Электромагнитные волны. Момент импульса электромагнитных волн

Размещено на http://www.allbest.ru/

[Введите текст]

Контрольная работа

Электромагнитные волны. Момент импульса электромагнитных волн

Содержание

1. Энергия электромагнитных волн. Вектор Пойнтинга

2. Свойства вектора Пойнтинга

3. Импульс и давление электромагнитного поля

4. Момент импульса электромагнитной волны

5. Квантовое представление импульса и момента импульса ЭМ излучения

6. Задачи

Литература



1. Энергия электромагнитных волн. Вектор Пойнтинга

Электромагнитное поле обладает энергией. Плотность энергии электромагнитного (ЭМ) поля равна:

w = wэ + wм = (оЕ + оН)/ 2 (1.1)

При распространении ЭМ волн происходит перенос энергии поля в пространстве. Вопрос о переносимой волной энергии можно рассматривать на основе уравнений Максвелла, описывающих ЭМ поле при отсутствии токов и свободных зарядов:

[ H] =D (1.2) D=0 (1.4)

[ E] = -B (1.3) B=0 (1.5)

Скорость изменения плотности энергии ЭМ поля в данной точке равна:

d(wэ + wм)/dt= оЕЕ + оНН (1.6)

Правую часть (1.6) можно с помощью уравнений Максвелла преобразовать следующим образом. Обе части уравнений (1.2) и (1.3) умножим скалярно соответственно на Е и Н:

E[H] = оEE (1.7)

H[E] = - оHH (1.8)

Вычтем почленно (1.7) из (1.8). Тогда в правой части получится выражение (1.6) для скорости изменения плотности энергии ЭМ поля с обратным знаком.

H[E ] - E[H] = - d(wэ + wм)/dt (1.9)

Преобразуем левую часть уравнения (1.9), используя теорему векторного анализа: div [ ab ] = b rot a - a rot b. С помощью этого тождества выражению (1.9) можно придать вид уравнения непрерывности для плотности энергии ЭМ поля w (подобно уравнению непрерывности для плотности заряда, выражающему закон сохранения заряда):

dw/dt = - div S, (1.10)

где вектор S = [EH] (1.11) имеет смысл плотности потока энергии ЭМ поля и называется вектором Пойнтинга.

Уравнение (1.10), полученное как следствие уравнений Максвелла, выражает закон сохранения энергии для ЭМ поля.

Проинтегрируем обе части уравнения (1.10) по некоторому объему V, ограниченному замкнутой поверхностью . Интеграл по объему от div S в правой части преобразуем при помощи математической теоремы Остроградского - Гаусса в интеграл по поверхности , ограничивающей этот объем:

dwdV /dt = - Sd (1.12)

v

Уравнение (1.12) выражает закон сохранения энергии для ЭМ поля в интегральной форме и говорит о том, что изменение энергии ЭМ поля в каком-то объеме V, где нет зарядов и токов, равно потоку энергии в этот объем через охватывающую его замкнутую поверхность. Причем, если энергия внутри объема убывает, то поток направлен наружу; если энергия внутри объема увеличивается, то поток направлен внутрь объема.



2. Свойства вектора Пойнтинга

Рис. 1

1. Векторы E, H, S образуют правую тройку. В изотропной среде (однородный диэлектрик) вектор S параллелен фазовой скорости ЭМ волны, т.е. S || .

2. Учитывая ортогональность векторов E и Н и связь между их модулями: Е = oH, для модуля плотности потока энергии получим:

S = o/o H2 = o/o E2 ; S= oE2 (1.13)

Для вакуума:

S = oсE2.

3. Если Е и Н изменяются с частотой , то S изменяется с частотой 2 (подобно мощности переменного тока):

S = oсos2( t - kr) = o{1+сos[2(t - kr)]} (1.14)

4. В силу инерционности приборов регистрирующих ЭМ волны, и очень большой частоты физический интерес представляет лишь среднее по времени значение S. Производя в (1.14) усреднение по времени и учитывая, что <сos2(t-kr)> =1/2, находим, что в гармонической волне средняя плотность потока энергии < S > во всех точках одинакова и равна:

< S > = o.

Эта величина называется интенсивностью:

I = < S > = o.

Интенсивность - это энергия, переносимая волной в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.

5. Найдем связь между <S> и объемной плотностью энергии w.

Рис. 2

Пусть имеется единичная площадка, перпендикулярная направлению распространения волны. В единицу времени через эту площадку будет перенесена вся та энергия, которая локализована в параллелепипеде, объем V которого численно равен скорости волны , т.е. S = wV = w, где w - объемная плотность энергии.



3. Импульс и давление электромагнитного поля.

Поглощение ЭМ излучения в веществе, а также отражение и преломление на границе сопровождаются появлением механических сил, действующих на вещество.

Рассмотрим случай нормального падения ЭМ излучения на поверхность поглощающей среды. Падающая волна взаимодействует с электрическими зарядами среды.

Электрическое и магнитное поля волны действуют на положительный заряд q с силой:

F = Fк + Fл = qE + q [B], (3.1)

y где - скорость движения заряда. В бегущей ЭМ

рис.1 волне в каждой точке в любой момент времени В=Е /с, где с - скорость ЭМ волны, следовательно, второе слагаемое в (3.1) всегда меньше первого. Поэтому движение заряда в основном определяется вектором Е, т.е. направлено по Е и изменяет направление вместе с изменением направления Е.

Однако, силой Лоренца полностью пренебречь в (3.1) нельзя, т.к. именно с этой силой связано давление, оказываемое волной на среду.

Действительно, всякий раз при изменении направления Е меняет направление и В, поэтому вектор [B] всегда имеет одно и то же направление, совпадающее с направлением распространения волны, определяемым вектором [EB], т.е. S.

Таким образом, заряд совершает движение, являющееся суперпозицией поперечных колебаний с частотой поля , плюс движение с медленно возрастающей скоростью вдоль направления распространения волны.

Пусть есть волна (рис.1): Е = nxEx, B = nyBy и By = Ex /с. Скорость заряженной частицы равна:

= nxx + nyy + nzz,

где nx, ny, nz - единичные векторы по трем осям координат. Подставляя эти значения поля и скорости в уравнение (3.1) и, имея в виду, что

nx ny nz

[nx ny] = nz, [ny ny] = 0, [nz ny] = - nx и [ B ] = x y z

Bx By Bz

F = nxqEx + qxBynz - qzBynx, (3.2)

это мгновенное значение силы, которое изменяется с частотой . В силу инерционности приборов, регистрироваться могут только усредненные значения. Первый член (3.2) при усреднении за один цикл дает ноль, т.к.

Еx=Eocos(t - kz). То же справедливо и для последнего члена zBy, поскольку мы предполагаем, что приращение скорости вдоль z в течение одного цикла пренебрежимо малым (ввиду малости силы Лоренца), т.е. считаем скорость z постоянной в течение одного цикла, а среднее по времени за один цикл от поля By даёт ноль.

Среднее значение от члена <qxBy nz > = 0, т.к. поперечная скорость x колеблется с той же частотой, что и By. Учитывая, что сила равна скорости изменения импульса, получим для усреднённых по времени значений выражение:

<F> = < dP/dt > = nzq < xBy > = nz xEx. (3.3)



Теперь рассмотрим работу, которую волна совершает над зарядом q. Мгновенное значение этой работы, совершаемой за единицу времени, равно изменению энергии волны за то же время:

dW/dt = F = (qE + q[B]) = qE + 0 = qxEx

Беря среднее за один цикл, имеем:

<dW/dt> = q<xEx> (3.3)

Из сравнения уравнений (3.3) и (3.4) получаем:

<>= nz<> (3.5)

Итак, за интервал времени, в течение которого заряду q передается от бегущей волны энергия W, он приобретет также импульс

= nz (3.6)

Отметим, что из выражения (3.5) для силы, действующей на заряженную частицу, выпала основная характеристика частицы - ее заряд q. Это позволяет обобщить формулу (3.5) и не связывать полученный результат с модельными представлениями электронной теории, использованными при ее выводе.

Пусть, например, вся энергия Wпадающей на площадку d волны поглощается веществом. При этом веществу передается не только энергия W, но и импульс P (вдоль направления распространения), связанный с энергией соотношением (3.6). Нельзя передать энергию W и не передать при этом импульс nz. Это равносильно утверждению, что излучение обладает не только энергией, но и импульсом, связанным с энергией соотношением (3.6).

Мощность , поглощаемая площадкой d, равна S d, а сила, действующая на нее в соответствии с (3.5), равна:

Рис. 3

где d' = nz d - это проекция площадки d на направление, перпендикулярное

направлению распространения волны.

Давление - это сила, действующая по нормали к поверхности на единицу площади:

Fд= F / d' = / d' = S/ c = w, (3.7)

где w - объемная плотность энергии электромагнитного излучения.

При идеальном отражении поверхности тела передается импульс в два раза больше, следовательно, =2.

Для частично отражающей поверхности с коэффициентом отражения давление Fд = (1+)*



4. Момент импульса электромагнитной волны

Если на среду падает циркулярно поляризованная волна, то она вызывает круговое движение зарядов, т.е. передает зарядам вещества момент импульса.

Пусть вектор E электромагнитная волна, распространяющаяся вдоль оси Z (рис.3), имеет постоянную величину и вращается (при фиксированном Z) с угловой скоростью вокруг оси Z, образуя с вектором B и осью Z правый винт.(ось Z выходит из плоскости рисунка).Эта волна может быть представлена как суперпозиция двух гармонически магнитно поляризованных волн Ex и Ey, причем Ex опережает по фазе Ey на /2.Магнитное поле B (как всегда в бегущей волне) B=[SE].

Рис. 4 - Циркулярно поляризованная волна вызывает движение заряда q по круговой траектории.

Под действием вектора E заряд q будет вращаться с угловой скоростью . Заряд так же медленно движется в направлении +Z под действием давления излучения. Однако этим движением можно принебречь. На заряд q действует момент силы:

M=[r F]=[r qE]+q[r[Vq B]] (4.1)

Реальный интерес представляет среднее за один цикл значение <M>. Из рис.3 видим, что вектор [Vq B] направлен вдоль оси Z, поэтому вектор [r[Vq B]] направлен вдоль - Vq. Так как среднее за один цикл от каждой компоненты Vq дает ноль (компоненты скорости являются гармоническими функциями), то магнитное поле не вносит никакого вклада в <M>, т.е.

<M>=<[rF]>=<[rqE]> (4.2)

Заметим, что для вращательного движения |r|=|Vq| и кроме него sin(r,E)=cos(VqE), тогда

|[rqE]|=|r| |q|sin(r)= |q| ||cos(Vq,E),

т.е. вектор [r q] направлен вдоль оси Z (вдоль направления распространения волны) и имеет ту же величину, что и скалярное произведение q.

Поэтому можно записать:

M = [r q] = nz()q (4.3)

Учтя, что момент силы M - это скорость изменения момента импульса L и чтоVq q представляет собой скорость, с которой совершается работа над зарядом q, получим:

<M> = > =nz<q> =<> (4.4)



В соответствии с уравнением (4.4) заряд q, поглощающей энергию W от поляризованной по кругу бегущей волны, в которой вращение происходит вокруг оси Z, поглощает так же и момент импульса L, равный

L = nz (4.5)

Введя единичный вектор для направления вращения, (4.5) представим в виде:

L = (4.6),

где - либо совпадает, либо противоположно направлению распространения волны. Таким образом заключаем, что нельзя передать зарядам вещества от поляризованной по кругу ЭМ волны энергию W и не передать при этом момент импульса L. А это равносильно утверждению, что поляризованная по кругу ЭМ волна переносит момент импульса, который связан с энергией соотношением (4.6). У линейно поляризованной волны, которая может быть представлена как суперпозиция двух кругополяризованных волн (правой и левой) момент импульса отсутствует.

В области макроскопических явлений экспериментальное измерение электромагнитного импульса и момента импульса представляет очень трудную задачу в виду ничтожной величины связанных с ними эффектов. Однако в области атомарных явлений обмен моментом импульса между светом и веществом имеет весьма существенное значение.

Так, например, излучение света возбужденным атомом, вообще говоря, связано с изменением момента импульса электронов в атоме, причем это изменение по порядку величины сравнимо с абсолютной величиной момента атома.

5. Квантовое представление импульса и момента импульса ЭМ излучения

волна поле энергия атом

Как известно, электромагнитные плоские бегущие волны переносят энергию порциями, или квантами, равными W =ћ . В соответствии с уравнениями (3.6) и (4.6) такая волна при поглощении должна передавать квантованное значение импульса:

=nz =nz(ћ) =ћ (5.1)

где nz -волновой вектор, и квантованное значение момента импульса (если волна циркулярно поляризована):

L = ћ (5.2)

Для вакуума импульс и момент импульса фотона: ћ и L=ћ.

При этом масса электромагнитного излучения равна: mизл=. Масса фотона mф = ћ

6. Задачи

Задача 1. В вакууме распространяются две плоские электромагнитные волны:

1 = 0cos(tx), 2 = 0cos(ty),где вектор 0 параллелен оси Z. Найти среднее значение плотности потока энергии в точках плоскости х = у.

Решение:

Рис. 5

S=S1+S2

S1| = |S2| = 0 cE2

|S| = 2 |S1|2 = 0cEІ0c()E02cos2t)

<|S|> = 0cE02<cos2 (t)> =(E020c

Задача 2. Исходя из представлений, что свет состоит из фотонов, определить давление световой волны с интенсивностью I на плоское зеркало, предполагая, что коэффициент отражения зеркала равен , а угол падения . Определить так же тангенциальную силу T, действующую на единицу поверхности зеркала со стороны падающего излучения.

Решение: Если N - число фотонов падающей волны в единице объема, то импульс фотонов, упавших в 1 сек. на зеркало, равен: (Nh/c)V,

Рис. 6

где V - объем параллелепипеда с площадью основания Scos и высотой, равной скорости с, S- площадь зеркала: V=cScos

Т.к. по смыслу Nh = w, где w - плотность энергии, то этот импульс равен

1 wScos

где - единичный вектор вдоль направления падающей волны.

Импульс отраженных за 1 сек. фотонов равен:

2wScos

где - объемная плотность энергии и - единичный вектор в отраженной волне. Таким образом, изменение импульса световой волны за 1 сек вследствие отражения от зеркала равно:

21wScos-)

В силу закона сохранения импульса изменение импульса зеркала будет таким же по величине, но противоположным по направлению. Поэтому сила F, действующая на зеркало со стороны излучения, равна:

F=12wScos-)

а сила f, действующая на единицу площади зеркала:

f =F/S = wcos-)



Проектируя силу f на нормаль к зеркалу, получаем силу давления:

Fд=wcosІ(L+I/c cosІ(1+)

проектируя силуf на плоскость зеркала, получаем тангенциальную силу Т:

T=wcoscos (90-)-cos (90-)=wcos sin(1-)=sin2(1-)=sin(1-)

Задача 3. Плоская световая волна падает на поверхность шара. Предполагая, что поверхность шара:1) абсолютно зеркальная либо 2) абсолютно поглощающая, выразить силу светового давления на шар, если известна интенсивность падающего излучения I.

Решение. Чтобы объединить оба случая, допустим, что коэффициент отражения поверхности шара равен и не зависит от угла падения .

Рис. 7

При этом для зеркальной поверхности =1, поглощающей =0. Выделим на поверхности освещаемой полусферы площадку d, её ориентацию определяет единичный вектор нормали .

Воспользовавшись результатом задачи 2, силу, действующую на единицу площади шара можно записать:

f = wcos-)

В силу осевой симметрии задачи результирующая сила светового давления на шар должна быть направлена по оси х и равна:

Fд=

где dS=2R2sind - элемент поверхности шара, радиус которого равен R, а интегрирование нужно проводить по освещенной половине шара. Имеем:

fx=wcos+wcos cos2=wcos (1+cosІ-sinІ)

Fд=d=2R2w-(cos2/2) - (cos/4) -(sin/4)=

=2R2w(+ - ) = R2w = R2.

Таким образом, сила светового давления на шар Fд не зависит от коэффициента отражения и одинакова для абсолютно зеркального и абсолютно поглощающего шаров.



Литература

1. Волькенштейн В. С. Сборник задач по общему курсу физики. - М.: Наука, 1985. - 384 с.

2. Волькенштейн В. С. Сборник задач по общему курсу физики. - СПб.: СпецЛит, 2012. - 327 с.

3. Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики. Учебное пособие для втузов. 4-е изд., испр. - М.: Высшая школа, 2012. - 718 с.

4. Савельев И.В. Курс общей физики в 3-х тт. Т.1 Механика. Молекулярная физика. Учебник. 4-е изд. - СПб.: Лань, 2004. - 432 с.

5. Савельев И.В. Курс общей физики в 3-х тт. Т.2 Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. Учебник. 4-е изд. - СПб.: Лань, 2004. - 496 с.

6. Савельев И.В. Курс общей физики в 3-х тт. Т.3 Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. - СПб.:, Лань, 2004. - 320 с.

7. Сивухин Д.В. Общий курс физики Т-1 Механика. Уч. пос. для вузов - М.: Физматлит, 2005.

8. Сивухин Д.В.Общий курс физики Т-2 Термодинамика и молекулярная физика. Уч. пос. для вузов - М.: Физматлит, 2005.

9. Сивухин Д.В.Общий курс физики Т-3 Электричество. Уч. пос. для вузов. - М.: Физматлит, 2004.

10. Сивухин Д.В. Общий курс физики Т-5 Атомная и ядерная физика. Учеб. пособие для вузов.- М.: Физматлит, 2006.

11. Трофимова Т. И. Курс физики: Учеб. пособие для вузов. -- 7-е изд., стер. -- М.: Высш. шк., 2011. -- 542 с.

12. Трофимова Т. И., Павлова З. Г. - Сборник задач по курсу физики с решениями. Уч. пос. для вузов. - М: Высш. шк. 2009. - 591 с.

13. Чертов А. Г., Воробьёв А. А. - Задачник по физике. Уч. пособие для втузов. - 5 изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1988. - 527 с.

Размещено на Allbest.ru