Исследование частотных и переходных характеристик линейных электрических цепей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Аннотация

В курсовой работе проводится исследование частотных и переходных характеристик линейной электрической цепи. Кроме того, в соответствии с заданием определяются некоторые электрические параметры её отдельных участков. Для решения поставленной задачи проводится анализ цепи методом контурных токов. Применение данного метода невозможно без проведения топологического анализа цепи, элементы которого представлены в работе. Результаты анализа позволяют определить требуемую комплексную передаточную функцию по току, а затем получают графики амплитудно-частотной и фазово-частотной характеристик (АЧХ и ФЧХ). Используя результаты проделанной работы и применив операторный метод анализа переходных процессов получают необходимую переходную характеристику и строят её график.

Annotation

In the course work, a study is made of the frequency and transient characteristics of a linear electrical circuit. In addition, in accordance with the task, some electrical parameters of its individual sections are determined. To solve this problem, the circuit is analyzed by the circuit current method. The application of this method is impossible without a topological analysis of the circuit, the elements of which are presented in the work. The results of the analysis make it possible to determine the required complex transfer function by current, and then graphs of the amplitude-frequency and phase-frequency characteristics (frequency response and phase response) are obtained. Using the results of the work done and applying the operator method of transient analysis, they obtain the necessary transient response and plot it.

Задание

к курсовой работе по дисциплине «Основы теории цепей»

на тему «Исследование частотных и переходных характеристик линейных электрических цепей»

На входе цепи действует гармонический ток

j(t)=

L=

C=,

R1=

R2=,

R3=.

Выполнить задания:

1. Используя метод контурных токов, найти аналитическое выражение комплексной амплитуды напряжения и мгновенного значения напряжения .

2. Вывести формулы комплексной передаточной функции по току и переходной характеристики .

3. Построить графики АЧХ и ФЧХ передаточной функции по току и переходной характеристики.

4. По полученным графикам определить полосу пропускания и добротность, а также частоту собственных колебаний и период собственных колебаний.

Задание выдал __________________/ Козлов В.А. /

(подпись) (Ф.И.О)

Задание получил________________ / Антонов А.С./

(подпись) (Ф.И.О)

Задание утвердил

Зав. кафедрой РИИТ _______________/ Шахтурин Д.В./

(подпись) (Ф.И.О)

Решение

1. Используя метод контурных токов найдём аналитическое выражение комплексной амплитуды напряжения и мгновенное значение напряжения на катушке индуктивности.

Воспользуемся методом контурных токов. Для этого по схеме определяем все зависимые и независимые контуры. Произвольно задаемся направлением протекания контурных токов в каждом из независимых контуров по часовой стрелке, а в зависимом контуре против часовой стрелки, потом составляем уравнения для всех независимых контуров (в которых нет источника тока). Для этого определяем количество уравнений по формуле: , где p - количество ветвей в цепи, q - количество узлов в цепи, N - количество источников тока в цепи.

- количество уравнений для данной цепи.

Обозначим контурный ток I11 - контурный ток первого контура, а I - контурный ток зависимого контура. В уравнении контурный ток первого контура умножается на сумму сопротивлений элементов, входящих в нее. В правой части уравнения записано значение тока на источнике умноженное на сопротивление второго резистора. В данной цепи сопротивление на первом резисторе стремится к бесконечности, так как сопротивление на генераторе тока имеет бесконечно большое значение. Вследствие этого учитывать сопротивление первого резистора не будем. Используя Mathcad запишем уравнение для первого контуров, который в конечном итоге примет вид:

(1)

Таким образом контурный ток I11 определяется по формуле:

(2)

Комплексная амплитуда тока на катушке индуктивности равна току протекающему через первый контур и определяеттся по формуле:

(3)

Таким образом, комплексная амплитуда напряжения на катушке индуктивности будет равна произведению тока протекающего через данную ветвь на сопротивление катушки индуктивности (4):

(4)

Решение данного уравнения в операторной форме будет выглядеть следующим образом (5):

(5)

Перейдем к комплексной форме записи данного выражения (6):

(6)

Представим данное выражение в показательной форме (7):

(7)

Запишем мгновенное значение напряжения на катушке индуктивности . Для этого умножим комплексную амплитуду на вектор вращения e^j*щ*t и выделим реальную составляющую. После этих преобразований выражение примет следующий вид (8):

(8)

2. Выведем формулы комплексной передаточной функции по току и переходной характеристики . Определим комплексную передаточную функцию по току (9):

(9)

Запишем данное уравнение в операторной форме (10):

(10)

Перейдем к комплексной форме записи представленного выше выражения (11):

(11)

Представим эту функцию в показательной форме (12):

(12)

Амплитудно-частотная характеристика определяется по модулю комплексной передаточной функции по току (13):

(13)

Фазо-частотная характеристика определяется по аргументу комплексной передаточной функции по току (14):

Используя аналитические возможности Math Cad, построим графики АЧХ и ФЧХ, для этого предварительно зададим числовые параметры элементов:

(15)

Определим примерно диапазон частот, в котором надо строить графики частотных характеристик. Для этого найдем полюсы передаточной передаточной функции по току (10) в операторной форме:

Обозначим р=х, а коэффициенты при «х» следующим образом:

(16)

Полюсами функции являются корни выражения, которые находятся в знаменателе формулы (10). Запишем знаменатель используя обозначения (16) и найдём корни этого выражения с помощью аналитических возможностей Mathcad (рядом определим резонансную частоту цепи по формуле (17)). Будем при этом использовать ранее заданные значения параметров схемы:

Получились комплексно сопряжённые полюсы, следовательно, расстояния от них до начала координат одинаковы и равны:

Используя ранее заданные значения параметров элементов схемы получим графики:

Для наглядности графиков, рассмотрим их ближе к резонансной частоте, для этого изменим масштаб оси Х:

3. Выведем формулу переходной характеристики и построим её график. Получим переходную характеристику . Воспользуемся для этого теоремой разложения. Для этого воспользуемся формулой передаточной функции по току (10) в операторной форме:

(18)

Переходная характеристика определяется как отклик цепи на единичный скачок. Изображение единичного скачка по Лапласу равно 1/p, поэтому изображение переходной характеристики будем искать по следующей формуле (19):

(19)

Тогда изображение переходной характеристики будет иметь следующий вид (20):

(20)

Обозначим числитель и знаменатель функции (20) следующим образом:

(21)

Воспользуемся корнями выражения (10) которые были найдены ранее в разделе 2 в соответствии с теоремой разложения:

(22)

Получили два комплексно-сопряженных корня. Поэтому переходная характеристика должна быть определена по формуле (23):

(23)

В формуле (23) dN(p) - производная знаменателя:

(24)

Найдем численное значение dN(p) для каждого корня (22), по формуле (24):

(25)

С помощью аналитических возможностей Mathcad определим переходную характеристику. В результате получим объемное выражение, которое после округления цифр, входящих в выражение переходной характеристики, можно представить в более компактном виде (26):

(26)

Определим временной интервал, в котором нужно рассчитать переходную характеристику (26):

Определим шаг изменения времени, взяв 10 точек на период:

Следовательно, график переходной характеристики (26) надо строить во временном интервале:

Тогда график переходной характеристики (26) примет следующий вид:

Для наглядности графика изменим его масштаб по оси Х:

4. Полосой пропускания называется интервал частот на границах которого значение передаточной функции по току меньше максимального значения передаточной функции по току в раз. В нашем случае максимальное значение передаточная функция по току имеет при резонансной частоте и равно:

С учётом сказанного, уровень, на котором выполняется требуемое условие, определится как произведение максимального значения на 0,707, в данном случае на уровне 0.142. Для определения граничных частот полосы пропускания воспользуемся возможностями Math CAD:

Полоса пропускания контура при фиксированном значении резонансной частоты щ0 обратно пропорциональна его добротности и не зависит от емкости C, зная это можем вывести формулу добротности и подставляя ранее найденные значения найти значение добротности:

электрический цепь амплитудный фазовый

Частоту собственных колебаний определим по переходной характеристике:

Тогда период собственных колебаний найдем как:

Вывод

В процессе выполнения курсовой работы была составлена и решена с помощью аналитических возможностей Mathcad система уравнений по методу контурных токов. Решение составленной системы позволило найти комплексную амплитуду и мгновенное значение напряжения , передаточную функцию по току на катушке индуктивности, для которой были построены графики АЧХ и ФЧХ, а также переходная характеристика . Анализ графиков АЧХ и ФЧХ приводит к выводу о том, что эти графики совпадают с частотными характеристиками последовательного контура, так как при и .

Для нахождения переходной характеристики тока на катушке индуктивности и построения её графика использовали операторный метод. Полученная характеристика имеет колебательный характер, а амплитуда тока на катушке индуктивности экспоненциально уменьшается во времени. Это связано с периодическим обменом энергией между емкостью и индуктивностью, а затухание колебаний объясняется потерями энергии в сопротивлении. График берёт начало в точке, что соответствует Первому Закону коммутации и подтверждает правильность построения графика. По графику также видно, что спустя время t?1.8Ч10^-4c после переходного процесса ток на ёмкости примет вид: =0.

На основании графиков полученных для переходной характеристики и передаточной функции по току были найдены полоса пропускания, добротность, и период и частота собственных колебаний.

Список источников и использованной литературы

1. Попов В.П. Основы теории цепей: Учебник для вузов. - М.: Высш. шк., 2005.

2. Бакалов В.П., Дмитраков В.Ф., Крук Б.Е. Основы теории цепей: Учебник для вузов. - М.: Радио и связь, 2002

3. Шебес М.Р., Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей. - М.: Высш. шк., 1990

Размещено на Allbest.ru