Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Національний університет «Львівська політехніка»

Інститут комп'ютерних наук та інформаційних технологій

Кафедра АСУ

Реферат

З дисципліни «Комп'ютерні системи цифрової обробки сигналів і зображень»

На тему: «Стиснення даних. Алгоритми хвильових перетворень»

Виконала: ст.гр. КНУС - 11

Андрухів У.Т.

Прийняв: Цмоць І.Г.

Львів 2019



Зміст

вейвлет сигнал малохвильовий компресія

Вступ

Стиснення зображень

Вимоги до алгоритмів компресії

Критерії порівняння алгоритмів

Рекурсивний (хвильовий) алгоритм

Характеристики хвильового алгоритму

Застосування вейвлет-перетворень

Ідея алгоритму

Квантування з використанням нуль-дерева

Кодування

Основні критерії оцінювання оптимальності вибору малохвильових функцій

Висновок

Список використаної літератури



Вступ

Основною причиною виникнення задач стиснення даних в системах цифрової обробки даних була перемога розрахункових можливостей процесорів комп'ютерів над системами збереження і передачі даних. Стиснення дозволяє зменшити навантаження на канали передача даних або зменшити обсяг, який займають дані за рахунок їх обробки та перетворення, що як відомо створює навантаження на процесор комп'ютера, тому що стиснення даних так чи інакше пов'язано з великими обсягами математичних розрахунків [1, 2]. Здавалося, що зі збільшенням обсягів носіїв даних, зі зростом пропускної здатності мережного обладнання ця проблема відійде у минуле, проте користувачі і прогрес постійно бажають еволюції, покращення якості, ефектності у їх спілкуванні з цифровим світом, що у свою чергу призводить до збільшення обсягів потрібної для цього інформації. Враховуючи вищесказане ми розуміємо, що стиснення даних - це минуле, сьогодення і майбутнє, широко використане та з наявністю попиту. Тому для зменшення часу обробки и передачі інформації каналами зв'язку і зниження обсягу даних, що зберігаються на засобах ЕОМ, необхідно розробляти нові методи або модернізувати існуючи методи компактного представлення зображень.

На даний час широкого розповсюдження набули методи обробки сигналів, які базуються на використанні малохвильової теорії. Області застосувань малохвильового перетворення є досить різноманітними: дослідження нестаціонарних процесів, цифрова фільтрація, стиснення зображень і даних, комп'ютерна графіка, нанесення цифрових підписів та ін.



Стиснення зображень

Стиснення зображень -- використання алгоритмів стиснення даних до зображень, що зберігаються в цифровому виді. В результаті стиснення зменшується розмір зображення, що зменшує час передачі зображення по мережі і економить простір для зберігання. Стиснення зображень розділяють на стиснення з втратами якості і стиснення без втрат. Стиснення без втрат більш підходить для штучно побудованих зображень, таких як графіки, іконки програм, або для спеціальних випадків, наприклад, якщо зображення призначені для подальшої обробки алгоритмами розпізнавання зображень. Алгоритми стиснення з втратами при збільшенні степені стиснення, як правило, породжують добре помітні людському оку артефакти.

Стиснення без втрат-- метод стиснення даних, при використанні якого закодована інформація може бути відновлена з точністю до біта. Для кожного з типів цифрової інформації, як правило, існують свої алгоритми стиску без втрат. Стиснення без втрат використовується при обробці та збереженні комп'ютерних програм і даних.

Стиснення з втратами інформації -- метод стиснення даних, при якому розпакований файл відрізняється від оригіналу, проте може бути корисним для використання. Стиснення із втратами найчастіше використовується для мультимедіа даних (аудіо, відео, зображення), особливо для потокової передачі даних та і телефонії. В цьому контексті такі методи часто називаються кодеками.

Перевага методів стиснення із втратами над методами стиску без втрат полягає в тому, що перші істотно перевершують по ступені стиску, продовжуючи задовольняти поставленим вимогам. Методи стиску із втратами часто використаються для стиску звуку або зображень. У таких випадках розпакований файл може дуже сильно відрізнятися від оригіналу на рівні порівняння «біт у біт», але практично не відрізняється для людського вуха або ока в більшості практичних застосувань[7].

Багато методів фокусуються на особливостях будови органів почуттів людини. Психоакустична модель визначає те, наскільки сильно звук може бути стиснений без погіршення сприйманої якості звуку. Помітні для людського вуха або ока недоліки, що виникли через стиснення із втратами, відомі як артефакти стиску.

До алгоритмів стиснення з втратою інформації відносяться такі алгоритми як JPEG (використовуються при стисненні фотозображень) і MPEG (використовуються при стисненні відео і аудіо).

Величиною допустимої втрати при стисненні зазвичай можна управляти, що дозволяє досягти оптимального співвідношення «розмір/якість». На фотографічних ілюстраціях, призначених для відтворення на екрані, втрата 5% інформації зазвичай некритична, а в деяких випадках можна допустити втрату і в 20-25%.

Методи стиснення без втрати інформації застосовуються при роботі з текстовими документами і програмами і не можуть допустити втрату інформації. Вони засновані тільки на усуненні її надлишку.

Вимоги до алгоритмів компресії

Характер використання зображень визначає ступінь важливості наведених нижче суперечливих вимог до алгоритму:

· Високий ступінь компресії.

· Висока якість зображень. Виконання цієї вимоги напряму суперечить виконанню попередньої.

· Висока швидкість компресії. Ця вимога для деяких алгоритмів з втратою інформації є взаємовиключною з першими двома. Що більше часу необхідно витратити на аналіз зображення з метою отримання найвищої ступені компресії, тим кращим буде результат. І, відповідно, чим менше буде витрачено на компресію (аналіз), тим нижчою буде якість зображення і більшим його розмір.

· Висока швидкість декомпресії.

· Масштабування зображень. Дана вимога передбачає легкість зміни розмірів зображення до розміру вікна активного додатку. Одні алгоритми дозволяють легко масштабувати зображення під час декомпресії, в той час як інші не тільки не дозволяють легко масштабувати, але і збільшують вірогідність появи «неприємних» артефактів після застосування стандартних алгоритмів масштабування до декомпресованих зображень. Приміром можна навести приклад "поганого" зображення для алгоритму JPEG -- це зображення з досить дрібним регулярним малюнком (піджак в дрібну клітку). Характер внесених алгоритмом JPEG спотворень такий, що зменшення або збільшення зображення може дати неприємні ефекти.

· Стійкість до помилок. Дана вимога означає локальність порушень у зображенні при пошкодженні або втраті фрагмента переданого файлу. Дана вимога суперечить вимозі високого ступеня архівації, оскільки необхідно вводити надлишкову інформацію. Однак для різних алгоритмів обсяг цієї надлишкової інформації може істотно відрізнятися.

· Редагованість. Під редагованістю розуміється мінімальна ступінь погіршення якості зображення при його повторному збереженні після редагування. Багато алгоритмів з втратою інформації можуть істотно пошкодити зображення за декілька ітерацій редагування.

· Незначна вартість апаратної реалізації. Ефективність програмної реалізації. Ці вимоги до алгоритму пред'являють виробники багатьох інформаційних систем. Так, декомпресор фрактального алгоритму дуже ефективно реалізується з використанням технології MMX і розпаралелюванням обчислень, а стиснення за стандартом CCITT Group 3 легко реалізується апаратно.



Критерії порівняння алгоритмів

Характеристики алгоритму залежать від конкретних умов, в які буде поставлений алгоритм. Так, ступінь компресії залежить від того, на якому класі зображень алгоритм тестується. Аналогічно, швидкість компресії нерідко залежить від того, на якій платформі реалізований алгоритм. Виділяють кілька критеріїв порівняння алгоритмів компресії:

· Найгірший, середній і найкращий коефіцієнти стиснення. Тобто частка, на яку зросте зображення, якщо вихідні дані будуть найгіршими; середньостатистичний коефіцієнт для класу зображень, на який орієнтований алгоритм, і, найкращий коефіцієнт. Останній необхідний лише теоретично, оскільки показує ступінь стиснення найкращого (як правило, абсолютно чорного) зображення, іноді фіксованого розміру.

· Клас зображень, на який орієнтований алгоритм.

· Симетричність. Співвідношення характеристики алгоритму кодування до аналогічної характеристики при декодуванні. Характеризує ресурсомісткість процесів кодування і декодування.

· Втрати якості.

· Характерні особливості алгоритму і зображень, до яких його застосовують. Тут можуть зазначатися найважливіші для алгоритму властивості, які можуть стати визначальними при його виборі.

Рекурсивний (хвильовий) алгоритм

Орієнтовано алгоритм на кольорові й чорно-білі зображення із плавними переходами. Ідеальний для картинок типу рентгенівських знімків. Коефіцієнт стиску задається й варіюється в межах 5 - 100. При спробі задати більший коефіцієнт на різких границях, що особливо проходять по діагоналі, проявляється "сходовий ефект". Ідея алгоритму полягає в тому, що зберігається у файл різниця - число між середніми значеннями сусідніх блоків у зображенні, що звичайно приймає значення, близькі до 0. Вейвлетна компресія в сучасних алгоритмах компресії зображень дозволяє значно (до двох разів) підвищити ступінь стиснення чорно-білих і кольорових зображень при порівнянній візуальній якості стосовно алгоритмів попереднього покоління, заснованих на дискретному косинусперетворенні, таких, наприклад, як JPEG. Для роботи з дискретними зображеннями використовується варіант вейвлет-перетворення, відомий як алгоритм Малла. Вихідне зображення розкладається на дві складові - високочастотні деталі (що складаються в основному з різких перепадів яскравості), і згладжену зменшену версію оригіналу. Це досягається застосуванням пари фільтрів, причому кожна з отриманих складових удвічі менша за вихідне зображення. Як правило, використовуються фільтри з кінцевим імпульсним відгуком, у яких пікселі, що потрапили в невелике "вікно", помножуються на заданий набір коефіцієнтів, отримані значення підсумуються, і вікно зсувається для розрахунку наступного значення на виході. Між вейвлетами й фільтрами є тісний зв'язок. Вейвлети безпосередньо не фігурують в алгоритмах, але якщо ітерувати відповідні фільтри на зображеннях, що складаються з єдиної яскравої точки, то на виході будуть все чіткіше проступати вейвлети. Оскільки зображення двовимірні, фільтрація здійснюється й по вертикалі, і по горизонталі. Цей процес повторюється багаторазово, причому щораз як вхід використовується згладжена версія з попереднього кроку. Тому що зображення "деталей" складаються зазвичай з набору різких границь, і містять великі ділянки де інтенсивність близька до нуля. Якщо припустимо зневажити деякою кількістю дрібних деталей, то всі ці значення можна просто занулити. У результаті виходить версія вихідного зображення, що добре піддається стиснення. Для відновлення оригіналу знову застосовується алгоритм Малла, але з парою фільтрів, зворотної до вихідного.

Вейвлет-перетворення (wavelet, вейвлет, хвильки, хвилькові перетворення). Усі вейвлет-перетворення розглядають функцію (взяту як функцією від часу) у термінах коливань, локалізованих за часом (простором) і частотою. Локальність у просторі означає, що енергія хвильок (вейвлетів) сконцентрована на скінченному інтервалі, так звана функція на компактному носії. Частотна локалізація означає, що перетворення Фур'є хвильки локалізоване. Частотна локалізація функції зводиться до понять гладкості та кількості зникаючих моментів. Вейвлет-перетворення звичайно поділяють на дискретне вейвлет-перетворення (DWT) та неперервне вейвлет-перетворення (CWT).

Характеристики хвильового алгоритму.

Цей вид архівації відомий досить давно і безпосередньо виходить з ідеї використання когерентності областей. Ідеальний для картинок типу рентгенівських знімків. Коефіцієнт стиснення задається і варіюється в межах 5-100. До переваг цього алгоритму можна віднести те, що він дуже легко дозволяє реалізувати можливість поступового "проявлення" зображення при передачі зображення по мережі. На відміну від JPEG і фрактального алгоритму даний метод оперує блоками 2х2, 4х4, 8х8 і т.д. За рахунок того, що коефіцієнти для цих блоків зберігаються незалежно, можна досить легко уникнути дроблення зображення на "мозаїчні" квадрати.

Застосування вейвлет-перетворень

Дискретне вейвлет-перетворення (DWT) звичайно використовується для кодування сигналів, у той час як CWT для аналізу сигналів. Саме тому, DWT широко застосовується в інженерній справі і комп'ютерних науках, а CWT у наукових дослідженнях фізичних процесів. Вейвлет-перетворення в наш час взяті на озброєння для величезної кількості різнопланових застосувань, нерідко заміняючи звичайне перетворення Фур'є у багатьох прикладних задачах. Ця зміна парадигми спостерігається в багатьох галузях фізики, включаючи молекулярну динаміку, астрофізику, квантовій механіці, геофізиці, оптиці, механіці рідини та у багатьох інших областях, включаючи обробку зображень, аналізу кров'яного тиску, пульсу та ЕКГ, аналіз ДНК, дослідження білків, вивчення клімату, загальну обробку сигналів, розпізнавання мови, комп'ютерну графіку і мультифрактальний аналіз. Таке широке використання вейвлет-перетворень забезпечується можливістю побудувати на їх основі методи, що потребуватимуть O(N) операцій, на противагу методів Фур'є-перетворень, де кількість операцій не менша за O(NlogN).

Ідея алгоритму

Ідея алгоритму полягає в тому, що ми зберігаємо в файл різницю число між середніми значеннями сусідніх блоків у зображенні, яке зазвичай приймає значення близькі до 0.

Так два числа i і завжди можна представити у вигляді

Аналогічно послідовність може бути попарно переведена в послідовність .

Розберемо конкретний приклад: нехай ми стискаємо рядок з 8 значень яскравості пікселів

Ми отримаємо наступні послідовності

Зауважимо, що значення досить близькі до 0. Повторимо операцію, розглядаючи i як Дана дія виконується рекурсивно, звідки і назва алгоритму. Ми отримаємо з

(215.5, 215, 215.5, 206): (215.25, 210.75) (0.25, 4.75).

Отримані коефіцієнти, округливши до цілих і стиснувши, наприклад, за допомогою алгоритму Хаффмана з фіксованими таблицями, ми можемо помістити у файл.

Зауважимо, що ми застосовували наше перетворення до ланцюжку тільки два рази. Реально ми можемо дозволити собі застосування wavelet-перетворення 4-6 разів. Більш того, додаткове стиснення можна отримати, використовуючи таблиці алгоритму Хаффмана з нерівномірним кроком (тобто нам доведеться зберігати код Хаффмана для найближчого в таблиці значення). Ці прийоми дозволяють досягти помітних коефіцієнтів стиску.

Вправа: Ми відновили з файлу ланцюжок (215, 211) (0, 5) (6, -3, 1, 4) (див. приклад). Побудуйте рядок з восьми значень яскравості пікселів, яку відтворить алгоритм хвильового стиску.

Алгоритм для двовимірних даних реалізується аналогічно. Якщо у нас є квадрат з 4 точок з яскравістю



Використовуючи ці формули, ми для зображення 512х512 пікселів отримаємо після першого перетворення 4 матриці розміром 256х256 елементів:

У першій, як легко здогадатися, буде зберігатися зменшена копія зображення. У другій - усереднені різниці пар значень пікселів по горизонталі. У третій - усереднені різниці пар значень пікселів по вертикалі. У четвертій - усереднені різниці значень пікселів по діагоналі. За аналогією з двовимірним випадком, ми можемо повторити наше перетворення і отримати замість першої матриці 4 матриці розміром 128х128. Повторивши наше перетворення в третій раз, ми отримаємо в підсумку: 4 матриці 64х64, 3 матриці 128х128 і 3 матриці 256х256. На практиці, при записі у файл, значеннями, одержуваними в останньому рядку ( ). Зазвичай нехтують (відразу одержуючи виграш приблизно на третину розміру файлу - 1 - 1/4 - 1/16 - 1/64...).

На практиці для стиснення зображень використовують різні дискретні перетворення. Найчастіше вихідне дискретне зображення розбивається для обробки на блоки невеликої розмірності та кожний фрагмент обробляється незалежно за допомогою перетворення при стиснені та зворотного перетворення при відновлені.

Схема розробленого алгоритму стиснення зображень з використанням ВП

Для відновлення зображення необхідно здійснити зворотні перетворення.

Схема відновлення зображення

Розглянемо алгоритм стиснення, частину першу. Кодер складається з трьох основних частин:

· прямого дискретного ВП,

· процедури квантування з використанням нуль-дерева,

· кодування.

Розглянемо кожну складову вейвлет-кодера окремо.

Пряме дискретне ВП

Для здійснення прямого дискретного ВП необхідно здійснити вибір базисної вейвлет-функції (ВФ), вибір якої є досить неоднозначною задачею. При виборі ВФ необхідною враховувати її властивості: наявності швидкого ВП, кількість нульових моментів, ортогональність.

Перерахованими властивостями володіють ортогональні вейвлети (Добеши, Симлети, Койфлети) та В-сплайнові біортогональні вейвлети.

Графіки вейвлетів: а - Симлет-8; б - Добеші-8; в - Койфлет-3

Графіки біортогонального вейвлета № 2, 6



Квантування з використанням нуль-дерева

Вперше ідея нуль-дерева була запропонована Л.Льюїсом и Г.Ноулесом. У їх алгоритмі застосовувалася деревовидна структура даних для опису вейвлет-коефіцієнтів. Така структура виходить в результаті застосування двоканального роздільного ВП.

Вузли дерева відповідають вейвлет-коефіцієнтам масштабу розкладу. Кожен вузол має чотири складових, відповідних вейвлет-коефіцієнтам наступного рівня.

Залежність між коефіцієнтами ВП у квантуванні з використанням нуль-дерева

Квантування нуль-дерева засноване на принципі, що якщо коефіцієнт малий, то і всі його складові теж малі. Це пояснюється тим, що значущі коефіцієнти виникають поблизу контурів і текстур. Дерево або піддерево, яке містить тільки незначущі коефіцієнти, називається нуль-деревом. Спочатку кожен вузол квантується. Якщо значення квантованого вузла менше деякого порогу, піддерево, що починається з цього вузла, оголошується нуль-деревом, і його складові ігноруються. Ці складові будуть відновлені декодером як нулі. Якщо вузол не має складових, починає оброблятися наступний кореневий вузол.

Особливу ефективність цьому алгоритму додає сумісне кодування нулів за допомогою кодера[5].

Кодування

У даному алгоритмі використовується векторне кодування. В цьому випадку складається кодова книга, в якій зберігаються комбінації двохмірних блоків коефіцієнтів. Кожному блоку приписано його код, який отримано за алгоритмом Хаффмана. Кодування складається з находження для кожного кодованого блока з кодової книги середньоквадратичної різниці. У вихідний поток записуються коди блоків.

Для відновлення зображення проводиться декодування а потім здійснюється зворотне дискретне ВП.

Перевірку працездатності розробленого алгоритму проведено на прикладі.

Вихідне зображення “танк” розмірність 232 420, 810395 байт

Результат прямого дискретного ВП, базова функція Симлет-8, рівень розкладу 2. Більш яскравим кольором показані коефіцієнти більшої амплітуди. Чітко видно, що їх положення вказує на різкі перепади яскравості.



Вейвлет-коефіцієнти після прямого дискретного ВП

Далі проводилось квантування з використанням нуль-дерева та кодування.

Результати проведеного моделювання за розробленим алгоритмом із заміною нулями різної кількості вейвлет-коефіцієнтів розкладу та векторним кодуванням за алгоритмом Хаффмана, з якого видно, що при заміні нулями 93 % вейвлет-коефіціетів втрати стають візуально помітними[6].

Результати відновлення зображення: а - нулів-80 %; б - нулів-85 %; в - нулів-90 %; г - нулів-93 %

Результати стиснення вихідного зображення різними ВФ зведено в таблиці.

При зміні ВФ та глибини рівня розкладу ВП якість стиснення може змінюватись. Отже, для стиснення тестового зображення при визначених рівнях розкладу найбільш відповідає ВФ Симлет-8. Це обумовлено тим, що при використані даної базової функції середньоквадратичне відхилення відновленого зображення від вихідного менше ніж для інших базових функцій.

Основні критерії оцінювання оптимальності вибору малохвильових функцій

Відзначимо, що основний алгоритм фільтрації та алгоритм компресії сигналів дуже схожі між собою. В основі цих алгоритмів лежать три етапи:

- розкладання сигналу;

– порогова обробка коефіцієнтів або ж відповідне квантування та кодування;

– реконструкція сигналу.

На першому етапі з допомогою дискретного малохвильового перетворення проводиться декомпозиція сигналу з використанням відповідних малохвильових функцій. На другому етапі вибирається частина коефіцієнтів для порогової обробки, зберігаючи неушкодженими коефіцієнти апроксимації відповідного рівня. На третьому етапі на основі модифікованих коефіцієнтів, проводиться реконструкція сигналу зворотнім дискретним малохвильовим перетворенням.

При реалізації компресії та фільтрації сигналів важливим питанням є наявність достатньої кількості інформації для реконструкції сигналу з заданою якістю. Тому однією з вимог до базових малохвильових функцій є забезпечення найбільш повної реконструкції сигналу при зворотному малохвильовому перетворенні.

Таким чином, на якість стиснення сигналу та очищення його від завад може істотно впливати вид і порядок базової малохвильової функції. На даний час існує гостра потреба в пошуку малохвильових базових функцій, оптимальних стосовно критерію відношення ступеня стиснення до якості відновленого сигналу. Тому, для існуючих алгоритмів стиснення та очищення сигналів від завад основними вимогами є:

- максимальне послаблення рівня завад та стиснення, при збереженні корисних складових сигналу;

- можливість відновлення сигналу з відповідною якістю.

Отже, з одного боку необхідно обрати таку базову малохвильову функцію, яка б дозволяла отримати мінімальне значення середньоквадратичного відхилення відтвореного сигналу від оригінального, з іншого боку забезпечити максимально-можливу ступінь стиснення сигналу при задовільній його якості. З огляду на це, для визначення оптимальності вибору малохвильових функцій для стиснення одномірних сигналів вибрані два критерії:

- критерій мінімального середньоквадратичного відхилення відтвореного сигналу від оригінального, що дозволяє вибрати оптимальну малохвильову функцію для забезпечення високої якості реконструйованого сигналу [5]:



де N - кількість відліків сигналу,

X - вихідний сигнал

Y - сигнал, отриманий в результаті реконструкції.

- критерій мінімуму ентропії, як показник гладкості сигналу, що дозволяє отримати високий коефіцієнт стиснення (очищення) сигналу [4].

де - деталізуючі вейвлет-коефіцієнти,

в - рівень деталізації,

j - індекс коефіцієнта на в-му рівні деталізації,

m - кількість рівнів деталізації



Висновок

Отже, рекурсивний (хвильовий) алгоритм - відомий досить давно і безпосередньо виходить з ідеї використання когерентності областей. Орієнтований алгоритм на кольорові і чорно-білі зображення з плавними переходами. Ідеальний для картинок типу рентгенівських знімків. Коефіцієнт стиснення задається і варіюється в межах 5-100. При спробі задати більший коефіцієнт, на різких границях, особливо що проходять по діагоналі, проявляється "сходовий ефект" - сходинки різної яскравості, розміром в декілька пікселів. До переваг цього алгоритму можна віднести те, що він дуже легко дозволяє реалізувати можливість поступового "проявлення" зображення при передачі зображення по мережі. На відміну від JPEG і фрактального алгоритму даний метод оперує блоками 2х2, 4х4, 8х8 і т.д. За рахунок того, що коефіцієнти для цих блоків зберігаються незалежно, можна досить легко уникнути дроблення зображення на "мозаїчні" квадрати.



Список використаної літератури

1. Методи стиснення даних / В. Ватолин, А. Ратушняк, М. Смирнов, В. Юкин. М.: ДІАЛОГ - МІФИ, 2002. 384 с.

2. Зів Дж. Алгоритм універсального стиснення даних / Дж. Зів // Проблеми передачі інформації. 1996. № 2. С. 47-55.

3. Стрюк А.Ю. Кольорові моделі в системах стиснення відеоінформації / А.Ю. Стрюк, К.О. Бохан // Радіоелектроніка і інформатика. 2002. № 1. С. 23-25. 4.

4. Гриньов Д.В. Світло розсіювана модель представлення кольору в задачах стиснення зображень/ Д.В. Гриньов // Системи обробки інформації: зб. наук. пр. Х.: ХУ ПС, 2009. Вип. 6 (80). С. 30-34.

5. Коваленко М.В. Методика стиснення цифрової інформації за допомогою вейвлет-перетворення: збірник наукових праць / М.В. Коваленко, М.М. Проценко. Житомир: ЖВІРЕ, 2003. Вип. 6. С. 11-17.

6. Проценко М.М. Застосування пакетного вейвлет-перетворення для обробки радіотехнічних сигналів / М.М. Проценко // Збірник наукових праць ЖВІ НАУ. Житомир: ЖВІ НАУ, 2009. № 2. С. 183-188.

7. https://uk.wikipedia.org/wiki/Cтиснення_зображень.

Размещено на Allbest.ru