Методика и технология компьютерного моделирования двумерных объектов линейной теории упругости

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»

Математический факультет

Кафедра вычислительной математики и программирования

Курсовая работа

Тема: Методика и технология компьютерного моделирования двумерных объектов линейной теории упругости

Гомель 2011

ВВЕДЕНИЕ

Применение современных компьютерных технологий при исследовании различных физических систем сопряжено с построением и исследованием математических непрерывных моделей соответствующих систем. В формализованной постановке многие модели физических систем являются краевыми задачами математической физики, наиболее эффективным методом их исследования является метод конечных элементов, который позволяет свести решение граничной задачи к решению системы линейных алгебраических уравнений с матрицей специального типа.

Компьютерное объектно-ориентированное моделирование физических систем в своей основе содержит понятие объекта системы, его свойств и связей; при этом используются методы математического и геометрического моделирования, визуальное объектно-ориентированное программирование и методы вычислительного эксперимента. Основой разработанных методологии и методов являются фундаментальные положения механики деформируемого твёрдого тела и механики грунтов, системный анализ деформационных процессов в исследуемой системе и математические методы линейной и нелинейной теории упругости. В качестве модельных задач используются системы механики грунтов и некоторые системы строительной механики.

Целью данной работы является изучение методики и технологии компьютерного моделирования методом конечных элементов двумерных объектов линейной теории упругости.

1. ДЕФОРМАЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

1.1 Линейно-упругие деформации твёрдых тел

Теория упругости изучает вопросы деформирования и напряжения различных упругих тел, возникающих под действием внешних сил.

Величины внешних, т.е. поверхностных нагрузок, а также внутренних сил характеризуются их интенсивностью, т.е. величиной усилия, приходящегося на единицу площади поверхности, на которую они действуют. При рассмотрении внутренних усилий эту интенсивность обычно называют напряжением. Это название можно сохранить и для внешних нагрузок, если они распределены на рассматриваемой области сплошным образом.

Если P обозначим усилие, приходящееся на рассматриваемую элементарную площадку S, то указанное выше напряжение вычисляется следующим образом:

Заметим, что такая формулировка понятия напряжения непременно предполагает тело сплошным, непрерывным.

Внешнюю силу, произвольно ориентированную в пространстве в декартовой системе координат можно представить в виде составляющих

P_x, P_y, P_z, имеющих ориентацию по осям координат. При обозначении напряжения одного индекса недостаточно, так как кроме направления действия составляющей, необходимо еще определить и площадку, на которую она действует. Напряжения представляют в виде двух составляющих: нормальное и касательное напряжения. Индекс нормального напряжения указывает ту ось, параллельно которой направлена составляющая. Касательные напряжения имеют два индекса: первый индекс соответствует оси, параллельно которой действует составляющая, а второй индекс указывает на направление нормали к площадке, на которую действует составляющая. На рис.1.1 представлены составляющие напряжения в декартовой системе координат.

Рис. 1.1 - Составляющие напряжения в декартовой системе координат

Для составляющих напряжения принимается следующее правило знаков: нормальное напряжение считается положительным, когда оно вызывает растяжение, и отрицательным, когда оно вызывает сжатие. Для касательных напряжений положительным направлением будет то, которое совпадает с направлением координатной оси.

Под деформацией понимают изменение линейных размеров тела. Деформация любого элементарного объема может быть представлена состоящей из ряда отдельных простейших деформаций, т.е. разложена на составляющие. В случае элементарного параллелепипеда имеется шесть составляющих деформации: три ее линейные составляющие (удлинение ребер) и три угловые составляющие (сдвиги).

Относительные удлинения ребер обозначают ? с индексом, указывающим направление удлинения. Положительными линейными деформациями считаем удлинения, отрицательными - укорочения. Считается, что положительному сдвигу соответствует уменьшение угла между положительными направлениями осей, отрицательному - увеличение тех же углов. Углы сдвига, проектирующиеся на плоскость x y, обозначим г _xy (или г _yx). Соответственно для остальных плоскостей углы сдвига г _yz (или г _zy) и г _zx (или г _xz). При элементарных деформациях первого рода (удлинение ребер) меняется объем параллелепипеда и его форма, рис.1.2а; а при деформациях второго рода (сдвиги) объем остается неизменным, изменяется лишь форма, рис.1. 2б.

Рассмотрим сплошное твердое тело, прикрепленное к опорам таким образом, что оно не может перемещаться. Тогда перемещения любой точки этого тела могут произойти только в результате деформации этого тела. Обозначим U,V,W проекции полного перемещения некоторой точки на оси координат Ox, Oy, Oz и назовем их компонентами смещения.

а) б)

Рис. 1.2 - Виды деформаций: а) удлинение ребер, б) сдвиг

Компоненты смещения различны для различных точек и являются функциями координат точки:

U=f₁(x,y,z), V=f₂(x,y,z), W=f₃(x,y,z).

Полное смещение точки определяется выражением

.

Запишем дифференциальные уравнения равновесия в статическом (динамическом) виде:

(1.3)

Здесь с - плотность вещества, X, Y, Z - проекции на соответствующие оси объемной силы, отнесенной к единице массы. Выражения в скобках для правой части используется в случае движения.

Перемещения определяются деформациями тела, эта зависимость выражается уравнениями

(1.4)

Эти уравнения также называют геометрическими или уравнениями Коши.

Наличие всех компонентов напряжений, показанных на рис.1.3, определяет следующие составляющие деформации:

 (1.5)

где , G - модули деформации и сдвига, µ - коэффициент Пуассона,

.

1.2 Нелинейно-упругие деформации твёрдых тел

В основе классической теории упругости лежит представление об упругом и линейно деформируемом теле. Для такого тела принимают наиболее простую, линейную, зависимость между слагающими деформациями и возникающими при этом напряжениями. Диаграмма растяжение-сжатие для такого материала в обычных координатах "напряжение-деформация" представляется прямой линией, выходящей из начала координат. Если для материала не применим закон Гука или рассматриваемое состояние деформации перешло за предельно упругое, т.е. в изучаемом диапазоне деформаций диаграмма растяжений материала представляется явно выраженным отрезком кривой (рис.1.3), то в этих случаях в качестве физического закона необходимо принять уравнение этой кривой: у = f(?).

Рис. 1.3 - Диаграмма растяжения для нелинейно-упругого материала

Допустим, что процесс медленной разгрузки происходит по кривой ВАО, причем в обратном порядке наблюдаются те же состояния, что и при нагрузке по ОАВ. Если процесс ОАВ окажется обратимым, такое тело назовем нелинейно-упругим. Теорию, устанавливающую законы деформации в таком теле, называют нелинейной теорией упругости.

Основную предпосылку нелинейной теории упругости можно сформулировать следующим образом: при сложном напряженном состоянии зависимость между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций для каждой точки тела принимается такой же, как зависимость напряжения с удлинением при простом растяжении того же тела.

2. ПОДХОДЫ К ИССЛЕДОВАНИЮ ДЕФОРМАЦИЙ СИСТЕМ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

2.1 Системный подход

Часто выполнение одних задач системы затрудняет решение других, но в целом основным и единственным критерием оценки функционирования подсистем должно быть обеспечение максимума эффективности системы. Следовательно, свойства системы, как сложного объекта, не обнаруживаются в свойствах её отдельных подсистем. Это значит, что традиционный метод изучения целого путём анализа его частей и последующего объединения (суперпозиции) их свойств непригоден для больших и сложных систем. Решением проблемы становится системный подход, суть которого состоит во взаимосвязанном рассмотрении всех элементов (подсистем) системы. При системном подходе система рассматривается не изолированно, а как подсистема более общей системы (системы более высокого ранга). Основным при системном подходе является определение цели, например, условие предельного равновесия деформируемой среды. Для каждой цели должен быть выбран свой надёжный критерий эффективности. Например, для информационных систем это может быть оперативность информации, её полнота, надёжность и прогнозируемость развития процессов, входящих в область интересов системы; для деформируемых систем это может быть удовлетворение принципа стационарности полной энергии системы. Системный подход характеризуется системой принципов. Принципы системного подхода - это некоторые утверждения общего характера, обобщающие опыт человека со сложными системами. Основные принципы следующие:

Принцип конечной цели: абсолютный приоритет конечной цели.

Принцип единства: совместное рассмотрение системы как целого и как совокупности частей (элементов).

Принцип связности: рассмотрение любой части совместно с ее связями c окружением.

Принцип модульного построения: полезно выделение модулей в системе и рассмотрение ее как совокупности модулей.

Принцип иерархии: полезно введение иерархии частей (элементов) и (или) их ранжирование.

Принцип функциональности: совместное рассмотрение структуры и функции с приоритетом функции над структурой.

Принцип развития: учет изменяемости системы, ее способности к развитию, расширению, замене частей, накапливанию информации.

Принцип децентрализации: сочетание в принимаемых решениях и управлении централизации и децентрализации.

Принцип неопределенности: учет неопределенностей и случайностей в системе.

Системный подход при исследовании различных систем, явлений, объектов позволяет с единых позиций строить общую методологию исследования указанных систем и процессов независимо от их природы. Эта методология, как и любая другая, содержит определенные этапы.

Этап 1. Определение системы.

Определение исследуемой функции системы.

Определение области существования системы вместе с ее границей.

Определение краевых условий.

Декомпозиция системы вплоть до простых элементов.

Определение свойств элементов системы и модулей.

Нахождение связей между элементами и модулями системы.

Этап 2. Построение математической модели.

Формальное описание исследуемой функции.

Разработка дискретной модели системы.

Разработка алгоритмической модели.

Разработка программного обеспечения (машинной модели).

Проверка адекватности математической модели системы.

Этап 3. Исследование поведения системы при различных входных воздействиях

2.2 Математическое моделирование

Если система определена и возможно описание ее функции с помощью логики математических предложений, то поведение системы исследуют математическими средствами, средствами вычислительной техники. При этом реальной системе должен быть поставлен в соответствие некоторый абстрактный её образ, называемый математической моделью, адекватно отражающий основные закономерности и особенности оригинала. Таким образом, математическая модель - это конечная совокупность логико-математических предложений, адекватно описывающих определённые качества системы-оригинала. Примерами математических моделей могут быть в принципе любые логико-математические предложения. Самое простейшее из них - уравнение прямой y = kx, самое сложное - совокупность дифференциальных уравнений и логических условий. Основной особенностью математических моделей является их вариативность, т.е. возможность одним знаковым описанием кодировать большое количество конкретных вариантов поведения системы, что даёт возможность достаточно объёмного их исследования. Математическая модель концентрирует в себе записанную в форме математических предложений совокупность наших знаний, представлений и гипотез о соответствующем объекте, процессе, явлении или системе. Поскольку эти знания никогда не бывают абсолютными, более того, как правило, всегда не учитываются при математическом моделировании некоторые известные эффекты, то можно утверждать, что математическая модель только с определенной достоверностью описывает поведение реальной системы. Поэтому при построении математических моделей систем необходимо учитывать следующие основные требования: адекватность, универсальность, точность и экономичность.

Адекватность. Математическая модель считается адекватной исходной системе, если она отражает заданные её свойства с допустимой точностью. Пусть модель имеет m выходных параметров, тогда погрешность модели е_мод можно представить как норму вектора

е = { е₁, е₂, …, е_m }; е_мод = max I е_j I, j = 1,m; или е_мод = , где

относительная погрешность модели по j-у выходному параметру, y_j^в, y_j - вычисленное и действительное значение j-го выходного параметра. Должно выполнятся условие е_мод < е_пред, где е_пред - предельная допустимая погрешность. Область в пространстве внешних параметров, для которой выполняется это условие, называется областью адекватности модели.

Универсальность. Это характеристика полноты отображения в модели исследуемых свойств реальной системы.

Точность. Оценивается точность математической модели степенью совпадения значений параметров исходной системы и значений тех же параметров, вычисленных с помощью оцениваемой математической модели.

Экономичность. Эта характеристика стоимости решения модели по разработанному алгоритму на компьютере.

Основное назначение математического моделирования - сделать возможными некоторые выводы о поведении реальной системы в пространстве и времени. Наблюдения за реальной системой (натурный эксперимент) в лучшем случае могут дать материал лишь для проверки той или иной гипотезы, той или иной модели, поскольку они представляют собой источник информации ограниченного объема о прошлом этой системы. Модель допускает значительно более широкие исследования, результаты которых дают информацию для прогнозирования поведения системы. Чтобы обеспечить эти и другие возможности математической модели, приходится всегда решать проблему адекватности модели и системы, т.е. ставится вопрос исследования согласованности результатов с реальной ситуацией. Создавая математическую модель, исследователь познает систему, т.е. выделяет ее как объект изучения из окружающей среды и строит ее формальное описание в соответствии с поставленными целями и имеющимися возможностями. В дальнейшем через поведение математической модели анализируется поведение реальной системы при различных входных воздействиях.

Математических моделей существует достаточно большое многообразие, которое можно определённым образом классифицировать. Классификация может происходить по различным признакам и качествам, что показано в таблице 2.1.

Таблица 2.1 - Классификация математических моделей

Признак классификации	Математические модели
Характер отображаемых свойств объекта	Структурные, функциональные
Принадлежность к иерархическому уровню	Микроуровни, макроуровни, метауровни
Степень детализации описания внутри одного уровня	Полные, макромодели
Способы представления свойств объекта	Аналитические, алгоритмические, имитационные
Способы получения модели	Теоретические, эмпирические

Любая математическая модель может быть классифицирована по каждому из приведенных признаков. Математические модели, используемые в настоящей работе, могут быть классифицированы как функциональные, теоретические, аналитические, микро- и макроуровневые, полные.

Математические модели могут иметь следующие основные формы представления.

Инвариантная: математические и логические предложения модели записываются в традиционной математической форме безотносительно к методу исследования математической модели.

Алгоритмическая: модель записывается в виде результата аналитического решения исходных уравнений модели, т.е. выходные параметры представляются как явные функции внутренних и внешних параметров.

Схемная: модель представляется на некотором графическом языке, например, на языке графов, эквивалентных схем, диаграмм и т.п. Иногда эту форму записи называют графической.

К числу алгоритмических моделей относится класс имитационных моделей.

Математические модели имеют ряд общих свойств. Основными являются линейность или нелинейность. Это свойство характеризует форму зависимости параметров состояния элементов системы от входных факторов, линейность или нелинейность модели в целом. Указанные свойства могут быть как естественным так и искусственным качеством модели.

Непрерывность или дискретность. Это качество выражается в структуре множеств параметров состояния, процесса и выхода системы. Дискретность этих множеств обуславливает дискретность модели, а их непрерывность обуславливает непрерывность модели. Дискретность или непрерывность модели также может быть качеством естественным или искусственно созданным, например, представление некоторой непрерывной математической функции таблицей её значений в определённых точках.

Детерминированность или стохастичность. Модель называется стохастической (вероятностной), если среди входных воздействий (входов), выходных воздействий (выходов), параметров постоянных или изменяющихся свойств системы во время её рассмотрения имеются случайные (вероятностные) характеристики.

Стационарность или нестационарность. Модель считается стационарной, если все правила её определяющие стационарны. Чаще всего стационарность выражается в неизменности во времени определённых физических величин.

Для определённости также отметим, что в дальнейшем будем считать, что рассматриваемые модели имеют конечное число входов и выходов - свойство конечности модели.

Математические модели строят на основе законов и закономерностей, выявленных фундаментальными науками. Следует сразу отметить, что построение математической модели системы процесс не формализованный и носит поисковый характер, т.е. это путь проб и ошибок в поиске основной идеи. В конечном счете, может быть построено несколько моделей одного и того же процесса или явления, но выбирают только одну, максимально отвечающую требованиям практики. Построение принципиально новой математической модели системы может быть оценено как открытие.

2.3 Компьютерное объектно-ориентированное моделирование

Компьютерное объектно-ориентированное моделирование физических систем в своей основе содержит понятие объекта системы; выполняется в соответствии с принципами системного подхода, используя методы математического и геометрического моделирования, методы визуального объектно-ориентированного программирования и методы вычислительного эксперимента.

При компьютерном объектно-ориентированном моделировании реальной физической системе ставится в соответствие её виртуальная физическая модель. Она состоит из виртуальных объектов, наследующих выделенные свойства, связи, назначение и привязку соответствующих объектов реальной системы. Поэтому исследование реальной системы является начальным этапом разработки проекта работ по созданию системы компьютерного объектно-ориентированного моделирования физических систем, объектов и процессов. Исследование физической системы производится в соответствии с принципами системного подхода и содержит требование исследования системы во «времени» и «пространстве». Описание существования физической системы во «времени» приводит к понятию «жизненного цикла», а описание в «пространстве» - к понятию «внешней среды», с которой взаимодействует физическая система. Под жизненным циклом сложной физической системы понимают структуру процесса её разработки, производства и эксплуатации, охватывающее время от возникновения идеи создания системы до снятия её с эксплуатации. Аналогично для виртуальной физической системы и в целом для системы компьютерного объектно-ориентированного моделирования физических систем, объектов и процессов. Жизненный цикл системы компьютерного объектно-ориентированного моделирования включает следующие стадии:

1. Формирование требований к системе и разработка технического задания;

2. Проектирование;

3. Изготовление, верификация, опытная эксплуатация и совершенствование системы;

4. Целевое применение разработанного продукта.

Стадию №1 называют ещё внешним или макропроектированием. На этой стадии выясняются цели и задачи создаваемой системы, исследуются свойства внешней среды, определяются характеристики её воздействия на систему. Результатом внешнего проектирования является техническое задание на разработку проекта, содержащее основные требования к системе и взаимодействию её с внешней средой, обеспечивающее решение стоящих перед системой задач. В стадии внешнего проектирования выделяют следующие основные этапы:

Предварительное проектирование;

Эскизное проектирование;

Рабочее (техническое) проектирование.

На этапе предварительного проектирования формируются техническая концепция и основные (обликовые) параметры системы, отвечающие требованиям технического задания. Итогом этого этапа является техническое предложение (задание) на разработку проекта. Основная задача эскизного проектирования - уточнение параметров и характеристик системы, связанное с физической и математической проработкой её основных подсистем и агрегатов и формированием их облика. Результат выполнения этапа - эскизный проект.

На этапе рабочего проектирования происходит окончательная детализация проекта. Итогом является полный детальный проект разработки системы. На рис. 2.1 представлена структурная схема детального проекта системы компьютерного объектно-ориентированного моделирования физических систем.



Рис. 2.1 - Структурная схема компьютерного объектно-ориентированного моделирования физической системы

Наполнение объектов системы следующее.

- Установление границы системы: определение размеров рассматриваемой области, граничных условий.

- Установление структуры системы.

- Детализация элементов системы.

- Определение свойств элементов системы.

- Определение структурных связей элементов системы: связи позволяют посредством переходов по ним от элемента к элементу соединить два любых элемента совокупности.

Стадию №2 называют внутренним проектированием или микропроектированием. На стадии внутреннего проектирования определяется внутренняя структура системы, разрабатывается её виртуальная физическая, геометрическая и математическая модели; формируются базы данных, содержащие конструктивные и физико-механические характеристики объектов и элементов системы; и др.

Цель внутреннего проектирования состоит в разработке всей методики и алгоритмов рабочего проекта системы, удовлетворяющего требованиям технического задания.

На стадии №3 производят разработку, верификацию, опытную эксплуатацию и совершенствование системы компьютерного моделирования. Стадия №4 - это стадия практического применения разработанной методики и программного обеспечения компьютерного объектно-ориентированного моделирования реальных объектов и физических систем с целью исследования их состояния при различных входных воздействиях и последующего определения параметров моделируемой системы, отвечающих заданным требованиям.

3. ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СИСТЕМЫ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

3.1 Построение математической модели системы твердых тел

Природа элементов системы может быть различна. Это качество системы и принципы системного подхода в целом позволяют подойти к исследованию систем на довольно высоком содержательном уровне. Задачи исследования могут быть разными. В этой работе ставится задача исследования напряженно-деформированного состояния системы деформируемых твердых тел в целом и на уровне её отдельных элементов.

Математическая модель системы получается как синтез математических моделей её элементов. Правила синтеза обусловлены структурой и свойством исходной системы и её элементов.

При построении сложных систем лучше всего вводить декомпозицию и деление на модули, при необходимости нужно строить иерархию модулей, рассматривать потоки информации между модулями и моделями и т.п. Отметим, что основной спецификой моделирования систем является учёт связей между отдельными моделями. Изложенный материал позволяет дать более строгое определение математической модели системы или объекта.

Математическая модель это некоторый абстрактный образ, т.е. конечная совокупность логико-математических предложений, адекватно отражающих основные закономерности и особенности оригинала, т.е. реального объекта или системы, которые имеют свою среду (пространство) и условия существования. Всякая реальная система или объект всегда имеют определенные связи с внешней средой, которая налагает свои условия на их существование и функционирование. Все эти и другие качества в математической модели должны иметь своё отображение, а это значит, что математическая модель может иметь свою структурную схему. В общем случае эта структурная схема может быть представлена следующим образом:

Математическая модель среды существования системы,

Математическая модель состояния среды системы или объекта,

Условия связи системы с внешней средой,

Математическая модель основной функции системы,

Математическая модель результата решения.

Математическое наполнение элементов этой структуры зависит от класса моделируемых задач и даже от особенностей задач одного класса. Для краевых задач механики грунтов приведенная структурная схема будет иметь такой вид:

Геометрическая и структурная модели деформируемой среды,

Уравнения состояния элементов структуры деформируемой среды,

Система краевых условий,

Условия равновесия (устойчивости) системы,

Математическая модель результата решения.

Известно, что наиболее трудным этапом системных исследований является построение и оценка адекватности математической модели реальной системе или объекту. Предлагаемая структурная схема является общим эффективным алгоритмом построения математических моделей систем.

В процессе математического моделирования исследователь имеет дело с тремя объектами.

1. С системой (реальной, проектируемой, воображаемой ).

2. С математической моделью системы.

3. С алгоритмической (машинной ) моделью.

В соответствии с этим возникают следующие задачи.

1. Определение и формирование системы

2. Построение математической модели системы.

3. Разработка алгоритмической (машинной) модели.

4. Разработка программного комплекса.

В современной науке и технике возникающие проблемы, как правило, сводятся к построению математических моделей систем и разработке методов их исследования. Наиболее эффективным методом исследования систем является метод вычислительного эксперимента.

Математические модели систем, чаще всего, представляют классы краевых задач математической физики, которые подразделяются на эллиптические, гиперболические и параболические.

Всякая краевая задача определена на некоторой области G с границей Г. Реальная задача в области G моделируется дифференциальным уравнением в частных производных, решение которого ищется при определенных ограничениях (условиях), заданных на границе области Г. При этом методы решения могут быть точные и приближенные. Точные методы всегда только аналитические. Приближенные методы подразделяются на аналитические и численные. Численные методы отличаются наибольшей универсальностью. Наиболее часто употребляемые численные методы - метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ), метод суперэлементов (МСЭ). Метод конечных элементов характеризуется наибольшей универсальностью.

3.2 Исследование математических моделей методом конечных элементов. Основные положения метода конечных элементов

Основные положения метода конечных элементов

При применении метода конечных элементов для решения задач теории упругости сплошное тело рассматривают условно состоящим из конечного числа отдельных элементов, вплотную прилегающих друг к другу и шарнирно скрепленных между собой в вершинах этих элементов. Форма и размеры тела остаются неизменными. В случае полупространства или полуплоскости выделяется область, ограниченная на некотором расстоянии от приложенных нагрузок, где значениями напряжений или перемещений, возникающих от этих нагрузок, можно пренебречь. Форма элементов может быть различной и зависит от формы рассматриваемой области или ее участков. Для плоской задачи наиболее простые решения получаются при треугольной или прямоугольной форме элементов. Для пространственной задачи элементы могут выбираться в форме параллелепипедов, тетраэдров или иметь более сложную форму.

Сплошное тело, разделенное на элементы, казалось бы обладает большей податливостью, что приведет к искажению напряжения и деформаций. Для того чтобы этого не произошло, необходимо ввести определенные условия, приводящие к идентификации напряженно - деформируемого состояния тела. Это достигается требованиями выполнения условий сплошности, в частности, на границах между элементами, т.е. разделение сплошной среды на элементы в МКЭ не сопровождается ее разрезом, элементы не являются отдельными кусками, а лишь выделяются из сплошной среды. В общем случае среда может быть неоднородной по своим физико-механическим свойствам. Однако разбивку на элементы следует производить так, чтобы в пределах одного элемента участок среды можно было бы рассматривать как однородный. Причем любой другой элемент, оставаясь так же однородным, может характеризоваться свойствами, отличными от соседних элементов. Таким образом, система элементов будет в целом представлять неоднородную среду.

Очевидно, число коэффициентов в этих полиномах больше на единицу размерности координатного пространства, или коэффициентов столько, сколько вершин в конечном элементе. Деформация и напряжение в любом конечном элементе выражаются через перемещения по известным формулам. В узлах элементов вводятся концентрированные силы, статически эквивалентные напряжениям на границе соответствующего элемента и внешним силам, приложенным к нему. Условие равновесия этих сил в любом узле приводит к системе алгебраических уравнений для основных неизвестных параметров.

Дискретизация и оптимальная нумерация узлов области

Процесс дискретизации разделяется на два этапа: разбиение области определения функции на элементы и нумерация элементов и узлов. Каждый этап имеет свои особенности. Разбиение любой области чаще проводят в два этапа:

Разбиение области на подобласти. Подобласти должны характеризоваться стационарностью определяющих характеристик: свойства материала, прилагаемая нагрузка и т.п.

Разбиение подобластей на конечные элементы. Предпочтение отдаётся элементам более простой формы, чаще всего это симплекс - элементы.

Размеры подобластей и конечных элементов могут быть различными. На практике в предполагаемых местах высоких градиентов функции или сложной границы дискретизацию проводят элементами малых размеров.

Вопрос нумерации узлов не совсем простой, т.к. порядок нумерации конечных элементов и узлов резко влияет на объём обрабатываемой информации. Применение метода конечных элементов для решения краевых задач приводит к системе линейных алгебраических уравнений с ленточной симметричной матрицей. Ширина её полуленты зависит от порядка нумерации узлов и определяется по формуле B = (R+1)*Q,

где R - максимальная разность максимальных разностей номеров узлов в конечных элементах, Q - число неизвестных (степеней свободы) в каждом узле. Минимизация B связана с минимизацией R, что достигается выбором направления нумерации узлов и конечных элементов.

Основная концепция метода конечных элементов

Метод конечных элементов (МКЭ) основан на идее аппроксимации непрерывной функции (температуры, давления, перемещения и т.п.) дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определённых на конечном числе подобластей, называемых конечными элементами. В качестве функции элемента, чаще всего, принимается полином. Порядок полинома определяется числом используемых в каждом узле элемента данных о непрерывной функции. В общем случае форма конечного элемента может быть произвольной, но для удобства математических выкладок их принимают правильной геометрической формы. Конечные элементы могут быть линейные и криволинейные, одномерные, двумерные и трёхмерные. Количество узлов конечного элемента может быть равно или больше количества его вершин. В зависимости от этого качества можно проводить классификацию конечных элементов. Выделяют следующие три группы: симплекс-, комплекс- и мультиплекс-элементы.

Симплекс- элементам соответствуют полиномы, содержащие константу и линейные члены:

= ₁ + ₂ х + ₃ у + ₄ z ;

Здесь коэффициентов столько сколько узлов.

Комплекс - элементам соответствуют полиномиальные функции, содержащие константу и члены первого и более высоких порядков. Форма комплекс - элемента может быть такой же как и у симплекс - элемента, но комплекс - элементы имеют количество узлов большее количества вершин. Интерполяционный полином для двумерного треугольного комплекс - элемента имеет вид: = ₁ + ₂ х + ₃ у + ₄ х² +₅ х у + ₆ у²;

Это соотношение содержит шесть коэффициентов, поэтому рассматриваемый элемент должен иметь шесть узлов.

Мультиплекс-элементы отличаются от комплекс - элемента тем, что его границы должны быть параллельны координатным осям, что необходимо для достижения непрерывности при переходе от одного элемента к другому. Границы и поверхности конечного элемента геометрически могут быть нелинейными все или только их часть. Возможность моделирования криволинейных границ достигается добавлением узлов в середину сторон (плоскостей) конечного элемента.

3.3 Построение конечно - элементных соотношений

Для двумерных систем линейной теории упругости

Рассмотрим метод построения конечно-элементных соотношений для

плоской задачи теории упругости.

Для практических задач наиболее удобными оказались треугольные элементы, позволяющие легко сгущать сетку в местах ожидаемых высоких градиентов и удобные при оконтуривании границ рассчитываемой области.

Пусть имеется двумерный симплекс-элемент с вершинами i, j, k (рис. 3.1).

Перемещение, как величина векторная, в каждом узле будет представлено двумя компонентами: {}^T={U_,V}, где = i, j, k.

Следовательно, для всего конечного элемента получим: {}^еT={_i,J,_k}.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 3.1 - Схема деформации треугольного элемента

Перемещения внутри элемента должны однозначно определятся этими шестью компонентами.Для рассматриваемого элемента Функция перемещений представляется линейным полиномом: =₁+₂x+₃y.

Поэтому для аппроксимации перемещений в области элемента будем иметь:

u =₁+₂ x+₃ y, (3.1)

v =₄+₅ x+₆ y,

где _1,2,....,6 - параметры линеаризации, постоянные для элемента.

Для компоненты U в узлах i, j, k получим:

u_i = ₁+₂ x_i+₃ y_i,

u_j = ₁+₂ x_j+₃ y_j, (3.2)

u_k = ₁+₂ x_k+₃ y_k,

Решая (3.2) относительно _1,2,3 и подставляя полученные для них выражения в (3.1) получим:

U = [(a_i+b_i x+c_iy)U_i + (a_j+b_j x+c_jy)U_j+ (a_k+b_k x+c_ky)U_k] /(2S), (3.3)

где a_i = x_j y_k - x_k y_i ; b_i = y_j-y_k ; c_i = -(x_j - x_k). (3.4)

Коэффициенты a_j, b_j, a_k, b_к, получаются из (3.4) круговой перестановкой индексов. Для компоненты V аналогично:

V = [(a_i+b_i x+c_iy)V_i + (a_j+b_j x+c_jy)V_j+ (a_k+b_k x+c_ky)V_k] /(2S), (3.5)

Деформации определяются из уравнений Коши

{}==. (3.6)

Подставляя в уравнения (3.6) равенства (3.3) и (3.5) и производя дифференцирование, получим :

Напряжения {}= [D]*{} = [D]*[B]*{ }^e (3.8)

Матрица [D] для случая плоского напряжённого состояния имеет вид:

[D]=;

Для вывода основного уравнения МКЭ воспользуемся принципом стационарности полной энергии системы:

(3.9)

гдеП = 0,5* {}^T{}dS - {}^T{P} (3.10)

{P} - вектор внешних сил.

Подставим в (3.10) соотношения (3.7) и (3.8):

П = 0,5* {}^T[B]^T[D] [B] {}^e dS - {}^T[P], (3.11)

т.к. в (3.11) векторы и матрицы от координат не зависят, то

П = 0,5*{}^T[B]^T[D] [B] {}^e S - {}^T[P], (3.12)

Подставляя (3.12) в (3.9), получим:

S*[B]^T[D] [B] {}^e - [P] = 0, (3.13)

Введём обозначение:

[K] = S*[B]^T[D] [B], (3.14)

тогда (3.13) примет вид:

[K] {}^e = [P](3.15)

Это и есть основное уравнение МКЭ.

Если в (3.14) выполнить матричные операции, то получим:

где [K]_ij = [K]_ji^T, m, n = i, j, k ; = E / (1-²).

Матрица жесткости системы, определяющая жесткость конструкции в целом, строится в следующем порядке

K_ij=, (3.18)

где N - количество конечных элементов дискретизованной области.

Суммирование в (3.18) производится учитывая номера конечных элементов и узлов. Покажем сказанное на примере.

Пусть дискретизованная область имеет вид рис.3.2.

Рис. 3.2 - Схема определяемые глобальными номерами рассматриваемых узлов

Матрица жесткости для этого ансамбля (глобальная матрица) может быть получена следующим образом:

1) формируем соответствующее матричное поле, пока не заполненное (двумерный массив);

2) рассматриваем i-й конечный элемент и для него вычисляем матричные коэффициенты по (3.17), которые прибавляем к глобальной матрице на позиции,

Следовательно, соблюдая глобальную нумерацию узлов и номера конечных элементов (верхние индексы) пластинки, получим:



Ввиду того, что матрица жесткости системы имеет ленточную структуру и симметрична относительно главной диагонали, в памяти ЭВМ достаточно сформировать и хранить лишь члены из ленты по одну сторону от главной диагонали (включая и диагональные члены). После построения матрицы жесткости всей конструкции [K], составляется система линейных уравнений.

[K]{}= {P} (3.19)

где {P} и {} - векторы узловых сил и перемещений системы;

{P}=; {}=.

В своём первоначальном виде система (3.19) решения не имеет, т.к. матрица жёсткости [K] сингулярная - её главный определитель равен 0. Отметим, что построение основного уравнения метода конечных элементов (3.19) производилось без учёта граничных условий. Учёт граничных условий в приводит к изменению матрицы жёсткости [K] и векторов {P} и {}. Матрица [K] уже не будет сингулярной и система (3.19) будет иметь решение. После определения перемещения, по уравнениям (3.7) и (3.8) определяются деформации и напряжения в элементах.

3.4 Исследование математических моделей нелинейных систем деформируемых твердых тел

Общие предпосылки

Изложенный выше МКЭ был ориентирован на линейные краевые задачи. При этом предполагалось выполнение следующих условий:

1) линейность связи между деформациями и перемещениями;

2) линейность связи между напряжениями и деформациями.

Однако, в реальном мире ни одно из этих условий не выполняется. Рассмотрение одновременно обоих условий является математически очень сложной задачей, поэтому в дальнейшем будем рассматривать только физическую нелинейность.

Как показывалось выше, решение линейных задач теории упругости МКЭ сводится к решению системы

[K]{U}={P}. (3.20)

Рассматривая краевую задачу в полной постановке, мы должны ввести понятие начальной деформации и начальных напряжений, которые имели место до момента приложения внешних сил, эффект действия которых нас интересует.

Алгоритм численного моделирования нелинейных систем деформируемых твёрдых тел

Исследование математических моделей сложных и больших пространственных нелинейных систем деформируемых твёрдых тел в силу произвольности задаваемых нагрузок, структуры системы и нелинейной деформируемости материала элементов системы возможно лишь численно с использованием современных компьютеров методами конечных элементов и (или) суперэлементов. Алгоритм исследования математической модели системы методом конечных элементов можно представить в виде ряда определённых этапов. Учитывая эту особенность, рассмотрим содержание этапов алгоритма исследования математических моделей на примере систем механики грунтов, оснований и фундаментов.

Этап 1. Построение расчетной области.

Расчетная область правильной геометрической формы строится в объеме деформируемой области. Её размеры могут определяться двумя способами. По первому способу граничные условия расчётной области определяются путем вычислительного эксперимента. Второй способ основан на использовании данных экспериментальных исследований. Методом вычислительного эксперимента были оценены оба подхода по определению размеров расчетной области, различие в соответствии не более 7%. При построении расчетной области учитывается наличие плоскостей симметрии.

Этап 2. Дискретизация расчетной области.

Дискретизация пространственной расчетной области производится параллелепипедами, каждый из которых разделяется на шесть равновеликих тетраэдров. При дискретизации учитываются особенности структуры основания. Разбиение на конечные элементы согласно количеству узлов и векторов шагов дискретизации производится автоматически. При дискретизации каждый конечный элемент должен иметь однородную структуру со своими характеристиками. Вследствие деформации конечные элементы могут менять свои свойства.

Этап 3. Построение матрицы жёсткости системы

Матрица жёсткости системы строится в соответствии с построенной схемой дискретизации по аналитическому алгоритму.

Этап 4. Задание граничных условий.

Граничные условия расчетной области определяются системой внешних сил и принятым способом определения размеров расчетной области. На верхней граничной плоскости задается система внешних сил.

Этап 5. Учёт граничных условий.

В соответствии с граничными условиями проводится корректировка матрицы жесткости

Этап 6. Решение систем линейных алгебраических уравнений с симметричной ленточной матрицей, компактно записанной в памяти компьютера.

3.5 Программное обеспечение объектно-ориентированного моделирования системы деформируемых твёрдых тел

Изложенные методика и алгоритмы программно реализованы в виде приложения, разработанного в среде объектно-ориентированного программирования DELPHI. Модульная схема программного обеспечения приведена на схеме рис.3.2.



Рис. 3.2 - Модульная схема программного обеспечения компьютерного объектно-ориентированного моделирования физической системы

Технология объектно-ориентированного программирования(ООП)

Основывается на трех свойствах: инкапсуляции, наследовании и полиморфизме. Наблюдаемое в объектах объединение данных и операций в одно целое было обозначено термином инкапсуляция(первое свойство ООП). Применение инкапсуляции сделало объекты похожими на маленькие программные модули. Для объектов появилось понятие интерфейса, что значительно повысило их надежность.

Второе свойство ООП-наследование. Этот принцип означает, что при создании нового класса, лишь немногим отличающегося от существующего, нет необходимости в переписывании заново всех полей, методов и свойств. При этом объявляется, что новый класс является потомком имеющегося класса, называемого предком, и добавляются к нему новые поля, методы и свойства, т.е. добавляется то, что нужно для перехода от общего к частному. Процесс порождения новых классов на основе других классов называется наследованием.

Третье свойство-это полиморфизм. Он означает, что в производных классах можно изменять работу уже существующих в базовом классе методов.

Окно разработанного приложения содержит:

Строки заголовка, меню и состояния;

Панель инструментов;

Рабочую область, разделенную на части;

Дополнительную информационную панель;

Виртуальную модель системы;

Панель для выбора составляющих виртуальной модели.

4. КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ ДВУМЕРНЫХ ОБЪЕКТОВ ЛИНЕЙНОЙ И НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

4.1 Методика и технология компьютерного моделирования

Компьютерное объектно-ориентированное моделирование физических систем в своей основе содержит понятие объекта системы, его свойств и связей; выполняется в соответствии с принципами системного подхода, используя методы математического и геометрического моделирования, методы визуального объектно-ориентированного программирования и методы вычислительного эксперимента. При компьютерном объектно-ориентированном моделировании реальной физической системе ставится в соответствие её виртуальная физическая модель, которая строится на экране монитора и отображает структуру исходной системы, при этом происходит решение ряда позиционных и метрических задач. Виртуальная физическая модель системы представляет собой компьютерное представление реальной системы, описывающее её геометрические и физические свойства. Так как для рассматриваемого класса задач реальные компоненты исследуемой системы состоят из конструктивных элементов, то логично будет и в качестве элементарных составляющих виртуальной физической модели принять некоторые виртуальные конструктивные элементы. Физическое содержание этих элементов определяется физическим содержанием реальной исследуемой физической системы. Рассмотрим это на примере системы «Здание - фундамент - грунтовое основание». Как правило, грунтовое основание в плане всего здания неоднородное, но его всегда можно представить совокупностью конечных элементов однородных по своей структуре и свойствам, которые в компьютерном представлении будем называть конструктивными виртуальными элементами грунта. В целом вся проектируемая система: здание, фундамент и грунтовое основание, может быть представлена из ограниченного числа конструктивных типовых элементов, поэтому целесообразно создать их библиотеку (палитру).

Каждый виртуальный конструктивный элемент в памяти компьютера представляет собой объект, обладающий рядом свойств и методов, которые можно разделить на следующие группы:

определение геометрических свойств реального конструктивного элемента: размеры, внутренние и внешние границы;

определение физических свойств реального конструктивного элемента: закон деформирования, модуль упругости, коэффициент Пуассона и т.п.;

осуществление визуализации конструктивного виртуального элемента;

формирование математической модели;

методы исследования математической модели и формирования виртуальной модели состояния системы;

информационные: уникальный номер, наименование, марку и т.п.

Для визуализации конструктивных элементов используются средства, предоставляемые Microsoft DirectX - мощный пакет графических процедур и функций, использующих аппаратные возможности видеоадаптеров, что позволяет с максимальной скоростью обрабатывать сложные графические объекты. Следовательно, каждый виртуальный конструктивный элемент должен содержать свойства и методы, позволяющие для его визуализации использовать DirectX.

На этапе формирования виртуальной физической модели системы рационально параллельно провести её дискретизацию на конечные элементы.

После построения виртуальной модели конструкции и грунтового основания необходимо задать граничные условия. На этом формирование виртуальной физической модели завершается.

Таким образом, виртуальная физическая модель состоит из виртуальных объектов, наследующих выделенные свойства, связи, назначение и привязку соответствующих объектов реальной системы. Поэтому исследование реальной системы является начальным этапом разработки проекта работ по созданию системы компьютерного визуального объектно-ориентированного моделирования систем и объектов. Исследование физической системы производится в соответствии с принципами системного подхода и содержит требование исследования системы во «времени» и в «пространстве». Описание существования физической системы во «времени» приводит к понятию «жизненного цикла», а описание в «пространстве» - к понятию «внешней среды», с которой взаимодействует физическая система. Под жизненным циклом сложной физической системы понимают структуру процесса её разработки, производства и эксплуатации, охватывающее время от возникновения идеи создания системы до снятия её с эксплуатации. Аналогично для виртуальной физической системы и в целом для системы компьютерного визуального объектно-ориентированного моделирования физических систем и процессов. Жизненный цикл системы компьютерного визуального объектно-ориентированного моделирования включает следующие стадии:

1. Формирование требований к системе и разработка технического задания;

2. Проектирование;

3. Изготовление, верификация, опытная эксплуатация и совершенствование системы;

4. Целевое применение разработанного продукта.

Стадию №1 называют ещё внешним или макропроектированием. На этой стадии выясняются цели и задачи создаваемой системы, исследуются свойства внешней среды, определяются характеристики её воздействия на систему. Результатом внешнего проектирования является техническое задание на разработку проекта, содержащее основные требования к системе и взаимодействию её с внешней средой, обеспечивающее решение стоящих перед системой задач. В стадии внешнего проектирования выделяют следующие основные этапы:

1. Предварительное проектирование;

2. Эскизное проектирование;