Анализ переходных процессов токов и напряжений всех ветвей электрической цепи

Аннотация

Рисунок 1.

1. Анализ цепи до коммутации. Определяется значение тока через индуктивность и напряжение на емкости до коммутации (ключ замкнут). В режиме постоянного тока сопротивление индуктивности равно нулю, а емкости -- бесконечности. Тогда

Здесь для нахождения мы составили уравнение закона напряжений Кирхгоффа.

2.Определение независимых начальных условий. Независимыми начальными условиями являются ток в индуктивности и напряжение на емкости в момент времени , которые определяются по первому и второму законам коммутации:

После подстановки получаем:

3. Анализ установившегося процесса в цепи после коммутации. После коммутации в цепи вновь установится режим постоянного тока. При этом ключ уже разомкнут. В этом случае ток в цепи не течет и

;

4. Определение свободной составляющей реакции цепи. Составляется характеристическое уравнение цепи после коммутации. Для этого записывается выражение входного сопротивления цепи относительно источника, причем в цепи емкость заменяется на эквивалентное сопротивление , а индуктивность заменяется на эквивалентное сопротивление . Затем это выражение приравнивается к нулю. Уравнение является характеристическим. В нашем случае характеристическое уравнение может быть определено как

Таким образом, характеристическое уравнение имеет вид:

Подставляя исходные данные и решая характеристическое уравнение, получаем корни:

Следовательно, свободная составляющая тока при двух комплексно-сопряженных корнях имеет вид

,

где

5. Нахождение общего вида реакции цепи. Общий вид реакции цепи находится путем суммирования свободной и принужденной составляющих реакции цепи:

6. Определение постоянных интегрирования. Для определения постоянных интегрирования и записываются уравнения для свободной составляющей тока и ее первой производной при :

С учетом того, что найдем

Для определения записываются уравнения Кирхгоффа для цепи в момент после коммутации , причем в цепи емкость заменяется источником напряжения , а индуктивность - источником тока . Напряжение на индуктивности равно :

(1)

(2)

(3)

Решая эту систему, получаем

Подставив найденные величины в систему уравнений для определения постоянных интегрирования, получим:

Эта система имеет решение

7. Окончательная запись реакции цепи.

График зависимости тока представлен на рисунке 2:

Рисунок 2. График зависимости тока

2. Операторный метод расчета

1. Анализ цепи до коммутации и определение независимых начальных условий. Независимые начальные условия определяются аналогичным образом, как и в классическом методе:

2. Составление операторной схемы замещения цепи после коммутации. Поскольку цепь имеет ненулевые начальные условия, то с учетом внутренних источников ЭДС операторная схема замещения цепи после коммутации будет иметь вид представленный на рисунке 3.

Рисунок 3 - Операторная схема замещения

Составление уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме. Для цепи рис.3 можно составить систему уравнений Кирхгофа:

4. Решение уравнений Кирхгофа относительно изображений искомых токов и напряжений. Полученная система уравнений решается простой подстановкой, и решение имеет вид:

Операторное изображение напряжения может быть представлено в виде

5. Определение оригинала изображения искомого тока. Для этого найдем полюсы функции изображения

Полюсы комплексно-сопряженные, поэтому общий вид функции во временной области

где

- вычет в том полюсе, у которого мнимая часть имеет положительный знак. Вычеты определяются по общей формуле

.

В нашем случае поэтому

Полученное выражение совпадает с результатом, полученным при решении классическим методом.

График зависимости тока представлен на рисунке 4:

Рисунок 4. График зависимости тока

3. Воздействие гармонической ЭДС

1. Анализ цепи до коммутации. Определяется значение тока через индуктивность и напряжение на емкости до коммутации (ключ замкнут). Так как в цепи действует источник гармонического напряжения, то для анализа следует воспользоваться методом комплексных амплитуд.

Для исходной схемы составляется комплексная схема замещения цепи (рисунок 5) и определяются ее параметры следующим образом:

Рисунок 5. Комплексная схема замещения

,

Подставляя численные значения, получаем:

 Ом

Для активных сопротивлений комплексная и действующая формы совпадают.

Определяем ток :

Далее запишем закон напряжений Кирхгофа для первого контура:

, откуда с учетом получаем

Зная значение тока , определяется комплексное амплитудное значение напряжения на емкости:

Значение напряжения на емкости к моменту коммутации будет соответственно равно

Далее записываем уравнения Кирхгофа для второго контура

Отсюда

Комплексное амплитудное значение тока через индуктивность до коммутации определяется как:

Значение тока к моменту коммутации:

Таким образом, определены значения тока в индуктивности и напряжения на емкости непосредственно перед коммутацией. Они составляют:

и

2. Определение независимых начальных условий. Независимыми начальными условиями являются ток в индуктивности и напряжение на емкости в момент времени , которые определяются согласно первому и второму законам коммутации:

Следовательно,

3. Составление операторной схемы замещения цепи после коммутации. Поскольку цепь имеет ненулевые начальные условия, то с учетом внутренних источников ЭДС операторная схема замещения цепи после коммутации будет иметь вид представленный на рисунке 6.

Рисунок 6 - Операторная схема замещения

3. Составление уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме. Для цепи рис.6 можно составить систему уравнений Кирхгофа:

В данном случае E(p) - изображение по Лапласу гармонического

воздействия:

4. Решение уравнений Кирхгофа относительно изображений искомых токов и напряжений. Полученная система уравнений имеет решение

5. Определение оригинала изображения искомого тока проводим по методу, изложенному в п.2. Искомый ток

Можно сделать вывод, что вид свободной части реакции цепи совпадает с найденным ранее. Это связано с тем, что свободная составляющая не зависит от внешних воздействий и определяется только параметрами цепи.

График зависимости тока представлен на рисунке 7:

Рисунок 7. График зависимости тока

4. Метод переменных состояния

Рисунок 8.

1) Составление системы дифференциальных уравнений цепи. Для составления системы дифференциальных уравнений записывается система уравнений цепи по Кирхгофу:

Учтем, что и :

2) Эта система просто разрешается относительно производных:

3) Запишем полученную систему уравнений для переменных состояния в матричной форме:

Т.е ,

где

Таким образом,

На данном этапе можно проконтролировать правильность действий. Для этого найдем собственные числа матрицы А:

Видно, что найденные собственные числа совпадают с корнями характеристического уравнения цепи.

4) Численный метод решения

Решим численно матричное уравнение .

Начальные условия и найдены в пункте 1. Итак,

Зададим начальные значения в виде вектора

Формализованная матричная запись уравнений состояния:

Задаём конечное значение интервала интегрирования:

Задаём число точек интегрирования:

Обращаемся к программе интегрирования:

Матрица y имеет три столбца, пронумерованные от нуля до двух. Первый из них содержит значения времени, второй - , третий - .

7. Строим график переменных состояния, который представлен

на рисунке 9, 10.

индуктивность ток коммутация

Рисунок 9

Рисунок 10

5) Аналитическое решение

Для аналитического решения уравнений состояния нам понадобятся найденные выше собственные числа матрицы коэффициентов A. Это комплексно-сопряженные числа, и по ним мы можем определить общий вид свободной составляющей переменных состояния:

,

где .

Общий вид решения

Принужденная составляющая может быть найдена непосредственным решением уравнения , если принять во внимание, что при постоянных воздействиях вынужденная составляющая реакции тоже постоянна, и поэтому производные в левой части системы уравнений состояния будут равны нулю:

.

Отсюда . Решая это уравнение, получаем

, что соответствует результатам, найденным в пункте 1.

Независимые начальные условия были найдены также в пункте 1:

.

Теперь необходимо найти начальные значения производных переменных состояния. Их можно определить непосредственно по уравнениям состояния при t=0⁺:

С другой стороны, . Решая систему уравнений относительно постоянных интегрирования A и ц

, получаем .

Итак, искомые переменные состояния:

Графики этих величин можно увидеть на рисунках 9 и 10

5. Определение комплексной частотной характеристики

Для нахождения операторной функции передачи цепи составим операторную схему замещения цепи при нулевых начальных условиях (рисунок 11).

Рисунок 11. Операторная схема замещения цепи

По определению:

Подставив в полученное выражение значения R,L,C окончательно получаем:

Отсюда находят комплексную передаточную проводимость:

Представив полученную комплексную передаточную проводимость в показательной форме находят:

отсюда: АЧХ цепи --

ФЧХ цепи --

.

Графики АЧХ и ФЧХ приведены на рисунке 12 и рисунке 13.

Рисунок 12 - График зависимости АЧХ комплексного входного сопротивления

Рисунок 13 - График зависимости ФЧХ комплексного входного сопротивления

6. Определение временных характеристик цепи

В предыдущем примере была найдена передаточная проводимость цепи:

используя которую находят переходную характеристику цепи:

где .

Оригинал функции уже был найден нами в пункте 2.

Поэтому сразу запишем вид g(t):

График переходной характеристики приведен на рисунке 14

Рисунок 14. График переходной характеристики цепи

Импульсная характеристика цепи может быть определена, как

.

Полюса знаменателя функции Y(p) находились нами неоднократно:

Общий вид решения, отвечающий комплексно-сопряженным корням

Определим k₁ - вычет в точке p₁:

Отсюда

График импульсной характеристики приведен на рис. 15.

Рисунок 15 - Импульсная характеристика цепи

Заключение

В соответствии с заданием были выполнены следующие расчёты: определение зависимости тока через индуктивность от времени при воздействии постоянной ЭДС классическим и операторным методами, была найдена зависимость тока через индуктивность от времени при воздействии гармонической ЭДС, получены зависимости тока через индуктивность от времени путем решения уравнений состояния системы как численным методом с использованием алгоритма Рунге-Кутта, так и аналитически; были определены комплексная частотная характеристика и временные характеристики цепи.

При воздействии постоянной ЭДС (классический метод):

При воздействии постоянной ЭДС (операторный метод):

При воздействии гармонической ЭДС:

АЧХ цепи:

ФЧХ цепи: .

Переходная характеристика:

Импульсная характеристика цепи:

Литература

1. Попов В.П. Основы теории цепей: Учеб. для вузов.- 3-е изд., испр.

- М.: Высш. шк., 2000. - 575 с.

2. Меренков М.Б. Основы теории цепей. Методические указания к курсовому проектированию: Учебное пособие/ Под ред. В.И. Неволина -- Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2004.-- 71 с.

3. Калугин Ю.Е., Меренков М.Б. Основы теории цепей: Учебное пособие.

-Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2001. - 166с.

4. Стандарт предприятия. Курсовые и дипломные проекты. Общие требования к оформлению.

Размещено на Allbest.ru