Релятивистское волновое уравнение с расширенным набором представлений для частицы со спином 1

Размещено на http://www.allbest.ru/

32

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«БРЕСТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ А. С. ПУШКИНА»

Физический факультет

Кафедра теоретической физики и астрономии

РЕЛЯТИВИСТСКОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ С РАСШИРЕННЫМ НАБОРОМ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ДЛЯ ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 1

Дипломная работа по специализации «Теоретическая физика»

специальности 1-31 04 01-03 Физика (научно-педагогическая деятельность)

Брест 2010

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Литературный обзор

2. Основные сведения из теории РВУ

3. Волновое уравнение для частицы со спином 1

4. Сечение Комптон-эффекта для векторной частицы

Заключение

Список использованных литературных источников

ВВЕДЕНИЕ

В квантовой теории поля состояние частицы описывается некоторой функцией . Величина может состоять как из одной, так и из нескольких компонент (в принципе и из бесконечного их числа). В качестве основных свойств характеризующих частицу берутся спин и масса. В таком виде основы теории релятивистских волновых уравнений (РВУ) заложили Дирак и Паули, в дальнейшем она была развита многими физиками и достигла больших успехов. Вместе с тем обозначились и некоторые проблемы. Одна из них это описание внутренних (помимо спина) степеней свободы. Одним из подходов является использование уравнений с кратными представлениями Лоренца.

В теории РВУ можно выделить две основные задачи. Первая заключается в том, чтобы сформулировать и физически обосновать совокупность требований, которые позволили бы из всего множества дифференциальных уравнений выделить те, что описывают действительно существующие частицы, и на этой основе объяснить спектр элементарных частиц. Другими словами, необходимо построить постулативный базис теории. Вторая задача состоит в разработке самых эффективных способов извлечения из волновых уравнений различных физических следствий, т.е. получения информации о физических свойствах описываемых ими частиц. Сюда относится поиск наиболее рациональной формы записи уравнений, изучение их алгебраических свойств, отработка методики расчета различных процессов взаимодействия и др.

Цель работы состоит в том, чтобы показать, что использование расширенного набора неприводимых представлений группы Лоренца, в том числе кратных (повторяющихся) представлений, при построении релятивистских волновых уравнений (РВУ) первого порядка позволяет описывать не только спин, как это обычно считается в релятивистской квантовой механике, но и внутреннюю структуру элементарных частиц (например, аномальный магнитный момент), а также дополнительные (помимо спина) внутренние степени свободы.

релятивистский волновой уравнение спин комптон

1. ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР

Основы теории релятивистских волновых уравнений заложены в 30-х годах Дираком [1], Фирцем и Паули [2,3]. В [1] развита теория уравнений для описания частиц спином ненулевой и нулевой массы. Они записываются в спинорной форме и в случае ненулевой массы являются обобщением дираковского уравнения для электрона [4], отличаясь числом компонент волновой функции (рангом спиноров). В качестве ведущего принципа Дираком было взято требование, чтобы каждая компонента волновой функции удовлетворяла уравнению Клейна-Фока-Гордона. Этим обеспечивается единственное значение массы частицы. Фирц [2] подробно исследовал свойства свободных от взаимодействий уравнений Дирака. Получены их решения в виде плоских волн, записаны выражения для динамических переменных, выполнено вторичное квантование. При этом в случае целого спина Фирц использует тензорную форму записи и исходит уравнений не первого, а второго порядка с дополнительными условиями, роль которых сводится к выделению нужного значения спина. В работе [3] рассматривается проблема введения электромагнитного взаимодействия в теории Дирака.

Трудность данной проблемы состоит в том, что наиболее естественный метод учета электромагнитного поля, состоящий в замене , приводит к несовместной системе уравнений для спина, большего единицы, причем несовместность обусловлена существованием дополнительных условий. Фирц и Паули предложили способ преодоления этой трудности, вводя в лагранжиан вспомогательные тензоры так, чтобы при варьировании лагранжиана в отсутствии внешнего электромагнитного поля из него получались обычные уравнения Дирака, а при учете поля (с помощью вышеуказанной замены) получалась бы совместная система уравнений. Этот искусственный прием обладает, однако, тем существенным недостатком, что если вспомогательных тензоров вводить больше минимально необходимого количества, то можно получать много разных неэквивалентных в присутствии электромагнитного поля уравнений для данного значения спина, и в рамках предлагаемого подхода не видно путей устранения указанной неопределенности.

В работах Баба [5] и Хариш-Чандра [6] продолжено начатое Дираком, Фирцем и Паули общее исследование релятивистских волновых уравнений. Исходя из общих физических соображений, Баба и Хариш-Чандра показали, что уравнения теории свободного массивного поля всегда могут быть записаны в стандартной матричной форме

(), (1)

где - четверка квадратных матриц, которые определяют все физические свойства частицы. В [5] Баба ограничивается лишь теми матрицами, которые удовлетворяют условиям

, (2)

где инфинитезимальные операторы представления группы Лоренца, по которому преобразуется волновая функция . Для нахождения всех таких уравнений, исследования ряда их свойств он использовал связь группы Лоренца и группы пятимерных вращений. Условия (2) обеспечивают совместность системы (1) при введении в нее электромагнитного взаимодействия, чем обусловлено их использование.

Однако, хотя условия (2) выполняются для наиболее известных простейших уравнений Дирака и Даффина-Кеммера [7,8], соответствующих спинам 1/2, 0, 1, они в случае высших спинов существенно ограничивают возможности теории и приводят к жестко взаимосвязанным спектрам масс и спинов, не подтвержденным экспериментально. Например, частица со спином 3/2 или 2 обязательно должна обладать двумя массами покоя. В дальнейшем Баба отказывается от этих условий.

Начало новому алгебраическому подходу к изучению релятивистских волновых уравнений типа (1) было положено Хариш-Чандра [6]. Исследуя трансформационные свойства величин, являющихся линейными комбинациями произведений различного числа матриц, он доказал теорему о существовании перестановочных соотношений, полностью определяющих алгебру этих матриц. Было показано также, что инфинитезимальные операторы представления волновой функции , матрицы пространственного отражения, билинейной формы и т.д. могут быть выражены через, найден вид минимального полинома матриц для случая одной массы. Физические характеристики частиц связываются в [6] с инвариантными свойствами.

В [9,10] сделаны попытки собрать воедино все общие требования, которые могли бы быть положены в основу теории релятивистских волновых уравнений, т.е. создать ее постулативный базис. Помимо релятивистской инвариантности, на уравнения (1) накладываются условия возможности их получения из инвариантной функции Лагранжа, дефинитности энергии для частиц с целым и заряда полуцелым спином и т.д., анализируется роль этих условий. Совпадая в основном, постулаты Баба и Хариш-Чандра несколько отличаются. Так, например, Хариш-Чандра [9] требует, чтобы каждая компонента удовлетворяла уравнению Клейна-Фока-Гордона; Баба же [10] рассматривает уравнения со спектром масс. В [10], кроме того, отсутствует условие, исключающее из возможных состояний частицы такие, которые соответствуют нулевой плотности энергии, что гарантирует вещественность массы частицы [11]. В [9] получены общие выражения для лагранжиана, вектора плотности тока и тензора энергии-импульса, соответствующие уравнениям поля в форме (1), рассматриваются алгебраические свойства матриц билинейной формы и пространственного отражения, осуществляется вторичное квантование свободных от взаимодействия уравнений. Обсуждается вопрос о возможности непротиворечивого введения электромагнитного взаимодействия в (1).

Одной из основополагающих в теории релятивистских волновых уравнений является также работа Гельфанда и Яглома [11], в которой дан общий метод построения и исследования конечномерных уравнений в стандартной матричной форме (1) для частицы с любым заданным спектром массовых и спиновых состояний. В этой работе в аналитическом виде получены ограничения, накладываемые на элементы матриц требованиями релятивистской инвариантности (1), пространственной и временной симметрии, возможности получения (1) из инвариантной функции Лагранжа, дефинитности энергии и заряда, а также ограничения, накладываемые этими требованиями на набор неприводимых представлений группы Лоренца пространства волновой функции . Одной из таких ограничений, например, состоит в том, чтобы указанный набор представлений был зацепляющимся. Используя схему Гельфанда-Яглома, можно в принципе проанализировать любую совокупность неприводимых представлений с точки зрения ее пригодности для построения удовлетворяющего необходимым физическим требованиям релятивистского волнового уравнения с заданным спектром масс и спинов, причем данный анализ удобнее всего проводить в базисе Гельфанда-ЯгломаЇбазисе, в котором матрица имеет квазидиагональный вид и по диагонали стоят блоки, соответствующие определенным значениям спина.

Исключительная общность метода Гельфанда-Яглома имеет и свои теневые стороны. Отсутствие «жестокого» рецепта, который давал бы возможность заранее однозначно или ограниченным числом способов отбирать схемы зацеплений, наиболее пригодные для построения уравнения с нужными значениями масс и спинов, приводит к необходимости перебирать и анализировать большое количество различных таких схем, особенно в случае высших спинов. Вычисление сечений взаимодействий в базисе Гельфанда-Яглома, как правило, очень громоздко, затруднены и некоторые другие расчеты, о чем будет подробнее говориться в третьей главе. Тем не менее, работа [11] сыграла чрезвычайно важную роль в развитии теории релятивистских волновых уравнений. Об этом свидетельствует громадное число последующих исследований, в которых плодотворно использовался подход Гельфанда-Яглома. Не уменьшилась её актуальность и в настоящее время, несмотря на развитие ряда новых направлений.

Принципиально иной подход к решению проблемы построения волновых уравнений для частиц с произвольным спином и массой был применен Баргманом и Вигнером [12]. Они исходили из того предположения, что унитарное представление группы Пуанкаре (неоднородной группы Лоренца), если такое найдено, может заменить волновое уравнения для квантовомеханической системы, и сводили, таким образом, проблему нахождения всех возможных релятивистских волновых уравнений к определению всех унитарных представлений этой группы.

Направление, развиваемое в работах Федорова [13,14], это векторная параметризация группы вращений и группы Лоренца, суть которой состоит в том, что три параметра группы вращений записываются в виде некоторого вещественного трёхмерного вектора n, а шесть параметров группы Лоренца - в виде комплексного вектора q=a+ib, имеющего так же, как и n, очень простой закон композиции. При этом существенно упрощается рассмотрение многих вопросов теории указанных групп и их представлений, что очень важно не только само по себе, но и для различных физических приложений, в том числе в теории релятивистских волновых уравнений [15].

Эффективный метод исследования уравнений в стандартной матричной форме (1), с помощью которого получен ряд важнейших результатов, предложен Шелепиным [16]. В основе используемого им ковариантного подхода лежит классификация всех величин по неприводимым представлениям группы Лоренца, и записываются эти величины не просто в инвариантном виде, а как разложение по ковариантам (симметризаторам) группы Лоренца. Подход Шелепина позволяет применять широко развитый аппарат методики Рака, поскольку сводит теорию релятивистских волновых уравнений к теории момента количества движения (теории коэффициентов Клебша-Гордана). Дан метод получения перестановочных соотношений, полностью определяющих алгебру матриц для частиц с произвольным спином. Получены аналитические выражения для следов произвольного числа матриц, что позволяет упростить вычисления и доводить до конца расчёты сечений даже для сложных уравнений. Подробно исследована связь между различными базисами пространства волновой функции : каноническим, параметрическим, тензорным, Гельфанда-Яглома и др., найдены формулы перехода между ними. Особое внимание уделено параметрическому базису и получено общее решение вопроса о возможности выражения матрицы для произвольного спина через прямое произведение дираковских матриц. Даётся ковариантная формулировка преобразований пространственного отражения, зарядового сопряжения и других наиболее употребляемых симметрий. Рассмотрены примеры применения развитых автором методов к различным частным уравнениям. Свое дальнейшее обобщение теоретико-групповой подход, заложенный в [16] и основанный на использовании теории коэффициентов Клебша-Гордона для физических приложений, получил в [17].

Результаты основных исследований Федорова, Богуша и Мороза по релятивистским волновых уравнениям обобщены в монографии [18].

В работах Ломонто и Мозеса [19] уравнения для произвольного спина и ненулевой массы записываются в стандартной матричной форме (1), а для нулевой массы - в виде

, (3)

причем матрицы в обоих случаях удовлетворяют перестановочным соотношениям Дирака.

(4)

Моделью для волновых уравнений (1), (4) служит алгебраическая структура уравнений Дирака, а для (3), (4) - алгебраическая структура Максвелла, записанных в форме (3). Так, например, в (1), (4) выражаются через прямое произведение единичной матрицы на матрицы Дирака и имеют размерность 8s*8s. Если потребовать инвариантность уравнений для ненулевой массы относительно пространственных отражений, то размерность удваивается. Помимо перестановочных соотношений (4) на уравнения Ломонта и Мозеса накладываются своего рода дополнительные условия, сводящиеся к тому, что в отсутствии взаимодействия 2(2s-1) компонент волновой функции равные нулю. Наличие «лишних» компонент у позволяет неприворечивым образом вводить электромагнитное взаимодействие и осуществлять вторичное квантование. Достоинство уравнений Ломонта и Мозеса заключается в простоте их алгебраической структур, недостатком же следует считать значительное увеличение числа компонент волновой функции.

Новый тип релятивистских волновых уравнений, описывающих частиц с целым спином, получен Дираком. По виду они напоминают дираковское уравнение для электрона, однако существенно отличается от него и от других известных уравнений по своему содержанию. Волновая функция имеет только одну компоненту, но зависит от двух дополнительных канонических переменных, определяющих внутренние степени свободы частицы. Новые уравнения Дирака приводят только к положительным значениям массы и к переменному спину, зависящему от импульса

Попытка решить проблему построения релятивистских волновых уравнений с любым внешним спином в рамках подхода Гельфанда-Яглома была сделана Капри [20] для случая полуцелого и Амаром и Доццио [21] для случая целого спина. Как указывалось выше, подход Гельфанда-Яглома является очень действенным при исследованиях свойств уравнений, когда схема зацеплений неприводимых представлений группы Лоренца, на основе которой строится уравнение, задана. Но осуществить подбор такой схемы зацеплений, которая обеспечивала бы нужные значения массы, спина и выполнение необходимых физических требований, очень трудно, особенно в случае высших спинов. В [20] авторы предлагают схемы зацеплений общего вида, которые призваны решить данную проблему. В их методе существенным является использование кратных представлений, что само по себе, безусловно, оправдано. Однако, методы Капри, Амара и Доццио обладают рядом недостатков.

Упомянем еще два важных направления, к которым поддерживается постоянный интерес. Это - параметрический подход, или теория слияния, и бесконечномерные волновые уравнения. Идея параметрического подхода как общего метода построения релятивистских волновых уравнений для частиц с произвольным спином была впервые выдвинута де-Бройлем [22]. Его суть состоит в том, что уравнения для высших спинов получаются путем слияния более просты, например, уравнений Дирака и Даффина-Кеммера. Матрицы произвольного уравнения, записанного в стандартной матричной форме (1), выражаются в соответствующем базисе через прямые произведения матриц Дирака и Даффина-Кеммера, которые, таким образом, играют роль параметров. Этот базис называется параметрическим. Он имеет ряд преимуществ по сравнению с другими, поскольку перестановочные соотношения и свойства дираковских и даффин-кеммеровских хорошо изучены.

Еще до создания теории Дирака-Фирца-Паули в 1932 году была напечатана статья Майораны [23], в которой впервые сделана попытка построения релятивистских волновых уравнений для частиц с произвольным спином. В своей работе Майорана использует бесконечномерные представления группы Лоренца для того, чтобы избежать отрицательных значений массы. При этом получаются взаимосвязанные спектры масс и спинов. В дальнейшем детальное исследование бесконечномерных представлений было проведено Дираком, Хариш-Чандра, Баргманом, Гельфандом и Наймарком, Гинзбургом и Таммом, Гельфандом и Ягломом, Наймарком, а также Борисоглебским.

2. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РВУ

При построении релятивистских волновых уравнений порядка (1), где- квадратные матрицы размерности 1010, m - массовый параметр, 10- компонентная волновая функция, обычно исходя из какого-либо набора представлений группы Лоренца, причем чаще всего ограничиваются различными неприводимыми представлениями.

Самая полная схема зацеплений для частицы с целым спином (s=0,1,2,…n) без привлечения кратных представлений группы Лоренца может быть изображена в виде (мы пользуемся обозначением неприводимых представлений группы Лоренца, принятых в [15]).

.

При этом на выбор матриц и функцию накладываются ограничения вытекающие из следующих требований:

I. Инвариантность уравнения (1) относительно преобразований собственной группы Лоренца;

II. Инвариантность относительно пространственных отражений;

III. Возможность получения уравнения (1) из инвариантной функции Лагранжа.

При построении требуемых уравнений мы использовали подход Гельфанда-Яглома [11,24]. В этом подходе основную роль играет матрица , которая имеет вид:

(5)

где - спиновый блок соответствующий спину s

- единичная матрица размерностью 2s+1.

Если имеет отличные от нуля собственные значения, то частица обладает спином s. В блоке отличны от нуля только те для которых соответствующие представления зацепляются (т. е. и такие, что причем

Набор неприводимых представлений, на основе которых строится уравнение, образуют так называемую схему зацеплений. Если в схему некоторое представления входит более одного раза, то говорят об РВУ в кратными представлениями.

Условия (I)-(III) приводят к следующим ограничениям на :

если и ; (6а)

если и или и , (6б)

где представление является Р- сопряженным к (т.е. и );

(7)

(звездочка означает комплексное сопряжение). Для построения лагранжиана используется инвариантная билинейная форма , где матрица билинейной формы. В базисе Гельфанда-Яглома матрица имеет такую же структуру, что и т.е.

 (8)

В блоках отличными от нуля являются лишь элементы , причем, не уменьшая общности, можно выбирать

3. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 1

Для построения релятивистского волнового уравнения для спина 1, отличного от уравнения Даффина-Кеммера, будем исходить из схемы зацеплений

(9)

Матрица уравнения (1) имеет вид:

, (10)

где и спиновые блоки, соответствующие спинам 0 и 1.

Пронумеруем представления, входящие в (9), следующим образом:

(0,0) - 1, (1/2,1/2) - 2, (1/2,1/2) - 3 (1,0) - 4, (0,1) - 5. Тогда [28]

. (11)

Накладываем требование инвариантности относительно пространственного отражения это дает:

(12)

Требование возможности построения лагранжевой формулировки приводит к соотношениям:

(13)

Лагранжева формулировка теории накладывает на элементы матрицы билинейной формы ограничения:

. (14)

В случае построения уравнения для частицы со спином 1 собственные значения спинового блока должны быть равны 0, а блока --. Учитывая условия (12), (13) и (14), получим следующий общий вид блоков и :

.

Выбрав, например , , для блоков и получаем выражения:

. (15)

Минимальные полиномы блоков и имеют вид:

, . (16)

Следовательно, уравнение (1), (9) с матрицей (10), (15) и матрицей билинейной формы (14) описывает частицу со спином 1 и одной массой покоя. При этом не является диагональной, так как ее минимальное уравнение имеет вид:

. (17)

Для положительной определенности энергии необходимо и достаточно выполнения условия

>0. (18)

Матрица имеет структуру:

(19)

где, согласно (14),

. (20)

С помощью (10), (15), (19), (20) легко проверить, что , а и вещественно. Значит условие (18) выполняется-энергия дефинитна.

Таким образом, релятивистское волновое уравнение (1), (9) с неприводимой к диагональному виду матрицей (10), (15) и матрицей билинейной формы (20) описывает частицу со спином 1, одной массой покоя и удовлетворяет необходимым физическим требованиям. Размерность пространства представления равна 15.

Запишем полученное уравнение в тензорной форме:

, (21)

где и сопоставляется соответственно скалярному, векторным и тензорному представлениям. Здесь индексы и пробегают значения 1, 2, 3, 4. Штрих указывает на принадлежность и к разным, хотя и к эквивалентным, представлениям.

Для свободной частицы система (21) в отсутствие взаимодействия с помощью операций дифференцирования может быть сведена к векторному уравнению Даффина-Кеммера; и при этом обращаются в нуль. Если же в (21) в вести взаимодействие с внешним полем, то полученная система будет, вообще говоря, отличаться от даффин-кеммеровской не только по внешнему виду, но и по своим физическим свойствам, т.е. она описывает частицу со спином 1, неэквивалентную даффин-кеммеровской.

Запишем систему (21) в стандартной форме (1). Для этого введем в пространстве волновой функции обобщенные элементы матричной алгебры , определяемые соотношениями

, (22)

где собирательные индексы А, В,… принимают значения . При переходе от индексов к индексам А, В,… нужно иметь в виду, что имеет место соответствие . Умножая каждое из уравнений (21) соответственно на , складывая полученные соотношения и учитывая, что , получим

,

Где

. (23)

Используя (22) и (23), можно показать, что , т.е. в рассматриваемом тензорном базисе

.

Здесь обычные десятимерные матрицы Даффина-Кеммера для частицы со спином 1. Матрицы (23) удовлетворяют соотношению

,

где суммирование ведется по всем перестановкам индексов

Нетрудно убедиться, что матрица (23) удовлетворяет минимальному уравнению (17), то есть она унитарно эквивалентна матрице (10), (15). Другими словами, тензорная система (21) действительно эквивалентна построенному нами РВУ для спина 1.

4. СЕЧЕНИЕ КОМПТОН-ЭФФЕКТА ДЛЯ ВЕКТОРНОЙ ЧАСТИЦЫ

В работе мы использовали метод проективных операторов [25-27]. Рассмотрим процесс рассеяния исследуемой векторной частицы в кулоновском поле. Вероятность перехода частицы из состояния с импульсом в состояние с импульсом при таком рассеянии, усредненная по начальным и просуммированная по конечным значениям проекции спина, в случае нормировки по заряду равна [25]

, (24)

где S=1 - спин частицы, , проективный оператор

. (25)

Так как след нечетного произведения матриц равен нулю, получаем вместо (24)

(26)

Вычисление следов, входящих в (26), дает

(27)

(28)

где угол рассеяния. После подстановки значений этих следов в (26) получим следующее выражение для W:

.

Для векторной частицы Даффина-Кеммера вероятность W₁ рассматриваемого процесса рассеяния вычисляется также по формуле (24), но проективный оператор равен

. (29)

Учитывая (29), а также то, что след нечетного произведения матриц равен нулю, нетрудно получить для W₁ выражение:

. (30)

Прямое вычисление следов, входящих в (30), показывает, что их значения с точностью до множителя совпадают со значениями следов (27), (28), и следовательно, W=W₁. Это означает, что рассеяние нашей частицы и векторной частицы Даффина-Кеммера в кулоновском поле ядра происходит одинаковым образом. Такая же ситуация имеет место и для скалярной частицы.

Обратимся к явлению Комптон-эффекта на исследуемой векторной частице. При этом опять используем метод, развитый в [25-27], позволяющий вычислить вместо квадрата модуля матричного элемента непосредственно сам матричный элемент , где и амплитуды волновых функций частицы в начальном и конечном состояниях с 4-импульсами p и p^/ и проекциями спина на направление r и r^/. Для облегчения расчетов будем считать p=0, т.е. использовать систему отсчета, в которой частица до рассеяния покоилась. Направление, на которое проектируется спин начального состояния, выберем совпадающим с p^/ - импульсом частицы после рассеяния. Тогда матричный элемент M можно представить в виде

, (31)

где проективный оператор начального состояния; TЇматрица преобразования волновой функции ; Їоператор, который, оставляя неизменным импульс частицы, изменяет значение проекции спина, т.е. . Оператор определяется следующим образом [25]:

. (32)

Здесь Їусеченный минимальный полином оператора проекции спина , соответствующий собственному значению r, причем , где задает направление, на которое проектируется спин частицы, Їинфинитезимальные матричные операторы представления группы Лоренца в пространстве волновой функции , отвечающие чистым вращениям. Эти операторы в базисе (21) имеют вид:

,

(a, b, c=1, 2, 3).

В этом же базисе (21) матрица имеет структуру

, (33)

где LЇматрица Лоренца, Їматрица преобразования компонент антисимметричного тензора .

Оператор в общем случае можно рассматривать как произведение операторов [27], действующих в пространстве функции и изменяющих спиновое состояние движущейся частицы на , т.е. удовлетворяющих соотношению

,

где Їпостоянная, которая может быть выбрана вещественной (в случае, когда p=0, вычисляются по формуле , где Їспин частицы). Если импульс частицы p=0, то операторы можно представить в виде [27].

, (34)

Входящий в (31) оператор Q, соответствующий Комптон-эффекту, определяется на основе общих правил написании матричных элементов и имеет вид:

 (35)

При рассеянии фотона на векторной частице возможны девять различных процессов, соответствующих трем начальным и трем конечным спиновым состояниям частиц. Рассмотрим некоторые из них.

I. r=+1, r^/=+1.

Усеченный минимальный полином оператора в этом случае равен [25]

(36)

Поскольку спиновое состояние векторной частицы не меняется (r=r^/), то . Подставляя значения Q (36), (31), (25), (38), в выражение для матричного элемента (31), получим:

(37)

(38)

где Їчастоты (энергии) первоначального и рассеянного фотонов, Їединичный вектор в направлении падающего фотона.

Для сравнения приведем выражение соответствующего матричного элемента, рассчитанного тем же методом, для обычной векторной частицы Даффина-Кеммера:

(39)

(40)

Выражения (37), (38) и (39), (40) отличаются друг от друга (на частных примерах нетрудно убедиться, что отличаются и квадраты модулей матричных элементов (37), (48) и (39), (40)), и, следовательно, векторная частица, описываемая системой дифференциальных уравнений (21), неэквивалентна даффин-кеммеровской векторной частице.

II. r=+1, r^/=0

Так как спиновое состояние частицы при данном переходе изменяется на единицу (причем r>r^/), то оператор с точностью до постоянного коэффициента совпадают с оператором (36). Остальные величины, входящие в (34) остаются такими же, как в случае I.

Вычисляя матричный элемент , получим:

, (41)

где и Їединичные векторы, в (34),

(42)

Заметим, что квадрат модуля матричного элемента (41), (42) не зависит от векторов и он равен квадрату проекции вектора g на плоскость () ортогональную к , как и должно быть из физических соображений.

III. r=+1, r^/=-1.

Оператор в этом случае равен . Как и раньше, является инвариантом относительно вращений в плоскости (). Явный вид матричного элемента мы не приводим ввиду его громоздкости.

Рассмотренные переходы связаны с изменением спинового состояния частицы на 0, 1, 2, причем начальное значение проекции спина r равно +1. Все остальные случаи комптоновского рассеяния фотона на векторной частице сводятся к одному из этих трех с той лишь разницей, что другим значениям r будет соответствовать другой вид усеченного минимального полинома .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе построены отличающееся от даффин-кеммеровского уравнение для частицы со спином 1, содержащее кратные представления. Проанализированы детально свойства этого уравнения.

Произведен расчет сечений рассеяния на кулоновском центре и Комптон-эффекта для частицы, описываемой уравнением с кратными представлениями. Показано, что сечение Комптон-эффекта для этой частицы отличаются от соответствующих сечений для даффин-кеммеровских частиц со спином 1. Таким образом, показано, что использование расширенного набора неприводимых представлений группы Лоренца при построении релятивистских волновых уравнений (РВУ) первого порядка позволяет описывать не только спин, но и внутреннюю структуру элементарных частиц. В нашем случае речь идет об аномальном магнитном моменте. Полученные результаты существенно расширяют возможности теории РВУ при описании элементарных частиц.

Список использованных литературных источников

1. Dirac, P.A.M. Relativistic wave equations / P.A.M. Dirac // Proc. Roy. Soc. - 1936. V.A155. P. 447-459.

2. Fierz, M. Uber die relativistische theorie kraftefreier teilchen mit beliebigem spin / M.Fierz // Phys. Acta. - 1939. V12, №1. P 3-37.

3. Fierz, M. On relativistic wave equations for particles of arbitraty spin in an electromagnetic field / M. Fierz, W.Pauli // Proc. Roy. Soc. - 1939. V.A173. P. 211-232.

4. Dirak, P.A.M. The quantum theory of the electron / P.A.M. Dirak // Proc. Roy. Soc. - 1928. V.A117. P. 610-624.

5. Bhabha, H.J. Relativistic wave equations for the elementary pfrticles / H.J. Bhabha // Rev. Mod. Phys. - 1945. V17, №2,3. P. 200-216.

6. Harish-Chandra. On relativistic wave equations / Harish-Chandra / Phys. Rev. - 1947. V7. N11. P. 793-805.

7. Duffin R/ On the characteristic matrices of covariant system / R. Duffin // Phys. Rev. - 1938. V.54. P. 1114.

8. Kemmer H. The particles aspect of meson theory / H. Kemmer // Proc. Roy. Soc. - 1939. V.A173. P. 91-116.

9. Harish-Chandra. Relativistic wave equations for elementary particles / Harish-Chandra // Proc. Roy. Soc. - 1948. - V.A192. - P. 195-218.

10. Bhabha, H.J. On the postulational basis of the theory of elementary particles / H.J. Bhabha // Rev. Mod. Phys. - 1949. - V.21, №3. P 451-462.

11. Гельфанд И. М. Общие релятивистски-инвариантные уравнения и бесконечномерные представления группы Лоренца / И.М. Гельфанд, А.М. Яглом // ЖЭТФ. - 1948. Т.18, №8. С. 703 - 733.

12. Bargman, V. / V. Bagman, E.P. Wigner // Proc. Nat. Acad. Sci. USA - 1948. P 34,211.

13. Федоров, Ф.И. О параметризации группы Лоренца / Ф.И. Федоров // Доклады АН БССР. - 1961. Т.5, №3. С. 101-104.

14. Федоров, Ф.И. О композиции параметров группы Лоренца / Ф.И. Федоров // Доклады АН СССР. - 1962. Т.143, №1. С. 56-59.

15. Федоров, Ф.И. Волновое уравнение с кратными представлениями группы Лоренца. Целый спин / Ф.И. Федоров // Известия АН БССР, сер. физ. -м, №6, 1969.

16. Шелепин, Л.А. Ковариантная теория релятивистских волновых уравнений для частиц с произвольным спином / Л.А. Шелепин // Труды ФИАН СССР им. П.Н. Лебедева. - 1964. - Т.30. - С. 253-321.

17. Шелепин, Л.А. Исчисление коэффициентов Клебша-Гордона и его физические приложения / Л.А. Шелепин // Труды ФИАН СССР. - 1973. - Т.70. С. 3-119.

18. Богуш, А.А. Введение в теорию классических полей / А.А. Богуш, Л.Г. Мороз // Минск, «Наука и техника», 1968. - 386 с.

19. Lomont, J.S. / J.S. Lomont, H.E. Moses // Phys. Rev. ? 1959. P.118,337.

20. Capri, A.Z. First-order wave equations for half-odd-integral spin / A.Z. Capri // Phys. Rev. - 1969. V.178, №5. P. 2427-2433.

21. Amar, V. Finite-dimensional Gelfand-Yaglom equations for arbitrary integral spin / V. Amar, U. Dozzio // Nuovo Cim. - 1972. V.B9, №3. P. 53-63.

22. De Broglie, L. Une nouvelle theorie de la lumiere / L. de Broglie // Paris, Hermann, 1940. - 281 p.

23. Mojorana, E. / Nuovo Cim. - 1932. P. 9, 335.

24. Гельфанд, И.М. Представления группы вращений и группы Лоренца / И.М. Гельфанд, Р.А. Минлос, З.Я. Шапиро // Москва, Физматгиз,1958. - 368 c.

25. Федоров, Ф.И. Проективные операторы в теории элементарных частиц / Ф.И. Федоров // ЖЭТФ. - 1958. Т.35. С. 495-498.

26. Богуш, А.А. Каварыянтнае апісанне спінавых уласцівастей часцінак і яго прымяненне / А.А. Богуш, Ф.И. Федоров // Весці АН БССР, сер. фіз.-тэхн. - 1962. №2. С. 26-38.

27. Федоров, Ф.И. Вектор-параметр и ковариантная теория спина / Ф.И. Федоров, Е.Е. Тхарев // ЯФ. - 1968. Т.7. С., 189 - 191.

28. Плетюхов, В.А. Волновые уравнения с кратными представлениями для частицы со спином 1 / В.А. Плетюхов, Ф.И. Федоров // Весці АН БССР, сер. фіз. - мат. н. - 1970. - №3, - С. 84-92.

29. Мелюх, О.Н. К теории релятивистских волновых уравнений с кратными представлениями группы Лоренца / О.Н. Мелюх, Н.М. Тарасюк // Студ. науч. конф., посвящ. 110-летию со дня рожд. Ф. Жолио-Кюри: сб. матер., Брест, 30 марта 2010 г. / Брест. гос. ун-т им. А.С. Пушкина; под общ. ред. В.С. Секержицкого. - Брест: БрГУ, 2010. - С. 28-29.

30. Мелюх, О.Н. Релятивистское волновое уравнение с кратными представлениями группы Лоренца для частицы со спином 1 / Мелюх, О.Н. // НИРС-2010: сб. матер. студ. науч. конф., Брест, 29 апр. 2010 г. / Брест. гос. ун-т им. А.С. Пушкина; под общ. ред. В.С. Секержицкого. - Брест: БрГУ, 2010.- С. 24-26.

Размещено на Allbest.ru