Решение задач по прикладной механике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Задание №1

Задание №2

Задание №3

Задание №4

Задание №5

Задание №7

Задача №1.

Под кинематической парой понимают подвижное соединение двух звеньев, допускающее их относительное движение. Элементы низших пар - поверхности, высших - линии или точки.

На относительное движение каждого звена элементы кинематической пары налагают ограничения, называемые связями. В зависимости от числа налагаемых связей кинематические пары разделяют на 5 классов.

Исследуемый механизм имеет: число подвижных звеньев n = 3 (1, 2, 3), а неподвижная звено стойка, обозначена через 0. Число низших кинематических пар р5 = 4. Высших кинематических пар р4 в данном механизме нет.

Следовательно, степень подвижности его равна( по формуле Чебышева):

W = 3*3 - 2*4 = 1.

Это означает, что в рассматриваемом механизме достаточно задать закон движения только одному звену 1, чтобы закон движения всех остальных звеньев был бы вполне определённым.

Запишем исходные данные исследуемого нами механизма:

?ОА = 55 мм., ?АВ = 250 мм., ?АС = 40 мм., ? = 35 мм., = 80 град. ц = 165 град. = 10 рад/с.

По исходным данным вычерчиваем схему механизма в произвольно выбранном, но удобном для построения масштабе k_?, м/мм, где k_? - масштабный коэффициент, который показывает, сколько м. действительной длины содержится в одном мм. отрезка на чертеже. Тогда масштабный коэффициент будет равен:

В этом масштабе вычерчиваем схему механизма. Размеры в мм. остальных звеньев в выбранном масштабе определяются соответственно:

1. Определение линейных скоростей точек звеньев механизма:

Точка А относительно точки О совершает вращательное движение, поэтому вектор скорости точки А направлен перпендикулярно самому звену в сторону его вращения, а модуль скорости определяется из выражения:

где щ₁ - угловая скорость звена 1.

Следующая точка - точка В. Составим систему двух векторных уравнений, которая связывает искомую скорость точки с другими скоростями. Это возможно сделать, так как точка В принадлежит одновременно двум звеньям - 2 и 3. Если считать, что точка В принадлежит звену 3, то её скорость равна скорости точки А плюс скорость точки В относительно А. Запишем уравнение:

Скорость V_A была посчитана выше. Мы получили одно уравнение с двумя неизвестными, которое может быть решено графическим методом, путём построения плана скоростей. Для этого выбираем на плоскости произвольную точку Р - полюс плана скоростей, которая является началом отсчёта, и откладываем на ней отрезок , перпендикулярный звену ОА, в направлении движении точки А. Длина этого отрезка изображает на плане скоростей вектор скорости точки А - и выбирается произвольно, исходя из удобства размещения на чертеже. Примем длину отрезка равной 55 мм, тогда масштабный коэффициент плана скоростей будет:

и покажет, сколько метров в секунду действительной величины скорости содержится в одном миллиметре отрезка на чертеже.

В соответствии с уравнением на плане скоростей через точку а проводим прямую, перпендикулярную к звену 2 механизма (это линия вектора ). Через полюс проводим на плане скоростей прямую, параллельную поступательному движению звена 3 механизма. Точка пересечения этих двух прямых определит точку b, которая является концом вектора , изображающий на плане вектор скорости .

Для определения действительной величины любого из полученных векторов достаточно умножить соответствующий отрезок на масштаб плана скоростей . Из плана скоростей найдём:

Чтобы определить скорость точки С, воспользуемся теоремой подобия. Величину Рс находим из пропорции:

Действительная величина скорости точки С равна:

Для нахождения скоростей точек S₁, S₂ - центров звеньев - воспользуемся теоремой подобия и определим положение их на плане скоростей:

Найденные точки S₁, S₂, соединим с полюсом плана скоростей, и отрезки , , будут в масштабе выражать скорости центров звеньев.

Действительные значения скоростей центров тяжести будут:

Угловые скорости определяются на основе построенного плана скоростей. Угловая скорость звена 1 нам дана по условию и равняется = 10 рад/с. Модуль угловой скорости второго звена можно найти по формуле:



Для определения направления необходимо мысленно перенести вектор относительной скорости из плана в точку В механизма, при этом мы видим, что вектор скорости стремится вращать точку В звена относительно точки А против часовой стрелки, следовательно, угловая скорость второго звена будет направлена против часовой стрелки.

2. Определение линейных ускорений точек звеньев происходит в той же последовательности, что и определение линейных скоростей.

Первой точкой, ускорение которой надо определить, является точка А ведущего звена.

Для упрощения решения ускорение любой точки можно представить в виде векторной суммы двух составляющих - нормальной и тангенциальной. Учитывая это, для определения ускорения точки А напишем векторное уравнение:

Так как звено 1 вращается с постоянной угловой скоростью (щ₁ = const), то

Следовательно, в этом случае полное ускорение точки А определяется только величиной нормального ускорения, которое по модулю равно:

и направлено параллельно звену ОА от точки А к точке О.

Далее найдём ускорение точки В. Напишем векторное уравнение:

При этом - будет направлен II движению ползуна; - II ОА (от точки А к точке О); - II BA (от точки В к точке А); - ₊ .

Найдём

Итак, нам известны нормальные ускорения по величине и направлению, а тангенциальное ускорение по абсолютной величине неизвестно, но известно по направлению. Оно направлено перпендикулярно к нормальным составляющим (или перпендикулярно к радиусам вращения).

Вышеуказанное векторное уравнение - имеет две неизвестные величины и может быть решено графическим методом, путём построения плана ускорений. Для этого выбираем на плоскости произвольную точку - полюс плана ускорений, которая является началом отсчёта, и откладываем на нём отрезок параллельно звену ОА. Примем длину отрезка равным 110 мм, тогда масштабный коэффициент плана ускорений будет:

Затем через точку а плана ускорений проводим прямую направленную вдоль звена АВ в направлении от точки В к точке А и на ней откладываем отрезок:

величина которого в масштабе соответствует величине вектора нормальной составляющей ускорения , а т.к. этот отрезок очень мал, то при построении мы можем им пренебречь.

Через точку а,n₁ перпендикулярно звену АВ проводим линию действия вектора тангенциального ускорения, а через полюс - параллельно движению ползуна проводим линию действия ускорения точки В механизма. Пересечение этих двух линий даст нам точку b, а получившийся отрезок b соответствует ускорению a_b:

Т.к. величиной отрезка мы пренебрегли, то полное относительное ускорение будет равно тангенциальной составляющей:

Для определения ускорения точки С воспользуемся теоремой подобия. Величина отрезка с может быть найдена из соотношения:

Численная величина абсолютного ускорения точки С механизма равна:

3. Определение угловых ускорений звеньев механизма.

Угловые ускорения звеньев определяются на основе построенного плана.

Звено 1. Ведущее звено 1 вращается равномерно с постоянной угловой скоростью, следовательно его угловое ускорение:



Звено 2. Абсолютная величина углового ускорения звена 2 может быть получена через тангенциальное ускорение по формуле:

Чтобы определить направление углового ускорения е₂, необходимо вектор относительного тангенциального ускорения с плана ускорений (вектор n₁b) перенести в точку В механизма, а точку А условно закрепить, тогда вектор будет вращать точку В звена 2 относительно точки А по часовой стрелке.

Задание №2

Зубчатые передачи бывают одно-, двух- и многоступенчатыми. По взаимному расположению осей их делят на цилиндрические - с параллельными осями, конические - с пересекающимися осями, червячные, винтовые - со скрещивающимися в пространстве осями. По расположению зубьев относительно образующих начальной поверхности колеса зубчатые передачи делят на прямозубые, косозубые, шевронные и с круговым зубом. Наибольшее распространение получили передачи с эвольвентным профилем зубьев. Эвольвентное зацепление мало чувствительно к отклонением межосевого расстояния, поэтому не нарушается правильность зацепления.

I. Определение размеров зубчатого зацепления.

Исходными параметрами для решения задачи являются:

Ш Число зубьев меньшего колеса (шестерня) z₄ = 40;

Ш Число зубьев большего колеса (колесо) z₃ = 20;

Ш Модуль зацепления m = 5 мм.

Ш Угол зацепления = 20 ⁰.

Передаточное число зубчатой передачи может быть выражено через количество зубьев колёс:

Вычислим диаметры начальных окружностей колёс

Расстояние a_щ - между осями двух колёс, находящихся в зацеплении, равно сумме радиусов начальных окружностей, или:

Для нормального зубчатого колеса принято, что высота головки зуба равна

а высота ножки зуба:

Высота зуба:

Определим диаметры окружностей выступов зубчатых колёс:

Диаметры окружностей впадин зубчатых колёс равны:

Вычислим диаметры основных окружностей зубчатых колёс:

Определим шаг зацепления по дуге начальной окружности:

Толщина зуба s_щ и ширина впадины e_щ по дуге начальной окружности равны между собой, т.е.

II. Построение нормального эвольвентного зубчатого зацепления.

1. Согласно рекомендациям масштабная высота зуба должна быть не менее 30 мм, тогда:

где h - действительная высота зуба, а - масштабное значение высоты зуба на чертеже.

2. Посчитаем расстояние центров колёс О₁ и О₂ (будут выходить за пределы чертежа)

3. В выбранном нами масштабе вычерчиваем окружности зубчатых колёс:



4. Через полюс зацепления Р проводим общую касательную к начальным окружностям и линию зацепления NN, касательную к основным окружностям, при этом угол _щ между этими касательными должен быть равен 20 градусам.

5. Проведём перпендикуляры O₃K и O₄L из центров к линии зацепления. Участок KL линии называется теоретическим участком линии зацепления.

6. Каждый зуб зубчатого колеса находится в зацеплении не на всём своём пути, а только на каком-то участке, т.е. в какой-то точке он входит в зацепление, а в какой-то выходит из него. Этот участок, лежащий на линии зацепления NN и образованный пересечением этой линии с окружностями выступов, называется практическим или рабочим участком линии зацепления.

7. Строим эвольвентные профили только центральной пары сопряжённых зубьев так, чтобы они касались в полюсе зацепления P.

Эвольвента представляет собой траекторию произвольной точки прямой, перекатывающейся без скольжения по окружности, называемой основной. Следовательно, эвольвентные участки зубьев будут находиться в пределах между основными окружностями и окружностями выступов колёс.

Для построения эвольвенты отрезок LP линии зацепления разбиваем на равное число частей, и обозначим их 1,2,3,4., и продолжим деление по другую сторону точки L.

Полученные отрезки отложим по хорде на основной окружности. Полученные точки соединим с центром колеса и проведём через них касательные к основной окружности, которые будут перпендикулярны радиусам.

Отложим на касательных отрезки, равные расстоянию до полюса от соответствующей точки деления. Полученные точки последовательно соединим плавной кривой. Данная кривая и будет представлять эвольвентный участок профиля зуба. Для сопряжённого колеса эвольвентный профиль зуба строится аналогично.

Неэвольвентный участок профилей зубьев, т.е. участок в пределах от основной окружности до окружности впадин, очерчивается радиальными прямыми, после чего у основания зуба производят их сопряжение с окружностями впадин радиусом с = (0,2 - 0,3)m.

Для построения симметричного профиля зуба отложим толщину зуба в масштабе k_l:

проведём ось симметрии и затем методом зеркальной симметрии и шаблонов строим профиль зуба.

Обозначим рабочие участки профилей зубьев. Учитывая, что в точке А начинается зацепление, т.е. в ней контактируется крайняя точка головки зуба четвёртого (большего) колеса и наинизшая точка ножки зуба третьего (малого) колеса. Рабочие участки профилей зубьев на чертеже отмечены утолщённой линией.

Определим длину дуги зацепления по любой из окружностей, в пределах которой происходит зацепление зубьев, предварительно проведя пунктиром через точки А и В сопряжённые профили в положении конца и начала зацепления. Дуги cd и ef называются дугами зацепления, т.е. траекторию произвольной точки прямой, перекатывающейся без скольжения по окружности.

При работе зубчатых колёс необходимо, чтобы в любой момент времени зубья находились в зацеплении. Для этого требуется, чтобы дуга зацепления была больше шага. В противном случае первая пара зубьев выйдет из зацепления раньше, чем войдёт в зацепление следующая пара зубьев.

Отношение дуги зацепления к шагу характеризуется коэффициентом перекрытия:

Для определения коэффициента перекрытия аналитическим методом имеем:

Вычислим процент расхождения:

Полученный процент расхождения не превышает допускаемой величины.

Дадим характеристику и определим передаточное число зубчатого механизма приведённого ниже на рисунке.



Зацепление зубчатых колёс z₁ и z₂ является внутренним, т.е. z₂ вращается вокруг z₁ - которое находится внутри колеса z₂. Колесо z₂ передаёт вращение на колесо z₃. Колёса z₃ и z₄ являются цилиндрическими с параллельными осями (их построение приведены выше).

Определим передаточные числа:

Нам дано, что входное звено вращается по часовой стрелке со скоростью:

Определим значения v₄ и направление выходного звена:

Выходное звено будет вращаться в противоположенную сторону от входного звена, т.е. против часовой стрелки.

Задание №3

Рассмотрим двухступенчатый стальной брус закреплённый вверху и находящийся под действием силы F = 1,8 кН и собственного веса. Вес единицы объёма. Модель упругости стали . Площадь сечения бруса А₂ = 0,0010 м², А₁ = 0,0020 м², a = 4 м; b = 4 м; с = 4 м.

I. Определение расчётных участков бруса.

Нормальные силы N и напряжения у зависят от длины участков бруса, их поперечного сечения, объёмного веса материала и точек приложения внешних сил. Следовательно брус будет иметь три расчётных участка a, b, c.

II. Составление аналитических выражений для N и у, вычисление их значений по участкам.

Сделаем на каждом участке сечение и рассмотрим равновесие отсечённых частей.

1 участок с

При x₁ = 0: N₁ = 0 и у₁ = 0

При x₁ = 4 м:

2 участок b

При x₂ = 4 м:

При x₂ = 8 м:

3 участок a

При x₃ = 8 м:

При x₃ = 12 м:

III. Построение эпюр нормальных усилий N и напряжений у.

По полученным значениям N и у для каждого участка бруса строим эпюры N и у в принятом масштабе.

IV. Определение перемещений нижнего конца бруса.

Вычисляем перемещение нижнего конца бруса как сумму перемещений, полученных каждым участком. Перемещение на участках определяется по формуле:

Таким образом:

Удлинение участка ab будет только от собственного веса, т.е.

Для упрощений вычисления перемещений на 2 и 3 участках определим их собственный вес.

Удлинение участка bc будет равно сумме удлинений:

от собственного веса участка bc

от веса участка ab

от силы F = 1.8 кН

Полное удлинение участка bc



Аналогично удлинение участка cd будет равно сумме удлинений:

от собственного веса участка cd

от веса участков ab и bc

от силы F = 1.8 кН

Полное удлинение участка cd

Перемещение нижнего конца бруса

механизм скорость передача прочность

Задание №4.

Ш - допускаемое напряжение;

Ш - длина одного пролёта балки;

Ш - изгибающие моменты.

Ш - силы действующие на балку.

Решение

1. Определение опорных реакций:

Реакции опор определяем из условий равновесия статики:

Из первого условия получим:

Правильность определения значений реакций проверим по формуле:

откуда



После подстановки значений получим:

4,875 + 5,625 = 7 + 3,5

10,5 = 10,5

Таким образом определено, что опорные реакции определены верно.

2. Определение изгибающих моментов и поперечных сил.

Балка имеет 4 участка (1 участок - AC; 2 участок - CD; 3 участок - DE; 4 участок - EB.)

Участок АС

При z₁ = 0: M₁ = 0; Q₁ = R_A = 4.875 кН.

При z₁ =1: М₁ = 4,875 кНм; Q₁ = 4.875 кН.

Для упрощения расчёта остальные участки будем исчислять справа налево.

Участок EB

При

При

Участок DE

При

При

Участок CD

При

При

3. По полученным числовым значениям M и Q строим эпюру изгибающих моментов M и поперечных сил Q.

4. Подбор поперечного сечения балки.

Расчётным (опасным) сечением в балке будет сечение, где возникает максимальный изгибающий момент. В нашей задаче

Сечение балки подбираем по условию прочности

откуда

По сортаменту (ГОСТ 8239-89 двутавры стальные горячекатаные), принимаем I № 12 имеющим

Максимальное нормальное напряжение в балке

Определим перенапряжение в балке:

Получили большой запас прочности. Подберём швеллер.

По сортаменту (ГОСТ 8240 - 97 швеллеры стальные горячекатаные) принимаем Ш №12У имеющим

Максимальное нормальное напряжение в балке

Определим перенапряжение в балке:

Запас прочности при использовании швеллера № 12 У составит 4,25%.

Задание №5.

Ш Сталь Ст 3.

Ш - коэффициент трения.

Ш - сдвигающая сила.

Ш - допускаемые напряжения.

Ш - допускаемое напряжение среза.

Ш - допускаемое напряжение смятия для материала скрепляемых листов.

Ш - толщина листов.

1. Внутренний диаметр болта можно определить из условия отсутствия относительного сдвига соединяемых деталей. Это условие будет выполнено если сила трения, возникающая между поверхностями соединяемых деталей

Сила трения по закону Кулона

где f - коэффициент трения;

N - нормальная сила, равная по величине затяжки болта, т.е.

Таким образом,

Диаметр болта можно определить из условия прочности тела болта

где - площадь поперечного сечения болта;

d₁ - внутренний диаметр резьбы болта

- допускаемые напряжения.

По ГОСТ 7798 - 70 выбираем болт. Ближайший подходящий болт М12, у которого шаг резьбы может 1,75 мм или 1,25 мм, d = 12 мм - номинальный диаметр резьбы.

По внутреннему диаметру резьбы подбирают стандартный болт по ГОСТ 9150-2002 (ИСО 68-1-98).

а. , тогда Получили значение меньше допустимого.

, тогда Полученное значение меньше допустимого.

Следующий болт по ГОСТ 7798 - 70 М14, у которого шаг резьбы может 2,0 мм или 1,5 мм, d = 14 мм - номинальный диаметр резьбы.

в. P = 1,5 мм, тогда

г. P = 2,0 мм, тогда Полученное значение наиболее подходящее.

2. При установке болта без зазора наружный диаметр резьбы определяется исходя из условия выполнения прочности по напряжениям среза

По ГОСТ 7798 - 70 выбираем болт. Ближайший подходящий болт М10, у которого шаг резьбы может быть 1,5 мм или 1,25 мм, а номинальный диаметр резьбы d = 10 мм. Но так как у нас большой запас (10 - 8,47 = 1,53 мм) то высота зуба особого значения играть не будет.

Подбираем ближайший стандартный болт и устанавливаем окончательные значения наружного диаметра d резьбы.

d = 10 мм.

Также выполним проверку деталей по напряжению смятия

Задание №7.

Ш - допускаемое напряжение для свариваемых полос.

Ш - минимальное и максимальное значение переменной силы F, действующей на соединение.

Ш - коэффициент асимметрии цикла.

Ш - ширина полосы (длина сварочного шва).

Ш - толщина полосы.

Расчёт прочности стыкового соединения выполняется по размерам сечения деталей в зоне сварного шва. Для полосы, сваренной встык и нагруженной осевой силой F, нормальные напряжения определяются по зависимости

Вычисление напряжения не должны превышать допускаемые значения . При этом необходимо учитывать снижение прочности деталей, связанное со сваркой. Кроме того, допускаемые напряжения зависят от характера нагрузки, действующую на конструкцию, что оценивается коэффициентом R асимметрии цикла:

Необходимо учесть, что допускаемое напряжение шва при переменной нагрузке:

Допускаемое значение



Размещено на Allbest.ru