статического действия на упругую систему нескольких обобщенных сил работа деформаций равна полусумме произведений окончательного значения каждой силы на окончательное значение соответствующего суммарного перемещения и не зависит от порядка нагружения системы.

(Рис. 5)

Работа внешних сил при вращении твердого тела.



Рассмотрим действие внешней силы , приложенной к точке массой . За время элементарная масса проходит путь Работа силы на этом пути определяется проекцией силы на направление перемещения, которая очевидно, равна тангенциальной составляющей силы.

Но равна модулю момента силы относительно оси вращения. Работа , и будет положительна, если имеет такое же направление, как и отрицательное, если направление векторов и противоположны.

С учетом, что

Работа всех сил, приложенных к телу

Полная работа



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной курсовой работе мы рассмотрели основные законы динамики и применение дифференциальных уравнений при решении задач. Также интегрировали дифференциальные уравнения материальной точки , находящейся под действием постоянных сил.



СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учебное пособие для технических вузов. - 16-е изд., стереотипное - М.: Интеграл-Пресс, 2008. - 384с.

2. Алешкевич В. А., Деденко Л. Г., Караваев В. А. Механика твердого тела. Лекции. Издательство Физического факультета МГУ, 1997.

3. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1986. (3-е изд. М.: ОНИКС 21 век: Мир и Образование, 2003. -- 432с

4. Лекции по теоретической механике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. -- 392с.

5. Леонтович М. А., Введение в термодинамику, 2 изд., М. -- Л., 1952; Рейф Ф., Статистическая физика, пер. с англ., М., 1972 (Берклеевский курс физики, т. 5).

Размещено на Allbest.ru