Аппроксимация функции методом наименьших квадратов

Развитие навыков работы с табличным процессором Microsoft Excel и программным продуктом MathCAD и применение их для решения задач с помощью электронно-вычислительных машин. Схема алгоритма. Назначение функции Линейн и метода наименьших квадратов.

Рубрика Программирование, компьютеры и кибернетика
Вид курсовая работа
Язык русский
Дата добавления 17.12.2014
Размер файла 340,4 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине: Информатика

Тема: Аппроксимация функции методом наименьших квадратов

Оглавление

Введение

1. Постановка задачи

2. Расчётные формулы

3. Расчёт с помощью таблиц, выполненных средствами Microsoft Excel

4. Схема алгоритма

5. Расчет в программе MathCad

6. Результаты, полученные с помощью функции Линейн

7. Представление результатов в виде графиков

Выводы

Список используемой литературы

Введение

Целью курсовой работы является углубление знаний по информатике, развитие и закрепление навыков работы с табличным процессором Microsoft Excel и программным продуктом MathCAD и применение их для решения задач с помощью ЭВМ из предметной области, связанной с исследованиями.

Аппроксимация (от латинского "approximare" -"приближаться") - приближенное выражение каких-либо математических объектов (например, чисел или функций) через другие более простые, более удобные в пользовании или просто более известные. В научных исследованиях аппроксимация применяется для описания, анализа, обобщения и дальнейшего использования эмпирических результатов.

Как известно, между величинами может существовать точная (функциональная) связь, когда одному значению аргумента соответствует одно определенное значение, и менее точная (корреляционная) связь, когда одному конкретному значению аргумента соответствует приближенное значение или некоторое множество значений функции, в той или иной степени близких друг к другу. При ведении научных исследований, обработке результатов наблюдения или эксперимента обычно приходиться сталкиваться со вторым вариантом.

При изучении количественных зависимостей различных показателей, значения которых определяются эмпирически, как правило, имеется некоторая их вариабельность. Частично она задается неоднородностью самих изучаемых объектов неживой и, особенно, живой природы, частично - обуславливается погрешностью наблюдения и количественной обработке материалов. Последнюю составляющую не всегда удается исключить полностью, можно лишь минимизировать ее тщательным выбором адекватного метода исследования и аккуратностью работы. Поэтому при выполнении любой научно-исследовательской работы возникает проблема выявления подлинного характера зависимости изучаемых показателей, этой или иной степени замаскированных неучтенностью вариабельности: значений. Для этого и применяется аппроксимация - приближенное описание корреляционной зависимости переменных подходящим уравнением функциональной зависимости, передающим основную тенденцию зависимости (или ее "тренд").

При выборе аппроксимации следует исходить из конкретной задачи исследования. Обычно, чем более простое уравнение используется для аппроксимации, тем более приблизительно получаемое описание зависимости. Поэтому важно считывать, насколько существенны и чем обусловлены отклонения конкретных значений от получаемого тренда. При описании зависимости эмпирически определенных значений можно добиться и гораздо большей точности, используя какое-либо более сложное, много параметрическое уравнение. Однако нет никакого смысла стремиться с максимальной точностью передать случайные отклонения величин в конкретных рядах эмпирических данных. Гораздо важнее уловить общую закономерность, которая в данном случае наиболее логично и с приемлемой точностью выражается именно двухпараметрическим уравнением степенной функции. Таким образом, выбирая метод аппроксимации, исследователь всегда идет на компромисс: решает, в какой степени в данном случае целесообразно и уместно «пожертвовать» деталями и, соответственно, насколько обобщенно следует выразить зависимость сопоставляемых переменных. Наряду с выявлением закономерностей, замаскированных случайными отклонениями эмпирических данных от общей закономерности, аппроксимация позволяет также решать много других важных задач: формализовать найденную зависимость; найти неизвестные значения зависимой переменной путем интерполяции или, если это допустимо, экстраполяции.

В каждом задании формулируются условия задачи, исходные данные, форма выдачи результатов, указываются основные математические зависимости для решения задачи. В соответствии с методом решения задачи разрабатывается алгоритм решения, который представляется в графической форме.

1. Постановка задачи

1. Используя метод наименьших квадратов функцию , заданную таблично, аппроксимировать:

а) многочленом первой степени ;

б) многочленом второй степени ;

в) экспоненциальной зависимостью .

2. Для каждой зависимости вычислить коэффициент детерминированности.

3. Вычислить коэффициент корреляции (только в случае а).

4. Для каждой зависимости построить линию тренда.

5. Используя функцию ЛИНЕЙН вычислить числовые характеристики зависимости от .

6. Сравнить свои вычисления с результатами, полученными при помощи функции ЛИНЕЙН.

7. Сделать вывод, какая из полученных формул наилучшим образом аппроксимирует функцию .

8. Написать программу на одном из языков программирования и сравнить результаты счета с полученными выше.

Вариант 3. Функция задана табл. 1.

Таблица 1.

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

0.28

1.05

2.34

9.11

3.33

29.43

4.23

86.44

5.55

187.54

0.87

2.87

2.65

16.86

3.41

37.45

4.83

90.85

6.32

200.45

1.65

6.43

2.77

17.97

3.55

42.44

4.92

99.06

6.66

212.97

1.99

8.96

2.83

18.99

3.85

56.94

5.14

120.45

7.13

275.74

2.08

8.08

3.06

23.75

4.01

75.08

5.23

139.65

7.25

321.43

2. Расчётные формулы

Часто при анализе эмпирических данных возникает необходимость найти функциональную зависимость между величинами x и y, которые получены в результате опыта или измерений.

Хi (независимая величина) задается экспериментатором, а yi , называемая эмпирическими или опытными значениями получается в результате опыта.

Аналитический вид функциональной зависимости, существующей между величинами x и y обычно неизвестен, поэтому возникает практически важная задача - найти эмпирическую формулу

, (1)

(где - параметры), значения которой при возможно мало отличались бы от опытных значений.

Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденной эмпирической функции от заданных значений функции будет минимальной.

(2)

Используя необходимое условие экстремума функции нескольких переменных - равенство нулю частных производных, находят набор коэффициентов , которые доставляют минимум функции, определяемой формулой (2) и получают нормальную систему для определения коэффициентов :

(3)

Таким образом, нахождение коэффициентов сводится к решению системы (3).

Вид системы (3) зависит от того, из какого класса эмпирических формул мы ищем зависимость (1). В случае линейной зависимости система (3) примет вид:

(4)

В случае квадратичной зависимости система (3) примет вид:

(5)

В ряде случаев в качестве эмпирической формулы берут функцию в которую неопределенные коэффициенты входят нелинейно. При этом иногда задачу удается линеаризовать т.е. свести к линейной. К числу таких зависимостей относится экспоненциальная зависимость

(6)

где a1и a2 неопределенные коэффициенты.

Линеаризация достигается путем логарифмирования равенства (6), после чего получаем соотношение

(7)

Обозначим и соответственно через и , тогда зависимость (6) может быть записана в виде , что позволяет применить формулы (4) с заменой a1 на и на .

График восстановленной функциональной зависимости y(x) по результатам измерений (xi, yi), i=1,2,…,n называется кривой регрессии. Для проверки согласия построенной кривой регрессии с результатами эксперимента обычно вводят следующие числовые характеристики: коэффициент корреляции (линейная зависимость), корреляционное отношение и коэффициент детерминированности.

Коэффициент корреляции является мерой линейной связи между зависимыми случайными величинами: он показывает, насколько хорошо в среднем может быть представлена одна из величин в виде линейной функции от другой.

Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

(8)

(9)

где - среднее арифметическое значение соответственно по x, y.

Коэффициент корреляции между случайными величинами по абсолютной величине не превосходит 1. Чем ближе к 1, тем теснее линейная связь между x и y.

В случае нелинейной корреляционной связи условные средние значения располагаются около кривой линии. В этом случае в качестве характеристики силы связи рекомендуется использовать корреляционное отношение, интерпретация которого не зависит от вида исследуемой зависимости.

Корреляционное отношение вычисляется по формуле:

(10)

где а числитель характеризует рассеяние условных средних около безусловного среднего.

Всегда. Равенство = соответствует случайным некоррелированным величинам; = тогда и только тогда, когда имеется точная функциональная связь между x и y. В случае линейной зависимости y от x корреляционное отношение совпадает с квадратом коэффициента корреляции. Величина используется в качестве индикатора отклонения регрессии от линейной.

Корреляционное отношение является мерой корреляционной связи y c x в какой угодно форме, но не может дать представления о степени приближенности эмпирических данных к специальной форме. Чтобы выяснить насколько точно построен5ная кривая отражает эмпирические данные вводится еще одна характеристика - коэффициент детерминированности.

Коэффициент детерминированности определяется по формуле:

(11)

где Sост = - остаточная сумма квадратов, характеризующая отклонение экспериментальных данных от теоретических.

Sполн - полная сумма квадратов, где среднее значение yi.

- регрессионная сумма квадратов, характеризующая разброс данных.

Чем меньше остаточная сумма квадратов по сравнению с общей суммой квадратов, тем больше значение коэффициента детерминированности r2, который показывает, насколько хорошо уравнение, полученное с помощью регрессионного анализа, объясняет взаимосвязи между переменными. Если он равен 1, то имеет место полная корреляция с моделью, т.е. нет различия между фактическим и оценочным значениями y. В противоположном случае, если коэффициент детерминированности равен 0, то уравнение регрессии неудачно для предсказания значений y.

Коэффициент детерминированности всегда не превосходит корреляционное отношение. В случае когда выполняется равенство то можно считать, что построенная эмпирическая формула наиболее точно отражает эмпирические данные.

3. Расчёт с помощью таблиц, выполненных средствами Microsoft Excel

Для проведения расчётов данные целесообразно расположить в виде таблицы 2, используя средства табличного процессора Microsoft Excel.

Таблица 2

A

B

C

D

E

F

G

H

I

1

0,28

1,05

0,0784

0,294

0,021952

0,006147

0,08232

0,04879

0,013661

2

0,87

2,87

0,7569

2,4969

0,658503

0,572898

2,172303

1,054312

0,917251

3

1,65

6,43

2,7225

10,6095

4,492125

7,412006

17,50568

1,860975

3,070608

4

1,99

8,96

3,9601

17,8304

7,880599

15,68239

35,4825

2,19277

4,363613

5

2,08

8,08

4,3264

16,8064

8,998912

18,71774

34,95731

2,089392

4,345935

6

2,34

9,11

5,4756

21,3174

12,8129

29,9822

49,88272

2,209373

5,169932

7

2,65

16,86

7,0225

44,679

18,60963

49,31551

118,3994

2,824944

7,486101

8

2,77

17,97

7,6729

49,7769

21,25393

58,87339

137,882

2,888704

8,001709

9

2,83

18,99

8,0089

53,7417

22,66519

64,14248

152,089

2,943913

8,331272

10

3,06

23,75

9,3636

72,675

28,65262

87,677

222,3855

3,167583

9,692803

11

3,33

29,43

11,0889

98,0019

36,92604

122,9637

326,3463

3,382015

11,26211

12

3,41

37,45

11,6281

127,7045

39,65182

135,2127

435,4723

3,623007

12,35445

13

3,55

42,44

12,6025

150,662

44,73888

158,823

534,8501

3,748091

13,30572

14

3,85

56,94

14,8225

219,219

57,06663

219,7065

843,9932

4,041998

15,56169

15

4,01

75,08

16,0801

301,0708

64,4812

258,5696

1207,294

4,318554

17,3174

16

4,23

86,44

17,8929

365,6412

75,68697

320,1559

1546,662

4,459451

18,86348

17

4,83

90,85

23,3289

438,8055

112,6786

544,2376

2119,431

4,50921

21,77948

18

4,92

99,06

24,2064

487,3752

119,0955

585,9498

2397,886

4,595726

22,61097

19

5,14

120,45

26,4196

619,113

135,7967

697,9953

3182,241

4,791235

24,62695

20

5,23

139,65

27,3529

730,3695

143,0557

748,1811

3819,832

4,939139

25,8317

21

5,55

187,54

30,8025

1040,847

170,9539

948,794

5776,701

5,233992

29,04866

22

6,32

200,45

39,9424

1266,844

252,436

1595,395

8006,454

5,300565

33,49957

23

6,66

212,97

44,3556

1418,38

295,4083

1967,419

9446,412

5,361151

35,70527

24

7,13

275,74

50,8369

1966,026

362,4671

2584,39

14017,77

5,619458

40,06674

25

7,25

321,43

52,5625

2330,368

381,0781

2762,816

16895,16

5,77278

41,85265

26

95,93

2089,99

453,3105

11850,65

2417,568

13982,99

71327,34

90,97713

415,0797

С У М М Ы

Поясним, как таблица 2 составляется.

Шаг 1.В ячейки А1:A25 заносим значения xi.

Шаг 2.В ячейки B1:B25 заносим значения уi.

Шаг 3.В ячейку С1 вводим формулу=А1^2.

Шаг 4.В ячейки С1:С25 эта формула копируется.

Шаг 5.В ячейку D1 вводим формулу=А1*B1.

Шаг 6.В ячейки D1:D25 эта формула копируется.

Шаг 7.В ячейку F1 вводим формулу=А1^4.

Шаг 8.В ячейки F1:F25 эта формула копируется.

Шаг 9.В ячейку G1 вводим формулу=А1^2*B1.

Шаг 10.В ячейки G1:G25 эта формула копируется.

Шаг 11.В ячейку H1 вводим формулу = LN(B1).

Шаг 12.В ячейки H1:H25 эта формула копируется.

Шаг 13.В ячейку I1 вводим формулу=А1*LN(B1).

Шаг 14.В ячейки I1:I25 эта формула копируется.

Последующие шаги делаем с помощью автосуммирования .

Шаг 15. В ячейку А26 вводим формулу = СУММ(А1:А25).

Шаг 16. В ячейку В26 вводим формулу = СУММ(В1:В25).

Шаг 17. В ячейку С26 вводим формулу = СУММ(С1:С25).

Шаг 18. В ячейку D26 вводим формулу = СУММ(D1:D25).

Шаг 19. В ячейку E26 вводим формулу = СУММ(E1:E25).

Шаг 20. В ячейку F26 вводим формулу = СУММ(F1:F25).

Шаг 21. В ячейку G26 вводим формулу = СУММ(G1:G25).

Шаг 22. В ячейку H26 вводим формулу = СУММ(H1:H25).

Шаг 23. В ячейку I26 вводим формулу = СУММ(I1:I25).

Аппроксимируем функцию линейной функцией . Для определения коэффициентов и воспользуемся системой (4). Используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A26, B26, C26 и D26, запишем систему (4) в виде

(11)

решив которую, получим и .

Систему решали методом Крамера. Суть которого состоит в следующем. Рассмотрим систему n алгебраических линейных уравнений с n неизвестными:

(12)

Определителем системы называется определитель матрицы системы:

(13)

Обозначим - определитель, который получится из определителя системы Д заменой j-го столбца на столбец

(14)

Таким образом, линейная аппроксимация имеет вид

(15)

Решение системы (11) проводим, пользуясь средствами Microsoft Excel. Результаты представлены в таблице 3.

Таблица 3

A

B

C

D

E

28

25

95,93

2089,99

29

95,93

453,3105

11850,65

30

31

Обратная матрица

32

0,212802

-0,04503

a1=

-88,92081

33

-0,04503

0,011736

a2=

44,95997

В таблице 3 в ячейках A32:B33 записана формула {=МОБР(А28:В29)}.

В ячейках Е32:Е33 записана формула {=МУМНОЖ(А32:В33),(C28:С29)}.

Далее аппроксимируем функцию квадратичной функцией . Для определения коэффициентов a1, a2 и a3 воспользуемся системой (5). Используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A26, B26, C26 , D26, E26, F26, G26 запишем систему (5) в виде

(16)

решив которую, получим a1=10,663624, и

Таким образом, квадратичная аппроксимация имеет вид

(17)

Решение системы (16) проводим, пользуясь средствами Microsoft Excel. Результаты представлены в таблице 4.

Таблица 4

A

B

C

D

E

F

36

25

95,93

453,3105

2089,99

37

95,93

453,3105

2417,568

11850,655

38

453,3105

2417,568

13982,99

71327,345

39

40

Обратная матрица

41

0,632687

-0,31439

0,033846

a1=

10,663624

42

-0,31439

0,184534

-0,021712

a2=

-18,924512

43

0,033846

-0,02171

0,002728

a3=

8,0272305

В таблице 4 в ячейках А41:С43 записана формула {=МОБР(А36:С38)}.

В ячейках F41:F43 записана формула {=МУМНОЖ(А41:C43),(D36:D38)}.

Теперь аппроксимируем функцию экспоненциальной функцией . Для определения коэффициентов и прологарифмируем значения и, используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A26, C26, H26 и I26, получим систему

(18)

где .

Решив систему (18), получим и .

После потенцирования получим .

Таким образом, экспоненциальная аппроксимация имеет вид

(19)

Решение системы (18) проводим, пользуясь средствами Microsoft Excel. Результаты представлены в таблице 5.

Таблица 5

B

C

D

E

F

46

25

95,93

90,97713

47

95,93

453,3105

415,0797

48

49

Обратная матрица

с=

0,667679

50

0,212802

-0,04503

а2=

0,774368

51

-0,04503

0,011736

а1=

1,949707

В ячейках А50:В51 записана формула {=МОБР(А46:В47)}.

В ячейках Е49:Е50 записана формула {=МУМНОЖ(А50:В51),(С46:С47)}.

В ячейке Е51 записана формула=EXP(E49).

Вычислим среднее арифметическое и по формулам:

; .

Результаты расчета и средствами Microsoft Excel представлены в таблице 6.

Таблица 6

B

C

54

Xср=

3,8372

55

Yср=

83,5996

В ячейке В54 записана формула=А26/25.

В ячейке В55 записана формула=В26/25

Для того, чтобы рассчитать коэффициент корреляции и коэффициент детерминированности данные целесообразно расположить в виде таблицы 7, которая является продолжением таблицы 2.

Таблица 7

A

B

J

K

L

M

N

O

1

0,28

1,05

293,6454

12,65367

6814,436

5987,976

24,44408

1,881775

2

0,87

2,87

239,5409

8,804276

6517,268

2774,722

6,733461

0,910717

3

1,65

6,43

168,7853

4,783844

5955,147

448,0357

26,39582

0,320737

4

1,99

8,96

137,8743

3,412148

5571,07

70,73588

17,36822

0,020626

5

2,08

8,08

132,703

3,087752

5703,21

12,13871

4,203942

2,824782

6

2,34

9,11

111,5258

2,241608

5548,701

51,48821

1,498588

7,995842

7

2,65

16,86

79,23325

1,409444

4454,174

178,573

0,00062

2,833825

8

2,77

17,97

70,03991

1,138916

4307,244

311,4631

3,477709

1,730596

9

2,83

18,99

65,07479

1,014452

4174,4

373,491

5,791436

2,382273

10

3,06

23,75

46,51511

0,60404

3581,975

620,3441

17,37549

8,423061

11

3,33

29,43

27,47482

0,257252

2934,346

983,8198

52,24621

13,94466

12

3,41

37,45

19,71511

0,1825

2129,786

725,9091

4,090409

102,2541

13

3,55

42,44

11,82104

0,082484

1694,113

797,8984

4,861044

143,3219

14

3,85

56,94

-0,34124

0,000164

710,7343

741,75

0,023142

342,3946

15

4,01

75,08

-1,47219

0,02986

72,58358

265,3212

126,0007

996,9257

16

4,23

86,44

1,115709

0,154292

8,067872

219,6288

148,7578

1214,778

17

4,83

90,85

7,198197

0,985652

52,5683

1397,703

245,6958

76,64891

18

4,92

99,06

16,74052

1,172456

239,024

1103,718

163,9776

121,868

19

5,14

120,45

48,0087

1,697288

1357,952

471,9084

25,17881

258,6007

20

5,23

139,65

78,067

1,939892

3141,647

43,16294

70,45155

769,9408

21

5,55

187,54

178,0291

2,933684

10803,61

725,3842

1200,529

1951,06

22

6,32

200,45

290,1162

6,164296

13654,02

27,28786

126,2827

3577,409

23

6,66

212,97

365,1868

7,9682

16736,7

6,038755

767,7885

15795,87

24

7,13

275,74

632,6799

10,84253

36917,93

1944,475

65,14693

44766,92

25

7,25

321,43

811,6676

11,6472

56563,3

7121,842

677,9664

45516,8

26

95,93

2089,9

3830,945

85,2079

199644

27404,82

3786,286

115678,1

С у м м ы

Остаточные суммы

X

Y

линейн.

квадр.

экспон.

Поясним как она составляется.

Ячейки А1:А26 и В1:В26 уже заполнены.

Далее делаем следующие шаги.

Шаг 1.В ячейку J1 вводим формулу = (А1-$B$54)*(B1-$B$55).

Шаг 2.В ячейки J2:J25 эта формула копируется.

Шаг 3.В ячейку K1 вводим формулу = (А1-$B$54)^2.

Шаг 4.В ячейки k2:K25 эта формула копируется.

Шаг 5.В ячейку L1 вводим формулу = (B1-$B$55)^2.

Шаг 6.В ячейки L2:L25 эта формула копируется.

Шаг 7.В ячейку M1 вводим формулу = ($E$32+$E$33*A1-B1)^2.

Шаг 8.В ячейки M2:M25 эта формула копируется.

Шаг 9.В ячейку N1 вводим формулу = ($F$41+$F$42*A1+$F$43*A1^2-B1)^2.

Шаг 10.В ячейки N2:N25 эта формула копируется.

Шаг 11.В ячейку O1 вводим формулу = ($E$51*EXP($E$50*A1)-B1)^2.

Шаг 12.В ячейки O2:O25 эта формула копируется.

Последующие шаги делаем с помощью авто суммирования .

Шаг 13.В ячейку J26 вводим формулу = CУММ(J1:J25).

Шаг 14.В ячейку K26 вводим формулу = CУММ(K1:K25).

Шаг 15.В ячейку L26 вводим формулу = CУММ(L1:L25).

Шаг 16.В ячейку M26 вводим формулу = CУММ(M1:M25).

Шаг 17.В ячейку N26 вводим формулу = CУММ(N1:N25).

Шаг 18.В ячейку O26 вводим формулу = CУММ(O1:O25).

Теперь проведем расчеты коэффициента корреляции по формуле (8) (только для линейной аппроксимации) и коэффициента детерминированности по формуле (10). Результаты расчетов средствами Microsoft Excel представлены в таблице 8.

Таблица 8

A

B

57

Коэффициент корреляции

0,928833

58

Коэффициент детерминированности (линейная аппроксимация)

0,862732

59

60

Коэффициент детерминированности (квадратичная аппроксимация)

0,981035

61

62

Коэффициент детерминированности (экспоненциальная аппроксимация)

0,420578

63

В ячейке E57 записана формула=J26/(K26*L26)^(1/2).

В ячейке E59 записана формула=1-M26/L26.

В ячейке E61 записана формула=1-N26/L26.

В ячейке E63 записана формула=1-O26/L26.

Анализ результатов расчетов показывает, что квадратичная аппроксимация наилучшим образом описывает экспериментальные данные.

4. Схема алгоритма

Рис. 1. Схема алгоритма для программы расчёта.

5. Расчет в программе MathCad

Линейная регрессия

· line (x, y) - вектор из двух элементов (b, a) коэффициентов линейной регрессии b+ax;

· x - вектор действительных данных аргумента;

· y - вектор действительных данных значений того же размера.

Рисунок 2.

Полиномиальная регрессия означает приближение данных (х1, у1) полиномом k-й степени При k=i полином является прямой линией, при k=2 - параболой, при k=3 - кубической параболой и т.д. Как правило, на практике применяются k<5.

· regress (x,y,k) - вектор коэффициентов для построения полиномиальной регрессии данных;

· interp (s,x,y,t) - результат полиномиальной регрессии;

· s=regress(x,y,k);

· x - вектор действительных данных аргумента, элементы которого расположены в порядке возрастания;

· y - вектор действительных данных значений того же размера;

· k - степень полинома регрессии (целое положительное число);

· t - значение аргумента полинома регрессии.

Рисунок 3

Кроме рассмотренных, в Mathcad встроено еще несколько видов трехпараметрической регрессии, их реализация несколько отличается от приведенных выше вариантов регрессии тем, что для них, помимо массива данных, требуется задать некоторые начальные значения коэффициентов a, b, c. Используйте соответствующий вид регрессии, если хорошо представляете себе, какой зависимостью описывается ваш массив данных. Когда тип регрессии плохо отражает последовательность данных, то ее результат часто бывает неудовлетворительным и даже сильно различающимся в зависимости от выбора начальных значений. Каждая из функций выдает вектор уточненных параметров a, b, c.

6. Результаты, полученные с помощью функции ЛИНЕЙН

Рассмотрим назначение функции ЛИНЕЙН.

Эта функция использует метод наименьших квадратов, чтобы вычислить прямую линию, которая наилучшим образом аппроксимирует имеющиеся данные.

Функция возвращает массив, который описывает полученную прямую. Уравнение для прямой линии имеет следующий вид:

y = m1x1 + m2x2 + ... + b или y = mx + b,

алгоритм табличный microsoft программный

где зависимое значение y является функцией независимого значения x. Значения m - это коэффициенты, соответствующие каждой независимой переменной x, а b - это постоянная. Заметим, что y, x и m могут быть векторами.

Для получения результатов необходимо создать табличную формулу, которая будет занимать 5 строк и 2 столбца. Этот интервал может располагаться в произвольном месте на рабочем листе. В этот интервал требуется ввести функцию ЛИНЕЙН.

В результате должны заполниться все ячейки интервала А65:В69 (как показано в таблице 9).

Таблица 9.

А

В

65

44,95997

-88,9208

66

3,739466

15,92346

67

0,862732

34,51831

68

144,5549

23

69

172239,2

27404,82

Поясним назначение некоторых величин, расположенных в таблице 9.

Величины, расположенные в ячейках А65 и В65 характеризуют соответственно наклон и сдвиг.

G59 - коэффициент детерминированности.

G60 - F-наблюдаемое значение.

H59 - число степеней свободы.

G61 - регрессионная сумма квадратов.

H61 - остаточная сумма квадратов.

7. Представление результатов в виде графиков

Рис. 4. График линейной аппроксимации

Рис. 5. График квадратичной аппроксимации

Рис. 6. График экспоненциальной аппроксимации

Выводы

Сделаем выводы по результатам полученных данных.

1. Анализ результатов расчетов показывает, что квадратичная аппроксимация наилучшим образом описывает экспериментальные данные, т.к. линия тренда для неё наиболее точно отражает поведение функции на данном участке.

2. Сравнивая результаты, полученные при помощи функции ЛИНЕЙН, видим, что они полностью совпадают с вычислениями, проведенными выше. Это указывает на то, что вычисления верны.

3. Результаты, полученные с помощью программы MathCad, полностью совпадают со значениями приведенными выше. Это говорит о верности вычислений.

Список используемой литературы

Б.П. Демидович, И.А. Марон. Основы вычислительной математики. М: Государственное издательство физико-математической литературы.

Информатика: Учебник под ред. проф. Н.В. Макаровой. М: Финансы и статистика, 2007.

Информатика: Практикум по технологии работы на компьютере под ред. проф. Н.В. Макаровой. М: Финансы и статистика, 2010.

В.Б. Комягин. Программирование в Excel на языке Visual Basic. М: Радио и связь, 2007.

Н. Николь, Р. Альбрехт. Excel. Электронные таблицы. М: Изд. «ЭКОМ», 2008.

Методические указания к выполнению курсовой работы по информатике (для студентов заочного отделения всех специальностей), под ред. Журова Г. Н., СПбГГИ(ТУ), 2011.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Метод наименьших квадратов. Возможные варианты расположения экспериментальных точек. Аппроксимация экспериментальных данных в программах Microsoft Excel, MathCAD и MatLAB. Вычисление средних значений и их сумм. Коэффициенты корреляции и детерминации.

    курсовая работа [890,9 K], добавлен 30.10.2012

  • Определение зависимости одной физической величины от другой. Применение метода наименьших квадратов с помощью программного обеспечения Mathcad. Суть метода наименьших квадратов. Корреляционный анализ, интерпретация величины корреляционного момента.

    курсовая работа [63,8 K], добавлен 30.10.2013

  • Аппроксимация функции зависимости крутящего момента косозубого шестеренного пневмодвигателя К3М от числа оборотов вала в безразмерных величинах с помощью Microsoft Excel и PTC MathCad. Суть метода наименьших квадратов. Оценка точности аппроксимации.

    курсовая работа [1,2 M], добавлен 10.03.2012

  • Разработка алгоритма аппроксимации данных методом наименьших квадратов. Средства реализации, среда программирования Delphi. Физическая модель. Алгоритм решения. Графическое представление результатов. Коэффициенты полинома (обратный ход метода Гаусса).

    курсовая работа [473,6 K], добавлен 09.02.2015

  • Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов. Линеаризация экспоненциальной зависимости. Элементы теории корреляции. Расчет коэффициентов аппроксимации, детерминированности в Microsoft Excel. Построение графиков функций, линии тренда.

    курсовая работа [590,9 K], добавлен 10.04.2014

  • Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов. Линеаризация экспоненциальной зависимости. Элементы теории корреляции. Расчет аппроксимаций в табличном процессоре Excel. Описание программы на языке Turbo Pascal; анализ результатов ее работы.

    курсовая работа [390,2 K], добавлен 02.01.2015

  • Метод Гаусса и одно из его приложений в экономике (простейшая задача о рационе). Модель Леонтьева межотраслевого баланса. Алгебраический метод наименьших квадратов. Анализ данных эксперимента. Метод наименьших квадратов в Excel и аппроксимация данных.

    курсовая работа [598,7 K], добавлен 11.07.2015

  • Обзор методов аппроксимации. Математическая постановка задачи аппроксимации функции. Приближенное представление заданной функции другими, более простыми функциями. Общая постановка задачи метода наименьших квадратов. Нахождение коэффициентов функции.

    курсовая работа [1,5 M], добавлен 16.02.2013

  • Определение зависимости между экспериментальными данными при помощи аппроксимации, особенности решения поставленной задачи различными способами, проведение расчетов с помощью табличного процессора Microsoft Excel и среды программирования Turbo Pascal 7.0.

    курсовая работа [765,0 K], добавлен 25.02.2012

  • Определение параметров линейной зависимости из графика. Метод парных точек. Метод наименьших квадратов. Блок-схема программного комплекса в Microsoft Visual Studio и Microsoft Excel. Инструкция пользователя, скриншоты. Общий вид программного кода.

    курсовая работа [2,1 M], добавлен 29.11.2014

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.