Расчет трехполюсника

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Надежность сетевых структур, являющихся образом сложных многокомпонентных систем, определяется надежностью компонентов, которым при графической интерпретации соответствуют вершины графа или его рёбра. Если надежность сетевой структуры, включающей множество компонентов, определить как работоспособность всех её компонентов, то во многих случаях она может оказаться равной нулю. Если же определить надежность сети как возможность соединения между выбранным множеством её компонентов, то её надежность окажется практически равной единице. При этом для некоторых компонентов, которые не попали в это множество, сетевую структуру нельзя будет считать абсолютно надежной. Примером такого рода объекта исследования является сеть Интернет, надёжность которой можно считать равной нулю по первому определению, поскольку всегда найдется неисправный или отключенный узел. А по второму определению, её можно считать абсолютно надёжной, поскольку она обеспечивает возможность коммуникации большого числа удалённых узлов. Выходом из возникшей ситуации является переход к вероятностной оценке надёжности сетевой структуры по вероятностным составляющим надёжности её компонентов.

Следует отметить, что отдельные её компоненты могут по-разному влиять на работу сети в целом. Это видно на примере сети Интернет. Выход из строя терминального узла создает проблемы ее пользователю, а отказ сервера сказывается на работе всех его клиентов, в том числе и удаленных. Кроме этого, отказ в доступе к определенному сетевому ресурсу часто связан не с отказом оборудования или программы, а просто с перегрузкой линий связи сети. Поэтому сетевую структуру следует рассматривать как неоднородно-ненадёжную структурно-сложную графовую систему, неоднородность которой может относиться как к узлам, так и к рёбрам.

Во многих случаях, когда требуется получить оценку надежности конкретной сети, неплохие результаты могут дать расчеты с использованием метода Монте-Карло. Однако они требуют больших вычислительных ресурсов для решения поставленной задачи. Кроме этого, методы реализуют алгоритмы, которые из-за сложности вычислений либо позволяют оценить надёжность сетей с ограниченным числом узлов, либо ориентированы на оценку возможных границ надёжности.

В курсовой работе излагается один из подходов для оценки неоднородно-ненадёжных сетевых структур, являющихся образом сложных систем-трёхполюсников, то есть систем, имеющих три входа-выхода. Подход реализован в виде методики расчёта надёжности, которая разработана в рамках вероятностно-алгебраического аппарата, позволяющего оценить вероятностные характеристики надёжности системы по вероятностным характеристикам надёжности её компонентов. Она обеспечивает определение точных вероятностных оценок надёжности сетевых структур в виде векторов вероятностей результирующих состояний систем. Сформированные вектора позволяют получить вероятностные оценки исследуемого показателя надёжности для различных сочетаний заданных полюсов, а также являются исходными данными при вероятностно-алгебраическом умножении структур-трёхполюсников.

Универсальность методики заключается в возможности её распространения на случаи оценки надёжности n-полюсников, структурные компоненты которых (линии связи, узлы) имеют как два состояния (работа, отказ), так и конечное множество состояний, характеризующее различные уровни исследуемого показателя надёжности. В случае рассмотрения множества состояний компонентов, составляющих трёхполюсник, применяется методика оценки надёжности структурно-сложных систем, основанная на сведении модели системы со многими состояниями к совокупности бинарных моделей с двумя состояниями, разработанная для оценки надёжности сетевых структур с одним входом и одним выходом.

Целью данной курсовой работы является расчет оценок вероятностных характеристик, создание средств автоматизации расчета характеристик надежности систем-трехполюсников. Задача состоит в разработке и реализации программы в среде Pascal, позволяющую рассчитать вероятность надежности функционирования системы-трехполюсника. А также тестирование программы на тестовых примерах.

1. Структурно-логический анализ технических систем

Конечной целью расчета надежности технических устройств является оптимизация конструктивных решений и параметров, режимов эксплуатации, организация технического обслуживания и ремонтов. Поэтому уже на ранних стадиях проектирования важно оценить надежность объекта, выявить наиболее ненадежные узлы и детали, определить наиболее эффективные меры повышения показателей надежности. Решение этих задач возможно после предварительного структурно-логического анализа системы.

Большинство технических объектов являются сложными системами, состоящими из отдельных узлов, деталей, агрегатов, устройств контроля, управления и т.д. Техническая система (ТС) - совокупность технических устройств (элементов), предназначенных для выполнения определенной функции или функций. Соответственно, элемент - составная часть системы.

Расчленение ТС на элементы достаточно условно и зависит от постановки задачи расчета надежности. Например при анализе работоспособности технологической линии ее элементами могут считаться отдельные установки и станки, транспортные и загрузочные устройства и т.д. В свою очередь станки и устройства также могут считаться техническими системами и при оценке их надежности должны быть разделены на элементы - узлы, блоки, которые, в свою очередь - на детали и т.д.

При определении структуры ТС в первую очередь необходимо оценить влияние каждого элемента и его работоспособности на работоспособность системы в целом. С этой точки зрения целесообразно разделить все элементы на четыре группы:

1. Элементы, отказ которых практически не влияет на работоспособность системы (например, деформация кожуха, изменение окраски поверхности и т.п.).

2. Элементы, работоспособность которых за время эксплуатации практически не изменяется и вероятность безотказной работы близка к единице (корпусные детали, малонагруженные элементы с большим запасом прочности).

3. Элементы, ремонт или регулировка которых возможна при работе изделия или во время планового технического обслуживания (наладка или замена технологического инструмента оборудования, настройка частоты селективных цепей РЭС и т.д.).

4. Элементы, отказ которых сам по себе или в сочетании с отказами других элементов приводит к отказу системы.

Очевидно, при анализе надежности ТС имеет смысл включать в рассмотрение только элементы последней группы.

Для расчетов параметров надежности удобно использовать структурно-логические схемы надежности ТС, которые графически отображают взаимосвязь элементов и их влияние на работоспособность системы в целом. Структурно-логическая схема представляет собой совокупность ранее выделенных элементов, соединенных друг с другом последовательно или параллельно. Критерием для определения вида соединения элементов (последовательного или параллельного) при построении схемы является влияние их отказа на работоспособность ТС.

Последовательным (с точки зрения надежности) считается соединение, при котором отказ любого элемента приводит к отказу всей системы (рисунок 1.1).

Параллельным (с точки зрения надежности) считается соединение, при котором отказ любого элемента не приводит к отказу системы, пока не откажут все соединенные элементы.

Определенная аналогия здесь прослеживается с цепью, составленной из проводящих элементов (исправный элемент пропускает ток, отказавший не пропускает): работоспособному состоянию ТС соответствует возможность протекания тока от входа до выхода цепи.

Примером последовательного соединения элементов структурно-логической схемы может быть технологическая линия, в котором последовательно осуществляется преобразование входного сигнала. Если же на некоторых участках линии, или пути сигнала, предусмотрена одновременная обработка на нескольких единицах оборудования, то такие элементы (единицы оборудования) могут считаться соединенными параллельно.

Однако не всегда структурная схема надежности аналогична конструктивной или электрической схеме расположения элементов. Например, подшипники на валу редуктора работают конструктивно параллельно друг с другом, однако выход из строя любого из них приводит к отказу системы. Указанные элементы с точки зрения надежности образуют последовательное соединение. Кроме того, на структуру схемы надежности может оказывать влияние и вид возникающих отказов. Например, в электрических системах для повышения надежности в ряде случаев применяют параллельное или последовательное соединение коммутирующих элементов (рисунок 1.3). Отказ таких изделий может происходить по двум причинам: обрыва (т.е. невозможности замыкания цепи) и замыкания (т.е. невозможности разрыва соединения). В случае отказа типа «обрыв» схема надежности соответствует электрической схеме системы (при «обрыве» любого коммутатора при последовательном их соединении возникает отказ, при параллельном - все функции управления будет выполнять исправный коммутатор). В случае отказа типа «замыкание» схема надежности противоположна электрической (в параллельном включении утратится возможность отключения тока, а в последовательном общего отказа не происходит).

В целом анализ структурной надежности ТС, как правило, включает следующие операции:

1. Анализируются устройства и выполняемые системой и ее составными частями функции, а также взаимосвязь составных частей.

2. Формируется содержание понятия «безотказной работы» для данной конкретной системы.

3. Определяются возможные отказы составных частей и системы, их причины и возможные последствия.

4. Оценивается влияние отказов составных частей системы на ее работоспособность.

5. Система разделяется на элементы, показатели надежности которых известны.

6. Составляется структурно-логическая схема надежности технической системы, которая является моделью ее безотказной работы.

7. Составляются расчётные зависимости для определения показателей надёжности ТС с использованием данных по надежности её элементов и с учётом структурной схемы.

В зависимости от поставленной задачи на основании результатов расчета характеристик надежности ТС делаются выводы и принимаются решения о необходимости изменения или доработки элементной базы, резервировании отдельных элементов или узлов, об установлении определенного режима профилактического обслуживания, о номенклатуре и количестве запасных элементов для ремонта и т.д.

2. Расчеты структурной надежности систем

трехполюстник программа pascal вероятностный

Расчеты показателей безотказности ТС обычно проводятся в предположении, что как вся система, так и любой ее элемент могут находиться только в одном из двух возможных состояний - работоспособном и неработоспособном и отказы элементов независимы друг от друга. Состояние системы (работоспособное или неработоспособное) определяется состоянием элементов и их сочетанием. Поэтому теоретически возможно расчет безотказности любой ТС свести к перебору всех возможных комбинаций состояний элементов, определению вероятности каждого из них и сложению вероятностей работоспособных состояний системы.

Такой метод практически универсален и может использоваться при расчете любых ТС. Однако при большом количестве элементов системы n такой путь становится нереальным из-за большого объема вычислений (например, при n=10 число возможных состояний системы составляет, , ).

Системы с последовательным соединением элементов

Системой с последовательным соединением элементов называется система, в которой отказ любого элемента приводит к отказу всей системы (см. п. 1, рисунок 1.1). Такое соединение элементов в технике встречается наиболее часто, поэтому его называют основным соединением.

В системе с последовательным соединением для безотказной работы в течении некоторой наработки t необходимо и достаточно, чтобы каждый из ее n элементов работал безотказно в течении этой наработки. Считая отказы элементов независимыми, вероятность одновременной безотказной работы n элементов определяется по теореме умножения вероятностей: вероятность совместного появления независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

(2.1)

(далее аргумент t в скобках, показывающий зависимость показателей надежности от времени, опускаем для сокращения записей формул). Соответственно, вероятность отказа такой ТС

(2.2)

Если система состоит из равнонадёжных элементов ()

(2.3)



Из формул (2.1) - (2.3) очевидно, что даже при высокой надежности элементов надежность системы при последовательном соединении оказывается тем более низкой, чем больше число элементов (например, при и имеем при в правой части выражения (2.1) не превышают единицы, вероятность безотказной работы ТС при последовательном соединении не может быть выше вероятности безотказной работы самого ненадежного из ее элементов (принцип «хуже худшего») и из малонадежных элементов нельзя создать высоконадежной ТС с последовательным соединением.

Если все элементы системы работают в периоде нормальной эксплуатации и имеет место простейший поток отказов, наработки элементов и системы подчиняются экспоненциальному распределению и на основании (2.1) можно записать

(2.4)

где

(2.5)

есть интенсивность отказов системы. Таким образом, интенсивность отказов системы при последовательном соединении элементов и простейшем потоке отказов равна сумме интенсивностей отказов элементов.

Из (2.4) - (2.5) следует, что для системы из n равнонадёжных элементов

(2.6)

т.е. интенсивность отказов в n раз больше, а средняя наработка в n раз меньше, чем у отдельного элемента.

Системы с параллельным соединением элементов

Системой с параллельным соединением элементов называется система, отказ которой происходит только в случае отказа всех ее элементов (см. п. 1, рис. 1.2). Такие схемы надежности характерны для ТС, в которых элементы дублируются или резервируются, т.е. параллельное соединение используется как метод повышения надежности. Однако такие системы встречаются и самостоятельно (например, системы двигателей четырехмоторного самолета или параллельное включение диодов в мощных выпрямителях).

Для отказа системы с параллельным соединением элементов в течение наработки t необходимо и достаточно, чтобы все ее элементы отказали в течение этой наработки. Так что отказ системы заключается в совместном отказе всех элементов, вероятность чего (при допущении независимости отказов) может быть найдена по теореме умножения вероятностей как произведение вероятностей отказа элементов:

. (2.7)

Соответственно, вероятность безотказной работы

(2.8)

Для систем из равнонадежных элементов (

, (2.9)

т.е. надежность системы с параллельным соединением повышается при увеличении числа элементов (например, при и , .

Поскольку . При экспоненциальном распределении наработки выражение (2.9) принимает вид



, (2.10)

откуда после интегрирования и преобразований средняя наработка системы определяется

, (2.11)

где

). (2.12)

Таким образом, средняя наработка системы с параллельным соединением больше средней наработки ее элементов (например, при , .

Системы типа «m из n»

Систему типа «m из n» можно рассматривать как вариант системы с параллельным соединением элементов, отказ которой произойдет, если из n элементов, соединенных параллельно, работоспособными окажутся менее m элементов (m < n).

На рисунке 2.1 представлена система «2 из 5», которая работоспособна, если из пяти её элементов работают любые два, три, четыре или все пять (на схеме пунктиром обведены функционально необходимые два элемента, причем выделение элементов 1 и 2 произведено условно, в действительности все пять элементов равнозначны). Системы типа «m из n» наиболее часто встречаются в электрических и связных системах (при этом элементами выступают связующие каналы), технологических линий, а также при структурном резервировании.



Рисунок 2.1 - Система «2 из 5»

Для расчета надежности систем типа «m из n» при сравнительно небольшом количестве элементов можно воспользоваться методом прямого перебора. Он заключается в определении работоспособности каждого из возможных состояний системы, которые определяются различными сочетаниями работоспособных и неработоспособных состояний элементов.

Все состояния системы «2 из 5» занесены в таблицу 2.1 (в таблице работоспособные состояния элементов и системы отмечены знаком «+», неработоспособные - знаком «- «). Для данной системы работоспособность определяется лишь количеством работоспособных элементов. По теореме умножения вероятностей вероятность любого состояния определяется как произведение вероятностей состояний, в которых пребывают элементы. Например, в строке 9 описано состояние системы, в которой отказали элементы 2 и 5, а остальные работоспособны. При этом условие «2 из 5» выполняется, так что система в целом работоспособна. Вероятность такого состояния

(предполагается, что все элементы равнонадежны). С учетом всех возможных состояний вероятность безотказной работы системы может быть найдена по теореме сложения вероятностей всех работоспособных сочетаний. Поскольку в таблице 2.1 количество неработоспособных состояний меньше, чем работоспособных (соответственно 6 и 26), проще вычислить вероятность отказа системы. Для этого суммируются вероятности неработоспособных состояний (где не выполняется условие «2 из 5 «)

(2.13)

Тогда вероятность безотказной работы системы

(2.14)

Расчет надежности системы «m из n» может производиться комбинаторным методом, в основе которого лежит формула биномиального распределения. Биномиальному распределению подчиняется дискретная случайная величина k - число появлений некоторого события в серии из n опытов, если в отдельном опыте вероятность появления события составляет p. При этом вероятность появления события ровно k раз определяется

(2.15)

где - биномиальный коэффициент, называемый «числом сочетаний по k из n» (т.е. сколькими разными способами можно реализовать ситуацию «k из n»):

(2.16)



Поскольку для отказа системы «m из n» достаточно, чтобы количество исправных элементов было меньше m, вероятность отказа может быть найдена по теореме сложения вероятностей для k = 0, 1,… (m-1):

(2.17)

Аналогичным образом можно найти вероятность безотказной работы как сумму (2.15) для k = m, m+1,…, n:

(2.18)

Очевидно, что Q + P = 1, поэтому в расчетах следует выбирать ту из формул (2.17), (2.18), которая в данном конкретном случае содержит меньшее число слагаемых.

Таблица 2.1 - Таблица состояний системы «2 из 5»

N	Состояния элементов	Состояние	Вероятность
Состояния	1	2	3	4	5	системы	состояния системы
1	+	+	+	+	+	+
2	+	+	+	+	-	+
3	+	+	+	-	+	+
4	+	+	-	+	+	+
5	+	-	+	+	+	+
6	-	+	+	+	+	+
7	+	+	+	-	-	+
8	+	+	-	+	-	+
9	+	-	+	+	-	+
10	-	+	+	+	-	+
11	+	+	-	-	+	+
12	+	-	+	-	+	+
13	-	+	+	-	+	+
14	+	-	-	+	+	+
15	-	+	-	+	+	+
16	-	-	+	+	+	+
17	+	+	-	-	-	+
18	+	-	+	-	-	+
19	-	+	+	-	-	+
20	+	-	-	-	+	+
21	-	+	-	-	+	+
22	-	-	-	+	+	+
23	+	-	-	+	-	+
24	-	+	-	+	-	+
25	-	-	+	-	+	+
26	-	-	+	+	-	+
27	+	-	-	-	-	-
28	-	+	-	-	-	-
29	-	-	+	-	-	-
30	-	-	-	+	-	-
31	-	-	-	-	+	-
32	-	-	-	-	-	-

Для системы «2 из 5» (рисунок 2.1) по формуле (2.18) получим:

(2.19)

Вероятность отказа той же системы по (2.17):

, (2.20)

что, как видно, дает тот же результат для вероятности безотказной работы.

В таблице 2.2 приведены формулы для расчета вероятности безотказной работы систем типа «m из n» при . Очевидно, при m = 1 система превращается в обычную систему с параллельным соединением элементов, а при m = n - с последовательным соединением.

Таблица 2.2 - Вероятности безотказной работы

	Общее число элементов, n
m	1	2	3	4	5
1
2	-		3
3	-	-
4	-	-	-
5	-	-	-	-

3. Автоматизация расчёта вероятностных характеристик систем-трехполюсников

Математическая постановка задачи

Объектом исследования является сетевая структура G (N, K), где N = {}, - множество вершин графа, которые соответствуют абсолютно надёжным узлам сети, а K = {}, - рёбра графа, описывающие линии связи между узлами и имеющие вероятностные значения надёжности.

В графе выделяются три вершины-полюса N₁, N₂, N₃ ? N. Простейшая схема структуры-трёхполюсника представляется полным графом, изображённым на рисунке 3.1. В общем случае схема структуры-трёхполюсника представляется произвольным графом, имеющим конечное число рёбер и конечное число вершин, три из которых выбраны в качестве полюсов.



Рисунок 3.1 - Графовая схема структуры трёхполюсника

Как видно из рисунка, граф имеет три вершины и описывает структуру, включающую пять компонентов, то есть N = {}, , K = {}, . Для выбранной сетевой структуры все вершины являются полюсами. Множество входов-выходов задаётся вершинами N₁, N₂, N₃ ? N. Аналитическим представлением указанного трёхполюсника является матрица смежности:

.

На множестве вершин графа G (N, K) определим отношение связности R как отображение R: A Ч B > {1, 0}, где значение 1 соответствует «истине», а значение 0 - «лжи». Отношение связности является отношением эквивалентности и разбивает множество вершин N на классы эквивалентности, то есть на непересекающиеся подмножества попарно эквивалентных элементов.

Для множества N, мощность которого |N| известна, число классов эквивалентности рассчитывается по известному алгоритму и описывается числами Белла. Числа Белла указывают на количество непересекающихся подмножеств эквивалентных вершин, покрывающее все множество вершин N.

Для сетевых структур-трёхполюсников |N|=3, а число классов эквивалентности B_n = 5. Они определяют 5 результирующих состояний S = = {S_j}, j = , характеризующих уровни надёжности сети. В графе им соответствует множество компонент связности. В таблице 3.1 представлены состояния надёжности сети и их графическая интерпретация.

Например, состояние S₂, характеризует состояние сети, в которой существует связь между вершинами N₁ и N₂. Состояние S₅ определяет состояние сети, в которой имеются связи между узлами N₁, N₂, N₃ ? N. Аналогично описываются все состояния, соответствующие различным вариантам работы сети.

Возвращаясь к графической интерпретации сетевой структуры, можно констатировать, что граф G (N, K) является взвешенным, поскольку его рёбра имеют веса x_i, соответствующие возможным состояниям надёжности линий связи S = {S _j}, j = . Веса ребер графа G (N, K) принимают значения x_i = 1 ? 0 с заданными вероятностями:

(3.1)

Вероятность q_i определяет надёжность линии связи и наличие ребра графе x_i = 1. С вероятностью (q_i -1) линия связи отказала, и в графе нет связи между соответствующими вершинами графа.

Таким образом, G (N, K) является случайным графом, имеющим множество реализаций в виде детерминированных графов. Матрица смежности, описывающая случайный граф (рисунок 1.1), имеет вид:

.



где - переменные, принимающие одно из возможных значений (0 или 1) при реализациях случайного графа.

Поскольку граф является образом структуры-трёхполюсника, то каждой его реализации соответствует одно из возможных 5 состояний структуры, имеющее свою вероятность, которая зависит от вероятностей весов его рёбер. Число реализаций случайного графа зависит от количества его рёбер и числа возможных значений их весов. В графе, представленном на рисунке 1.1, имеется пять рёбер, и их веса могут принимать два возможных значения x_i = 1 ? 0 соответственно число всех реализаций случайного графа будет 2⁵=32.

Каждой k-ой реализации G_k(N, K) случайного графа G (N, K) поставим в соответствие значение связности, j_k характеризующее вариант связи вершин-полюсов детерминированного графа G_k(N, K) и позволяющее интерпретировать граф как состояние S = {S_j}, j = исследуемой структуры.

Для двух граничных состояний исследуемой структуры S₁ (отказ) и S₅ (полная работоспособность) значение связности j_k = 1 ? 0. При этом для k-ых реализаций G_k(N, K) графа, описывающих эти состояния, выполняется свойство j_k-связности, которое означает наличие пути, соединяющего три вершины N₁, N₂, N₃ ? N в графе, в котором веса ребер удовлетворяют следующему условию: .

Таблица 3.1 - Состояний надёжности структуры-трёхполюсника

Состояние	Графическая интерпретация	Представление в виде множества связных вершин
	S1

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

{{1}, {2}, {3}
	S2

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

{{1,2}, {3}}
	S3

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

{{2,3}, {1}}
	S4

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

{{1,3}, {2}}
	S5

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

{1,2,3}

Таким образом, будем считать, что сетевая структура находится в состоянии надёжности S₁ (отказ), если её графическим образом является 0-связный граф. Реализации случайного графа, для которых выполняется свойство 0-связности, принадлежат множеству G₀ = {G₀(N, K)} и описывают варианты отказа исследуемой структуры.

Если для k-ой реализации случайного графа выполняется свойство 1-связности, то будем считать, что структура находится в S₅ состоянии (полная работоспособность). При этом все реализации случайного графа образуют множество G₁ = {G₁(N, K)}, описывающее варианты реализации надёжной работы исследуемой структуры. Для таких графов всегда существует путь, соединяющий три вершины, являющиеся полюсами, все ребра которого имеют веса .

Очевидно, что для исследуемой структуры-трёхполюсника имеется множество промежуточных результирующих состояний, описывающих варианты частичного функционирования структуры, которым при формализации сопоставим k-ые реализации случайного графа G_k(N, K) дающие значение связности . При этом k-ые реализации случайного графа будут отнесены к одному из множеств G_pr ={G_pr(N, K)}, pr = .

Ставится задача определения вектора вероятностей состояний надёжности исследуемой структуры, имеющей три входа-выхода:

(3.2)

Состояния структуры идентифицируются в результате определения значений связности j_k возможных реализаций графа G (N, K). Вероятности каждого из состояний определяются интегральной вероятностью реализаций графа, дающих j_k - ое значение связности и образующих в совокупности одно из следующих множеств:

G₁ = {G₁(N, K)}, G₀ = {G₀(N, K)},

G_pr= {G_pr(N, K)}, pr = .

Методика определения вероятностных состояний надёжности трёхполюсников по вероятностным состояниям надёжности их компонентов

Оценка вероятностей состояний надежности структур-трёхполюсников реализуется с использованием системы вероятностно-алгебраического моделирования, следующей последовательностью шагов:

Шаг 1. Формулируется постановка задачи расчёта показателя надежности сетевой структуры путем вербально-графического описания условий ее функционирования и отказа. С этой целью определяется множество элементарных компонентов: и , устанавливаются связи между компонентами, задается число состояний надежности линий связи .

Линиям связи сопоставляются рёбра графа, а узлам сетевой структуры ставятся в соответствие вершины. Определяются три вершины, являющиеся входом в систему, и определяющие выходы из сетевой структуры. Графическая схема исследуемой структуры G (N, K) формируется в диалоговом режиме с использованием стандартных графических примитивов: вершин и ребер.

Шаг 2. Определяются пути получения исходных данных вероятностных параметров компонентов разрабатываемой графовой модели. Как правило, исходные данные формируются на основе натурных экспериментов с прототипом исследуемой структуры или путем анализа экспертных оценок. В результате для каждой линии связи соответственно выделенным состояниям , задаются значения вероятностей надёжной работы.

Шаг 3. Определяется состав выходных данных, представляющих собой вероятностные значения состояний надежности исследуемой структуры с учетом выбранного состава вершин-полюсов, и обосновываются способы их получения. Формулируется смысловое содержание выходных данных для всей структуры и её фрагментов.

Шаг 4. С использованием специализированных программных средств системы PALS осуществляется ввод подготовленных данных (структурных схем, параметров), необходимых для начала моделирования. При этом автоматизируется ввод исходных данных, контролируется корректность полученной информации, а результаты контроля выдаются пользователю для устранения ошибок в режиме «вопрос - ответ». Стандартизирована возможность получения данных из заранее подготовленных файлов с возможностью их редактирования и сохранения.

Шаг 5. Строится k-ая реализация случайного графа, аналитическим выражением которой является матрица MSX_k, в которой переменным x_i присвоено одно из возможных значений (1 или 0).

Шаг 6. Организуется итерационный процесс транзитивного замыкания графа, который заключается в формировании графа достижимости, то есть определении для каждой вершины графа множества достижимых из нее вершин по путям длины 0, 1, 2 и т.д. Поскольку исходный граф G задаётся своей матрицей смежности, MSX_k то формирование матрицы смежности графа достижимости реализуется по формуле:

,

где - матрица смежности транзитивного замыкания графа G, En - единичная матрица размерности nЧn, h - степень, возведение в которую обеспечивает транзитивное замыкание графа G. При этом на каждой очередной l-ой () итерации транзитивного замыкания реализуются преобразования элементов полученной матрицы по формуле:



Очевидно, что элементы преобразованной матрицы смежности либо остаются без изменения, либо увеличиваются на 1, аналитически указывая на вершины графа (полюсы или внутренние вершины), в которые можно попасть за l шагов по рёбрам графа, имеющим веса x_i = 1. Так, после первой итерации процесса замыкания в матрице смежности элементы увеличиваются на 1 в столбцах, соответствующих вершинам графа, в которые можно попасть за два шага. Аналогично, в матрице смежности элементы увеличиваются на 1 в столбцах, соответствующих вершинам графа, в которые можно попасть за три шага и т.д.

Критерием остановки итерационного процесса транзитивного замыкания матрицы смежности является формирование матрицы, сумма элементов которой выше главной диагонали остаётся неизменной, то есть выполняется условие:

.

В том случае, если система представляется ориентированным графом, для транзитивного замыкания достаточно возвести матрицу смежности в (n - 1) - ую степень, то есть .

Матрица смежности на конечном h-ом шаге однозначно определяет состояние связности j графа G (N, K) для заданных вершин-полюсов и позволяет отнести k-ую реализацию случайного графа к одному из возможных состояний S = {S_j}, j = . В частности, если выполняется условие

,

то k-ой реализации случайного графа соответствует состояние S₁₅ исследуемой структуры, при котором она полностью надёжна.

Шаг 7. Организуется вычисление вероятности p_k состояния S_j, j = соответствующего k-ой реализации случайного графа по формуле:

.

Шаг 8. Формируются интегральные вероятностные оценки состояний надёжности трёхполюсника. Для получения вероятностной оценки состояния S_j, j = используется формула:

, где ,

Очевидно, что сумма вероятностей всех состояний надёжности четырёхполюсника будет равна 1, то есть:

.

Шаг 9. Результаты расчёта графически отображаются в виде графиков, представляющих вероятностные значения состояний надежности четырёхполюсника. Одновременно данные сохраняются в файле одного из стандартных форматов для последующей статистической обработки и анализа.

Шаг 10. В случае исследования реальной функционирующей сетевой структуры осуществляется проверка адекватности построенной модели реальному объекту. В PALS она автоматически проводится путем проверки близости средних значений откликов модели соответствующим характеристикам реальной системы. В случае отрицательных результатов осуществляется переход на шаг 1.

Шаг 11. Определяется влияние вероятностных значений состояний надежности компонентов на значение компонентов вектора откликов всей сетевой структуры при ее фиксированной организации. С этой целью организуются модельные эксперименты, в которых варьируются значения вероятностей.

Шаг 12. Исследуется влияние структурной организации сети на результирующий вектор вероятностей состояний при неизменных вероятностных значениях параметров компонентов. При этом могут быть рассмотрены случаи альтернативной структурной организации сети, полученные в результате различных вариантов резервирования отдельных участков сети, а также варианты, соответствующие возможным аварийным ситуациям, возникающим в процессе эксплуатации сети. Сравнение результирующих векторов вероятностей состояний надежности сети для различных вариантов ее структурной организации позволяет обосновать выбор лучшего из них, оценить эффективность резервирования отдельных участков и изменения состояний надежности сетевой структуры в результате аварийного состояния отдельных участков.

Пример расчёта надёжности сетевой структуры

Рассмотрим структуру-трёхполюсник, графовая схема которой представлена на рисунке 3.2. Как видно из рисунка, структура включает 12 линий связи, K = {}, , которым соответствуют рёбра графа, имеющего множество вершин N = {}, три из которых выбраны в качестве полюсов N₁, N₂, N₃ ? N.

Будем считать, что значения вероятностей надёжности линий связи, составляющих структуру, различны. В таблице 3.2 представлены варианты исходных значений вероятностей надёжной работы линий связи структуры, позволяющие провести сравнительный анализ их влияния на результирующие вероятностные значения надёжности исследуемой сети.

С использованием предложенного подхода к оценке надёжности сетевой структуры были получены значения вектора вероятностей (3.2) для альтернативных вариантов надёжности линий связи, которые представлены в таблице 3.3.

Рисунок 3.2 - Граф структуры-трёхполюсника

На рисунке 3.2 приводится графическая интерпретация полученных результатов расчёта.

На рисунке выделяется два графика, соответствующие 1 и 2 прогону. Для прогона 1 использовались одинаковые значения вероятностей надёжности линий связи (q = 0.9). При этом велика вероятность состояния S₅ (полная надёжность). В прогоне 2 также использовались одинаковые значения вероятностей надёжности линий связи (q = 0.1). При этом наблюдается преобладание результирующего состояния S₁ (отказ), вероятность которого 0.7. Вероятности всех остальных состояний для обоих прогонов изменяются на отрезке [0,0.1].

Таблица 3.2 - Исходные данные для расчёта надёжности

Номер прогона	1	2	3	4	5
K1	0,9	0,1	0,1	0,1	0,1
K2	0,9	0,1	0,9	0,1	0,1
K3	0,9	0,1	0,1	0,1	0,9
K4	0,9	0,1	0,1	0,1	0,1
K5	0,9	0,1	0,1	0,1	0,9
K6	0,9	0,1	0,1	0,1	0,1
K7	0,9	0,1	0,1	0,9	0,9
K8	0,9	0,1	0,1	0,9	0,1
K9	0,9	0,1	0,1	0,1	0,1
K10	0,9	0,1	0,1	0,9	0,9
K11	0,9	0,1	0,1	0,1	0,9
K12	0,9	0,1	0,1	0,1	0,9

Прогоны, в которых исследуется влияние отдельных линий связи K₃, K₄, K₈, K₇, K₁₀, K₁₁, K₁₂ на состояния структуры, дают практически сопоставимые результаты, при которых все состояния равновероятны и их вероятности изменяются в пределах [1,0.1]. При этом заметна большая вероятность состояния S1 (отказ). Это свидетельствует о слабом влиянии каждой из перечисленных линий связи на результирующие состояния сети.

Для прогона 3, в котором увеличена вероятность надёжности линии связи K₂ до 0.9, а остальные компоненты имеют вероятность работоспособности 0.1, наблюдается увеличение вероятности результирующего состояния S₃ на 70% по сравнению с прогоном, в котором все вероятности надёжности линий связи 0,1.

Таблица 3.3 - Результаты расчёта надёжности

Номер прогона	1	2	3	4	5
S1	2,64E-07	0,7011545576	0,0779060620	0,1119985926	0,0185459597
S2	3,31E-06	0,0785809920	0,7018294877	0,0180935059	0,0529036227
S3	0,0000000000	0,0000000000	0,0000000000	0,0000000000	0,0000000000
S4	0,001019331	0,0100588207	0,0878377436	0,1197671855	0,0189886294
S5	0,995489174	0,0017973455	0,0138118733	0,0391550107	0,2051537120



Рисунок 3.3 - Графическая интерпретация полученных результатов расчёта

Прогон 4 показывает влияние линий связи K₇, K₈, K₁₀ на результирующие вероятности состояний исследуемой структуры. При малых значениях вероятностей всех состояний заметно выделяется большая составляющая вероятности состояния S₁₁, значение которой увеличивается на 40% по сравнению с прогоном, в котором все исходные вероятности надёжности линий связи равны 0.1 (прогон 2). Аналогичная ситуация наблюдается и при исследовании влияния повышения надёжности компонентов K₆, K₇, K₈ до 0.9. При этом вероятность результирующего состояния S₁₁ увеличивается на 60%.

Прогон 5, в котором линии связи K₃, K₅, K₇, K₁₀, K₁₁, K₁₂ имеют исходные вероятности работоспособности 0.9, а все остальные - 0.1 приводит к заметному возрастанию вероятности состояния S₆ до 0.5. Остальные вероятности результирующих состояний находятся в интервале [0,0.1].

В таблице 3.4 представлены результаты реализации случайного графа. Для каждого варианта реализации m=1..N, где N=2⁵=32 указывается сформированная матрица смежности, булево значение связности (0/1) и итоговая вероятность связности, характеризующая данный вариант.



Таблица 3.4 - Таблица реализаций случайного графа, представленного на рисунке 3.1

№	Значение связности	Матрица смежности реализации случайного графа	Вероятность реализации случайного графа	№	Значение связности	Матрица смежности реализации случайного графа	Вероятность реализации случайного графа
1	0	1000 0100 0010 0001	0,59049	8	0	1110 1110 1110 0001	0,00081
2	0	1100 1100 0010 0001	0,06561	9	0	1000 0101 0010 0101	0,06561
3	0	1010 0100 1010 0001	0,06561	10	1	1100 1101 0010 0101	0,00729
4	0	1110 1100 1010 0001	0,00729	11	0	1010 0101 1010 0101	0,00729
5	0	1000 0110 0110 0001	0,06561	12	1	1110 1101 1010 0101	0,00081
6	0	1100 1110 0110 0001	0,00729	13	0	1000 0111 0110 0101	0,00729
7	0	1010 0110 1110 0001	0,00729	14	1	1100 1111 0110 0101	0,00081
№	Значение связности	Матрица смежности реализации случайного графа	Вероятность реализации случайного графа	№	Значение связности	Матрица смежности реализации случайного графа	Вероятность реализации случайного графа
15	1	1010 0111 1110 0101	0,00081	24	1	1110 1110 1111 0011	9E-5
16	1	1110 1111 1110 0101	9E-5	25	0	1000 0101 0011 0111	0,00729
17	0	1000 0100 0011 0011	0,06561	26	1	1100 1101 0011 0111	0,00081
18	0	1100 1100 0011 0011	0,00729	27	1	1010 0101 1011 0111	0,00081
19	1	1010 0100 1011 0011	0,00729	28	1	1110 1101 1011 0111	9E-5
20	1	1110 1100 1011 0011	0,00081	29	0	1000 0111 0111 0111	0,00081
21	0	1000 0110 0111 0011	0,00729	30	1	1010 0111 1111 0111	9E-5
22	1	1100 1110 0111 0011	0,00081	31	1	1100 1111 0111 0111	9E-5
23	1	1010 0110 1111 0011	0,00081	32	1	1110 1111 1111 0111	1E-5

Вероятность реализации (значение связности равно нулю) с номером 1 вычисляется следующим образом:

Вероятность реализации (значение связности равно единице) с номером 1 вычисляется следующим образом:

.

Варианты с номерами 10, 12, 14, 15, 16, 19, 20, 22, 23, 24, 26, 27, 28, 30, 31, 32 являются связными графами. При этом вероятность связности случайного графа (рисунок 3.2) вычисляется по формуле:

.

Соответственно, вероятность отсутствия связности вычисляется по формуле:

.

Для исследуемой схемы:

4. Исследование структурной надежности системы

Разработка алгоритма оценки структурной методо статистического моделирования

Сеть связи задают в виде вероятностной матрицы смежности

P=||pij||s, s, где Pij=kg (i, j) (i, j=1…S; ij).



Осуществляет N_O независимых испытаний, каждое из которых состоит из двух этапов. На первом этапе выбирают m независимых, равномерно распределенных в интервале (0,1) чисел x_i. Затем, значения x_i последовательно сравнивают с величинами по следующему алгоритму:

Если , то элемент сети считается отказавшим ();

Если , то элемент сети находится в исправном состоянии ().

Второй этап - проверка структуры, полученой в результате выхода ее элементов из строя, на связность. Если сеть связана, то исход испытаний относится к числу благоприятных. Отношения числа благоприятных исходов к общему числу испытаний N_O и будет оценкой структурной надежности анализируемой системы.

Процедура проверки сети на связность состоит в следующем. На анализируемой сети связи выбирается произвольный узел коммутации. Далее одновременно соединяют соседние узлы коммутаций к первоначально выбранному. Эта процедура осуществляется до тех пор, пока сеть не представится в виде одинокой точки (в случаи, если сеть связна) или множество точек (если сеть не связна). Данный метод получил названия метода «'Соединения''.

Алгоритм проверки сети на связность методом «свертки», состоит из следующих операций:

Выбор произвольного узла коммутаций (вектор-строки ) матрицы A=¦a_ij¦_s,s.

Запись выбранного номера узла коммутаций a_p в одномерный массив P₍₁₎, который имеет размерность S.

Определение соседних узлов коммутаций: a₁,…, a_R, где R - степень узлов коммутаций. Если соседних узлов коммутаций нет, то переходим к шагу 7.

Проверка наличия номеров соседних узлов коммутаций в массиве P₍₁₎. Отсутствующие номера записываем в массив P₍₁₎.

Формируем новый вектор-строку a¹_p=a₁ a₂ a_R a_p.

Проверяем: a_p = 1> сеть считается связной; a_p¹ ? 1> возвращяемся к шагу номер 3.

Проверяем: массив Р₍₁₎ заполнен весь? Если да, то сеть считается связной. В противном случае сеть несвязна.

На рисунке 4.1 изобразим алгоритм оценки структурной надежности систем методом статистического моделирования.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/



Рисунок 4.1 - Блок-схема



Разработка программы оценки структурной надежности систем методом статистического моделирования

Начинаем программу с описания переменных, которые мы будем использовать походу программы. Задаем два двухмерных массива, которые понадобятся нам для описания матрицы «смежности» и три одномерных массива, которые будем использовать при процедуре «свертки».

С помощью процедуры» kol_node» мы осуществляем ввод количества узлов анализируемой системы. А с помощью процедуры «kol_attemp» задаем необходимое количество испытаний.

Процедуру» number_attemp» начинаем с обнуления всех используемых массивов т.к. программа хранит данные о испытаниях. Далее мы при помощи двух циклов for, задаем матрицу «смежности» двумя способами: автоматически (param=1) или вручную (param=2). Цикл «while d<N» выполняется до тех пор, пока не выполнятся все испытания. Потом, с помощью генератора случайных чисел задаем переменную «R» в интервале от 0 до 1, затем сравниваем значения «R» с элементами матрицы «смежности». Если R больше элемента, то значению элемента матрицы смежности присваевается единица, а если R меньше, то элементу присваевается ноль. Далее проводим процедуру проверки сети на «связность». Если при сложений элементов первой строки матрицы, мы получим ноль, то проводить процедуру свертки не надо т.к. сеть «несвязна». Переходим к следующему испытанию. Но, а если при сложение всех элементов строки получим сумму равную количеству элементов, то тогда сеть связна. При наличие в строке как нулевых, так и единичных элементов, мы проводим процедуру свертки. В первой строке находим единичный элемент, по положению которого определяем с номером какой строкой строки мы будем складывать первую строку. Полученную в результате строку проверяем на связность. Если она несвязна, то повторяем операцию сложения (полученную строку складываем со следующей строкой). Операцию проводим до тех пор, пока все элементы в строке не будут равны единицы или пока все строки не будут стянуты в одну. При проверки сети на связность, мы используем три одномерных массива. В массиве «h» мы храним информацию о строках стянутых на предыдущем шаге, в массив «mh» заносятся номера всех строк которые стянуты, а массив «m» мы используем как промежуточный, в нем записана информация о еще не стянутых строках.

Далее мы описываем процедуру MENU. Которая обеспечивает доступ к соответствующим процедурам, отвечающим за ввод данных и ввывод результатов.

Тело программы включает в себя только обращение к процедуре MENU.

5. Применение программы вычисления вероятностных характеристик систем-трехполюсников

Надежность не единственный критерий представляющий интерес при разработке большинства сетей. Фактически, обычно имеется несколько конкурирующих критериев, включающих стоимость, полную полосу пропускания системы, реальную пропускную способность и другие эксплуатационные параметры.

Реализованная программа позволяет вычислять вероятностные характеристики надежности систем специального вида (отсутствуют ограничения на ребра). С ее помощью можно быстро рассчитать вероятности различных состояний системы, как автоматически заданных вероятностях связи, так и заданных вручную. Рассмотрим работу программы на примере. Путь у нас имеется система-трехполюсник рисунок 3.1. Рассмотрим случай когда вероятности связи задаются автоматически (т.е. случайным образом). Для этого запускаем программу и в главном меню выбираем действие, которое будем совершать. На следующем рисунке 5.1 мы наблюдаем работу программы, и полученный результат. В данном случае система связна, т.е. будет функционировать.

Рисунок 5.1 - Результаты расчетов программы

Здесь мы наблюдаем вероятности, с которыми каждое из пяти состояний трехполюсника будут осуществляться при заданном начальном условии. Аналогично этому примеру можем рассмотреть еще один, когда вероятности связи вводятся вручную - рисунок 4.2.

Как видно, мы можем посчитать вероятностные характеристики состояний при любых заданных вероятностях связи.

Предложенный подход к оценке надёжности сетевых структур предполагает рассмотрение сети в виде трёхполюсника и позволяет рассчитать результирующие вероятности надёжности структуры по вероятностям надёжности составляющих её компонентов (линий связи, узлов).

Рисунок 5.2 - Результаты расчетов программы

Практическая значимость подхода заключается в возможности решения типовых задач проектного моделирования и анализа вероятностных характеристик надёжности большого класса неоднородно-ненадёжных сетевых структур, которые представляются в виде графов, имеющих три входа-выхода, таких, как:

- оценка вероятностных характеристик надёжности сетевых структур-трёхполюсников на основе вероятностных состояний их компонентов;

- выявление множества отдельных компонентов и их комбинаций, оказывающих существенное влияние на вероятностные значения выбранного показателя надёжности исследуемых структур;

- получение, обоснование и оптимизации различных проектных, эксплуатационных и управленческих решений на основе результатов расчёта.

Текст реализованной программы приведен в приложении А.



Заключение

Расчет надежности обладает очень важным свойством - наглядностью и простотой представлений всей процедуры получения результатов исследования надежности. Расчет ведется по некоторой структурной схеме расчета с использованием аналитических зависимостей между исходными данными и конечным результатом.

На всех этапах создания и использования систем, расчеты надежности имеют важное значение. Немаловажным, также, является повышения надежности систем.

В данном курсовом проекте созданы средства автоматизации расчета характеристик надежности систем-трехполюсников. Цель была достигнута путем формализации систем в виде графов структуры, в которой ребрам соответствуют компоненты имеющие вероятностный характер функционирования графовой структуры. Разработана и реализована программа, позволяющая рассчитать вероятность надежности функционирования системы-трехполюсника (т.е. системы имеющей три терминальные вершины). Программа была протестирована на тестовых примерах.

Список использованных источников

1 Рябинин, И.А. Надежность и безопасность структурно-сложных систем/ И.А. Рябинин. - СПб.: изд-во С. Петерб. ун-та, 2007. - 276 с.