Модуляція імпульсного коливання

Модуляція імпульсного коливання

1. Загальні відомості про імпульсну модуляцію

Поряд із використанням високочастотних гармонічних коливань як неперервного в часі переносника інформації у радіотехніці та у зв'язку знайшли широке застосування імпульсні переносники, які є періодичною послідовністю коротких високочастотних імпульсів певної форми.

Ідея використання імпульсного переносника для передавання неперервного повідомлення полягає у тому, що кожен з імпульсів передає значення неперервної функції у певний дискретний момент часу.

Найчастіше використовують послідовність імпульсів прямокутної форми (рис. 1), оскільки їх генерування здійснюється достатньо просто. Такий переносник характеризується тривалістю імпульсів , періодом їх повторення , амплітудою імпульсів та частотою заповнення імпульсів .

Рисунок 1 - Імпульсний переносник інформації у вигляді періодичної послідовності високочастотних імпульсів прямокутної форми

Використання імпульсного переносника забезпечує такі переваги порівняно з неперервним режимом роботи:

1. З'являється можливість використання одного й того самого каналу зв`язку для передавання інформації декільком кореспондентам через рознесення у часі інформаційних імпульсів (у паузах між імпульсами, призначеними для одного кореспондента, передаються імпульси, призначені для інших кореспондентів). Крім того, одна й та ж антена може бути використана для передавання та приймання імпульсних сигналів, як це є у радіолокації.

2. B імпульсному режимі можна забезпечити велику потужність в імпульсі при невеликій середній потужності за період повторення, оскільки

.

Відомо, що маса і габарити радіоелектронної апаратури визначаються переважно середньою потужністю. Тому імпульсні пристрої можуть мати значно менші габарити та масу порівняно з пристроями, які працюють у неперервному режимі й можуть бути реалізовані методами інтегральної технології, що дає змогу підвищити їх надійність.

3. Імпульсний режим роботи дає можливість забезпечити високу завадостійкість передавання інформації каналом зв'язку, оскільки з'являється можливість значного перевищення пікової енергії імпульсного сигналу над енергією шумів та завад, які виникають у каналі зв'язку. Крім того, наперед відома форма імпульсних сигналів, які формуються у передавачі. Це сприяє їх відновленню на приймальному пункті за наявності завад та шумів.

Одним із найважливіших питань при використанні імпульсного переносника є вибір частоти повторення імпульсів , тому що воно пов'язане із забезпеченням максимально можливої пропускної здатності каналу зв'язку при одночасному уникненні втрат інформації. Зменшення частоти повторення імпульсів дає змогу збільшити кількість кореспондентів із розділенням їх у часі, отже, дає можливість збільшувати пропускну здатність каналу зв'язку.

Проте зменшення частоти повторення нижче певного рівня призводить до втрат інформації. Річ у тому, що при перетворенні неперервного первинного повідомлення у дискретизований сигнал при низькій частоті повторення імпульсів неможливо передати швидкі зміни даного повідомлення, які можуть бути у проміжку між імпульсами.

Отже, частоту повторення імпульсів (яку прийнято називати частотою дискретизації) треба вибирати, ураховуючи верхню частоту спектра неперервного повідомлення. Мінімальну частоту повторення імпульсів визначають на основі теореми B.O. Котельникова (теореми відліків), про яку йтиметься далі.

Залежно від того, які параметри імпульсного переносника змінюються відповідно до керуючого коливання, розрізняють амплітудно-імпульсну модуляцію (AIM), фазо-імпульсну модуляцію (ФІМ), частотно-імпульсну модуляцію (ЧІМ), широтно-імпульсну модуляцію (ШІМ) та кодо-імпульсну модуляцію (KIM).

Якщо при дії керуючого коливання імпульси змінюють амплітуду, але зберігають незмінною свою тривалість та період або частоту повторення, то така модуляція називається амплітудно-імпульсною. Ha рис. 2б зображена послідовність відеоімпульсів, промодульованих за амплітудою гармонічним коливанням.

У разі ФІМ імпульси зберігають свою тривалість та амплітуду, проте моменти їх появи зміщуються у часі стосовно своїх попередніх значень на деяку величину , яка для кожного імпульсу пропорційна миттєвому значенню керуючого (модулюючого) сигналу і не залежить від його частоти. Очевидно, що максимальне значення зсуву визначає амплітуда модулюючого сигналу. Сказане проілюстроване на рис. 2в для випадку гармонічного модулюючого сигналу.

У разі ЧІМ імпульси зберігають свою тривалість та амплітуду, проте змінюється частота їх повторення пропорційно миттєвим значенням модулюючого сигналу. Максимальне зміщення імпульсів пропорційне амплітуді модулюючого сигналу й обернено пропорційне його частоті. Можливий вигляд такої послідовності імпульсів зображено на рис. 2г.

Рисунок 2 - Часові діаграми модулюючого коливання (а), АІМ (б), ФІМ (в), ЧІМ (г) та ШІМ (д) сигналів

Слід вказати, що між ФІМ та ЧІМ існує взаємозв`язок, аналогічний як між фазово-модульованим коливаннями в разі неперевного гармонічного переносника.

У разі ШІМ імпульси змінюють свою тривалість пропорційно миттєвому значенню модулюючого коливання. Розрізняють односторонню ШІМ, коли один із фронтів імпульсу пересувається у процесі модуляції, а другий зберігає свої положення у часі, та двосторонню - коли пересуваються обидва фронти (наприклад, симетрично стосовно середини імпульсу). Можливий вигляд послідовності імпульсів з ШІМ при гармонічному модулюючому сигналі зображено на рис. 2д.

При КІМ імпульси зберігають тривалість та амплітуду, проте у фіксовані моменти часу, які визначені періодом повторення, появляється не один імпульс, а „пакет” імпульсів, кодова послідовність якої відповідає миттєвому значенню модулюючого сигналу в даний момент.

На рис. 3 зображено часову діаграму КІМ-сигналу при двійковому кодуванні миттєвих значень модулюючого сигналу (нулеві відповідає відсутність імпульсу в пакеті, а одиниці - наявність імпульсу) для випадку формування кодових послідовностей у моменти, коли миттєві значення модулюючого сигналу дорівнюють відповідно 0; 3; 5; 3; (двійкові коди цих значень дорівнюють відповідно 000; 011; 101; 011;000).

Рисунок 3 - Часові діаграми модулюючого сигналу (а) та КІМ сигналу (б)

Закінчуючи розгляд загальних відомостей про імпульсну модуляцію, відзначимо, що для формування високочастотних модульованих імпульсних сигналів передавальний пристрій повинен мати у своєму складі два модулятори: перший - для модуляції послідовності відеоімпульсів первинним модулюю-чим сигналом, і другий - для модуляції високочастотного генератора гармонічних коливань, який визначає частоту заповнення імпульсів.

2. Спектральне представлення АІМ-сигналу

Математичну модель первинного імпульсного переносника, який є періодичною послідовністю прямокутних відеоімпульсів запишемо, використавши функції Хевісайда:

, (1)

де - амплітуда, - період повторення, - тривалість, - порядковий номер імпульсу.

За наявності модуляції амплітуда відеоімпульсів змінюється пропорційно миттєвим значенням модулюючого сигналу, тобто

, (2)

де - модулючий сигнал; - коефіцієнт пропорційності.

Отже, математична модель АІМ-сигналу набирає вигляду:

. (3)

Використовуючи вирази (1)-(3), записуємо MM немодульованого відеоімпульсного переносника:

, (4)

де ; , - порядковий номер гармоніки.

Модулючий сигнал подамо в загальному випадку у вигляді:

. (5)

Підставляючи (1) та (2) в (4), отримаємо вираз для математичної моделі АІМ - сигналу з відеоімпульсним переносником.

(6)

,

де - парціальний (частинний) коефіцієнт модуляції.

Аналіз виразу (6) показує, що перший додаток у квадратних дужках описує спектр немодульованого відеоімпульсного переносника. Другий додаток у квадратних дужках відображає спектр модулюючого сигналу, а третій додаток представляє верхні та нижні бокові смуги комбінаційних частот , які утворюються біля кожної спектральної складової відеоімпульсного переносника.

Отже, спектр АІМ-сигналу з відеоімпульсним переносником становить собою ніби багатократне повторення спектра АМ-сигналу з гармонічним переносником, причому роль гармонічного переносника виконують гармоніки відеоімпульсного переносника включно з його постійною складовою. У найпростішому випадку однотональної модуляції, коли , отримуємо із (3) вираз для спектра АІМ-сигналу:

(7)

де - коефіцієнт модуляції.

Ha рис. 4 зображена структура амплітудного спектра для випадку стовідсоткової модуляції (). Бачимо, що ефективна ширина спектра при AIM значно більша від звичайного АМ-сигналу і переважно визначається тривалістю , імпульсів переносника.

Рисунок 4. - Структура амплітудного спектра АІМ-сигналу з відеоімпульсним переносником при стовідсотковій однотональній модуляції

Очевидно, що для забезпечення на приймальному пункті неспотвореного відновлення модулюючого сигналу, який несе інформацію, необхідно, щоб спектри сусідніх бокових смуг не накладалися. Ця умова задовольняється при виконанні умови .

З наведеної спектральної діаграми також видно, що виділення модулюючого сигналу на приймальному пункті можна достатньо просто реалізувати за допомогою фільтра нижніх частот, верхня гранична частота якого задовольняє умову .

Використовуючи радіоканал для передавання інформації, необхідно на передавальному пункті перетворити модульовану послідовність відеоімпульсів у відповідні радіоімпульси (імпульси з високочастотним заповненням). При цьому спектр послідовності модульованих відеоімпульсів переміщується у діапазон високих частот. Математично ця операція реалізується перемноженням АІМ-сигналу з відеоімпульсним переносником та високочастотного несучого коливання з частотою .

. (8)

Наприклад, для випадку АІМ-сигналу, описаного виразом (8), при отримуємо такий результат:

. (9)

На рис. 5 зображена структура амплітудного спектра отриманого АІМ-сигналу (8).

Рисунок 5 - Структура амплітудного спектра АІМ-сигналу з високочастотним імпульсним переносником

3. Спектральне представлення ШІМ-сигналу

Визначення структури спектра ШІМ-сигналу в загальному випадку є складним завданням. Тому розглянемо найпростіший випадок двосторонньої ШІМ відеоімпульсного сигналу при однотональній гармонічній модуляції, коли тривалість імпульсу змінюється пропорційно модулюючому сигналові:

, (10)

де - тривалість імпульсу при відсутності модуляції; , - амплітуда та частота модулюючого сигналу; - коефіцієнт пропорційності, - коефіцієнт модуляції.

Використовуючи вираз (9) для відеоімпульсного переносника, можемо записати математичну модель ШІМ-сигналу для цього випадку у вигляді:

, (11)

де , , - мають такий же сенс, як і у (12).

Наближено визначимо структуру спектра ШІМ-сигналу, підставивши (9) у вираз (11), який описує спектр немодульованого відеоімпульсного переносника, і отримуємо:

, (13)

де . (14)

Із теорії функцій Бесселя відоме таке співвідношення:

, (15)

де - функція Бесселя першого роду -го порядку від аргументу .

У нашому випадку ; ; .

Отже, ураховуючи (15), вираз (14) запишемо так:

. (16)

Підставивши (16) в (15), отримуємо спектральне представлення ШІМ-сигналу з відеоімпульсним переносником при однотональній гармонічній модуляції:

(17)

Аналіз виразу (17) показує, що в разі ШІМ-сигналу спектральний склад є багатший порівняно з АІМ-сигналом і нагадує багатократно повторений спектр сигналу з кутовою модуляцією при гармонічному переноснику, причому роль несучого коливання відіграють гармоніки відеоімпульсного переносника. Теоретично його ширина спектра є нескінченна. Проте аналіз властивостей функцій Бесселя показує, що ті функції, порядок яких перевищує значення аргументу, є значно менші від функцій нижчих порядків, і тому ними можна знехтувати. Отже, максимальне значення коефіцієнта n у виразі (17) приймемо таким:

, (18)

де означає найближче число, не перевищує значення виразу, записаного у квадратних дужках.

Крім того, обмежимося тільки тими спектральними складовими, які містяться у першому пелюстку амплітудної спектральної діаграми прямокутного відеоімпульсного переносника, тобто які перебувають у смузі частот від нуля частоти

.

Очевидно, що значення буде максимальним тоді, коли тривалість імпульсу буде мінімальна, тобто

.

Отже, максимальна кількість гармонік відеоімпульсного переносника, які містяться у першому пелюстку спектральної діаграми, дорівнює:

(19)

З урахуванням отриманих оцінок максимальної кількості спектральних складових у ШІМ-сигналі, можемо записати спектр у вигляді вкороченого ряду:

 (20)

На рис. 6. зображено структуру амплітудного спектра ШІМ-сигналу, звідки бачимо, що для великих значень коефіцієнта модуляції M сусідні групи спектральних складових можуть перекриватись. Тому при ШІМ, як і при AIM, треба вибирати частоту повторення переносника таку, щоб задовольнялась нерівність: . При цьому демодуляцію сигналу можна, як і у випадку АІМ, проводити за допомогою фільтра нижніх частот, у якого частота зрізу повинна бути трохи вища від верхньої граничної частоти модулюючого сигналу.

Рисунок 6 - Структура амплітудного спектра ШІМ-сигналу при однотональній модуляції відеоімпульсного переносника

При високочастотному заповненні імпульсного переносника спектр ШІМ-сигналу, який описується виразом (17), зсувається у діапазон високих частот, аналогічно, як було показано у випадку АІМ-сигналу.

4. Спектральне представлення ФІМ- та ЧІМ-сигналів

При ФІМ зміна миттєвого значення модулюючого сигналу викликає пропорційне переміщення імпульсного переносника відносно початкового положення у той чи інший бік при сталих значеннях амплітуди та тривалості . Математичну модель такого сигналу з відеоімпульсним переносником можна записати так:

(21)

У виразі (21) враховано, що задній фронт імпульсу змінюється із запізненням у часі на інтервал, який дорівнює тривалості імпульсу, порівняно із зміною переднього фронту.

Аналіз спектральних властивостей таких сигналів загалом складний. Тому тут коротко розглянемо найпростіший випадок, коли модулююче коливання є гармонічним, тобто

.

Приймемо, що при імпульси зсуваються ліворуч від початкового положення (тобто в бік випередження), а при зсуваються праворуч (у бік запізнення). У цьому разі зміну положення фронтів імпульсів можна описати так:

положення переднього фронту

. (22)

положення заднього фронту

. (23)

Для наближеного визначення структури спектра ФІМ-сигналу використаємо спектральне представлення немодульованого відеоімпульсного переносника (23), проте врахуємо, що тепер положення фронтів імпульсів не є симетричним стосовно осі ординат.

Вираз для згаданого спектра набирає вигляду:

. (24)

Підставивши (22) і (23) у (24), та враховуючи (15), після відповідних перетворень отримуємо вираз, який описує спектр ФІМ-сигналу з відеімпульсним переносником:

(25)

де - коефіцієнт фазо-імпульсної модуляції.

Із наведеного виразу бачимо, що структура спектра ФІМ-сигналу навіть у найпростішому випадку однотональної модуляції є значно складніша від АІМ-сигналу і подібна до ШІМ-сигналу. Вимоги стосовно вибору частоти повторення імпульсів такі ж, як і у випадку ШІМ. Різниця полягає у тому, що амплітуда низькочастотної складової спектра ШІМ-сигналу з частотою модулюючого сигналу (перший доданок у (25) у фігурних дужках) залежить від частоти модуляції , що є причиною появи частотних спотворень, які виникають при демодуляції ФІМ-сигналу на приймальному пункті. Тому для усунення цього небажаного ефекту вживають низку заходів, зокрема перетворюють ФІМ у ШІМ із подальшим виділенням модулюючого сигналу за допомогою фільтра нижніх частот.

При високочастотному заповненні імпульсного переносника спектр ФІМ-сигналу переміщується у діапазон високих частот, про що було сказано раніше, при розгляді спектрів АІМ - та ШІМ-сигналів.

Переходячи до розгляду структури спектра ЧІМ-сигналу, нагадаємо, що в цьому разі пропорційно до модулюючого сигналу змінюється частота повторення імпульсів, а їх зміщення у часі стосовно свого початкового положення (тобто фаза) змінюється пропорційно інтегралові від модулюючого сигналу. Якщо модулюючий сигнал є гармонічною функцією часу, то інтеграл від модулюючого сигналу теж буде гармонічною функцією, отже, можна скористатися наведеними раніше результатами аналізу спектра ФІМ-сигналу. Зауважимо лише, що в разі ЧІМ коефіцієнти функцій Бесселя залежатимуть від частоти модулюючого сигналу, чого не було у випадку ФІМ.

На закінчення відзначимо, що реальні імпульсні переносники не мають ідеальної прямокутної форми. Згладжування фронтів імпульсів призводить до зменшення ширини спектра. Тому реальна ширина спектра імпульсних модульованих сигналів є вужча і при невеликих значеннях коефіцієнта оцінюється як

, де

- максимальна частота модулюю-чого сигналу.