Аналіз спектрів модуляційного фотовідбивання епітаксійних плівок LT–GaAs, LT – (Ga, Mn) As

Размещено на http://www.allbest.ru/

Аналіз спектрів модуляційного фотовідбивання епітаксійних плівок LT-GaAs, LT - (Ga, Mn) As

1. Теоретичні підстави методу модуляційного фотовідбивання

Відбивна здатність напівпровідника перебуває у деякій залежності від діелектричної функції [23]

,

спектр фотовідбивання плівка модуляційний

де - діелектрична функція,

- її дійсна і уявна частини відповідно.

Для довільної диференційованої функції двох змінних справедлива математична формула

.

Замінивши в цій формулі функцію функціє зможемо формально записати

або .

У спектроскопії фотовідбивання під час модулювання сигналу його зміна (на практиці ). То можна записати [31]

,

де ; - зміни дійсної і уявної частини діелектричної функції, зумовлені модулювання сигналу;

- напруженість електричного поля поблизу поверхні напівпровідника;

- енергія фотонів зондуючого випромінювання.

Позначають [8, с. 283]

(1.1),

де - так звані коефіцієнти Серафина.

Тоді, отримуємо:

(1.2).

Отримати вирази для коефіцієнтів Серафина можна врахувавши наступні відомі формули оптики [16]

(1.3),

де - показник заломлення досліджуваного зразка;

- коефіцієнт екстинції (затухання світла).

Матимемо

 (1.4).

Із (1.4) одержуємо

, то .

Розв'язавши останнє біквадратне рівняння і відкинувши від'ємні та комплексні корені, отримаємо [19]

(1.5)

Матимемо теж:

(1.6).

Диференціюючи (1.5) з врахуванням (1.4) матимемо:

.

Диференціюючи ж (1.6), одержимо:

Тоді враховуючи отримані значення частинних похідних, матимемо:

Тоді із врахуванням (1.6):

Введемо позначення:

 (1.7).

Здійснивши нескладні математичні перетворення зможемо переконатись, що

.

То для коефіцієнтів Серафина остаточно маємо:

(1.8),

де визначається згідно формул (1.7).

Тепер поставимо собі за ціль отримати вирази для із (1.2). Спершу проведемо виведення залежності схоже до оригінального вперше запропонованого Тамарлінгемом [30]. Слідом за [8, с. 288] будемо вважати, що модуляційне випромінювання модулює в напівпровіднику однорідне електричне поле з напруженістю F (напруженість поля позначаємо F, щоб не плутати її з енергією фотонів E). Для обчислення діелектричної функції при наявності поля F розв'яжемо рівняння Шредінгера для руху електрона в однорідному електричному полі, направленому вздовж осі Oz, перпендикулярної до поверхні напівпровідника:

де E - повна енергія частинки.

Це рівняння можна розбити на два рівняння - для компоненти , перпендикулярної до і незалежної від F та рівняння для компоненти z [34].

Перше рівняння

є рівнянням плоскої хвилі і його розв'язок добре відомий [8, с. 289]:

.

Друге ж рівняння набуває вигляду:

Зробимо заміну змінних:

(1.9).

Тоді

, ,

то рівняння Шредінгера набуде вигляду:

 (1.10).

Згідно із означенням функцій Ейрі - вони є лінійно незалежними розв'язками дифрівняння [32, с. 5-6]. А тому загальний розв'язок дифрівняння (1.10) матиме вигляд:

,

де - деякі константи.

Проте функція прямує до безмежності при , а отже, .

Таким чином .

Константу можна визначити з умови нормування енергії для хвильової функції неперервного спектру

На основі (1.9) , а тому для - функції матимемо:

.

Теж на основі (1.9) .

То умова нормування набуває вигляду:

, то .

Проінтегруємо праву та ліву частину останньої рівності по в межах від до :

.

Враховуючи властивість -функції та властивість функції Ейрі [32, с. 50], отримаємо:

.

Зауважимо, що ми отримали точне значення сталої нормування, яке узгоджується зі значенням, отриманим в [11]. Натомість, цей нормуючий множник в [10, с. 102] визначений наближеними методами і в разів менший ніж отриманий вище.

То одержуємо, що

(1.11).

Дипольний матричний елемент необхідний для обчислення діелектричної функції виражається наступним чином [8, с. 289]:

.

Cлідом за [15] позначимо

(1.12).

Величину називають електрооптичною енергією. Тоді

.

Тоді уявну частину діелектричної функції можна обчислити на основі формули [8, с. 237]:

,

де сумування відбувається по всеможливих значеннях . В нашому ж випадку таке сумування можна замінити домноженням правої частини формули на густину станів та інтегруванням по [8, с. 289]. Для двохвимірного випадку поблизу критичної точки густина станів рівна [8, с. 289]:

.

Тому отримаємо:

Скориставшись властивостями функції Ейрі, можна отримати [22, додаток І]:

,

де . То тоді:

,

де .

Позначимо - деяка константа, незалежна від .

То маємо, що

.

То для зміни уявної частини діелектричної функції, отримаємо:



(1.13),

де - функція Хевісайда.

Дійсну частину зміни діелектричної функції можна знайти за допомогою співвідношення Крамерса-Кронінга:

(1.14),

де - модифікована функція Ейрі.

Під час наведеного виведення ми нехтували розширенням , пов'язаним з часом життя носіїв заряду. Жив був колобок, а це казка про нього. Крім цього, змодульоване поле є неоднорідним. Щоб врахувати ці ефекти вводять параметр розширення , де - час життя носіїв заряду в збудженому стані. Тоді зміну діелектричної функції визначають за формулою [11, с. 35-65]:

.

З останнього співвідношення випливає, що [20] і тоді остаточно отримуємо:

 (1.15),

де

(1.16),

(1.17).

Формулу (1.17) можна переписати у дещо іншому вигляді скориставшись наступними властивостями функцій Ейрі [32, с. 9]:

Після нескладних перетворень, одержимо:

(1.18),

де .

2. Методика і техніка проведення та обробки даних експерименту модуляційного фотовідбивання

2.1 Методика і техніка експерименту модуляційного фотовідбивання

Фотовідбивання є одним з оптичних методів дослідження напівпровідникових структур, що належать до групи модуляційних методів, тобто таких, в яких визначаються оптичні спектри, що носять різницевий характер та отримуються завдяки модуляції (періодичним змінам) якогось параметру [25].

У випадку експериментальних досліджень методом модуляційного фотовідбивання напівпровідників модуляція здійснюється завдяки освітленню досліджуваного зразка переривчастим періодичним пучком лазерного випромінювання з енергією більшою (в більшості випадків) від характеристичної енергії системи, як правило, від найбільшої забороненої енергії в досліджуваній структурі [26].

Лазерне випромінювання поглинається внаслідок чого генеруються пари електрон-дірка, які потім розподіляються просторово електричним полем вбудованим в структурі.

Розсування носіїв заряду протилежних знаків приводить до змін викривлення зон, тобто до зміни внутрішніх електричних полів зразка [17]. Постає ситуація зображення на рис. 2.1.

Зміни викривлення зон призводять до змін діелектричної функції напівпровідникового кристалу, що в свою чергу означає зміну відбивної здатності (коефіцієнта відбивання ). Експеримент з фотовідбиванням полягає в одночасному вимірюванні коефіцієнта відбивання , який сильно залежить від характеристики системи, та його зміни , зумовленої модуляційним випромінюванням лазера.



Рис. 2.1. Зміна викривлення зони провідності та валентної зони унаслідок фотомодуляції

При цьому визначається відношення , де - значення відбивної здатності в момент не освітленого лазером зразка, - значення відбивної здатності в момент освітлення зразка лазерним пучком [2].

Рис. 2.2. Експериментальна установка

При освітленні зразка лазерним пучком приповерхневі стани заповнюються електронами з об'єму напівпровідника за рахунок чого і виникає викривлення зон. В цій приповерхневій області формується вбудоване електричне поле. Під час же вимкненого лазеру електрон-діркові пари розподіляються полем приповерхневої області напівпровідника. Дірки рухаються в напрямку поверхні, де частково нейтралізують наявний там заряд.

Схема експериментальної установки зображена на рис. 2.2.

Фотострум, що генерується детектором пропорційний до інтенсивності відбитого від досліджуваного зразка випромінювання і, як наслідок пропорційною до інтенсивності випромінювання буде напруга, що реєструється нановольтметром [3]. У випадку включеного лазера маємо , у випадку ж виключеного лазера . Тоді .

Нехай - інтенсивність падаючого на зразок світла. Тоді - відносна зміна відбивної здатності.

Отже, виходячи із сказаного , де - напруга, що реєструється нановольтметром під час вимкненого лазера, - зміна цієї напруги, пов'язана із включенням лазера. Проста реєстрація напруги та її зміни дозволяє обчислити відносну зміну відбивної здатності .

2.2 Наближені методи визначення параметрів спектрів модуляційного фотовідбивання

2.2.1 Наближені методи визначення параметрів осциляцій Франца-Келдиша епітаксійних плівок LT-GaAs, LT - (Ga, Mn) As

При апроксимації осциляцій Франца-Келдиша виникає потреба у достатньо точному визначенні початкових параметрів. Відомою є методика обчислення енергії переходу та електрооптичної енергії на основі енергетичних положень екстремумів осциляцій [12]. Приведемо нижче спрощення виведення формули наближеного обчислення та . Водночас будемо користуватись стандартними розкладами функцій Ейрі в ряди, вважаючи, що та нехтуючи в рядах членами великого порядку малості.

Стандартні розклади функцій Ейрі при мають вигляд [8, с. 448-449]:

;

;

;

,

де ; ; ; , , .

Нехай в останніх формулах . Обмежимось розглядом випадку, коли і . Тоді , а в наведених вище формулах можна відкинути всі члени, порядок яких менший ніж .

Тоді отримаємо:

;

;

;

,

де . Згідно з формулою :

де

.

Врахувавши отримані вище наближення функцій Ейрі та те, що ,, зможемо записати:



Тобто, отримуємо:

.

Тоді зміна дійсної частини діелектричної функції:

,

.

Перепозначимо . То тоді:

(2.1).

Розглянемо спочатку перехід . Для GaAs в області фундаментального переходу , а тому (2.1) набуде вигляду:

 (2.2).

Знайдемо точки екстремуму функціональної залежності (2.2). Маємо:

Так як , то .

Крім цього, , то отримуємо:

.

Отже, можна знехтувати другим доданком у виразі для похідної :

(2.3).

На основі експериментальної залежності коефіцієнта Серафина можна з'ясувати порядок величини . На рис. 2.1 представлено експериментальну залежність для LT-GaAs в області фундаментального переходу, апроксимовану деякою функцією.

Рис. 2.1. Залежність для LT-GaAs в області фундаментального переходу

Як можна встановити із рисунку 2.1 в області фундаментального переходу . Крім цього так як , то

.

То тоді

,

а, отже можна знехтувати першим доданком в формулі (2.3). Тоді:

,

то для точок максимуму функції :

, n є N.

Нехай - енергетичне положення n-го екстремуму функції . Тоді

(2.4).

Зауважимо, що під час дослідження епітаксійних плівок арсеніду галію Генцарь П.О. в [5] послуговувався формулою (2.4). Натомість той же автор в [6] під час дослідження епітаксійних плівок GaP послуговувався наступною формулою:

(2.5).

У загальному випадку [24] формули (2.4) та (2.5) мають вигляд:

, n є N , n є N (2.6),

де - фазовий фактор.

Досі ми розглядали область фундаментального переходу, для якого можна прийняти. Проте у області переходу спін-орбіта () коефіцієнт Серафина вже набирає значних (у порівнянні з ) значень. Тому для визначення енергії переходу ми не можемо користуватись формулою (2.6), яка отримується в припущенні, що . У літературі ми теж не зустрічали розробленої методики визначення енергії за відомими енергетичними положеннями точок екстремуму спектрів . Спробуємо розробити таку методику для епітаксійних плівок LT-GaAs, LT - (Ga, Mn) As.

Запишемо формулу (2.1) у вигляді:

(2.7).

На рис. 2.2 представлена залежність від енергії фази коефіцієнтів Серафина для LT-GaAs.

Рис. 2.2. Залежність від енергії фази коефіцієнтів Серафина для LT-GaAs

Встановлено, що при . Таким чином, в області переходу :

, то

.

Із рис. 2.2 також видно, що . То можна вважати, що в області переходу спін-орбіта і тоді: .

Із врахуванням цього після диференціювання (2.7) отримаємо:

(2.8)

Зауважимо, що ми тут одразу знехтували доданком, що містить похідну на такій же, підставі як ми це зробили під час виведення аналогічної формули для фундаментального переходу. В (2.8) можна знехтувати доданком так як .

Отже, для точок екстремуму маємо:

Але і . Отже, Тоді отримаємо:

(2.9).

Формулу (2.9) можна переписати у вигляді:

(2.10),

де - фаза коефіцієнтів Серафина за енергії .

У більш загальному випадку формула (2.10) прийме вигляду:

(2.11).

Як було встановлено з експерименту , то . Якщо, разом із цим, розмірність пункту критичного , то:

(2.12).

Отримана нами формула (2.11) дає змогу поширити на випадок переходу методику обчислення початкових параметрів апроксимації на основі енергетичного положення екстремумів осциляцій Франца-Келдиша.

2.2.2 Методи визначення початкових параметрів апроксимації спектрів модуляційного фотовідбивання у випадку середньо-польового наближення моделі Аспнеса

В межах середньо-польового наближення моделі Аспнеса справедлива формула [12]:

(2.13),

де - амплітудний і фазовий параметри відповідно;

- енергія зондуючого випромінювання;

- енергія відповідного міжзонного переходу;

- феноменологічний параметр розширення;

- параметр, що визначається видом критичної точки та порядком похідної діелектричної функції по енергії.

В області фундаментального переходу для [14].

В середньо-польовому випадку відомою є методика наближеного визначення параметрів апроксимації на основі енергетичного положення екстремумів експериментальної залежності . У випадку ж середньо-польової моделі Аспнеса початкові параметри апроксимації визначають наближено із експериментального спектру за допомогою різноманітних геометричних міркувань [33]. Такі міркування далеко не є строгими з математичної точки зору та недостатньо обґрунтованими з точки зору фізики і тому часто-густо параметри визначені такими методами можуть суттєво відрізнятись від дійсних. Саме тому актуальною є розробка методики визначення початкових параметрів апроксимації в середньо-польовому випадку.

Нами досліджено функціональну залежність (2.13) та на основі проведеного теоретичного аналізу розроблено відповідну методику визначення параметрів апроксимації. Задача дослідження полягала у розроблені методики, яка б дозволяла знаючи експериментальну залежність хоча б наближено визначити параметри . Разом з тим, параметр вважається заданим (в нашому випадку ). З цією метою ми досліджували на екстремуми теоретичну залежність . Нижче це дослідження приводиться в повному обсязі вперше. Спершу запишемо функціональну залежність без використання функцій комплексної змінної. Для цього введемо наступні позначення:

, (2.14).

Звідси, зокрема видно, що , а отже . Тому можемо записати:

(2.15).

Тоді із врахування (2.14):

то

а тому (2.13) набуде вигляду:

(2.16).

Продиференціювавши (2.15), отримаємо:

(2.17).

Продиференціюємо (2.16) із врахуванням (2.17) і (2.14):

Таким чином:

(2.18).

Аналогічно, отримаємо:

(2.19).

Для точок екстремуму функції маємо:

, (2.20).

Нехай із експериментальної залежності нам відомі дві точки екстремуму та і значення в них функції ,. Тоді

,

то тоді враховуючи (2.14):

(2.21).

Подібним чином, отримуємо:



Згідно із (2.20) для деякої точки екстремуму E маємо .

З іншого боку згідно із (2.14): , а тому для точки екстремуму E: .

Підставивши останній вираз в (2.16) та врахувавши (2.20), отримуємо:

Матимемо також, що

То для точки екстремуму E отримуємо:

.

Враховуючи ж (2.14) для точки екстремуму E:

 (2.23).

На основі (2.23) для точок екстремуму та одержимо:

.

Позначимо

(2.24).

Тоді

(2.25).

Підставивши (2.25) в (2.21), отримаємо:

(2.26).

Із (13) матимемо:

(2.27).

Підставивши (2.27) в (2.26):

(2.28).

Підставивши (2.25) в (2.22): , то врахувавши вираз для із (2.27), отримаємо:

(2.29).

Згідно ж із (2.28):

.

Підставивши останній вираз в (2.29), отримаємо:

(2.30).

Як видно із (2.15) функція неперервна при Із (2.17) випливає, що при всіх Отже, функція монотонно спадає на проміжку

При : .

Маємо теж . Взявши другу похідну , можна переконатись, що ? точка перегину функції . Тоді її графік матиме наступний вигляд:

Рис. 2.3. Графік залежності .

На основі графіка видно, що кожному з проміжку відповідає одне єдине . Поставимо питання, чи всі точки , для яких згідно з (2.20) має місце рівність , є точками екстремуму залежності . Підставивши (2.20) у (2.19), отримаємо:



.

Звідси видно, що якщо k-парне, то , а отже Е - точка максимуму функції . Якщо ж k-непарне, то , а отже Е - точка мінімуму функції . Тому, якщо для певного Е знайдеться таке ціле k, що , то є точкою екстремуму функції .

Нехай і - сусідні точки екстремуму функції , тобто такі, що між ними немає жодної іншої точки екстремуму. Припустимо, що водночас . Нехай, для визначності . Тоді виходячи із того, що функція є монотонно спадною, отримаємо:

.

Згідно з припущенням в такому випадку . Розглянемо деяке ціле число . Тоді . Очевидно, що знайдеться таке дійсне число , що і разом з цим .

Оскільки, функція монотонна, то пряма перетне графік функції у точці, абсциса якої знаходиться між та .



Рис. 2.4. Значення функції у точках екстремуму залежності

Позначимо абсцису цієї точки через . Тоді матимемо, що . А отже, точка є точкою екстремуму функції . Але . То точки і - не є сусідніми точками екстремуму функції . Ми прийшли до суперечності. Отже припущення не вірне і, як наслідок, для сусідніх точок екстремуму функції повинна виконуватись нерівність , що означає, що для сусідніх точок екстремуму .

Таким чином, якщо і - сусідні точки екстремуму функції , то рівності (2.28) і 2.30) набудуть вигляду:

(2.34),

(2.35),

де .

Із (2.23) отримуємо, що

.

Підставивши в останню рівність вирази для і із (2.34) і (2.35), після нескладних алгебраїчних перетворень, отримаємо:

(2.36).

Перепишемо (2.20) у вигляді: , де під розуміємо .

Нехай - точка мінімуму функції . Нехай в цьому випадку , де . Тоді:

.

Фазу можна вибрати так, щоб . То тоді, якщо , то , де через позначаємо дробову частину числа. Якщо ж , то можемо записати

.

То тоді, якщо , то . Але фазу можна зменшити на і прийняти . Якщо ж , то і теж справедлива остання формула.

Таким чином, якщо - точка мінімуму функції , то в загальному випадку , де знак (`+' чи «-') вибираємо таким як у виразі .

Якщо ж - точка максимуму функції , то - парне. Тоді нехай , . То і аналогічно одержимо, що.

При цьому .

Врахувавши ж (2.34) і (2.35), отримаємо:

(2.37).

 (2.38).

Таким чином, маючи експериментальну залежність , а точніше знаючи положення двох сусідніх точок екстремуму та цієї залежності та значення функції в цих точках за формулами (2.34), (2.35), (2.36) та (2.38) можемо обчислити параметри . Слід зазначити, що розроблена нами методика аж ніяк не претендує на те, щоб замінити собою апроксимацію експериментальної залежності у середньо-польовому випадку. Під час апроксимації враховуються не лише положення точок екстремуму а всі точки спектру, а тому і результат точніший. Розроблена ж нами методика є доброю для визначення початкових параметрів апроксимації і у цьому вона може бути більш точнішою за відомі геометричні наближені методики.

2.3 Комп'ютерна обробка експериментальних даних

Функції, якими описуються спектри модуляційного фотовідбивання не дають змоги отримати аналітичні формули у скінченному вигляді для визначення параметрів за відомою з експерименту залежністю . Це пов'язано із тим, що трансцендентними є рівняння, які можна було б записати для одержання таких формул. По-друге, подібні аналітичні методи визначення параметрів були б досить неточні. Тому для визначення параметрів спектрів модуляційного фотовідбивання послуговуються комп'ютерними методами обробки експериментальних даних, суть яких зводиться до розв'язання задачі найменших квадратів.

Суть задачі найменших квадратів полягає у наступному. Нехай в результаті експерименту отримана система точок Відомою теж є аналітична залежність , яка повинна описувати цю систему точок. Водночас функція є залежною також від деяких параметрів значення яких необхідно визначити на основі заданої експериментальної системи точок та заданої аналітичної функції .

Для визначення невідомих параметрів їх слід підібрати так, щоб сума квадратів відхилень експериментальних даних від аналітичної функції була мінімальною: .

В такій мінімізації і полягає суть задачі найменших квадратів.

У випадку спектрів модуляційного фотовідбивання експериментальна система точок має вигляд .

Висновки

Проаналізувавши літературу, ми з'ясували, що незважаючи на широке використання у сучасних дослідженнях напівпровідників методу модуляційного фотовідбивання, існують певні труднощі у аналізі спектрів, отриманих за допомогою цього методу. Зокрема, з метою обчислення початкових параметрів апроксимації спектрів модуляційного фотовідбивання у випадку слабопольового наближення моделі Аспнеса використовують геометричні методи, які не є високоточними. До того ж, відсутній метод обчислення початкових параметрів апроксимації осциляцій Франца-Келдиша в області переходу E_SO.

Отримані теоретичні формули для визначення початкових параметрів апроксимації спектрів модуляційного фотовідбивання можуть використовуватись під час досліджень напівпровідників та напівпровідникових гетероструктур методами фото - та електровідбивання модуляційної спектроскопії. До того ж, робота може мати своє продовження у експериментальних дослідженнях епітаксійних плівок LT - (Ga, Mn) As для спінтроніки.

Перелік джерел

1. Авакянц Л.П. Автоматизированная установка для регистрации спектров фотоотражения с использованием двойного монохроматора / Л.П. Авакянц, П.Ю. Боков, А.В. Червяков // Журнал технической физики. - 2005. - т. 75. - №10. - С. 66-68.

2. Вавилов В.С. Влияние сильного электрического поля на поглощение света кремнием / В.С. Вавилов, К.И. Брицын // Физика твердого тела. - 1960. - т. 2. - №8. - С. 1937-1939.

3. Воробьев Л.Е. Модуляция света с участием неравновесных оптических фононов в GaAs и InP. Тонкая структура валентной зоны / Л.Е. Воробьев, А.В. Штурбин, Ф.И. Осокин // Физика и Техника Полупроводников. - 1977. - т. 11. - №8. - C. 1497-1504.

4. Ганьшина Е.А. Оптическая и магнитооптическая спектроскопия тонких композитных слоев GaAs-MnAs / Е.А. Ганьшина и др. // Известия РАН. Сер.: физ. - 2008. - т. 72. - №2. - С. 176-179.

5. Генцарь П.О. Контроль структурної досконалості епітаксійних плівок n-GaAs методом електровідбивання / П.О. Генцарь та ін. // Фізика і хімія твердого тіла. - 2003. - т. 4. - №2. - С. 237-242.

6. Генцарь П.О. Контроль структурної досконалості епітаксійних плівок n-GaP методом модуляційної спектроскопії електровідбивання / П.О. Генцарь, О. І. Власенко, О.В. Стронський // Фізика і хімія твердого тіла. - 2006. - т. 7. - №4. - С. 780-784.

7. Звонков Б.Н. Влияние напряжений сжатия и растяжения в слоях GaMnAs на их магнитные свойства / Б.Н. Звонков и др. // Физика твердого тела. - 2010. - т. 52. - №11. - С. 2124-2127.

8. Кардона М. Основы физики полупроводников / М. Кардона. - пер. с англ. И.И. Решиной. - М.: Физматлит, 2002. - 476 с.

9. Кузьменко Р.В. Комбинированная методика исследования многокомпонентных спектров фотоотражения полупроводников / Р.В. Кузьменко, А.В. Ганжа, Э.П. Домашевская // Физика и техника полупроводников. - 2002. - т. 36. - №1. - С. 52-58.

10. Ландау Л.Д. Квантовая механика (нерелятивистская теория) / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц // Теоретическая физика: Учеб. пособие для вузов в 10 т. - т. 3. - 4-е изд., испр. - М.: Наука, 1989. - 704 с.

11. Матвеєва Л.О. Структурна досконалість і електронні параметри сульфідованої поверхні арсеніду галію / Л.О. Матвеєва, О.Ю. Колядіна, І. М. Матіюк, О.М. Міщук // Фізика і хімія твердого тіла. - 2006. - т. 7. - №3. - С. 461-467.

12. Пихтин A.H. Фотоотражение арсенида галлия / A.H. Пихтин, M. Т. Тодоров // Физика и Техника Полупроводников. - 1993. - т. 27. - №7 - C. 1139-1145.

13. Сотников А.Е. Спектроскопия фотоотражения с длинноволновой оптической накачкой полупроводниковых лазерных структур / А.Е. Сотников и др. // Квантовая электроника. - 2004. - т. 34. - №9. - С. 871-874.

14. Adachi S. Excitonic effects in the optical spectrum of GaAs / S. Adachi // Physical Review B. - 1990. - v. 41. - №2. - P. 1003-1013.

15. Aspnes D.E. Application of reflectance difference spectroscopy to molecular beam epitaxy growth of GaAs and AlAs / D.E. Aspnes and other // Journal of Vacuum Science Technology A. - 1988. - v. 6. - №3. - P. 1327-1332.

16. Aspnes D.E. Dielectric function and optical parameters of Si, Ge, GaP, GaAs, GaSb, InP, InAs, and InSb from 1.5 to 6.0 eV / D.E. Aspnes, A.A. Studna // Physical Review B. - 1983. - v. 27. - №2. - P. 985-1009.

17. Aspnes D.E. Influence of spatially dependent perturbations on modulated reflectance and absorption of solids / D.E. Aspnes, A. Frova // Solid State Communication. - 1969. - v. 7. - P. 155-159.

18. Cardona M. Modulation Spectroscopy / M. Cardona // Solid State Physics. - New-York: Academic, 1969. - P. 243-276.

19. Christofides C. Two layer model for photomodulated thermoreflectance of semiconductor wafers / C. Christofides and other // Journal of Applied Physics. - 1996. - v. 80. - №3. - P. 1713-1725.

20. Estera J.P. Complex Airy analysis of photoreflectance spectra for III-V semiconductors / J.P. Estera, W.M. Duncan, R. Glosser // Physical review B. - 1994. - v. 49. - №11. - P. 7281-7294.

21. Handbook of Mathematical Functions / edited by M. Abramowitz, J.A. Stegun. - Washington: NBS, 1972. - 567 p.

22. Jackson J.D. Classical Electrodynamics / J.D. Jackson - 2^nd edn. - New-York: Wiley, 1975. - 345 p.

23. Misiewicz J. Semiconductor heterostructures and device structures investigated by photoreflectance spectroscopy / J. Misiewicz // Materials Science. -2003. - v. 21. - №3. - P. 263-320.

24. Misiewicz J. Spektroskopia fotoodbiciowa struktur pуіprzewodnikowych / J. Misiewicz, G. Sкk, P. Sitarek. - Wrocіaw: Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocіawskiej, 1999. - 249 s.

25. Nahory R.E. Reflectance modulation by the surface field in GaAs / R.E. Nahory, J.L. Shay // Physical Review Letters. - 1968. - v. 21. - №23. - P. 1569-1571.

26. Ohno H. A ferromagnetic III V semiconductor: (Ga, Mn) As / H. Ohno, F. Matsukura // Solid State Communication. - 2001. - v. 117. - P. 179-186.

27. Seraphin B.O. Band-structure analysis from electro-reflectance studies / B.O. Seraphin, N. Botka // Physical Rewiev. - 1966. - v. 145. - №2. - P.628-636.

Размещено на Allbest.ru