Методы и алгоритмы оценки неизвестных параметров динамических систем с применением анализа чувствительности

Данная глава посвящена рассмотрению одного из довольно мощных и перспективных подходов к построению моделей динамических объектов управления - САЧ, который занимает важное место в ТЧ.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 1 - Блок-схема алгоритма чувствительности

В главе была описана содержательная сущность и математическая постановка задачи аппроксимации экспериментальных данных, представлена итерационная процедура САЧ, изложены подходы к заданию начальных условий для решения ОДУ и начальных приближений неизвестных параметров, изображена блок-схема алгоритма, облегчающая его понимание и способствующая быстрой реализации алгоритма на ПК.

3. Модифицированный алгоритм чувствительности

Ещё в шестидесятых годах прошлого столетия ТЧ и связанные с ней проблемы стали часто обсуждаться на международных симпозиумах и научно-практических конференциях. Данная теория начала развиваться как самостоятельное научное направление. Это позволило накопить достаточно знаний в теории чувствительности, чтобы осуществлять в настоящее время дальнейшее ее развитие и обогащение новыми результатами.

Одно из направлений в развитии ТЧ - усовершенствование алгоритма чувствительности, который является эффективным методом для определения порядка и оценивания неизвестных параметров ОДУ таким образом, что его решение оказывается адекватной математической моделью заданного процесса.

Идея о модификации алгоритма, как правило, возникает в связи с необходимостью ускорения работы алгоритма (ускорения процесса сходимости), избегания ситуаций, когда алгоритм расходится, увеличения точности, расширения круга решаемых с помощью алгоритма задач. Однако в нашем случае причиной неудовлетворительности САЧ является то, что, используя метрику, которая применяется для определения порядка и оценки неизвестных параметров ОДУ, мы требуем, чтобы только значения решения были близки к измеренным значениям. В метрике модифицированного алгоритма, кроме этого, мы требуем, чтобы значения производных, полученных по экспериментальным данным, были близки к значениям оценок производных, полученным в результате решения дифференциального уравнения с найденными оценками неизвестных параметров.

В данном разделе предложена модификация существующего САЧ для оценивания неизвестных параметров ОДУ.

Идея МАЧ, рассматриваемая в данной работе, заключается в том, что вместо метрики (2.1.9), используемой в САЧ, вводится новая метрика, определяемая равенством:

, (3.1.1)

где - вектор экспериментальных данных размерности N; y - вектор оценок истинных значений решения ОДУ размерности N, полученных в результате его решения тем или иным методом; - единичная матрица порядка N, - единичная матрица порядка N-1; - известный параметр, значение которого задается исследователем из интервала [0,1]; - вектор размерности N-1, компоненты которого определяются в соответствии с формулой:

, (3.1.2)

- вектор размерности N-1, компоненты которого определяются согласно формуле:

. (3.1.3)

Выражения (3.1.2) и (3.1.3) являются, очевидно, оценками производных и и, таким образом, используя метрику вида (3.1.1), мы добиваемся того, чтобы не только значения решения были близки к измеренным значениям, но и оценки производных и , определяемых равенствами (3.1.2) и (3.1.3), также были близки друг к другу.

В выражении (3.1.1) в первом слагаемом векторы имеют размерность N, равной числу имеющихся у нас N измерений. Во втором слагаемом векторы имеют размерность N-1, т.к. имея N измерений, мы можем определить только N-1 значений, вычисляемых согласно формулам (3.1.2) и (3.1.3).

В функции (3.1.1) с помощью изменения можно отдавать предпочтение первому или второму слагаемому. Так, если взять , то тем самым мы будем добиваться того, чтобы только оценки производных функций были близки друг к другу. Если же положить , то мы будем стремиться к тому, чтобы только значения решения были близки к измеренным значениям. Если , то в данном случае мы в равной степени заинтересованы в том, чтобы были близкими как значения решений ОДУ, так и их производных.

Как и САЧ, предлагаемая его модификация является итерационной. На каждой итерации алгоритма выполняется конечная последовательность вычислительных операций. Для описания данной последовательности операций будем считать, что нами уже выполнено k-1 итераций, где k - некоторое натуральное число, принимающее значения k=1, 2, 3,…, и получен вектор оценок параметров , но они оказались недостаточно точными. Поэтому мы вынуждены выполнить хотя бы ещё одну k-ую итерацию, чтобы получить новые, более точные оценки параметров . Рассмотрим последовательность вычислительных операций, которые необходимо для этого выполнить и которые в своей совокупности составляют содержание k-ой итерации МАЧ.

Представим вектор-столбец новых оценок параметров , которые нам необходимо получить, равенством вида:

, (3.1.4)

где - вектор оценок параметра , полученный на предыдущей итерации, - вектор поправок. При этом будем считать, чт компоненты вектора являются достаточно малыми величинами. Разложим неизвестные нам функции в окрестности значений в ряд Тейлора, ограничиваясь при этом линейным приближением. Прежде чем это сделать, продифференцируем по вектору a. В результате чего получим:

(3.1.5)

Используя выражение (2.2.1), определяющее ФЧ, запишем уравнение (3.1.5) в следующем виде:

. (3.1.6)

Разложение функции в ряд Тейлора примет вид:

. (3.1.7)

Разложение же функции с учетом выражения (3.1.6) будет следующим:

. (3.1.8)

Приступим теперь к формированию системы уравнений относительно вектора поправок . Для этого воспользуемся метрикой S, заданной равенством (3.1.1), и соотношениями (3.1.7) и (3.1.8). Подставляя значения функций и в правую часть равенства (3.1.1), получим:

. (3.1.9)

Таким образом, мы получили метрику, которую можно использовать для количественной оценки погрешностей описания имеющихся у нас измеренных значений и вычисленных по ним производных , соответственно, функциями, являющимися решениями дифференциального (2.1.2), и производными от этих функций. Именно эту метрику всюду ниже мы и будем использовать. При этом мы можем и будем изменять параметр , входящий в данную метрику, в соответствии с нашими целями и желаниями.

Как видно из равенства (3.1.9), метрика S удовлетворяет равенству , т.е. является явно заданной и положительно определенной функцией вектора поправок и позволяет сделать следующий шаг к тому, чтобы получить интересующую нас систему уравнений относительно вектора поправок . Для этого, как известно из математического анализа, необходимо продифференцировать метрику S по вектору поправок и приравнять полученные при этом частные производные к нулю. Выполнив данные операции над метрикой S, будем иметь n+1 уравнений вида:

(3.1.10)

Сделаем следующее обозначение:

, (3.1.11)

тогда с учетом того, что:

(3.1.12)

выражение (3.1.10) можно записать в более компактном виде:

(3.1.13)

Если выполнить все необходимые и вполне очевидные арифметические операции, то данной системе уравнений можно придать следующий, предельно компактный и традиционный в линейной алгебре вид:

, (3.1.14)

где:

а) и b) ; (3.1.15)

а) и b) . (3.1.16)

Здесь и - квадратные матрицы порядка n+1. Как видно из (3.1.16а) и (3.1.16b), обе эти матрицы являются симметричными.

Полученная система является системой линейных алгебраических уравнений относительно вектора поправок и, если матрица неособенная, то решение , как известно, определяется равенством:

, (3.1.17)

где - обратная матрица. В противном случае, т.е. в случае, когда является вырожденной матрицей, система уравнений (3.1.14) оказывается недоопределенной и имеет бесконечное множество решений. Во всех подобных случаях наиболее целесообразно в качестве ее решения использовать ее псевдорешение , вычисляемое в соответствии с равенством:

, (3.1.18)

где - псевдообратная матрица.

Проведем вышеописанные рассуждения на примере линейного ОДУ первого порядка, имеющего следующий вид:

(3.1.19)

Продифференцируем данное уравнение по параметрам и :

a) b) (3.1.20)

Согласно формулам (3.1.7) и (3.1.8) разложим и в ряд Тейлора:

, (3.1.21)

. (3.1.22)

Подставим полученные разложения в метрику (3.1.1), получим:

(3.1.23)

Для того чтобы получить интересующую нас систему уравнений относительно вектора поправок , продифференцируем метрику S по вектору поправок :

(3.1.24)

Сделаем следующие обозначения:

a) b) c) (3.1.25)

тогда выражение (3.1.24) можно записать в более компактном виде:

 (3.1.26)

Выразив из данного уравнения вектор поправок , получим:

(3.1.27)

Рассмотрим пример ОДУ - уравнения нелинейного маятника, взятое из работы [31] А.И. Рубана, имеющее следующий вид:

(3.1.28)

Сведем данное уравнение к системе двух уравнений, являющихся ОДУ первого порядка:

. (3.1.29)

Продифференцируем данную систему уравнений по параметрам

(3.1.30)

 (3.1.31)

(3.1.32)

(3.1.33)

(3.1.34)

(3.1.35)

Разложим и в ряд Тейлора:

, (3.1.36)

. (3.1.37)

Подставив в метрику S разложения (3.1.36) и (3.1.37), получим:

(3.1.38)

Продифференцировав данное равенство по , приравняв полученное выражение к нулю, согласно формулам 3.1.13 - 3.1.17, получаем СЛАУ на :

, (3.1.39)

где:

; (3.1.40)

; (3.1.41)

; (3.1.42)

. (3.1.43)

Подставив в уравнения (3.1.30) - (3.1.35), (3.1.28) известные значения , вычислим значения функций чувствительности и значения , используя любой из численных метод решения ОДУ, например метод Рунге-Кутты [68]. Начальные условия для уравнения (3.1.28) известны из постановки задачи, для уравнений (3.1.30) - (3.1.35) следует выбрать нулевые начальные условия [69]: .

Решив уравнение (3.1.39) любым способом решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), получим вектор поправок , после чего вычисляем .

Рассмотрим трудоемкость реализации САЧ и МАЧ. Если сравнить равенства (3.1.17) и (3.1.18), которые используются для нахождения поправок имеющихся оценок неизвестных параметров дифференциального уравнения в МАЧ, с равенствами (2.2.9) и (2.2.10) соответственно, которые используются для таких же целей в САЧ, то можно увидеть, то МАЧ более трудоемок.

Построим таблицу, содержащую величины, которые приходится дополнительно вычислять в МАЧ, и количество используемых для их нахождения операций.

Таблица 3.1.1 - Таблица вычисляемых в МАЧ величин

Величина	Количество операций	Тип операции
векторы и		вычитание
		деление
вектор		умножение
матрица		умножение
матрица		сложение

Как видно из таблицы 3.1.1 в МАЧ необходимо дополнительно посчитать 5 величин. При этом приходится использовать такие арифметические операции, как сложение, вычитание, умножение и деление.

При применении МАЧ, вектор вычисляется только один раз, используя экспериментальные данные. Что же касается вычисления векторов и , а также матриц и , то их приходится считать на каждой итерации k.

Суммарная трудоемкость реализации МАЧ характеризуется следующими данными: операций вычитания, операций деления, операций умножения и операций сложения.

Вычисление вышеописанных дополнительных величин приводит к тому, что скорость работы МАЧ уменьшается. Данное обстоятельство было бы нежелательным тогда, когда ЭВМ обладали низкой скоростью работы. С развитием же мощных персональных компьютеров появилась возможность в считанные секунды выполнить достаточное количество итераций МАЧ для того, чтобы с некоторой точностью описать экспериментальные данные, используя при этом ОДУ. Таким образом, вычисление дополнительных величин занимает пренебрежительно малое время и практически не сказывается на времени работы МАЧ в целом.

4. Сходимость модифицированного алгоритма чувствительности

Свойство сходимости тех или иных математических объектов играет существенную роль как в вопросах теории, так и в приложениях математики. Понятие сходимости возникает, например, когда при изучении того или иного математического объекта строится последовательность более простых в известном смысле объектов, приближающихся к данному объекту, т.е. имеющих его своим пределом. Важнейшим свойством численного метода является его сходимость к искомому решению. Характер сходимости во многом определяет эффективность метода идентификации.

Итерационные методы доставляют средство для приближенного решения системы как линейных, так и нелинейных уравнений. Решение системы при помощи итерационных методов получается как предел последовательных приближений, вычисляемых некоторым единообразным процессом. При применении итерационных методов существенным является не только сходимость построенных последовательных приближений, но и скорость сходимости, при этом, как это принято в численных методах [21], под скоростью сходимости будем понимать количество итераций, которые выполнит метод, чтобы достичь заданной точности решения. Однако каждый итерационный метод имеет свою ограниченную область применимости, т.к. во-первых, процесс итераций может оказаться расходящимся для данной системы, и, во-вторых, сходимость процесса может быть настолько медленной, что практически оказывается невозможным достигнуть удовлетворительной близости к решению.

В связи с тем, что исследование сходимости алгоритма невозможно осуществить аналитически, её приходится исследовать на конкретном примере и на основании полученных результатов делать выводы о сходимости.

Для того чтобы провести исследование сходимости алгоритма, был взят пример ОДУ нелинейного маятника (3.1.28), описанный в разделе 3.2. Необходимо оценить неизвестные параметры , и данного уравнения, используя МАЧ.

Общий алгоритм работы МАЧ показан на рисунке 2, отличия в реализации для конкретной задачи будет заключаться в различных формулах для уравнений (3.1.30) - (3.1.35), (3.1.28). Также возможно изменение метода решения ОДУ, если метод Рунге-Кутты [68] будет демонстрировать неудовлетворительные результаты решений.

Для имплементации алгоритма внутри Matlab'а [70] были использованы следующие функции:

1) Ode45 - функция, предназначенная для численного интегрирования систем ОДУ с помощью формул Рунге - Кутты.

2) Interp1 - сглаживание полученных решений ОДУ.

3) Mldivide (или «\») - функция решения СЛАУ, выбор алгоритма решения осуществляется внутри функции и зависит от вида входных параметров.

Поиск экстремума метрики S, заданной выражением (3.1.3), будем производить при:

. (3.2.1)

Будем считать, что истинные значения неизвестных параметров определены следующим образом:

. (3.2.2)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 2 - Блок-схема модифицированного алгоритма чувствительности

В первом эксперименте возьмем

, , (3.2.3)

которые в дальнейшем будем постепенно изменять с шагом 0.5, считая при этом на каждой итерации ошибки аппроксимации, заданные согласно выражениям (значение ошибки в этом и последующих экспериментах будет равной 0.001):

а) и b) , (3.2.4)

Как видно из данных равенств, величины S₁ и S₂ являются квадратичными метриками, характеризующими погрешность аппроксимации экспериментальных данных и производной , вычисленной по этим данным, решением и его производной соответственно.

В таблице 4.1 приведены вычисленные значения ошибок аппроксимации S₁ и S₂ на каждой итерации k подстройки оценок параметров a₁, a₂ и a₃ при начальных условиях, заданных выражениями (3.2.3).

Таблица 4.1 - Значения, полученные в процессе вычислений при (3.2.3)

k	1	2	3	4	5
a1	1.6	1.0437	1.1151	1.0994	1.1
a2	1.4	0.79246	0.89852	0.90056	0.90001
a3	1.5	0.97134	1.0057	0.99986	0.99994
S1	0.54911	0.29011	0.042809	0.001983	0.00046647
S2	1.042	0.18363	0.026685	0.0024219	0.00048952

Ниже для наглядности на рисунках 3 - 12 представлены графики, аппроксимирующие экспериментальные данные и производную при начальных условиях, заданных выражениями (3.2.3).



Рисунок 3 - Аппроксимация экспериментальных данных на первой итерации при (3.2.3)

Рисунок 4 - Аппроксимация производной на первой итерации при (3.2.3)

Рисунок 5 - Аппроксимация экспериментальных данных на второй итерации при (3.2.3)



Рисунок 6 - Аппроксимация производной на второй итерации при (3.2.3)

Рисунок 7 - Аппроксимация экспериментальных данных на третьей итерации при (3.2.3)

Рисунок 8 - Аппроксимация производной на третьей итерации при (3.2.3)



Рисунок 9 - Аппроксимация экспериментальных данных на четвёртой итерации при (3.2.3)

Рисунок 10 - Аппроксимация производной на четвёртой итерации при (3.2.3)

Рисунок 11 - Аппроксимация экспериментальных данных на пятой итерации при (3.2.3)



Рисунок 12 - Аппроксимация производной на пятой итерации при (3.2.3)

Во втором эксперименте возьмем:

, . (3.2.5)

В таблице 4.2 приведены вычисленные значения ошибок аппроксимации S₁ и S₂ на каждой итерации k подстройки оценок параметров a₁, a₂ и a₃ при начальных условиях, заданных выражениями (3.2.5).

Таблица 4.2 - Значения, полученные в процессе вычислений при (3.2.5)

k	1	2	3	4	5	6	7	8
a1	3.1	2.4155	0.44433	0.785	1.0724	1.1038	1.1001	1.1
a2	2.9	0.86213	1.0073	0.96089	0.93198	0.90231	0.90053	0.90006
a3	3.0	0.9413	0.84651	0.93142	0.98452	0.99989	1	1
S1	1.3169	2.0553	2.099	0.83684	0.12503	0.0034827	0.0010935	0.0001426
S2	3.3638	1.1066	1.6729	0.59794	0.083761	0.0039836	0.0010297	0.0001497

Ниже для наглядности на рисунках 13 - 18 представлены графики, аппроксимирующие экспериментальные данные и производную на некоторых итерациях при начальных условиях, заданных выражениями (3.2.5).



Рисунок 13 - Аппроксимация экспериментальных данных на первой итерации при (3.2.5)

Рисунок 14 - Аппроксимация производной на первой итерации при (3.2.5)

Рисунок 15 - Аппроксимация экспериментальных данных на третьей итерации при (3.2.5)



Рисунок 16 - Аппроксимация производной на третьей итерации при (3.2.5)

Рисунок 17 - Аппроксимация экспериментальных данных на пятой итерации при (3.2.5)

Рисунок 18 - Аппроксимация производной на пятой итерации при (3.2.5)

В третьем эксперименте возьмем:

, . (3.2.6)

В таблице 4.3 приведены вычисленные значения ошибок аппроксимации S₁ и S₂ на каждой итерации k подстройки оценок параметров a₁, a₂ и a₃ при начальных условиях, заданных выражениями (3.2.6).

Таблица 4.3 - Значения, полученные в процессе вычислений при (3.2.6)

k	1	2	3	4	5
a1	2.1	1.5125	1.0307	1.1047	1.0999
a2	1.9	0.99684	0.91525	0.90245	0.90027
a3	2.0	0.94488	0.98296	0.99812	1
S1	0.8823	0.52906	0.17252	0.0052026	0.00085702
S2	1.9513	0.3976	0.11337	0.006115	0.00069407

Ниже для наглядности на рисунках 19 - 22 представлены графики, аппроксимирующие экспериментальные данные и производную на некоторых итерациях при начальных условиях, заданных выражениями (3.2.6).

Рисунок 19 - Аппроксимация экспериментальных данных на перовой итерации при (3.2.6)



Рисунок 20 - Аппроксимация производной на первой итерации при (3.2.6)

Рисунок 21 - Аппроксимация экспериментальных данных на третьей итерации при (3.2.6)

Рисунок 22 - Аппроксимация производной на третьей итерации при (3.2.6)

В четвёртом эксперименте возьмем:

, . (3.2.7)

В таблице 4.4 приведены вычисленные значения ошибок аппроксимации S₁ и S₂ на каждой итерации k подстройки оценок параметров a₁, a₂ и a₃ при начальных условиях, заданных выражениями (3.2.7).

Таблица 4.4 - Значения, полученные в процессе вычислений при (3.2.7)

k	1	2	3	4	5	6	7	8
a1	3.1	2.2442	0.40457	0.71802	1.0002	1.0965	1.099	1.1
a2	2.9	1.2691	0.75316	0.77493	0.84396	0.89231	0.89881	0.89995
a3	3.0	0.79027	0.88134	0.91863	0.98239	1.0001	1.0008	0.9999
S1	1.3169	0.97413	1.877	0.64793	0.098742	0.0138	0.0011981	0.00023737
S2	3.3638	0.90545	1.3647	0.4818	0.092405	0.012692	0.0025459	0.00025878

Ниже для наглядности на рисунках 23 - 28 представлены графики, аппроксимирующие экспериментальные данные и производную на некоторых итерациях при начальных условиях, заданных выражениями (3.2.7).

Рисунок 23 - Аппроксимация экспериментальных данных на первой итерации при (3.2.7)



Рисунок 24 - Аппроксимация производной на первой итерации при (3.2.7)

Рисунок 25 - Аппроксимация экспериментальных данных на третьей итерации при (3.2.7)

Рисунок 26 - Аппроксимация производной на третьей итерации при (3.2.7)



Рисунок 27 - Аппроксимация экспериментальных данных на пятой итерации при (3.2.7)

Рисунок 28 - Аппроксимация производной на пятой итерации при (3.2.7)

В пятом эксперименте возьмем:

, . (3.2.8)

В таблице 4.5 приведены вычисленные значения ошибок аппроксимации S₁ и S₂ на каждой итерации k подстройки оценок параметров a₁, a₂ и a₃ при начальных условиях, заданных выражениями (3.2.8).

Таблица 4.5 - Значения, полученные в процессе вычислений при (3.2.8)

k	1	2	3	4	5
a1	1.6	1.0437	1.1151	1.0994	1.1
a2	1.4	0.79246	0.89852	0.90056	0.90001
a3	1.5	0.97134	1.0057	0.99986	0.99994
S1	0.54911	0.19685	0.0321	0.0024278	8.7372e-005
S2	1.042	0.14768	0.023818	0.0018106	0.00013531

Ниже для наглядности на рисунках 29 - 32 представлены графики, аппроксимирующие экспериментальные данные и производную на некоторых итерациях при начальных условиях, заданных выражениями.

Рисунок 29 - Аппроксимация экспериментальных данных на первой итерации при (3.2.8)

Рисунок 30 - Аппроксимация производной на первой итерации при (3.2.8)



Рисунок 31 - Аппроксимация экспериментальных данных на третьей итерации при (3.2.8)

Рисунок 32 - Аппроксимация производной на третьей итерации при (3.2.8)

В шестом эксперименте возьмем:

, . (3.2.9)

В таблице 4.6 приведены вычисленные значения ошибок аппроксимации S₁ и S₂ на каждой итерации k подстройки оценок параметров a₁, a₂ и a₃ при начальных условиях, заданных выражениями (3.2.9).

Таблица 4.6 - Значения, полученные в процессе вычислений при (3.2.9)

k	1	2	3	4	5	6
a1	3.1	1.9887	0.71891	1.032	1.1013	1.1001
a2	2.9	1.2541	0.8359	0.89402	0.89891	0.90016
a3	3.0	0.60757	0.96629	0.93809	0.99868	0.99973
S1	1.3169	0.7879	0.78254	0.11494	0.0058278	0.00021634
S2	3.3638	1.0055	0.54827	0.14086	0.0047788	0.00056639

Ниже для наглядности на рисунках 33 - 36 представлены графики, аппроксимирующие экспериментальные данные и производную на некоторых итерациях при начальных условиях, заданных выражениями (3.2.9).

Рисунок 33 - Аппроксимация экспериментальных данных на первой итерации при (3.2.9)

Рисунок 34 - Аппроксимация производной на первой итерации при (3.2.9)



Рисунок 35 - Аппроксимация экспериментальных данных на третьей итерации при (3.2.9)

Рисунок 36 - Аппроксимация производной на третьей итерации при (3.2.9)

Приведённые графики позволяют наглядно видеть процесс аппроксимации

Экспериментальных данных и производной с помощью ОДУ (3.1.28) при применении МАЧ для подстройки неизвестных параметров данного уравнения. Также видно, что при увеличении числа итераций k аппроксимирующие кривые всё с большей точностью описывают экспериментальные данные и производную.

Подстройка неизвестных параметров дифференциального уравнения (3.1.28) была осуществлена при значениях параметра , и начальных приближениях 1.6, 2.1, 2.6, 3.1, 1.4, 1.9, 2.4, 2.9 и 1.5, 2.0, 2.5, 3.0. В приложении Б приведены вычисленные значения ошибок аппроксимации S₁ и S₂ на каждой итерации k подстройки оценок параметров a₁, a₂ и a₃.

При остальных значениях параметра результаты получились аналогичными. Таким образом, на основании полученных результатов можно заключить, что, во-первых, при значениях параметра алгоритм сходится за одинаковое количество итераций при одних и тех же начальных приближениях, т.е. скорость сходимости не зависит от значения параметра ; во-вторых, значения метрик S₁ и S₂ с увеличением k монотонно уменьшается; в-третьих, при уменьшении значения параметра , значение ошибки аппроксимации экспериментальных данных S₁ увеличивается, а значение ошибки аппроксимации производной S₂ уменьшается, причём данная закономерность наблюдается уже на первой итерации и сохраняется на всех последующих итерациях; в-четвёртых, количество итераций зависит от выбора начальных приближений неизвестных параметров и чем ближе они к истинным значениям, тем меньше итераций необходимо выполнить, чтобы достичь заданной точности аппроксимации.

На основании выше изложенного можно сказать, что модифицированный и базовый алгоритмы чувствительности обладают высокой скоростью сходимости, которая зависит от выбора начальных приближений искомых параметров. Применение данных алгоритмов позволяет достичь высокой точности аппроксимации всего за несколько итераций.

Данная глава посвящена разработке и исследованию итерационного МАЧ, в котором предложен новый критерий качества подстройки неизвестных параметров объектов управления. Было показано, что данный алгоритм является эффективным для оценки неизвестных параметров ОДУ таким образом, что его решение оказывается адекватной математической моделью исследуемого процесса, явления, объекта и т.д. Благодаря высокой скорости сходимости, всего за несколько итераций достигается желаемая точность аппроксимации экспериментальных данных. Модифицированный алгоритм является простым в смысле его реализации на ПК и надёжным в смысле высокой точности описания данных и производной, поэтому может быть с успехом использован в различных отраслях производства. С большим успехом алгоритм может быть использован на предприятиях, где необходимо управлять процессом и осуществлять его прогноз во времени. Описанный алгоритм может использоваться специалистами, занимающимися задачами оценивания порядка и неизвестных параметров дифференциального уравнения.

На основании проведённых исследований можно заключить, что МАЧ позволяет:

1) Формулировать и решать задачу аппроксимации как заданной функции, так и её производной.

2) Влиять на точность аппроксимации функции и производной.

3) За приемлемые интервалы времени находить неизвестные параметры.

Скорость сходимости МАЧ зависит от начального приближения неизвестных параметров, и она тем выше, чем ближе начальное приближение к истинным параметрам. Следовательно, немаловажное значение для эффективного применения алгоритма играет выбор начального приближения.

Заключение

Основные результаты настоящей диссертационной работы сводятся к следующему:

1. Дано общее представление ТЧ, а также ФЧ, которые играют одну из ключевых ролей в данной теории. Рассмотрены задачи и методы ТЧ.

2. Обсуждены некоторые вопросы, связанные с САЧ: причины создания и применение. Приведён ряд работ, в которых с успехом был применён САЧ. На основании обзора литературы выяснено, что за всё время существования этого алгоритма было предложено несколько его модификаций. Рассмотренные источники литературы позволяют заключить, что САЧ используется для широкого класса задач у нас в стране и за рубежом до настоящего момента.

3. Показано, что САЧ является эффективным методом оценивания неизвестных параметров ОДУ.

4. На основании САЧ предложена его модификация и для неё построена итерационная процедура. Отличие нового алгоритма заключается в том, что метрика, которая используется в нём, позволяет учитывать не только расстояние между экспериментальными данными и решением ОДУ, но и разность между производной, вычисленной по этим данным. И производной решения уравнения. Данный алгоритм позволяет влиять на точность аппроксимации как экспериментальных данных, так и производной.

5. МАЧ позволяет оценить неизвестные параметры дифференциального уравнения таким образом, что его решение и производная решения адекватно описывают экспериментальные данные и производную, вычисленную по этим данным, соответственно.

6. На примере показана хорошая сходимость и скорость сходимости полученного алгоритма.

7. САЧ является частным случаем его модификации, т.к. при модифицированный алгоритм превращается в стандартный.

Полученные в диссертации результаты можно применять при решении широкого круга задач идентификации динамических процессов. Алгоритм чувствительности и предложенная его модификация с методами статистической обработки данных позволит осуществить новые научные исследования в различных областях наук. Изложенные результаты представляют интерес для специалистов, занимающихся проблемами математического моделирования реальных объектов, процессов, явлений и т.д. и, прежде всего, для тех из них, кто в качестве математических моделей исследуемых или управляемых объектов использует различные классы дифференциальных уравнений.

Список источников

1 Быховский M.JI. Основы динамической точности электрических цепей. Издательство АН СССР, 1958. 213 с.

2 Быховский M.JI. Чувствительность динамических систем // Теория и методы математического моделирования: Труды 4 Всесоюзной конференции. Издательство «Наука», 1966. С. 56-58.

3 Гехер К. Теория чувствительности и допусков электронных цепей. М.: Сов. радио, 1973. - 245 с.

4 Кокотович П.В., Рутман P.C. Чувствительность систем автоматического управления // Автоматика и телемеханика. 1965. - Т. 26. - №4. - С. 85 -87.

5 Кокотович П.В. Метод точек чувствительности в исследовании и оптимизации линейных систем управления // Автоматика и телемеханика. - 1964. Т. 25.- №12.-С. 79-83.

6 Пагурек Б. Чувствительность оптимальных систем регулирования к изменениям параметров объекта // Чувствительность автоматических систем. Издательство «Наука», 1968. - С. 209 - 216.

7 Петров Б.Н., Крутько ПД. Применение теории чувствительности в задачах автоматического управления // Изв. АН СССР, Техническая кибернетика. -1970. №2. - С. 134 - 140.

8 Розенвассер E.H. Об исследовании чувствительности неавтономных колебательных систем по отношению к частоте возбуждения // Автоматика и телемеханика. -1980. №00. - С. 100 - 102.

9 Ciric V., Leeds J.V. Sensitivity Consideration of Multiple Input Compensator Design for Dynamic Optimization 11 Circuits and Theory: Proc. Of 6-th Allerton Conf. University of Illinois, Urbana, Illinois, 1968. - P. 123 - 125.

10 Ciric V, Leeds J.V. Design of Minimum Sensitivity Control Systems // Joint Automatic Control Conference. Boulder, Colorado, 1968. - P. 67 - 69.

11 Ciric V. Design of Minimum Sensitivity Control Systems: Ph. D. Thesis. Rice University, Houston, Texas, 1969. - 20 p.

12 Gustavsson I. Servey of application of identification in chemical and physical process // Identification and System Parameter Estimation: Proceedings of the 3-rd IFAC Symposium, 12-15 June 1973. - The Hague/Delft, The Netherlands, 1973. - p. 1. - p. 37 - 40.

13 Tomovic R. Sensitivity analysis of dynamic systems. Belgrade, 1963. - 314 p.

14 Yang R.J., Botkin M.E. Accuracy of the domain material derivative approach to shape design sensitivities // AIAA. 1987. - №25. - P. 1606-1610.

15 Козлов ЮМ, Юсупов P.M. Беспоисковые самонастраивающиеся системы. М.: Наука, 1969. - 211 с.

16 Боде Г. Теория цепей и проектирование усилителей с обратной связью. Издательство иностр. лит., 1948. 112 с.

17 Быховский M.JI. Чувствительность и динамическая точность систем управления // Известия АН СССР / Техническая кибернетика. 1964. - №6.-С. 38-43.

18 Кокотович П.В., Рутман P.C. Матрица чувствительности и ее моделирование // Автоматика и телемеханика. 1966. - Т. 27. - №6. - С. 93 - 97.

19 Ермаченко А.И, Юсупов P.M. Применение функций чувствительности в задачах синтеза линейных многосвязных систем управления // Изв. АН СССР / Техническая кибернетика. 1976. - №2. - С. 67 - 70.

20 Крылов В.И. Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы высшей математики. Минск: Издательство «Вышэйшая школа», 1972. -584 с

21 Фаддеев Д.К., Фаддеева В Н Вычислительные методы линейной алгебры. М. - Л.: ГФ-МЛ, 1963. - 754 с.

22 Соколов О.Н., Силин И.Н. Нахождение минимумов функционалов методом линеаризации / Объединенный институт ядерных исследований. - Препринт, Д - 810,1961. 57 с.

23 Рубан А.И. Некоторые вопросы математического описания динамических объектов: Кандидатская диссертация. Томск. 1969. - 234 с.

24 Гусев В.П., Рубан A.M. Идентификация линейных динамических объектов на основе алгоритма чувствительности // Системы управления. 1975. -320 с.

25 Рубан А.И. Применение алгоритма чувствительности при решении нелинейных краевых задач // Теория инвариантности и теория чувствительности в автоматическом управлении. Киев, 1971. - ч. III. - С. 491-501.

26 Рубан А.И. Сходимость двух алгоритмов метода линеаризации // Труды СФТИ. Томск, 1973. - вып. 64. - С. 56 - 71.

27 Рубан А.И. Применение алгоритма чувствительности при решении нелинейных краевых задач // Теория инвариантности и теория чувствительности в автоматическом управлении. Киев, 1971. - ч. III. - С. 491-501

28 Рубан А.И. Идентификация распределенных динамических объектов на основе алгоритма чувствительности // Изв. АН СССР / Техническая кибернетика. Киев, 1971. - №6. - С. 191 - 196.

29 Рубан А.И. Идентификация химических реакторов на основе использования метода линеаризации // Моделирование химических процессов и реакторов. 1972. - т. 4. - ч. I. - С. 92 - 106.

30 Рубан А.И. Идентификация дискретных динамических систем на основе использования метода линеаризации // Автоматика и вычислительная техника. -1972. №6. - С. 98 - 100.

31 Рубан А.И. Идентификация нелинейных динамических объектов на основе алгоритма чувствительности. - Томск: Издательство Томского университета, 1975. - 271 с.

32 Рубан А.И. Адаптивный алгоритм линеаризации при идентификации динамических объектов // Адаптивные и поисковые методы в задачах математического описания и оптимизации объектов управления. - 1974. - с. 10 -22.

33 Goodwin G.C. The application of curvature methods to parameter and state estimation // Proc. HE. 1969. - №6. -116 p.

34 Medler Ch.L., Hsu Chih-Chi. An algorithm for nonlinear parameter identification // IEEE Trans. Aut. Cont. 1969. - v. 14. - №6. - P. 69 - 73.

35 Юсупов P.M., Захарин Ф.М. Методы теории чувствительности в задачах идентификации динамических систем // Теория и применение адаптивных систем. - 1971. С. 145-158.

36 Городецкий В.И., Юсупов P.M. Метод последовательной оптимизации в задачах идентификации // Изв. АН СССР / Техническая кибернетика. -1972. - №3.-С. 72-79.

37 Городецкий В.И., Захарин Ф.М Розенвассер E.H. и др. Методы теории чувствительности в автоматическом управлении. Ленинград: Энергия, 1971. - 179 с.

38 Спиди К., Браун Р., Гудвин Дж. Теория управления. - М. Мир, 1973. - 201 с.

39 Klein V., Williams D.A. On some problems related to the identification of aircraft parameters // Identification and system Parameter Estimation: Proc. Of the 3rd IFAC Symposium, 12 15 June 1973. - p. 1. - P. 435 - 444

40 Юсупов P.M., Остов ЮЯ. Решение задачи наблюдения и идентификации возмущающих воздействий методом инверсной чувствительности // Вопросы кибернетики / Адаптивные системы. 1971. - С. 175 - 186.

41 Городецкий В.И, Юсупов P.M. Методы оптимизации // Изв. АН СССР / Техническая кибернетика, 1973. - №2. - С. 79 - 86.

42 Бударель Р., Дельмас Дж., АнриДж. и др. Применение алгоритма Гаусса - Ньютона к задаче оптимизации и идентификации // Управление в космосе.-М.: Наука, 1972.-Т. 1.-С. 135-154.

43 Крутько П.Д. Алгоритмическая процедура решения задачи аналитического конструирования оптимальных регуляторов // Автоматика и телемеханика. -1973. - №10.-С. 104-108.

44 Brown R.F., Goodwin G.C. Hybrid method of state and parameter estimation for use in gradient techniques 11 Electronics letters. December 1967. - №12. - P. 45-48.

45 Гавурин М.К., Фарфоровская Ю.Б. Об одном итеративном методе разыскания минимума суммы квадратов // Вычислительная математика и математика физики. 1966. - №6. - С. 1094-1097.

46 Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. - М.: Мир, 1968. - 320 с.

47 Baird С.A. Modified quasilization technique for the solution of boundary - value problems for ordinary differential equations 11 Optimization theory appl. -1969. vol. 3. - №4. - P. 78 - 80.

48 Paul R.A., Legge C.G. Direct - sensitivity method of solving boundary - value problems in optimal control studiea // Proceedings IEE. - 1969. - v. 116. - №2. - p. 273 - 280.

49 Агафонов Е.Д., Кирик Е.С. Об учёте начальных условий в задаче непараметрической идентификации нелинейных динамических процессов с использованием метода линеаризации // Идентификация систем и задачи управления: Труды III международной конференции, 28 - 30 января 2004. - М., 2004. - с. 845 - 856.

50 Szopa R. Sensitivity analysis of soldification with respect to grains shape // Computational methods in applied sciences and engineering: Europen Congress, 24 28 July 2004. - Poland, 2004. - P. 175 - 195.

51 Choi J.H., Won J. H, Yoon J.M. Boundary method for shape design sensitivity analysis in the optimization of three-dimentional elastostatics // Structural and multidisciplinary optimization: 6-th world congress, 30 may - 03 june 2005. - Brazil, 2005. - p. 44 - 55.

52 Rousselet B., Haug E J. Design sensitivity of shape variation // Optimization of distributed parameter structures. The Netherlands, 1981. - P. 1397-1442.

53 Choi K.K., Haug EJ. Shape design sensitivity analysis of elastic structures. Structural Mechanics. 1983. - P. 231 - 269.

54 Dems K, Mroz Z. Variational approach by means of adjoint systems to structural optimization and sensitivity analysis // Solids and structures. 1984. - №20. - P. 527-552.

55 Yang R.J., Botkin M.E. Accuracy of the domain material derivative approach to shape design sensitivities // AIAA. 1987. - №25. - P. 1606-1610.

56 Choi K.K., SeongH.G. Domain method for shape design sensitivity analysis of built-up structures // Computer methods in applied mechanics and engineering. -1986. - №4.-P. 1-15.

57 Rodenas J.J., Fuenmayor F.J. Tarancon J.E. A numerical methodology to access the quality of the design velocity field computation methods in shape sensitivity analysis // Numerical methods in engineering. 2004. - №59. - P. 1725-1747.

58 Park C.W., YooY.M., Kwon K.H. Shape design sensitivity analysis of an axisymmetric turbine disk using the boundary element method // Computers and structures. 1989. - №33. - P. 7 - 16.

59 Matausek M.R., Milovanovic M.D. Identification by preudosensitivity functions and quasilinearization // Identification and System Parameter Estimation: Proceedings of the 3-rd IFAC Symposium, 12 - 15 june 1973. - the Hague/Delft, The Netherlands, 1973. - p. 2. 847 - 850.

60 Пономарев К.К. Составление и решение дифференциальных уравнений инженерно-технических задач: Пособие для физ.-матем. пед. ин-тов. М.: Издательство «Учпедгиз», 1962. - 184 с.

61 Элъсголъц Л.Э. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учебник для вузов / Л.Э. Эльсгольц. СПб.: Лань, 2002. - 218 с. 114. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Издательство «Мир», 1975. - 683 с.

62 Арбачаускене Н., Балтрунас И., Немура А. и др. Идентификация динамических систем. Вильнюс: Издательство «Минтис», 1974. - 312 с.

63 Живоглядов В.П., Каипов В.Х. О применении метода стохастических аппроксимаций в проблеме идентификации // Автоматика и телемеханика. 1966. - №10.-С. 67-70.

64 Райбман Н.С. Что такое идентификация? М.: Наука, 1971. - 210 с.

65 Fairman F.W., Shen D.W.C. Parameter identification for a class of distributed systems I I Int. J. Control. 1970. - vol. 11. - No. 6. - P. 78 - 80.

66 Mehra R.K., Tyler J.S. Case studies in aircraft parameter identification //Identification and System Parameter Estimation: Proc. of the 3-rd IFAC Symp., 1973. The Netherlands, 1973. - p. 1. - P. 201 - 213.

67 Математический анализ в вопросах и задачах: Учебное пособие для вузов / В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, Г.Н. Медведев, A.A. Шишкину Под ред. В.Ф. Бутузова. 3-е изд., испр. - М.: Физико-математическая литература, 2000. -479 с.

68 Демин Н.С., Решетникова Г.Н., Семенов М.Е. Решение задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем методами Рунге-Кутты и Эйлера. Учебное пособие. Томск: Издательство Томского университета, 1999. - 27 с.

69 Томович Р., Вукобратович М. Общая теория чувствительности. М: Издательство «Советское радио», 1972. - 240 с.

70 Решетникова Г.Н., Хлебников А.А, Арцер П.А. и др. MathCAD PLUS 6.0 PRO: Учебное пособие / Под редакцией к.т.н., доцента Г.Н. Решетниковой. Томск: Изд-во ТГУ, 2000. - 140 с.

71 Елькин Б.И., Потапов В.И., Шафеева О.П. Дипломное проектирование: методические указания для студентов, обучающихся по специальности 230101 и направлению подготовки бакалавров 230100. - Омск: Изд-во ОмГТУ, 2007. - 64 с.

72 Николаев А.Б., Александриди Т.М., Милов Л.Т. Методические основы организации дипломного проектирования по специальности 220200 «Автоматизированные системы обработки информации и управления»: учеб. пособие. - М.: МАДИ(ТУ), 1999. - 75 с.

73 ГОСТ 2.105. ЕСКД. Общие требования к текстовым документам. - М.: ИПК Изд-во стандартов, 1996. - 38 с.

74 РД 50-34.698-90. Автоматизированные системы. Требования к содержанию документов. - М.: Изд-во стандартов, 1991. - 144 с.

75 ГОСТ 19.701-90. ЕСПД. Схемы алгоритмов, программ, данных и систем. Условные обозначения и правила выполнения. - М.: Изд-во стандартов, 1990. - 14 с.

76 ГОСТ 19.701-90. ЕСПД. Схемы алгоритмов, программ, данных и систем. - М.: Изд-во стандартов, 1990 - 8 с.

77 Цыганенко В.Н. Технология программирования: конспект лекций. - Омск: Изд-во ОмГТУ, 2005. - 32 с.

78 ГОСТ 34.201-89. Информационная технология. Автоматизированные системы. Основные положения: сб. ГОСТов. - М.: ИПК Изд-во стандартов, 2002. - 8 с.

Размещено на Allbest.ru