Моделирование нагрева асинхронного двигателя

2

Введение

Нестационарные тепловые процессы в электрических машинах имеют место при их эксплуатации. Ими сопровождаются режимы пуска, отключения, торможения, изменения нагрузки и частоты вращения машин. Большое значение процессы нестационарного нагрева имеют при перегрузках по току и напряжению, при частых и затяжных пусках двигателей, а так же при работе их в заторможенном состоянии.

Особенностью нестационарных тепловых режимов, или тепловых переходных процессов, в электрических машинах является их инерционность, проявляющаяся в значительном отставании изменений температуры от электромеханических переходных процессов. Благодаря этому машины могут выдерживать в течение некоторого времени воздействие перегрузок, токов короткого замыкания и других ненормальных условий. Учет тепловой инерционности в расчетах нестационарного нагрева является обязательным условием достоверности результатов.

Повышенная температура электрических машин влияет на долговечность изоляции обмоток, на работу подшипников и др. Повышенная температура обмоток вызывает тепловое старение изоляции, приводящее к необратимому снижению электрической и механической прочности. Правило Монтзингера гласит, что повышение температуры на 8-10⁰ С сокращает срок службы изоляции в два раза.

Основной целью данной работы является создание тепловой модели для выбора асинхронного двигателя по нагреву. Данная модель является упрощенным представлением процессов нагрева и охлаждения двигателя. Суть модели заключается в том, что, задавая характер изменения нагрузки во времени на входе, на выходе имеем кривую изменения температуры меди обмоток или стали статора.

1. Обзор литературы

1.1 Фундаментальные законы теплопередачи

В основе математической модели нагрева двигателя лежит основной закон теплопроводности [1,2,3,4,5], сформулированный Фурье в итоге анализа экспериментальных данных. Данный закон устанавливает количественную связь между тепловым потоком и разностью температур в двух точках тела: количество переданной теплоты пропорционально градиенту температуры, времени и площади сечения F, перпендикулярного к направлению распространения теплоты.

Если количество переданной теплоты отнести к единице времени, то сформулированная зависимость выразится следующим образом:

, (1.1)

где р - количество переданной теплоты, отнесенное к единице времени, то есть мощность;

л - коэффициент теплопроводности;

F - площадь сечения, перпендикулярного к направлению распространения теплоты;

и - температура точек тела.

Знак «минус» в (1.1) означает, что передача теплоты происходит в сторону, противоположную направлению градиента, то есть в сторону понижения температуры.

Коэффициент теплопроводности л в уравнении (1.1) является физическим параметром и характеризует способность вещества проводить теплоту.

, (1.2)

.

Аналитическое решение, полученное путем непосредственного интегрирования уравнения (1.1), дает возможность вычислить температуру в любой точке системы. Однако решение уравнения в частных производных является довольно громоздким и слишком усложняет задачу. Поэтому на практике, для упрощения решения широко используется метод конечных разностей [3]. Сущность метода заключается в том, что в дифференциальном уравнении производные искомой функции заменяются приближенным соотношением между конечными разностями в отдельных узловых точках температурного поля. В результате такой замены получаем уравнение в конечных разностях, решение которого сводится к выполнению простых алгебраических операций:

, (1.3)

где д - расстояние между исследуемыми точками;

Ди - падение температуры на длине д.

Для решения задач по определению температурного поля используют дифференциальное уравнение теплопроводности [1,2,3,4], которое выводится на основе закона сохранения энергии и закона Фурье. При выводе уравнения рассматривается нестационарное трехмерное температурное поле в однородном твердом теле, с распределенными по объему источниками теплоты. В пределах рассматриваемого тела берется элементарный объем dV=dx•dy•dz (рисунок 1.1), достаточно малый для того, чтобы считать физические параметры в нем постоянными, а потери - равномерно распределенными и пренебречь производными выше второго порядка от температуры и по координатам.

Рисунок 1.1 - Элементарный объем dV

Для элементарного объема dV составляется тепловой баланс за элементарный промежуток времени dt. Тепловой баланс является следствием закона сохранения энергии при допущении, что в энергетическом процессе не участвуют другие виды энергии, кроме тепловой:

, (1.4)

где dQ₁ - тепловой поток, притекающий в объем dV за счет теплопроводности;

dQ₂ - мощность источников теплоты, действующих внутри объема;

dQ - повышение внутренней энергии в объеме dV.

На рисунке 1.1 показаны только тепловые потоки, направленные вдоль оси x. Поток, притекающий слева, исходя из закона Фурье:

, (1.5)

тепловой поток, проходящий через противоположную грань (с учетом изменения производной ?и/?x на интервале dx):

. (1.6)

Результирующий приток теплоты за единицу времени вдоль оси x:

. (1.7)

Аналогично для других координатных осей:

; . (1.8)

Суммарный тепловой поток, притекающий в объем dV за счет теплопроводности:

. (1.9)

Мощность источников теплоты, действующих внутри объема:

, (1.10)

где р₀ - мощность потерь в единице объема.

Изменение внутренней энергии в объеме dV:

, (1.11)

где с - удельная теплоемкость тела;

с - плотность материала тела.

Подставив (1.9), (1.10), (1.11) в (1.4) и проведя некоторые преобразования, получаем дифференциальное уравнение теплопроводности в частных производных:

. (1.12)

где - слагаемое, описывающее изменение теплосодержания тела;

- слагаемое, обуславливающее тепловой поток, притекающий в систему за счет теплопроводности;

- слагаемое, обуславливающее внутреннее тепловыделение.

Рассмотрим процесс нагрева тела с собственным тепловыделением мощностью P, с поверхности S которого происходит теплоотдача конвекцией и излучением при коэффициенте теплоотдачи б [1,3,5]. Для упрощения математического описания процесса вводятся следующие допущения:

1. Тело обладает неограниченной теплопроводностью, что приводит к отсутствию градиента температуры по любому направлению в его объеме.

2. Температура окружающей среды и_с неизменна, то есть окружающая среда обладает неограниченной теплоемкостью.

3. Коэффициент теплоотдачи б между поверхностью машины и окружающей средой не зависит от места и длительности протекания процесса.

Уравнение теплового баланса составляется на том основании, что теплота, выделившаяся за элементарный промежуток времени dt, частично идет на изменение собственного теплосодержания тела и частично отводится в окружающую среду. В соответствии с этим уравнение теплового баланса имеет вид [1,3,5]:

, (1.13)

где ДP - выделяемые в данном объеме потери мощности;

и - температура тела;

и_с - температура окружающей среды;

c - удельная теплоемкость;

G - масса исследуемого объема тела;

б - коэффициент теплоотдачи с единицы площади поверхности;

F - площадь поверхности охлаждения.

В правой части уравнения (1.13) первое слагаемое обуславливает повышение температуры тела, а второе - обмен теплотой с окружающей средой.

После преобразования уравнение теплового баланса (1.13) принимает вид:

, (1.14)

где C=с•G - теплоемкость тела;

А=б?F - коэффициент теплоотдачи тела.

1.2 Обзор методов теплового расчета и существующих моделей

В соответствии с разнообразием условий теплоотвода для теплового расчета электрических двигателей используются различные методы [4]:

1. Метод точного или приближенного аналитического решения уравнений для трех- или двухмерных температурных полей обычно применяется при значительной неравномерности поля. При этом зачастую требуются определенные упрощения геометрической формы и граничных условий в математической модели.

2. Численный метод сеток применяется в подобных случаях, но не требует значительных упрощений формы рассчитываемых областей пространства.

3. Метод одномерного температурного поля применяется для расчета распределения температуры по длине обмоток и других частей электрических машин. Основан на приведении трех- и двухмерных полей к одномерному путем упрощенного представления теплопередачи вдоль всех осей координат, кроме одной, с помощью дискретных параметров (тепловых сопротивлений).

4. Метод эквивалентных тепловых схем (ЭТС) получил наибольшее распространение ввиду простоты и достаточной точности расчета. Недостаток метода заключается в том, что он дает не полную картину температурного поля, а только некоторые средние значения температуры для отдельных элементов машины.

Данный метод основан на использовании тепловых сопротивлений [1], которые соединяются в тепловую сеть, имитирующую реальные пути передачи тепловых потоков в машине, и предполагает аналогию теплового потока с электрическим током, основанную на одинаковой форме основного закона теплопроводности (закон Фурье) [6]

(1.15)

и электрического тока (закон Ома)

, (1.16)

где F_т - площадь сечения, перпендикулярного распространению теплоты;

л - коэффициент теплопроводности;

Ди - падение температуры на длине д;

R_т - тепловое сопротивление данного участка на пути теплового потока;

k - удельная электрическая проводимость;

ДU - разность потенциалов на длине проводника l с сечением F_пр;

R_э - электрическое сопротивление.

Узлы тепловой схемы имитируют отдельные части двигателя. Если в какой-либо части двигателя присутствуют распределенные по объему источники теплоты, то при составлении эквивалентной тепловой схемы они заменяются сосредоточенным источником (источником теплового потока), помещенным в узел, имитирующий эту часть. Узлы с внутренним тепловыделением на схеме обозначаются кружками, узлы без тепловыделения - точками.

Для детального расчета значений температур используют подробные эквивалентные тепловые схемы. Так, например в [2] приводится тепловая схема закрытого обдуваемого двигателя (рисунок 1.2). Система уравнений для данной схемы в установившемся режиме:

(1.17)

где m - количество узлов эквивалентной тепловой схемы;

и_в - температура воздуха снаружи машины;

Л_ki=1/R_ki - тепловая проводимость соответствующего участка схемы;

Р_i - потери в i-ом узле.

Отметим, что коэффициент теплоотдачи тела А в (1.14) и тепловые проводимости Л в (1.17) имеют одинаковый физический смысл и размерность. Для расчета нестационарного режима используется та же тепловая схема, но каждый узел соединяется через емкость с внешним воздухом [4]. В этом случае электрическая емкость эквивалентна теплоемкости тела. Система уравнений для нестационарного режима:

(1.18)

где С_i - теплоемкость соответствующего узла схемы.

Рисунок 1.2 - ЭТС закрытого обдуваемого двигателя, учитывающая неоднородность температуры корпуса

Однако авторы [4] замечают, что пользоваться подробными схемами с большим количеством узлов целесообразно лишь в редких случаях (например, при проектировании системы охлаждения машины). В практических расчетах конкретных машин удобнее использовать упрощенные эквивалентные тепловые схемы. Упрощения состоят в том, что симметричные узлы подробной схемы, находящиеся в приблизительно одинаковых условиях, объединяются (лобовые части обмотки, воздух внутри машины, подшипниковые щиты) и эквивалентными преобразованиями тепловая схема преобразовывается в схему с меньшим количеством узлов - источников тепловыделения. Объединение узлов, по сути, является заменой нескольких источников тепловыделения, сгруппированных по определенным признакам, в один. Так, в [4,9] предлагается приведенная эквивалентная тепловая схема закрытого обдуваемого двигателя (рисунок 1.3).

Рисунок 1.3 - Приведенная эквивалентная тепловая схема закрытого обдуваемого двигателя

Данная схема имеет шесть узлов: МЛ - лобовая часть обмотки, МП - пазовая часть обмотки, ВВт - воздух внутри машины, Рот - ротор, ССт - сталь сердечника статора, К - корпус двигателя (станина и подшипниковые щиты). Система уравнений нестационарного режима для схемы (см. рисунок 1.3) имеет вид [4,9]:



где Ди_м,л - превышение температуры лобовых частей обмотки;

Ди_м,п - превышение температуры пазовой части обмотки;

Ди_с,ст - превышение температуры стали пакета статора;

Ди_рот - превышение температуры ротора;

Ди_в,вт - превышение температуры воздуха внутри машины;

Ди_к - превышение температуры корпуса;

С_м,л - теплоемкость лобовых частей обмотки;

С_м,п - теплоемкость пазовой части обмотки;

С_с,ст - теплоемкость стали пакета статора;

С_рот - теплоемкость ротора;

С_в,вт - теплоемкость воздуха внутри машины;

С_к - теплоемкость корпуса;

Р_м,л - мощность электрических потерь в лобовых частях обмотки;

Р_м,п - мощность электрических потерь в пазовой части обмотки;

Р_с,ст - мощность потерь в стали статора на вихревые токи и гистерезис;

Р_рот - мощность электрических потерь в роторе;

Р_в,вт - мощность механических и добавочных потерь;

Л_а - тепловая проводимость между лобовой и пазовой частями обмотки;

Л_м,с - тепловая проводимость между пазовой частью обмотки и сердечником статора;

Л_м,в-тепловая проводимость между лобовыми частями обмотки и воздухом внутри машины;

Л_рот,в-тепловая проводимость между ротором и внутренним воздухом; Л_рот,с - тепловая проводимость между ротором и сердечником статора; Л_в,к - тепловая проводимость между воздухом внутри машины и корпусом;

Л_с,к - тепловая проводимость между сердечником статора и корпусом;

Л_к - тепловая проводимость между корпусом и внешним воздухом.

Системы дифференциальных уравнений (1.18) и (1.19), описывающие процессы нагрева двигателя, по сути, являются тепловыми моделями асинхронного двигателя. Основные факторы, определяющие точность расчета по уравнениям (1.18) и (1.19) следующие:

- точность задания источников теплоты, то есть потерь;

- точность определения тепловых проводимостей Л, которые в свою очередь зависят:

а) от коэффициентов теплопроводности л, которые подвержены значительному разбросу по технологическим причинам, под влиянием появления воздушных промежутков и т.п.;

б) от коэффициентов теплоотдачи б, поскольку имеющиеся для их определения эмпирические формулы и графики не могут учесть всех влияющих факторов и условий.

В связи с этим, а так же для сокращения объема вычислений, рядом авторов [7,8,9,10,11,12] предложены упрощенные математические модели нагрева асинхронного двигателя.

Так в [7,8] предложена тепловая модель двигателя, состоящая из двух цилиндров (рисунок 1.4).



Рисунок 1.4 - Упрощенная модель двигателя как тела нагрева

Внешний цилиндр с теплоемкостью С₂ моделирует массу железа машины, внутренний с теплоемкостью С₁ - обмотки статора. Мощность теплового потока от стали к окружающей среде пропорциональна коэффициенту А₂. Во внутреннем цилиндре предусмотрен канал, моделирующий отвод теплоты потоками воздуха от внутренних частей машины. Мощность теплового потока от меди статора к окружающей среде пропорциональна коэффициенту А₁. Теплопередача между медью и сталью определяется коэффициентом А₁₂, моделирующим термическое сопротивление изоляции.

Данной модели соответствует система уравнений [7,8]:

(1.20)

где Ди_м и Ди_ст - превышения температуры меди и стали соответственно над температурой окружающего воздуха.

В [9] авторы получают уравнения, описывающие поведение температуры обмотки двигателя, путем аналитического решения системы (1.19)

, (1.21)

и замены решения (1.21), состоящего из шести экспонент, приближенным решением, состоящим из двух экспонент:

, (1.22)

где и(t) - текущее превышение температуры обмотки;

и_уст - превышение температуры в установившемся режиме;

I_i - текущее значение тока статора;

I_н - номинальный значение тока статора;

T_max - максимальная постоянная нагрева (постоянная нагрева стали магнитопровода);

T_min - минимальная постоянная нагрева (постоянная нагрева обмотки);

K_н - коэффициент нагрева, учитывающий составляющую превышения температуры стали в превышении температуры обмотки.

По такому же принципу в [9] рассчитывается охлаждение двигателя после отключения его от сети. Зависимость температуры от времени при охлаждении двигателя описывается следующим выражением:

, (1.23)

где T_{o max} - максимальная постоянная охлаждения;

T_{o min} - минимальная постоянная охлаждения;

K_о - коэффициент охлаждения.

Значение и_уст определяется решением (1.19) для установившегося режима, то есть при dи/dt=0.

По сути дела, в модели [9] двигатель так же представлен двумя телами нагрева: обмоткой статора с минимальной постоянной нагрева T_min и сталью машины с максимальной постоянной нагрева T_max. Недостатком данной модели является отсутствие задания начальных условий.

Самой простой тепловой моделью электродвигателя является представление его одним телом нагрева [7,8,10,11]. При этом вводятся следующие допущения:

1. Электродвигатель имеет бесконечно большую теплопроводность и, как следствие, одинаковую температуру по всему объему;

2. Количество теплоты, которым электродвигатель обменивается с окружающей средой, пропорционально разности температур двигателя и окружающей среды;

3. Тепловые параметры электродвигателя и окружающей среды постоянны и не связаны с температурой двигателя (это обстоятельство обеспечивает линейность тепловой модели).

В этом случае уравнение, описывающее нагрев двигателя:

. (1.24)

Решение этого уравнения при постоянстве потерь двигателя ДP=const и, следовательно, постоянном установившемся превышении температуры:

, (1.25)

где Ди(t) - текущее превышение температуры двигателя над температурой окружающей среды;

Ди_уст - установившееся превышение температуры двигателя;

Ди₀ - начальное превышение температуры двигателя;

Т_и=С/А - постоянная времени нагрева.

В силу того, что асинхронный двигатель представляет собой сложную термодинамическую систему, неоднородную по своим тепловым параметрам, последняя модель является довольно грубым приближением.

1.3 Патентное исследование

Известны устройства для защиты двигателя от перегрузок, использующие тепловую модель двигателя. Так, например, выдан патент №2192698 на устройство для защиты двигателей. Принципиальная схема устройства приведена на рисунке 1.5.

Это устройство содержит датчик (3) тока для подключения в цепь питания двигателя, квадратор (5), входы которого подключены к выходам датчика тока, тепловой имитатор (6) электродвигателя (тепловую модель), входы которого подключены к выходам квадратора, компаратор (7) и исполнительное реле (8). Тепловой имитатор представляет собой тепловую модель первого порядка, то есть двигатель представлен как однородное тело.

Рисунок 1.5 - Устройство для защиты электродвигателей

В патенте №2192699 описывается устройство для защиты электродвигателя. Принципиальная схема устройства приведена на рисунке 1.6.

Это устройство содержит трансформаторы тока (1, 2, 3), выпрямитель (4), блок (5) контроля перегрузок, блок формирования времятоковой характеристики, состоящий из теплового имитатора (6) электродвигателя, компаратора (7), и исполнительного реле (8). Здесь так же используется тепловая модель первого порядка.

Рисунок 1.6 - Устройство для защиты электродвигателя

2. Выбор и определение параметров тепловой модели асинхронного двигателя

2.1 Выбор тепловой модели

Задача выбора АД по нагреву не требует высокой точности определения температуры меди, которую обеспечивает ЭТС с большим количеством узлов. Поэтому за основу принята модель, представляющая двигатель как два коаксиальных цилиндра [7,8] (см. рисунок 1.4). Основные принципы, на которых базируется модель, рассмотрены в разделе 1.

Данная модель более точно моделирует нагрев двигателя по сравнению с представлением двигателя однородным телом нагрева. В то же время имеется возможность аналитического определения коэффициентов, присутствующих в уравнении (1.20), с достаточной для поставленной задачи точностью.

Перегруппировав неизвестные в уравнениях системы (1.20) получим систему вида:

(2.1)

Системе уравнений (2.1) соответствует ЭТС, изображенная на рисунке 2.1.

В указанной схеме тепловые сопротивления определяются как величины, обратные соответствующим коэффициентам теплоотдачи.

Таким образом, коэффициенты А₁, А₁₂ и А₂ возможно определить, приведя эквивалентными преобразованиями тепловую схему замещения асинхронного двигателя к тепловой схеме двухцилиндрической модели.



Рисунок 2.1 - ЭТС, соответствующая двухцилиндрической модели двигателя

2.2 Определение коэффициентов теплоотдачи

2.2.1 Аналитическое определение А₁, А₂, А₁₂

Для определения коэффициентов теплоотдачи рассмотрим упрощенную эквивалентную тепловую схему замещения асинхронного двигателя закрытого исполнения [4,9], (см. рисунок 1.3). Коэффициенты теплоотдачи считаем постоянными, то есть одинаковыми в переходном и установившемся режимах. Следовательно, для их определения можно рассматривать схему (см. рисунок. 1.3) в установившемся режиме (рисунок 2.2), что значительно упрощает решение. Так же введем допущение, что двигатель имеет независимое принудительное охлаждение, то есть коэффициенты теплоотдачи одинаковы при выключенном и включенном двигателе.

Рисунок 2.2 - Приведенная ЭТС закрытого обдуваемого двигателя для стационарного режима

Система уравнений для этой схемы имеет вид [2]:

(2.2)

Так как в схеме (рисунок 2.2) рассмотрены лобовая и пазовая части обмотки в отдельности, а необходимо знать среднюю температуру обмотки, то по правилам эквивалентных преобразований [4], объединим эти источники в один (рисунок 2.3).

Рисунок 2.3 - Объединение лобовой и пазовой частей обмотки

После преобразования (2.3) схема имеет 5 узлов (рисунок 2.4), то есть схеме соответствует система уравнений 5-го порядка.

Объединим сопротивления R_a1 с R'_м,в и R_a2 с R'_м,с:

(2.4)



Рисунок 2.4 - ЭТС закрытого обдуваемого двигателя с объединенными пазовой и лобовой частями обмотки

В итоге имеем схему, изображенную на рисунке 2.5 которой соответствует система уравнений (2.5).

Рисунок 2.5 - Окончательный вид преобразованной ЭТС закрытого обдуваемого двигателя

(2.5)

Систему уравнений (2.5) необходимо свести к системе уравнений второго порядка, в которой неизвестными выступили бы Ди_м и Ди_с,ст. Для сокращения записи выражений введем замену:



;	;	.
;	;
;	;	(2.6)
;	;
;	;

Подставив в (2.5) выражения (2.6), получим:

(2.7)

Пренебрежем механическими и добавочными потерями (P_в,вт=0), так как их величина мала по сравнению с основными потерями (потери в меди, стали, роторе) и, как следствие, они незначительно влияют на превышение температуры меди и стали.

Для того чтобы понизить порядок системы (2.7) выразим из последних трех уравнений Ди_рот, Ди_в,вт и Ди_к через Ди_м и Ди_с,ст:

; (2.8)

; (2.9)

. (2.10)

Подставив выражение (2.9) в первое уравнение системы (2.7) получим:

. (2.11)

Для соответствия выражения (2.11) первому уравнению системы (1.20) добавим и вычтем из (2.11) . В результате простых алгебраических преобразований получим уравнение соответствующее первому уравнению системы (1.20):

. (2.12)

Аналогично поступаем со вторым уравнением системы (2.7). Подставив в него выражения (2.8) и (2.10) получим:

. (2.13)

Для соответствия выражения (2.13) второму уравнению системы (1.20) добавим и вычтем из (2.13) . В результате простых алгебраических преобразований получим уравнение соответствующее второму уравнению системы (1.20):



. (2.14)

Обозначим:

; (2.15)

; (2.16)

; (2.17)

; (2.18)

. (2.19)

Ниже будет показано, что потери в роторе Р_рот пропорциональны току статора, что позволяет объединить Р_м и Р_рот (2.18), Р_ст и Р_рот (2.19).

Выражения (2.15) - (2.19) позволяют определить коэффициенты теплоотдачи и потери, необходимые для построения тепловой модели асинхронного двигателя, используя тепловые сопротивления эквивалентной тепловой схемы двигателя.

2.2.2 Расчет тепловых сопротивлений

Тепловые сопротивления для эквивалентной тепловой схемы рассчитываются по методике, приведенной в [2].

1) Сопротивление аксиальное меди статора (тепловое сопротивление между пазовой и лобовой частями обмотки)

, (2.20)

где l_п - длина паза, м;

l_л - средняя длина одной лобовой части, м;

л_м - коэффициент теплопроводности меди, Вт/(м•⁰С);

F_м - площадь поперечного сечения меди в пазу, м²;

Z₁ - число пазов статора.

2) Тепловое сопротивление между медью статора и внутренним воздухом

, (2.21)

где R'_л,вш - тепловое сопротивление внешней (обращенной к станине) продуваемой лобовой части обмотки, ⁰С / Вт;

R''_л,вш - тепловое сопротивление внешней (обращенной к станине) непродуваемой лобовой части обмотки, ⁰С / Вт;

R'_л,вт - тепловое сопротивление внутренней (обращенной к станине) продуваемой лобовой части обмотки, ⁰С / Вт;

R''_л,вт - тепловое сопротивление внутренней (обращенной к станине) непродуваемой лобовой части обмотки, ⁰С / Вт.

Тепловое сопротивление между внешней продуваемой лобовой частью обмотки и внутренним воздухом:

, (2.22)

где b_п - средняя ширина паза, м;

h_п,эф - эффективная по меди высота паза, м;

l_л,п - продуваемая длина лобовой части, м;

д_окр - толщина окраски лобовых частей, м;

л_окр - коэффициент теплопроводности окраски лобовых частей, Вт/(м•⁰С);

Z₁ - число пазов статора;

л_экв - эквивалентный коэффициент теплопроводности обмотки, Вт/(м•⁰С);

б_л,вш - коэффициент теплоотдачи внешней поверхности лобовых частей обмотки статора, Вт/(м²•⁰С).

Эквивалентный коэффициент теплопроводности обмотки:

, (2.23)

где k_з - коэффициент заполнения паза;

d_и - диаметр изолированного провода, мм;

k_п - коэффициент пропитки обмотки;

Т_ср - средняя температура обмотки;

л_п - коэффициент теплопроводности пропиточного состава;

л_и - коэффициент теплопроводности изоляции проводов.

Коэффициент теплоотдачи внешней поверхности лобовых частей обмотки статора:

, (2.24)

где л_в - коэффициент теплопроводности воздуха, Вт/(м•⁰С);

D_л,вш - внешний диаметр лобовой части, м;

Nu_вш - число Нуссельта для внешней поверхности лобовых частей.

Число Нуссельта для внешней поверхности лобовых частей:

, (2.25)

где Re_вш - число Рейнольдса для внешней поверхности лобовых частей.

Число Рейнольдса для внешней поверхности лобовых частей:

, (2.26)

где u_рот - окружная скорость ротора, м/с;

н - кинематическая вязкость воздуха, м²/с.

Тепловое сопротивление между внешней непродуваемой лобовой частью обмотки и внутренним воздухом:

, (2.27)

где h_п,эф - эффективная по меди высота паза, м;

l_л,в-длина вылета лобовой части обмотки, м.

Тепловое сопротивление между внутренней продуваемой лобовой частью обмотки и внутренним воздухом:

, (2.28)

где б_л,вт - коэффициент теплоотдачи внутренней поверхности лобовых частей обмотки статора, Вт/(м²•⁰С).

Коэффициент теплоотдачи внутренней поверхности лобовых частей обмотки статора:

, (2.29)

где Nu_вт - число Нуссельта для внутренней поверхности лобовых частей;

Число Нуссельта для внутренней поверхности лобовых частей:

, (2.30)

где Re_вт - число Рейнольдса для внутренней поверхности лобовых частей.

Число Рейнольдса для внутренней поверхности лобовых частей:

, (2.31)

где D_л,вт - внутренний диаметр лобовой части, м.

Тепловое сопротивление между внутренней непродуваемой лобовой частью обмотки и внутренним воздухом:

. (2.32)

3) Тепловое сопротивление между медью статора и сердечником статора

, (2.33)

где R_д,п - сопротивление отводу теплоты через дно паза, ⁰С / Вт;

R_з - термическое сопротивление зубца, ⁰С / Вт;

R_п,з - тепловое сопротивление между пазовой частью обмотки и зубцами, ⁰С / Вт;

R_сп - сопротивление учитывающее разное сопротивление спинки сердечника собственному и внешнему тепловым потокам, ⁰С / Вт.

Сопротивление отводу теплоты через дно паза:

, (2.34)

где д_и,п - толщина пазовой изоляции, м;

л_и,п - коэффициент теплопроводности пазовой изоляции, Вт/(м•⁰С);

д_в,п - толщина воздушных прослоек (равная половине допуска на укладку), м;

л_в,экв - эквивалентный коэффициент теплопроводности воздушных прослоек в пазу, Вт/(м•⁰С).

Эквивалентный коэффициент теплопроводности воздушных прослоек в пазу:

. (2.35)

Термическое сопротивление зубца:

, (2.36)

где h_з - высота зубца, м;

л_с - коэффициент теплопроводности стали пакета статора, Вт/(м•⁰С);

b_з - средняя ширина зубца, м;

k_ш - коэффициент шихтовки (коэффициент заполнения пакета сталью).

Тепловое сопротивление между пазовой частью обмотки и зубцами:

, (2.37)

где R_вн - внутреннее сопротивление обмотки, ⁰С / Вт;

R_ип - сопротивление пазовой изоляции, ⁰С / Вт;

R_вп - сопротивление воздушных прослоек, ⁰С / Вт.

Внутреннее сопротивление обмотки:

. (2.38)

Тепловое сопротивление пазовой изоляции:

. (2.39)

Тепловое сопротивление воздушных прослоек:

. (2.40)

Тепловое сопротивление спинки сердечника:

, (2.41)

где D_a - внешний диаметр сердечника статора, м;

D_д,п - диаметр окружности касательной к дну пазов, м.

4) Тепловое сопротивление между ротором и внутренним воздухом

, (2.42)

где R_рот.а - аксиальное сопротивление отводу теплоты от ротора, ⁰С / Вт;

R_рот.б - конвективное сопротивление отводу теплоты от ротора, ⁰С / Вт.

Аксиальное сопротивление отводу теплоты от ротора:

, (2.43)

где л_а - коэффициент теплопроводности алюминия клетки, Вт/(м•⁰С);

F_a - площадь поперечного сечения паза ротора, м²;

Z₂ - число пазов ротора.

Конвективное сопротивление отводу теплоты от ротора:

, (2.44)

где б_л.рот - коэффициент теплоотдачи лопаток ротора, Вт/(м²•⁰С);

b_л - ширина лопатки ротора, м;

а_л - высота лопатки ротора, м;

n_л - количество лопаток ротора;

з_л - коэффициент качества лопатки ротора, рассматриваемой как ребро;

а_к - высота короткозамыкающего кольца, м;

D_рот - диаметр ротора, м.

Коэффициент теплоотдачи лопаток ротора:

, (2.45)

где Nu_л - число Нуссельта для лопаток ротора.

Число Нуссельта для лопаток ротора:

, (2.46)

где Re_л - число Рейнольдса для лопаток ротора.

Число Рейнольдса для лопаток ротора:

. (2.47)

5) Тепловое сопротивление между ротором и статором

, (2.48)

где R_д - тепловое сопротивление воздушного зазора, ⁰С / Вт;

R_з - термическое сопротивление зубца (2.36), ⁰С / Вт.

Тепловое сопротивление воздушного зазора:

, (2.49)

где а_У - коэффициент теплоотдачи от ротора к внутреннему воздуху, Вт/(м²•⁰С).

Коэффициент теплоотдачи от ротора к внутреннему воздуху:

, (2.50)

где д - зазор между ротором и статором, м;

R_рот=D_рот/2 - радиус ротора, м.

6) Сопротивление между сердечником статора и корпусом

, (2.51)

где R_Дc - тепловое сопротивление стыка сердечник станина, ⁰С / Вт;

R_сп - тепловое сопротивление спинки сердечника (2.41), ⁰С / Вт.

Тепловое сопротивление стыка сердечник станина:

, (2.52)

где д_усл - условный зазор в стыке сердечник станина, м.

Для двигателей серии 4А величина условного зазора приблизительно равна:

д_усл?(20•D_a+26) •10^-6. (2.53)

7) Тепловое сопротивление между внутренним воздухом и корпусом

, (2.54)

где R_ст,пр - тепловое сопротивление между внутренней поверхностью станины со стороны привода и внутренним воздухом, ⁰С / Вт;

R_ст,в-тепловое сопротивление между внутренней поверхностью станины со стороны вентилятора и внутренним воздухом, ⁰С / Вт;

R_щ - тепловое сопротивление между внутренней поверхностью подшипникового щита и внутренним воздухом, ⁰С / Вт.

Тепловое сопротивление между внутренней поверхностью станины со стороны привода и внутренним воздухом:

, (2.55)

где F_ст,пр - площадь внутренней поверхности свеса станины со стороны привода, м²;

б_с - коэффициент теплоотдачи внутренней поверхности свесов станины, Вт/(м²•⁰С).

Площадь внутренней поверхности свеса со стороны привода:

, (2.56)

где l_св,пр - длина свеса станины со стороны привода, м.

Коэффициент теплоотдачи внутренней поверхности свесов станины:

, (2.57)

где Nu_c - число Нуссельта для внутренней поверхности свесов станины.

Число Нуссельта для внутренней поверхности свесов станины зависит от высоты оси вращения и от наличия диффузора в полости лобовых частей.

Для высоты оси вращения h<160 мм:

, (2.58)

для высоты оси вращения h=160-250 мм:

без диффузора- ; (2.59)

с диффузором- , (2.60)

где Re_c - число Рейнольдса для внутренней поверхности свесов станины;

D - внутренний диаметр сердечника статора, м.

Число Рейнольдса для внутренней поверхности свесов станины:

. (2.61)

Тепловое сопротивление между внутренней поверхностью станины со стороны вентилятора и внутренним воздухом:

, (2.62)

где F_ст,в- площадь внутренней поверхности свеса со стороны вентилятора, м²;

б_с - коэффициент теплоотдачи внутренней поверхности свесов станины, Вт/(м²•⁰С).

Площадь внутренней поверхности свеса со стороны вентилятора:

, (2.63)

где l_св,в- длина свеса станины со стороны вентилятора, м.

Тепловое сопротивление между внутренней поверхностью подшипникового щита и внутренним воздухом:

, (2.64)

где F_щ - площадь внутренней поверхности подшипникового щита, м²;

б_щ - коэффициент теплоотдачи внутренней поверхности подшипникового щита, Вт/(м²•⁰С).

Площадь внутренней поверхности подшипникового щита:

. (2.65)

Коэффициент теплоотдачи внутренней поверхности подшипникового щита:

, (2.66)

где Nu_щ - число Нуссельта для внутренней поверхности подшипникового щита.

Число Нуссельта для внутренней поверхности подшипникового щита зависит от высоты оси вращения и от наличия диффузора в полости лобовых частей.

Для высоты оси вращения h<160 мм:

, (2.67)

для высоты оси вращения h=160-250 мм:

без диффузора- ; (2.68)

с диффузором- , (2.69)

где Re_щ - число Рейнольдса для внутренней поверхности свесов станины;

д_д,щ - зазор между диффузором и щитом в месте крепления, м.

Число Рейнольдса для внутренней поверхности подшипниковых щитов:

. (2.70)

8) Тепловое сопротивление между внешним воздухом и корпусом

, (2.71)

где R_вс,пр - тепловое сопротивление между наружной поверхностью свисающей части станины со стороны привода и внешним воздухом, ⁰С / Вт;

R_вс - тепловое сопротивление между наружной поверхностью станины над пакетом и внешним воздухом, ⁰С / Вт;

R_вс,в- тепловое сопротивление между наружной поверхностью свисающей части станины со стороны вентилятора и внешним воздухом, ⁰С / Вт;

R_вщ,пр - тепловое сопротивление между наружной поверхностью подшипникового щита со стороны привода и внешним воздухом, ⁰С / Вт;

R_вщ,в- тепловое сопротивление между наружной поверхностью подшипникового щита со стороны вентилятора и внешним воздухом, ⁰С / Вт.

Тепловое сопротивление между наружной поверхностью станины над пакетом и внешним воздухом:

, (2.72)

где б_с,п - коэффициент теплоотдачи наружной поверхности станины над пакетом, Вт/(м²•⁰С);

D_c - диаметр станины у основания ребер, м;

z_p - количество ребер станины;

д_р - толщина ребра станины, м;

h_р - высота ребра станины, м;

з_р - коэффициент качества ребра станины.

Тепловое сопротивление между наружной поверхностью свисающей части станины со стороны привода и внешним воздухом:

, (2.73)

где б_с,пр - коэффициент теплоотдачи наружной поверхности станины со стороны привода, Вт/(м²•⁰С).

Тепловое сопротивление между наружной поверхностью свисающей части станины со стороны вентилятора и внешним воздухом:

, (2.74)

где б_с,в- коэффициент теплоотдачи наружной поверхности станины со стороны вентилятора, Вт/(м²•⁰С).

Коэффициент теплоотдачи наружной поверхности станины над пакетом:

, (2.75)

где б_вх - коэффициент теплоотдачи на входе в межреберные каналы станины, Вт/(м²•⁰С);

d_г - гидравлический диаметр межреберного канала, м;

г - коэффициент уменьшения теплоотдачи по длине станины.

Коэффициент теплоотдачи наружной поверхности станины со стороны привода:

. (2.76)

Коэффициент теплоотдачи наружной поверхности станины со стороны вентилятора:

. (2.77)

Гидравлический диаметр межреберного канала:

, (2.78)

где t_р - шаг ребер станины, м.

Коэффициент уменьшения теплоотдачи по длине станины:

. (2.79)

Коэффициент теплоотдачи на входе в межреберные каналы станины:

, (2.80)

где Nu_вх - число Нуссельта для межреберных каналов.

Число Нуссельта для межреберных каналов:

, (2.81)

где Re_эф - число Рейнольдса для межреберных каналов.

Число Рейнольдса для межреберных каналов:

, (2.82)

где щ_эф - эффективная скорость на входе в межреберные каналы, м/с.

Эффективная скорость на входе в межреберные каналы:

, (2.83)

где щ_вх?0,45•u_вент - расходная скорость на входе в каналы, м/с;

u_вент - окружная скорость вентилятора, м/с.

Коэффициент качества ребра станины:

, (2.84)

, (2.85)

где л_ст - коэффициент теплопроводности материала станины, Вт/(м•⁰С).

Тепловое сопротивление между наружной поверхностью подшипникового щита со стороны привода и внешним воздухом:

, (2.86)

где б_щ,пр - коэффициент теплоотдачи внешней поверхности подшипникового щита со стороны привода, Вт/(м²•⁰С).

Коэффициент теплоотдачи внешней поверхности подшипникового щита со стороны привода:

. (2.87)

Тепловое сопротивление между наружной поверхностью подшипникового щита со стороны вентилятора и внешним воздухом:

, (2.88)

где б_щ,в- коэффициент теплоотдачи внешней поверхности подшипникового щита со стороны вентилятора, Вт/(м²•⁰С).

Коэффициент теплоотдачи внешней поверхности подшипникового щита со стороны вентилятора зависит от высоты оси вращения.

Для высоты оси вращения h<160 мм:

, (2.89)

для высоты оси вращения h>160 мм:

. (2.90)

Как видно, для определения тепловых сопротивлений требуется знать большое количество конструктивных параметров. Ниже приводятся полный перечень необходимых для расчета сопротивлений данных:

Паспортные данные

1. Синхронная частота вращения n1, об/мин;

2. Количество пар полюсов p.

Параметры станины

1. Высота оси вращения h, мм;

2. Диаметр станины у основания ребер D_c, м;

3. Длина свисающей части станины со стороны привода l_св.пр, м;

4. Длина свисающей части станины со стороны вентилятора l_св.в, м;

5. Зазор между диффузором и подшипниковым щитом в месте крепления д_д.щ, м;

6. Количество ребер станины z_p;

7. Высота ребра станины h_p, м;

8. Толщина ребра станины д_р, м.

Параметры вентилятора

1. Внешний диаметр вентилятора D_вент, м.

Параметры статора

1. Внешний диаметр сердечника D_a, м;

2. Внутренний диаметр сердечника D, м;

3. Длина паза l_п, м;

4. Число пазов статора Z₁;

5. Коэффициент шихтовки (заполнения пакета сталью) k_ш=0,97.

Параметры паза статора

1. Большая ширина паза b₁, м;

2. Меньшая ширина паза b₂, м;

3. Высота паза h_п, м;

4. Коэффициент заполнения паза k_з;

5. Высота шлица h_ш;

6. Ширина шлица b_ш, м;

7. Высота зубца h_з, м;

8. Ширина зубца b_з, м.

Параметры обмотки

1. Количество витков в обмотке фазы щ₁;

2. Число параллельных ветвей а;

3. Средняя длина витка обмотки l_ср1, м;

4. Длина вылета лобовой части обмотки с одной стороны l_л.в, м;

5. Диаметр изолированного проводника d_и, мм;

6. Коэффициент пропитки обмотки k_п;

7. Толщина окраски обмотки в лобовой части д_окр, м;

Параметры пазовой изоляции

1. Толщина пазовой изоляции д_и.п, м.

Параметры ротора

1. Внешний диаметр ротора D_рот, м;

2. Число пазов ротора Z₂;

3. Ширина короткозамыкающего кольца b_к, м;

4. Высота короткозамыкающего кольца a_к, м;

5. Ширина лопатки ротора b_л, м;

6. Высота лопатки ротора а_л, м;

7. Количество лопаток ротора z_л;

8. Коэффициент качества лопатки, рассматриваемой как ребро з_л;

9. Толщина воздушного зазора между ротором и статором д, м.

Общие физические величины

1. Кинематическая вязкость воздуха н, м²/с;

2. Коэффициент теплопроводности воздуха л_в, Вт/(⁰С•м);

3. Средняя температура обмотки T_ср, ⁰С;

4. Коэффициент теплопроводности меди обмотки л_м, Вт/(⁰С•м);

5. Коэффициент теплопроводности алюминия клетки л_а, Вт/(⁰С•м);

6. Коэффициент теплопроводности материала станины л_ст, Вт/(⁰С•м);

7. Коэффициент теплопроводности стали пакета статора л_с, Вт/(⁰С•м);

8. Коэффициент теплопроводности пропиточного состава обмотки л_п, Вт/(⁰С•м);

9. Коэффициент теплопроводности изоляции проводов л_и, Вт/(⁰С•м);

10. Коэффициент теплопроводности окраски обмотки в лобовой части л_окр, Вт/(⁰С•м).

Расчет теплоемкостей меди и стали

2.3.1 Определение теплоемкости меди

Теплоемкость меди равна:

, (2.91)

где m_м - масса меди обмотки статора, кг;

с_м - удельная теплоемкость меди обмотки статора, Дж/(кг•⁰С).

Масса меди обмотки статора:

, (2.92)

где m₁ - число фаз обмотки статора;

l_ср1 - средняя длина витка обмотки статора, м;

w₁ - число витков обмотки статора;

а - количество параллельных ветвей обмотки статора;

n_эл - количество элементарных проводников в эффективном;

d_пр - диаметр элементарного проводника, м;

г_м - плотность меди обмотки, кг/м³.

Определение теплоемкости стали

, (2.93)

где m_я - масса ярма статора, кг;

m_з - масса зубцов статора, кг;

с_ст - удельная теплоемкость стали пакета статора, Дж/(кг•⁰С).

Масса ярма статора:

, (2.94)

где г_с - плотность стали пакета статора, кг/м³.

Масса зубцов статора:

. (2.95)

2.4.1 Потери в обмотке статора

При определении потерь в обмотке статора не учитываем увеличение активного сопротивления пазовой части обмотки статора за счет эффекта вытеснения тока.

Потери в лобовой и пазовой частях обмотки [4]:

, (2.96)

, (2.97)

где r₁ - активное сопротивление фазы обмотки статора, Ом;

l_л - длина лобовой части обмотки с одной стороны, м;

I₁ - ток фазы обмотки статора, А.

Полные потери в меди обмотки статора:

. (2.98)

Активное сопротивление фазы обмотки статора:

, (2.99)

где с_м - удельное сопротивление меди обмотки статора при ожидаемой температуре, Ом•м;

q_эл=р(d_эл/2)² - площадь поперечного сечения элементарного проводника, м².

Ток фазы обмотки статора:

, (2.100)

где Р₂ - мощность на валу двигателя, Вт;

з - коэффициент полезного действия, о.е;

cosц - коэффициент мощности;

U₁ - фазное напряжение, В.

2.4.2 Потери в обмотке ротора

Потери в коротозамкнутой обмотке ротора определяются по формуле [13]:

, (2.101)

где r₂ - активное сопротивление фазы обмотки ротора, Ом;

I₂ - ток ротора, А.

Активное сопротивление фазы обмотки ротора:

, (2.102)

где r_ст - активное сопротивление стержня клетки, Ом;

r_кл - активное сопротивление короткозамыкающего кольца, Ом;

Активное сопротивление стержня клетки:

, (2.103)

где с_а - удельное сопротивление алюминия обмотки ротора при ожидаемой температуре, Ом•м.

Активное сопротивление короткозамыкающего кольца:

, (2.104)

где D_кл,ср - средний диаметр короткозамыкающего кольца, м;

q_кл - площадь поперечного сечения короткозамыкающего кольца, м².

Коэффициент приведения тока кольца к току стержня:

, (2.105)

где p - количество пар полюсов.

Ток в обмотке ротора:

, (2.106)

где k_i - коэффициент, учитывающий влияние тока намагничивания и сопротивления обмоток на отношение I₁/I₂;

н_i - коэффициент приведения токов.

Коэффициент, учитывающий влияние тока намагничивания и сопротивления обмоток на отношение I₁/I₂:

. (2.107)

Коэффициент приведения токов:

, (2.108)

где k_об1 - обмоточный коэффициент обмотки статора;

k_ск - коэффициент скоса пазов ротора.

2.4.3 Потери в стали пакета статора

При расчете электрических машин потери в стали, определяют через массу стали и удельные потери, которые в свою очередь определяются значением магнитной индукции в стали и частотой питающего напряжения [13,14,15]. Такой способ определения потерь неудобен из-за того, что необходимо знать значение магнитной индукции в сердечнике статора.

, (2.109)

где Р_У - суммарная мощность потерь в двигателе, Вт;

Р_мех - мощность механических потерь, Вт;

Р_доб - мощность добавочных потерь, Вт.

Суммарная мощность потерь в двигателе:

. (2.110)

Мощность механических потерь [13]:

, (2.111)

где К_т - коэффициент механических потерь.

Коэффициент механических потерь для двигателей с 2 р=2

, (2.112)

при 2 р?4 К_т=1.

Мощность добавочных потерь:

. (2.113)

3. Реализация тепловой модели асинхронного двигателя в программном пакете Matlab

3.1 Переход к операторной форме

Для решения системы дифференциальных уравнений (1.20) на ЭВМ при помощи приложения Simulink, входящего в состав пакета MatLab, представим ее в операторной форме. Следует заметить, что недостатком приложения Simulink является отсутствие задания начальных условий в блоке передаточных функций. Поэтому при преобразовании (1.20) необходимо учесть начальные условия, то есть начальные температуры меди и стали.

В системе (1.20) присутствуют превышения температур меди и стали, которые равны:

, (3.1)

. (3.2)

Подставив (3.1) и (3.2) в (1.20) и раскрыв скобки получим:

(3.3)

Представим систему (7.3) в операторной форме, по правилам преобразования Лапласа:

 (3.4)

где и_м(0) - начальная температура меди, ⁰С;

и_ст(0) - начальная температура стали, ⁰С;

Сгруппируем неизвестные и_м(р) и и_ст(р) в левых частях уравнений (3.4), а остальные члены в правых частях:

(3.5)

Представим систему (3.5) в матричной форме:

(3.6)

Решим систему (3.6) методом наложения относительно неизвестных и_м(р) и и_ст(р). Решение имеет вид:

, (3.7)

, (3.8)

где



Подставив выражения (3.10), (3.11) и (3.12) в (3.7) получим:

Подставив выражения (3.13), (3.14) и (3.15) в (3.8) получим:

Выражения (3.16) и (3.17) являются окончательным решением для температур меди и стали в операторной форме. Значение Д в выражениях (3.16) и (3.17) не раскрывается для сокращения записи.

3.2 Синтез структурной схемы тепловой модели асинхронного двигателя

По выражениям (3.16) и (3.17) строим структурную схему модели в приложении Simulink.

Структурная схема для определения температуры меди приведена на рисунке 3.1. Блоки «S1», «S2» и «S3» моделируют различные режимы нагрузки двигателя. Блок «Switch» служит для выбора одного из режимов «S1», «S2» или «S3». Он управляется источником постоянного воздействия «Rezhim». Блок «Poteri» представляет собой подсистему, рассчитывающую потери в двигателе в зависимости от нагрузки. Блоки «Tm(0)» и «Tst(0)» служат для задания начальных температур меди и стали. Блок «Tv» задает значение температуры окружающего воздуха. В блоки передаточных функций «Cu», «Fe», «Cu(0)», «Fe(0)» и «Air» входят коэффициенты выражения (3.16), отражающие вклад каждой задаваемой величины в нагрев обмотки. С выхода передаточных функций сигналы поступают на сумматор «Sum1». На выходе «Sum1» формируется значение температуры меди, которое поступает на виртуальный осциллограф «Scope», регистрирующий прибор «Display» и элемент сравнения «RELE». Блоки «Kriticheskaja temperatura» и «RELE» моделируют работу теплового реле. Блок «Kriticheskaja temperatura» задает предельное значение температуры обмотки статора. Значение температуры обмотки поступает на элемент сравнения и сравнивается с предельным значением, устанавливаемым ГОСТ 183-74 в соответствии с классом изоляции. Так, например, для изоляции класса В предельное значение температуры обмотки и_м=120⁰ С, для изоляции класса F - и_м=140⁰ С, для изоляции класса H - и_м=165⁰ С. Если значение температуры обмотки больше предельного, то на выходе элемента сравнения появляется сигнал, который отображается на индикаторе.