Методы и алгоритмы оценки неизвестных параметров динамических систем с применением анализа чувствительности

Размещено на http://www.allbest.ru/

Методы и алгоритмы оценки неизвестных параметров динамических систем с применением анализа чувствительности

Введение

Идентификация объектов в настоящее время является обязательным элементом и наиболее сложной стадией выполнения ряда прикладных проектов. Оперативное и адекватное решение ее проблем создает необходимые условия эффективного практического использования математических методов и сложных наукоемких технологий. Разработка методов и алгоритмов идентификации приобретает в настоящее время исключительно важное значение для фундаментальной науки. Развитие теории идентификации в классическом направлении сейчас также актуально и практически значимо, как и 50-е годы XX века, когда она зарождалась под влиянием насущных проблем практики. Постоянная необходимость в оптимизации процесса решения практических проблем за счет рациональной идентификации стимулирует прогресс теории в классическом направлении. В связи с этим по-прежнему актуальны для фундаментальной науки такие области исследования, как математические методы параметрической и непараметрической идентификаций, математическая теория структурной идентификации, математическое моделирование систем, математические проблемы управления с оперативным идентификатором, методологии идентификации при известной адекватной математической постановке практической проблемы.

Для решения многих классов задач управления и идентификации используется широко известный среди специалистов по автоматическому управлению и специалистов, занимающихся проблемами идентификации исследуемых процессов, явлений, объектов и т.п., алгоритм чувствительности (будем называть его базовым или стандартным). На его основе можно с единых позиций подходить к вопросам идентификации различных классов динамических объектов (непрерывных, дискретных, сосредоточенных, распределенных и др.), а также решать краевые задачи алгоритмического конструирования оптимальных регуляторов.

В стандартном алгоритме чувствительности (САЧ) в критерии качества подстройки оценок неизвестных параметров обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) используется метрика, учитывающая расстояние между экспериментальными данными и решением этого уравнения, но не учитывающая расстояние между производной, вычисленной по экспериментальным данным, и производной решения уравнения. Настоящая работа направлена на устранение данного пробела, а именно на создание нового алгоритма, который будем называть модифицированным алгоритмом чувствительности (МАЧ). Это позволит применять данный алгоритм в тех задачах, где необходимо описать как экспериментальные данные, так и производную с наименьшей суммарной ошибкой аппроксимации. Кроме этого, плохая обусловленность матриц, возникающих при подстройке неизвестных параметров обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью алгоритма чувствительности, привела к идее о модификации данного алгоритма с целью улучшения обусловленности матриц.

Цель работы: целью работы является синтез, исследование, программная реализация и применение МАЧ подстройки неизвестных параметров ОДУ, являющегося обобщением САЧ.

Для решения поставленных научных задач использовались элементы математического анализа, методы решения ОДУ, численные методы, методы функционального анализа и методы системного программирования.

В первой главе на основании обзора отечественной и зарубежной литературы рассмотрены вопросы, связанные с методами и задачами теории чувствительности (ТЧ), в основе которых лежит использование функций чувствительности (ФЧ), по существу представляющих собой градиенты показателей качества системы по некоторым совокупностям параметров, характеризующих саму систему и внешнюю среду. Рассмотрены вопросы, связанные с созданием и развитием ТЧ, которая сформировалась как самостоятельное научное направление в шестидесятых годах прошлого столетия в связи с бурным развитием теории и практики адаптивных (самонастраивающихся) систем управления (СУ), создаваемых для эффективной работы при наличии параметрических возмущающих воздействий. Обсуждены вопросы, связанные с созданием и применением САЧ.

В ТЧ в 70-х годах прошлого столетия возникла необходимость в создании алгоритма, требующего умеренного количества вычислений (например, как в градиентном алгоритме) и обладающего высокой скоростью сходимости. Такой алгоритм для минимизации определенного класса функционалов был предложен в 1961 году математиками С.Н. Соколовым и И.Н. Силиным и был назван алгоритмом линеаризации. По причине динамичности объекта существенным элементом алгоритма является получение и решение уравнений чувствительности. Из-за этой специфичности алгоритм линеаризации стали называть алгоритмом чувствительности. Отмечено, что в САЧ подстройка параметров осуществляется на основе той же информации, что и в градиентных алгоритмах, но перемещения по каждой координате совершаются оптимальным (в смысле выбранного критерия квадратичного вида) образом, т.е. среди всех градиентных методов данный алгоритм является наилучшим. Аналогичная ситуация возникает в методах наискорейшего спуска и квазилинеаризации, в которых используется одинаковая информация, но гораздо большего объема, чем в предыдущем случае. В конце главы приведен ряд работ, в которых в основном показана принципиальная возможность применения САЧ для решения тех или иных задач параметрической идентификации.

Во второй главе представлен метод аналитического описания экспериментальных данных, основанный на использовании в качестве аппроксимирующих операторов ОДУ и хорошо известного среди специалистов, занимающихся проблемами идентификации и оценивания параметров математических моделей процессов и объектов, САЧ. Изложена содержательная сущность и математическая постановка задачи аппроксимации экспериментальных данных и выбор класса ОДУ для ее описания. Рассмотрен САЧ, а именно: поставлена задача идентификации математической модели объекта и описан сам алгоритм, который является итерационным методом расчета динамических параметров нелинейных (в том числе и линейных) математических моделей непрерывных и дискретных, сосредоточенных и распределенных объектов. Сделан акцент на том, что САЧ основан на использовании хорошо известного в численном анализе метода линеаризации и так называемых ФЧ по неизвестным параметрам ОДУ. Изложены подходы к заданию начальных условий для решения ОДУ и начальных приближений неизвестных параметров, приведена блок-схема, позволяющая наглядно представить итерационную процедуру САЧ.

В третьей главе предложена модификация САЧ. Одно из направлений в развитии ТЧ - усовершенствование хорошо известного в данной теории алгоритма чувствительности. Причина неудовлетворенности САЧ заключается в том, что в данном алгоритме в критерии качества подстройки неизвестных параметров ОДУ используется метрика, не учитывающая расстояние между производной, вычисленной по экспериментальным данным, и производной решения данного уравнения с найденными оценками. В МАЧ предложен новый критерий качества подстройки искомых параметров, который позволяет убрать данный недостаток. Здесь применены рассуждения второй главы относительно получения САЧ, в результате чего получен модифицированный алгоритм.

Четвёртая глава посвящена разработке и исследованию итерационного МАЧ, в котором предложен новый критерий качества подстройки неизвестных параметров объектов управления. Было показано, что данный алгоритм является эффективным для оценки неизвестных параметров ОДУ таким образом, что его решение оказывается адекватной математической моделью исследуемого процесса, явления, объекта и т.д. Благодаря высокой скорости сходимости, всего за несколько итераций достигается желаемая точность аппроксимации экспериментальных данных. Модифицированный алгоритм является простым в смысле его реализации на ПК и надёжным в смысле высокой точности описания данных и производной, поэтому может быть с успехом использован в различных отраслях производства. С большим успехом алгоритм может быть использован на предприятиях, где необходимо управлять процессом и осуществлять его прогноз во времени. Описанный алгоритм может использоваться специалистами, занимающимися задачами оценивания порядка и неизвестных параметров дифференциального уравнения.

аппроксимирующий итерационный неизвестный чувствительность

1. Обзор методов теории чувствительности

Под чувствительностью систем управления (СУ) принято понимать зависимость их свойств от изменения параметров. Совокупность принципов и методов, связанных с исследованием чувствительности, формирует теорию чувствительности (ТЧ) [1-14].

В основе разнообразных методов ТЧ лежит использование функций чувствительности (ФЧ), по существу представляющих собой градиенты показателей качества системы по некоторым совокупностям параметров, характеризующих саму систему и внешнюю среду. Поэтому в ТЧ важное место занимают различные способы математического и экспериментального нахождения ФЧ для типовых классов систем.

Имея ФЧ, можно решать ряд задач анализа систем регулирования, подверженных влиянию параметрических возмущений. Кроме того, использование ФЧ делает возможной постановку некоторых задач синтеза СУ, когда критерий оптимальности формулируется с учетом требований к нечувствительности системы. Одновременно использование информации о ФЧ является теоретической основой построения различных беспоисковых самонастраивающихся систем [15].

1.1 Теория чувствительности

1.1.1 Создание и развитие теории чувствительности

Впервые проблема чувствительности систем автоматического управления (САУ) была сформулирована в работе Г. Боде [16] при изложении свойств линейных систем с обратной связью. Более детально вопросы чувствительности были рассмотрены впоследствии в связи с исследованиями точности счетно-решающих устройств. Формирование ТЧ как самостоятельного научного направления в технической кибернетике относится к шестидесятым годам прошлого столетия в связи с бурным развитием теории и практики адаптивных (самонастраивающихся) СУ, создаваемых для эффективной работы при наличии параметрических возмущающих воздействий.

К началу 1972 года вопросам чувствительности были посвящены лишь две монографии [13, 17]. Они сыграли в своё время важную роль в пропаганде ТЧ как самостоятельного научного направления. ТЧ становится самостоятельным и достаточно чётко очерченным разделом технической кибернетики, имеющим в то же время тесные органические взаимосвязи с многочисленными смежными дисциплинами. ТЧ берут на вооружение специалисты в области надежности, контроля, диагностики и испытаний объектов и СУ. Это является следствием того, что центр тяжести исследований автоматических систем в современной технической кибернетике постепенно переносится из пространства «входные - выходные сигналы» в более широкое пространство, включающее в себя наряду с характеристиками входных и выходных сигналов характеристики оператора системы. Необходимость изучения свойств оператора и его влияния на качество работы системы вызывается постоянным усложнением объектов автоматизации и непрерывным повышением требований к точностным и надежностным характеристикам системы.

В последующие годы проблема чувствительности в той или иной постановке затрагивалась в теории ошибок (погрешностей), в вычислительной математике и в теории счетно-решающих устройств, в теории стрельбы и баллистике снарядов и ракет, теории электрических и электронных цепей, в теории возмущений (например в классической механике) и т.д.

1.1.2 Задачи и методы теории чувствительности

ТЧ САУ были посвящены три международных симпозиума (1964, 1968 - в Югославии, 1979 - в Италии), 1-й и 2-й Ленинградские симпозиумы (1971, 1979 гг.) и Всесоюзная школа-семинар (1975 г.). На 4-м и 5-м Всесоюзных совещаниях в Киеве (1971 и 1976 гг.) кроме вопросов теории инвариантности широко обсуждались проблемы ТЧ. Постепенно методы ТЧ становятся универсальным аппаратом исследования СУ. Это привело к резкому росту числа публикаций по применению методов ТЧ к системам различной природы (техническим, биологическим, социально-экономическим и т.п.). В России опубликовано несколько сот работ такой направленности. Проблеме чувствительности уделяется большое внимание на страницах как зарубежной, так и отечественной периодической литературы.

Подробный обзор работ, относящихся к проблеме чувствительности, приведён в [1, 2, 4-11, 13]. Однако с того времени появилось значительное количество публикаций [3, 8, 12, 14], посвящённых дальнейшему развитию ТЧ. Расширился круг теоретических и прикладных задач, решаемых с помощью методов ТЧ. В настоящее время функции и коэффициенты чувствительности используются для идентификации, контроля, испытаний, распределения допусков; анализа точности СУ и радиоэлектронной аппаратуры с учётом разброса параметров, анализа устойчивости, синтеза параметрически инвариантных и малочувствительных СУ; для решения задач оптимального управления, адаптивного управления, идентификации объектов, испытания и настройки СУ и радиоэлектронной аппаратуры, распределения допусков на параметры элементов систем и т.д.

Анализ указанных задач показывает, что их обязательными элементами являются ФЧ к изменению параметров системы и дополнительное движение [18] (задачи анализа точности и устойчивости). Исходным соотношением при малых изменениях параметров является следующее представление дополнительного движения :

, (1.1.1)

где - матрица чувствительности, - вектор параметрических возмущений, вызвавших , S - независимая переменная (время, частота и т.д.). Причем, в одних задачах при заданных ФЧ ищется дополнительное движение или изменение параметров, в других - оценка дополнительного движения сочетается с нахождением изменения параметров (задачи адаптивного управления, алгоритмы численной оптимизации). При таком рассмотрении большинство задач, решаемых с привлечением ФЧ, можно объединить в следующие три группы [19]:

1) Прямые задачи ТЧ (по заданным ФЧ и изменениям параметров оценивается дополнительное движение).

2) Обратные задачи ТЧ (охватывают задачи, процесс решения которых включает элементы прямых и обратных задач).

3) Смешанные задачи ТЧ (охватывают задачи, процесс решения которых включает элементы прямых и обратных задач).

В соответствии с рассмотренными задачами ТЧ методы данной теории можно разбить на следующие группы:

1) Анализ чувствительности.

2) Прямые и обратные задачи ТЧ.

3) Синтез систем с учетом требований чувствительности.

4) Чувствительность оптимальных систем.

5) Применение ТЧ в других задачах автоматического управления.

Как видно, выделяют три группы задач и пять методов ТЧ. Одним из методов ТЧ является алгоритм параметрической идентификации, описанный в следующем разделе.

1.2 Алгоритм чувствительности

1.2.1 Создание алгоритма чувствительности

Для решения экстремальной задачи может быть использован любой метод нелинейного программирования. Наиболее распространенными среди них являются градиентные алгоритмы. Они универсальны, но имеют невысокую скорость сходимости, которая при прочих равных условиях падает с ростом числа подстраиваемых параметров [20]. Повышение скорости сходимости достигается в методах второго порядка [21], но для задач идентификации они требуют громадного объема вычислений, обусловленного расчетом матрицы вторых производных от функционала, который необходимо минимизировать, по неизвестным параметрам, входящим в этот функционал. Вдали от экстремума их поведение неудовлетворительно. Причин много и одна из них заключается в плохой обусловленности матрицы вторых производных от функционала по неизвестным параметрам. Необходимо было разработать алгоритм, требующий умеренного количества вычислений (например, как в градиентном алгоритме) и обладающий высокой скоростью сходимости. Такой алгоритм минимизации определенного класса функционалов был предложен в 1961 году С.Н. Соколовым и И.Н. Силиным [22]. Он был назван алгоритмом линеаризации.

Первые результаты по применению данного алгоритма к решению задач идентификации динамических объектов нашли отражение в диссертационной работе Рубана А.И. [23]. В силу динамичности объекта существенным элементом алгоритма является получение и решение уравнений чувствительности. Из-за этой специфичности алгоритм линеаризации стали называть алгоритмом чувствительности [7, 23-35]. Большое влияние на распространение этого алгоритма при решении широкого спектра задач теории управления оказала работа [7] Б.Н. Петрова и П.Д. Крутько. В настоящее время насчитывается очень много работ такого плана.

САЧ применяется у нас в стране и за рубежом, начиная с 1969 года. Оказалось, что на основе САЧ можно с единых позиций подходить к вопросам идентификации различных классов динамических объектов (непрерывных, дискретных, сосредоточенных, распределенных и др.) при неполной наблюдаемости их переменных, а также решать нелинейные многоточечные краевые задачи и задачи алгоритмического конструирования оптимальных регуляторов.

1.2.2 Применение алгоритма чувствительности

С 1969 года САЧ стал использоваться специалистами по автоматическому управлению. С этого момента началось интенсивное использование его для решения многих классов задач управления и идентификации. Этому способствовало развитие ТЧ, теории инвариантности, теории синтеза управляющих устройств, теории идентификации и др., а также появление мощных вычислительных средств. САЧ хорошо развит применительно к детерминированным моделям, причем большая часть работ посвящена подстройке параметров дифференциальных уравнений. К ним относятся работы Дж. Гудвина [33], Ч.Л. Медлера, Щу Чай-Ши [34], Б.Н. Петрова, П. Крутько [7], Р.М. Юсупова, Ф.М. Захарина [35], В.И. Городецкого, Ф.М. Захарина, Е.Н. Розенвассера, Р.М. Юсупова [36], В.И. Городецкого, Р.М. Юсупова [37], К. Спиди, Р. Брауна, Дж. Гудвина [38], В. Клейна, Д. Вильямса [39], Р.М. Юсупова, Ю.Я. Остова [40] и А.И. Рубана [23, 25-32]. Приведем основные особенности решаемых в них, а также других источниках задач идентификации с помощью САЧ.

Дж. Гудвин [129], Ч.Л. Медлер и Щу Чай-Ши [34] подстраивают неизвестные параметры ОДУ, располагая непрерывным выходом в интервале времени [].

Б.Н. Петров и П.Д. Крутько [7] решают отдельно задачи идентификации неизвестных параметров ОДУ, возмущающих воздействий и начальных условий. Они указывают на возможности идентификации нестационарных параметров и приводят классы задач теории управления, которые могут решаться на основе САЧ.

Р.М. Юсупов и Ф.М. Захарин [35] рассмотрели условия идентифицируемости неизвестных параметров ОДУ, возмущающих воздействий, начальных условий и вопросы улучшения корректности обратных задач, а также получения решения в вырожденных случаях.

При управлении объектами часто используется метод последовательной оптимизации. В.И. Городецкий и Р.М. Юсупов [41] показали, что его можно применять при решении задач идентификации постоянных и переменных параметров. Одной из реализаций метода последовательных приближений является САЧ. На основе его была решена задача идентификации плотности атмосферы по результатам траекторных изменений вертикальных параметров движения центра масс космического аппарата, входящего в атмосферу Земли со второй космической скоростью по траектории с однократным отражением.

В работах Р.М. Юсупова, Ю.Я. Остова [40], А.И. Рубана [23, 25-32] и в монографии К. Спиди, Р. Брауна и Дж. Гудвина [38] ставится и решается на основе САЧ задача идентификации одновременно параметров ОДУ, параметров возмущающих воздействий и начальных условий.

В работе А.И. Рубана [23] САЧ рассмотрен применительно к идентификации всех параметров линейных одномерных объектов, и решена численная задача подстройки начальных условий и параметров ОДУ, описывающее движение нелинейного маятника. САЧ был обобщен на случаи, когда неизвестные параметры входят в модель измерительного устройства и когда от параметров зависят начальные условия и т.п. Были рассмотрены три варианта подстройки параметров:

1) Начальные условия известны и модель имеет структуру, совпадающую с объектом.

2) Начальные условия неизвестны, а модель имеет структуру, совпадающую с объектом.

3) Начальные условия известны и модель имеет структуру, не совпадающую с объектом.

Р. Бударель, Дж. Дельмас, Дж. Анри и Л. Лелети [42] на основе САЧ (называемом ими алгоритмом Гаусса-Ньютона) произвели расчет параметров двух систем линейных ОДУ второго порядка при числе экспериментов, равном 500, и наличии аддитивных помех. В первом примере 3 параметра подстраиваются за 16 итераций, во втором - 6 параметров за 3 итерации. Было предложено для улучшения сходимости производить предварительное сглаживание переходного процесса [42].

Вопросы идентификации линейных одномерных объектов на основе САЧ, выбора начального приближения параметров и определения порядка ОДУ рассмотрены в работе В.П. Гусева и А.И. Рубана [24].

Р.М. Юсуповым и Ю.Я. Остовым [40] решена задача идентификации входных воздействий в линейных системах с помощью САЧ.

Вопросы конструирования оптимальных регуляторов на основе САЧ рассматривались в работах Б.Н. Петрова и П.Д. Крутько [7] и П.Д. Крутько [43]. В первой из них решена задача управления движением линейного объекта по заданной траектории при неполной степени наблюдаемости фазовых координат. Во второй - приведено решение простейшей (классической) задачи конструирования регулятора для линейного объекта при скалярном управлении, квадратичной функции качества, а также неполной наблюдаемости. Перечисленные задачи относятся к классу нерешенных в теории аналитического конструирования регуляторов.

В работах Р. Брауна, Дж. Гудвина [44] и К. Спиди, Р. Брауна и Дж. Гудвина [38] изложен вариант применения сопряженных уравнений для расчета составляющих градиента от функции качества по параметрам ОДУ. Для расчета же составляющих градиента по начальным условиям эту процедуру применить нельзя, и в этом случае необходимо вновь обращаться к САЧ.

В работе В.И. Городецкого, Ф.М. Захарина, Е.Н. Розенвассера и Р.М. Юсупова [36] описан САЧ и проведен его анализ. С помощью него решена задача подстройки параметров нелинейных ОДУ при полностью известной линейной модели измерительного устройства и непрерывном времени наблюдения.

При рассмотрении обратных задач ТЧ псевдообращение матриц в САЧ было впервые использовано В.И. Городецким, Ф.М. Захариным, Е.Н. Розенвассером и Р.М. Юсуповым [36].

Доказательство сходимости САЧ при минимизации суммы квадратов невязок и оценка скорости сходимости были даны М.К. Гавуриным и Ю.Б. Фарфоровской [45].

Во всех указанных выше работах показана в основном принципиальная возможность применения САЧ для решения тех или иных задач параметрической идентификации. Иллюстрирующие примеры демонстрируют высокую скорость сходимости (от 2 до 10 итераций). Кроме того, в книге К. Спиди, Р. Брауна и Дж. Гудвина [38] дано общее сравнение с алгоритмом наискорейшего спуска, сопряженных градиентов и Ньютона; выяснено влияние аддитивного шума малой интенсивности на точность отслеживания. САЧ имеет ту же сложность программирования, что и алгоритмы наискорейшего спуска и сопряженных градиентов, но он значительно проще алгоритма Ньютона [21, 31]. В то же время САЧ имеет такую же скорость сходимости, как и алгоритм Ньютона, и она намного выше скорости сходимости первых двух алгоритмов. Учитывая также то, что САЧ имеет по сравнению с алгоритмом Ньютона более широкую область сходимости, А.И. Рубан в своей работе [23] приходит к выводу, что САЧ выгодно отличается от остальных алгоритмов.

За рубежом в 60-х годах ХХ века широкое распространение получил алгоритм квазилинеаризации, разработанный Р. Беллманом и Р. Калабой [46]. САЧ близок по структуре к алгоритму квазилинеаризации: оба имеют высокую скорость сходимости и просто реализуемы на ЭВМ. Однако алгоритм квазилинеаризации уступает в вычислительном отношении САЧ. Улучшая вычислительную схему алгоритма квазилинеаризации, зарубежные исследователи неизбежно приходят фактически к САЧ и называют его модифицированным алгоритмом квазилинеаризации. Первые работы в этом направлении за рубежом были сделаны К. Бэирдом [47], Р. Паулем и К. Леге [48] при решении двухточечных краевых задач, а также Ч. Медлером, Щу Чай-Ши [34] и Дж. Гудвиным [33] при решении задач параметрической идентификации.

Указанные выше работы представляют результаты, полученные ещё в прошлом столетии. Ниже приведены работы, представляющие более поздние результаты применения САЧ к параметрической идентификации.

На III Международной конференции в г. Москве 2004 г., посвященной проблемам идентификации систем и задачам управления, Е.Д. Агафоновым и Е.С. Кириком в работе [49] решена задача параметрической идентификации нелинейных динамических процессов с использованием САЧ. В работе описан алгоритм решения задачи для процессов с одним входом и одним выходом в случае однократного и многократных переходов между локальными линейными моделями. Результаты работы САЧ иллюстрируются на примере идентификации процесса нагрева галогенной инфракрасной лампы.

На Европейском конгрессе по вычислительным методам в прикладных науках, проведенном в 2004 г. В Польше, автором R. Szopa в его работе [50] рассмотрен вопрос, связанный с изменением формы зерна в процессе его отвердевания. Была построена математическая модель теплового процесса, происходящего в зерне. Полученная модель представляет собой ОДУ, для оценки неизвестных параметров которого был использован САЧ. В конце работы было сделано заключение, в котором говориться о том, что САЧ весьма точен и эффективен. Автор рекомендует применять данный алгоритм для оценки неизвестных параметров ОДУ, решение которых описывают всевозможные температурные процессы в окружающей среде.

На VI Всемирном конгрессе по структурной оптимизации, проведенном в 2005 г. В Бразилии, J.H. Choi, J.H. Won и J.M. Yoon в своей работе [51], в которой были рассмотрены вопросы, связанные с эмиссионной микроскопией, в полученной модели использовали САЧ для параметрической идентификации.

1.2.3 Некоторые модификации алгоритма чувствительности

Из всех изученных источников литературы удалось выяснить, что до настоящего момента осуществлялось всего лишь несколько модификаций САЧ. В одном из них [59] идея видоизменения алгоритма чувствительности при полной наблюдаемости линейных систем была высказана М.Р. Матаучеком и М.Д. Миловановичем. При применении САЧ используются методы, основанные на интегрировании дифференциального уравнения модели. А.И. Рубан [32] под модификацией алгоритма подразумевает два способа задания начального приближения неизвестных параметров дифференциального уравнения. Им также [26] были рассмотрены другие две важные для практического использования модификации САЧ. В первой из них псевдообратная матрица вычисляется на первой итерации и затем не меняется, во второй - уравнения чувствительности решаются только на первой итерации. Затем эта информация используется при совершении последующих шагов. Естественно, что скорость сходимости при этом падает, и вторая модификация может даже не обеспечивать сходимости.

Основными задачами, рассматриваемыми в данной теории, являются анализ влияния малых изменений конструктивных параметров и внешних условий работы на динамику системы, а также синтез систем, малочувствительных к изменениям этих факторов. Таким образом, если в классической постановке задач регулирования основными требованиями является устойчивость и качество регулирования системы, обладающие еще одним важным свойством - малым реагированием на неизбежные флуктуации конструктивных параметров и внешней обстановки функционирования системы. Аппарат ТЧ является эффективным средством анализа и синтеза САУ и теоретической основой построения новых классов оптимальных и самонастраивающихся систем.

САЧ был создан специально для минимизации определенного класса функционалов в 1961 году. С 1969 года САЧ начал использоваться для решения многих классов задач управления и идентификации. Многими авторами говорится об эффективности применения данного алгоритма к идентификации различных классов объектов, хорошей сходимости и помехоустойчивости. Применению данного алгоритма посвящено множество как ранних, так и самых последних публикаций зарубежных и отечественных авторов.

В рассмотренных работах САЧ был применен к описанию функций. В целом ряде случаев необходимо иметь аппроксимации не только функции, но и её производной. В настоящей диссертационной работе разрабатывается алгоритм, позволяющий получать такие аппроксимации.

2. Решение задачи идентификации на основе алгоритма чувствительности

Будем рассматривать случай, когда из предварительного анализа исследуемого процесса удается составить его модель в виде системы ОДУ с точностью до параметров, которые необходимо определить на основе наблюдений некоторых переменных процесса в дискретных точках пространственной и временной координат.

Существующие методы решения этой задачи идентификации [12] (под идентификацией мы будем понимать процесс построения адекватных математических моделей исследуемых объектов) требуют, чтобы были измеряемы все переменные, входящие в уравнения, причем расстояние между дискретами должно быть таким, чтобы можно было с достаточной степенью точности вычислять соответствующие производные и интегралы. Кроме того, широко известный метод - метод модулирующих функций [60], применим лишь к дифференциальным уравнениям, в которые искомые параметры и производные от переменных входят линейно.

В данной работе рассмотрен метод решения задачи идентификации, не требующий обязательного выполнения указанных выше условий, т.е. при неполной наблюдаемости переменных линейного и нелинейного объекта. Под неполной наблюдаемостью переменных понимается то, что экспериментальные данные получены в дискретные моменты времени. Данный метод основан на использовании в качестве аппроксимирующих операторов ОДУ и хорошо известный среди специалистов, занимающихся проблемами идентификации и оценивания параметров математических моделей процессов и объектов, САЧ, сущность которого будет рассмотрена далее.

2.1 Содержательная сущность и математическая постановка задачи идентификации

Содержательная сущность задачи аппроксимации экспериментальных данных заключается, как известно [20], в том, чтобы, используя ту или иную вещественную функцию одной вещественной переменной, описать зависимость одной переменной от другой и сделать это таким образом, чтобы точность полученного описания удовлетворяла предъявляемым к ней требованиям.

Анализируя данную задачу с математической точки зрения, нетрудно видеть, что она является существенно неопределенной, прежде всего потому, что в настоящее время известно весьма значительное множество вещественных функций одной вещественной переменной, используя которые можно добиться желаемой точности математического описания обсуждаемой нами зависимости. В частности, вполне успешно это можно сделать, если при решении рассматриваемой задачи воспользоваться алгебраическими, тригонометрическими, экспоненциальными, логарифмическими и т.п. полиномами; дробно-рациональными функциями одной вещественной переменной [20] или решениями дифференциальных уравнений [61]. Ещё одной причиной существенной неопределенности данной задачи является то, что для количественной оценки точности математического описания экспериментальных данных можно воспользоваться многими, как уже известными, так и вновь предложенными количественными характеристиками погрешности данного описания. Одна их таких характеристик будет рассмотрена далее.

Как вытекает из изложенного в предыдущем абзаце, для получения математически корректной постановки рассматриваемой задачи, необходимо, во-первых, выбрать класс функций, заданных с точностью до некоторого набора параметров, изменяя которые можно влиять на точность получаемой аппроксимации экспериментальных данных. Во-вторых, задать какую-либо конкретную количественную характеристику погрешности данного описания. Учитывая отмеченные причины недоопределенности рассматриваемой задачи и задавшись целью устранить данные причины, чтобы в итоге получить корректно поставленную математическую задачу, сформируем задачу количественного описания экспериментальных данных, полученных в результате проведенных нами измерений, базируясь на следующих трех положениях.

Во-первых, будем считать, что зависимость одной переменной y от другой переменной t может быть достаточно точно описана с помощью функции:

(2.1.1)

являющейся решением ОДУ n-го порядка вида:

(2.1.2)

где n - некоторое натуральное конечное число, - вектор неизвестных параметров уравнения, - некоторая заданная функция. Другими словами, будем считать, что, выбирая должным образом порядок n и подбирая значения параметров , можно получить единственное ОДУ вида (2.1.2), решение которого, с удовлетворяющей наши потребности точностью, описывает зависимость переменной y от переменной t. Во-вторых, будем предполагать, что у нас имеется некоторое конечное число N пар измерений вида:

(2.1.3)

где - i-ое значение независимой переменной, а - измеренное значение, удовлетворяющее равенству:

(2.1.4)

Здесь - истинное, неизвестное среднее значение переменной, а - неизвестное значение ошибки измерения истинной переменной, являющееся одним из бесконечного множества значений случайной величины , среднее значение и дисперсия которой удовлетворяют условиям:

а) и b) (2.1.5)

где - плотность распределения вероятностей случайной величины , . Кроме того, будем считать, что при случайные величины и являются стохастически независимыми и, соответственно, коэффициенты ковариаций данных величин удовлетворяют равенствам:

(2.1.6)

где - плотность совместного распределения вероятностей величин и , которая в данном случае удовлетворяет условию:

(2.1.7)

где и - плотности распределения вероятностей случайных величин и соответственно,

В-третьих, для количественной оценки погрешностей описания имеющихся измеренных значений функциями вида (2.1.1), будем использовать так называемую евклидову метрику S, определяемую равенством:

, (2.1.8)

где - единичная матрица порядка N, и - векторы размерности N, - значение независимой переменной, при котором в соответствии с обозначениями, принятыми в (2.1.3), измеренное значение зависимой переменной равно .

Замечания:

1) В более общем случае в метрике (2.1.8) вместо единичной матрицы берется матрица весовых коэффициентов. Причина, по которой во всей работе будет использоваться единичная матрица, заключается в том, что мы не знаем, чему равны эти весовые коэффициенты.

2) Значения всякой функции y(t), являющейся решением уравнения (2.1.2) зависят, очевидно, не только от значений t, но и от параметров данного уравнения и, соответственно, удовлетворяет равенству , т.е. также является некоторой функцией параметров ОДУ (2.1.2). Именно это обстоятельство оправдывает необходимость и целесообразность ее введения и позволяет успешно решить с ее помощью рассматриваемую нами задачу.

Учитывая содержательную сущность задачи аппроксимации экспериментальных данных и отмеченные выше три положения, на которых необходимо основываться, чтобы получить корректно поставленную математическую задачу, можно видеть, что с вычислительной точки зрения задача аппроксимации данных может быть сформулирована следующим образом.

Необходимо, используя имеющиеся у нас N измерений вида (2.1.3), подобрать порядок n и значения неизвестных параметров ОДУ (2.1.2) так, чтобы решение полученного при этом уравнения доставляло минимум метрике S, определяемой равенством (2.1.8), и, соответственно, удовлетворяло соотношению:

, (2.1.9)

которое в дальнейшем будем называть критерием качества подстройки неизвестных параметров и порядка уравнения.

Анализ приведенной выше математической постановки задачи аппроксимации данных позволяет непосредственно видеть, во-первых, что одной из величин, значения которых необходимо определить, является порядок n ОДУ (2.1.2). Во-вторых, поскольку он может принимать только натуральные, т.е. целые и положительные значения, то определение его конкретного значения, при котором удовлетворяется соотношение (2.1.9), наиболее целесообразно начинать с и последовательно увеличивать его до тех пор, пока не будет достигнута желаемая точность описания экспериментальных данных. В-третьих, при каждом из заданных значений порядка n решение рассматриваемой задачи сводится к определению значений параметров ОДУ (2.1.2), удовлетворяющих соотношению (2.1.9). Алгоритм определения данных значений рассматривается в следующем разделе.

2.2 Общие результаты

2.2.1 Задача идентификации математической модели объекта

Проблеме и задаче идентификации посвящено множество как отечественной, так и зарубежной литературы [39, 62-66]. Процедуры идентификации - обязательный элемент системных методологий, конструирование которых - одна из главных и наиболее трудных проблем теории управления.

Рассматривая любые процессы природы, человек в первую очередь строит для них модели, в которых связи между основными переменными процесса имеют вид математических зависимостей.

Практика последних трех столетий показала, что динамику объектов с успехом можно описать с помощью введенного Ньютоном и Лейбницем дифференциального исчисления, т.е. с помощью дифференциальных и интегральных уравнений. Идея заключается в том, что для бесконечно малой части пространственно-временной области составляются уравнения процесса, которые затем интегрируются при заданных краевых и начальных условиях, и получается модель развития процесса во времени и в пространстве. Накопленный за последние столетия опыт составления дифференциальных уравнений был оформлен в виде отдельных научных направлений, таких как гидродинамика, термодинамика, кинетика и др.

Мощные средства вычислительной техники и эффективные методы подстройки параметров модели (методы идентификации) позволяют в короткий срок перебрать несколько классов моделей и выбрать из них подходящую.

2.2.2 Описание алгоритма чувствительности

На основании методов ТЧ получен САЧ [23-32] идентификации объектов, который является одним из наиболее эффективных алгоритмов, позволяющих оценивать порядок и неизвестные параметры ОДУ. В отличие от ранее применявшихся подходов, данный алгоритм позволяет решать задачи идентификации при неполной наблюдаемости переменных объекта.

САЧ основан на использовании хорошо известного в численном анализе метода линеаризации и так называемых ФЧ по параметрам ОДУ (2.1.2), определяемых равенствами:

(2.2.1)

Здесь - решение ОДУ n-го порядка (2.1.2). Из равенств (2.2.1) непосредственно видно, что ФЧ - это частная производная по параметру от функции , зависящей от переменной t и параметров .

Данный алгоритм является итерационным, т.е. алгоритмом, действуя в соответствии с которым точное решение может быть получено лишь в результате многократного повторения единообразных действий. На каждой его итерации выполняется конечная последовательность вычислительных операций. Для описания данной последовательности операций будем считать, что нами уже выполнено k-1 итераций, где k - некоторое натуральное число, принимающее значения k=1,2,3,…, и получен вектор оценок параметров , но они оказались недостаточно точными. Поэтому мы вынуждены выполнить хотя бы ещё одну k-ую итерацию, чтобы получить новые более точные оценки параметров . Рассмотрим последовательность вычислительных операций, которые необходимо для этого выполнить и которые в своей совокупности составляют содержание k-ой итерации САЧ.

Представим вектор новых оценок параметров , которые нам необходимо получить, равенством вида:

, (2.2.2)

где - вектор оценок параметров , полученный на предыдущей итерации, - вектор поправок. При этом будем считать, что компоненты вектора поправок являются достаточно малыми величинами. Разложим неизвестные нам функции в окрестности значений в ряд Тейлора, ограничиваясь при этом линейным приближением. В результате видим, что:

, (2.2.3)

где . Воспользовавшись ФЧ из (2.2.1), представим данное равенство в виде:

, (2.2.4)

где - матрица, состоящая из элементов

Анализируя данное равенство, можно непосредственно видеть, что:

1) оно является функциональным уравнением, линейным относительно поправок при всех значениях аргумента t;

2) если значения функций, составляющие вектор , и функций чувствительности, составляющие матрицу , нам известны, то оно позволяет составить систему линейных алгебраических уравнений относительно поправок .

Отсюда вытекает, что для определения поправок необходимо решить следующие две задачи:

1) найти значения функций и ФЧ ;

2) воспользовавшись найденными функциями, составить каким-либо образом систему линейных алгебраических уравнений относительно поправок и решить ее, например, методом Гаусса или каким-либо другим известным методом.

Приступим теперь к формированию системы уравнений относительно поправок . Для этого воспользуемся метрикой S, заданной равенством (2.1.9), и соотношением (2.2.4). Подставляя вычисленные значения функций и ФЧ в соотношение (2.2.4), а затем в правую часть равенства (2.1.9), получим, что:

. (2.2.5)

Таким образом, мы получили метрику, которую можно использовать для количественной оценки погрешностей описания имеющихся у нас измеренных значений функциями, являющимися решениями дифференциального уравнения.

Как видно из равенства (2.2.5), метрика S удовлетворяет равенству , т.е. является явно заданной и положительно определенной функцией поправок . Для этого, как известно из математического анализа, необходимо и достаточно продифференцировать метрику S по вектору поправок и приравнять полученные при этом частные производные к нулю. Выполнив данные операции над метрикой S, будем иметь n+1 уравнений вида:

. (2.2.6)

Если выполнить все необходимые и вполне очевидные арифметические операции, то данной системе уравнений можно придать следующий, предельно компактный и традиционный в линейной алгебре вид:

, (2.2.7)

где:

а) и b) . (2.2.8)

Здесь - квадратная матрица порядка n+1. Как видно из (2.2.8b) эта матрица является симметричной.

Полученная система является системой линейных алгебраических уравнений относительно вектора поправок . Решение , как известно, определяется равенством:

, (2.2.9)

где - обратная к матрица. В противном случае, т.е. в случае, когда является вырожденной матрицей, система уравнений (2.2.7) оказывается недоопределенной и имеет бесконечное множество решений. Во всех подобных случаях наиболее целесообразно в качестве ее решения использовать ее псевдорешение , вычисляемое в соответствии с равенством:

, (2.2.9)

где - псевдообратная к матрица.

Предпочтительность использования псевдорешения в данном случае обуславливается, прежде всего, тем, что из всего бесконечного множества решений системы уравнений (2.2.7) оно имеет минимальную евклидову норму [21]. Отсюда вытекает, что, используя данное решение, мы будем изменять имеющиеся у нас оценки предельно осторожно и ровно настолько, насколько это необходимо для того, чтобы новые оценки оказались решением задачи (2.2.5). Ещё одним фактором, определяющим целесообразность использования псевдорешения , является то, что рассматриваемый алгоритм при этом оказывается наиболее устойчивым по отношению к ошибкам задания матрицы и правой части системы (2.2.7) и ошибкам вычислений. Кроме того, в случае, когда матрица является невырожденной, имеет место равенство и, таким образом, псевдорешение системы уравнений (2.2.7) в этом случае совпадает с ее классическим решением .

2.2.3 Подходы к заданию начальных условий для решения обыкновенных дифференциальных уравнений и начальных приближений неизвестных параметров

Как было получено в работе [23] А.И. Рубана, выбор значений начальных условий и приближений неизвестных параметров существенно влияет на точность подстройки этих параметров и оценки порядка уравнения, а также на скорость сходимости САЧ. Остановимся на возможных подходах задания начальных условий и приближений.

Задание начальных условий для решения дифференциального уравнения

Рассмотрим способы задания начальных условий, с помощью которых решаются дифференциальные уравнения. Данные условия необходимы для того, чтобы определить значения констант в полученном решении уравнения.

Рассмотрим два подхода к заданию начальных условий:

1) В качестве начальных условий можно использовать оценки Подходы к заданию начальных условий для решения обыкновенных дифференциальных уравнений и начальных приближений неизвестных параметров вычисленные на основе экспериментальных данных, где - шаг дискретизации аргумента t. Недостатком данного подхода является тот факт, что сами экспериментальные данные, как правило, снимаются с погрешностью с измерительного устройства, следовательно, начальные условия в данном случае вычисляются с ошибкой.

2) Оптимальные начальные условия при решении дифференциального уравнения можно найти, если в качестве критерия подстройки использовать метрику:

, (2.2.15)

т.е. на каждой итерации, кроме подстройки неизвестных параметров а, осуществлять подстройку начальных условий . В отличие от предыдущего случая, начальные условия на каждой итерации будут меняться.

Предпочтительность использования того или иного способа задания начальных условий зависит от поставленной задачи. Если необходимо аппроксимировать экспериментальные данные быстро, не задаваясь при этом целью достичь высокой точности, то можно выбрать первый способ. Если же нам крайне важна точность описания экспериментальных данных, то в данном случае следует выбрать второй способ.

Задание начальных приближений неизвестных параметров

Рассмотрим способы задания начальных приближений неизвестных параметров дифференциального уравнения.

Для их определения можно использовать несколько подходов:

1) Подход основан на использовании априорной информацию В данном случае необходимо наличие информации о параметрах. Учитывая эту информацию, подстраиваем оценки неизвестных параметров ОДУ, т.е. решаем задачу (2.1.9).

2) Задачу (2.1.9) можно решить с помощью симплексного алгоритма [28]. Сущность его сводится к следующему. Произвольный набор параметров вектора а берем за центр симплекса и по каждой составляющей вектора а выбираем интервал варьирования - размер симплекса. Строим исходный симплекс и в каждой его точке вычисляем значение метрики S, заданной в виде (2.1.9), решая при этом наше исходное дифференциальное уравнение с заданными граничными условиями. Затем худшую точку симплекса заменяем лучшей (с меньшим значением S) и т.д. до попадания в окрестность экстремума S. Большие размеры симплекса позволяют проскочить мелкие локальные экстремумы и выделить окрестность глубокого (который может оказаться глобальным) минимума S. В последнем симплексе точку, соответствующую наименьшему значению S, берем за центр нового симплекса; уменьшаем его размер и вновь движемся к экстремуму S. В результате получаем набор начальных приближений параметров а, более близкий к решению задачи (2.1.9), причем дробление размера симплекса можно осуществлять несколько раз. Полученное решение является начальным приближением для САЧ, позволяющее с высокой скоростью и точностью отыскивать минимум метрики S.

Как правило, мы не обладаем априорной информацией, поэтому первый подход к заданию начальных приближений неизвестных параметров дифференциального уравнения не всегда может быть применен. Если же такая информация имеется, то при её использовании алгоритм сходится достаточно быстро. Второй подход, хотя он и трудоемок, но позволяет эффективно подобрать параметры. С его помощью минимум метрики S достигается довольно быстро.

2.2.4 Блок-схема алгоритма чувствительности для реализации его на ПК

Блок-схема - это способ задания алгоритма в графической форме, представляющий собой совокупность блоков, соединенных друг с другом линиями. Форма блока определяет тип действия, а текст внутри блока дает детальное толкование конкретного действия. Стрелки на линиях, соединяющих символы схемы, указывают последовательность выполнения команд, предусмотренных алгоритмом.

Блок-схемы при создании алгоритмов очень эффективны с точки зрения наглядности. За счет этого, они упрощают создание эффективных алгоритмов, понимание работы уже созданных, и как следствие их оптимизацию. Существование стандартов на типы используемых блоков позволяет легко адаптировать алгоритмы, созданные в виде блок-схем, на любые, существующие на сегодняшний день, языки программирования. Поэтому, при разработке алгоритмов, нет необходимости привязываться к синтаксису определенного языка. Использование блок-схем позволяет предотвратить неправильное программирование алгоритмов.

Как было сказано в параграфе 2.2.2, САЧ является итерационным, и на каждой его итерации выполняется конечная последовательность вычислительных операций. Представим их в виде блок-схемы, которая может использоваться для реализации данного алгоритма на ПК.

В блок-схеме - число, которое задается пользователем. В случае, когда значение метрики S меньше либо равно , САЧ останавливает свою работу. Это значит, что достигнута желаемая точность аппроксимации экспериментальных данных. Если невозможно достичь высокой точности аппроксимации или САЧ начинает выполнять большое количество итераций, то необходимо увеличить порядок ОДУ, либо увеличить значение .

Как видно из приведенной блок-схемы, САЧ является несложным для реализации его на ПК. САЧ имеет высокую скорость сходимости [31] и за приемлемые отрезки времени позволяет получить оценки порядка неизвестных параметров ОДУ таким образом, что оно оказывается адекватной математической моделью исследуемого объекта