Моделювання магнітогідродинамічних явищ

Размещено на http://www.allbest.ru/

Зміст

• Вступ
• 1. Електропровідна рідина та її властивості в магнітному полі
• 1.1 Фізичні процеси в електропровідній рідині при наявності магнітного поля
• 1.2 Чисельне моделювання магнітогідродинамічних потоків
• 1.3 Експерименти, що демонструють поведінку електропровідної рідини в магнітному полі
• 1.3.1 Двовимірна динаміка магнітогідродинамічного потоку у кільцевому каналі І.В. Хальзев (РНЦ "Курчатовський інститут")
• 1.3.2 Чисельне та експериментальне дослідження структури закрученої електровихревої течії (В.Г. Жилін, Ю.П. Івочкін, І.О. Тепляков, А.А. Гусева, Ю.Н.Токарев)
• 1.3.3 Моделювання електровихрових полів у металургійних печах (Казак О.В., Сємко О.М.)
• 1.3.4 Незвичайний ефект у електропровідній рідині, що пояснює секрет обертання Землі і причини виникнення циклонів, тайфунів, торнадо (Косинов Н. В., Гарбарук В. И., Косинов Л. В.)
• 2. Чисельне моделювання фізичних процесів у лабораторній установці
• 2.1 Чисельне моделювання електромагнітних полів
• 2.2 Чисельне моделювання гідродинамічних полів
• Висновки
• Список використаної літератури

електропровідний поле магнітогідродинамічний потік

Вступ

Моделювання магнітогідродинамічних явищ - цікава та складна проблема, тому що поведінка електропровідних рідин не завжди є передбачуваною.

До деяких пір здавалося, що можна було говорити про якусь ідейну та методичну завершеність магнітної гідродинаміки, але технічні проблеми металургії кольорових металів і сталі, термоядерного синтезу, проблеми управління потоками рідкого металу в реакторах на швидких нейтронах, використання магнітного поля в якості засобів впливу на провідні тіла, ставлять перед дослідниками нові завдання, частина з яких може бути вирішена методами магнітної гідродинаміки.

Серед різноманітних рідкометалевих магнітогідродинамічних потоків особливий інтерес для дослідників представляють електровихрові течії, що утворюються в результаті взаємодії неоднорідного електричного струму густиною j з власним магнітним полем B [1].

Обертання Землі також можна розглядати з точки зору магнітної гідродинаміки. Для цього ставляться експерименти, що моделюють обертання Землі у магнітному полі, щоб розкрити природу фізичних ефектів, що приводять до обертання, та знайти модельне підтвердження цього явища. Прикладом однієї з таких установок є установка, поміщена у магнітне поле, що складається з циліндричної судини та двох електродів (циліндричного та кільцевого). За допомогою приведеної конструкції моделюються магнітогідродинамічні ефекти, що протікають в надрах Землі - в електропровідній магмі.

Об'єктом дослідження є установка з двома електродами - циліндричним та кільцевим.

Предметом дослідження є електромагнітні поля, об'ємні електромагнітні сили, електровихрові течії, які виникають в установці, що досліджується.

Метою роботи є моделювання електромагнітних та гідродинамічних явищ в лабораторній установці з вивчення магнітогідродинамічних ефектів.

Основні завдання дослідження. Для досягнення поставленої мети передбачається розв'язати низку завдань, основними з яких є:

1. уточнити математичну модель для визначення електромагнітних, гідродинамічних характеристик електропровідної рідини в установці з двома електродами - циліндричним та кільцевим;

2. адаптувати пакет COMSOL Multiphysics, що використовується, та провести комп'ютерне моделювання фізичних процесів;

3. визначити електромагнітні параметри (модуль та напрямок густини струму, модуль та напрямок сили Лоренца, густину джерел джоулева тепла) в установці, що досліджується.

4. визначити гідродинамічні параметри (поле швидкостей, поле турбулентної в'язкості).

Методи дослідження. Для вирішення поставлених завдань використовувалося математичне моделювання, методи чисельного розв'язання крайових задач, використовувався пакет COMSOL Multiphysics. Завдання вирішуються методом кінцевих елементів. COMSOL Multiphysics дозволяє розв'язувати мультифізичні завдання, які описуються комбінацією різних рівнянь у частинних похідних, і завдяки цьому проводитися комплексний аналіз фізичної моделі.

Робота складається з двох розділів.

Перший розділ присвячено аналізу досліджень, що проводилися за суміжними тематиками: динаміка потоку електропровідної рідини у кільцевому каналі; вивчення структури електровихревого руху та моделювання електровихревих течій.

У другому розділі наведені фізична та математична модель процесів, що розглядаються та результати і аналіз чисельного моделювання.

Магістерська робота була апробована на міжнародній конференції "Фізика конденсованого стану - ХХІ" у м.Гродно, Республіка Беларусь, семінарі "Повховськи читання" у Донецькому Національному Університеті та приймала участь у конкурсі молодих вчених Донецького Національного Університету.

1. Електропровідна рідина та її властивості в магнітному полі

1.1 Фізичні процеси в електропровідній рідині при наявності магнітного поля

Ще з часів Фарадея і Ампера відомо, що коли провідник рухається в магнітному полі, то за певних умов в ньому наводиться електричний струм. Справедливо і те, що якщо по провіднику пропускати електричний струм, то на нього діє сила, яка може призвести до руху провідника, а якщо провідник рідкий, то таким способом, можливо, створити течію або істотно вплинути на картину його руху. Таким чином, пропускаючи через рідкий провідник електричний струм у присутності магнітного поля, або просто накладаючи магнітне поле на рухому провідну рідину, стає можливим керувати її рухом, а також створювати специфічні фізичні процеси в її об'ємі. Магнітна гідродинаміка є наукою, яка вивчає ці явища.

Магнітна гідродинаміка - наука про рух електропровідних газів і рідин у взаємодії з магнітним полем. При русі електропровідного середовища (газу, рідини), що знаходиться в магнітному полі, в ньому індукуються електричні поля і струми, на які діє магнітне поле і які самі можуть вплинути на магнітне поле. Таким чином виникає складна картина взаємодії магнітних і гідродинамічних явищ, яка повинна розглядатися на основі спільних рівнянь гідродинаміки та електродинаміки [2]. Магнітна гідродинаміка є наукою, що виникла на границі двох сформованих фізичних дисциплін - механіки суцільних середовищ, частиною якої є гідродинаміка, і класичної електродинаміки, тобто вчення про електричні і магнітні явища, сформульованого в закінченому вигляді Фарадеєм і Максвеллом. В магнітній гідродинаміці так само, як в механіці суцільного середовища і в електродинаміці, не передбачається атомарно-молекулярна будова речовини і є достатньою гіпотеза про безперервність останнього. Сутність цієї гіпотези полягає в тому, що всяке матеріальне тіло може бути розбите на "частки", тобто на досить малі ділянки довільної форми, що безперервно примикають одна до одної. Кожна частинка, таким чином, оточена межами, що відділяють її від сусідніх часток, або межею розділу фаз, якщо вона примикає до неї. Розміри і форма частинок, на які розбивається середовище, в деякій мірі довільні. Однак ці розміри обмежені зверху вимогою однорідності всіх величин, що характеризують частку, в межах обсягу самої частки. З іншого боку, розміри частки, як частини безперервної субстанції, обмежені знизу так, щоб не була помітна молекулярна будова речовини, щоб флуктуації параметрів, викликані тепловим рухом, були свідомо нижче точності вимірювань. Таким чином, в магнітній гідродинаміці використовується макроскопічне поняття про рідини і гази, вони розглядаються як безперервна матерія, їх молекулярна будова не враховується. При розгляді процесів, пов'язаних з дією магнітного та електричного полів на речовину, магнітна гідродинаміка не розглядає електронну структуру речовини, ґрунтується на макроскопічних уявленнях Фарадея-Максвелла.

Як і більшість наук, магнітна гідродинаміка має два напрямки, це фундаментальний напрямок, що вивчає проблеми магнітогідродинамічної турбулентності (МГД-турбулентності), генерації рухомою провідною рідиною магнітного поля (МГД-динамо), а так само інші завдання про взаємодію рухомої провідної рідини з електромагнітними полями [3,4,5] і прикладний напрямок, що досліджує МГД-явища в технологічних процесах і пристроях [6,7,8] і розглядає застосування вивчених закономірностей для створення нових магнітогідродинамічних пристроїв і технологій.

З загальних позицій область можливих додатків магнітогідродинамічних впливів в металургійних технологіях можна згідно розділити на три великі групи.

1. Магнітогідродинамічні методи і пристрої для управління течією і обробкою розплавів з використанням цілеспрямованого збудження в провідному середовищі магнітогідродинамічного ефекту за допомогою додатку ззовні електромагнітних полів (необхідно зауважити, що магнітні поля, що впливають на рідкий провідник зі струмом, можуть бути утворені не тільки зовнішніми джерелами, вони можуть утворюватись тим же струмом, який тече по металу). Сюди відносяться різного типу МГД-насоси, регулятори, вентилі та інші пристрої, що служать для транспортування, дозування, перемішування розплавів і впливу на їх структуру при кристалізації.

2. Потужнострумові металургійні установки і технології, в яких в силу специфіки процесів з використанням потужних електромагнітних полів МГД-ефекти проявляються спочатку (визначальними служать ефекти, зумовлені взаємодією електричного струму, що протікає по розплаву, зі своїм магнітним полем) і багато в чому визначають ефективність їх роботи. Це - різні типи електропечей, електролізні установки для отримання металів, процеси електрошлакової переплавки, різного виду електрозварювання і т.д.

3. Принципово нові МГД-методи і пристрої для обробки металів, що дозволяють запропонувати оригінальні металургійні технології, що не існували раніше. Прикладом може служити безтігельна плавка металів, МГД-сепарація і поділ багатокомпонентних розплавів, МГД-методи отримання композитних і монокристалічних напівпровідникових матеріалів, МГД-методи моделювання космічних технологій.

Система рівнянь магнітної гідродинаміки представляє собою більш складну нелінійну систему ніж рівняння електродинаміки та гідродинаміки окремо.

Точних рішень системи МГД-рівнянь навіть для одновимірних течій в каналах, вкрай мало. Рішення ж повної системи тривимірних рівнянь магнітної гідродинаміки в переважній більшості випадків вкрай важко навіть із залученням чисельних методів з реалізацією на електронних обчислювальних машинах. Однак для течії електропровідної рідини в плоских шарах або каналах, мається можливість опису реальних течій за допомогою наближених двовимірних рівнянь.

Такий підхід дозволяє більш глибоко вивчати гідродинаміку процесів в каналах МГД пристроїв, вивчати їх у взаємозв'язку з електродинамічними явищами. Підхід дозволяє отримати ряд специфічних закономірностей корисних для технічних додатків, наприклад, відкриваються можливості конструювання нових МГД-пристроїв і технологій.

При просторовому розподілі струму, що виникає при пропусканні струму через електропровідний розплав, виникне вихрова течія - розплав стане нестійким у просторі. Дати точне визначення турбулентності дуже складно. Зазвичай воно дається шляхом перерахування характерних рис вихрового руху середовищ.

Турбулентність - це тривимірний нестаціонарний рух, в якому внаслідок розтягування вихорів створюється безперервний розподіл пульсацій швидкості в інтервалі довжин хвиль від мінімальних, визначених в'язкими силами, до максимальних, що визначаються граничними умовами течії. Вона є звичайним станом рухомої рідини, за винятком течій при малих числах Рейнольдса [9].

З цього визначення можна виділити ряд характерних властивостей турбулентного руху.

Турбулентність завжди тривимірна і турбулентна течія має три компоненти швидкості.

Турбулентності притаманна властивість безперервності, тобто навіть найменші розміри турбулентності значно перевершують молекулярні розміри і масштаби молекулярного руху (довжину вільного пробігу). Тому для математичного моделювання в якості вихідного рівняння використовуються рівняння Нав'є-Стокса. Однак, рівняння Нав'є-Стокса нелінійні.

Нелінійна система означає, що розглядаються взаємодії збурень різного масштабу, що неприпустимо при лінійних системах. Привести аналітичний опис нелінійних систем дуже складно. Це пов'язано з відсутністю єдиних методів розв'язання нелінійних рівнянь. Аналітичне розв'язання є тільки для деяких окремих випадків, в інших же випадках використовуються чисельні методи.

Для турбулентних течій притаманний нерегулярний або випадковий характер зміни параметрів у просторі та часі. Також спостерігається високий рівень пульсацій параметрів руху.

Турбулентні рухи суцільного середовища завжди дисипативні. В'язкі напруги зсуву виконують роботу деформації, яка збільшує внутрішню енергію середовища за рахунок кінетичної енергії турбулентності. [10]

А турбулентність у магнітному полі ще більш складне питання. Найпростіші міркування приводять до того, що в магнітному полі повинна підвищуватися стійкість течії провідних рідин. Дійсно, будь-яка флуктуація швидкості деякого елемента рідини супроводжується появою індукованого електричного струму, на який згідно з принципом Ленца діє сила, спрямована проти руху даного елемента щодо потоку.

Звідси випливає, що магнітне поле перешкоджає розвитку збурень, підвищує стійкість течії, а вже існуючу турбулентність пригнічує. Це було математично доведено ще в 1954-1955 рр. методами лінійної теорії гідродинамічної стійкості для двох найбільш характерних випадків - течії в поздовжньому полі (Стюарт) і течії в поперечному полі (Локк). Але, з іншого боку, магнітне поле може взаємодіяти і з усередненою стаціонарною течією. При цьому вплив на стійкість відбувається через посередництво зміни профілю усередненої швидкості течії (так званий ефект Гартмана). Цей вплив може виявитися набагато істотніше, ніж безпосередній вплив на збурення, причому зміна профілю усередненої швидкості може призводити не тільки до підвищення, але і до зниження стійкості, як, наприклад, при впливі поперечного магнітного поля на течію Куетта.

Термін "пригнічення турбулентності" відображає факт деякого зменшення при невеликих числах Гартмана коефіцієнта опору турбулентного потоку л, досягнення ним певного критичного значення і подальшого його зростання вже відповідно з ламінарним законом опору.

На підставі розгляду поведінки коефіцієнта опору турбулентного потоку були введені різні "критичні" параметри, що визначають зміну режимів течії. Найбільш поширенішим з них є параметр (M/Re)_k В теперішній час встановлено, що при досягненні значення (M/Re)_k ? 4·10^-3 коефіцієнт опору підпорядковується ламінарному закону. Це число приймають за деяку верхню межу.

Вивчення локальних флуктуаційних характеристик потоку показало, що ламінізований стан течії взагалі не можна ототожнювати з дійсно ламінарним рухом. Виявилося, що навіть при закритичних по опору значеннях критерію (M/Re)_k на всій довжині експериментальної ділянки зберігається дуже високий рівень пульсацій швидкості [2].

У зв'язку з цим виникає питання, якою структурою повинен володіти турбулентний потік, щоб протистояти впливу магнітного поля? Відповідь на це питання було дано в роботі А. Цинобера і Л.Кіта [11], в якій вказувалося на те, що поле прагне пригнічувати головним чином компоненти вихорів, вісь яких перпендикулярна полю, і не робить ніякого впливу на збурення, вісь яких паралельна магнітним силовим лініям. Ймовірно, в якійсь мірі можлива також переорієнтація частини вихорів в положення, при якому поле на них не робить впливу. Турбулентність у магнітному полі трансформується в систему двовимірних збурень, на які поле абсолютно не діє і які розсіюються тільки в'язкими силами. Подібна ситуація характеризується так званою двовимірною турбулентністю в потоці.

Двовимірна турбулентність приваблює в даний час увагу дослідників у зв'язку з тим, що цей вид руху характерний для ряду астрофізичних і геофізичних об'єктів: атмосфери, фотосфери Сонця, океанічних течій і т.д. Вивчати ці потоки в природі дуже важко, проте в даний час існує думка, що в магнітній гідродинаміці, за допомогою моделювання, така можливість з'являється.

Увагу вчених також приваблює магніторотаційна нестабільність. Це нестійкість провідної рідини, що обертається у магнітному полі.

Стійкість обертається рідини без магнітного поля вивчалася Куеттом, Маллоком, Релєєм, Тейлором. Локальну умову стійкості рідини, що обертається, можна отримати з таких міркувань. Виберемо довільний елемент рідини (елемент обсягу) в шарі, розташованому на деякій відстані від осі обертання, і змістимо по радіусу цей елемент. У новому положенні при малій в'язкості (тобто при великому числі Рейнольдса) елемент збереже момент кількості руху, пропорційний його азимутальній швидкості. Подальший рух елемента по радіусу залежатиме від співвідношення між відцентровою силою, що діє на нього, і градієнтом тиску в цьому шарі. У рівновазі градієнт тиску врівноважує відцентрову силу, що діє на навколишню рідину. Якщо навколишня рідина має менший момент кількості руху, то рівноважний градієнт тиску виявиться недостатнім для утримання в цьому шарі зміщеного елемента і розвинеться нестійкість. Таким чином, течія виявляється нестійкою, якщо момент кількості руху (на одиницю маси) r²Щ падає з радіусом (критерій Релея)

(1.1)

Інша річ, якщо рідина виявляється провідною і поміщена в магнітне поле. Для конкретності розглянемо обертання добре провідної рідини (велике магнітне число Рейнольдса) навколо осі, паралельної магнітному полю. При зсуві елемента обсягу магнітна силова лінія виявляється вмороженою у вихідний шар і зберігається кутова швидкість елемента. Для стійкості течії необхідно, щоб кутова швидкість Щ не зменшувалась з радіусом, тобто

(1.2)

Ця умова глобально не може бути виконана, оскільки швидкість десь перевищить швидкість світла. При цьому критерій не залежить від величини магнітного поля.

Магнітне поле дестабілізує рух рідини аж до деякого граничного значення. Сильне магнітне поле за рахунок натягу магнітних силових ліній стабілізує потік.

У природі магніторотаційна нестійкість, мабуть, спостерігається в рідкому ядрі Землі [12], в зірках, наприклад в Сонці [13]. У рідкому ядрі Землі джерелом нестійкості може бути диференціальне обертання, викликане термічною та хімічною конвекцією рідкого ядра. Диференціальне обертання викликає поява магніторотаційної нестійкості, генеруючої магнітне поле. У свою чергу поле ліквідує диференціальне обертання. У результаті взаємодія двох процесів, можливо, пояснює періодичні зриви магнітного поля з характерним часом близько 10000 років, розділені тривалими періодами (сотні тисяч років) стабільного існування поля. У Сонце МРН призводить до того, що 70 відсотків Сонця обертається як тверде тіло [13].

Для спостереження магніторотаційної нестійкості необхідно досягти досить великих (що істотно перевершують одиницю) магнітних чисел Рейнольдса, використовуючи як рідину рідкий натрій. Найбільша установка створена в Університеті Меріленда (D. Lathrop, Maryland, USA) - обертається сфера діаметром в 4 метри. Друга проблема пов'язана з створенням початкового профілю швидкості для вивчення нестійкості. Магнітне поле призводить до появи вторинних течій, а високі числа Рейнольдса призводять до збудженню гідродинамічної турбулентності. У ГНЦ РФ ФЕІ (Обнінськ, Росія) обертання збуджується струмом, що протікає поперек магнітного поля, що може дозволити виключити вторинні течії і гідродинамічну турбулентність.

Все сказане раніше дозволяє, таким чином, зробити висновок про те, що накладення магнітного поля на турбулентний потік призводить до того, що відбуваються складні і різноманітні перетворення всіх магнітогідродинамічних параметрів течії. По всій імовірності, при збільшенні числа Маха M, тобто при накладенні на потік дуже сильного магнітного поля, повинні бути виявлені ще складніші перетворення в потоці.

Вивчення процесів, що протікають в електропровідній рідині це один з найперспективніших напрямів у науці. На даний момент не побудовані універсальні моделі для опису турбулентності. Вже існуючі моделі спираються на емпіричні константи, що різко обмежує коло застосування обраної моделі.

У силу неможливості отримати поле швидкостей в рідині, яка рухається, застосовується чисельне моделювання.

1.2 Чисельне моделювання магнітогідродинамічних потоків

Всі процеси і явища можна умовно поділити на два класи: ті, що формалізуються і ті, що не формалізуються. Перші можуть бути описані математичною моделлю, тобто системою диференціальних рівнянь. Остання доповнюється крайовими умовами. Більшість процесів і явищ, що відбуваються в природі, вимагають опису складними моделями, часто тривимірними. Тому часто вони не можуть бути вирішені аналітично, і дослідники змушені застосовувати чисельні методи. Всі чисельні методи можна розділити таким чином: методи кінцевих різниць і методи кінцевих елементів. Метод кінцевих елементів - чисельний метод розв'язання крайових задач, сьогодні він застосовується при моделюванні всіляких ситуацій. В основі методу лежить принцип поділу досліджуваної області на сукупність підобластей. Звідси метод і отримав свою назву. Аналіз методом кінцевих елементів сьогодні застосовується достатньо часто, і це не дивно. Насправді, метод кінцевих елементів має ряд переваг, однак, і він не позбавлений недоліків. Основна перевага метода кінцевих елементів полягає в його універсальності, тобто можливості вирішувати практично будь-які крайові задачі. З його допомогою можна описати будь-яку область, так як, наприклад, трикутники і тетраедри легко покривають навіть складні об'єкти. У потрібних підгалузях можна легко збільшити густину обчислювальної сітки, щоб підвищити точність обчислень. Взагалі, точність розрахунків підвищується за рахунок подрібнення елементів сітки. Тим не менш, у методу кінцевих елементів є й недоліки. У першу чергу, це великий час вирішення завдань, який збільшується при подрібненні сітки, ускладненні постановки і т.п. У цьому питанні він програє методу кінцевих різниць.

Метод кінцевих елементів реалізований у великому числі програм (CAD/CAM продуктів, системах автоматизованого проектування - САПР). Це кінцево-елементні комплекси ANSYS, ADINA, Abaqus, COMSOL Multiphysics тощо. Розрахунок методом кінцевих елементів багатьох процесів в таких програмах проводиться відносно просто, сучасні версії кінцево-елементних комплексів досить зручні для користувача і легкі в засвоєнні. Звичайно, не всі можливості можуть бути реалізовані в графічному інтерфейсі. Для програмування функцій користувача в цих програмах існують вбудовані мови для написання своїх програм, модулів і макросів.

Всі ці програми для виконання аналізу методом кінцевих елементів мають основну загальну рису - в їх основі лежить метод кінцевих елементів. Однак, всі вони мають ряд особливостей і моделювання в кожному з них проводиться за своїм певним сценарієм.

Наприклад, і ANSYS, і COMSOL Multiphysics дозволяють проводити розрахунки методом кінцевих елементів багатьох процесів і явищ, а модулі користувача та функції істотно розширюють їх можливості. У ANSYS є своя вбудована мова програмування APDL (ANSYS Parametric Design language), а в COMSOL Multiphysics можна програмувати мовою, схожою з мовою Matlab (це пов'язано з тим, що раніше COMSOL Multiphysics був інтегрований в Matlab і був його модулем Femlab). Спочатку графічний інтерфейс COMSOL Multiphysics був більш дружелюбним, ніж у ANSYS, однак сьогодні по цих позиціях пакети схожі. Сьогодні обидва пакети дозволяють вирішувати широкий клас задач, в них закладені модулі для вирішення різних пов'язаних проблем, наприклад, електрогідродінаміки, термомеханики тощо. У кожному з пакетів реалізована можливість вирішення пов'язаних пружно-гідродинамічних крайових задач, обчислювальна сітка може бути рухливою. Для моделювання останньої використовується ALE-формулювання.

Кожен з пакетів в базі має достатньо потужні CAD-редактори, однак, в деяких сенсах вони не є повноцінними. Обидва пакети працюють з геометричними об'єктами як з множинами.

Редактори обчислювальних сіток в обох програмах дозволяють створювати трикутні і чотирикутні (у тривимірному випадку тетраедричні і гексаедрічні) сітки.

Основна відмінність ANSYS і COMSOL Multiphysics полягає в їхній концепції. У COMSOL Multiphysics завжди при використанні будь-якого модуля ясно видно постановка задачі, тобто користувачеві доступні і рівняння, що описують процес, і крайові умови в явному вигляді. У ANSYS, навпаки, математична постановка прихована від користувача за вибором елемента. Інженер не бачить рівнянь і крайових умов у тому вигляді, в яких їх звикли бачити фізики і математики. У ANSYS вибір елемента означає вибір рівнянь, що описують процес. У COMSOL Multiphysics вибір елемента ні до чого не зобов'язує, рівняння задаються окремо при виборі модуля або завданням їх коефіцієнтів і констант.

Comsol mupltiphysics - потужний пакет для виконання розрахунків методом кінцевих елементів. Сьогодні Cosmol multiphysics - це найпотужніша система, що дозволяє вирішувати практично будь-які крайові задачі методом кінцевих елементів. Останнє можливо завдяки тому, що Cosmol multiphysics дає можливість користувачам самостійно задавати рівняння, що описують той чи інший процес, а також ставити крайові умови у формах Діріхле та Неймана. Багата бібліотека матеріалів і широкі можливості завдання своїх власних матеріалів роблять можливості програми ще ширше. Сітковий генератор досить добре працює зі складною геометрією і має безліч функцій щодо поліпшення сіток. На відміну від інших подібний пакетів в Cosmol multiphysics вибір кінцевого елемента не означає вибір рівнянь, що моделюють процес. Тут елемент - число геометрична фігура, що дозволяє розбити досліджувану область на підобласті. Потужний і водночас інтуїтивно зрозумілий постпроцесор володіє всіма необхідними функціями і параметрами для візуалізації та обробки розрахункових числових даних.

1.3 Експерименти, що демонструють поведінку електропровідної рідини в магнітному полі

1.3.1 Двовимірна динаміка магнітогідродинамічного потоку у кільцевому каналі І.В. Хальзев (РНЦ "Курчатовський інститут")

Розглянута стадія розгону нестисливої провідної в'язкої рідини (рідкого металу) в кільцевому каналі прямокутного перерізу зі стінками кінцевої провідності. Розгін обумовлений силою Лоренца J?B, що виникає при пропущенні через рідину електричного струму перпендикулярно зовнішньому магнітному полю [14].

Досліджуються параметри стадії розгону і процес встановлення стаціонарної течії рідкого металу в експерименті, що полягає в пропущенні струму через рідкий натрій в кільцевому каналі. Особливу увагу приділено обчисленню кінцевої провідності і товщини стінок каналу. У статті представлені рівняння, що описують двовимірну динаміку магнітогідродинамічних течій в кільцевих каналах, сформульовані граничні та початкові умови для даної проблеми. Подібна система виходить при описі течії рідкого металу між двома нескінченними пластинами у вертикальному магнітному полі (гартмановська течія).

Отримані наближені аналітичні розв'язання, що описують розгін рідини між двома нескінченними пластинами; показаний зв'язок цих розв'язань з випадком кільцевого каналу. У практично важливих випадках - при великих числах Гартмана - час встановлення стаціонару сильно залежить від пристінкового відношення c_z і величини Ha. Стаціонарні величини струму, що протікають через натрій, і тороїдальної швидкості (або кутового моменту) також визначаються цими параметрами.

Також наведені результати чисельних розрахунків двовимірної динаміки рідини. Для чисельного розв'язання нелінійної системи рівнянь

(1.3)

(1.4)

(1.5)

(1.6)

де використані позначення

і введено безрозмірне число Прандтля:

з умовами

(1.7)

(1.8)

(1.9)

(1.10)

(1.11)

використовувалася ітераційна схема Гауса-Зейделя, докладно описана в роботі [15]. Вказана схема була модифікована для розрахунку динаміки і доповнена початковими умовами на функції, що шукаються.

Кінцева провідність верхньої і нижньої стінок каналу має суттєвий вплив на стаціонарні розподіли струму в каналі і швидкості натрію.

По натрію в центральній області каналу протікає 9,8% від повного струму, а інша частина тече по стінці. Система натрій та стінка еквівалентна паралельно з'єднаним провідникам з опорами R_NaHa/(_NaL) и R_w1/(_wd) відповідно (тут враховано, що практично весь струм в натрії тече в гартмановской шарах товщиною L/Ha).

1.3.2 Чисельне та експериментальне дослідження структури закрученої електровихревої течії (В.Г. Жилін, Ю.П. Івочкін, І.О. Тепляков, А.А. Гусева, Ю.Н.Токарев)

У роботі освітлені питання про електровихревий рух евтектичного сплаву в напівсферичному обсязі і показано, що силова взаємодія зовнішнього магнітного поля малої інтенсивності (наприклад, магнітне поле Землі) з електричним струмом може призвести до закручення електровихревих течій в обсязі електроплавильної ванни, утворення вторинних вихорів і корінної перебудови всієї гідродинамічної структури потоку. Проведено чисельне моделювання полів швидкості і температури, результати яких узгоджуються з наявними дослідними даними. На відміну від попередніх досліджень, тут докладно розглядається процес і фізика явища спонтанної закрутки електровихрових течій [16].

Для фізичного моделювання електровихрових течій, що мають місце в електрошлакових технологіях і при електродуговій плавці металів, була використана робоча ділянка з осьовою симетрією (див. рис. 1.2), що представляє собою мідну півсферу, заповнену евтектичним сплавом індій-галій-олово. Зміст за вагою металів у сплаві Ga - 67%, In - 20.55, Sn - 12.5%. Діаметр напівсферичної чаші, яка одночасно є великим електродом, становив 188 мм. Малий електрод (мідна півсфера діаметром 5 мм) була розташована в центрі робочої ванни і занурена в рідкий метал на глибину свого радіусу.

В якості вимірювача швидкості в обсязі сплаву, що досліджується використовувався оригінальний волоконно-оптичний перетворювач, розроблений в ОІВТ РАН [17]. Як показали результати спеціально поставлених експериментів, волоконно-оптичні перетворювачі можуть бути коректно використані для вимірювання швидкості потоків рідких металів (з подальшим застосуванням отриманих дослідних даних в якості еталону), тільки в умовах, коли градієнт температури в напрямку, перпендикулярному осі датчика не перевищує 0.2 К/мм.

Швидкість на поверхні сплаву визначалася методом візуалізації потоку за допомогою спеціальних міток - бульбашок водню, що утворюються при контакті розчину соляної кислоти налитого на поверхню металу з галієм (Ga + HCl > GaCl3 + H2).

Результати, отримані при відносно малих значеннях сили електричного струму (I ? 400A) і видимій відсутності горизонтальної закрутки потоку підтвердили, що інтенсивна електровихрова течія спостерігається лише в області поблизу малого електрода, а поля швидкості задовільно описуються закономірностями струменевих течій.

Подібний збіг підтверджує правильність проведених чисельних обчислень, незважаючи на те, що інтенсивність пульсацій швидкості електровихревої течії в цій області сягає ~ 20% від її осредненної складової.

У чисельних обчисленнях використовувалася RNG та k-е модель турбулентності.

Тривимірна вісесиметрична система нестаціонарних рівнянь нерозривності, Нав'є-Стокса та енергії, в циліндричних координатах вирішувалася методом контрольного об'єму з використанням системи ANSYS Fluent.

Авторами розглянуто також одна з особливостей вісесиметричних електровихревих течій, яка проявляється в їх спонтанної закрутці. Фізичні причини виникнення цього явища досі не зовсім зрозумілі. Один з можливих механізмів виникнення руху в горизонтальній площині може бути обумовлений силовою взаємодією електричного струму, який розтікається в електропровідній рідини, з магнітним полем Землі. Прямий експериментальний доказ цього припущення пов'язаний з серйозними методичними труднощами, викликаними необхідністю усунення (компенсації) впливу зовнішніх магнітних впливів. Чисельне розв'язання поставленого завдання не представляє особливих складнощів, але попередньо необхідно перевірити застосовність чисельних методів, що використовуються, для розглянутого випадку ЕВТ. З цією метою результати обчислень були порівняні з даними спеціального експерименту. У досліді відоме зовнішнє магнітне поле, що взаємодіє з електричним струмом, який розтікається по рідкому металу (сила струму I = 400А), створювалося цим же струмом, але протікає по горизонтальній ділянці струмопроводу, розташованого на відстані 400 мм від вісі робочої ділянки. Швидкість горизонтальної закрутки на поверхні розплаву визначалася з переміщення водневих міток, а в його об'ємі за допомогою волоконно-оптичного перетворювача.

Результати проведених чисельних обчислень, достовірність яких заснована на задовільних отриманих експериментальних даних, свідчать, що зовнішні магнітні поля відносно малої інтенсивності (тобто співрозмірні з магнітним полем Землі) можуть істотно впливати на структуру електровихревих течій у рідкометалевих ваннах при різних потужнострумових технологічних процесах.

Було підтверджено, що в рідкометалевих ваннах з осьової симетрією, спонтанна азимутальна закрутка, характерна для електровихрових течій з подібною геометрією контейнера, може бути обумовлена силовою взаємодією електричного струму з магнітним полем Землі, вплив якого надзвичайно складно усунути в експерименті. За відсутності горизонтальної закрутки в об'єкті, що досліджується - напівсферичній ванні, яка заповнена рідким металом (евтектичний сплав індій - галій - олово) електровихрева течія являє собою вісесиметричний тороїдальний вихор, що обертається таким чином, що рух рідини поблизу вільної поверхні направлений у бік центрального електрода. У цих умовах течія поблизу малого електрода описується закономірностями, характерними для струменевих течій.

1.3.3 Моделювання електровихрових полів у металургійних печах (Казак О.В., Сємко О.М.)

В роботі приведено моделювання електровихрових полів в металургійних печах. Розроблений та приведений детальний алгоритм розв'язання задачі та отримані результати чисельного моделювання електровихревих течій в розплаві сталі, які виконані за допомогою програмно-обчислювального комплексу ANSYS [18].

Дослідження фізичних процесів, які протікають в металургійних печах зв'язані з великими експериментальними та теоретичними складностями. Це обумовлено складністю цих процесів. Методи вимірювання поля швидкостей руху розплаву, що були описані в роботі "Численное и экспериментальное исследование структуры электровихревого течения (В.Г. Жилін, Ю.П. Івочкін, І.О. Тепляков, А.А. Гусева, Ю.Н.Токарев)", не можуть бути застосовані у випадку сталеплавильних печей бо тут мають місце екстремальні значення багатьох параметрів - висока температура, велика сила струму, сильні магнітні та електричні поля тощо.

Комп'ютерне моделювання, в свою чергу, дозволяє коректно відобразити всі процеси без значних витрат.

В роботі розглядається металургійна сталеплавильна піч постійного струму з подовим електродом.

При пропусканні струму метал починає рухатися. Цей рух носить вихровий характер и обумовлений силою Лоренца, що діє на рідкий провідник - розплавлену сталь. Перед дослідниками стояла задача отримати розподіли електромагнітних, гідродинамічних та теплових параметрів.

Розглянута задача не має аналітичного розв'язку тому розв'язувалась чисельно. Для моделювання використовувалася система ANSYS та реалізовувався метод кінцевих елементів. Завдання поєднує в собі декілька розділів фізики, а саме електродинаміку, гідродинаміку та тепломасопереніс. Для реалізації моделювання у програмно-обчислювальному комплексі, задача була в три етапи:

1 - й етап - моделювання електромагнітних полів;

2 - й етап - моделювання електровихрових течій;

3 - й етап - моделювання електровихрових течій з урахуванням теплообміну і конвекції.

Така послідовність пояснюється вимогами до проведення послідовного сполученого аналізу в системі ANSYS [19]. Основна ідея даного аналізу полягає в тому, щоб зв'язати дві області (дисципліни) шляхом завдання результатів розв'язання кожного етапу аналізу в якості навантажень для наступного етапу аналізу. Вузлові значення розрахункових параметрів на кожному етапі задавалися в якості навантажень "сила на тіло" в наступному аналізі напруг. Результатами електромагнітної завдання є значення складових по осях X, Y, Z електромагнітної сили і густини магнітного потоку, знайдені для кожної вузлової точки розрахункової області. На підставі цих даних розраховувалися складові швидкості руху розплаву (2-й етап), викликані електромагнітним впливом - силою Лоренца. Крім того результатом рішення 1-го етапу є кількість тепла на одиницю обсягу розплаву, отримана в кожній вузловій точці. Значення цієї теплоти можна використовувати як вихідні дані для розв'язання теплової задачі (3-й етап).

Моделювання електромагнітних полів у системі ANSYS реалізується послідовно в два етапи. На першому етапі розв'язується завдання визначення густини електричного струму в усіх струмопровідних елементах, включаючи розплав. Для цього виконується розв'язання системі рівнянь Максвелла методом скалярного електричного потенціалу.

Другий етап полягає у визначенні магнітного поля в розрахунковій області. Оскільки в моделі є феромагнітні області, що утворюють замкнуті контури (наприклад, корпус), для розв'язання використовується узагальнений метод скалярного магнітного потенціалу (General Scalar Potential).

В результаті моделювання показано, що просторовий розподіл струму в печі призводить до електровихрового руху розплавленого металу. Для опису процесів в електричній печі адаптована модель магнітної гідродинаміки, яка враховує просторовий розподіл струму, електричного і магнітного полів, температури, силу Лоренца, джоулево тепло і конвекцію. Розроблена стратегія вирішення поставленого завдання. У вісесесиметричній і просторовій постановці поставлена і вирішена модельна задача, на якій відпрацьовані методи розрахунку електромагнітних полів в ANSYS, оцінено вплив умов на кордонах розрахункової області на параметри в центральній зоні. За результатами розрахунків визначено оптимальний тип кінцевих елементів, розміри сітки і вид аналізу. Результати розрахунків в ANSYS порівнювалися з аналітичними припущеннями, експериментальними даними і розрахунками в COMSOL Multiphysics. Хороший збіг розрахунків різними методами і пакетами свідчить про надійність методів і достовірності результатів.

З проведених розрахунків можна зробити наступні висновки. Запропоновані моделі і методи дозволяють розрахувати електромагнітні та силові поля для моделі електричної печі. Встановлено, що максимальні значення індукції магнітного поля, густини струму і сили Лоренца локалізовані в безпосередній близькості анода (подового електрода) на відстанях порядку радіуса електрода. При видаленні від анода ці величини швидко зменшуються. За оцінками об'ємна густина сили Лоренца становить близько 30% сили тяжіння.

1.3.4 Незвичайний ефект у електропровідній рідині, що пояснює секрет обертання Землі і причини виникнення циклонів, тайфунів, торнадо (Косинов Н. В., Гарбарук В. И., Косинов Л. В.)

Російськими вченими Косиновим Н.В., Гарбаруком В.И., Косиновим Л.В. проведені експерименти, які показали, що при пропусканні електричного струму через електропровідну рідину, що знаходиться в магнітному полі, рідина приходить у вихровий рух та спостерігається поява градієнту температури. Цей фізичний ефект, по своєму зовнішньому прояву має велику аналогію з обертанням Землі, а також з деякими іншими проявами в її надрах і на поверхні [20]. Ефект вихрового руху і температурний ефекти, що спостерігаються в лабораторних умовах, на думку авторів, можуть бути поширені на велику кількість природних явищ.

Опис ефекту вихрового руху середовища приведений на прикладі розплавленого олова. Кювета з оловом поміщується в магнітне поле, вектор магнітної індукції якого спрямований вертикально (рис. 1.4). Чотири прямі стрілки на малюнку показують положення стрілки компаса при проведенні експерименту. У центральній частині судини в розплавлений метал опущений електрод. Другий електрод виконаний кільцевим. Він встановлений по периметру судини і опущений в рідину.

Рисунок 1.4 - Схема лабораторної установки: 1 - посудина, 2 - розплавлений метал, 3 - спіральна котушка, 4 - металеве кільце, 5 - електрод, "S" - південний магнітний полюс, "N" - північний магнітний полюс

При протіканні струму через електропровідну рідину, остання приходить у вихровий рух, що спостерігається в зоні між центральним і периферійним електродами з центром вихору у центрального електрода. Напрямок руху розплавленого металу показано стрілкою на рисунку 1.5. Частота обертання максимальна в центрі і зменшується до периферії.

Рисунок 1.5 - Напрямок вихрового руху середовища: 1 - посудина, 2 - розплавлений метал, 3 - металеве кільце

Вихровий рух розплавленого металу з'являється навіть при незначному струмі. Починаючи зі струму в декілька ампер, він впевнено спостерігається візуально. При подальшому збільшенні струму інтенсивність вихрового руху різко зростає, що призводить до утворення глибокої лійки в центрі судини (рис.1.6).



Рисунок. 1.6 - Вихровий рух розплавленого олова в магнітному полі

При зміні напрямку магнітного поля або при зміні полярності прикладеної напруги напрям вихрового руху змінюється на протилежне.

Вихровий рух рідини в магнітному полі супроводжується температурним ефектом. Сутність його полягає в тому, що у вихровому середовищі виникає градієнт температури. Підвищення температури середовища біля одного електрода супроводжується зниженням температури середовища біля іншого електрода. Це проявляється в експерименті як утворення твердої фази металу біля одного з електродів (рис.1.7а та 1.7б).

Рисунок 1.7 - Температурний ефект, що супроводжує вихровий рух в магнітному полі

При полярності прикладеної напруги такою, як показано на рис.1.4, тверда фаза металу з'являється в центрі. Якщо зробити короткочасне відключення струму, то твердий острівець застиглого металу починає танути. Повторне включення струму знову призводить до утворення твердого олова в центрі. Якщо в процесі росту твердої ділянки поміняти напрям магнітного поля як показано на рис.1.8, то напрям вихрового руху розплавленого металу змінюється на протилежне. Одночасно спостерігається інтенсивне розплавлення твердого ділянки в центрі. При цьому у металевого кільця по краю судини спостерігається поява твердого олова.

Рисунок 1.8 - Вихровий рух електропровідної рідини та утворення твердої фази металу по краю посудини: 1 - посудина, в якому знаходиться розплавлений метал 2 - олово, 3 - спіральна котушка, через яку пропускається електричний струм 4 - металеве кільце, підключене до джерела струму, 5 - електрод, підключений до джерела струму, 6 - твердий метал, "S" - південний магнітний полюс, "N" - північний магнітний полюс

Таким чином фіксується поява градієнта температури між центральним і периферійним електродами. При полярності прикладеної напруги такою, як показано на рис.1.4, в зоні "полюси" розплав кристалізується, а в зоні "екватора" відбувається збільшення температури

При зміні полярності, як показано на рис.1.8, утворення твердої фази відбувається в зоні умовного "екватора". Це ж спостерігається при зміні напрямку протікання струму і при незмінній полярності магніту. При одночасному зміні напрямку струму і магнітного поля напрям вихрового руху залишається незмінним.

Автори вважають, що подібний ефект проявляється в природі і призводить до утворення вихорів, торнадо, циклонів [20]. Можливо, він вносить свій внесок у виникнення низьких температур в полярних зонах Землі а саме, що в основі утворення вічної мерзлоти на Землі і низьких температур в полярних зонах Землі лежить розглянутий вище температурний ефект. У розглянутому експерименті (рис.1.4, рис.1.5) магнітне поле має такий же напрямок, як і напрямок магнітного поля Землі. Обертання електропровідної рідини має такий же напрямок, що і напрямок обертання Землі.

2. Чисельне моделювання фізичних процесів у лабораторній установці

2.1 Чисельне моделювання електромагнітних полів

У лабораторних умовах спостерігалися фізичні ефекти, у яких при протіканні електричного струму через електропровідне середовище, поміщене в магнітне поле, виникають градієнти температури середовища, а також вихрові рухи середовища [20].

Основні припущення, прийняті при моделюванні електромагнітних процесів у провідному розплаві при наявності магнітного поля:

- Процес стаціонарний.

- Процес вісесиметричний.

- Фізичні характеристики середовища (провідність, коефіцієнти в'язкості й теплопровідності й т.д.) передбачаються однорідними й ізотропними й не залежать від температури й тиску.

- Хімічні реакції не враховуються.

- Середовище вважається немагнітним (його магнітна проникність мало відрізняється від одиниці).

- Магнітне поле Землі не враховується.

Для побудови математичної моделі за якою можна провести розрахунок електричного, магнітного полів, струморозподілу та величини об'ємної електромагнітної сили, розглянемо установку з циліндричним та кільцевим електродами (рис. 2.1, 2.2).



Рисунок 2.1 - Основні розміри установки: 1 - циліндрична посудина, 2 - розплавлений метал, 3 - лінії індукції зовнішнього магнітного поля, 4 - кільцевий електрод, 5 - циліндричний електрод

Рисунок 2.2 - Тривимірна модель установки

Для дослідження розподілу струму в провідниках застосовуються методи, які використовуються для розрахунку електромагнітних полів. У провідних середовищах, струмами зміщення можна знехтувати внаслідок їх незначності в порівнянні зі струмами провідності.

Для отримання чисельних характеристик руху розплаву - розподіл електромагнітних параметрів (густина струму, поле сили Лоренца, поле джоулева тепла) та поле швидкостей - використовувалися методи чисельного моделювання, а саме метод кінцевих елементів, та програмно-обчислювальний комплекс COMSOL Multiphysics 3.5a [21,22].

Для моделювання електромагнітних процесів у COMSOL Multiphysics 3.5a використовувався AC/DC Module, який призначений для моделювання завдань електромагнітних явищ як змінного, так і постійного струму.

Режими, що застосовуються в AC/DC модулі, утворюють повний набір інструментів для моделювання електромагнітних полів. Щоб вибрати правильний режим додатків для опису реальної фізики, необхідно враховувати геометричні властивості і тимчасові варіації полів.

Якщо скін-шар у всіх областях набагато більше, ніж геометрія, можна зробити наближення квазі-статики для електричних струмів, нехтуючи зв'язком між електричними і магнітними полями. З нехтування індукованих струмів випливає, що

(2.1)

що означає, що електричне поле в умовах електричного потенціалу виражається тільки як .

Завдання вирішується в вісесиметричній постановці щодо скалярного потенціалу. Модуль AC/DC, режим In-Plane Meridional Currents, Potential. Процеси, що моделюються - стаціонарні. Вектори магнітного потенціалу та електричного струму перпендикулярні площині моделі. Циліндр з провідною рідиною (радіально-осьовий переріз) представлений у вигляді прямокутника, кільцевий та циліндричний електроди також у вигляді прямокутників. Площина, що моделюється - площина rz; горизонтальна вісь моделі є радіальної віссю r системи, вертикальна вісь моделі збігається з віссю симетрії системи z. Повна тривимірна модель може бути отримана поворотом вісесиметричної моделі навколо осі z на 360 градусів.

Система рівнянь, що використовуються при розв'язанні поставленої задачі, має вигляд:

Рівняння Максвела:

 (2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

Закон Ома для середовища, що рухається:

(2.6)

де - питома провідність розплаву. (Ом * м)^-1; с - питомий опір розплаву, (Ом * м).

Для постійного струму поверхневий ефект відсутній, тому при описі поля електричних потенціалів в вісесиметричній установці використовувалося рівняння Лапласа в циліндричних координатах:

(2.7)

(2.8)

Виходячи з осьової симетрії, моделювання можна проводити лише для половини установки.

З фізичних міркувань зрозуміло, що найвищий потенціал буде на циліндричному електроді. Можна представити його в безрозмірному вигляді

(2.9)

Величину струму, що протікає через довільну площадку S в судині, можна визначити як

(2.10)

Використовуючи відомі значення U₁ та U^* (потенціал, що представлений в безрозмірному вигляді, який розрахований для довільної точки розрахункової ділянки), можна відновити розмірне поле потенціалів U = f (r; z). Маючи поле потенціалів U (r; z), можна визначити значення напруженості електричного поля як градієнт потенціалу

(2.11)

Отриманий розподіл електричних струмів може бути використаний для визначення магнітного поля у циліндричній судині.

Для визначення магнітного поля в довільній точці скористаємося законом Біо-Савара-Лапласа в диференційній формі

(2.12)

де dV - елемент об'єму; - радіус-вектор від елемента провідника у розглянуту точку.

Джоулево тепло:

(2.13)

Сила Лоренца що діє на одиницю об'єму рідини:

 (2.15)

де - сила Лоренца; - вектор магнітної індукції.

Рисунок 2.3 - Сила Лоренца, яка діє на одиницю об'єму рідини

Сила Лоренца є одним з параметрів, що розраховується в модулі. Вона зазначена як змінна з назвою FLtz. Поле сили Лоренца розраховується за допомогою раніше отриманих значень для густини струму та індукції магнітного поля. Компоненти (r та z) сили Лоренца:

(2.16)

(2.17)

де - z та r компоненти вектора густини струму, - компонента напруженості магнітного поля.

Модуль сили Лоренца:

(2.18)

Граничні умови:

- для електричного поля:

 (2.19)

- для магнітного поля:

(2.20)

- потенціал на поверхні електроду, що підводить струм, відповідає заданій силі струму; на зовнішньому електроді потенціал вважається рівним 0.

Розрахунки проводилися на різних сітках з різною кількістю і формою кінцевих елементів. Була обрана оптимальна розрахункова сітка, її елементи мають форму трикутника. Розрахункова область розбивалась нерівномірно, в залежності від градієнта електромагнітних параметрів: близько електродів сітка складається з дрібних елементів, на інших ділянках, де градієнти величин не настільки істотні, кінцеві елементи мають більші розміри. Дане розбиття дозволяє отримати максимально точні результати без великих витрат розрахункового часу. Досліджено збіжність результатів у різних ділянках досліджуваної області. Збіжність досягається вже при сітці, що містить близько 4000 кінцевих елементів.