Чисельні методи та комп’ютерне моделювання

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Національний авіаційний університет

Інститут інформаційно-діагностичних систем

Курсова робота

Чисельні методи та комп'ютерне моделювання

Завдання №1

Ортогонaлізувати задані 5 функцій за допомогою алгоритму Грама-Шмідта.

Визначником Грама елементів х1,…,хn називається визначник:

Для лінійної незалежності векторів х1,…,хn необхідно і достатньо, щоб їхній визначник Грама був відмінний від нуля. Визначник Грама лінійно незалежних векторів завжди позитивний.

Система елементів 1,2,…,n в евклідовому (унітарному) просторі називається ортогональною якщо (i,j)=0 при і не дорівнює j, і ортонормованою, якщо:

Згідно з умовою завдання вводимо завдану матрицю, використовуючи розрахунки за допомогою програмного пакету Mathcad.

- варіант завдання;

- розрахункова формула визначення досліджуваної матриці згідно завдання.



Знаходимо визначник Грама для перевірки лінійної незалежності заданої матриці:

Так як визначник відмінний від нуля, то бачимо, що наші елементи є незалежними.Ортогонaлізуємо задані 10 функцій хj за допомогою алгоритму Грама-Шмідта:

Задаємо функції:

Проводимо розрахунки ортонормованої послідовності за допомогою алгоритму Грама-Шмідта:

Для першої функції:

Для другої функції:



Для третьої функції:

Для четвертої функції:

Для п'ятої функції:

Рис.1.1. Графіки ортонормованих функцій

Визначаємо матрицю Грама:

Ортонормуємо матрицю Грама:

В результаті отримуємо:

Висновок: отже, як бачимо, отримана матриця Грама - одинична, тобто знайдені поліноми ортонормовані.

Завдання №2

Порівняння дискретного перетворення Фур'є (ДПФ) та хвильового перетворення (ХП). Задаємо номер варіанта

Будуємо N- вимірний вектор x = x(j) та N- вимірний вектор y = y(j);

Графік отриманого вхідного сигналу

Рис.2.1 Задана наша функція.

Будуємо матрицю ДПФ:

Будуємо спектр сигналу, використовуючи узагальнене пряме перетворення Фур'є



Рис.2.2. Спектр заданого сигналу за УППФ

Будуємо спектр сигналу, використовуючи швидке перетворення Фур'є

Рис.2.3. Спектр заданого сигналу за ШПФ

Будуємо спектр сигналу, використовуючи хвильове (вейвлет) перетворення

Рис.2.3. Спектр заданого сигналу за ХП.

Відновлюємо вхідний сигнал, використовуючи узагальнене зворотнє перетворення Фур'є

Зобразимо графіки похибок кожного з відтворень заданого вхідного сигналу.



Для хвильового (вейвлет) перетворення

Оцінка точності відновлення вихідного сигналу на основі визначення максимальної, середньої та середньоквадратичної похибок кожного з перетворень

Перетворення Фур'є:

Максимальна похибка:

Середня похибка:

Середньоквадратична похибка:

Швидке перетворення Фур'є:

Максимальна похибка:

Середня похибка:

Середньоквадратична похибка:

Максимальна похибка:

Середня похибка:

Середньоквадратична похибка:

Робимо ті ж самі перетворення і порівняння для випадку, коли зберігається тільки половина спектрального вектору, а всі інші складові приймаємо рівними нулю.

Будуємо спектр сигналу, використовуючи узагальнене пряме перетворення Фур'є



Рис.2.4. Узагальнене пряме перетворення Фурьє.

Будуємо спектр сигналу, використовуючи швидке перетворення Фур'є

Рис.2.5. Швидке перетворення Фурьє.

Будуємо спектр сигналу, використовуючи хвильове (вейвлет) перетворення

Рис.2.6. Хвилюве перетворення Фурьє.

Зобразимо графіки похибок кожного з відтворень заданого вхідного сигналу.

Для узагального перетворення Фур'є

Для швидкого перетворення Фур'є

Для хвильового (вейвлет) перетворення

Оцінка точності відновлення вихідного сигналу на основі визначення максимальної, середньої та середньоквадратичної похибок кожного з перетворень

Перетворення Фур'є:

Максимальна похибка:

Середня похибка:

Середньоквадратична похибка:

Швидке перетворення Фур'є:

Максимальна похибка:

Середня похибка:

Середньоквадратична похибка:

Максимальна похибка:

Середня похибка:

Середньоквадратична похибка:

Будуємо N- вимірний вектор y = y(j):

Графік отриманого вхідного сигналу

Будуємо матрицю ДПФ:

Будуємо спектр сигналу, використовуючи узагальнене пряме перетворення Фур'є

Рис.2.7. Узагальнене пряме перетворення Фурьє

Будуємо спектр сигналу, використовуючи швидке перетворення Фур'є

Рис.2.8. Швидке перетворення Фурьє

Будуємо спектр сигналу, використовуючи хвильове (вейвлет) перетворення

Рис.2.9. Хвильове перетворення



Рис.2.10. Графіки похибки відновлення

Висновок: в результаті виконання даного завдання з'ясовано, що вхідний сигнал найкраще відновлюється за хвильовим перетворенням, а швидке перетворення Фур'є найменш точний результат відновлення.

Виконаємо ті ж самі перетворення для випадку, коли зберігається половина площі амплітудного спектру



Рис.2.11. Узагальнене пряме перетворення Фурьє.

Рис.2.12. Швидке перетворення Фурьє

Рис. 2.13. Хвильове перетворення



Рис.2.17. Графіки похибки відновлення

Висновок: в результаті виконання даного завдання з'ясовано, що вхідний сигнал по урізаному амплітудному спектрі найкраще відновлюється за швидким перетворенням Фурьє, а хвильове перетворення дає найменш точний результат відновлення.

Завдання №3

Інтерполяційні поліноми Лагранжа та Ньютона

Узагальнена формула інтерполяційного полінома Лагранжа має вигляд:



Задаємо досліджувану функцію f(x)=cos(m+x)

Задаємо номер варіанта m =11 N=5

Будуємо 5-вимірні вектори хк, ук = f(xк), k = 0, 1,...,4.

Скориставшись узагальненою формулою інтерполяційного полінома Лагранжа або переписавши її у вигляді

Розпишемо для кожного члену інтерполяційцний поліном Лагранжа:

- загальний вигляд формули Лагранжа для 4 степення

Рис. 3.1. Графік заданої і отриманої кривої

Рис. 3.2. Графік заданої і отриманої кривої

Зобразимо похибку наближення:



Рис. 3.3. Графік похибки наближення

Наближення поліномом Ньютона

Для четвертої степені формула полінома Ньютона приймає вигляд:

Скориставшись алгоритмом обчислення коефіцієнтів інтерполяційного полінома Ньютона



Діагональ матриці D - це потрібні нам коефіцієнти.

,

тоді поліном 4 степення буде:

Запишемо загальний вигляд формули полінома Ньютона:

Зображаємо на графіках задану і отриману криві, відповідно в приближеному масштабі та віддаленому:



Рис. 3.4. Графік заданої та отриманої кривої

Зображаємо похибку наближення:

Рис. 3.6. Графік похибки наближення

Висновок: з графіків похибок наближення видно, що похибки відновлення сигналу за поліномами Лагранжа і Ньютона однакові (максимальна похибка порядку 10-7).

Завдання №4

Побудувати матричну функцію соs(A) для заданої матриці, використовуючи поліном Лагранжа

Задаємо номер варіанта m = 11

Будуємо задану матрицю:



Визначимо власні значення заданої матриці:

Отримуємо діагональну матрицю матриці А

Матричне рівняння АПВЗ:

Використовуючи перетворення подібності, маємо:

Будуємо поліном Лагранжа для функції :

Маємо:



З останнього рівняння маємо:

Матрична функція соs(A) для заданої матриці буде рівною:

Отже, зробимо перевірку: X-1•cos(A) •X = cos(D), маємо

Висновок: матрична функція для заданої матриці з використанням поліному Лагранжа матиме вигляд:



Завдання № 5

Наближення поліномом Лежандра

Задаємо кількість членів відповідного розкладу та інтервали

Через те, що функцію f(x) = cos(x) задана на відрізку [-р/2, р/2], а многочлени Лежандра визначені на відрізку [-1,1] , зробимо перехід до цього інтервалу.

Запишемо універсальну формулу знаходження многочленів Лежандра для наших точок:

Покажемо на графіку многочлени



Рис. 4.1. Многочлени Лежандра

Для нашого завдання необхідно п'ять членів розкладу, тому знайдемо необхідні п'ять многочленів Лежандра:

Знаходимо значення коефіцієнтів Лежандра і записуємо розклад по поліному Лежандра у загальному вигляді:

Побудуємо на одному графіку досліджувану функцію і поліном Лежандра для перших п'яти членів:



Рис. 4.2. Досліджувана функція та поліном лежандра

Рис. 4.3.Похибку наближення

Оцінка точності відновлення вихідного сигналу на основі визначення максимальної, середньої та середньоквадратичної похибок перетворень

Середньоквадратична похибка:

Наближення поліномом Чебишева

Задаємо кількість членів відповідного розкладу та інтервали



Через те, що функцію f(x) = cos(x+m) задана на відрізку [-р/2, р/2], а многочлени Чебишева визначені на відрізку [-1,1] , зробимо перехід до цього.

Запишемо універсальну формулу знаходження многочленів Чебишева для наших точок:

Рис. 4.4. Многочлени Чебишева.

Для нашого завдання необхідно п'ять членів розкладу, тому знайдемо необхідні п'ять многочленів Чебишева:



Визначаємо вузли многочленів Чебишева та значення досліджуваної функції у вузлах Чебишева для заданих п'яти точок.

- значення досліджуваної функції у вузлах Чебишева

Рис. 4.5.Вузли многочленів Чебишева та значення досліджуваної функції у вузлах Чебишева

функція перетворення інтерполяційний поліном

Знайдемо значення коефіцієнтів розкладу по поліному Чебишева. Спочатку знайдемо нульовий коефіцієнт:

, де

- значення досліджуваної функції у вузлах Чебишева.

Значення решти коефіцієнтів:

Покажемо знайдені коефіцієнти:

Запишемо розклад по поліномам Чебишева:

Рис.4.6. Графік досліджуваної функції і поліному Чебишева для перших п'яти членів



Рис.4.7. Похибка наближення

Оцінка точності відновлення вихідного сигналу на основі визначення максимальної, середньої та середньоквадратичної похибок перетворень

Середньоквадратична похибка:

Висновок: при наближенні заданої функції f(x) = cos(m+x) на відрізку [;] поліномами Лежандра і Чебишева, виявили, що на даному проміжку при наближенні поліномом Лежандра середньоквадратична похибка 8,817•10-4, а при наближенні поліномом Чебишева середньоквадратична похибка на відрізку [;] рівна 1,16•10-3. Тому, наближення поліномом Лежандра в даному випадку точніше за наближення поліномом Чебишева.

Завдання №6

Методом найменших квадратів побудувати найкращу криву для заданих результатів вимірювань.

Вводимо значення вхідних величин X та Y, заданих в завданні, і апроксимуємо їх за допомогою розглянутих функцій.

Рис. 5.1. Заданий розподіл

Для апроксимації використаємо лінійну функцію наближення :

Знайдемо коефіцієнти k і b аналітично за формулами:

Отже, ці коефіцієнти будуть рівні:

Рис.5.2. Графіки отриманої апроксимації

Вирахуємо похибки апроксимації:

Максимальна похибка:

Середня похибка:

Середньоквадратична похибка:



Апроксимуємо за допомогою степеневої функції наближення :

Знайдемо коефіцієнти k і b аналітично за формулами:

Отже, ці коефіцієнти будуть рівні:

Покажемо графічно, як апроксимується наша функція. Точками позначені задані значення Y

Рис.5.3. Графіки степеневої апроксимації

Вирахуємо похибки апроксимації:

Максимальна похибка:

Середня похибка:

Середньоквадратична похибка:

Апроксимуємо за допомогою показникової функції наближення

:

Знайдемо коефіцієнти k і b аналітично за формулами:

Отже, ці коефіцієнти будуть рівні:

Покажемо графічно, як апроксимується наша функція. Точками позначені задані значення Y.

Рис.5.4. Графіки показникової апроксимації

Вирахуємо похибки апроксимації:

Максимальна похибка:

Середня похибка:

Середньоквадратична похибка:

Апроксимуємо за допомогою дробово-лінійної функції наближення

:

Знайдемо коефіцієнти k і b аналітично за формулами:

Отже, ці коефіцієнти будуть рівні:

Покажемо графічно, як апроксимується наша функція. Точками позначені задані значення Y.



Рис.5.5 Графіки дробово-лінійної апроксимації

Вирахуємо похибки апроксимації:

Максимальна похибка:

Середня похибка:

Середньоквадратична похибка:

Апроксимуємо за допомогою логарифмічної функції наближення

:

Знайдемо коефіцієнти k і b аналітично за формулами:

Отже, ці коефіцієнти будуть рівні

Покажемо графічно, як апроксимується наша функція. Точками позначені задані значення Y.

Рис.5.6 Графіки логарифмічної апроксимації

Вирахуємо похибки апроксимації:

Максимальна похибка:



Середня похибка:

Середньоквадратична похибка:

Апроксимуємо за допомогою гіперболічної функції наближення

:

Знайдемо коефіцієнти k і b аналітично за формулами:

Отже, ці коефіцієнти будуть рівні:



Покажемо графічно, як апроксимується наша функція. Точками позначені задані значення Y.

Рис.5.7. Графіки гіперболічної апроксимації

Вирахуємо похибки апроксимації:

Максимальна похибка:

Середня похибка:

Середньоквадратична похибка:



Апроксимуємо за допомогою дробово-раціональної функції наближення

:

Знайдемо коефіцієнти k і b аналітично за формулами:

Отже, ці коефіцієнти будуть рівні:

Покажемо графічно, як апроксимується наша функція. Точками позначені задані значення Y.



Рис.5.8. Графіки дробово-раціональної апроксимації

Вирахуємо похибки апроксимації:

Максимальна похибка:

Середня похибка:

Середньоквадратична похибка:

Висновок: після проведення дослідів за допомогою семи різних функцій, було знайдено похибки та проаналізовано мною. Найбільша максильна похибка: виявлена у дробово-лінійної, а найменша -логарифмічної функції, середня похибка: найбільша - у степеневої функції, найменша - у показникової, середньоквадратична похибка: найбільша - у гіперболічної, найменша - у степеневої. Отже, найбільш доцільно використати у дослідженнях степеневу функцію.

Завдання №7

Операційним методом побудувати розв`язок початкової задачі для заданого лінійного диференціального рівняння:

x(t)'' + (m+1) x(t)' + mx(t) = 1, x(0)=1, x(0)' = 0.

Згідно з моїм варіантом m = 11. Отже диференційне рівняння виглядатиме:

x(t)''+12x(t)'+11x(t)=1

Знаходимо зображення відповідних складових рівняння:

Тепер будемо працювати лише з зображеннями. В результаті отримуємо рівняння:

Робимо елементарні перетворення і приводимо вираз до вигляду:



Звідси знаходимо Х як

.

Корені рівняння за теоремою Вієта дорівнюють р1 = -1 і р2 = -11. Отже, вираз для Х можна переписати наступним чином:

або

Складемо систему рівнянь:

Розв'язком даної системи є

і .

Тепер вираз для Х матиме вигляд:



Залишилось тепер перейти від зображень до функцій, що і буде кінцевим розв'язком рівняння.

Такі перетворення можна здійснити також через встроєнні функції у програмному середовищі Mathsoft MathCad, зокрема invlaplace.

Отже, виконане перетворення зроблене правильно.



Рис. 6.1.Функція розвязку заданого рівняння

Висновки: Операційний метод знаходження розв'язки диференційних рівнянь є дуже зручним, дозволяє працювати і оперувати лише з простими математичними операціями, що полегшує задачу розв'язку, а також дає чудову можливість створювати програми для знаходження розв'язків диференційних рівнянь на комп'ютері за допомогою різних алгоритмічних мов програмування.

Список використаної літератури

1. Марченко Б.Г., Марченко Н.Б., Фриз М.Є. Спеціальні глави математики. Навч. посібник. - Тернопіль: Вид-во ТДТУ ім. І.Пулюя, 2004. - 159 с.

2. Вержбицкий. Численные методы. Математический анализ и ОДУ.

3. Паршин, Беленкина. Численные методы.

4. Плис, Сливина. Mathcad. Математический практикум.

5. Румшинский Л.З. Математическая обработка результатов эксперимента.

Размещено на Allbest.ru