Статический расчет плоских конструкций

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Тульский государственный университет

Кафедра теоретической механики

Курсовая работа

«Статический расчет плоских конструкций»

Тула, 2007 г.

Аннотация

В данном курсовом проекте описывается исследование механических конструкций. Рассматривается плоская ферма, а также четыре плоские конструкции, для двух из которых производиться анализ значений реакций в зависимости от углов конструкции в математическом пакете MathCad 14. Производится вычисление внешних и внутренних связей.

Производится анализ фермы при разных опорных реакциях. Строятся графики зависимостей реакций механической конструкции от различных опорных реакций. Выявляется оптимальная расчетная схема. Все расчеты фермы производятся в математическом пакете MathCad 14.

Оглавление

Введение

Ферма

Равновесие плоских шарнирных механизмов

Список литературы

Введение

Статика - раздел теоретической механики, изучающий условия равновесия материальных тел и включающих учение о силах.

Большинство инженерных сооружений можно считать малодеформируемыми или абсолютно твердыми. Принимают, что расстояния между точками такого тела не изменяются с течением времени.

В статике абсолютно твердого тела решаются две задачи:

1) Сложение сил и приведение системы сил к простейшему виду.

2) Определение условий равновесия.

Ферма

Исходные данные

Исследовать модули реакций опор в зависимости от типа опор и значения угла . Определить оптимальную расчетную схему, при которой сжимающие усилия в стержнях минимальны. Схема фермы представлена на рисунке 1:

Рис. 1

Исходные данные:

Решение

Плоская ферма является статически определимой, если число узлов и стержней удовлетворяют равенству:

.

В нашем случае ферма содержит узлов, соединенных стержнями, т. е. , следовательно, ферма является статически определимой.

Направления реакций всех стержней показаны от узлов вдоль их осей в предположении, что стержни растянуты. Если в результате решения усилие в стержне окажется отрицательным, это будет означать, что данный стержень сжат.

Для нахождения усилий в стержнях фермы воспользуемся методом вырезания углов. Стержни, сходящиеся в узлах, являются для каждого узлового соединения связями. Отбросим мысленно связи и заменим их действия реакциями - усилиями в стержнях.

Расчетная схема № 1

Рассмотрим равновесие фермы . Проведем систему координат и изобразим действующие на нее внешние силы: активные и реакции связей. Реакцию неподвижной шарнирной опоры изобразим двумя составляющими и , реакцию нерастяжимой невесомой нити направим под углом к оси . Для нахождения усилий в стержнях фермы воспользуемся методом вырезания узлов. Стержни, сходящиеся в узлах, являются для каждого узлового соединения связями. Отбросим мысленно связи и заменим их действия реакциями - усилиями в стержнях. На рисунке 2 показаны пронумерованные узлы фермы с приложенными к ним активными и реактивными силами.



Рис. 2

Из рисунка определим неизвестные углы:

Определение усилий в стержнях фермы методом вырезания узлов

Метод вырезания узлов сводится к последовательному рассмотрению равновесия каждого узлового соединения фермы.

Пронумеруем узлы фермы арабскими цифрами (рис. 2). Стержни, сходящиеся в узлах, являются для каждого узлового соединения связями. Отбросим связи и заменим их действия реакциями - усилиями в стержнях, которые будем обозначать символом . На рис. 2 показаны пронумерованные узлы фермы с приложенными к ним активными и реактивными силами. Здесь учтена аксиома о равенстве сил действия и противодействия, т. е. . Реактивные силы изображены на рис. 2 в предположении, что стержни растянуты, т. е. направлены от узлов. Тогда реакция будет положительной, если стержень растянут, и отрицательной, если он сжат.

Рассмотрим теперь равновесие узлов фермы. Системы сил, действующие на каждый узел, являются сходящимися плоскими системами сил. Равновесие таких систем сил возможно, если их равнодействующая равна нулю. Это условие можно записать в виде:

Составим уравнения равновесия для каждого из узлов.

Построим график зависимости значений внешних реакций связей от параметра .

Расчетная схема № 1

Из графика видим, что модуль реакций стремится к бесконечности при стремящемся к нулю, и стремятся к нулю при стремящемся к , а модуль реакции стремится к бесконечности при стремящемся к нулю.

Для определения оптимальных углов построим график зависимостей усилий в стержнях от параметра .

Расчетная схема № 2

Теперь в точке расположена невесомая нерастяжимая нить, а в точке шарнирная опора.

Рассмотрим равновесие фермы . Проведем систему координат и изобразим действующие на нее внешние силы: активные и реакции связей. Реакцию нити направим по нити под углом к оси , реакцию шарнирной опоры, изобразим двумя составляющими и . Для нахождения усилий в стержнях фермы воспользуемся методом вырезания узлов. Стержни, сходящиеся в узлах, являются для каждого узлового соединения связями. Отбросим мысленно связи и заменим их действия реакциями - усилиями в стержнях. На рисунке 3 показаны пронумерованные узлы фермы с приложенными к ним активными и реактивными силами.

Рис. 3

Из рисунка определим неизвестные углы:

Составим уравнения равновесия для каждого из узлов.

Построим график зависимости значений внешних реакций связей от параметра .

Из графика видим, что модули реакций и стремятся к бесконечности при стремящемся к нулю, и стремится к нулю при стремящемся к нулю, стремится к нулю при стремящемся к .

Для определения оптимальных углов построим график зависимостей усилий в стержнях от параметра .

Расчетная схема № 3

Теперь в расположены невесомые нерастяжимые нити.

Рассмотрим равновесие фермы . Проведем систему координат и изобразим действующие на нее внешние силы: активные и реакции связей. Реакцию невесомых нерастяжимых нитей направим по нитям. Для нахождения усилий в стержнях фермы воспользуемся методом вырезания узлов. Стержни, сходящиеся в узлах, являются для каждого узлового соединения связями. Отбросим мысленно связи и заменим их действия реакциями - усилиями в стержнях. На рисунке 4 показаны пронумерованные узлы фермы с приложенными к ним активными и реактивными силами.

Рис. 4

Из рисунка определим неизвестные углы:

Составим уравнения равновесия для каждого из узлов.



Построим график зависимости значений внешних реакций связей от параметра .

Из графика видим, что модули реакций стремятся к бесконечности при стремящемся к .

Для определения оптимальных углов построим график зависимостей усилий в стержнях от параметра .

плоская конструкция ферма

Определение усилий в стержнях методом Риттера

Метод Риттера (метод сечений) в общем случае предполагает предварительное определение реакций опор фермы. Этот метод позволяет оперативно найти реакцию конкретного стержня, не вычисляя реакции других стержней. При этом должна существовать возможность рассечения фермы на две части по трем стержням, среди которых находится искомый стержень. Отбросив ту часть фермы, на которую действует больше сил, рассматривают равновесие оставшейся части. Для произвольной плоской системы сил составляют такие уравнения равновесия, в которые входит только одна неизвестная реакция. Обычно, для этого используют третью основную форму условий равновесия: уравнения моментов сил относительно точек пересечения линий действия двух неизвестных сил (точки Риттера). В тех случаях, когда реакции двух стержней параллельны (точка Риттера находится в бесконечности) составляют уравнение равновесия в виде проекций сил на ось перпендикулярную этим стержням.

Метод Риттера не применим для нашей фермы, так как не существует возможности рассечения на две части по трем стержням.

Анализ результатов вычислений

Методы теоретической механики при расчете ферм обычно применяются на этапе предварительного проектирования. Именно на этом этапе может быть поставлена задача выбора оптимального решения согласно одному или нескольким критериям.

Например, требуется обеспечить:

· минимальную силу давления на одну или все опоры;

· минимальное количество стержней, испытывающих сжимающие усилия;

· минимальное количество стержней, в которых сжимающие усилия не превышают некоторого предельного значения .

Также возможна комбинация этих критериев.

При такой постановке задачи расчет следует производить при экстремальных значениях, действующих на ферму активных сил. В качестве влияющих параметров можно выбрать ориентацию опорной плоскости, характеризуемую углом .

Рассмотрим задачу выбора схемы расположения внешних связей, действующих на ферму, при которых сжимающие усилия не превышают некоторого предельного значения , а количество сжатых стержней минимально. В качестве такого критерия примем максимальное значение, не зависящее от угла ?, сжимающего усилия в стержнях фермы.

При анализе следует учесть:

· свойства катковых опор. Катковая опора является неудерживающей связью и, следовательно, ее реакция может быть только положительной (если она направлена перпендикулярно опорной плоскости вверх);

· особенности мостовых ферм. Для них ориентация опорной плоскости катковой опоры может характеризоваться только положительными значениями углов .

Учет вышесказанного требует исключения таких состояний, при которых:

· углы , характеризующие ориентацию опорных плоскостей, отрицательны;

· реакции катковых опор неположительные.

Схема 1

1. Реакция опорной плоскости отрицательна при любых значения угла .

2. Количество стержней, реакция которых не зависит от - 41, из них сжатых - 2.

3. Максимальное значение сжимающего усилия, величина которого не зависит от : .

4. Максимальное значение угла , при котором количество сжатых стержней минимально равно . Количество сжатых стержней в этом случае равно 3.

5. Максимальное значение угла , при котором сжимающие усилия не превышают предельного значения равно . Количество сжатых стержней в этом случае равно 2.

Схема 2

1. Реакция шарнирной опоры положительна при любых допустимых значения значениях угла .

2. Количество стержней, реакция которых не зависит от - 4, из них сжатых - 2.

3. Максимальное значение сжимающего усилия, величина которого не зависит от : .

4. Максимальное значение угла , при котором количество сжатых стержней минимально равно . Количество сжатых стержней в этом случае равно 2.

5. Максимальное значение угла , при котором сжимающие усилия не превышают предельного значения равно . Количество сжатых стержней в этом случае равно 3.

Схема 3

1. Реакция опорной плоскости положительна при значениях угла ; реакция опорной плоскости положительна при значениях угла ; реакция опорной плоскости положительна при любых значения угла ;

2. Количество стержней, реакция которых не зависит от - 4, из них сжатых - 2.

3. Максимальное значение сжимающего усилия, величина которого не зависит от : .

4. Максимальное значение угла , при котором количество сжатых стержней минимально равно . Количество сжатых стержней в этом случае равно 4.

5. Максимальное значение угла , при котором сжимающие усилия не превышают предельного значения равно . Количество сжатых стержней в этом случае равно 6.

Равновесие плоских шарнирных механизмов

Плоский шарнирный механизм (рис. 7), расположенный в вертикальной плоскости, находится в равновесии под действием внешнего момента , приложенного к произвольному звену.

Определить реакции внешних и внутренних связей, а также величину уравновешивающего момента в произвольном положении механизма. Рассмотреть следующие варианты приложения внешних сил:

.

Рис. 7

Исходные данные:

Решение

Для решения поставленной задачи выберем правую систему координат, начало которой расположим в подшипнике . Рассмотрим механизм в произвольном положении и изобразим силы, действующие на него (рис. 8):

- силы тяжести звеньев;

- уравновешивающий момент, приложенный к ведущему звену ;

- реакции шарнирных опор.

Рис. 8

На механизм действует произвольная плоская система сил, для которой можно записать не более трех условий равновесия. Неизвестных сил, действующих на механизм семь: .

Расчленим плоский шарнирный механизм по шарнирам на отдельные звенья и изобразим реакции внешних и внутренних связей каждого звена и рассмотрим равновесие всех звеньев (рис. 9).



Рис. 9

На кривошип действуют внешние силы , пара сил с моментом , а также реакция шарнира - .

На шатун кроме силы тяжести действуют реакции, .

На кривошип действуют силы и внутренние реакции .

На шатун кроме силы тяжести действуют реакции .

На кривошип действуют силы и внутренние реакции .

Таким образом, на звенья механизма действует пятнадцать неизвестных сил: пара сил , а также реакции внешних и внутренних связей

 и

Звенья механизма находятся в равновесии под действием произвольных плоских систем сил. Для каждого звена запишем следующие условия равновесия:

Каждое из условий, обеспечивающее равенства нулю главного вектора системы сил , на плоскости эквивалентно двум уравнениям равновесия, а условия равновесия моментов , на плоскости эквивалентно одному уравнению равновесия. Таким образом, условиям равновесия в векторной форме соответствуют 15 линейным алгебраических уравнений равновесия с 15-ю неизвестными, и задача является статически определимой.

Составляя уравнения равновесия, в векторной форме получим:



Здесь, - радиус-векторы, определяющие положение соответствующих точек механизма на плоскости.

Ориентация векторов на плоскости задается с помощью углов и , которые можно определить с помощью уравнений геометрических связей, записанных для узловых точек плоского механизма.

Составим с помощью пакета MathCAD уравнения равновесия в символьном виде.

Задание векторов, определяющих положение точек приложения сил:

Формирование векторов активных сил:

Формирование векторов неизвестных сил и реакций связей:

Вычисление главных векторов и главных моментов внешних сил, действующих на звенья плоского механизма.

Кривошип :

Шатун :

Кривошип :

Шатун :

Кривошип :

Формирование уравнений равновесия:

Решение полученной системы уравнений может быть найдено в MathCAD с помощью блока решений Given-Find. Однако, наиболее эффективным способом решения и анализа результатов вычислений систем линейных алгебраических уравнений является матричный метод. Для его применения представим уравнения равновесия в матричной форме:

где - матрица коэффициентов при неизвестных величинах, - вектор неизвестных, - вектор правой части (известных слагаемых в уравнениях равновесия) системы алгебраических уравнений.

Этому уравнению соответствует решение вида .

При этом определитель матрицы не должен быть равен нулю

.

Уравнения равновесия для других вариантов приложения уравновешивающих сил составляются аналогично.

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Теперь выполним численный расчет.

Введем исходные данные:

Вычисление вспомогательных функций и решение уравнений геометрической связи:

Решение системы уравнений:

Формирование реакций внешних и внутренних связей:

Построение графиков функций.

Зависимость момента пары сил, обеспечивающего равновесие механизма, от угла поворота ведущего звена:

Зависимость реакций внешних и внутренних связей от угла поворота ведущего звена:

Расчет плоского механизма при действии момента , приложенного к звену

Зависимость момента пары сил, обеспечивающего равновесие механизма, от угла поворота ведущего звена:

Расчет плоского механизма при действии момента , приложенного к звену

Зависимость момента пары сил, обеспечивающего равновесие механизма, от угла поворота ведущего звена:

Список литературы

1 Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т.1 (Статика и кинематика) - М.: Наука, 1990;

2 Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. Т.1 - М.: Высшая школа, 1984;

3 Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcad практикум - СПб.: БХВ - Петербург, 2005.

Размещено на Allbest.ru