Аналитическое решение краевых задач математической физики
Описание процесса распространения электромагнитной волны в волноводе дифференциальным уравнением. Исследование сходимости ряда аналитического решения. Вычисление функций Бесселя. Сравнение теоретической и практической оценок количества членов ряда Фурье.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 27.02.2014 |
| Размер файла | 870,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. академика С.П. КОРОЛЕВА
Факультет информатики
Кафедра технической кибернетики
Расчётно-пояснительная записка к курсовой работе
по дисциплине «Уравнения математической физики»
Тема: «АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ»
Выполнил Самтеладзе Г. Н.
Руководитель работы Дегтярев А.А.
2010
Задание
Процесс распространения электромагнитной волны в однородной среде (волноводе) описывает следующим дифференциальным уравнением:
где - оператор Лапласа в радиально-симметричном случае;
- комплексная амплитуда напряженности электрического поля;
- длина электромагнитной волны; ; - показатель преломления среды; и - координаты цилиндрической системы.
Предполагается, что среда (волновод) ограничена идеально проводящей цилиндрической оболочкой радиуса и длины (в соответствии с рисунком 1).
Рисунок 1 - Распространение электромагнитной волны в волноводе кругового сечения
Распределение амплитуды на входе в волновод задается условием:
При проведении расчетов использовались следующие значения параметров:
Замечание. Приведенное дифференциальное уравнение называется уравнением Шредингера. Оно является уравнением параболического типа. При решении задачи целесообразно воспринимать переменную z как некоторое подобие временной координаты.
дифференциальный сходимость электромагнитный фурье
Реферат
Объектом исследования является процесс распространения электромагнитной волны в волноводе.
Цель работы - изучить объект исследования, описанный дифференциальным уравнением.
В результате работы получено решение задачи в виде ряда Фурье, исследована его сходимость, получена оценка остатка, разработана компьютерная программа расчета решения задачи с требуемой точностью, кроме того обеспечен контроль погрешности численного интегрирования и проведено экспериментальное исследование качества полученной аналитической оценки остатка ряда.
Содержание
- Введение
- 1. Математическая постановка краевой задачи
- 2. Аналитическое решение
- 3. Исследование сходимости ряда аналитического решения
- 4. Оценка остатка ряда
- 5. Численный расчет решения
- 5.1 Вычисление функций Бесселя
- 5.2 Вычисление корней характеристического уравнения J0(мm)=0
- 5.3 Численное интегрирование
- 6. Сравнение теоретической и практической оценок количества членов ряда Фурье
- 7. Анализ погрешности вычислений
- 8. Результаты работы программы
- Заключение
- Список использованных источников
Введение
Математическая физика изучает математические модели физических явлений. Она и её методы начали формироваться в XVIII веке при изучении колебаний струны и стержней, задач акустики, гидродинамики, аналитической механики. Идеи математической физики получили новое развитие в XIX веке в связи с задачами теплопроводности, диффузии, упругости, оптики, электродинамики, нелинейными волновыми процессами, теорией устойчивости движения.
Многие задачи классической математической физики сводятся к краевым задачам для дифференциальных уравнений - уравнений математической физики, которые совместно с соответствующими граничными (или начальными и граничными) условиями образуют математические модели рассматриваемых физических процессов.
Основными классами таких задач являются эллиптические, гиперболические, параболические задачи и задача Коши.
Основными математическими средствами исследования задач математической физики служит теория дифференциальных уравнений с частными производными, интегральных уравнений, теорий функций и функциональных пространств, функциональный анализ, приближенные методы и вычислительная математика.
1. Математическая постановка краевой задачи
Из условия задачи известно, что волновод ограничен проводящей оболочкой, поэтому на стенке волновода будет соблюдаться следующее граничное условие первого рода:
Таким образом, дополнив заданное дифференциальное уравнение граничными условиями, получаем модель процесса распространения электромагнитной волны в волноводе, которая будет выглядеть так:
(1.1)
2. Аналитическое решение
Для отыскания решения задачи используем метод Фурье. Будем полагать, что решение может быть представлено в виде произведения:
(2.1)
Введем обозначение , тогда дифференциальное уравнение из системы (1.1) запишется в виде:
Учтем в соотношении (2.1), а затем преобразуем его:
Уравнение, определяющее функцию :
Произведем серию выкладок, позволяющих упростить вычисление:
Уравнение, определяющее функцию :
Домножим это уравнение на r2V(r) и дополним его граничным условием, которое следует из граничного условия функции U(r,z):
(2.2)
Таким образом, получаем уравнение Бесселя 0-го порядка.
Для того чтобы прийти к стандартному виду уравнения Бесселя введем новую переменную:
(2.3)
Продифференцируем (2.3) по r и получим:
(2.4)
Аналогично, продифференцировав (2.4) по r:
(2.5)
Подставим (2.3)-(2.5) в уравнение из (2.2) и получим для определения уравнение Бесселя 0-го порядка:
(2.6)
Подставим в (2.6) граничное условие:
- т.к. целый порядок (ограниченное решение)
пусть
Уравнение имеет бесконечное множество вещественных корней: то есть имеет бесконечное множество собственных значений: которым соответствуют собственные функции:
Таким образом, получаем:
Решение предстанет в следующем виде:
(2.7)
Подставим в (2.7) начальное условие , в результате получим:
(2.8)
Отметим, что система собственных функций является ортогональной системой с весом r [1].
Из теоремы разложимости [1] находим коэффициент :
(2.9)
Правомерно следующее:
Таким образом, решение можно представить следующим рядом Фурье-Бесселя:
(2.10)
3. Исследование сходимости ряда аналитического решения
Найдём мажоранту для ряда:
При увеличении аргумента функции Бесселя:
(3.1)
Неравенство (3.1) подробно доказывается в пункте 4 на странице 11.
Получим ряд q>u,
4. Оценка остатка ряда
Чтобы выяснить, как усечение ряда влияет на точность решения исходной задачи, необходимо найти оценку остатка ряда:
(4.1)
где
Получаем:
(4.2)
Учтем, что:
Таким образом, достаточно оценить только
Для оценки данных коэффициентов необходимо рассчитать следующий интеграл:
(4.3)
Для расчета (4.3) воспользуемся формулой:
(4.4)
Имеет место следующее равенство [3]:
(4.5)
Рассмотрим выражение (4.4). Опустим в правой части на основании практических расчетов (см. таблицу 1). Таким образом, (4.4) можно заменить следующим выражением:
Если то (4.5) принимает вид:
Таким образом, получаем следующее неравенство:
Неравенство проверено и подтверждено на практике (см. таблицу 1).
Таблица 1 - Cравнение интеграла и апроксимирующей формулы
|
Номер корня |
Значение интеграла |
Апроксимирующая формула |
Погрешность |
Общая погрешность |
|
|
1 |
1,9712921E-12 |
1,9712921E-12 |
3,2206E-21 |
3,2206E-21 |
|
|
2 |
1,8533022E-12 |
1,8533022E-12 |
7,8209E-21 |
1,1041E-20 |
|
|
3 |
1,6585267E-12 |
1,6585267E-12 |
3,3543E-21 |
1,4396E-20 |
|
|
4 |
1,4127617E-12 |
1,4127617E-12 |
6,5427E-21 |
2,0938E-20 |
|
|
5 |
1,1454716E-12 |
1,1454716E-12 |
1,6735E-20 |
3,7674E-20 |
|
|
6 |
8,8403270E-13 |
8,8403273E-13 |
2,3703E-20 |
6,1376E-20 |
|
|
7 |
6,4941282E-13 |
6,4941285E-13 |
2,6846E-20 |
8,8222E-20 |
|
|
8 |
4,5408992E-13 |
4,5408994E-13 |
2,7249E-20 |
1,1547E-19 |
|
|
9 |
3,0222564E-13 |
3,0222567E-13 |
2,6104E-20 |
1,4158E-19 |
|
|
10 |
1,9146491E-13 |
1,9146494E-13 |
2,4235E-20 |
1,6581E-19 |
|
|
11 |
1,1545573E-13 |
1,1545576E-13 |
2,2153E-20 |
1,8796E-19 |
|
|
12 |
6,6268972E-14 |
6,6268992E-14 |
2,0113E-16 |
2,0808E-19 |
|
|
13 |
3,6205400E-14 |
3,6205419E-14 |
1,8188E-20 |
2,2626E-19 |
|
|
14 |
1,8828028E-14 |
1,8828044E-14 |
1,6461E-20 |
2,4273E-19 |
|
|
15 |
9,3197568E-15 |
9,3197717E-15 |
1,4950E-20 |
2,5768E-19 |
|
|
16 |
4,3910908E-15 |
4,3911045E-15 |
1,3626E-20 |
2,7130E-19 |
|
|
17 |
1,9692821E-15 |
1,9692946E-15 |
1,2474E-20 |
2,8378E-19 |
|
|
18 |
8,4064015E-16 |
8,4065159E-16 |
1,1438E-20 |
2,9521E-19 |
|
|
19 |
3,4156740E-16 |
3,4157794E-16 |
1,0543E-20 |
3,0576E-19 |
|
|
20 |
1,3209914E-16 |
1,3210888E-16 |
9,7378E-21 |
3,1549E-19 |
|
|
21 |
4,8625244E-17 |
4,8634298E-17 |
9,0534E-21 |
3,2455E-19 |
|
|
22 |
1,7033609E-17 |
1,7042045E-17 |
8,4359E-21 |
3,3298E-19 |
|
|
23 |
5,6763262E-18 |
5,6841979E-18 |
7,8717E-21 |
3,4086E-19 |
Таким образом, получаем:
(4.6)
Асимптотическая формула для
Приближенная формула для нулей
Для
Таким образом
(4.7)
Неравенство (4.7) проверено и подтверждено на практике.
Подставим это выражение в формулу (4.6) и получим:
(4.8)
Подставив (4.8) в (4.2), получим следующее выражение:
В итоге получаем оценку:
(4.9)
5. Численный расчет решения
5.1 Вычисление функций Бесселя
Для вычисления значений функций Бесселя нулевого и первого порядков был использован алгоритм, позволяющий вычислить значение с точностью 10-7:
Для функции Бесселя нулевого порядка:
(5.1)
(5.2)
Для функции Бесселя первого порядка:
(5.3)
5.2 Вычисление корней характеристического уравнения J0(мm)=0
Данное уравнение является трансцендентым и имеет бесконечное множество решений. Для нахождения этих корней воспользуемся методом секущих:
(5.5)
Для вычисления J0(мm) используется алгоритм, описанный в пункте 4.1. Данный метод обладает сверхлинейной скоростью сходимости. В качестве критерия останова используется условие в нашем случае то есть обеспечивается точность вычисления равная двоичной точности представления вещественных чисел в памяти компьютера. Таким образом, этой погрешностью можно пренебречь.
5.3 Численное интегрирование
Поскольку интеграл не может быть вычислен аналитически, необходимо численно отыскать его значение. Для численного интегрирования использовались Квадратурная формула Гаусса-Кронрода, алгоритм вычисления взят из библиотеки ALGIB. Использование этого метода обеспечивает относительную погрешность
6. Сравнение теоретической и практической оценок количества членов ряда Фурье
Проведем сравнение теоретической оценки количества членов и оценки, полученной практическим путем. Результаты вынесем в таблицу 3.
Практическая оценка была рассчитана следующим образом: теоретическое значение оценки количества суммируемых членов уменьшалось и отслеживалось изменение разряда, на порядок меньшего обеспечиваемой погрешности.
Таблица 3 - Сравнение теоретической и практической оценок кол-ва членов ряда Фурье
|
Eps |
<0,1 |
<0,01 |
<0,001 |
<0,0001 |
<0,00001 |
<0,000001 |
r |
z |
|
|
Nт |
9 |
13 |
16 |
19 |
21 |
23 |
- |
- |
|
|
Nпр1 |
9 |
12 |
16 |
19 |
21 |
23 |
0 |
0,0001 |
|
|
Nпр2 |
1 |
6 |
11 |
14 |
18 |
21 |
0,00001 |
0,0001 |
|
|
Nпр3 |
1 |
7 |
13 |
15 |
17 |
21 |
0,00001 |
0,0002 |
7. Анализ погрешности вычислений
Помимо ошибок, возникающих при использовании численных методов, погрешность вычислений задается точностью представления действительного числа в памяти процессора ПК и составляет
Как видно из таблицы 3, для обеспечения погрешности, меньшей , при сложении необходимо суммировать 23 члена ряда. Погрешность при вычислении одного элемента ряда составляет менее . Соответственно, при сложении 23 членов ряда получаем следующую погрешность: Таким образом, общая погрешность составляет:
8. Результаты работы программы
Разработанная программа позволяет строить графики зависимости напряженности от одного из аргументов, при фиксации второго. Также можно изменять количество складываемых членов ряда и менять масштаб изображения.
Приведем несколько графических результатов расчетов поля в волноводе.
Причем более интересным будет случай с фиксированием аргумента z:
Рисунок 1 - Интенсивность волны при z=0
Рисунок 2 - Интенсивность волны при z= 0,00001
Рисунок 3 - Интенсивность волны при z= 0,00002
Рисунок 4 - Интенсивность волны при z= 0,00003
Кроме того возможно фиксирование аргумента r, в таком случае будут иметь место следующие графики зависимости интенсивности волны от z:
Рисунок 5 - Интенсивность волны при r=0
Рисунок 6 - Интенсивность волны при r=0,000015
Рисунок 7 - Интенсивность волны при r=0,00001
Заключение
Объектом исследования в данной курсовой работе являлся процесс распространения электромагнитной волны в волноводе.
Вычисление амплитуды такой волны было произведено с достаточно малой погрешностью, а именно меньшей . В итоге пользователь в наглядном виде может наблюдать результаты работы программы, графически и аналитически реализующей решение данной задачи, а именно - кольца Ньютона.
В результате работы осуществлена математическая постановка краевой задачи для процесса распространения электромагнитной волны в волноводе, получено решение задачи в виде ряда Фурье, исследована сходимость найденного ряда, получена оценка остатка этого ряда, разработана компьютерная программа расчета решения задачи с требуемой точностью. Кроме того обеспечен контроль погрешности численного интегрирования и проведено экспериментальное исследование качества полученной аналитической оценки остатка ряда.
Список использованных источников
1. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики [Текст]: учебное пособие для университетов/ А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. - М.: Наука, 1977.-735 с.
2. Лаврентьев, М.А. Методы теории функций комплексного переменного [Текст]/ М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. - М.: Наука, 1973.-245 с.
3. Абрамовиц, М. Справочник по специальным функциям [Текст]/ М. Абрамовиц, И. Стиган. - М.: Наука - 1979.-832 с.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Дифференциальные уравнения Максвелла для однородной нейтральной непроводящей среды. Описание волновых процессов волновым уравнением. Структура, энергия, мгновенная картина электромагнитной волны, её интенсивность и импульс. Понятие электрического диполя.
презентация [143,8 K], добавлен 24.09.2013Особенность волновода как направляющей системы. Решение задачи распространения волн в волноводе круглого сечения с физической точки зрения. Структура поля в плоскости продольного сечения. Применение волны H01 круглого волновода для дальней связи.
курсовая работа [279,6 K], добавлен 25.06.2013Теория диэлектрических волноводов. Анализ распространения волн в плоском оптическом волноводе с геометрической точки зрения и с точки зрения электромагнитной теории. Распределение электромагнитного поля и зависимость свойств волновода от его параметров.
курсовая работа [5,4 M], добавлен 07.05.2012Электромагнитные волны, распространяющиеся в линиях передачи. Особенности решения уравнений Максвелла, расчет характеристик электромагнитного поля в проводящем прямоугольном волноводе. Сравнение полученных результатов с установленными по ГОСТ значениями.
курсовая работа [660,7 K], добавлен 23.05.2013Многообразие решений уравнений Максвелла. Причинность и физические взаимодействия. Вариационные основы квазистатических явлений. Тензор энергии-импульса электромагнитной волны. Эфирные теории и баллистическая гипотеза Ритца. Волны и функции Бесселя.
книга [1,6 M], добавлен 27.08.2009Расчет спектральных коэффициентов ряда Фурье. Временная и спектральная диаграмма сигнала. Автокорреляционная функция, формулы для её расчета. Электрическая схема модулятора шумоподобного сигнала. Коэффициенты передачи линейного дискретного фильтра.
контрольная работа [1021,0 K], добавлен 12.11.2012Излучение электрического диполя. Скорость для электромагнитной волны в вакууме. Структура электромагнитной волны, распространяющейся в однородной нейтральной непроводящей среде при отсутствии токов и свободных зарядов. Объемная плотность энергии.
презентация [143,8 K], добавлен 18.04.2013Определение величины сил, приложенных к отдельным участкам конструкции, силы трения, нормальной реакции. Вычисление положения точки на траектории в рассматриваемый момент времени. Применение теоремы об изменении количества движения к механической системе.
контрольная работа [458,3 K], добавлен 23.11.2009Основные положения и постулаты кинематики – раздела теоретической механики. Теоретические основы: определения, формулы, уравнения движения, скорости и ускорения точки, траектории; практические примеры в виде решения наиболее типичных задач кинематики.
методичка [898,8 K], добавлен 26.01.2011Принципы преобразований Фурье, основные правила и значение данного процесса. Особенности применения соответствующих рядов в современной электронике. Анализ примеров решения задач. Комплексы напряжения и тока, их применение в показательную форму.
презентация [304,5 K], добавлен 22.03.2015
