Лабораторная работа №2. Моделирование случайных процессов и систем

Цель. Практическое усвоение основных методов компьютерного моделирования случайных процессов.

Теоретическая часть. Определение и примеры стохастических процессов. Основные определения теории вероятностей и математической статистики для их моделирования. Виды и параметры распределений.

Метод статистического моделирования. Псевдослучайные числа и процедура их генерации. Методы генерации случайных событий.

Вычислительные и графические возможности компьютерного моделирования случайных процессов и систем. Метод Монте-Карло.

Содержание лабораторной работы

1. Генерирование псевдослучайных чисел и распределений

2. Моделирование системы массового обслуживания

3. Метод Монте-Карло

Раздел 1. Генерирование равномерно распределенных случайных чисел

Алгоритм Неймана [Калиткин с.115-116] получения последовательности равномерно распределенных в диапазоне 0 - 1 чисел gi:

1) взять произвольное число из 2r цифр (не обязательно десятичных);

2) возвести в квадрат.

3) у квадрата этого числа оставить 2r средних цифр - т.е. отбросить первые r или r-1 первых и r последних;

4) полученное число (опять же из 2r или 2r - 1 цифр) возвести в квадрат.

5) повторить процедуру

Случайные числа gi получаются умножением полученных на шаге 3, каждого этапа чисел на 10 - 2r.

Например: пусть r =1; начальное число 46; g1 = 0.46; 462 =2116…

т.е.46 - > 2116 (11) - >121 (12) - > 144 (14) - > 196 (19) - > 361 (36) …

g = 0.46 - > 0.11 - > 0.12 - > 0.14 - > 0.19 - > 0.36…

Пример реализации на компьютере:

Алгоритм получения случайных чисел с выделением дробной части произведения

gi = {А gi - 1},

где А - очень большая константа, произвольная, но, для получения качественной последовательности случайных чисел, подбираемая по опыту (в двоичной форме, должно иметь хаотическое чередование 0 и 1).

Рекомендуется, например, А = 513 и g 0 = 2 - 42

Пример:

0ut: 0.501659

Нормальное распределение может быть получено из равномерного, например таким способом [Мат. энциклопедия, М.: Советская энциклопедия, 1985. т.5, 20]:

In:

0ut: { - 0.0610481, 0.487757 }

Примечания:

В примере, для генерирования равномерно распределенных чисел, используется функция Random [], а для компактной записи программы - анонимные функции и Function [body] и body& [].

Анонимные функции задаются выражениями специального вида, например (# + 1) & [If [Random [] > 0.5, x, y]]. Вместо переменных используются обозначения # для одной переменой или #1, #2, … - для нескоьких. Завершается тело функции (# + 1) символом &. После функции, в квадратных скобках, указывают список параметров для вычисления функции [If [Random [] > 0.5, x, y]]

Рис. Графическое представление массива нормально распределенных случайных чисел

Для генерации распределений того или иного вида (например, распределения Пуассона для моделирования систем массового обслуживания) и вычисления их параметров используют стандартные приложения Mathematica << Statistics`DiscreteDistributions` и << Statistics`ContinuousDistributions`

Раздел 3. Метод Монте-Карло (ММК)

Пример 1

Вычисление числа Пи методом МК с заданной точностью:

In

Out

число Пи с точностью 0.00001 от известного справочного значения

3.14156

количество циклов вычисления (разное при повторных пересчетах)

44873

Задание

1. Разработайте модель случайного одномерного блуждания (модель "пьяницы"). Блуждание задается по правилу: если случайное число из отрезка [0;

1) меньше 0,5, то делается шаг влево, в противном случае - вправо. Постройте диаграмму, отражающую местоположение объекта.

2. Постройте модель хаотического блуждания точки на плоскости с возможностью делать шаги влево-вправо-вверх-вниз.

Примеры реализации на компьютере

1) траектория случайного вектора из начала координат

2) блуждающая точка

3) траектория блуждающей точки

Лабораторная работа №3. Статистическое (имитационное) моделирование физических процессов. обработка результатов эксперимента методами регрессионного анализа

Задание для моделирования: численно моделировать физический процесс, обработать результаты эксперимента и рассчитать коэффициенты уравнения регрессии, предварительно линеаризовав экспериментальные данные.

Ниже условий заданий - представление процесса исходя из аналитического выражения исследуемой физической закономерности (что возможно или целесообразно только для простейших процессов)

Численно моделировать зависимость высоты полета от длительности полета

Численно моделировать зависимость высоты подъема от длительности полета

Численно моделировать зависимость общего сопротивления R от площади проводника s.

Пример выполнения работы:

Моделирование радиоактивного распада трития.

Физический процесс описывается формулой

.

Для генерирования данных компьютерного эксперимента используем подключаемый модуль (приложение) <<Statistics`ContinuousDistributions`

Среди распределений, генерируемых приложением "Statistics", выбираем нормальное распределение и создаем функцию пользователя "ndr" для текущих расчетов:

ndr [mu_, sigma_]: = NormalDistribution [mu, sigma],

где mu - математическое ожидание случайной величины (задаем условием эксперимента); sigma - стандартное отклонение (StandardDeviation)

Моделирование процесса выполним в следующей последовательности:

Получим массив (таблицу) результатов численного моделирования радиоактивного распада включающую:

номер строки,

время от начала распада - t,

результаты стохастического моделирования - ш [t],

теоретическое значение N/N0.

(*)

Таблица 1

Результаты численного стохастического моделирования

Для графического представления полученных данных используем подключаемый модуль (приложение) <<Graphics`MultipleListPlot` и функцию

MultipleListPlot [exam1 [[All,2]], exam1 [[All,3]], PlotJoined - > True, GridLines - > Automatic] или:

ш[t] теоретическое N/N₀

Рис.4.2

2. Вычислим статистические параметры выборки {t, ш [t] } и коэффициент корреляции между моделированным в компьютерном эксперименте отношением числа распавшихся ядер к начальному их количеству N/N0 = ш [t] в образце и временем от начала распада - t, лет.

Присвоим выборке имя z={t, ш [t] }

1) количество элементов n выборки z

n [z_]: =Length [z]

2) среднее значение результатов компьютерного эксперимента по выборке z; mx - среднее значение аргумента t; my - среднее значение стохастической функции ш [t]. Для расчета в среде Mathematica используем функцию Mean []:

mx [z_]: = Mean [z [[All,1]]]

my [z_]: = Mean [z [[All,2]]]

3) дисперсия и среднее квадратичное отклонение (стандартное отклонение - StandardDeviation) рассчитаем с учетом подстановки n [z] - 1 вместо n [z], что означает несмещенную оценку дисперсии:

Для расчета стандартного отклонения можно использовать так же и специальную функцию системы "Mathematica" из приложения <<Statistics`DescriptiveStatistics` - StandardDeviation []:

{уx [z],уy [z] }: =

{StandardDeviation [z [[All,1]]],StandardDeviation [z [[All,2]]] }

4) корреляционная функция (ковариация) между x и y в массиве z определится по формуле r = Mean ( (xi-Mean{x}) (yi-M{y}))

rxy [z_]: =

Mean [Table [z [[i,1]] *z [[i,2]],{i,1,n [z] }]] - mx [z] *my [z]

5) коэффициент корреляции R между значениями x, y:

Результаты расчета сведем в таблицу:

Таблица

Если x и y - независимы, то Rху = 0. При полной зависимости - |Rxy| = 1. Учитывая, что по принятой градации при 0 <|Rxy|<=0.3 - корреляция слабая; при 0.3 <|Rxy|<=0.7 - средняя; при 0.7< |Rxy| <= 1 - большая, сделаем вывод, что моделированная функция радиоактивного распада ш [t] } имеет большую корреляцию с длительностью процесса (t), коэффициент которой Rxy = | - 0.86633 |.

Вывод указывает на возможность расчета уравнения регрессии для ш [t] }.

3. Выбор способа линеаризации экспериментальных данных и расчет коэффициентов уравнения регрессии

Приближенная оценка данных на графике позволяет предположить, что искомая зависимость - экспоненциальная, вида . Эта зависимость может быть линеаризована, то есть, исходные данные преобразованы таким образом, чтобы для расчета коэффициентов регрессии можно было воспользоваться стандартными формулами метода наименьших квадратов (МНК).

МНК позволяет непосредственно рассчитать коэффициенты линейного уравнения регрессии y = B [z] + A [z] x, где

Для вычисления коэффициентов уравнения регрессии произвести замену:

Тогда

a = A [z] = - 0.0788672: B [z] = - 0.0125541

Указание: при пересчете листа Математика происходит пересчет генерируемых случайных величин! Избежать это можно используя функцию SeedRandom.

Восстановим исходные значения преобразованных величин, рассчитаем значения функции ш [t] с помощью уравнения регрессии ш [t] = y, и сравним со значениями стохастической функции ш [t] и точными значениями N/N0:

(не преобразовывалось)

Графически представим полученный результат с помощью функции

лет

Представленный график показывает хорошее совпадение экспериментальных значений (результатов имитационного моделирования) и расчетных по уравнению регрессии. Примеры для других вариантов приведены в программном модуле - приложении к настоящей лабораторной работе. Везде используется единый поход и метод. Для справки: дано несколько типов данных, представляющих:

Правила линеаризации и подстановок

1. Линейная зависимость

y = a + b x

2. Экспоненциальная зависимость

Обратного преобразования нет.

Выбор вариантов индивидуального задания к лабораторной работе №4

Задание 1

лет

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Указание: принимать s, численно не превышающим значения r

Учебно-методическая литература