Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

РЕФЕРАТ

На дипломну роботу «Розробка моделей розрахунку пластинчастих конструкцій та їх реалізація в програмному комплексі Ліра»

Дипломна робота має об'єм 76 сторінок та список використаних джерел з 21 найменування.

Метою даної роботи є побудова моделей пластинчастих конструкцій у вигляді пластини з отвором по центру по методу скінчених елементів, до яких буде докладено навантаження на розтягнення в різні боки по осі Х в програмному комплексі Ліра.

У даній роботі проаналізовані результати проведених навантажень побудованих моделей пластинчастих конструкцій по методу скінчених елементів у програмному комплексі Ліра, які дозволяють зробити висновки відносно стану конструкції та її деформації під впливом різного виду навантажень. Також за допомогою візуалізації результатів розрахунку у програмному комплексі Ліра при побудові наступних моделей ми маємо можливість розрахувати якими мають бути пластинчасті скінченні елементи, їх кількість та розташування відносно розподілу напружень на конструкцію, що піддається деформації. Виявити небезпечні дільниці на конструкції та посилити їх, або зменшити кількість скінченних елементів в місцях менш навантажених. ліра програмний проектування пластинчастий

Проведена робота в програмному комплексі ЛІРА показала, що необхідно підходити до побудови пластинчастих скінченних елементів таким чином, щоб вони були однакового розміру, тоді напруження при розтягненні конструкції в різні боки по осі Х будуть розподілені рівномірно.

Ключові слова: програмний комплекс ЛІРА, пластинчасті скінченні елементи, напружено - деформований стан.



ЗМІСТ

• Вступ
• 1. МЕТОД СКІНЧЕНИХ ЕЛЕМЕНТІВ В РОЗРАХУНКАХ КОНСТРУКЦІЙ
• 1.1 Опис основних можливостей методу скінчених елементів
• 1.2 Типи скінчених елементів
• 1.3 Аналіз існуючих систем звичайно-елементних розрахунків
• 1.3.1 Програмний комплекс ANSYS
• 1.3.2 Програмний комплекс NASTRAN
• 1.3.3 Програмний комплекс ЛІРА
• 2. РОЗРОБКА МОДЕЛЕЙ РОЗРАХУНКУ ПЛАСТИНЧАСТИХ КОНСТРУКЦІЙ
• 2.1 Про вибір елементів і точності рішення
• 2.2 Аналіз алгоритмів побудови сіток
• 3. РЕАЛІЗАЦІЯ ПЛАСТИНЧАСТИХ КОНСТРУКЦІЙ В ПРОГРАМНОМУ КОМПЛЕКСІ ЛІРА
• 3.1 Постановка задачі для розрахунку
• 3.2 Розрахунок задачі в програмному комплексі ЛІРА-САПР 2013
• 3.3 Виконання розрахунку та візуалізація результатів розрахунку
• 3.4 Аналіз проведених розрахунків
• 4. Охорона праці та безпека в надзвичайних ситуаціях
• 4.1 Аналіз шкідливих і небезпечних факторів при написанні програм
• 4.2 Електробезпека в приміщеннях з ЕОМ
• 4.3 Проектування заземлення будівлі
• 4.4 Первинні засоби пожежогасіння приміщення
• 4.5 Оцінка та прогнозування інженерної обстановки
• ВИСНОВКИ
• ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ


ВСТУП

У другій половині 20-того століття в зв'язку з бурхливим розвитком обчислювальної техніки і не менш бурхливому розвитку методів розв'язання з'явилася можливість розв'язувати задачі про напружено-деформований стан складної конструкції шляхом подання її такою, що складається з елементарних фрагментів. У цей час метод скінчених елементів став широко застосовуватись в механіці твердого тіла, що деформується, а потім в інших областях знань. Метод скінчених елементів є чисельним, тобто наближеним методом математичної фізики. Це зумовлює необхідність знання не тільки його основних положень і формальних процедур, але і таких атрибутів, як збіжність рішення, стійкість, оцінка точності.

У цій ситуації інженеру необхідно мати уявлення про те, як математично формулюється завдання і що представляють собою чисельні методи їх рішення. Без цього важко раціонально вибрати розрахункову схему і правильно оцінити достовірність отриманих результатів. Для інженера мистецтво вибору розрахункової схеми стало основним.

Мабуть, доцільно під терміном «модель» розуміти різні її функції на різних етапах дослідження. Можливо прийняти таку ієрархію руху до розв'язання: фізична модель, розрахункова модель, математична модель.

В фізичну модель повинні входити без всяких спрощень всі відомі функціональні та інші співвідношення і зв'язки між параметрами процесу життєвого циклу об'єкта, що розраховується.

Розрахункова модель, звільняючись від другорядних і малозначних чинників, замінюючи або заповнюючи недолік первинної інформації за допомогою гіпотез і інваріантів і тим самим спрощуючи фізичну модель, робить її, по-перше, інженерно-осяжною і, по-друге такою, що можна вирішити сучасними засобами. Проте перехід від фізичної моделі до розрахункової, необхідно здійснювати вкрай обережно, щоб зберегти стійкість рішень, не змінити якість описуваних процесів і забезпечити прийнятну точність одержуваних результатів.

Разом з тим реалізація розрахункової моделі залежить від застосовуваного математичного апарату. Тому в скінченому рахунку багато що залежить від прийнятої математичної моделі, яка являє собою сукупність рівнянь, інших співвідношень, алгоритмів і їх рішень, нарешті, програм, узгоджених з можливостями наявної обчислювальної техніки.

Дослідники реальних завдань пропонують і обґрунтовують в своїх роботах різні підходи до вибору конкретної розрахункової моделі. Якщо передбачити подальший перехід до математичної моделі, то хотілося б, щоб вона виявилася якомога простіше. Звичайно сучасні програмні комплекси, такі як ЛІРА, в основному знімають багато труднощів, але їх використання для невеликих за розрахунковими мірками завдань не завжди виглядає доцільно. Тому питання реалізації схеми фізична модель, розрахункова модель, математична модель встають перед інженером досить гостро. Що краще, використовувати метод скінчених елементів і суцільну середу, або моделювати суцільну середу стрижневими скінченими елементами, як це пропонується робити в інших роботах. Відповіді на ці питання автори намагаються отримати в пропонованій вашій увазі роботі. В якості тестової задачі обрана задача, коли прямокутна пластина значної ширини і одиничної товщини з малим круговим отвором радіуса a в її центрі піддається одностороннього рівномірному розтягуванню. Це так звана задача Кірша. У найзагальнішому випадку при вирішенні подібних завдань розглядається нескінченна пластина. Однак на практиці доводиться мати справу з пластинами скінченої ширини. Тому постає природне запитання про те, в яких випадках (дотримуючись певну ступінь точності) рішення, отримані для нескінченних областей, можна застосовувати для скінчених областей і яким має бути співвідношення між діаметром отвору і шириною пластини, що піддається деформації. Згідно дослідженням Г.Н. Савіна, якщо обмежитися точністю до 6%, то рішення, отримані для необмежених областей, можна застосовувати до пластин скінчених розмірів, якщо діаметр отвору (центрально розташованого) не менше ніж в п'ять разів менше ширини пластини вирішення завдань мікрорівня, для якого модель об'єкта задається системою диференціальних рівнянь в приватних похідних із заданими крайовими умовами.

Вона може бути вирішена як аналітично, так і розрахунком її за допомогою програмного комплексу ЛІРА. Як модельне середовище в одному з розрахунків застосовується плоска пластина, яка розбивається сіткою скінчених елементів трикутного типу. В іншому розрахунку плоска пластина замінюється стрижневою конструкцією, де скінченими елементами є самі стрижні.

В даній дипломній роботі систематизуємо теоретичні аспекти теми і застосую їх на практиці. Побудую в програмному комплексі Ліра модель розрахунку пластинчастої конструкції у вигляді пластини з отвором розташованого по центру. Докладем навантаження на розтягнення в різні боки по осі Х.

Виконавши вище зазначене проведемо аналіз епюр напружень та зробимо висновки, які дозволять розраховувати конструкцію пластинчастих скінченних елементів при побудові моделей.



1. МЕТОД СКІНЧЕНИХ ЕЛЕМЕНТІВ В РОЗРАХУНКАХ КОНСТРУКЦІЙ

1.1 Опис основних можливостей методу скінчених елементів

Метод скінчених елементів є ефективним методом рішення інженерних завдань. Сфера застосування методу від аналізу напруги в конструкціях літаків, автомобілів до розрахунку радіоелектронної апаратури або таких складних систем, як атомна електростанція. З його допомогою розглядається рух рідини по трубах, вирішуються завдання електростатики і мастила, аналізуються коливання системи і багато інших завдань.

Метод скінчених елементів є чисельним методом рішення диференціальних рівнянь, що зустрічаються у фізиці і техніці. Виникнення методу пов'язане з рішенням завдань космічних досліджень (1950 р.). Уперше він був опублікований в роботі Тернера, Мартина і Топпа. У наслідок сфера застосування методу скінчених елементів істотно розширилася, і він перетворився на загальний метод чисельного рішення диференціальних рівнянь.

Відомо, що розрахункові схеми різних елементів радіоелектронних конструкцій можуть бути зведені до стрижневих, пластинчастих, оболонкових або об'ємним системам, довільним чином закріпленим і навантаженим. Для розрахунку доцільно створювати комплекси програм цільового призначення, які б забезпечували контроль етапу підготовки початкових даних, чисельну машинну реалізацію алгоритму розрахунку певного класу конструкцій, а так само видачу результатів в зручній для практичного використання формі. Метод скінчених елементів дає можливість створення програм такого типу.

Основна ідея методу скінчених елементів полягає в тому, що будь-яку безперервну величину можна апроксимувати дискретною моделлю, яка будується на безлічі кусочно-безперервних функцій, визначених на скінченому числі під областей.

Кусочно-безперервні функції визначаються за допомогою значень безперервної величини в скінченому числі точок даної області.

У загальному випадку безперервна величина заздалегідь не відома і треба визначити значення цієї величини в деяких внутрішніх точках області. Дискретну модель досить легко побудувати, якщо припустити, що головні значення цієї величини в кожній внутрішній точці області відомі.

При побудові моделі безперервної функції виконуються наступні кроки:

У даній області фіксується скінчене число точок. Ці точки називаються вузловими точками, або просто вузлами.

Значення безперервної величини в кожній вузловій точці вважається змінною, яку потрібно визначити.

Область визначення безперервної величини розбивається на скінчене число під областей, що називаються елементами. Ці елементи мають загальні вузлові точки і в сукупності апроксимують форму області.

Безперервна величина апроксимується на кожному елементі поліномом, коефіцієнти якого визначаються за допомогою значень цієї величини у вузлових точках. Для кожного елементу визначається свій поліном, але поліноми підбираються так, щоб зберігалася безперервність величини уздовж меж елементу.

Основна концепція Методу скінчених елементів може бути наочно проілюстрована на прикладі заданого розподілу температури в стрижні. Розглядається безперервна величина Т(х), область визначення якої відрізок OL уздовж осі X. Фіксовані і пронумеровані п'ять точок на осі X (Рисунок 1.1).

Ці вузлові точки можна розставити на будь-якій відстані один від одного. Значення Т(х) в даному випадку відоме в кожній вузловій точці. Ці фіксовані значення представлені графічно на рисунку і позначені відповідно до номерів вузлових точок через Т1, Т2, ТЗ, Т4, Т5 (Рисунок 1.2).

Рисунок 1.1 Графік розподілу температури в стрижні

Рисунок 1.2 Вузлові точки з фіксованими значеннями

Розбиття області на елементи можна провести двома різними способами. Можна, обмежити кожен елемент двома сусідніми вузловими точками, утворивши чотири елементи або розбити область на два елементи, кожен з яких містить три вузли. Що відповідає елементу поліном визначається по значеннях Т(х) у вузлових точках (Рисунок 1.3).

Рисунок 1.3 Область розбита на елементи

У разі розбиття області на чотири елементи на кожен елемент доводиться по два вузли, і функція елементу буде лінійна по осі Х(дві точки однозначно визначають пряму лінію). Остаточна апроксимація Т(х) складатиметься з чотирьох кусочно-лінійних функцій, кожна з яких визначена на окремому елементі. Розбиття області на елементи можна провести двома способами.

Важливими перевагами методу скінчених елементів, завдяки яким він широко використовується, є наступне:

Властивості матеріалів не мають бути обов'язково однаковими. Це дозволяє застосувати метод до тіл, складених з декількох матеріалів (наприклад, конструкції етажерок РЭА, об'ємні конструкції РЭА і т. д.)

Криволінійна область може бути апроксимована за допомогою прямолінійних скінчених елементів (наприклад, за допомогою трикутних, призматичних, шестигранних скінчених елементів).

Розміри елементів можуть бути змінними. Це дозволяє укрупнити або зменшити сітку розбиття області на елементи, якщо в цьому є необхідність

Вказані вище переваги методу скінчених елементів можуть бути використані при складанні досить загальної програми для вирішення приватних завдань певного класу.

1.2 

1.2 Типи скінчених елементів

Простим серед елементів є одновимірний елемент. Схематично він зазвичай зображається у вигляді відрізку, хоча і має поперечний переріз. Площа поперечного перерізу може змінюватися по довжині, але у багатьох завданнях вона вважається постійною. Найчастіше такий елемент використовується в одновимірних завданнях поширення тепла, завданнях розрахунку АЧХ конструкцій етажерок РЭА (одновимірні стрижневі елементи використовуються тут для закріплення одного монтажного простору над іншим) і тому подібне

Простий одновимірний елемент має два вузли. Можливе застосування елементів більш високого порядку, трьохвузлових (квадратичних), чотирьохвузлових (кубічних). Одновимірний елемент може бути криволінійним за умови, що довжина дуги входить в рівняння, що визначає елементи.

Для опису моделі конструкції одних тільки одновимірних скінчених елементів природно недостатньо. Тому застосовують двовимірні скінчені елементи. Слід зазначити, що цей тип скінчених елементів є найбільш поширеним. Для побудови дискретної моделі двовимірної області використовуються два основні види елементів: трикутники і чотирикутники. Сторони лінійних елементів кожного виду є прямими лініями. Квадратичні або кубічні елементи можуть мати як прямолінійні, так і криволінійні сторони або ті і інші.

Можливість моделювання криволінійних меж досягається додаванням в середину сторін елементів. Обидва види елементів можуть бути використані одночасно усередині області, якщо тільки вони мають однакове число вузлів на стороні. Товщина елементів може бути постійною або є функцією координат.

Описані вище скінчені елементи є найбільш поширеними. Проте, можливі і інші види скінчених елементів, але вони також повинні задовольняти вимогам, переліченим вище.

Слід зазначити, що трикутні і чотирикутні елементи широко використовуються для моделювання конструкцій етажерок зважаючи на певну специфіку останніх. Оскільки конструкції етажерок широко використовуються в літаковій і космічній техніці, то їх форма досить різноманітна. У космічній техніці в основному переважають округлої форми. Це пов'язано з тим, що розміри апаратури обмежені, а схемна інтеграція має бути дуже високою. Таким чином, ці скінчені елементи забезпечують найбільш точне моделювання конструкцій. У авіаційній техніці, як правило, використовуються конструкції етажерок з правильними формами і внаслідок цього немає необхідності застосовувати скінчені елементи з криволінійними гранями.

Таким чином, при розрахунку характеристик конструкцій РЭС, незалежно від їх профілю, використовуються для дискретизації моделі трикутні, чотирикутні і стрижневі елементи, оскільки вони найбільш правильним чином дозволяють описувати конструкції етажерок.

Для розрахунку АЧХ реальних конструкцій часто буває недостатньо тільки двовимірних і одновимірних елементів. Це пов'язано з тим, що в літаковій і ракетній апаратурі використовують конструкції, які мають певну товщину, якою не можна нехтувати. Простим тривимірним елементом є тетраедр (Рисунок 1.4).



Рисунок 1.4 Тривимірний симплекс-елемент

Перевагою такого елементу є відносна простота розрахунків. З іншого боку існує ряд недоліків розбиття конструкції на тетраедри. По-перше, частенько буває недостатньою точність розрахунку. По-друге, розбиття конструкції на тетраедри є складнішим завданням, ніж розбиття на шестигранники. Це особливо важливо в тих випадках, коли реальна конструкція має великі лінійні розміри і неоднорідність матеріалів.

Іншим найбільш частим вживаним тривимірним скінченим елементом є шестигранник.

1.3 Аналіз існуючих систем звичайно-елементних розрахунків

Існує безліч систем звичайно-елементних розрахунків, таких як ANSYS, NASTRAN, ЛІРА. Розглянемо основні характеристики програмних комплексів.

1.3.1 Програмний комплекс ANSYS

Технології комп'ютерного моделювання ANSYS дозволяють достовірно визначати реальні експлуатаційні характеристики виробів. Використання програмного комплексу ANSYS допомагає клієнтам переконатися у відповідності їх продукції необхідним вимогам і стандартам. Впродовж 40 років провідні компанії світу застосовують рішення ANSYS для створення кращих проектів. Як лідер в області комп'ютерного моделювання, компанія пропонує єдину платформу з надійними, повністю інтегрованими багато дисциплінарними програмними продуктами, призначеними для оптимізації процесів розробки нових виробів в широкому спектрі галузей промисловості, включаючи автомобільну, будівельну, хімічну, електронну, енергетичну, медичну і багато інших. Використання ANSYS дозволяє не лише підвищувати ефективність виробів, але і впроваджувати інновації.

У ANSYS зібрані сотні нововведень, по відношенню до попередніх релізів, що дозволяють полегшити і прискорити вихід нових продуктів на ринок, зберігаючи упевненість в надійності отриманих результатів.

Крім того, програмний комплекс ANSYS став більше автоматизованим і інтерактивним, користувачам пропонуються нові можливості багато дисциплінарних розрахунків, моделювання комплексних систем - забезпечуючи точність рішень і краще розуміння проекту. Сотні нових можливостей ANSYS узгоджуються із загальною стратегією розвитку компанії - розробка універсального і багатофункціонального програмного забезпечення, що відповідає вимогам клієнтів, що змінюються.

Поліпшення в ANSYS можна розділити на 3 основних групи:

1) Підвищення ефективності виконуваних інженерних розрахунків.

2) Моделювання складних систем.

3) Впровадження інноваційних рішень.

Підвищення ефективності виконуваних інженерних розрахунків

Як правило, підприємство прагне максимально використати свої інженерні ресурси. Ефективність інженерного персоналу зростає, якщо інженер зайнятий безпосередньо рішенням технічних завдань і не витрачає час на виконання стомливих комп'ютерних операцій вручну. У ANSYS автоматизовані найчастіше виконувані операції користувача, що дозволяє розробникам мінімізувати час роботи з програмами.

У платформі ANSYS є присутніми потоки операцій, що настроюються, автоматичні розрахунки параметрів, механізми прозорого розподілу загальних даних між різними застосуваннями. Вбудовані можливості оптимізації конструкції дозволяють планувати експерименти. Інструменти, спеціально створені для управління розрахунковими даними, інтегровані так, щоб ними могли користуватися групи людей, дистанційно віддалених один від одного, при цьому забезпечуючи охорону інтелектуальної власності.

При рішенні завдань динаміки рідин і газів інженер стикається із завданням побудови якісної сіткової моделі, що віднімає дуже багато часу. ANSYS пропонує швидкі відмовостійкі рішення для виконання цієї операції автоматично.

У області міцністних розрахунків, в нових застосуваннях для пластмас, гуми і піни -- у поєднанні з вимогами галузі промисловості -- часто виникають ситуації, в яких матеріал схильний до сильної зміни форми.

Моделювання складних систем

Сучасний виріб, як правило, є досить складним. У нім відбуваються зміни станів, протікають міждисциплінарні процеси і так далі. Конструкції часто включають апаратну частину, програмну частину, різну електронну начинку. Така складність має на увазі застосування нових підходів до виконання інженерних розрахунків. Новітня версія програмного пакету ANSYS дає можливість моделювати усі складні процеси, що протікають у реальному світі, як для окремого компонента, так і для складної системи в цілому, забезпечуючи найвищу точність розрахунку.

Відділи досліджень і розробки повинні з високою точністю прогнозувати поведінку складних виробів в реальних умовах експлуатації. Набір інструментів ANSYS - єдине рішення, що дозволяє враховувати взаємний вплив процесів з різних галузей фізики, таких як механіка твердих тіл, що деформуються, динаміка плинних середовищ, електромагнетизм. Глибоке вивчення усіх процесів відбувається у рамках єдиної системи моделювання.

У ANSYS реалізовано двонаправлене сполучення електромагнітного розрахунку з розрахунком механічної напруги, а також можливість виконання повторного моделювання розподілу електромагнітного поля по деформованій геометрії. Така можливість актуальна при розрахунку електродвигунів, електромагнітних приводів, трансформаторів, що використовуються в автомобільній, авіакосмічній промисловості.

При рішенні завдань, в яких вимагається врахувати складну нелінійну поведінку (акустика, скрип гальмівних механізмів), можна використати нові вдосконалені моделі.

Впровадження інноваційних рішень

У ANSYS пропонується повний набір вирішувачів і інструментів для виконання високопродуктивних обчислень стосовно усіх галузей фізики. Поліпшення в області управління вирішувачем, такі як розподіл, з урахуванням архітектури, дозволяють ефективно призначати завдання усім доступним процесорам. Поліпшення також торкнулися інструментів використання графічного прискорювача для підвищення загальної швидкодії апаратної частини. Працюючи в ANSYS Mechanical™, користувач може скористатися перевагами новітніх графічних прискорювачів і понизити об'єм даних введення/виведення, необхідних для обробки результатів.

1.3.2 Програмний комплекс NASTRAN

Програмний комплекс NASTRAN - це одна з кращих на ринку звичайно-елементна система.

MSC Nastran ось вже більше 40 років доводить свою точність і ефективність. Постійно розвиваючись, він акумулює в собі достоїнства новітніх технологій, методів, алгоритмів і тому залишається провідною системою звичайно-елементного аналізу у світі.

MSC Nastran забезпечує повний набір розрахунків, включаючи розрахунок напружено-деформованого стану, запасів міцності, власних частот і форм коливань, аналіз стійкості, дослідження динамічних процесів, що встановилися і несталих, рішення завдань теплопередачі, акустичних явищ, нелінійних статичних і нелінійних перехідних процесів, аналіз складної контактної взаємодії, розрахунок критичних частот і вібрацій роторних машин, аналіз частотних характеристик при дії випадкових навантажень і імпульсної широкосмугової дії. Передбачена можливість моделювання практично усіх типів матеріалів, включаючи композитні і гіперпружні.

У MSC Nastran передбачена можливість передачі моделей пружних тіл в Adams, які використовуватимуться в цьому програмному комплексі при побудові розрахункових моделей машин і механізмів. Nastran має в розпорядженні ефективний апарат автоматичної оптимізації параметрів, форми і топології конструкцій. Широкі можливості оптимізації дозволяють використати MSC Nastran для автоматичної ідентифікації комп'ютерної розрахункової моделі і планування експериментів.

У складі MSC Nastran є спеціальні можливості моделювання динаміки роторних машин, що обумовлює незамінність цього програмного продукту в галузях, пов'язаних з розробкою турбомашин.

MSC Nastran надає можливості розрахунку характеристик роботи конструкцій з композиційних матеріалів.

MSC Nastran широко використовується для планування експериментів (визначення місць розташування датчиків) і оцінки повноти отриманих експериментальних даних. За допомогою MSC Nastran вирішуються завдання моделювання систем управління, систем терморегулювання з урахуванням дії цих систем на конструкцію.

MSC Nastran - це сучасна розрахункова суперсистема. На комп'ютері створюється точна віртуальна модель виробу і, ще до початку виробництва, усебічно досліджується його функціонування в робітниках і екстремальних умовах, тим самим, удосконалюючи виріб, підвищуючи його якість, надійність, безпеку, технологічність і економічність на основі "комп'ютерних випробувань". Цей абсолютно новий рівень інтегрованого середовища наукомістких інженерних комп'ютерних систем реалізує сучасні VPD технології.

1.3.3 Програмний комплекс ЛІРА

Програмний комплекс ЛІРА-САПР є сучасним інструментом для чисельного дослідження міцності і стійкості конструкцій і їх автоматизованого проектування.

Програмний комплекс ЛІРА-САПР включає наступні основні функції:

1) розвинене інтуїтивне графічне середовище користувача;

2) препроцесор "Сапфір-конструкції";

3) набір багатофункціональних процесорів;

4) розвинену бібліотеку скінчених елементів, що дозволяє створювати комп'ютерні моделі практично будь-яких конструкцій: стрижневі плоскі і просторові схеми, оболонки, плити, балки-стінки, масивні конструкції, мембрани, тенти, а також комбіновані системи, що складаються з скінчених елементів різної мірної (плити і оболонки підперті ребрами, рамно-зв'язкові системи, плити на пружній основі та ін.);

5) розрахунок на вітрові навантаження з урахуванням пульсації і сейсмічні дії по нормативах країн СНД, Європи, Африки, Азії і США;

6) розрахунок на різні види динамічних дій (сейсміка, вітер з урахуванням пульсації, вібраційні навантаження, імпульс, удар, відповідь-спектр);

7) конструюючи системи залізобетонних і сталевих елементів відповідно до нормативів країн СНД, Європи і США;

8) редагування баз сталевих сортаментів;

9) зв'язок з іншими графічними і документуючими системами (AutoCAD, ArchiCAD, MS Word та ін.) на основі DXF і MDB файлів;

10) розвинену систему допомоги, зручну систему документування;

11) можливість зміни мови (російський/англійський) інтерфейсу і/або документування на будь-якому етапі роботи;

12) різні системи одиниць виміру і їх комбінації.

Програмний комплекс ЛІРА-САПР має ряд додаткових унікальних можливостей:

· Швидкодіючі алгоритми складання і рішення систем рівнянь без обмеження на кількість вузлів і елементів;

· супер елементне моделювання з візуалізацією на усіх етапах розрахунку, що дозволяє у ряді випадків прискорити рішення задачі і понизити вплив поганої обумовленості великих розмірів матриці;

· модулі обліку геометричної нелінійності, що дозволяють розраховувати конструкції спочатку геометрично незмінні (гнучкі плити і балки, гнучкі ферми та ін.) і конструкції спочатку геометрично змінювані;

· великий набір спеціальних скінчених елементів, що дозволяють складати адекватні комп'ютерні моделі для складних і неординарних споруд.

· Спеціалізований процесор Монтаж-плюс, що дозволяє відстежувати напружений стан споруди в процесі його зведення. Цей процесор дозволяє також проводити комп'ютерне моделювання зведення висотних будівель з монолітного залізобетону з урахуванням змін жорсткості і міцності бетону, викликаних тимчасовим заморожуванням укладеної суміші і іншими чинниками;

· спеціалізована система, що дозволяє в автоматизованому режимі отримувати робочі креслення КМ (маркувальні схеми, вузли, специфікації);

· спеціалізована система ГРУНТ, що дозволяє за даними інженерно-геологічних досліджень будувати тривимірну модель ґрунтової основи з подальшим визначенням змінних по області фундаментної плити коефіцієнтів пастелі по різних методиках;

І багато інших можливостей.

Програмний комплекс ЛІРА-САПР є системою, що безперервно розвивається, не рідше за 3-4 місяці у рамках функціонуючої версії викладаються нові релізи, що враховують окремі побажання користувачів, що виключають допущені неточності, що реалізовують деякі модернізації і удосконалення.



2. РОЗРОБКА МОДЕЛЕЙ РОЗРАХУНКУ ПЛАСТИНЧАСТИХ КОНСТРУКЦІЙ

2.1 Вибір елементів і точність рішення

Для аналізу і розрахунку напружено-деформаційного стану конструкції сформульована велика кількість кінцевих елементів, розпочинаючи як з методів деформації, сил, так і зі змішаного і гібридного методів. Основні характеристики елементів: форми елементу, числа ступенів свободи і виду (типу) невідомих параметрів у вузлах елементу. Існують великі відмінності між окремими елементами як відносно загального числа ступенів свободи, так і по вибору основних невідомих.

У розрахунках інженерних конструкцій по методу скінчених елементів істотне місце належить вибору елементів, за допомогою яких виходить досить точне і економічне рішення. І хоча цими питаннями займалося багато авторів, загальна відповідь, яка б підходила до усіх окремих випадків, дати неможливо.

Вибір справжнього елементу зводиться до пошуку оптимального (оптимуму), оскільки він залежить від природи вирішуваної задачі, необхідної точності розрахунку і економічності самого рішення. При цьому за міру переваги одного елементу перед іншими зазвичай приймається міра точності, яка досягається на одиницю ціни розрахунку, що охоплює усі вхідні дані для визначення елементу, розвиток необхідної програми і час роботи комп'ютера над розрахунком.

Результати попередніх досліджень і порівнянь, які проводились з окремими елементами при рішенні конкретних проблем, вказують на важливі характеристики, а також на недоліки і позитивні сторони окремих елементів. Якщо одна проблема вирішується за допомогою двох сіток кінцевих елементів (один з простих елементів) з малим числом ступенів свободи і друга - із складними елементами і з великим числом ступенів свободи, то можна зробити висновок, що при рівному загальному числі ступенів свободи система із складними елементами отримує значно точніше рішення навіть при найменшому числі елементів. У зв'язку з зазначеним необхідно значно більше часу для формування матриці жорсткості окремих елементів з урахуванням великої ширини стрічки для вирішення системи рівнянь.

Зі збільшенням числа конформних елементів по методу деформації виходять рішення для переміщень, які сходяться до точних рішень з нижньою боку. Навпаки, по методу сил мають рішення, які сходяться до точного рішенню з верхнього боку. За допомогою цих двох методів при їх застосуванні до однієї і тієї ж проблеми обчислюються межі, між якими знаходиться точне рішення. Рішення, які виходять за допомогою змішаних гібридних моделей, зазвичай потрапляють між цими межами.

Проте для цих рішень, як і для тих, які визначаються за допомогою неконформних елементів, не можна заздалегідь знати, з якого боку підходять до точного рішення. При розрахунку плит як інженерних конструкцій зазвичай значно важливіше отримати точні сили в перерізах, ніж переміщення, а тому метод сил, як і змішаний і гібридний методи в принципі мають безперечне перевагу перед методом деформації. Проте в тих випадках, коли застосовуються або метод сил, або змішаний, або гібридний методи елементи зазвичай містять більше число ступенів свободи.

2.2 Аналіз алгоритмів побудови сіток

Загальна послідовність побудови полягає в наступному. На початку за допомогою CAD- системи створюється геометрична 2D-модель досліджуваної конструкції. Для цього на цьому етапі можна використати "середні" системи типу AutoCAD, SolidWorks, КОМПАС-3D та ін., оснащені цілком розвиненим апаратом двомірного параметричного моделювання. В окремих випадках початкову геометричну модель необхідно перебудувати в модель, зручну для побудови звичайно елементної сітки з урахуванням особливостей термомеханічного вантаження. Потім, вже адаптована геометрична модель розбивається на скінчені елементи.

У простому випадку розбиття на чотирьохвузлові скінчені елементи можна виконати, поступивши таким чином. Досліджувана конструкція за допомогою пакету AutoCAD "вручну" розбивається на досить великі геометричні примітиви, які в плані можна розглядати як 8- і 6-вузлові квадратичні скінчені елементи, а потім ці геометричні примітиви вже в автоматичному режимі розбиваються на скінчені елементи. Після цього виконується процедура автоматичного зшивання звичайно елементних моделей виділених геометричних примітивів.

У тих випадках, коли по ходу проведення розрахунку необхідно перебудовувати сітку, наприклад, при дослідженні кінетики напружено-деформованого стану в процесі обробки матеріалу тиском, всякі "ручні" процедури, за винятком етапу підготовки початкової геометрії, мають бути виключені. У рамках цієї роботи пропонується алгоритм, що дозволяє автоматично будувати скінченоелементні моделі, що складаються в основному з чотирьохвузлових скінчених елементів і деякої дуже обмеженої кількості трьохвузлових скінчених елементів. Алгоритм реалізується в два етапи: на першому - тріангулюється область аналізу, а на другому - трикутна сітка перебудовується в чотирикутну.

Початковою інформацією є інформація про контур області. Контур області задається у вигляді ліній, кожна з яких розглядається як одновимірний квадратичний скінчений елемент (Рисунок 2.1 а). Нумерується початковий, скінчений і деякий середній вузол кожної лінії. Відповідно до звичайно елементної технології в межах кожної контурної лінії вузли мають локальну нумерацію, а в межах усього контуру ті ж вузли мають глобальну нумерацію (Таблиця 2.1, Рисунок 2.1 б). Крім того, кожному вузлу в описі контуру ставляться у відповідність координати і розмір кроку сітки (Таблиця 2.2). Для контуру, зображеного на рисунку 2.1 б.

Далі, усі контурні лінії послідовно розбиваються на відрізки прямих з урахуванням розмірів заданих кроків. Таким чином, формується масив контурних вузлів початкової області (Рисунок 2.1 а).

Далі виконується тріангуляція області. Алгоритм тріангуляції полягає в наступному. Розглядається поточний контур, на якому розміщені контурні узли. На першому кроці поточний контур, природно, співпадає з початковим контуром, який обмежує триангульовану область.

а) б)

Рисунок 2.1 Початковий опис контуру і його розбиття

Таблиця 2.1

Опис контурних ліній

Номер контурній лінії	Локальні вузли
1	1	2	3
2	3	4	5
3	5	6	7
4	7	8	1

Таблиця 2.2

Опис вузлів контурних ліній.

Номер вузла
1
2
…	…	…	…
…	…	…	…

На контурі визначаються три послідовні вузли, що мають мінімальний кут між побудованими на них векторами (Рисунок 2.2). Далі, аналізується геометричне розташування контурних вузлів відносно трьох виділених вузлів, що залишилися. При цьому встановлюється: чи потрапляє даний контурний вузол, в сектор аналізу, що характеризується величиною кута, і якщо так, то обчислюються відстані між вузлами. Якщо хоч би одна з цих відстаней менше максимальної довжини векторів, то перевіряються дві можливості побудови трикутників, показані на рисунку 2.3. Вибирається та, яка забезпечує мінімум максимального кута в трикутниках. Крім того, перевіряється та, що перетинається ребрами трикутників контуру. Якщо побудова проходить, то поточний контур розбивається на два підконтури, а потім кожен аналізується окремо.

Рисунок 2.2 Пошук мінімального кута

У тому випадку, коли не знаходиться вузла, який потрапляв би в сектор, що характеризується величиною кута, або відстані, що сполучають вузли, більше максимальної довжини векторів, то виконується побудова на основі виділених вузлів. Залежно від величини кута можливі два варіанти побудови, якщо кут, то трикутник будується на виділених вузлах і вузол з опису контура виключається (Рисунок 2.4 а).

Рисунок 2.3 Побудова елементів: випадок, коли на контурі знайдений вузол

Інакше, коли визначається новий вузол шляхом ділення кута навпіл і будуються два трикутники (Рисунок 2.4 б), при цьому перевіряється та, що перетинається ребрами трикутників контуру. Якщо побудова не проходить, то вузол розміщується на середині відрізку. Далі вузол вводиться в опис поточного контуру, а вузол в усіх випадках з опису контуру виключається.

Рисунок 2.4 Побудова елементів

Після побудови звичайно елементної моделі виконується її оптимізація. Оптимізація полягає в корекції координат внутрішніх вузлів, тобто тих вузлів, які були побудовані усередині триангульованих під областей. Координати вузлів, розташованих на початковому контурі, не змінюються. Оптимізація координат внутрішніх вузлів виконується таким чином. Визначаються номери скінчених елементів, до складу вузлів яких входить цей вузол, і їх число, тобто, фактично визначаються усі скінчені елементи, які оточують цей вузол. Потім, обчислюються координати центрів тяжіння усіх знайдених скінчених елементів. Як нові координати вузла приймаються координати, вичислені як середнє арифметичне координат центрів тяжіння скінчених елементів, до складу вузлів яких входить цей вузол. Ця процедура виконується кілька разів. Як показують дослідження, для оптимізації необхідно виконати 5 - 7 ітерацій. Крім того, при оптимізації необхідно оцінювати співвідношення довжин сторін трикутників. Якщо максимальне відношення довжин сторін трикутника перевищує деяку задану величину, то найбільша по довжині сторона трикутника ділиться навпіл і сусідні трикутники розбиваються на два.

Побудова трикутної сітки і її оптимізація завершують перший етап. На другому етапі трикутна сітка перебудовується в чотирикутну. Перестроювання реалізується таким чином. Послідовно розглядаються трикутники початкової сітки і їх сусіди, які з цим трикутником мають загальні сторони. Як приклад на рисунку 2.5 показаний даний трикутник, що має вузли і три сусідні трикутники. Чотирьохвузловий скінчений елемент можна побудувати, об'єднуючи трикутник. Вибирається комбінація, у якої мінімальний максимальний кут в чотирикутнику. Трикутники, що формують чотирикутник з подальшого геометричного аналізу виключаються.

Після процедури перестроювання трикутної сітки в чотирикутну, що полягає в об'єднанні вибраних пар трикутників, може залишитися деяка кількість трикутників, які не вдалося об'єднати. Як показують дослідження, кількість трикутних скінчених елементів складає не більше 5 - 7 відсотків від загального числа скінчених елементів, що формують звичайно елементну модель, і не робить помітного впливу на результати чисельних досліджень.

Рисунок 2.5 Перестроювання сітки

Другий етап побудови сітки також завершується ітераційною процедурою корекції координат внутрішніх вузлів. Визначаються номери усіх скінчених елементів, до складу вузлів яких входить даний вузол, і їх загальне число. Потім, обчислюються координати центрів тяжіння усіх знайдених скінчених елементів. Як нові координати вузла приймаються координати, вичислені як середнє арифметичне координат центрів тяжіння скінчених елементів, що містять цей вузол. Ця процедура виконується кілька разів. Як показують дослідження, для оптимізації необхідно виконати 3 - 5 ітерацій.

Якщо процес рішення прикладної задачі передбачає перестроювання звичайно елементної моделі після декількох етапів вантаження, то геометричною основою побудови нової сітки є вузли тих скінчених елементів, сторони яких утворюють зовнішній контур області.

Викладений алгоритм був реалізований у вигляді комплексу застосовних програм "SETKA-4N-2D". На рисунках 2.6 і 2.7 показані збільшені фрагменти звичайно елементних моделей, побудованих за допомогою цього комплексу. У канонічних областях сітки мають виражений структурований характер, а в областях з криволінійною межею сітки відрізняються деякою нерегулярністю.

Рисунок 2.6 Сітка в канонічній області



Рисунок 2.7 Сітка в області з криволінійною межею

Таким чином, розроблений алгоритм дозволяє будувати сітки в геометрично складних двомірних областях і може бути використаний при створенні алгоритмів для побудови сіток в тривимірних областях.

Багато інженерних завдань і наукові дослідження вимагають рішення складних диференціальних рівнянь з приватними похідними для тривимірних об'єктів. У таких випадках зазвичай використовуються чисельні методи математичного моделювання, вимагаюча дискретизація досліджуваних об'єктів. Якщо об'єктів декілька і форма їх складна, найчастіше застосовується метод скінчених елементів. У цьому методі тривимірні об'єкти діляться на малі опуклі багатокутники з фіксованим числом граней, що називаються скінченими елементами. На практиці генерація тривимірної звичайно елементної сітки є фундаментальною геометричною проблемою в застосуванні методу скінчених елементів.

З проблемою генерації сітки тісно пов'язана і проблема введення і зберігання геометричної форми, досліджуваних об'єктів, а у багатьох випадках ще і виведення результатів в графічній формі. Природним вибором сьогодні є яка-небудь САПР, яка могла б узяти на себе повне або часткове рішення цих завдань. Сучасний ринок програмних продуктів надає велику кількість різноманітних по можливостях САПР. Більшість з них, малі і середні САПР, забезпечують тільки уведення-виведення і зберігання геометричної і графічної інформації. В той же час пропонується і декілька «важких» САПР (ANSYS™, та ін.) і декілька спеціалізованих САПР (NASTRAN™, ABAQUS™ та ін.), таких, що мають великі можливості. Вони дозволяють виконати три перераховані завдання і, крім того, провести чисельне моделювання в певних рамках за допомогою того ж методу скінчених елементів. Великі можливості цих програмних пакетів мають високу вартість, вимагають потужну обчислювальну техніку і витрати на навчання. Проведений аналіз показує, що більшість дослідників вважають за краще розробляти власні програми для вирішення своїх завдань.

Розробляти програму введення і зберігання геометричної форми тривимірних об'єктів занадто складно, так і ні необхідності. Простіше і ефективніше використати готову САПР. Тому данні задачі були покладені на AutoCAD.

Область дослідження і розробки алгоритмів генерації, двомірних і тривимірних сіток є сьогодні однією з най динамічніших і затребуваних в чисельних методах математичного моделювання. Постійний розвиток і вдосконалення самих чисельних методів, і розширення сфери їх застосування вимагає розвитку і розробки алгоритмів генерації сіток. Напрацьований матеріал дозволяє зробити вибір основної ідеї алгоритму і характеристик, які він повинен мати. Хоча зрештою конкретна сфера і мета застосування визначають необхідні вимоги до алгоритму і генерованої сітки.

У загальному випадку Метод скінчених елементів дозволяє вирішувати завдання в двомірній (2D) і тривимірній (3D) постановках. Використати в нім можна прямолінійні і криволінійні скінчені елементи. У двомірних завданнях застосовуються трикутники і чотирикутники, в тривимірних - тетраедри, призми і паралелепіпеди. Крім того, прямолінійні елементи завжди двохвузлові, а криволінійні елементи можуть бути трьохвузловими і чотирьохвузловими (мається на увазі число вузлів на кожному ребрі). Незважаючи на таку різноманітність елементів, найчастіше використовуються лінійні трикутні елементи. Їх легше генерувати і використати, ними можна добре дискретизувати криволінійні об'єкти замість використання криволінійних елементів. У Методі скінчених елементів генерація сітки є завданням, не залежним від інших процесів, і вимоги до швидкодії не такі високі. Важливішими є характеристики генерованої сітки скінчених елементів і вимоги до геометричної форми досліджуваних об'єктів.

Вимоги, яким повинен задовольняти сучасний алгоритм генерації тривимірною звичайно елементної сітки.

Передусім, генератор повинен обслуговувати досліджувані об'єкти, що мають наступні характеристики:

- об'єктів може бути декілька;

- вони мають бути тривимірними і твердотілими, тобто фізичні характеристики об'єкту передбачаються незмінними у будь-якій точці об'єкту;

- об'єкти можуть бути довільної форми - опуклі і неопуклі, містити криволінійні поверхні і лінії, мати різні наскрізні отвори;

- повинні враховуватися взаємне розташування об'єктів і їх розташування відносно центру координат.

Характеристики генерованої сітки і елементів наступні: елементи мають бути тетраедрами і мати хороший коефіцієнт форми; сітка має бути збалансованою і єдиною для усієї групи досліджуваних об'єктів.

Сам алгоритм повинен: використати можливості САПР, в якій він працюватиме, і забезпечуватиме хорошу швидкодію.

У основу алгоритму покладена ідея, що полягає в тому, щоб розділити досліджувані об'єкти за допомогою генерованих кубів на безліч компонентів, що задовольняють певним вимогам, а потім ці компоненти розділити на тетраедри (скінчені елементи), які і складуть тривимірну трикутну сітку.

Основною структурою даних алгоритму є вісімкове дерево, що складається з вузлів.

З кожним вузлом зв'язується опуклий багатокутник, що є тривимірним кубом, що перетинає один з досліджуваних об'єктів. Усі куби строго орієнтовані по осях загальної системи координат. Кожен вузол дерева може бути або скінченою вершиною, або що містить вісім вузли-нащадків. Укладання з восьми нащадків є вісьмома кубами, що займають той же об'єм. Логічно це укладання виходить за допомогою ділення куба власника навпіл по кожному виміру. Будь-який з вузлів-нащадків також може бути або скінченою вершиною, або укладанням з восьми своїх нащадків. Вузол може містити список вузлів-дублікатів.

Кожен з вузлів може бути дубльований декількома вузлами-дублікатами. Дублікат - це точна копія вузла, яка створюється всякий раз, коли перетин куба основного вузла з досліджуваними об'єктами має декілька окремих компонентів. Таке можливе за наявності декількох об'єктів дослідження і отворів в них. Кожен дублікат пов'язаний тільки з одним компонентом перетину (Рисунок 2.8). При цьому усі дублікати в алгоритмі розглядаються як самостійні вузли і також можуть ділитися.

Рисунок 2.8 Створення дубліката



Рисунок 2.9 Прості компоненти

Для функціонування алгоритму важливі ще дві категорії вузлів.

Сусідніми називаються вузли, куби яких мають хоч би одну загальну точку. Примикають називаються сусідні вузли, компоненти, перетини яких мають хоч би одну загальну точку. Таким чином, перша фаза алгоритму генерації тривимірної сітки виглядає таким чином.

Спершу необхідно вказати об'єкти, які досліджуватимуться. Використовуючи розміри і положення вибраних об'єктів, визначають розмір і положення першого куба, який повинен охоплювати собою ці об'єкти. Перший куб є і першим вузлом вісімкового дерева. Починаючи з цього вузла, генерується дерево.

На кожному кроці генерації дерева знаходиться перетин куба цього вузла з досліджуваними об'єктами, при необхідності вузол дублюється і ділиться. Процес рекурсивно триває до тих пір, поки усі скінчені вершини не стануть захищеними вузлами. Захищеним називається вузол, що містить простий компонент, який не треба ділити. Вузол, що не перетинає жодного об'єкту, видаляється з дерева.

В процесі генерації дерева кожен вузол ділиться, якщо:

- розмір куба більше заданого максимального розміру;

- компонент перетину не є простим компонентом;

- компонент простий, але його центр мас знаходиться за межами самого компонента;

- компонент простий, але вузький - центр мас куба не знаходиться в межах компонента;

- компонент простий, але його грані містять внутрішні контури;

- розмір куба більше розміру лінеаризації, за умови, що компонент простий і містить криволінійні поверхні.

Мета ділення вузлів і генерації дерева - розділити досліджувані об'єкти на малі і прості компоненти, які потім було б просто розділити на тетраедри.

Простими компонентами (Рисунок 2.9)називаються компоненти перетини якого-небудь куба з досліджуваними об'єктами, що задовольняють наступним вимогам:

- компонент дорівнює кубу (Рисунок 2.9a);

- усередині куба знаходиться одна грань компонента (Рисунок 2.9б);

- усередині куба знаходиться одне ребро компонента і дві грані (Рисунок 2.9e, d), що утворюють ребро;

- усередині куба знаходиться одна вершина компонента і декілька граней (Рисунок 2.9 f, g, h), що утворюють вершину.

Перша фаза алгоритму виглядає досить простою, проте в ній є декілька особливостей, що породжують великі наслідки. Це пов'язано з високими вимогами, що пред'являються до генерованої сітки.

Першою проблемою є наявність у об'єктів криволінійних поверхонь. У багатьох дослідників вона викликає великі труднощі, але в основному через те, що вони одночасно вирішують задачу введення і обробки геометричної форми об'єктів. У нашому випадку проблема розв'язана досить легко введенням розміру лінеаризації, який по суті є кроком дискретизації кривих ліній. Оскільки усю роботу з геометричною формою об'єктів бере на себе САПР, і структура алгоритму генерації тетраедрів з простих компонентів така, що нові вузли не створюються, а використовуються тільки існуючі вершини компонентів, на фазі ділення об'єктів відбувається автоматична лінеаризація кривих і поверхонь.

Другою важливою проблемою є коефіцієнт форми генерованих тетраедрів. Тетраедри не повинні мати дуже гострих кутів і за формою мають бути як можна ближчі до рівносторонніх тетраедрів. Для Методу скінчених елементів дуже важливо, щоб сітка була збалансованою. Якість скінчених елементів і збалансованість сітки дуже сильно визначають якість подальших розрахунків в Методі скінчених елементів, особливо при необхідності добитися від методу високої точності і збіжності. Збалансованості генерованої сітки можна досягти, якщо кожен вузол в дереві задовольнятиме умові балансу.

Умова балансу. Кожен сусідній вузол неодмінно ділиться, якщо він більше цього вузла більш ніж в два рази. Цю умову можна ввести ще на стадії ділення вузлів, а можна оформити окремою операцією після фази ділення. В результаті в сітці не утворюються «діри» - великий тетраедр, оточений маленькими тетраедрами.

Коефіцієнт форми неявно враховується у багатьох місцях алгоритму. Це відмова від вузьких компонентів, опуклість форми компонентів, близькість форми компонентів до куба. Враховується він і на фазі генерації тетраедрів.

На практиці у зв'язку з коефіцієнтом форми виявилася така проблема, яка не обговорюється в літературі. Річ у тому, що в процесі ділення вузлів можуть з'явитися компоненти з гранями, контур яких неопуклий (Рисунок 2.9 e, g). У цих випадках грані важко тріангулювати. Генеровані тетраедри виходять гострими і не утворюють форму початкового компонента. Посилене ділення такого вузла не лише змізерніє сітку і перевантажує алгоритм, але і не має повного ефекту. Такий вузол залишається, і його доводиться якимось чином «линеаризовать». Для цього необхідно виявити подібні вузли і розділити компоненти на опуклі елементи, наприклад, їх внутрішніми площинами.