Устойчивость плазмы в магнитных ловушках
Уравнения для поперечных компонент смещения плазмы, минимизация функционал Крускала-Обермана потенциальной энергии МГД-возмущения. Невозмущенное состояние, потенциальная энергия возмущения. Преобразование кинетического слагаемого, условие устойчивости.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 22.07.2011 |
| Размер файла | 567,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Содержание
- Введение
- Невозмущенное состояние
- Потенциальная энергия возмущения
- Преобразование кинетического слагаемого
- Условие устойчивости
- Заключение
- Список литературы
Аннотация
Получены уравнения для поперечных компонент смещения плазмы, минимизирующего функционал Крускала - Обермана потенциальной энергии МГД-возмущения. Условие устойчивости состоит в отсутствии отрицательных собственных значений у этой системы уравнений (одно из них интегро-дифференциальное по продольной координате, другое интегральное) для любой магнитной поверхности в плазме.
Введение
Настоящая работа касается устойчивости плазмы в магнитных ловушках, в которых характерный размер изменения удерживающего магнитного поля сравним с "поперечным" размером плазмы. Интерес к таким ловушкам связан с тем, что в них возможна МГД-устойчивость в отсутствие магнитной ямы. К этому классу относится, в частности, ряд осесимметричных конфигураций, образованных полоидальным магнитным полем, как с замкнутыми силовыми линиями (конфигурации с обращенным полем (FRC), см. [1]; ловушки типа [2, 3] с внутренними проводниками, их разнообразные версии описаны в [4,5]), так и открытых (полукасп [6]; ловушка с дивертором [7, 8]; непараксиальный пробкотрон, устойчивый против "первой" моды [9]) С открытой ловушкой с дивертором имели дело, в частности, в экспериментах TARA (Массачусетский технологический институт) [10] и HIEI (Киотский университет) [11]. Диверторные ячейки можно использовать для стабилизации плазмы и в замкнутых ("тороидальных") системах (проект ЭПСИЛОН [12]). Ловушки с внутренним проводником осуществлены в действующих установках LDX (Массачусетский технологический институт) [13], RT-1 (Университет Токио; одной из задач этого эксперимента является моделирование в лаборатории свойств устойчивости магнитосферной плазмы, где роль сильной неоднородности поля также важна) [14], МАГНЕТОР (МИФИ) [15].. В МГД-модели с изотропным давлением, в которой стабилизация сильно неоднородным полем проявляется как влияние сжимаемости плазмы, условие конвективной (желобковой) устойчивости имеет вид [16,17]
, (1)
где p (a) - невозмущенное давление плазмы, a - "метка" магнитной поверхности, U (a) = ?B-1dl, интегрирование ведется по длине магнитной силовой линии в плазме, г=5/3 - показатель адиабаты. В осесимметричных конфигурациях, рассматриваемых ниже, под магнитными поверхностями понимаются поверхности вращения, на которых лежат силовые линии и по которым происходит азимутальный дрейф частиц.
Согласно (1) устойчивы профили давления, не слишком быстро спадающие с U. Безразлично устойчивый профиль, при котором инкремент обращается в нуль, есть p* = p0 (U/U0) - г, где p0 и U0 относятся к некоторой произвольно выбранной магнитной поверхности внутри плазмы. При выполнении (1) величина давления плазмы ограничена требованием устойчивости относительно баллонной моды.
В задаче отыскания границы МГД-устойчивости случаю бесстолкновительной плазмы адекватна кинетическая модель Крускала - Обермана [18, 19], которая не предполагает изотропизации давления в колебаниях. Устойчивые по Крускалу - Оберману профили p (a) могут, как показали расчеты, проделанные для различных конфигураций при в = 8рp/B2 >0 [20 - 23], существенно отличаться от получаемых в МГД-модели.
Расчеты профилей, устойчивых в модели Крускала - Обермана, при конечных в до сих пор отсутствуют. Трудность расчетов устойчивости при конечном в связана с тем, что, хотя общий критерий устойчивости хорошо известен - положительность функционала потенциальной энергии возмущения, - до сих пор не разработана регулярная процедура отыскания при в ? 0 того возмущения, на котором достигается минимум (именно им определяется устойчивость) этого функционала. В случае в > 0 подобной трудности не возникает, поскольку наиболее опасные возмущения имеют простой вид "желобков".
Заменой "кинетического" слагаемого в выражении Крускала - Обермана для потенциальной энергии колебаний на величину, ограничивающую его снизу, удается при в ? 0 находить достаточные условия устойчивости, см., например, [24,25]; для плазмы с изотропным невозмущенным давлением при этом получается критерий (1).
В недавней работе [26] условия устойчивости в случае сформулированы, не прибегая к такой замене.
В данной работе получено условие МГД-устойчивости по Крускалу - Оберману для плазмы с конечным в без предположения об изотропии невозмущенного давления (результат [26] охватывается как частный случай).
Невозмущенное состояние
Рассматриваются осесимметричные равновесные конфигурации полоидального магнитного поля
, , (2)
ш - потоковая функция, r - расстояние от оси. Поле , силовые линии которого лежат на поверхностях ш = const (так что естественно взять ш в качестве метки магнитной поверхности), и величины, характеризующие плазму, зависят от ш и координаты, отсчитываемой вдоль . Считается, что на магнитной силовой линии имеется один минимум . Функция распределения частиц (в задаче важны горячие, вносящие вклад в давление плазмы, популяции; для сокращения записи будем считать, что такая популяция только одна - электроны или один сорт ионов) зависит от интегралов движения: энергии е = н2 /2 (для удобства поделена на массу частицы), магнитного момента м = / (2B) и метки магнитной поверхности, возле которой происходит движение, ш. Магнитное поле и компоненты давления
, (3),
(4)
(M - масса частицы, ) удовлетворяют уравнениям равновесия [27]
, (5)
, (6)
где означает производную в направлении B, - плотность азимутального тока во внешних катушках, . Плотность тока в плазме составляет, см. [28],
. (7)
Описание отклонений от равновесия удобно проводить в связанных с равновесным полем ортогональных координатах ш,и,ч в которых
, , .
Здесь ч - координата вдоль , направление отсчета азимутального угла и выбирается так, чтобы единичные векторы составляли правую тройку, r = r (ш,ч) - расстояние до оси от точки на силовой линии ш = const; якобиан J (ш,ч) удовлетворяет вне проводников уравнению
, (8)
где . Это уравнение получается взятием циркуляции по контуру, ограничивающему площадку dшdч в плоскости и = const, с учетом (7). Выбор ч не однозначен (преимущество того или иного выбора здесь не обсуждается), и от него зависит граничное условие для J, поскольку решение (8) содержит произвольный множитель ц (ч).
В дальнейшем равновесное состояние считается заданным, то есть функции r (ш,ч), B (ш,ч), J (ш,ч), (ш, B (ш,ч)) известными.
Потенциальная энергия возмущения
Исходим из выражения для потенциальной энергии МГД-возмущения [29]
, (9) где
, (10)
,
, , -
смещение элемента плазмы поперек , , ; у и ф считаются положительными (тем самым исключаются источники неустойчивостей, в случае ?/?ш = 0 именуемых, соответственно, шланговой и зеркальной); кинетическое слагаемое
=, (11)
интегрирование по длине вдоль силовой линии в (11) ведется между точками поворота частицы, а для пролетных частиц в случае замкнутой силовой линии - по всей ее длине. Присутствующая в (10), (11) величина q выражается через коэффициенты Ламе [30]
(12)
и связана с кривизной силовой линии : именно, .
Функционал W для азимутальной моды m
Записав компоненты смещения в виде [17]
, , (13)
m ? 1 (выбор начала отсчета и и фазы и0 роли не играет), и перейдя в (11) от переменных к переменным , после интегрирования по и будем иметь
, , (14) где
плазма магнитная ловушка устойчивость
, (15)
, (16)введены обозначения
, (17)
, (18)
, (19)
- значение поля в минимуме на силовой линии ш = const. Нижний предел интегрирования по л в (16) в случае открытой ловушки равен , где - поле в пробке, а в случае замкнутых силовых линий, когда есть пролетные частицы, предел . В дальнейшем будем полагать , имея в виду, что в случае открытой ловушки величина (17) равна в интервале (в конусе потерь) нулю. Для изотропной функции распределения эта величина не зависит от и равна давлению , выражение (15) сводится к формуле (6.16) (c ) статьи [17], а (16) переходит в выражение (27.3) работы [19]. Стабилизирующее действие неоднородности поля существенно, если кинетический член (16) сравним по величине с "гидродинамическим" слагаемым (15).
Преобразование кинетического слагаемого
Преобразуем кинетический член к другой форме. Заметим, что величина стоит в (16) только в сумме с . Используем обозначение
. (20)
Перепишем (16) как
(21)
и изменим в (21) порядок интегрирования по и . Область интегрирования показана на рис.1.
Рис.1. Область интегрирования в плоскости в интеграле (21).
Получим
, (22)
где [] - интервал изменения ч в ловушке. Далее вернемся к записи величины , фигурирующей в (22), в виде (18) и поменяем порядок интегрирования по л и координате ч (см. рис.2).
Рис.2. Область интегрирования в плоскости в интеграле (22).
Придем к выражению
, (23)
в котором ядра суть
, (24)
(25)
(26)
, (27)
где
, (30)
а величина равна
(31)
то есть
. (31а)
Анизотропия распределения частиц проявляется в представлении кинетического члена в форме (23) тем, что вносит зависимость множителя P в (30) от л; в случае изотропного распределении будет, как уже говорилось, просто , этот случай рассматривался в [26].
Поскольку и входят в (31а) равноправно, после переименования переменных в слагаемом с в (23) окончательно имеем
(32)
Условие устойчивости
Для устойчивости достаточно, чтобы при любом ш величина в (14) была для возмущений неотрицательна. Примем нормировку
, (33)
где - положительная функция. Поскольку мы интересуемся только знаком на каждой магнитной поверхности, конкретный вид C (ш) (характер локализации возмущения по ш) для дальнейшего не существен, важна лишь положительность этой величины. Условие устойчивости будет соблюдено, если для каждого ш при нормировке (33) не отрицателен минимум функционала относительно варьирования зависимостей и от ч, или, что эквивалентно, не отрицателен минимум функционала
. (34)
В выражении для азимутальное число m содержится в (15). Слагаемое с m положительно и стремится к нулю при m > ?. Имея в виду получить наиболее жесткое среди возможных m условие устойчивости, положим (как в [17]) m >>1 и данное слагаемое опустим. При этом компонента будет входить в , как и в , только в комбинации .
Функционал при m > ? назовем.
Обозначим интересующий нас через . Этот минимум достигается на компонентах смещения (13), удовлетворяющих уравнениям Эйлера. При варьировании в (34) принимаем во внимание в случае замкнутых силовых линий ("длиной" ) требование
, (35)
а в случае открытой ловушки поставим на торцах граничные условия
(36)
(эти условия допускают существование желобковых и баллонных мод). В обоих случаях приходим к уравнению Эйлера
. (37)
Варьирование дает второе уравнение Эйлера
. (38)
В случае изотропного невозмущенного распределения уравнения (37), (38) переходят в уравнения, полученные в [26].
Если система интегро-дифференциальных уравнений (37), (38) с дополнительным условием (35) (или граничными условиями (36)) не имеет ни при каком ш собственных значений , плазма устойчива.
При в > 0 в первом приближении по в из (38) получается , т.е. , а из (37) будем иметь X = const. (Критерий устойчивости [31], см. также книгу [32], получится в следующем приближении по в). Это с учетом (13) означает, что поперечное смещение (дрейф в скрещенных равновесном магнитном поле и электрическом поле возмущения) происходит в результате действия потенциального поля , имеющего желобковый вид: Ц не зависит от ч.
Заметим, что при замене кинетического слагаемого в на выражение , ограничивающее снизу, которое не содержит интегрирования по л и включает только интегралы по ч (например, для имеем, согласно теореме сравнения [18, 19], )), интегральное и интегро-дифференциальное уравнения Эйлера, заменяющие (37), (38), будут уравнениями с вырожденными ядрами. Это упрощает их решение и отыскание достаточного условия устойчивости (при сводящегося для желобковой моды к (1), см. [24, 26]).
Заключение
Для кинетического слагаемого в функционале Крускала-Обермана потенциальной энергии МГД-возмущения получено выражение в форме двойного интеграла по продольной координате (32). Минимизация по двум компонентам смещения при нормировке (33) приводит к системе уравнений Эйлера, состоящей из одного интегро-дифференциального и одного интегрального уравнений (37), (38). Вид ядер в интегральных слагаемых определяется функцией распределения частиц по питч-углу, формулы (24) - (31). Условием МГД-устойчивости служит отсутствие отрицательных собственных значений у этой системы.
Список литературы
1. Tuszewskii M. // Nucl. Fusion. 1988. V.28. P. 2033.
2. Кадомцев Б.Б. // Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций /Под ред. М.А. Леонтовича. М.: Изд. АН СССР, 1958.Т. IV. С.353.
3. Ohkawa T., Kerst D. W. // Phys. Rev. Lett. 1961. V.7. P.41.
4. Фюрт Г. // Физика высокотемпературной плазмы /Под ред. М.С. Рабиновича. М.: Мир, 1972. С.172.
5. Морозов А.И., Савельев В.В. // Успехи физ. наук. 1998. Т.168. С.1153.
6. Димов Г.И. // Успехи физ. наук. 2005. Т.175. С.1185.
7. Lane B., Post R. S., Kesner J. // Nucl. Fusion. 1987. V.27. P.227.
8. Пастухов В.П., Соколов А.Ю. // Физика плазмы. 1991. Т.17. С.1043.
9. Рютов Д.Д., Ступаков Г.В. // Письма в ЖЭТФ. 1985. Т.42. С.29.
10. Casey J. A., Lane B. G., Irby J. H. et al. // Phys. Fluids. 1988. V.31. P. 2009.
11. Yasaka Y., Takano N., Takeno H. // Transactions of Fusion Technology. 2001. V.39. P.350.
12. Kulygin V. M., Arsenin V. V., Zhiltsov V. A. et al. // Nucl. Fusion. 2007. V.47. P.738.
13. Kesner J., Boxer A. C., Ellsworth J. L. et al. // 21st IAEA Fusion Energy Conf., Chengdu, China, 2006. IC/P7-7.
14. Yosida Z., Ogawa Y., Morikawa J. et al. // Ibid. IC/P7-14.
15. Берникова М.М., Вайтонене А.М., Вайтонис В.В. и др. // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Термоядерный синтез. 2003. Вып.1. С.22.
16. Кадомцев Б.Б. // Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций /Под ред. М.А. Леонтовича. М.: Изд. АН СССР, 1958.Т. IV. С.380.
17. Bernstein A. B., Frieman E. A., Kruskal M. D., Kulsrud R. M. // Proc. Roy. Soc. London. 1958. V. A244. P.17.
18. Kruskal M. D., Oberman C. L. // Phys. Fluids. 1958. V.1. P.275.
19. Rosenbluth M. N., Rostoker N. // Phys. Fluids. 1959. V.2. P.23.
20. Adler E. A. // Phys. Fluids. 1982. V.25. P. 2053.
21. Михайловская Л.В. // Физика плазмы. 1988. Т.14. С.1241.
22. Соколов А.Ю. // Физика плазмы. 1992. Т.18. С.657.
23. Арсенин В.В., Куянов А.Ю. // Физика плазмы. 2001. Т.27. С.675.
24. Walstead A. E. // Phys. Fluids. 1982. V.25. P.1358.
25. Simakov A. N., Hastie R. J., Catto P. J. // Phys. Plasmas. 2000. V.7. P.3309.
26. Арсенин В.В. // Физика плазмы. 2008. Т.34. №5.
27. Grad H. // Phys. Fluids. 1967. V.10. P.137.
28. Шафранов В.Д. // Вопросы теории плазмы /Под ред. М.А. Леонтовича. Вып.2. М.: Госатомиздат, 1963. С.92
29. Taylor J. B., Hastie R. J. // Phys. Fluids. 1965. V.8. P.323.
30. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М.: Издательство АН СССР, 1951.
31. Кадомцев Б.Б. // Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций /Под ред. М.А. Леонтовича. М.: Изд. АН СССР, 1958.Т. IV. С.370.
32. Михайловский А.Б. Теория плазменных неустойчивостей. Т.2. Неустойчивости неоднородной плазмы. М.: Атомиздат, 1971.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Механизм функционирования Солнца. Плазма: определение и свойства. Особенности возникновения плазмы. Условие квазинейтральности плазмы. Движение заряженных частиц плазмы. Применение плазмы в науке и технике. Сущность понятия "циклотронное вращение".
реферат [29,2 K], добавлен 19.05.2010Возникновение плазмы. Квазинейтральность плазмы. Движение частиц плазмы. Применение плазмы в науке и технике. Плазма - ещё мало изученный объект не только в физике, но и в химии (плазмохимии), астрономии и многих других науках.
реферат [43,8 K], добавлен 08.12.2003Рассмотрение основных особенностей изменения поверхности зонда в химически активных газах. Знакомство с процессами образования и гибели активных частиц плазмы. Анализ кинетического уравнения Больцмана. Общая характеристика гетерогенной рекомбинации.
презентация [971,2 K], добавлен 02.10.2013Применение методов ряда фундаментальных физических наук для диагностики плазмы. Направления исследований, пассивные и активные, контактные и бесконтактные методы исследования свойств плазмы. Воздействие плазмы на внешние источники излучения и частиц.
реферат [855,2 K], добавлен 11.08.2014Агрегатные состояния вещества. Что такое плазма? Свойства плазмы: степень ионизации, плотность, квазинейтральность. Получение плазмы. Использование плазмы. Плазма как негативное явление. Возникновение плазменной дуги.
доклад [10,9 K], добавлен 09.11.2006История рождения энергетики и ее роль для человечества. Характеристика кинетической и потенциальной энергии как части механической системы. Изменения энергии при взаимодействиях тел, образующих замкнутую систему, на которую не действуют внешние силы.
презентация [496,3 K], добавлен 17.08.2011Характеристики форм движения материи. Механическая и электростатическая энергия. Теорема о кинетической энергии. Физический смысл кинетической энергии. Потенциальная энергия поднятого над Землей тела. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия.
презентация [3,7 M], добавлен 19.12.2016Расчет основных параметров низкотемпературной газоразрядной плазмы. Расчет аналитических выражений для концентрации и поля пространственного ограниченной плазмы в отсутствие магнитного поля и при наличии магнитного поля. Простейшая модель плазмы.
курсовая работа [651,1 K], добавлен 20.12.2012Определение свойств объекта, подлежащего исследованию. Изменение сопротивления медного проводника. Процессы распространения тепловой энергии. Идентификация типа дифференциального уравнения. Входной и выходной параметры. Размерность входного возмущения.
курсовая работа [190,5 K], добавлен 13.03.2014Понятие об автоматическом регулировании и его основные принципы. Комбинированная система регулирования по отклонению выходного сигнала и возмущения. Замена сложных многоемкостных объектов простейшими звеньями. Создание систем с компенсацией возмущения.
курсовая работа [225,1 K], добавлен 10.01.2012
